Резонансные и нерезонансные колебания в задачах динамики механических систем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ЧАСТЬ 1.

НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ГАМИЛЬТОНОВЫХ И БЛИЗКИХ К ГАМИЛЬТОНОВЫМ СИСТЕМ ПРИ РЕЗОНАНСАХ

Глава 1.

Резонансные колебания и устойчивость в системах с одной степенью свободы

§1. Резонанс в вынужденных колебаниях в гамильтоновой и близкой к гамильтоновой системах

1.1. Преобразование гамильтониана

1.2. Анализ модельной системы при S =

1.3. Модельная система в случае 5 Ф

1.4. О нелинейных колебаниях полной системы

§2. Параметрический резонанс в гамильтоновой системе

2.1. Преобразование гамильтониана

2.2. Анализ модельной системы

2.3. Движения полной системы

2.4. Оценка ширины стохастического слоя

§3. Случай резонанса третьего порядка

3.1. Преобразование гамильтониана

3.2. Анализ модельной системы

3.3. О нелинейных колебаниях полной системы

§4. Случай резонанса четвертого порядка

4.1. Преобразование гамильтониана

4.2. Анализ модельной системы при <5 =

4.3. Модельная система в случае 5 Ф

4.4. О нелинейных колебаниях полной системы

Глава 2.

Нелинейные колебания гамильтоновых систем с двумя степенями свободы при резонансах

§1. Периодические движения неавтономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы при параметрическом резонансе основного типа

1.1. Постановка задачи. Преобразование гамильтониана

1.2. Периодические движения системы

§2. Нелинейные колебания автономной гамильтоновой системы, близкой к системе с циклической координатой, при внутреннем резонансе

2.1. Постановка задачи. Преобразование гамильтониана

2.2. Периодические движения системы

2.3. Условно-периодические движения системы

ЧАСТЬ 2.

РЕЗОНАНСНЫЕ И НЕРЕЗОНАНСНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ В ЗАДАЧАХ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

Глава 3.

Некоторые задачи о движении маятника с вибрирующей точкой подвеса

§1. Движения маятника при горизонтальных колебаниях точки подвеса

1.1. Постановка задачи

1.2. Расщепление сепаратрис и неинтегрируемость уравнения (1.1)

1.3. Периодические движения, рождающиеся из устойчивых положений равновесия

1.4. Решения, рождающиеся из неустойчивых положений равновесия

1.5. Периодические движения, рождающиеся из колебаний и вращений, и их устойчивость

§2. Высокочастотные периодические движения маятника при быстрых вибрациях точки подвеса

2.1. Постановка задачи. Преобразование гамильтониана

2.2. Положения равновесия системы с укороченным гамильтонианом

2.3. Существование и устойчивость 27г-периодических движений маятника

Глава 4.

Динамика волчка Лагранжа с вибрирующей точкой подвеса

§1. Уравнения движения

§2. Динамика волчка при колебаниях точки подвеса малой амплитуды

2.1. Постановка задачи. Преобразование гамильтониана

2.2. Нормализация невозмущенного гамильтониана

2.3. Периодические движения волчка при резонансе в вынужденных колебаниях

2.4. Нерезонансные периодические движения

§3. Высокочастотные периодические движения, близкие к регулярным прецессиям

3.1. Постановка задачи. Уравнения движения

3.2. Случай \а'\ф\/3'\

3.3. Случай а' —

3.4. Случай а' =-/3'

§4. "Спящий" волчок Лагранжа с вибрирующей точкой подвеса

4.1. Постановка задачи

4.2. Устойчивость в линейном приближении

4.3. Анализ устойчивости в областях дп. Нерезонансный случай

4.4. Устойчивость на кривых резонанса четвертого порядка

4.5. Исследование устойчивости на граничных кривых

4.6. Сравнение с классическим результатом

Глава 5.

Некоторые задачи о движении тел, контактирующих с неподвижной поверхностью

§1. Периодические движения тела с острием на гладкой плоскости при внутреннем резонансе

1.1. Постановка задачи

1.2. Случай г = 0. Регулярная прецессия тела

1.3. Преобразование возмущенного гамильтониана

1.4. Условия существования резонансов

1.5. Периодические движения тела

§2. Об устойчивости двухзвенной периодической траектории тяжелой материальной точки внутри окружности

§3. Периодические движения точки над эллиптической кривой при резонансе четвертого порядка

ЧАСТЬ 3. РЕЗОНАНСНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ В ЗАДАЧАХ НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ

Глава 6.

Резонансные задачи динамики спутника в центральном ньютоновском гравитационном поле

§1. Плоские резонансные колебания спутника на эллиптической орбите

1.1. Постановка задачи

1.2. Случай параметрического резонанса

1.3. Случай резонанса третьего порядка

1.4. Случай резонанса четвертого порядка

§2. Резонансные движения спутника в геомагнитном поле

2.1. Постановка задачи

2.2. Преобразование гамильтониана

2.3. Периодические движения спутника и их устойчивость

§3. Периодические движения динамически симметричного спутника, близкие к цилиндрической прецессии

3.1. Постановка задачи

3.2. Случай /5 =

3.3. Случай ар =

§4. Периодические движения близкого к динамически симметричному спутника в окрестности конической прецессии

4.1. Постановка задачи

4.2. Преобразование гамильтониана

4.3. Периодические движения спутника в случае отсутствия внутреннего резонанса

4.4. Периодические движения спутника при внутреннем резонансе

Глава 7.

Периодические движения в ограниченной задаче трех тел при резонансах

§1. Периодические движения вблизи треугольных точек либрации плоской эллиптической ограниченной задачи трех тел

Диссертации посвящена исследованию нелинейных колебаний периодических по времени или автономных гамильтоновых систем при наличии резонансов и приложению полученных результатов к задачам классической и небесной механики. Рассматривается также ряд нерезонансных задач теории нелинейных колебаний и устойчивости.

Исследование движений механических систем при резонансах является актуальным направлением в теории нелинейных колебаний, теории устойчивости, в задачах классической и небесной механики. Этой проблеме посвящены многочисленные работы отечественных и зарубежных авторов.

Начало современным методам исследования нелинейных систем положили фундаментальные работы А.М.Ляпунова и А.Пуанкаре [116, 185].

А.М.Ляпунов [116] впервые в самой общей постановке рассмотрел задачу об устойчивости движения механической системы и разработал строгие и эффективные методы ее решения. Идеи Ляпунова были развиты его учениками и последователями, в основном, в нашей стране (см., например, монографии [49, 88, 89, 105, 121, 161, 259]).

А.Пуанкаре [185] разработал теорию периодических решений систем дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр. Первоначально метод Пуанкаре был предложен для задач небесной механики, позднее он был подробно разработан для аналитических систем общего вида [119, 120, 184, 236, 254].

Принципиальный вклад в развитие математических методов классической механики внесли А.Н.Колмогоров, В.И.Арнольд, Ю.Мозер [10, 11, 14, 100, 164], создав теорию возмущений условно-периодических движений гамильтоновых и родственных им систем (КАМ-теорию).

Использование методов КАМ-теории позволило сделать значительный шаг вперед в разработке теории устойчивости гамильтоновых систем, являющихся основными в классической механике. Для нерезонансных случаев вопрос об устойчивости периодических по времени гамильтоновых систем с одной степенью свободы и автономных систем с двумя степенями свободы решается на основании теоремы Арнольда—Мозера [11, 164]. Для многомерных систем получены [11, 13] результаты по устойчивости для большинства (в смысле меры Лебега) начальных условий; показано, что неустойчивость может обнаружиться только на множестве траекторий малой меры (диффузия Арнольда [12, 14, 71]). Исследована [42, 172, 305, 339] формальная устойчивость, когда движения системы остаются ограниченными на весьма большом, но конечном интервале времени.

В книгах [99, 232] изложена теория интегрирования систем Гамильтона, обсуждаются причины неинтегрируемого поведения таких систем, дается анализ стохастического слоя в системах, близких к интегрируемым.

Наиболее интересными для теории и приложений являются резонансные случаи, когда между частотами системы имеются целочисленные соотношения. Резонансные задачи существенно отличаются от нерезонансных: например, наличие резонансов может сделать устойчивую в линейном приближении систему неустойчивой при добавлении нелинейных членов.

Первые нестрогие исследования влияния резонансов на устойчивость гамильто-новых систем были проведены в работах [277-279, 328]. Некоторые частные случаи неустойчивости периодических по времени гамильтоновых систем с одной степенью свободы при резонансах изучены в работах [73, 85, 162, 163, 169, 332].

Строгие результаты устойчивости для неавтономных гамильтоновых систем с одной степенью свободы при резонансах третьего, четвертого и высших порядков получены в статье [127]. Устойчивость автономных гамильтоновых систем с двумя степенями свободы при резонансах третьего и четвертого порядков исследована в работах [125-127, 147], а также другими способами в работах [235] и [128]. Случаи неустойчивости многомерных неавтономных гамильтоновых систем при резонансах третьего и четвертого порядков рассмотрены в работе [128]. Резонансы первого и второго порядков в автономных и неавтономных гамильтоновых системах с двумя степенями свободы изучены в статьях [92, 216, 218, 220] и [78, 79].

Изложение результатов исследований устойчивости гамильтоновых систем содержится в монографии [130] и обзорах [107, 148]. В работе [107] дается также обзор результатов исследования систем общего вида при резонансах.

Технически исследование гамильтоновых систем осуществляется путем проведения последовательности канонических замен переменных, приводящих функцию Гамильтона к максимально простому виду (нормальной форме) с учетом специфики задачи. Метод нормальных форм предложен впервые Пуанкаре [341] и к настоящему времени хорошо разработан [43]. Созданы [78, 79, 130, 218] алгоритмы нормализации квадратичной части гамильтониана. Нелинейная нормализация проводится либо при помощи классического преобразования Биркгофа [36], либо при помощи более удобного с точки зрения создания вычислительного алгоритма метода Депри — Хори [60, 130, 293, 318]. В ряде случаев при нормализации периодических по времени гамильтоновых систем используется метод точечных отображений [130]. Изучение свойств коэффициентов нормальной формы функции Гамильтона позволяет сделать выводы об устойчивости или неустойчивости гамильтоновой системы.

Следующим шагом в развитии теории гамильтоновых систем при наличии резонансов является исследование поведения таких систем не в бесконечно малой, а в конечной окрестности изучаемого движения (положения равновесия или периодического движения); при этом необходимо рассматривать как случаи точного резонанса, так и близкие к резонансным случаи. Возникают задачи о существовании в указанной конечной окрестности периодических движений системы и их устойчивости, о характере и частотах условно-периодических движений. В случае неустойчивости гамильтоновой системы весьма актуальным является вопрос об ограниченности ее траекторий, а также существование траекторий, асимптотических к неустойчивому движению, и исследование стохастического слоя в их окрестности. Актуальным (особенно в задачах небесной механики) является распространение результатов исследования на бесконечный интервал времени.

Разработке такой теории нелинейных колебаний в ряде резонансных и близких к резонансным случаев движения гамильтоновых систем с одной и двумя степенями свободы посвящена первая, теоретическая часть диссертации.

Первым этапом является рассмотрение перечисленных проблем для периодических по времени гамильтоновых систем с одной степенью свободы.

Следует отметить, что к настоящему времени существуют и давно известны исследования конкретных механических систем с одной степенью свободы в резонансных и близких к резонансным случаях. Наибольшее число из них связано с изучением резонансных движений малых планет в плоской ограниченной задаче трех тел (см., например, работы [44, 51, 298, 313, 335, 344, 355] по соизмеримости первого порядка и работы [44, 52, 283, 315, 331] по соизмеримостям второго и высших порядков). Имеются работы по динамике маятника при вертикальных гармонических колебаниях точки подвеса в случае параметрического резонанса [225, 362] и при горизонтальных колебаниях точки подвеса в случае резонанса в вынужденных колебаниях [175, 320, 361].

В этих и аналогичных работах исследование резонансной задачи ограничивается рассмотрением приближенной (модельной) системы: строятся фазовые портреты, дается классификация траекторий, рассматриваются положения равновесия и их устойчивость и т.п. Наиболее полный перечень фазовых портретов при резонансах в плоской ограниченной задаче трех тел приводится в книге [44]. В ряде работ (например, в [361]) решение уравнения движения строится методом последовательных приближений в виде ряда и отыскивается несколько первых его членов.

Одной из целей диссертации является обобщение полученных ранее результатов исследования конкретных задач классической и небесной механики и построение теории нелинейных колебаний произвольной периодической по времени гамильтоновой системы с одной степенью свободы при резонансах. Рассмотрены случаи, близкие к резонансу в вынужденных колебаниях, резонансам третьего и четвертого порядков, а также случай точного параметрического резонанса.

Показано, что построенные ранее для конкретных задач модельные гамильтонианы и фазовые портреты при резонансах имеют универсальный вид для любой гамильтонойвой системы с одной степенью свободы при соответствующем резонансе. Проведен детальный анализ модельных гамильтонианов. При помощи теории периодических движений Пуанкаре и КАМ-теории его результаты перенесены на полную систему: получены строгие выводы о существовании, бифуркациях и устойчивости периодических движений полной системы, исследованы условно-периодические движения, дана оценка области ограниченности движений. Для случая точного параметрического резонанса получена оценка ширины стохастического слоя в окрестности асимптотических движений.

В работах [138], [137], [135] и [141] аналогичные вопросы решены соответственно для случая, близкого к параметрическому резонансу, для границы области параметрического резонанса, для точного резонанса третьего порядка и критического случая резонанса четвертого порядка.

В статьях [142, 143, 145, 146, 150] для ряда резонансных случаев исследуются нелинейные колебания и устойчивость автономных гамильтоновых систем с двумя степенями свободы.

Решению задач о существовании движений, асимптотических к неустойчивому положению равновесия или периодическому движению гамильтоновых систем с одной и двумя степенями свободы в резонансных случаях, посвящены работы [17, 132, 133, 163].

В диссертации рассмотрен также вопрос о влиянии малых диссипативных сил на число и устойчивость периодических движений близкой к гамильтоновой системы с одной степенью свободы в случае резонанса в вынужденных колебаниях и резонанса четвертого порядка. Случай резонанса третьего порядка в близкой к гамильтоновой системе исследован в статье [136].

Полученные результаты дают не только теоретическую базу, но и содержат эффективные алгоритмы, которые могут быть использованы при исследовании конкретных задач при соответствующем резонансе. Во второй и третьей частях диссертации в качестве приложений рассмотрены резонансные задачи о движении маятника и волчка Лагранжа с колеблющимися точками подвеса, движении материальной точки над неподвижной поверхностью, а также ряд резонансных задач динамики спутника относительно центра масс.

Исследования нелинейных резонансных колебаний гамильтоновых систем с одной степенью свободы составляют основу при переходе к изучению гамильтоновых систем с двумя и большим числом степеней свободы при резонансах.

