Исследование задачи трех тел в случае линдбладовских резонансов тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.01 ВАК РФ

о

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им.М.В.ЛОМОНОСОВА

С5

сч.<

На пробах рукописи

ЫУШАШЮВ БОРИС РОМАНОВИЧ

ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ В СЛУЧАЕ ЛИНДБЛАДОВСКИХ РЕ30НАНС0В

Специальность 01.03.01 - Астрометрия и небесная механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

УДК 521.13

Москва - 1996

Работа выполнена в Государственном астрономичесш институте им.П.К.Штернберга МГУ.

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук, профессор Е.А.Гребеников Доктор физико-математических наук, профессор А.Л.Куницин Доктор фазико-математических наук, профессор М.О.Яров-Ярово!

Ведущая организация: ИНАОАН

Защита состоится "22" февраля 1996 г. в 14.00 чао. а заседании специализированного Совета Московского Государствен' ного университета им.М.В.Ломоносова, шифр Д053.05.51.

Адрес: 119899, Москва, В-234, Университетский проспект дом 13.

О диссертацией мохно ознакомиться в библиотеке Государственного астрономического института им.П.К.Штернберга МГ! (Москва, Университетский проспект, 13)

Автореферат разослан "22" января 1996 г.

Ученый секретарь специализированного Совета, канд. фаз.-мат. наук

Л.Н.Бондареню

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Ввиду чрезвычайной сложности задачи трех тел, описываемой системой дифференциальных уравнений восемнадцатого порядка, и по настоящее время неизвестен ее общий интеграл. Однако в ряде случаев теоретический и практический интерес представляют решения этой задачи при наличии в системе малого параметра (планетный вариант задачи) и существовании между интегралами движения некоторого соотношения, обусловленного рациональной соизмеримостью двух основных частот задачи. Так, в Солнечной системе наблюдается большое число соизмеримостей между средними движениями больших планет, спутников, а также астероидов. Динамическая эволюция многих из этих небесных тел может быть интерпретирована в рамках планетного варианта резонансной задачи трех тел.

Проблемам динамической эволюции резонансных систем в рамках задачи трех тел были посвящены в последнее время работы Дя.Вис-дома, В.Себехея, В.Сессина, Ж.Шубарта, С.Ферраз-Мелло и других авторов. Однако в этих работах основное внимание было уделено численным исследованиям, они не носили систематического характера и не позволили получить полного аналитического решения.

Так как максимальный резонансный, эффект (максимальная амплитуда резонансных возмущений) проявляется для резонансов первого порядка (линдбладовские резонансы 2:1, 3:2, 4:3,...), то исследование планетного варианта задачи трех тел (получение, в частности, аналитических решений, описывающих полную динамическую эволюцию гравитирующих тел) в случае линдбладовских резонансов является актуальной задачей современной небесной механики.

Цель работы соотоит в построении на базе полученных аналитических решений планетного варианта задачи трех тел при учете возмущений, обусловленных сжатием центрального тела и вековыэ возмущений от "Я-тел", фундаментальной аналитической теории, с единых позиций описывающей вволюцию динамических систем в случае линдбладовских резонансов, а также в практическом применение полученных результатов к конкретным телам Солнечной системы: большим планетам, астероидам, спутниковым системам.

Методы исследования. Используются асимптотические метода теории возмущений, теория эллиптических функций. Применяете! аппарат канонических преобразований, а также общие метода нелинейного и функционального анализов.

Теоретическое и практическое значение работы. Разрабога* теоретический аппарат, базирующийся на применении каноническиз преобразований, теории эллиптических функций Вейерштрасса 1 асимптотических методов теории возмущений. Полученное аналитическое решение задачи может быть использовано в качестве промежуточной орбиты при построении эфемеридных теорий движения различных небесных тел, связанных орбитальными соизмеримостяш первого порядка. Установленные теоретические результаты применяются к конкретным небесным объектам Солнечной системы: планета» .Уран, Нептун, Плутон, астероидам, спутниковой системе Сатурна.

Теоретические результаты работы могут также представлят! интерес при реализации космических программ, связанных с изучением с помощью космических аппаратов больших планет, спутников I астероидов.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной рабо-

ты докладывались и обсуждались на семинаре по классической механике при мехмате МГУ, Совете по небесной механике ГАШ, семинаре кафедры теоретической механики МАИ, семинаре института астрономии РАН, XXXIV научной конференции МФТИ, на объединенном семинаре ИКИ и ИПМ им.М.В.Келдыша РАН по динамике космического полета.

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 29 печатных работах.

Структура в объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, семи глав, заключения и списка цитируемой литературы. Общий объем составляет 343 страницы, включая 69 рисунков, 9 таблиц и библиографию из 203 наименований.

СОДЕРХАНИВ РАБОТЫ

Во введении приводится краткий обзор рассматриваемой проблемы, обосновывается актуальность теш, излагается цель работы, научная новизна, метода исследования, теоретическая и практическая ценность работы, а также краткое содержание работы и положения, выносимые на защиту.

В первой главе рассматривается критерий соизмеримости средних движений вида

Ifen, - (fe+I>n2| <S ц1/20Ш, (1)

где й - кратность, Z - порядок резонанса (k,l а N), ц - малый параметр задачи, Tij (J=1,2) - средние движения гравитирупцих тел, приводится интерпретация кратности резонанса, показана отличительная особенность случая fe=l. Далее уравнения планетного и ограниченного вариантов исследуемой задачи трех тел представляются в канонической форме с гамильтонианом, учитывающим несфе-

ричность центрального тела.

Вторая глава посвящена получению аналитического решения для двухчастотной резонансной системы первого порядка, когда масса одного из тел существенно больше двух других. На основании асимптотического метода Цейпеля и после применения ряда канонических преобразований аналитическое решение задачи, описывающее эволюцию всех орбитальных элементов гравитирущих тел, представляется в эллиптических функциях Вейерштрасса. Решение получено не только для малых, но и для больших эксцентриситетов и наклонений орбит гравитирущих тел. При этом проведено и обосновано соответствующее разложение Еозмущаицей функции в резонансном случае.

Проводятся качественные исследования, устанавливается классификация фазовых траекторий. Исследуются стационарные решения, их устойчивость по Ляпунову. Находятся частные аналитические решения в случае учета влияния членов более высокого порядка по эксцентриситету.

В третьей главе аналитическое решение обобщено на случай, когда центральное тело (Р0) имеет форму эллипсоида вращения, потенциал которого в прямоугольной системе координат с началом, совмещенным с его центром масс, определяется выражением

в котором г0 - экваториальный радиус Р0, «7^ - коэффициент зональной гармоники порядка 2}, Р^ - полином Лежандра одноименного порядка. При этом учитывается также влияние на орбитальную эволюцию исследуемых гравитирущих тел вековых возмущений от "сторонних тел" (№-тел). Рассматриваются возмущения, зависящие от произвольных внешних параметров, и определяются вероятности

со

(2)

J=^^

переходов траекторий (под действием этих возмущений) из одних областей фазового пространства в другие, а следовательно, оценивается устойчивость конфигурации исследуемой системы в зависимости от величин параметров задачи.

В четвертой главе рассмотрена ограниченная эллиптическая задача трех тел, имеющая широкое практическое приложение. Аналитическое решение в этом случае получено как для внутреннего, так и для внешнего вариантов задачи, при этом учитывалось также влияние возмущений, обусловленных сжатием центрального тела.

В отличие от круговой* задачи, в эллиптическом варианте стационарным решениям отвечают орбиты с постоянными большими полуосями и с изменяющимися с одними и теми же периодами эксцентриситетами и углами наклонов. Долгота перицентра может совершать, в зависимости от начальных условий, либо либрацион-ные, либо циркуляционные движения. Скорость изменения долготы перицентра (ш) достигает своего максимального значения, когда эксцентриситет стационарной орбиты минимален, что, при прочих равных условиях, уменьшает вероятность сближений. С другой стороны, увеличение эксцентриситета орбиты возмущающего тела, также приводя к росту |ш |, увеличивает вероятность сближений.

При приближении орбиты пассивно гравитирущего тела к точной соизмеримости шстац стремится к нулю. Таким образом, в окрестности точной соизмеримости (при отсутствии диссипации в системе) изменение амплитуды "резонансной волны" (волны плотности) происходит преимущественно вдоль радиуса-вектора (азимутальная составляющая ничтожно мала).

Соотношения мевду элементами стационарных орбит и различ-

ними параметрами задачи представлены также в виде графических зависимостей.