В диссертации дается строгое решение вопроса о существовании, числе и устойчивости периодических движений близкой к автономной периодической по времени гамильтоновой системы с двумя степенями свободы при параметрическом резонансе основного типа. Полученные результаты применены к исследованию периодических движений в окрестности треугольных точек либрации плоской эллиптической задачи трех тел и периодических движений динамически симметричного спутника в окрестности его цилиндрической прецессии на слабоэллиптической орбите при указанном резонансе.

Одна из глав диссертации посвящена исследованию движения автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы, близкой к системе с циклической координатой. Предполагается, что в порождающей системе имеется стационарное вращение и отвечающее ему положение равновесия приведенной системы устойчиво в линейном приближении. При этом в системе имеет место внутренний резонанс, когда отношение собственной частоты малых колебаний приведенной системы к частоте изменения циклической координаты близко к целому числу.

Показано, что наличие описанного резонанса между частотами системы вызывает резонанс в вынужденных колебаниях для позиционной координаты. Эти резонансные колебания обеспечиваются внутренними силами системы, так как для автономной системы полная энергия сохраняется и нет "подкачки" энергии извне. При изучении свойств данной системы использованы результаты исследования гамильтоновых систем с одной степенью свободы при резонансе в вынужденных колебаниях, а также метод малого параметра Пуанкаре и КАМ-теория. Построены семейства периодических движений исходной системы с двумя степенями свободы с частотой, близкой к частоте изменения циклической координаты, исследована их бифуркация и устойчивость; изучены условно-периодические движения системы.

Ранее системы с циклическими и квазициклическими координатами рассматривались в работах [89, 180, 181, 189-193, 195]: исследованы вопросы устойчивости стационарных движений, влияние на устойчивость потенциальных, гироскопических, диссипативных сил, наложенных на систему и т.п. Некоторые вопросы построения приближенных уравнений квазистационарных движений механических систем, близких к системам с циклическими координатами, обсуждаются в работе [202].

Полученные результаты исследования периодических движений автономных систем, близких к системам с циклическими координатами, при внутреннем резонансе применены в диссертации при решении следующих задач: 1) задачи о близких к регулярной прецессии периодических движениях тяжелого твердого тела по неподвижной абсолютно гладкой горизонтальной плоскости; 2) плоской круговой ограниченной задачи трех тел при построении периодических движений, рождающихся из круговых движений невозмущенной задачи; 3) задачи о периодических движениях близкого к динамически симметричному спутника, рождающихся из его конической прецессии на круговой орбите. В последней из перечисленных задач результаты теории периодических движений автономных гамильтоновых систем с двумя степенями свободы при внутреннем резонансе обобщены на случай автономной системы с тремя степенями свободы.

Вторая часть диссертации посвящена исследованию резонансных и нерезонансных нелинейных колебаний и устойчивости в ряде задач классической механики, среди которых задачи динамики маятника и волчка Лагранжа с колеблющейся точкой подвеса, а также задачи о движении тел, контактирующих с неподвижной поверхностью.

Динамика маятника с колеблющейся точкой подвеса является предметом множества исследований.

В 1908 г. А.Стефенсон [360] показал, что перевернутое неустойчивое положение равновесия маятника может стать устойчивым в случае высокочастотных вибраций точки подвеса. Эта работа послужила толчком для целого ряда исследований , как зарубежных, так и отечественных авторов, по повышению динамической устойчивости механических систем под воздействием высокочастотных возмущений.

В работах [15, 86, 87, 111, 294, 317, 327] изучаются различные (линейные и нелинейные) аспекты движения математического маятника при высокочастотных гармонических колебаниях точки подвеса малой амплитуды. Рассматриваются движения точки подвеса вдоль произвольной наклонной оси [15, 317, 327], по вертикали [86, 87, 294], горизонтали [111], при наличии демпфирования [15]. Важный вклад в развитие этой задачи внес П.Л.Капица [86, 87], который рассмотрел физические аспекты проблемы, а также получил условия устойчивости верхнего положения маятника.

Условия устойчивости верхнего положения физического маятника при быстрых вертикальных вибрациях точки подвеса получены в работе [37]. В монографии [104] исследована возможность стабилизации верхнего положения равновесия математического маятника при помощи условно-периодических колебаний точки подвеса. В книге [225] рассмотрена стабилизация маятника или системы маятников при периодических и условно-периодических вибрациях точки подвеса по вертикали, вдоль наклонной прямой, по эллипсу.

В статье [5] изучается маятник при высокочастотном квазипериодическом параметрическом возмущении. В качестве возмущения взяты кинематическое возбуждение с помощью вибрации точки подвеса и параметрическое возбуждение посредством изменения длины маятника. Устойчивость положений равновесия математического маятника, маятника переменной длины, упругого маятника при быстрых вибрациях точки подвеса и наличии случайного возмущения изучена в статьях [93, 95].

В статье [4] исследуются резонансные вращательные движения плоской системы из N связанных математических маятников, точки подвеса которых совершают высокочастотные колебания вдоль наклонных прямых, при этом частоты колебаний соизмеримы. В работе [271] изучается вопрос о стабилизации верхнего положения равновесия n-звенного маятника.

В большинстве перечисленных работ исследование движения маятника проводится при помощи асимптотических методов. Рассматривается приближенная система уравнений, полученная при помощи метода усреднения, отыскиваются ее стационарные точки ("квазиравновесия" маятника) и исследуется их устойчивость.

В книге [120] на основании теории периодических движений Пуанкаре дается строгое доказательство существования высокочастотных (с периодом, равным периоду колебаний точки подвеса) движений математического маятника при вибрациях точки подвеса вдоль наклонной прямой. Исследована устойчивость таких движений в линейном приближении.

В диссертации иным путем, чем в [120], доказано существование высокочастотных периодических движений маятника при косых вибрациях точки подвеса и предложен эффективный алгоритм их построения. Проведен строгий нелинейный анализ устойчивости этих движений.

Другое направление исследований динамики маятников относится к случаю соизмеримости частоты колебаний точки подвеса с частотой собственных малых колебаний маятника. Субгармонические колебания маятника, когда частота колебаний точки подвеса кратна собственной частоте малых колебаний, исследовались в работах [284, 359, 362, 363] в случае вертикальных и в работах [262, 361, 364] в случае горизонтальных колебаний точки подвеса. В этих работах решения уравнения движения маятника строятся в виде ряда при помощи метода последовательных приближений. Аналитически и численно симметричные субгармонические колебания маятника получены в статье [76].

Субгармонические колебания маятника при вертикальных колебаниях точки подвеса в случае, когда удвоенная частота собственных колебаний маятника близка к частоте колебаний точки подвеса, исследована в работе [139]. При помощи методов Ляпунова и Пуанкаре дано строгое решение задачи о существовании и устойчивости колебаний маятника с периодом, равным удвоенному периоду колебаний точки подвеса.

В статье [50] для случая периодических колебаний точки подвеса маятника по эллипсу рассмотрен случай, когда частота собственных колебаний и вращений маятника близка к (r/s)u, где и — частота колебаний точки подвеса, г и s — взаимно простые числа. Для усредненных уравнений найдены стационарные режимы, исследована их устойчивость в линейном приближении.

В работах [320, 361] исследован случай резонанса в вынужденных колебаниях, когда частота собственных малых колебаний маятника близка к частоте горизонтальных гармонических колебаний точки подвеса. Установлен факт существования одного или трех решений приближенного уравнения движения маятника, исследована [320] их устойчивость в линейном приближении.

Кривая ветвления и периодические решения на ней в задаче о движении маятника с горизонтальными колебаниями точки подвеса в случае резонанса в вынужденных колебаниях построены в статье [19].

В диссертации подробно исследуется уравнение движения маятника, точка подвеса которого совершает горизонтальные гармонические колебания малой амплитуды. Доказывается неинтегрируемость уравнения движения маятника; изучены периодические движения, рождающиеся из устойчивого и неустойчивого положений равновесия маятника, а также из его колебаний с произвольной амплитудой и вращений с произвольной средней угловой скоростью.

В ряде работ изучается устойчивость относительных равновесий маятника при вертикальных гармонических колебаниях точки подвеса произвольной частоты и амплитуды. В линейном приближении эта задача решена в работах [118, 223, 224]. Строгое решение задачи об устойчивости нижнего положения равновесия маятника для малых амплитуд колебаний точки подвеса изложено в статье [137]. Достаточное условие неустойчивости перевернутого положения маятника получено в работе [38]. Полное и строгое решение задачи об устойчивости относительных положений равновесия маятника на вертикали дано в статье [20].

В работах [24, 25] аналитическими и численными методами изучаются колебательные и вращательные периодические движения маятника с вертикально колеблющейся осью подвеса, исследуются их бифуркации, области существования и устойчивости (в линейном приближении). В статье [25] изучаются вращательные движения маятника, синхронные с колебаниями его оси, когда за р периодов колебаний оси маятник делает q оборотов.

В статье [72] рассматривается физический маятник при вертикальных колебаниях точки подвеса произвольной частоты и амплитуды. Исследуется вопрос о существовании и устойчивости (в линейном приближении) периодических колебаний маятника (с периодом, равным удвоенному периоду возмущающего воздействия) и его периодических вращений (с периодом, равным периоду возмущения).

В работе [165] дано глобальное качественное исследование уравнения маятника с вертикально колеблющейся точкой подвеса при наличии линейного вязкого трения. Проводится анализ резонансных зон, рассматривается поведение решений в колебательной и вращательной областях, в окрестности сепаратрисы, устанавливаются условия существования квазиаттрактора.

В работах [6, 144, 176, 225, 336] проводится исследование сферического маятника с колеблющейся точкой подвеса. В статье [336] рассматривается случай гармонических колебаний точки подвеса малой амплитуды, когда частота возмущения близка к собственной частоте малых колебаний маятника. Для приближенной системы найдены равновесные точки в случае плоских и пространственных движений маятника, исследована их устойчивость (в линейном приближении).

В книге [225] исследуется динамическая устойчивость верхнего положения равновесия сферического маятника при вертикальных высокочастотных периодических и условно-периодических вибрациях точки подвеса малой амплитуды.

Для случая вертикальных высокочастотных гармонических вибраций точки подвеса малой амплитуды в статье [144] решена задача о существовании, бифуркации и устойчивости высокочастотных колебаний маятника вблизи конических движений, для которых маятник составляет постоянный угол с вертикалью и вращается вокруг нее с постоянной угловой скоростью.

В работе [6] в более общей постановке моделируется динамика сферического маятника, установленного на вертикально вибрирующем основании. Исследование задачи проводится методами теории возмущений. Найдены квазистационарные движения и условия их устойчивости по Ляпунову (для усредненной системы).

Движение сферического маятника при произвольных (в пространстве) высокочастотных вибрациях точки подвеса изучается в статье [176] при помощи метода усреднения. Перечислены точки равновесия усредненной системы и характер их устойчивости.

Естественным развитием исследований динамики маятников с подвижной точкой подвеса являются задачи динамики твердых тел, имеющих подвижную точку закрепления. Одна из таких задач — задача о движении волчка Лагранжа с колеблющейся точкой подвеса.

В 1788 г. Ж.Лагранж во II томе "Аналитической механики" [109] описал свой знаменитый случай интегрируемости твердого тела с неподвижной точкой, когда эллипсоид инерции для неподвижной точки является эллипсоидом вращения, а центр масс находится на оси динамической симметрии.

Регулярные прецессии волчка Лагранжа впервые рассмотрены в работах [351, 366]. В [351] исследована устойчивость регулярной прецессии по отношению к углу нутации; устойчивость по отношению к угловым скоростям прецессии и собственного вращения рассмотрена в статье [215]. Устойчивость другого частного движения волчка Лагранжа — вращения вокруг оси динамической симметрии, расположенной вертикально ("спящий" волчок), исследована в работе [258].

Динамика классического волчка Лагранжа с неподвижной точкой подробно описана во всех классических и современных монографиях по динамике твердого тела (см., напр., [16, 39, 56, 58, 59, 96, 117, 188]).

Исследованию динамики волчка Лагранжа с неподвижной точкой и связанных с ним задач посвящено также значительное количество работ последнего времени.

В статье [227] доказана частотная невырожденность волчка Лагранжа, если его центр масс не совпадает с неподвижной точкой. В работе [91] введены переменные действие—угол для приведенной системы дифференциальных уравнений (с исключенной циклической координатой), описывающей движения волчка Лагранжа. Переменные действие—угол для полной системы введены в статье [1].

В работах [21, 22, 47, 48, 64, 65, 160, 167, 201, 212] исследуются движения возмущенного волчка Лагранжа. Показана [201] неинтегрируемость возмущенного случая Лагранжа при малом смещении центра масс с оси динамической симметрии.

В статьях [47, 48] методом малого параметра Пуанкаре исследуются периодические решения приведенной системы, отвечающей твердому телу с неподвижной точкой и с распределением масс, близким к случаю Лагранжа. При тех же условиях, но для полной системы, в работе [212] методом Пуанкаре доказывается существование семейств периодических решений, которые представляются в виде рядов по степеням малого параметра и близки к периодическим решениям невозмущенной задачи.

В работах [64, 65] для симметричного и близкого к симметричному твердого тела с центром масс, не лежащим на оси симметрии, исследуется задача о продолжении по малому параметру семейства периодических решений, соответствующих равномерным вращениям вокруг оси симметрии в случае Лагранжа.

В статье [160] изучается эволюция регулярных прецессий твердого тела, близкого к волчку Лагранжа, в нерезонансном случае. В работе [21] при помощи метода Пуанкаре исследуются несколько семейств периодических и условно-периодических движений близкого к осесимметричному тела с точкой закрепления вблизи центра масс. В статье [22] рассматриваются эволюционные свойства возмущенного движения динамически симметричного тела вокруг закрепленной точки в случае, когда частоты невозмущенного эйлерова движения характеризуются соизмеримостью 1:1.

В статье [167] при помощи метода теории возмущений Хори исследуется движение тяжелого твердого тела с закрепленной точкой, распределение масс в котором мало отличается от случая Лагранжа, а центр масс расположен достаточно близко к закрепленной точке. Проводится анализ решений усредненных уравнений в нерезонансном случае.

Ряд исследований посвящен движениям волчка Лагранжа с неподвижной точкой под действием внешних возмущающих сил и моментов различной природы. В статьях [177, 178] изучаются периодические движения волчка Лагранжа или тела, близкого к волчку Лагранжа, в случаях ньютоновского поля тяготения или суперпозиции однородного и ньютоновского полей тяготения. В работе [35] исследуется аналог случая Лагранжа в ньютоновском поле сил в предположении, что проекция угловой скорости на подвижную ось динамической симметрии равна нулю. В статье [8] рассматривается движение волчка Лагранжа в поле сил, зависящем от косинуса угла нутации. Найдены необходимые и достаточные условия устойчивости перманентных вращений волчка вокруг оси, произвольно расположенной в теле. В работе [179] исследуется влияние на возникновение и устойчивость стационарных движений гироскопа Лагранжа переменного по направлению поля сил.

В работах [2, 102] проведена аналогия между возмущенной задачей о волчке Лагранжа в случае малых потенциальных возмущений и задачей о вращении спутника с сильным магнитом, взаимодействующим с магнитным полем Земли, когда центр масс спутника движется по круговой экваториальной орбите.

В работах [90, 110] исследуется влияние диссипативных и постоянных моментов на вид и устойчивость стационарных движений волчка Лагранжа; найдено однопара-метрическое семейство регулярных прецессий волчка и исследована их устойчивость. В статьях [200, 358] изучается асимптотическое поведение движений гироскопа Лагранжа, близких к регулярной прецессии, под действием малого постоянного момента и при наличии полости, заполненной жидкостью большой вязкости. Исследовано влияние малых возмущений, обусловленных нарушением динамической симметрии и наличием линейного диссипативного момента.

В диссертации [113] (см. там же библиографию работ автора) рассмотрены возмущенные движения твердого тела, близкие к регулярным прецессиям в случае Лагранжа. При помощи метода усреднения исследованы механические модели возмущений, отвечающие 1) случаю тела, заполненного жидкостью большой вязкости; 2) линейному внешнему диссипативному моменту; 3) случаю малого момента, постоянного в связанных осях; 4) распределению масс, близкому к случаю Лагранжа. Рассмотрены возмущенные движения твердого тела, близкие к псевдорегулярным прецессиям в случае Лагранжа, а также вращательные движения, близкие к регулярным прецессиям, когда восстанавливающий момент зависит от угла нутации.

В работе [70] при помощи метода интегральных многообразий и метода усреднения исследуются нелинейные резонансные эволюционные эффекты при движении твердого тела с неподвижной точкой, близкого к случаю Лагранжа; возмущения вызваны малым смещением центра масс с оси динамической симметрии, наличием постоянного и диссипативного моментов.

Ряд работ посвящен исследованиям "спящего" волчка Лагранжа. В статье [28] получены необходимые и достаточные условия устойчивости "спящего" волчка в ньютоновском поле сил. В работе [9] методом осреднения исследуются движения волчка Лагранжа в окрестности его вращения вокруг вертикали; показано, что движения укороченной системы являются квазипериодическими, найдены их амплитуды и частоты. В статье [304] найдены достаточные условия устойчивости вертикальных вращений волчка Лагранжа при наличии демпфирующего момента, проекции которого на главные оси инерции относительно неподвижной точки являются нелинейными функциями соответствующих составляющих угловой скорости волчка. В работе [186] получены достаточные условия асимптотической устойчивости "спящего" волчка в сопротивляющейся среде в предположении, что диссипативная функция не является определенно-положительной квадратичной формой.

В некоторых работах проводится исследование волчка Лагранжа с движущейся точкой подвеса. В работах [67, 68] выводятся уравнения движения волчка Лагранжа (в невырождающихся переменных) в случае, когда точка его подвеса совершает гармонические колебания в горизонтальной плоскости, а к волчку приложен произвольный внешний момент. В статье [159] для волчка Лагранжа на подвижном основании уравнения движения получены в инвариантной векторной форме. Проведено обобщение задачи на случай системы упругое—твердое тело. В работе [255] предложены кватернионные уравнения движения динамически симметричного твердого тела с точкой подвеса, движущейся произвольным образом в пространстве. К телу приложен произвольный внешний момент. В частности, рассмотрена задача о движении под действием сил тяготения симметричного твердого тела, имеющего малое смещение центра масс относительно точки подвеса, при произвольном движении последней.

В статье [94] исследуются движения быстро закрученного волчка Лагранжа при вертикальных колебаниях точки опоры и наличии малых периодических и случайных возмущений. В работе [114] изучается устойчивость равномерных вращений твердого тела вокруг главной оси в предположении, что точка подвеса тела совершает вертикальные колебания.

В статье [103] обсуждается возможность стабилизации "спящего" волчка Лагранжа в одной из областей неустойчивости за счет вертикальных гармонических колебаний точки подвеса. В работе [196] для системы двух гироскопов Лагранжа показана возможность сделать ранее неустойчивые вращения устойчивыми за счет вибрации точки подвеса; установлены ограничения на частоту и амплитуду колебаний точки подвеса и угловую скорость вращения гироскопов.

В диссертации исследуется динамика волчка Лагранжа, точка подвеса которого совершает вертикальные гармонические колебания. В случае колебаний точки подвеса малой амплитуды изучены периодические (с периодом, равным периоду колебаний точки подвеса) движения волчка, рождающиеся из его регулярной прецессии, при резонансе в вынужденных колебаниях и в нерезонансном случае.

Рассмотрена динамика волчка Лагранжа, точка подвеса которого совершает высокочастотные колебания малой амплитуды. Исследуется вопрос о существовании, бифуркации и устойчивости высокочастотных периодических (с периодом, равным периоду колебаний точки подвеса) движений волчка, близких к его регулярной прецессии.

Рассматривается "спящий" волчок Лагранжа, точка подвеса которого совершает вертикальные гармонические колебания произвольной частоты и амплитуды. При всех допустимых значениях параметров дается полное и строгое решение задачи об устойчивости как "висящего" волчка (центр тяжести расположен ниже точки подвеса), так и для "перевернутого" волчка (центр тяжести выше точки подвеса).

Задача о движении твердого тела, контактирующего с неподвижной поверхностью, является классической задачей механики. Исследование движения тел, катящихся по горизонтальной плоскости, начато в 1734 г. Л.Эйлером [295] и продолжено в классических работах Ж.Даламбера, С.Пуассона, Э.Рауса, П.Аппеля, Д.К.Бобылева, Н.Е.Жуковского, С.А.Чаплыгина и др. Основные методы и результаты исследования движения тел по неподвижной поверхности содержатся в монографиях [7, 134, 170, 187, 226]. История вопроса и обширная библиография приведены в книге [134].

В диссертации рассматривается задача о движении по абсолютно гладкой горизонтальной плоскости близкого к динамически симметричному твердого тела с острием. Исследование движения тела сводится к изучению приведенной системы с двумя степенями свободы, близкой к системе с циклической координатой. Построены периодические движения, близкие к регулярным прецессиям динамически симметричного тела, в случаях внутреннего резонанса, исследована их устойчивость.

Ранее динамика симметричного волчка с острием, движущимся по гладкой горизонтальной плоскости, изучалась в работах [226, 345].

Большой интерес исследователей привлекают так называемые бильярдные задачи. Движение материальной точки в области, ограниченной замкнутой выпуклой кривой на плоскости, происходящее с соударениями об эту кривую, в случае отсутствия внешних сил начал изучать Дж.Биркгоф [36, 282]. Вопросы интегрируемости этой задачи обсуждаются в книге [98], исследование существования и устойчивости периодических решений проведено в работах [229, 230].

Обобщением задачи о бильярде Биркгофа является задача динамического бильярда, когда точка движется внутри замкнутой выпуклой кривой, расположенной в вертикальной плоскости, в однородном поле тяжести. Численное исследование периодических движений точки для случая кругового бильярда проведено в работах [275, 276]. Существование периодических движений в задаче динамического бильярда в случае произвольной замкнутой гладкой кривой и, в частности, для кругового бильярда, аналитически доказывается в работе [182].

В диссертации исследуются две задачи о движении точки в вертикальной плоскости в поле тяжести при наличии ее упругих соударений с гладкими кривыми. В первой задаче рассматривается движение точки внутри окружности. Дается строгое решение вопроса об устойчивости частного периодического движения точки вдоль вертикального диаметра, происходящего с двумя соударениями о верхнюю и нижнюю точки окружности. Во второй задаче изучается движение точки над кривой в форме эллипса в окрестности ее периодического движения вдоль вертикальной полуоси эллипса; орбитальная устойчивость такого движения исследована в работе [140]. В случае, близком к резонансу четвертого порядка, построены периодические движения точки (период которых в четыре раза превышает период невозмущенного движения), исследована их бифуркация и устойчивость.

Третья часть диссертации посвящена исследованию нелинейных резонансных колебаний и устойчивости в ряде задач динамики спутника относительно центра масс и плоской ограниченной задаче трех тел.

За последние десятилетия, начиная с 50-х г.г. XX века, появилось значительное количество работ, как теоретического, так и прикладного характера, связанных с исследованием динамики спутников. Интерес к этой проблеме связан, в первую очередь, с потребностями развивающейся космической техники. С другой стороны, эти исследования представляют и теоретический интерес, так как развивают один из разделов динамики твердого тела.

Одной из наиболее разработанных задач является задача о плоских колебаниях и вращениях спутника на эллиптической орбите. Уравнение плоских колебаний и вращений спутника, когда одна из его главных осей инерции перпендикулярна плоскости эллиптической орбиты его центра масс, в центральном ньютоновском гравитационном поле получено В.В.Белецким в 1956 г. и впервые опубликовано в [29]. В случае движения спутника по круговой орбите это уравнение представляет собой уравнение движения математического маятника и интегрируется в эллиптических функциях [30]. В общем случае плоских колебаний несимметричного спутника на эллиптической орбите указанное уравнение не имеет аналитического первого интеграла [46].

Плоские движения спутника на круговой орбите изучаются в работах [30, 129, 152, 213, 322, 323, 334]. В статьях [322, 323, 334] анализируется устойчивость (в линейном приближении) плоских колебаний и вращений спутника. В работах [129, 152] в нелинейной постановке изучается устойчивость плоских периодических движений динамически симметричного спутника ([129]) и спутника с неравными моментами инерции ([152]), когда одна из осей его эллипсоида инерции совершает в плоскости орбиты колебания произвольной амплитуды и вращения с произвольной угловой скоростью.

В статье [213] в линейном приближении исследуется устойчивость плоских дол-гопериодических движений спутника с периодом, существенно превышающим период орбитального движения (им соответствуют фазовые траектории в окрестности сепаратрис).

Работы [19, 30, 32, 45, 75, 158, 204-206, 228, 256, 265, 367, 369] посвящены изучению плоских движений спутника на эллиптической орбите. Эксцентриситетные колебания спутника на орбите малого эксцентриситета в нерезонансном случае исследуются в работах [30, 367]. В статье [256] рассмотрены периодические вращения близкого к динамически симметричному спутника при произвольных значениях эксцентриситета, получены области устойчивости этих вращений. В работах [75, 228] исследуются нечетные периодические движения спутника с периодом, равным периоду обращения спутника по орбите, при произвольных значениях эксцентриситета и инерционного параметра; в линейной постановке решается вопрос об их устойчивости. В статье [369] исследование устойчивости указанных периодических движений проведено в строгой нелинейной постановке; получены условия устойчивости на кривых резонансов третьего и четвертого порядков.

В цикле работ [204-206] численно и аналитически строятся семейства четных и нечетных 2тт~, и б7г-периодических плоских колебаний и вращений спутника на эллиптической орбите, исследована их устойчивость в линейном приближении.

В работе [32] рассматриваются плоские резонансные вращения спутника, когда за m оборотов по орбите он делает к оборотов вокруг оси, перпендикулярной плоскости орбиты. В статье [265] исследуются плоские периодические движения спутника с периодом, кратным периоду его движения по эллиптической орбите малого эксцентриситета. В работе [19] для случая резонанса в вынужденных колебаниях построены 27г-периодические колебания спутника на эллиптической орбите малого эксцентриситета для значений параметров задачи, принадлежащих кривой ветвления. В статье [158] решена задача о существовании и аналитическом представлении движений спутника, асимптотических к его эксцентриситетным колебаниям.

В цикле работ А.Д.Брюно и его учеников (обширная библиография и обзор результатов представлены в недавней статье [45]) анализ уравнения плоских колебаний и вращений спутника на эллиптической орбите (уравнения Белецкого) проводится, как аналитически, так и численно, во всем диапазоне изменения параметров, в том числе в области сингулярности уравнения (при значениях эксцентриситета, близких или равных единице); изучено расположение и строение семейств обобщенных 27г-периодических решений рассматриваемого уравнения.

В диссертации изучаются плоские движения спутника на эллиптической орбите малого эксцентриситета. На основании результатов исследования нелинейных колебаний гамильтоновых систем с одной степенью свободы при резонансах решается вопрос о существовании, числе и устойчивости периодических движений спутника, происходящих в окрестности его эксцентриситетных колебаний. Рассмотрены случай параметрического резонанса, а также случаи резонансов третьего и четвертого порядков.

Актуальным направлением исследования является разработка теории движения намагниченных спутников в геомагнитном поле Земли (см., например, монографии [30, 34, 209]). Наиболее изученными в этой области являются задачи о движениях экваториального и полярного спутников; при этом в большинстве работ магнитное поле Земли аппроксимируется диполем, ось которого совпадает с осью вращения Земли.

Динамика экваториального спутника на круговой орбите изучалась в работах [34, 166, 237]; исследованы положения относительного равновесия спутника и его перманентные вращения, проанализирован вопрос об интегрируемости в квадратурах уравнений движения спутника относительно центра масс.

Уравнение плоских движений по полярной круговой орбите динамически симметричного спутника, намагниченного вдоль оси симметрии, получено в [30] и несколько ранее в другой форме в [301]. Аналитическое и численное исследование этого уравнения содержится в работах [23, 173, 197, 208, 237].

Влияние эллиптичности орбиты на плоские движения полярного динамически симметричного спутника с постоянным магнитом исследуется в работах [174, 210, 237]. Уравнение плоских движений трехосного спутника по полярной эллиптической орбите под действием гравитационных и магнитных моментов получено в [34]. В работах [33, 34] изучаются плоские резонансные вращения спутника с постоянным магнитом на полярной эллиптической орбите.

В статье [84] анализируются общие свойства движения по полярной круговой орбите несимметричного спутника с постоянным магнитом в предположении, что момент магнитных сил много меньше гравитационного момента. Строятся периодические решения, рождающиеся из седловых точек, и сепаратрисные поверхности; доказывается несуществование первого интеграла дифференциального уравнения движения спутника.

В диссертации также рассматривается движение несимметричного намагниченного спутника по полярной круговой орбите в предположении малости момента магнитных сил по сравнению с гравитационным моментом. Исследуется случай резонанса в вынужденных колебаниях, когда значение инерционного параметра близко к единице. На основании результатов исследования нелинейных колебаний гамильтоновых систем с одной степенью свободы при указанном резонансе построены периодические (с периодом, равным периоду обращения центра масс) движения спутника, происходящие в окрестности его устойчивого равновесия в орбитальной системе координат, имеющегося в невозмущенной задаче, изучена их бифуркация и устойчивость.

Импульсом к другому направлению исследований динамики спутников в гравитационном поле послужило обнаружение у динамически симметричного спутника на круговой орбите трех типов стационарных вращений, при которых ось симметрии спутника занимает фиксированное положение в орбитальной системе координат, — цилиндрической, конической и гиперболоидальной прецессий. Вопросы существования и устойчивости трех указанных регулярных прецессий спутника на круговой орбите подробно изучены в работах [31, 61, 101, 123, 125, 147, 203, 219, 257, 321, 333, 346, 365].