Пятая глава посвящена исследованию эволюции элементов орбит. Здесь представлены компактные аналитические выражения для орбитальных элементов гравитирупцих тел. В частности, для больших полуосей (а^), эксцентриситетов (е^) и взаимной наклонности (о) орбит гравитирупцих тел Р^ (./=1,2) справедливы следующие представления

- К+ ъ ^ - [ П2л+

4=1 2 2 *=1

+ (3)

в которых ZJ{,ПJl^J,i=L,2) являются компонентами векторов

{2^} « (х^.у,), {П^ = (р0^соав, р^аШВ). (4)

При этом

X, - сДрег+ш) + Р(т-ш) - О0], у^ = -(сДрСС+Ш) - Р(Т-Ю)],

6 = е0 + Ах + 211и§{Щ. (5)

4 - Л, + 41С(ю) - [р(ш) - р^и;)]2/^, 1г—1, й - кратность резонанса, г - линейная функция времени, ш - комплексная постоянная, р^, Су Ау р0</ (>1,2), 0о, в0, Е0, о0, о01 - постоянные, связанные с интегральными постоянными и параметрами резонанса, I - интеграл задачи, р, С и а - одноименные функции Вейерштрасса.

Для вычисления элементов орбит приводится численный алгоритм расчета и обращения эллиптических функций Вейерштрасса с

вещественными инвариантами.

Далее рассматриваются динамические эволюционные характеристики элементов орбит. Получены явные выражения для экстремальных (предельных) значений элементов aJf eJf 5 орбит Pj (J=1,2). Определяются периоды изменения больших полуосей, а также периоды основных гармоник эксцентриситетов и взаимной наклонности орбит гравитирунцих тел. В общем случае е^ (./=1,2) и о имеют апериодический характер изменения во времени. Движение линий узлов и апсид орбит Pj (J=l,2) имеет вековой характер, на который накладывается периодическая составляющая с периодом, равным вещественному периоду р-функции Вейерштрасса. В зависимости от начальных условий движения линий узлов и апсид орбит Pj (/=1,2) могут быть как прямыми, так и обратными (попятными). В окрестности точной соизмеримости движение линии апсид замедляется.

В последнем параграфе данной главы рассматривается эволюция системы пассивно гравигирующих частиц (в поле сжатого сфероида и возмущающего тела), обладающих в начальный момент времени невозмущенными (круговыми) орбитами и равномерным распределением по большим полуосям ЛГ(а):. Начальное распределение средней плотности частиц изменяется с течением времени в соответствии с различиями значений орбитальных элементов гравитирущих частиц. Исследования проводятся в рамках как бесстолкновительной модели (низкая средняя плотность частиц), так и в предположении высокой средней объемной плотности частиц.

В рамках бесстолкновительной модели показано, что для произвольного момента времени существует, по меньшей мере, два экстремальных значения (максимум и минимум) плотности распреде-

ления (а), что свидетельствует о некотором устойчивом характере распределения Я4(а). Этот факт может качественно объяснить наблюдаемые зоны пониженной плотности в кольцах планет.

В случае, когда средняя объемная плотность рассматриваемой совокупности частиц настолько велика, что происходят их постоянные столкновения, по истечении определенного времени, зависящего от плотности частиц и амплитуды резонансного эффекта, частицы должны покинуть резонансную область Аа « Ур.

В двух . заключительных главах полученные аналитические результаты применяются к конкретным объектам Солнечной системы.

В шестой главе интерпретированы основные особенности орбитальной эволюции резонансных спутниковых систем: Гиперион-Титан (соизмеримость 3:4), Энцелад-Диона (соизмеримость 2:1). Исследовано влияние чисто гравитационных эффектов на формирование "щели Кассини", что стало особенно актуальным после пролетов космических аппаратов мимо кольца Сатурна, когда получили достаточно широкое развитие негравитационные механизмы объяснения его структуры.

В рамках рассматриваемого представления о локальности резонансного взаимодействия возмущающего спутника (Мимаса) со средой гравитационно-активных частиц, в которой их коллективными взаимодействиями (давление, самогравитация и т.п.) можно пренебречь, удалось установить, что гравитационные эффекты, обусловленные орбитальной соизмеримостью в задаче трех тел, качественно позволяют интерпретировать наличие делений в структуре кольца Сатурна и, в частности, деления Кассини.

В двух последних разделах главы рассмотрена орбитальная

эволюция больших планет Солнечной оиотемы: Уран-Нептун (ооизме-римость 2:1) и эволюция орбиты Плутона в системе Солнце-Нептун-Плутон (соизмеримость 3:2). В частности, было установлено, что траектория системы Уран-Нептун на фазовой плоскости находится в окрестности устойчивой стационарной точки и имеет циркуляционный характер изменения. В системе существует основной период Г=1.102'10б лет. Вековые возмущения от Юпитера и Сатурна приводят к ощутимому росту вековых членов в аргументах перицентров орбит Урана и Нептуна.

Траектория орбиты Плутона на фазовой плоскости также располагается вблизи устойчивой стационарной точки, но характеризуется либрационным типом (амплитуда либрации -80°). Период либрации составляет Г=19883.64 лет.