Существование цилиндрической прецессии симметричного твердого тела на эллиптической орбите показано в [203] , а задача о ее устойчивости рассматривалась в статьях [122, 124, 154, 324, 337, 368].

Большое количество работ посвящено исследованию периодических движений спутника в окрестности регулярных прецессий. В работах [83, 155, 221, 222, 260] аналитически и численно строятся семейства ляпуновских периодических движений динамически симметричного спутника на круговой орбите, близких к его регулярным прецессиям. В [142] рассмотрены периодические движения динамически симметричного спутника на круговой орбите в окрестности его цилиндрической прецессии для значений параметров задачи, лежащих на границах, разделяющих области устойчивости и неустойчивости прецессии.

В [203] для случая слабоэллиптической орбиты найдены (в виде формальных рядов по степеням эксцентриситета) периодические движения динамически симметричного спутника, рождающиеся из его конической прецессии на круговой орбите при условии отсутствия резонанса в вынужденных колебаниях. В [207] построены (в виде формальных рядов по степеням малого параметра) периодические движения близкого к динамически симметричному спутника на круговой орбите в окрестности его конической прецессии, исследована их устойчивость в линейном приближении.

Близкие к конической прецессии периодические движения динамически симметричного спутника с периодом, равным периоду обращения его центра масс по слабоэллиптической орбите, в случае, когда одна из частот малых колебаний спутника близка к среднему движению его центра масс (случай резонанса в вынужденных колебаниях), построены в работе [261]; исследована их устойчивость в линейном приближении.

В работах [198, 199, 214] построены 27гр-периодические движения динамически симметричного тела на слабоэллиптической орбите, совпадающие на круговой орбите с 2пр/q-иериодическими движениями (р и q — взаимно простые числа) Ляпунова в окрестности конической прецессии; эти движения численно продолжены в область лроизвольных значений эксцентриситета орбиты, проведен анализ их устойчивости в линейном приближении.

В статье [131] для спутника, близкого к динамически симметричному, методом Пуанкаре доказано существование периодических движений, рождающихся из гипербол оидальной прецессии.

В случае цилиндрической прецессии решения Пуанкаре близкого к динамически симметричному твердого тела, представляющие собой плоские движения, исследованы в [334].

В статье [269] решена задача о существовании и аналитическом представлении движений спутника, асимптотических к его регулярным прецессиям на круговой орбите; в работе [18] эта же задача рассмотрена для случая равных частот, отвечающего резонансу второго порядка.

В диссертации рассматриваются две задачи о построении резонансных периодических движений спутника, близких к его регулярным прецессиям. В первой задаче исследуется движение динамически симметричного спутника на эллиптической орбите малого эксцентриситета. Построены периодические движения спутника, близкие к его цилиндрической прецессии, в случаях, когда в системе реализуется параметрический резонанс основного типа, исследована их бифуркация и устойчивость. Во второй задаче изучаются движения близкого к динамически симметричному спутника на круговой орбите. Строятся периодические движения спутника, рождающиеся из конической прецессии динамически симметричного спутника в невозмущенной задаче. Возмущенная система близка к системе с циклической координатой. Исследуется случай, когда в системе имеет место внутренний резонанс, и случай его отсутствия. Проведен строгий нелинейный анализ устойчивости этих движений.

Ограниченная задача трех тел занимает центральное место в аналитической динамике, небесной механике и космодинамике. Ее исследованию посвящено большое количество работ зарубежных и отечественных авторов.

История задачи начинается в 1772 г. с работы Л.Эйлера по теории движения Луны [297] и исследования Ж. Лагранжа [329]. Далее она получила развитие в трудах К.Якоби [319], А.Пуанкаре [185], Дж.Биркгофа [281] и многих других авторов. Ограниченная задача трех тел излагается во всех руководствах по небесной механике (см., например, книги [41, 62, 73, 168, 234, 253, 266]). Этой задаче посвящены также отдельные монографии [44, 211].

В 1767 г. Л.Эйлер в работе [296] обнаружил три частные решения задачи трех тел, когда гравитирующие точки во все время движения расположены вдоль одной прямой. Существование треугольных решений для ньютоновского закона притяжения впервые установлено Ж.Лагранжем [329] в 1772 г. Треугольные решения в случае произвольного степенного закона притяжения получены П.Лапласом [330].

Необходимые условия устойчивости треугольных точек либрации круговой задачи трех тел установлены впервые в работе Г.Гашо [303]. Э.Раус [350], А.М.Ляпунов [115] и Н.Е.Жуковский [66] получили необходимые условия устойчивости треугольных точек либрации для случая произвольного степенного закона притяжения, а также [115, 350] для случая неограниченной задачи трех тел. В работе Ляпунова

115] впервые получено условие устойчивости (в линейном приближении) треугольных точек либрации эллиптической задачи.

Исследование устойчивости треугольных точек либрации для плоской круговой или эллиптической ограниченной задачи трех тел было продолжено в работах многих авторов. В нелинейной постановке устойчивость для случая круговой задачи впервые рассмотрена в работах [112, 289].

В цикле работ А.П.Маркеева дан нелинейный анализ устойчивости треугольных точек либрации ограниченной круговой и эллиптической задачи трех тел в плоском и пространственном случаях. Изложение результатов и библиография по данному вопросу содержится в монографии [130]. В примыкающей к указанному циклу работе [217] получены результаты по устойчивости треугольных точек либрации при критическом отношении масс.

В статье [231] исследуется характер потери устойчивости при переходе, в случае малых значений эксцентриситета, через граничную кривую, разделяющую области устойчивости и неустойчивости треугольных точек либрации плоской эллиптической ограниченной задачи трех тел.

В статье [77] в нелинейной постановке исследуется устойчивость лагранжевых решений плоской неограниченной задачи трех тел. В работах [106, 233] изучен вопрос об устойчивости в строгом смысле лапласовых решений неограниченной задачи трех тел в области выполнения необходимых условий устойчивости Рауса — Жуковского.

Существование двух семейств периодических движений, близких к треугольным точкам либрации круговой ограниченной задачи трех тел, доказали Шарлье [285] и Пламмер [340]. Позднее эти движения строились различными методами (аналитическими и численными) в работах многих авторов.

В статье [194] исследуется вопрос нахождения по методу Ляпунова периодических решений вблизи треугольных точек либрации плоской ограниченной круговой задачи трех тел; полученные решения применяются для построения аналитической теории движения планет троянской группы. В работах [286, 291] предложен метод аналитического продолжения по орбитальному параметру, основанный на методах Ляпунова и Пуанкаре. В статьях [290, 292] описана модификация этого метода, опирающаяся на теорию возмущений Депри—Хори. В работах [347-349, 288] рассмотрен метод численного продолжения. Разработанные методы аналитического и численного продолжения используются в этих и ряде других работ для построения периодических орбит в окрестности треугольных точек либрации систем Солнце—Юпитер и Земля—Луна.

В статьях [287, 306] строятся семейства периодических решений в случае отношений масс основных тел, больших критического значения Рауса. В работах [312, 352] исследуется вопрос о периодических решениях, рождающихся из треугольных точек либрации, для таких значений отношений масс основных тел, для которых существование этих решений не следует из теоремы Ляпунова о голоморфном интеграле.

В работах [151, 153] рассматривается задача о построении и устойчивости (в строгой нелинейной постановке) малых периодических движений, близких к треугольным точкам либрации круговой ограниченной задачи трех тел, в плоском и пространственном случаях. В статье [325] предложен метод продолжения этих движений по параметрам задачи; выделены области линейной устойчивости построенных движений, установлен вид резонансных кривых.

В статье [157] строятся движения, асимптотические к треугольным точкам либрации круговой ограниченной задачи трех тел.

Исследование устойчивости треугольных точек либрации круговой ограниченной задачи трех тел и построение периодических движений в окрестности этих точек при наличии малых сил сопротивления проведено в работах [80, 81].

Некоторые вопросы построения (в виде формальных рядов) 27т-периодических решений (n = 1, 2,3,4) в окрестности треугольных точек либрации ограниченной эллиптической задачи трех тел рассмотрены в статье [63]. В работе [82] с помощью метода сжатых отображений и метода мажорант доказывается существование (уже не формальных) б7г-периодических решений в окрестности треугольных точек либрации.

В диссертации рассматривается не исследованный ранее случай движений в окрестности треугольных точек либрации плоской эллиптической задачи трех тел, когда имеет место параметрический резонанс основного типа. Построены 47г-периодические движения системы, исследована их бифуркация и устойчивость.

Исследование периодических орбит в окрестности точек либрации является частным случаем общей теории периодических орбит задачи трех тел.

Одним из первых вопросами существования периодических орбит занимался Хилл [316] в связи с исследованиями по теории движения Луны. Пуанкаре [185, 342] создал общие методы нахождения и изучения целых классов периодических, а также некоторых других, близких к ним решений дифференциальных уравнений задачи трех тел (периодические решения первого, второго и третьего сорта). В основе нахождения периодических решений лежит разработанный Пуанкаре метод малого параметра.

Изучение периодических движений первого сорта впервые проведено в работах [185, 356]. Доказательство существования и исследование периодических орбит второго сорта содержится в работах [185, 272-274, 356]. Обзор аналитических и численных методов исследования периодических и почти периодических орбит ограниченной задачи трех тел содержится в работах [44, 183, 211, 308, 309].

Особый интерес для исследователей представляют резонансные движения пассивно гравитирующей точки, когда ее среднее движение соизмеримо со средним движением одного из основных притягивающих тел. Примеры таких движений в Солнечной системе дают астероиды группы Гекубы (соизмеримость 2:1), Гильды (3:2), Туле (4:3), Гестии (3:1), Минервы (5:2). Задача о движении резонансных астероидов актуальна в связи с попытками дать объяснение структуры астероидного кольца, особенностей поведения астероидов в люках и сгущениях, в распределении астероидов по средним движениям (см., напр., работы [149, 313, 353, 354]).

Обзор литературы по резонансам для спутников планет содержится в статьях [300, 353]. Общие вопросы по построению резонансных моделей обсуждаются в работах [302, 314, 354].

Наибольшее число исследований посвящено резонансу первого порядка (соизмеримость (iV+l)/iV). Этот резонансный случай изучался в работах [272, 343, 344, 356] и позднее в работах [44, 51, 171, 298, 299, 313, 314, 335, 355, 357] в связи с исследованием движения малых планет при соизмеримости 2:1. Рассматриваются различные аспекты поведения приближенной системы: строятся фазовые портреты, обсуждаются области либрации и циркуляции, положения относительного равновесия и их устойчивость. Аналогичные вопросы для случаев резонансов второго и высших порядков исследуются в работах [44, 52, 283, 310, 314, 331, 355].

В статье [311] при помощи метода продолжения получены периодические орбиты первого и второго сортов астероидной круговой и эллиптической задач трех тел в случаях соизмеримостей 2:1, 3:1 и 4:1 и исследуется их эволюция при изменении эксцентриситета Юпитера. В статьях [53-55] исследуется эволюция орбитальных элементов ограниченной и обобщенной задач трех тел при соизмеримости первого порядка. В работах [267, 268] проводится интегрирование осредненной плоской эллиптической ограниченной задачи трех тел при резонансах первого и высших порядков.

В диссертации исследуются периодические движения плоской круговой ограниченной задачи трех тел, рождающиеся из круговых движений пассивно грави-тирующей точки вокруг основного тела. Система дифференциальных уравнений, описывающих эти движения, близка к системе с циклической координатой. Предполагается, что средние движения пассивно гравитирующей точки и меньшего из основных притягивающих тел связаны резонансным соотношением первого порядка, что равносильно наличию в системе внутреннего резонанса. На основании общей теории периодических движений автономных систем, близких к системам с циклической координатой, при внутреннем резонансе, разработанной в первой части диссертации, предлагается иной, чем в цитируемых выше работах, способ построения периодических движений системы; делаются строгие выводы об их устойчивости.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [238-252, 326] и докладывались на научных семинарах кафедры теоретической механики и мехатрони-ки механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова: на семинаре "Аналитическая механика и устойчивость движения" под руководством академика РАН В.В.Румянцева, члена-корреспондента РАН В.В.Белецкого, профессора А.В.Карапетяна (2000, 2001, 2002); на семинаре "Динамика относительного движения" под руководством члена-корреспондента РАН В.В.Белецкого, профессора Ю.Ф.Голубева, доцента К.Е.Якимовой (2002); на семинаре "Гамильтоновы системы и статистическая механика" под руководством академика В.В.Козлова, профессора С.В.Болотина, профессора Д.В.Трещева (2002), а также на следующих Всероссийских и международных конференциях:

1. Второй симпозиум по классической и небесной механике (Великие Луки, 1996).

2. Международная конференция "Устойчивость, управление и динамика твердого тела" (Донецк, 1996).

3. Всероссийская конференция с международным участием "Проблемы небесной механики" (С.-Петербург, 1997).

4. Третий международный симпозиум по классической и небесной механике (Великие Луки, 1998).

5. XXXV Всероссийская научная конференция по проблемам физики, химии, математики, информатики и методики преподавания (Москва, 1999).

6. VII Международная конференция "Устойчивость, управление и динамика твердого тела" (Донецк, 1999).

7. IV международный симпозиум по классической и небесной механике (Великие Луки, 2001).

8. VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001).

9. XXVI академические чтения по космонавтике (Москва, 2002).

Переходим к изложению содержания диссертации по главам. Диссертация состоит из введения, трех частей и заключения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем основные результаты диссертации.

1. Разработана теория нелинейных колебаний периодической по времени гамильтоновой системы с одной степенью свободы в случаях резонанса в вынужденных колебаниях, параметрического резонанса, резонансов третьего и четвертого порядков: исследованы периодические и условно периодические движения системы, показана ограниченность ее траекторий, в случае параметрического резонанса дана оценка ширины стохастического слоя в окрестности асимптотических движений. Исследованы периодические движения близкой к гамильтоновой системы с одной степенью свободы при резонансе в вынужденных колебаниях и резонансе четвертого порядка.

2. Разработана теория периодических движений периодической по времени гамильтоновой системы с двумя степенями свободы при параметрическом резонансе основного типа.

Построены и исследованы новые классы периодических движений в случае этого резонанса: а) в задаче о движении динамически симметричного спутника вблизи его цилиндрической прецессии на эллиптической орбите малого эксцентриситета; б) в плоской эллиптической ограниченной задаче трех тел вблизи треугольных точек либрации.

3. Разработана теория периодических и условно-периодических движений автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы, близкой к системе с циклической координатой, при внутреннем резонансе.

Построены и исследованы новые классы периодических движений в случае указанного резонанса: а) в задаче о движении по гладкой горизонтальной плоскости близкого к динамически симметричному тяжелого твердого тела (в окрестности регулярной прецессии динамически симметричного тела); б) в задаче о движении близкого к динамически симметричному спутника на круговой орбите (в окрестности конической прецессии динамически симметричного спутника); в) в плоской круговой ограниченной задаче трех тел.

4. Дано строгое решение вопроса о существовании, числе и устойчивости высокочастотных периодических (с периодом, равным периоду колебаний точки подвеса) движений маятника, точка подвеса которого совершает прямолинейные высокочастотные гармонические вибрации малой амплитуды, происходящие под произвольным углом к горизонту.

5. Решен цикл новых задач о движении волчка Лагранжа, точка подвеса которого совершает вертикальные гармонические колебания: а) исследованы резонансные и нерезонансные периодические движения волчка, при колебаниях точки подвеса малой амплитуды;

- 224 б) решена задача о существовании, бифуркации и устойчивости высокочастотных периодических движений волчка, близких к его регулярным прецессиям, при колебаниях точки подвеса с высокой частотой и амплитудой; в) дано полное решение задачи об устойчивости "спящего" волчка Лагранжа при колебаниях точки подвеса произвольной частоты и амплитуды.

1. Аксененкова И.М. Канонические переменные угол—действие в задаче о волчке Лагранжа // Вестн. МГУ. 1981. 1. С.86-90.

2. Аксененкова И.М. О влиянии геомагнитного поля на периодические движения спутника относительно центра масс // Космич. исслед. 1991. Т.29. Вып.1. С.145-148.

3. Аксенов Е.П. Специальные функции в небесной механике. М.: Наука, 1986. 318 с.

4. Акуленко Л.Д. О некоторых вращательно-колебательных системах, подверженных высокочастотным возмущениям// Журн. выч. мат. и мат. физ. 1968. Т.8.5. С.1133-1139.

5. Акуленко Л.Д. Асимптотический анализ динамических систем, подверженных высокочастотным воздействиям//ПММ. 1994. Т.58. Вып.З. С.23-31.

6. Акуленко Л.Д. Квазистационарные вращательно-колебательные движения двухмассовой системы с вертикально вибрирующим основанием // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2000. 2. С.51-60.

7. Аппелъ П. Теоретическая механика. Т.1, 2. М.: Физматгиз, 1960. 515 с; 487 с.

8. Апыхтин Н.Г. Об устойчивости перманентных вращений симметричного твердого тела // ПММ. 1976. Т.40. Вып.1. С.171-173.

9. Апыхтин Н.Г. О колебаниях твердого тела около устойчивых перманентных вращений // ПММ. 1979. Т.43. Вып.5. С.945-948.

10. Арнольд В.И. Доказательство теоремы А.Н.Колмогорова о сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона / / Успехи мат. наук. 1963. Т. 18. Вып.5. С.13-40.

11. Арнольд В. И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике //Успехи мат. наук. 1963. Т.18. Вып.6. С.91-192.

12. Арнольд В.И. О неустойчивости динамических систем со многими степенями свободы // ДАН СССР. 1964. Т.156. 1. С.9-12.

13. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1974. 432 с.

14. Арнольд В.И, Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. М.: Эдиториал УРСС, 2002. 416 с.

15. Арутюнов С.С. О демпфированном маятнике с вибрирующей точкой подвеса// Труды Казанского авиационного института. 1959. Вып.45. С.93-102.

16. Архангельский Ю.А. Аналитическая динамика твердого тела. М.: Наука, 1977. 328 с.

17. Бардин Б. С. Об асимптотических решениях гамильтоновых систем при резонансе первого порядка // ПММ. 1991. Т.55. Вып.4. С.587-593.

18. Бардин Б.С. О движениях спутника, асимптотических к его регулярным прецессиям// Космич. исслед. 1991. Т.29. Вып.6. С.822-827.

19. Бардин Б.С. О ветвлении периодических решений системы, близкой к системе Ляпунова // ПММ. 1999. Т.63. Вып.4. С.538-548.

20. Бардин Б.С., Маркеев А.П. Об устойчивости равновесия маятника при вертикальных колебаниях точки подвеса // ПММ. 1995. Т.59. Вып.6. С.922-929.

21. Баркин Ю.В. Периодические и условно-периодические решения в задаче о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки // ПММ. 1981. Т.45. Вып.З. С.535-544.

22. Баркин Ю.В., Винокуров В.Н. Долгопериодические возмущения в движении твердого тела с закрепленной точкой при соизмеримости частот // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1986. 2. С.32-39.

23. Баталова З.С., Мельниченко Н.А. О структуре фазового пространства и бифуркациях уравнения движения намагниченного спутника в плоскости круговой полярной орбиты// Космич. исслед. 1983. Т.21. Вып.4. С.522-535.

24. Баталова З.С., Белякова Г.В., Бухалова Н.В. Периодические движения маятника с колеблющейся осью // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1987. N° 6. С.18-25.

25. Баталова З.С., Белякова Г.В. Диаграммы устойчивости периодических движений маятника с колеблющейся осью // ПММ. 1988. Т.52. Вып.1. С.55-63.

26. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1976. 496 с.

27. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье. М.: Наука, 1967. 299 с.

28. Белецкий В.В. Некоторые вопросы движения твердого тела в ньютоновском поле сил // ПММ. 1957. Т.21. Вып.6. С.749-758.

29. Белецкий В. В. О либрации спутника. В сб.: Искусственные спутники Земли. М.: Изд-во АН СССР, 1959. N° 3. С.13-31.

30. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. М.: Наука, 1965. 416 с.

31. Белецкий В.В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1975. 308 с.

32. Белецкий В.В., Погорелое Д.Ю. Плоские резонансные вращения спутника на эллиптической орбите// ПММ. 1979. Т.43. Вып.З. С.401-410.

33. Белецкий В.В., Шляхтин А.Н. Резонансные вращения спутника на полярной орбите в магнитно-гравитационном поле// Космич. исслед. 1984. Т.22. Вып.4. С.499-506.

34. Белецкий В.В., Хентов А.А. Вращательное движение намагниченного спутника. М.: Наука, 1985. 288 с.

35. Беликов С.А. Об одном частном случае движения твердого тела вокруг неподвижной точки. В сб.: Пробл. мех. управл. движ. Иерархич. динам, системы. Пермь, 1979. С.40-46.

36. Биркгоф Дж.Д. Динамические системы. M.-JL: Гостехиздат, 1941. 320 с.

37. Боголюбов Н.Н. Теория возмущений в нелинейной механике. Сб. трудов Института строит, механики АН УССР. 1950. 14. С.9-34.

38. Болотин С.В., Козлов В.В. Об асимптотических решениях уравнений динамики // Вестн. Моск. ун-та. 1980. 4. С.84-89.

39. Борисов А.В., Мамаев И.С. Динамика твердого тела. Ижевск: Изд-во РХД, 2001. 384 с.

40. Борн М. Лекции по атомной механике. Харьков—Киев: Гостехиздат, 1934. 312 с.

41. Брауэр Д., Клеменс Дж. Методы небесной механики. М.: Мир, 1964. 514 с.

42. Брюно АД. О формальной устойчивости систем Гамильтона / / Матем. заметки. 1967. Т.1. Н° 3. С.325-330.

43. Брюно АД. Локальный метод нелинейного анализа. М.: Наука, 1979. 253 с.

44. Брюно АД. Ограниченная задача трех тел. М.: Наука, 1990. 296 с.

45. Брюно АД. Семейства периодических решений уравнения Белецкого// Космич. исслед. 2002. Т.40. Л? 3. С.295-316.

46. Буров А.А. Неинтегрируемость уравнения плоских колебаний спутника на эллиптической орбите// Вестн. МГУ. Мат., мех. 1984. Х° 1. С.71-73.

47. Вагнер Э.А., Демин В.Г. Об одном классе периодических движений тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки // ПММ. 1975. Т.39. Вып.5. С.927-929.

48. Вагнер Э.А. Об одном семействе периодических движений тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки // ПММ. 1977. Т.41. Вып.З. С.553-556.

49. Воротников В.И., Румянцев В.В. Устойчивость и управление по части координат фазового вектора динамических систем: теория, методы и приложения. М.: Научный мир, 2001. 320 с.

50. Гадионенко А.Я. Резонансные колебания и вращения маятника с вибрирующей точкой подвеса // Укр. мат. журн. 1966. Т.18. 2. С.102-106.

51. Герасимов И.А. Эволюция орбит астероидов в случае соизмеримости первого порядка // Астрон. ж. 1986. Т.63. N.o 4. С.768-773.

52. Герасимов И.А. Эволюция орбит астероидов в случае соизмеримостей второго и третьего порядков // Астрон. ж. 1986. Т.63. 6. С.1215-1221.

53. Герасимов И.А., Мушаилов Б.Р. Эволюция орбитальных элементов в ограниченной задаче трех тел при соизмеримости первого порядка // Астрон. вестн. 1994. Т.28. Ко 4-5. С. 172-179.

54. Герасимов И.А., Мушаилов Б.Р., Ракитина Н.В. Качественные исследования движений в ограниченной эллиптической задаче трех тел при соизмеримости первого порядка // Астрон. вестн. 1994. Т.28. 4-5. С.186-200.

55. Герасимов И.А., Мушаилов Б.Р. Аналитическое решение обобщенной задачи трех тел при соизмеримости первого порядка // Астрон. вестн. 1995. Т.29. 1. С.67-71.

56. Горр Г.В., Кудряшова Л.В., Степанова Л.А. Классические задачи динамики твердого тела. Развитие и современное состояние. Киев: Наукова думка, 1978. 294 с.

57. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1962. 1100 с.

58. Граммелъ Р. Гироскоп, его теория и применения. T.l. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1952. 352 с.

59. Демин В.Г., Конкина Л.И. Новые методы в динамике твердого тела. Фрунзе: Илим, 1989. 182 с.

60. Джакалъя Т.Е.О. Методы теории возмущений для нелинейных систем. М.: Наука, 1979. 319 с.

61. Дубошин Г.Н. О вращательном движении искусственных небесных тел// Бюл. ин-та теор. астрон. АН СССР. 1960. Т.7. К* 7. С.511-520.

62. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. М.: Наука, 1975. 799 с.

63. Евтеев В.П., Шкроба С.П. Бифуркационные свойства треугольных точек либрации ограниченной плоской эллиптической задачи трех тел// Космич. исслед. 1995. Т.ЗЗ. Вып.З. С.323-325.

64. Елфимов B.C. Существование периодических решений уравнений движения твердого тела, близкого к гироскопу Лагранжа // ПММ. 1978. Т.42. Вып.2. С.251-258.

65. Елфимов B.C. К методу Малкина продолжения по малому параметру периодических решений систем дифференциальных уравнений с первыми интегралами / / Механика твердого тела (Киев). 1986. 18. С.88-94.

66. Жуковский Н.Е. О прочности движения. Собр. соч. T.l. М.: Гостехиздат, 1937.

67. Журавлев В.Ф. Об одной форме уравнений движения симметричного твердого тела // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1986. Ко 3. С.5-11.

68. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний. М.: Наука, 1988. 328 с.

69. Журавский A.M. Справочник по эллиптическим функциям. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1941. 236 с.

70. Заболотнов Ю.М., Любимов В.В. Нелинейные резонансные эффекты при движении твердого тела вокруг неподвижной точки//ПММ. 2002. Т.66. Вып.З. С.410-417.

71. Заславский Г.М., Чириков Б.В. Стохастическая неустойчивость нелинейных колебаний // Успехи физ. наук. 1971. Т.105. Вып.1. С.3-40.

72. Зевин А.А. Качественное исследование устойчивости периодических колебаний и вращений в параметрически возбуждаемых нелинейных системах второго порядка // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1983. Н° 2. С.38-44.

73. Зигель К.Л. Лекции по небесной механике. М.: ИЛ, 1959. 300 с.

74. Зиглин С. Л. Расщепление сепаратрис, ветвление решений и несуществование интеграла в динамике твердого тела // Тр. Моск. мат. о-ва. 1980. Т.41. С.287-303.

75. Златоустов В.А., Охоцимский Д.Е., Сарычев В.А., Тороюевский А.П. Исследование колебаний спутника в плоскости эллиптической орбиты// Космич. исслед. 1964. Т.2. Вып.5. С.657-666.

76. Златоустов В.А., Сазонов В.В., Сарычев В.А. Вынужденные субгармонические колебания математического маятника // ПММ. 1981. Т.45. Вып.1. С.52-62.

77. Иванов А.П. Исследование устойчивости постоянных лагранжевых решений плоской неограниченной задачи трех тел// ПММ. 1979. Т.43. Вып.5. С.787-795.

78. Иванов А.П., Сокольский А.Г. Об устойчивости неавтономной гамильтоновой системы при резонансе второго порядка // ПММ. 1980. Т.44. Вып.5. С.811-822.

79. Иванов А.П., Сокольский А.Г. Об устойчивости неавтономной гамильтоновой системы при параметрическом резонансе основного типа//ПММ. 1980. Т.44. Вып.6. С.963-970.

80. Иванов А.П., Соколовская В.В. Об устойчивости треугольных точек либрации задачи трех тел в сопротивляющейся среде// Космич. исслед. 1997. Т.35. Вып.5. С.495-500.

81. Иванов А.П., Самсонова В.В. Построение периодических орбит вблизи треугольных точек либрации задачи трех тел в сопротивляющейся среде// ПММ. 2000. Т.64. Вып.5. С.783-787.

82. Икромов А., Мухамадиев Э.М. Периодические решения в окрестности треугольных точек либрации ограниченной эллиптической задачи трех тел// Космич. исслед. 1988. Т.26. Вып.6. С.819-829.

83. Исхаков Е.В., Миронов С.В., Сокольский А.Г., Хованский С.А. Алгоритм построения периодических движений, рождающихся из конической прецессии симметричного спутника. В сб.: Прикладные методы нелинейного анализа и управления. М., 1987. С.3-15.

84. Казымов Р. Ч. Качественные исследования плоских колебаний намагниченного спутника на полярной орбите//Космич. исслед. 1993. Т.31. Вып.2. С.120-124.

85. Каменков Г.В. Избранные труды. T.I, II. М.: Наука, 1971; 1972. 258 е.; 214 с.

86. Капица П.Л. Маятник с вибрирующим подвесом // Успехи физ. наук. 1951. Т.44. Вып.1. С.7-20.

87. Капица П.Л. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса // Журн. эксперим. и теорет. физики. 1951. Т.21. Вып.5. С.588-597.

88. Карапетян А.В., Румянцев В.В. Устойчивость консервативных и диссипативных систем. Общая механика. Т.6. Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР. М.: 1983. 132 с.

89. Карапетян А.В. Устойчивость стационарных движений. М.: Эдиториал УРСС, 1998. 165 с.

90. Карапетян А.В., Лагутина И.С. О влиянии диссипативного и постоянного моментов на вид и устойчивость стационарных движений волчка Лагранжа // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1998. N° 5. С.29-33.

91. Ковалев A.M. О движении тела, мало отличающегося от гироскопа Лагранжа. В сб.: Механика твердого тела. Вып.З. К.: Наукова думка, 1971. С.25-27.