В седьмой главе проведено исследование динамической эволюции астероидов, обладающих орбитальной соизмеримостью первого порядка с Юпитером (группа Гильды, Туле), а также астероидов, движущихся в резонансе с Марсом (при этом учитывались вековые возмущения от Юпитера). Предложен критерий обнаружения либраци-онных астероидов.

Вблизи резонансных зон (когда существенно увеличивается "скорость орбитальной эволюции") всегда наблюдается область "пониженной плотности" (люк). Однако в этих зонах могут сохраняться (образуя "сгущения") либрационные орбиты, близкие к устойчивым стационарным решениям.

В поясе астероидов в области от 3.8 до 4.3 а.е. (вблизи соизмеримостей с Юпитером 3/2 и 4/3) сохраняются только либрационные устойчивые астероиды группы Гильды и Туле. Их устойчивость

обуславливается отсутствием "сближений" (существованием нижней границы расстояния Шитер - либрационный астероид). Для линдбла-довских резонансов более высоких порядков (5:4, 6:5, ...) проявляется "эффект перекрытия" резонансных зон, приводящий к возникновению стохастической неустойчивости орбит астероидов.

Получены основные динамические характеристики эволюции орбит плоской составляющей группы Гильда, а также малой планеты Туле. Большая часть исследуемых астероидов группы Гильда сосредоточена вблизи устойчивого стационарного решения, что и обеспечивает их "выживание".

Качественно интерпретированы особенности статистического распределения астероидов, связанных орбитальной соизмеримостью первого порядка с Марсом. Рассмотрена проблема существования областей разрежения (люков), асимметрия распределения астероидов по большим полуосям (средним движениям) и эксцентриситетам. Вычислены основные динамические параметры эволюции орбит некоторых астероидов, находящихся в соизмеримости 1:2 с Ыарсом. Установлено, что все рассматриваемые астероиды находятся в областях устойчивого типа движений.

И, наконец, в последнем параграфе данной главы определены области средних движений, в которых возможно существование либрационных астероидов за'орбитой Юпитера.

В заключении приведены основные результаты работы.

На защиту выносятся следующие положения.

1. Построение для линдбладовских резонансов аналитической теории динамической эволюции гравитирупцих тел в рамках планетного варианта задачи трех тел с учетом сжатия центрального тела

и возмущений от "Я-тел".

2. Интегрирование и проведение качественных исследований движений ограниченной эллиптической задачи трех тел для соизме-римостей первого порядка, учитывающие возмущения, обусловленные несферичностью центрального тела, и вековые возмущения от "№-тел".

3. Приложение построенной теории к интерпретации основных особенностей динамической эволюции больших планет Солнечной системы: Уран-Нептун, Плутон (система Нептун-Плутон), а также спутников Сатурна: Энцелад-Диона, Гиперион (система Титан-Гиперион).

4. Установление роли резонансных гравитационных эффектов в формировании "щели Кассини" в кольце Сатурна.

5. Исследование эволюции орбит плоской составляющей группы Гильды, малой планеты Туле, а также качественная интерпретация особенностей статистического распределения астероидов, обладающих орбитальной соизмеримостью первого порядка с Марсом.

Научная новизна работы состоит в том, что все вышеперечисленные результаты впервые получены автором.

Публикации и личный вклад автора. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в следующих работах.

1. Резонансные движения частиц кольца сжатой планеты// Вестн. Моск. ун-та. Физ., астрон. 1990. Т.31. * 1. С.54-61 (соавтор И.А.Герасимов).

2. Эволюция орбит астероидов в случае соизмеримостей первого порядка. Внешний вариант задачи// Астрон.журнал. 1990. Т.67. Вып.4. С.875-884 (соавтор И.А.Герасимов).

3. О резонансных явлениях в кольцах планет// Сборник науч-

ных трудов. Процессы управления в механических системах. М.: МФТИ. 1990. 0.87-90 (соавтор И.А.Герасимов).

4. Об устойчивости орбиты Гипериона// Астрон. циркуляр. 1990. Л 1545. 0.29-30.

5. Вычисление и обращение р-функции Вейерштрасса в предельных случаях// Труды гос. астрон. ин-та им.П.К.Штернберга. М.: Изд-во Моск. ун-та. 1991. Т.62. 0.84-90 (соавтор И.А.Герасимов).

6. Эволюция орбиты Гипериона// Астрон. журнал. 1991. Т.68. Вып.2. 0.411-418 (соавтор И.А.Герасимов).

7. Влияние сжатия центрального тела на движение линии апсид в задаче трех тел//Астрон.журнал.1991. Т.28. Вып.6. 0.1328-1331.