92. Ковалев A.M., Чудненко А.Н. К устойчивости положений равновесия двумерной гамильтоновой системы в случае равных частот // Докл. АН УССР. Сер.А. 1977. Хо 11. С.1011-1014.

93. Ковалева А.С. Разделение движений в нелинейных системах с вращающейся фазой при случайных возмущениях// ПММ. 1993. Т.57. Вып.2. С.22-30.

94. Ковалева А.С. Многочастотные системы при стационарном случайном возмущении. 4.1. Нерезонансные колебания// Изв. РАН. Механика твердого тела. 1994.3. С.44-52.

95. Ковалева А.С. Стабилизация квазиконсервативной системы, подверженной высокочастотным воздействиям// ПММ. 2001. Т.65. Вып.6. С.925-936.

96. Козлов В.В. Методы качественного анализа в динамике твердого тела. М.: Изд-во МГУ, 1980. 232 с.

97. Козлов В.В. Интегрируемость и неинтегрируемость в гамильтоновой механике // Успехи мат. наук. 1983. Т.38. Вып.1. С.3-67.

98. Козлов В.В., Трещев Д.В. Биллиарды. Генетическое введение в динамику систем с ударами. М.: Изд-во МГУ, 1991. 168 с.

99. Козлов В.В. Симметрии, топологии и резонансы в гамильтоновой механике. Ижевск: Изд-во Удмуртского гос. ун-та, 1995. 432 с.

100. Колмогоров А.Н. О сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона // ДАН СССР. 1954. Т.98. 4. С.527-530.

101. Кондурарь В. Т. Частные решения общей задачи о поступательно-вращательном движении сфероида под действием притяжения шара// Астрон. ж. 1959. Т.36. Вып.5. С.890-901.

102. Конкина Л.И., Ткачева Н.В. Периодические движения намагниченного спутника // Космич. исслед. 1993. Т.31. Вып.5. С.144-147.

103. Кошляков В.Н. О структурных преобразованиях динамических систем с гироскопическими силами // ПММ. 1997. Т.61. Вып.5. С.774-780.

104. Красносельский М.А., Бурд Б.Ш., Колесов Ю.С. Нелинейные почти периодические колебания. М.: Наука, 1970. 351 с.

105. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физ-матгиз, 1959. 211 с.

106. Куницын А.Л., Тхай В.Н. О неустойчивости лапласовых решений неограниченной задачи трех тел// Письма в АЖ. 1977. Т.З. Kf> 8. С.376-380.

107. Куницын А.Л., Маркеев А.П. Устойчивость в резонансных случаях. Общая механика. Т.4. Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР. М.: 1979. С.58-139.

108. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968. 431 с.

109. Лагранж Ж. Аналитическая механика. Т.2. M.-JL: ГИТТЛ, 1950. 440 с.

110. Лагутина И.С. О влиянии диссипативной и постоянной сил на вид и устойчивость стационарных движений волчка Лагранжа // Вестн. МГУ. Сер.1. 2000. 3. С.66-69.

111. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. М,: Наука, 1965. 204 с.

112. Леонтович A.M. Об устойчивости лагранжевых периодических решений ограниченной задачи трех тел// ДАН СССР. 1962. Т. 143. 3. С.525-529.

113. Лещенко ДД. Эволюция вращений твердого тела под действием возмущающих моментов. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. Одесса, 1996. 328 с.

114. Лосева Н.Н. Исследование устойчивости равномерных вращений твердого тела при колебаниях точки подвеса // Мат. физ. и нелин. мех. (Киев). 1989. X.0 11. С.14-18.

115. Ляпунов A.M. Об устойчивости движения в одном частном случае задачи о трех телах. Собр. соч. М.: Изд-во АН СССР, 1954. T.l. С.327-401.

116. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. Собр. соч., т.2. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1956. С.7-263.

117. Магнус К. Гироскоп. Теория и применения. М.: Мир, 1974. 528 с.

118. Мак-Лахлан Н.В. Теория и приложения функций Матье. М.: Изд-во иностр. лит., 1953. 475 с.

119. Малкин И.Г. Методы Ляпунова и Пуанкаре в теории нелинейных колебаний. Л.: ОГИЗ, 1949. 244 с.

120. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М.: Гостехиздат, 1956. 491 с.

121. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966. 530 с.

122. Маркеев А.П. Устойчивость стационарного вращения спутника на эллиптической орбите// Космич. исслед. 1965. Т.З. Вып.5. С.674-676. .

123. Маркеев А.П. Резонансные эффекты и устойчивость стационарных вращений спутника// Космич. исслед. 1967. Т.5. Вып.З. С.365-375.

124. Маркеев А.П. О вращательном движении динамически симметричного спутника на эллиптической орбите//Космич. исслед. 1967. Т.5. Вып.4. С.530-539.

125. Маркеев А.П. Об устойчивости канонической системы с двумя степенями свободы при наличии резонанса// ПММ. 1968. Т.32. Вып.4. С.738-744.

126. Маркеев А.П. Об устойчивости неавтономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы // ПММ. 1969. Т.ЗЗ. Вып.З. С.563-569.

127. Маркеев А.П. К. задаче об устойчивости положений равновесия гамильтоновых систем // ПММ. 1970. Т.34. Вып.6. С.997-1004.

128. Маркеев А.П. О методе точечных отображений и некоторых его приложениях в задаче трех тел. Ин-т прикл. мат. АН СССР. Препринт 49. М., 1973.

129. Маркеев А.П. Устойчивость плоских колебаний и вращений спутника на круговой орбите// Космич. исслед. 1975. Т.13. 3. С.322-336.

130. Маркеев А.П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. М.: Наука, 1978. 312 с.

131. Маркеев А.П. О периодических движениях спутника на круговой орбите// Космич. исслед. 1985. Т.23. Вып.З. С.323-330.

132. Маркеев А.П. Асимптотические траектории и устойчивость периодических движений автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы // ПММ. 1988. Т.52. Вып.З. С.363-371.

133. Маркеев А.П. Резонансы и асимптотические траектории в системах Гамильтона // ПММ. 1990. Т.54. Вып.2. С.207-212.

134. Маркеев А.П. Динамика тела, соприкасающегося с твердой поверхностью. М.: Наука, 1992. 336 с.

135. Маркеев А.П. Резонанс третьего порядка в гамильтоновой системе с одной степенью свободы // ПММ. 1994. Т.58. Вып.5. С.37-48.

136. Маркеев А.П. О резонансе третьего порядка в близкой к гамильтоновой системе с одной степенью свободы // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1995. 2. С.46-53.

137. Маркеев А.П. О поведении нелинейной гамильтоновой системы с одной степенью свободы на границе области параметрического резонанса // ПММ. 1995. Т.59. Вып.4. С.569-580.

138. Маркеев А.П. Параметрический резонанс и нелинейные колебания тяжелого твердого тела в окрестности его плоских вращений // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1995. 3\Г.° 5. С.34-44.

139. Маркеев А.П. Субгармонические колебания демпфированного маятника при параметрическом возбуждении // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1996. 1. С.4-10.

140. Маркеев А.П. О сохраняющих площадь отображениях и их применении в динамике систем с соударениями // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1996. 2. С.37-54.

141. Маркеев А.П. О критическом случае резонанса четвертого порядка в гамильтоновой системе с одной степенью свободы // ПММ. 1997. Т.61. Вып.З. С.369-376.

142. Маркеев А.П. О критическом случае пары нулевых корней в гамильтоновой системе с двумя степенями свободы// ПММ. 1998. Т.62. Вып.З. С.372-382.

143. Маркеев А.П. Об устойчивости и нелинейных колебаниях гамильтоновой системы в одном резонансном случае // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1998. 4. С.38-49.

144. Маркеев А.П. О динамике сферического маятника с вибрирующим подвесом // ПММ. 1999. Т.63. Вып.2. С.213-219.

145. Маркеев А.П. О нелинейных колебаниях гамильтоновой системы при резонансе 2:1 // ПММ. 1999. Т.63. Вып.5. С.757-769.

146. Маркеев А. П. О нелокальной устойчивости периодического движения гамильтоновой системы при резонансе третьего порядка // Доклады Академии наук. 2001. Т.380. ЗЧ-о 6. С.765-769.

147. Маркеев А.П. К задаче об устойчивости положения равновесия гамильтоновой системы при резонансе 3:1// ПММ. 2001. Т.65. Вып.4. С.653-660.

148. Маркеев А. П. Устойчивость гамильтоновых систем. Веб.: Нелинейная механика. М.: Физматлит, 2001. С. 114-130.

149. Маркеев А.П. Динамические причины асимметрии расположения люков в поясе астероидов // Письма в Астрономический журнал. 2001. Т.27. 7. С.554-559.

150. Маркеев А.П. Об ограниченности траекторий в окрестности орбитально неустойчивого периодического движения гамильтоновой системы // ПММ. 2002. Т.66. Вып.1. С.24-32.

151. Маркеев А.П., Сокольский А.Г. Исследование периодических движений, близких лагранжевым решениям ограниченной задачи трех тел. Препринт Ж0 110. М.: ИПМ АН СССР. 1975. 72 с.

152. Маркеев А.П., Сокольский А.Г. Исследование устойчивости плоских периодических движений спутника на круговой орбите// Изв. АН СССР. МТТ. 1977. >vr° 4. С.46-57.

153. Маркеев А.П., Сокольский А.Г. Об устойчивости периодических движений, близких лагранжевым решениям// Астрон. ж. 1977. Т.54. К." 4. С.897-908.

154. Маркеев А.П., Чеховская Т.Н. Об устойчивости цилиндрической прецессии спутника на эллиптической орбите// ПММ. 1976. Т.40. Вып.6. С.1040-1047.

155. Маркеев А.П., Чеховская Т.Н. О периодических движениях твердого тела, близких его цилиндрической прецессии. В сб.: Некоторые вопросы механики. МАИ, 1978. Вып.460. С. 17-24.

156. Маркеев А.П., Чуркина Н.И. О периодических решениях Пуанкаре канонической системы с одной степенью свободы // Письма в Астрон. ж. 1985. Т.11. J\L° 8. С.634-639.

157. Маркеев А.П., Щербина Г.А. О движениях, асимптотических к треугольным точкам либрации круговой ограниченной задачи трех тел//ПММ. 1987. Т.51. Вып.З. С.355-362.

158. Маркеев А.П., Щербина Г.А. О движениях спутника, асимптотических к его эксцентриситетным колебаниям// Изв. АН СССР. МТТ. 1987. 4. С.3-10.

159. Марков Ю.Г. О движении вязкоупругого твердого тела с вибрирующей точкой подвеса // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1991. 6. С.16-23.

160. Мархашов JI.M. Об эволюции регулярных прецессий твердого тела, близкого к волчку Лагранжа // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1980. 3. С.8-12.

161. Матросов В.М. Метод векторных функций Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем. М.: Физматгиз, 2001. 380 с.

162. Мерман Г.А. О неустойчивости периодического решения канонической системы с одной степенью свободы в случае главного резонанса. В сб.: Пробл. движ. искусств, небес, тел. М.: Изд-во АН СССР, 1963. С.18-41.

163. Мерман Г.А. Асимптотические решения канонической системы с одной степенью свободы в случае нулевых характеристических показателей // Бюл. Ин-та теор. астрон. АН СССР. 1964. Т.9. 6(109). С.394-424.

164. Мозер Ю. Лекции о гамильтоновых системах. М.: Мир, 1973. 168 с.

165. Морозов А.Д. К задаче о маятнике с вибрирующей точкой подвеса // ПММ. 1995. Т.59. Вып.4. С.590-598.

166. Морозов В.М. Об устойчивости относительного равновесия спутника при действии гравитационного, магнитного и аэродинамического момента// Космич. исслед. 1969. Т.7. Вып.З. С.395-401.

167. Моторина Н.Н. Применение метода Хори к исследованию возмущенного движения волчка Лагранжа // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1988. 1. С.102-104.

168. Мулътон Ф. Введение в небесную механику. М.: ОНТИ, 1935. 480 с.

169. Мустахишев К.М. К вопросу об устойчивости гамильтоновых систем // Изв. АН КазССР. Сер. физ.-мат. 1967. Хр 1. С.63-73.

170. Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.И. Динамика неголономных систем. М.: Наука, 1967. 519 с.

171. Нейштадт А.И. Прохождение через сепаратрису в резонансной задаче с медленно изменяющимся параметром // ПММ. 1975. Т.39. Вып.4. С.621-632.

172. Нехорошее Н.Н. Экспоненциальная оценка времени устойчивости гамильтоновых систем, близких к интегрируемым // Успехи мат. наук. 1977. Т.32. Вып.6. С.5-66.

173. Овчинников М.Ю. Периодические движения спутника с магнитом на круговой полярной орбите. В сб.: Аэрофизика и прикладная математика. М.: Изд-во МФТИ, 1980. С.141-143.

174. Овчинников М.Ю. Периодические движения спутника с магнитом на полярной эллиптической орбите. В сб.: Аэрофизика и прикладная математика. М.: Изд-во МФТИ. 1981. С. 102-104.

175. Парс Л. Аналитическая динамика. М.: Наука, 1971. 636 с.

176. Петров А.Г. Об усреднении гамильтоновых систем // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2001. 3. С.19-33.

177. Пирматов Ш. Периодические решения в задаче о возмущенном движении волчка Лагранжа. В сб.: Пробл. мех управл. движ. Нелин. динам, системы. Пермь, 1987. С.112-115.

178. Пирматов Ш. Периодические движения волчка Лагранжа в ньютоновском силовом поле. В сб.: Пробл. мех. управл. движ. Нелин. динам, системы. Пермь, 1988. С.143-145.

179. Погосян Т.И., Савченко А.Я. О движении гироскопа Лагранжа в переменном по направлению поле сил // Механика твердого тела (Киев). 1980. X.0 12. С.85-90.

180. Пожарицкий Г.К. О неустойчивости движения консервативной голономной системы // ПММ. 1956. Т.20. Вып.З. С.429-433.

181. Пожарицкий Г.К. Об устойчивости диссипативных систем //ПММ. 1957. Т.21. Вып.4. С.503-512.

182. Поликарпов С.А. О периодических траекториях биллиарда в однородном поле тяжести // Вестн. Моск. ун-та. Сер.1. Матем., механ. 2002. 5. С.42-45.

183. Почти периодические орбиты в небесной механике / Ред. Аксенов Е.П. М.: Изд-во МГУ, 1990. 143 с.

184. Проскуряков А.П. Метод Пуанкаре в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1977. 256 с.

185. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. Избр. тр. Т. 1, 2. М.: Наука, 1971, 1972.

186. Пузырев В.Е. К устойчивости неравномерных вращений гироскопа Лагранжа вокруг главной оси при наличии сил сопротивления среды // Механика твердого тела (Киев). 1985. ЭО 17. С.66-70.