8. Условие соизмеримости в ограниченной задаче трех тел// Сборник научных трудов. Прикладная механика и процессы управления. М.: МФТИ. 1991. 0.47-51 (соавтор И.А.Герасимов).

9. Об эволюции орбит астероидов, находящихся в орбитальной соизмеримости с Марсом// Астрон. вестник. 1992. Т.26. Л 4. С.32-38 (соавтор И.А.Герасимов).

10. Некоторые вопросы динамической эволюции малых тел Солнечной системы// Препринт МО ГАИШ. А 27. М., 1992. 19 с. (соавтор И.А.Герасимов).

11. Существование резонансных астероидов за орбитой Юпитера// Сборник научных трудов. Прикладная механика и математика. М.: МФТИ. 1992. С.42-47 (соавтор И.А.Герасимов).

12. Гравитационный механизм возникновения делений в кольце Сатурна// Астрон.вестник. 1992. Т.26. * 5. 0.14-23 (соавтор

И.А.Герасимов).

13. Аналитическое решение эллиптической ограниченной задачи

трех тел// Астрон.вестник. 1994. Т.28. * 3. С.100-106 (соавтор

Н

И.А.Герасимов).

14. Эволюция орбитальных элементов в ограниченной эллиптической задаче трех тел при соизмеримости первого порядка// Астрой.вестник.1ЭЭ4. Т.28. Х4-5. 0.178-185 (соавтор И.А.Герасимов).

15. Эволюция орбит в ограниченной резонансной задаче трех тел при учете сжатия центрального тела// Астрон.вестник. 1994. Т.28. * 4-5. 0.172-177 (соавтор И.А.Герасимов).

16. Качественные исследования движений в ограниченной эллиптической задаче трех тел при соизмеримости первого порядка// Астрон.вестник. 1994. Т.28. * 4-5.' 0.186-200 (соавторы И.А.Герасимов, Н.В.Ракитина).

17. Разложение возмущающей функции в схеме осреднения Н.Ф.Рейн// Космич. исследования. 1994. Т.32. * 1. 0.149-151 (соавторы И.А.Герасимов, Ли Зун Фен).

18. О кратности резонанса в задаче трех тел// Космич. исследования. 1995. Т.33. *1. 0.109-110 (соавтор И.А.Герасимов).

19. Исследование динамических характеристик орбит в задаче трех тел при резонансах первого порядка// Астрон.вестник. 1995. Т.29. * 1. С.58-66 (соавтор И.А.Герасимов).

20. Аналитическое решение обобщенной задачи трех тел при соизмеримости первого порядка// Астрон.вестник. 1995. Т.29. * 1. С.67-71 (соавтор И.А.Герасимов).

21. О существовании либрационных астероидов за орбитой Юпитера// Космич. исследования. 1995. Т.33. * 3. 0.317-320 (соавтор И.А.Герасимов).

22. Частные аналитические решения в задаче трех тел при соизмеримости первого порядка// Астрон. вестник. 1996. Т.ЗО. *1. 0.1-5 (соавтор И.А.Герасимов).

23. Аналитическое решение для двухчастотной резонансной системы первого порядка в задаче трех тел// Астрон. вестник. 1995. Т.29. * 1 0.47-57.

24. Эволюция системы Уран-Нептун// Астрон. вестник. 1995. Т.29. * 4. 0.375-384.

25. Исследование стационарных решений ограниченной эллиптической задачи трех тел при резонансах первого порядка// Космич. исследования. 1995. Т.33. Л 5. 0.474-478 (соавторы И.А.Герасимов, Н.В.Ракитина).

26. Эволюция орбиты Плутона в системе Солнце-Нептун-Плутон// Астрон.вестник. 1996. Т.30. * 2. 6 с. (соавтор И.А.Герасимов).

27. Аналитическая теория эволюции орбиты астероида Туле (279)// Астрон.вестник. 1996. Т.30. * 2."6 с. (соавтор И.А.Герасимов).

28. Эволюция орбит системы спутников Сатурна Энцелада и Дионы// Астрон.вестник. 1996. Т.30. * 3. 14 с. (соавтор И.А.Герасимов).

29. Эволюция орбит астероидов плоской составляющей группы Гильды// Астрон.вестник. 1996. Т.30. * 3. 6с. (соавтор Н.В.Ракитина).

В работах [1, 2, 6,':,9-22, 26-281 личный вклад автора заключается в получении аналитических результатов, их интерпретации, а также в проведении численных расчетов на ЭВМ. В [3, 8, 25, 29] - в постановке задачи и ее обсуждении. В работе [5] автору принадлежит разработка алгоритма вычислений.