187. Раус Э.Дж. Динамика системы твердых тел. Т.2. М.: Наука, 1983. 544 с.

188. Розе Н.В. Динамика твердого тела. Л.: КУБУЧ, 1932. 306 с.

189. Рубановский В.Н. О бифуркации и устойчивости стационарных движений // Теоретична и приложна механика // 1974. Т.5. 1. С.67-79.

190. Румянцев В.В. Об устойчивости стационарных движений // ПММ. 1966. Т.ЗО. Вып.5. С.922-933.

191. Румянцев В.В. Об устойчивости стационарных движений спутников. М.: Изд-во ВЦ АН СССР, 1967. 141 с.

192. Румянцев В. В. О влиянии гироскопических сил на устойчивость стационарного движения // ПММ. 1975. Т.39. Вып.6. С.963-973.

193. Румянцев В. В. Об устойчивости установившихся движений систем с квазициклическими координатами // ПММ. 1986. Т.50. Вып.6. С.918-927.

194. Рябов Г.А. О периодических решениях вблизи "треугольных" точек либрации ограниченной плоской круговой задачи трех тел// Астрон. ж. 1952. Т.29. Вып.5. С.582-596.

195. Савченко А.Я. Устойчивость стационарных движений механических систем. Киев: Наукова думка, 1977. 160 с.

196. Савченко Я.А., Каниболотский В.В. Об устойчивости неуравновешенной системы двух гироскопов Лагранжа с вибрирующей точкой подвеса / / Механика твердого тела (Киев). 1991. JL° 23. С.101-104.

197. Садов Ю.А. Периодические движения спутника с магнитным демпфером в плоскости круговой орбиты//Космич. исслед. 1969. Т.7. Вып.1. С.51-60.

198. Сазонов В.В., Сидорюк М.Е. Периодические движения оси симметрии динамически симметричного спутника под действием гравитационного момента. Препринт Ин-та прикл. мат. им. М.В.Келдыша АН СССР. 1981. 31. 28 с.

199. Сазонов В.В., Сидорюк М.Е. Периодические движения осесимметричного спутника относительно центра масс под действием гравитационного момента// Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1984. No 3. С.6-16.

200. Сазонов В.В., Сидоренко В.В. Возмущенные движения твердого тела, близкие к регулярным прецессиям Лагранжа // ПММ. 1990. Т.54. Вып.6. С.951-957.

201. Сальникова Т. В. Неинтегрируемость возмущенной задачи Лагранжа // Вестн. МГУ. Мат., мех. 1984. 4. С.62-63.

202. Самсонов В. А. О квазистационарных движениях механических систем J J Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1978. 1. С.32-35.

203. Сарычев В. А. Асимптотически устойчивые стационарные вращения спутника// Космич. исслед. 1965. Т.З. Вып.5. С.667-673.

204. Сарычев В.А., Сазонов В.В., Златоустов В.А. Периодические колебания спутника в плоскости эллиптической орбиты// Космич. исслед. 1977. Т.15. Вып.6. С.809-834.

205. Сарычев В.А., Сазонов В.В., Златоустов В.А. Периодические вращения спутника в плоскости эллиптической орбиты// Космич. исслед. 1979. Т.17. Вып.2. С. 190-207.

206. Сарычев В.А., Сазонов В.В., Златоустов В.А. Несимметричные периодические колебания спутника в плоскости эллиптической орбиты// Космич. исслед. 1980. Т.18. Вып.1. С.3-10.

207. Сарычев В.А., Сазонов В.В. Гравитационная ориентация вращающегося спутника // Космич. исслед. 1981. Т. 19. Вып.4. С.499-512.

208. Сарычев В.А., Сазонов В.В., Овчинников М.Ю. Периодические колебания спутника относительно центра масс под действием магнитного момента. М.: Препринт Ин-та прикл. мат. АН СССР. 1982. Ю> 182. 27с.

209. Сарычев В.А., Овчинников М.Ю. Магнитные системы ориентации искусственных спутников Земли// Итоги науки и техники. Сер. Исслед. космич. пространства. Т.23. М.: ВИНИТИ, 1985. 104 с.

210. Сарычев В.А., Овчинников М.Ю., Герман А.Д. Периодические движения спутника под действием магнитного момента на полярной эллиптической орбите. М.: Препринт Ин-та прикл. мат. АН СССР. 1985. 149. 26 с.

211. Себехей В. Теория орбит. Ограниченная задача трех тел. М.: Наука, 1982. 656 с.

212. Сергеев B.C. Периодические движения тяжелого твердого тела с неподвижной точкой, близкого к динамически симметричному // ПММ. 1983. Т.47. Вып.1. С.163-166.

213. Сидоренко В.В., Нейштадт А. И. Исследование устойчивости долгопериодиче-ских движений спутника на круговой орбите// Космич. исслед. 2000. Т.38. 3. С.307-321.

214. Сидорюк М.Е. Периодические колебания оси симметрии динамически симметричного спутника на слабоэллиптической орбите. Препринт Ин-та прикл. мат. им. М.В.Келдыша АН СССР. 1981. JL° 165. 28 с.

215. Скимель В.Н. К задачам устойчивости движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки // ПММ. 1956. Т.20. Вып.1. С.130-132.

216. Сокольский А.Г. Об устойчивости автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы в случае равных частот // ПММ. 1974. Т.38. Вып.5. С.791-799.

217. Сокольский А.Г. Об устойчивости лагранжевых решений ограниченной задачи трех тел при критическом отношении масс// ПММ. 1975. Т.39. Вып.2. С.366-369.

218. Сокольский А.Г. Об устойчивости автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы при резонансе первого порядка // ПММ. 1977. Т.41. Вып.1. С.24-33.

219. Сокольский А.Г. К задаче об устойчивости регулярных прецессий симметричного спутника// Космич. исслед. 1980. Т.18. Вып.5. С.698-706.

220. Сокольский А.Г. Об устойчивости автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы в случае нулевых частот // ПММ. 1981. Т.45. Вып.З. С.441-449.

221. Сокольский А.Г., Хованский С. А. Периодические движения, близкие гиперболо-идальной прецессии симметричного спутника на круговой орбите// Космич. исслед. 1979. Т. 17. Вып.2. С.208-217.

222. Сокольский А.Г., Хованский С.А. О численном продолжении периодических решений лагранжевой системы с двумя степенями свободы// Космич. исслед. 1983. Т.21. Вып.6. С.851-860.

223. Стокер Док. Нелинейные колебания в механических и электрических системах. М.: Изд-во иностр. лит., 1953. 256 с.

224. Стретт М.И.О. Функции Ляме, Матье и родственные им в физике и технике. Харьков; Киев: Гостехиздат, 1935. 238 с.

225. Стрижак Т.Г. Методы исследования динамических систем типа "маятник". Алма-Ата: Наука, 1981. 253 с.

226. Суслов Т.К. Теоретическая механика. М.; Л.: Гостехиздат, 1946. 655 с.

227. Татаринов Я.В. Частотная невырожденность волчка Лагранжа и уравновешенного гироскопа в кардановом подвесе // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1987. К.° 4. С.30-36.

228. Торжевский А.П. Периодические решения уравнения плоских колебаний спутника на эллиптической орбите// Космич. исслед. 1964. Т.2. Вып.5. С.667-678.

229. Трещев Д.В. К вопросу о периодических траекториях бильярда Биркгофа // Вестн. Моск. ун-та. Сер.1. Матем., механ. 1987. 5. С.72-75.

230. Трещев Д.В. К вопросу об устойчивости периодических траекторий бильярда Биркгофа // Вести. Моск. ун-та. Сер.1. Матем., механ. 1988. 2. С.44-50.

231. Трещев Д.В. Потеря устойчивости в гамильтоновых системах, зависящих от параметров // ПММ. 1992. Т.56. Вып.4. С.587-596.

232. Трещев Д.В. Введение в теорию возмущений гамильтоновых систем. М.: ФАЗИС, 1998. 184 с.

233. Тхай В.Н. Об устойчивости постоянных лапласовых решений неограниченной задачи трех тел// ПММ. 1978. Т.42. Вып.6. С.1026-1032.

234. Уинтпнер А. Аналитические основы небесной механики. М.: Наука, 1967. 523 с.

235. Хазин Л. Г. Об устойчивости гамильтоновых систем при наличии резонансов // ПММ. 1971. Т.35. Вып.З. С.423-431.

236. Хейл Дж. Колебания в нелинейных системах. М.: Мир, 1966. 230 с.

237. Хентов А.А. Колебания намагниченного искусственного спутника Земли около своего центра масс. М.: МГУ, 1967. Кандидатская диссертация.

238. Холостова О.В. Некоторые задачи о движении маятника с вибрирующей точкой подвеса // ПММ. 1995. Т.59. Вып.4. С.581-589.

239. Холостова О.В. О движении гамильтоновой системы с одной степенью свободы при резонансе в вынужденных колебаниях // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1996. 3. С.167-175.

240. Холостова О.В. О движении близкой к гамильтоновой системы с одной степенью свободы при резонансе в вынужденных колебаниях // ПММ. 1996. Т.60. Вып.З. С.405-412.

241. Холостова О. В. Параметрический резонанс в задаче о нелинейных колебаниях спутника на эллиптической орбите // Космич. исследования. 1996. Т.34. Вып.З. С.312-316.

242. Холостова О.В. Об устойчивости периодических движений маятника с горизонтально вибрирующей точкой подвеса // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1997. N° 4. С.35-39.

243. Холостова О. В. О нелинейных колебаниях спутника при резонансе третьего порядка // ПММ. 1997. Т.61. Вып.4. С.556-565.

244. Холостова О.В. О нелинейных колебаниях гамильтоновой системы с одной степенью свободы при резонансе четвертого порядка // ПММ. 1998. Т.62. Вып.6. С.957-967.

245. Холостова О. В. О движении близкой к гамильтоновой системы с одной степенью свободы при резонансе четвертого порядка // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1999. 4. С.25-30.

246. Холостова О.В. О динамике волчка Лагранжа с вибрирующей точкой подвеса // ПММ. 1999. Т.63. Вып.5. С.785-796.

247. Холостова О. В. Об устойчивости "спящего" волчка Лагранжа с вибрирующей точкой подвеса // ПММ. 2000. Т.64. Вып.5. С.858-868.

248. Холостова О.В. Об одном случае периодических движений волчка Лагранжа с вибрирующим подвесом // Доклады Академии наук. 2000. Т.375. 5. С. 1-4.

249. Холостова О.В. Динамика волчка Лагранжа с неподвижной и вибрирующей точкой подвеса. Учебное пособие. М.: Изд-во МАИ, 2000. 84 с.

250. Холостова О.В. О периодических движениях волчка Лагранжа с вибрирующей точкой подвеса // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2002. Х.° 1. С.34-48.

251. Холостова О.В. О внутреннем резонансе в автономной гамильтоновой системе, близкой к системе с циклической координатой // ПММ. 2002. Т.66. Вып.З. С.366-380.

252. Холостова О. В. О периодических движениях неавтономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы при параметрическом резонансе основного типа. // ПММ. 2002. Т.66. Вып.4. С.540-551.

253. Чеботарев Г.А. Аналитические и численные методы небесной механики. М.; Л.: Наука, 1965. 367 с.

254. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1964. 477 с.

255. Челноков Ю.Н. О движении тяжелого симметричного твердого тела с подвижной точкой подвеса // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1990. 4. С.3-10.

256. Черноусько Ф.Л. Резонансные явления при движении спутника относительно центра масс// Ж. выч. мат. и мат. физ. 1963. Т.З. 3. С.528-538.

257. Черноусько Ф.Л. Об устойчивости регулярной прецессии спутника// ПММ. 1964. Т.28. Вып.1. С.155-157.

258. Четаев Н.Г. Об устойчивости вращения твердого тела с одной неподвижной точкой в случае Лагранжа // ПММ. 1954. Т.18. Вып.1. С.123-124.

259. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: Наука, 1990. 176 с.

260. Чеховская Т.Н. О периодических движениях осесимметричного твердого тела, близких к его конической прецессии В сб.: Исследование периодических движений и устойчивости механических систем. М., 1983. С.41-49.

261. Чеховская Т.Н. Резонансные периодические движения осесимметричного спутника на эллиптической орбите// Космич. исслед. 1986. Т.24. Вып.1. С.15-23.

262. Чешанков Б.И. О субгармонических колебаниях маятника //ПММ. 1971. Т.35. Вып.2. С.343-348.

263. Чириков Б.В. Нелинейный резонанс. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1977. 81 с.

264. Чириков Б.В. Взаимодействие нелинейных резонансов. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1978. 79 с.

265. Чуркина Н.И. О периодических движениях твердого тела на эллиптической орбите малого эксцентриситета. В сб.: Устойчивость и колебания нелин. мех. систем. М., 1987. С.24-27.

266. Шарлье К. Небесная механика. М.: Наука, 1966. 627 с.

267. Шинкин В.Н. Интегрируемые случаи осредненной плоской ограниченной эллиптической задачи трех тел при резонансе первого порядка // Космич. исслед. 1995. Т.ЗЗ. Вып.1. С.111-112.

268. Шинкин В.Н. Интегрируемые случаи неограниченной и ограниченной пространственных задач трех тел при резонансах высших порядков // Космич. исслед. 1995. Т.ЗЗ. Вып.З. С.321-322.

269. Щербина Г.А. Движения спутника, асимптотические к его регулярным прецессиям// Космич. исслед. 1989. Т.27. Вып.1. С.31-41.

270. Якубович В.А., Старжинский В.М. Параметрический резонанс в линейных системах. М.: Наука, 1987. 328 с.

271. Acheson D.J. A pendulum theorem // Ргос. Roy. Soc. London A. 1993. V.443. 1917. P.239-245.

272. Andoyer H. Contribution a la theorie des petites planetes dont le moyen mouvement est sensiblement double de celui de Jupiter // Bull, astron. 1903. T.20. P.321-356.

273. Arenstorf R.F. Periodic solutions of the restricted three body problem representing analytic continuations of Keplerian elliptic motions // Amer. J. Math. 1963. V.85. No 1. P.27-35.

274. Barrar R.B. Existence of periodic orbits of the second kind in the restricted problem of three bodies 11 Astron. J. 1965. V.70. № 1. P.3-4.

275. Beletsky V. V. Regulare und Chotische Bewegung starre Korper. Stuttgart: Teunber — Verlag. 1995.

276. Beletsky V. V., Kasatkin G.V., Starostin E.L. The pendulum as a dynamical billiard 11 Chaos, Solitons & Fractals. 1996. V.7. 8. P.1145-1178.

277. Beth H.I.E. Les oscillations autour d'une position d'equilibre dans le cas d'existence d'une relation lineaire simple entre les nombres vibratoires // Arch. Neerl. sci. exactes et natur. 1910. Ser.2. T.15. S.246-283.

278. Beth H.I.E. Les oscillations autour d'une position d'equilibre dans le cas d'existence d'une relation lineaire simple entre les nombres vibratoires (suite) // Arch. Neerl. sci. exactes et natur. 1912. Ser.3A. T.l. S.185-213.

279. Beth H.I.E. The oscillations about a position of equilibrium where a simple linear relation exists between the frequences of the principal vibrations // Phil. Mag. 1913. Ser.6. V.26. P.268-324.

280. Bien R. Stationary solutions in simplified resonance cases of restricted three-body problem // Celest. Mech. 1980. V.21. № 2. P.157-161.

281. Birkhoff G.D. The restricted problem of three bodies// Rend. Circ. Mat. Palermo. 1915. V.39. P.l.

282. Birkhoff G.D. On the periodic motions of dynamical systems // Acta math. 1927. V.50. P.359-379.

283. Borderies N., Goldreich P. A. Simple derivation of capture probabilities for the j+1 : j and j + 2 : j orbit-orbit resonance-problems // Celest. Mech. 1984. V.32. Ж° 2. P. 127-136.

284. Caughey Т.К. Subharmonic oscillations of a pendulum // Trans. ASME. Ser.E. J. Appl. Mech. 1960. Y.27. 4. P.754-755.

285. Charlier C.V.L. On periodic orbits//Ofv. Kgl. Svenska Vetenskapsaka. 1900. 9.

286. Deprit A., Delie A. Trojan orbits. I. d'Alembert series at LJJ Icarus. 1965. V.4. 3ST.0 3. P.242-266.

287. Deprit A. Limiting orbits around the equilateral centers of libration // Astron. J.1966. V.71. 2. P.77-87.

288. Deprit A. , Henrard J. Natural families of periodic orbits I j Astron. J. 1967. V.72. X.o 2. P. 158-172.

289. Deprit A., Deprit-Вartholome A. Stability of the triangular Lagrangian points// Astron. J. 1967. V.72. 2. P.173-179.

290. Deprit A., Henrard J., Rom A. Trojan orbits. II. Birkhoff's normalization // Icarus.1967. V.6. К.» 3. P.381-406.

291. Deprit A., Henrard J. A manifold of periodic orbits. In: Advanced in Astronomy and Astrophysics. New York; London: Academic Press, 1968. Y.3. P.l-124.

292. Deprit A., Henrard J., Price J., Rom A. Birkhoff's normalization // Celest. Mech. 1969. V.l. N-o 2. P.222-251.

293. Deprit A. Canonical transformations depending on a small parameter // Celest. Mech. 1969. V.l. 1. P.12-30.

294. Erdelyi A. Uber die kleinen Schwingungen eines Pendels mit oszillierendem Aufhangepunkt// Zeitschrift far angewandte Mathematik und Mechanik. 1934. Bd.14. X.°4. S.235-247.

295. Euler L. De minimis oscillationibus corporum tam rigidorum quam flexililium, methodus nova et facilis // Commentarii Academiae scientiarum imperiales Petropo-litanae. 1734 1735 - 1740. T.7. P.99-122.

296. Euler L. De motu rectilineo trium corporum se mutuo attrahentum. Novi Comm. Acad. Sci. Imp. Petrop. 1767. Т.Н. P.144-151.

297. Euler L. Theoria Motuum Lunae. Petropoli: Typis Academiae Imperialis Scientiarum, 1772.

298. Ferraz-Mello S. Resonance in regular variables. I. Morphogenetic analysis of the orbits in the case of a first-order resonance//Celest. Mech. 1985. V.35. Ю> 3. P.209-220.

299. Ferraz-Mello S. Resonance in regular variables. II. Formal solutions for central and noncentral first-order resonance // Celest. Mech. 1985. V.35. K° 3. P.221-234.

300. Ferraz-Mello S. Orbital resonances amongst planetary satellites // Publ. Astron. Inst. Czechosl. Acad. Sci. 1987. 68. P.49-57.

301. Fishell R.E. Magnetic and gravity attitude stabilization of earth satellites// Space Res. 1961. N-o 2. P.373-410.

302. Garfinkel В. On resonance in celestial mechanics // Celest. Mech. 1982. V.28. 3. P.275-290.

303. Gascheau G. Examen d'une classe d'equations differentielles et application a un cas particulier du probleme des trois corps// Comptes Rendus. 1843. V.16. P.393.

304. Ge Z.-M., Wu M.-H. The stability of a sleeping top with damping torque // Int. J. Eng. Sci. 1989. V.27. No 3. P.285-288.

305. Glimm J. Formal stability of Hamiltonian systems // Comm. Pure Appl. Math. 1964. V.17. N-o 4. P.509-526.

306. Gomez G., Noguera M. Some manifolds of periodic orbits in the restricted three-body problem // Celest. Mech. 1985. V.35. Xp 3. P.235-255.

307. Greenberg R., Franklin F. Coupled librations in the motions of asteroids near the 2:1 resonance 11 M.N.R. Astr. Soc. 1975. V.173. Ю> 1. P.l-8.

308. Hadjidemetriou J.D. The present status of periodic orbits // Celest. Mech. 1981. V.23. 3. P.277-286.

309. Hadjidemetriou J.D. Periodic orbits 11 Celest. Mech. 1984. V.34. 1-4. P.379-393.

310. Hadjidemetriou J.D. The stability of resonant orbits in planetary systems. In: Resonan. mot. plan., sat. and aster. San Paulo. 1985. P.l-18.

311. Hadjidemetriou J.D. Resonant motion in the restricted three body problem // Celest. Mech. and Dyn. Astron. 1993. V.56. №> 1-2. P.201-219.

312. Henrard J. Periodic orbits emanating from a resonant equilibrium // Celest. Mech. 1970. V.l. 34.0 3/4. P.437-466.

313. Henrard J., Lemaitre A. A mechanism of formation for the Kirkwood Gaps // Icarus. 1983. V.55. 3. P.482-494.

314. Henrard J., Lemaitre A. A second fundamental model for resonance // Celest. Mech. 1983. V.30. N.o 2. P.197-218.

315. Henrard J., Caranicolas N. Motion near 3/1 resonance of the planar elliptic restricted three body problem // Celest. Mech. and Dyn. Astron. 1989/90. V.47. OML» 2. P.99-121.

316. Hill G.W. Researches in the Lunar Theory. The collected works. 1905. V.l. P.284-335.

317. Hirsch P. Das Pendel mit oszillierendem Aufhangepunkt // Zeitschrift fur ange-wandte Mathematik und Mechanik. 1930. Bd.10. Kp 1. S.41-52.

318. Hori G. Theory of general perturbations with unspecified canonical variables // Pubis. Astron. Soc. Jap. 1966. V.18. X» 4. P.287-296.

319. Jacobi C.G.J. Sur le mouvement d'un point et sur un cas particulier du probleme des trois corps// Compt. Rend. 1836. V.3. P.59.

320. Jeffreys H. The simple pendulum under periodic disturbance // Quart. J. Mech. and Appl. Math. 1959. V.12. Pt.l. P.124-128.

321. Kane T.R., March E.L., Wilson W.G. Letter to the Editor// J. Astronaut. Sci. 1962. V.9. 4. P. 108-109.

322. Kane T.R., Shippy D.J. Attitude stability of spinning unsymmetrical satellite in a circular orbit// J. Astronaut, sci. 1963. У.14. 3. P. 114-119.

323. Kane T.R. Attitude stability of earth-pointing satellites// AIAA J. 1965. V.3. 3sL° 4. P.726-731.

324. Kane T.R., Barba P.M. Attitude stability of a spinning satellite in an elliptic orbit// Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1966. V.33. Kp 2. P.402-405.

325. Karimov S.R., Sokolsky A.G. Periodic motions generated by Lagrangian solutions of the circular restricted three body problem// Celest. Mech. 1989. V.46. 4. P.335-381.

326. Kholostova О. V. On a case of periodic motions of the Lagrangian top with vibrating fixed point // Regular & Chaotic Dynamics. 1999, V.4. X.» 4. P.81-93.

327. Klotter K., Kotowski G. Uber die Stabilitat der Bewegungen des Pendels mit oszillierendem Aufhangepunkt // Zeitschrift fiir angewandte Mathematik und Mechanik. 1939. Bd.19. 5. S.289-296.

328. Korteweg D.J. Sur certaines vibrations d'ordre superieur et d'intensite anomale // Arch. Neerl. sci. exactes et natur. 1898. Ser.2. T.l. S.229-260.

329. Lagrange J.L. Eassais sur le probleme des trois corps// Querres. 1772. У.6. P.233-240.

330. Laplace P. Explosition du systeme du monde. Paris: Bachelier, 1824. 418 p.

331. Lemaitre A. High-order resonances in the restricted three-body problem // Celest. Mech. 1984. V.32. 2. P.109-126.

332. Levi-Civita T. Sopra alcuni criteri di instability // Ann. mat. pura ed appl. 1901. Ser.3a. T.5. P.221-308.

333. Likins P. W. Stability of a symmetrical satellite in attitudes fixed in an orbiting reference frame// J. Astronaut. Sci. 1965. V.12. Xp 1. P.18-24.

334. Meirovich L., Wallace F. Attitude instability regions of a spinning unsymmetrical satellite in a circular orbit// J. Astronaut, sci. 1967. V.14. X° 3. P.123-131.

335. Message P. On nearly-commensurable periods in the restricted problem of three bodies. In: The theory of orbits in the solar system and in stellar systems : IAU Symp. X.o 25. (Ed. G.Contopoulos). London and New York" Acad. Press. 1966. P.197-222.

336. Miles J. Resonant motion of a spherical pendulum // Physica. 1984. Dll. 3. P.309-323.

337. Modi V.J., Neilson J.E. Attitude dynamics of slowly spinning axisymmetrical satellites under the influence of gravity gradient torques. In: Proc. 20-th Int. Congr., Mar del Plata, 1969. S.I., 1972. P.563-596.

338. Moser J. The analytical invariants of an area-preserving mapping near a hyperbolic point // Comm. Pure Appl. Math. 1956. V.9. No.4. P.673-692.

339. Moser J. New aspects in the theory of stability of Hamiltonian systems //Comm. Pure Appl. Math. 1958. V.ll. Nj> 1. P.81-114.

340. Plummer H.C. On periodic orbits in the neighborhood of centres of libration// Monthly Notices Roy. Astron. Soc. 1901. V.62. P.6-17.

341. Poincare Н. Sur les proprietes des fonctions definies par les equations aux differences partielles. Paris: Gauthier—Villars, 1879. 93 p.

342. Рогпсагё H. Sur certaines solutions particulieres du probleme des trois corps // Bull. Astron. 1884. V.l.

343. Poincare H. Les solutions periodiques et les planetes de type d'Hecube // Bull. Astron. 1902. T.19. 5. P.177-198.

344. Poincare H. Sur les planetes du type d'Hecube 11 Bull. Astron. 1902. N.19. X» 8. P.289-310.

345. Poisson S.D. Traite de mecanique. T.2. Paris: Bachelier, 1833. 782 p.

346. Pringl R., Jr. Bounds of librations of a symmetrical satellite// AIAA J. 1964. V.2. У1р 5. P.908.

347. Rabe E. Determination and survey of periodic Trojan orbits in the restricted problem of three bodies // Astron. J. 1961. V.66. X.° 9. P.500-513.

348. Rabe E. Additional periodic Trojan orbits and further studies of their stability features // Astron. J. 1962. V.67. Jt° 5.

349. Rabe E., Schanzle A. Periodic librations about the triangular solutions of the restricted earth-moon problem and their orbital stabilities // Astron. J. 1962. V.67. Ко 10. P.732-739.

350. Routh E.J. On Laplace's three particles with a supplement on the stability of steady motion// Proc. London Math. Soc. 1875. V.6. P.86-97.

351. Routh E.J. The advanced part of a treatise on the dynamics of a system of rigid bodies. P.2. London: Macmillan, 1884. 343 p.

352. Schmidt D.S. Periodic solutions near a resonant equilibrium of a hamiltonian system // Celest. Mech. 1974. V.9. X." 1. P.81-103.

353. Scholl H. Resonances in the asteroidal belt. In: Reson. mot. plan., satell. and aster. San Paulo. 1985. P.129-141.

354. Scholl H. Secular and mean motion resonances in the asteroidal belt // Publ. of the Astron. Inst, of the Czech. Acad, of Sci. 1987. JL° 68. P.105-112.

355. Schubart J. Special cases of the restricted problem of three bodies. In: The theory of orbits in the solar system and in stellar systems : IAU Symp. DsL°25. (Ed. G.Contopoulos). London and New York" Acad. Press. 1966. P.187-193.

356. Schwarzschild K. Uber eine Classe periodischer Losungen des Dreikorperproblems // Astron. Nachr. 1898. B.147. 2(3506). S.17-24. X° 18(3522). S.289-298.

357. Sessin W., Ferraz-Mello S. Motion of two planets with periods commensurable in the ratio 2:1. Solutions of the Hori auxiliary system // Celest. Mech. 1984. V.32. 4. P.307-332.

358. Sidorenko V. V. Capture and escape from resonance in the dynamics of the rigid body in viscous medium // J. Nonlinear Sci. 1994. V.4. P.35-37.

359. Skalak R., Yarymovych M.I. Subharmonic oscillations of a pendulum // Trans. ASME. Ser.E. J. Appl. Mech. 1960. V.27. >L° 1. P.159-164.- 245

360. Stephenson A. On a New Type of Dynamical Stability // Memoirs and Proceedings of the Manchester Literary and Philosophical Society. 1908. Y.52. Pt.2. JL° 8. P. 1-10.

361. Struble R.A. On the simple pendulum under periodic disturbance // Quart. J. Mech. and Appl. Math. 1962. Y.15. Pt.2. P.245-251.

362. Struble R.A. Oscillations of a pendulum under parametric excitation // Quart. Appl. Math. 1963. V.21. 2. P.121-131.

363. Struble R.A. On the oscillations of a pendulum under parametric excitation / / Quart. Appl. Math. 1964. Y.22. 2. P.157-159.

364. Struble R.A., Marlin J.A. Periodic motion of a simple pendulum with periodic disturbance // Quart. J. Mech. and Appl. Math. 1965. Y.18. Pt.4. P.405-417.

365. Thomson W. T. Spin stabilization of attitude against gravity torque// J. Astronaut. Sci. 1962. V.9. X.o 1. P.31-33.

366. Toumaire Memoire sur la rotation des corps pesant // C.r. Acad. Sci. 1860. V.50. P.476-481.

367. Vinh N.X. Sur les solutions periodiques du mouvement plan de libration des satellites et des planets// Celest. Mech. 1973. V.8. Xp 3. P.371-403.

368. Wallace F.B., Jr., Meirovich L. Attitude instability regions of a spinning symmetrical satellite in an elliptic orbit// AIAA J. 1967. V.5. 9. P.1642-1650.

369. Zlatoustov V.A., Markeev A.P. Stability of planar oscillations of a satellite in an elliptic orbit// Celest. Mech. 1973. V.7. Kp 1. P.31-45.