Вторичный резонансный эффект при движении твердого тела с малой асимметрией в атмосфере тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Любимов Владислав Васильевич

ВТОРИЧНЫЙ РЕЗОНАНСНЫЙ ЭФФЕКТ ПРИ ДВИЖЕНИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА С МАЛОЙ АСИММЕТРИЕЙ В АТМОСФЕРЕ

Специальность 01.02.01 - теоретическая механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Самара 1998

Работа выполнена в Самарском государственном аэрокосмическом универс тете имени академика С.П. Королева

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор Ю.М. Заболотнов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Ю.А. Садов

кандидат технических наук, профессор В.М. Белоконов

Ведущее предприятие: Центральное специализированное конструкторское бюро (г. Самара)

Защита состоится июня 1в_часов на заседании диссертацио

ного совета Д 063.87.04 в Самарском государственном аэрокосмическом универс тете имени академика С.П. Королева ( 443086, г. Самара, Московское шоссе, 34).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Самарского государстве ного аэрокосмического университета имени академика С.П. Королева

Автореферат разослан 1998 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета, к.т.н., профессор ^Щ.-Свше/ъ.Г. Шахов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Диссертационная работа посвящена исследованию вторичного резонансного ффекта при движении твердого тела (TT) с малой асимметрией в атмосфере плане-ы.

Актуальность работы. Процесс освоения космического пространства ставит еред наукой все большее количество задач, требующих скорейшего решения. К их ислу относятся вопросы исследования движения неуправляемых космических ап-аратов (КА) в атмосфере. При решении подобных задач космический аппарат час-э рассматривается как твердое тело. Вращательное движение таких КА в атмосфе-г характеризуется несколькими частотами, совпадение которых приводит к резо-ансным явлениям при их движения. Асимметрия, возникающая при изготовлении Айв процессе их спуска в атмосфере, может привести к существенному влиянию ззонансов на траекторные параметры движения. В частности, при резонансах моет наблюдаться потеря устойчивости по углу атаки или сильная закрутка КА во->уг продольной оси.

Исследованию резонансных режимов движения КА (как TT) в атмосфере эсвящено большое число работ. Основополагающими по данной тематике (ляются труды В.А. Ярошевского, A.A. Шилова, Н.Г. Гомана, B.C. Асланова, ).М. Заболотнова и других ученых. Среди зарубежных авторов следует выделить 1боты Найфэ, Сарика, Мэрфи, Бредли, Мэпла, Синга и других авторов.

До настоящего времени основное внимание специалистов по динамике полета управляемых КА в атмосфере уделялось исследованию движения в малых окре-ностях возникающих резонансов. Нерезонансные участки движения исследовать в меньшей степени и лишь в упрощенной постановке с помощью квазистати-ских решений. Однако квазистатические уравнения во многих случаях дают ишком грубое описание изменения параметров на нерезонансных участках, в ча-ности, они не учитывают начальных условий по пространственному углу атаки V, что приводит к существенным погрешностям. В данной работе вековое измене-е параметров движения в нерезонансном случае исследуется с помощью метода реднения как проявление так называемого вторичного резонансного эффекта, что зволяет получить более полные уравнения и установить взаимосвязь явлений, вникающих на нерезонансном и резонансном участках движения.

Вторичный резонансный эффект в двухчастотной почти гамильтоновой сис-ле с быстрыми фазами был описан Ю.А. Садовым. Проведенные им исследования еют большое значение для теории вторичного резонансного эффекта, так как в х рассмотрены математические аспекты возникновения и проявления данного яв-тл. В частности, было показано, что характерным проявлением исследуемого фекта является увеличение скорости изменения медленных переменных при при-шении к резонансу. В то же время, вопросы исследования вторичного резонанс-

ного эффекта при движении неуправляемых КА в атмосфере до настоящего време ни не рассматривались.

Возникновение закрутки КА на нерезонансных участках движения може' привести в ряде случаев к достижению угловой скоростью вращения КА вокруг еп продольной оси своих резонансных значений,и переходу режима нерезонансног« вращения в режим устойчивого длительного резонанса (захвата в резонанс), когд резонансное соотношение между частотами поддерживается в течение длительноп времени. Это приводит к большим возмущениям параметров движения КА, в част ности, возможна потеря устойчивости движения по углу атаки. Следовательно, вто ричный резонансный эффект, возникающий при движении КА в атмосфере, може привести к нарушению функциональных ограничений на параметры движения момент ввода парашютной системы, а значит, к невыполнению КА своей целево] задачи. Таким образом, исследование вторичного резонансного эффекта при движе нии почти симметричного ТТ в атмосфере является актуальной задачей.

Цель работы: исследование вторичного резонансного эффекта при движени] ТТ в атмосфере и разработка на этой основе методики учета данного эффекта пр] проектировании спускаемых КА.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Получены линейная, квазилинейная и нелинейная приближенные модели, описы вающие влияние вторичного резонансного эффекта на вращательное движение поч ти симметричного ТТ в атмосфере.

2. Определены условия возникновения вторичного резонансного эффекта в завися мости от величины и вида асимметрии ТТ.

3. Получена аналитическая оценка вероятности захвата траектории в длительны резонанс при изменении переменных до резонансных значений за счет вторично^ резонансного эффекта для ортогонального вида асимметрии ТТ.

4. Установлена связь между условием реализации вторичного резонансного эффек та, условием попадания траекторий в резонансную область (в вероятностной поста новке) и условием устойчивости резонанса.

Практическая ценность работы состоит:

- в получении простых аналитических выражений, позволяющих анализироват влияние вторичного резонансного эффекта на движение твердого тела;

- в построении методики учета вторичного резонансного эффекта при проектирова нии спускаемого КА;

- в разработке ряда программ для ПЭВМ, позволяющих анализировать вторичны: резонансный эффект и учитывать его влияние при проектировании КА.

Апробация работы. Приведенные в настоящей работе результаты были ис пользованы при подготовке докладов на XXI Научных чтениях по космонавтике, 1 Москва, 1997 г.; XXII Научных чтениях по космонавтике в 1998 г.; XXXI Научны чтениях, посвященных разработке творческого наследия К.Э. Циолковского, г. Ке

уга, 1996 г.; на Восьмом Всероссийском семинаре с международным участием по правлению движением и навигацией летательных аппаратов, г. Самара, 1997 г.; ¡сероссийской конференции молодых ученых "Математическое моделирование изико-механических процессов", г. Пермь, 1996 г.; Межрегиональной научно-технической конференции ученых Урала и Поволжья "Математическое моделиро-ание систем и явлений", г. Пермь, 1993 г.

Публикации. Материалы диссертации изложены в восьми печатных работах. Го результатам диссертационной работы получены акты внедрения в Центральном зециализированном конструкторском бюро г. Самары и в Самарском государст-5нном аэрокосмическом университете имени, академика С.П. Королева.

Структура я объем диссертации. Текст диссертации состоит из введения, пяти ив, заключения, списка цитируемой литературы (69 наименований), и 6 приложе-дй. Объем диссертации 164 е., из них 106 с. машинописного текста, 50 рисунков и таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении дается общая характеристика рассматриваемой работы, обосно-.гаается ее актуальность, формулируется цель исследований, показывается практи-;ская ценность работы, приводятся сведения о публикациях и перечисляются поженил, выносимые на защиту.

В первой главе работы рассматривается постановка задачи исследования вто-1чного резонансного эффекта при движении ТТ в атмосфере. Приводится краткий >зор работ по исследованиям резонансов, их устойчивости и математическим ме-дам исследования. Кроме того, анализируются методы вычисления вероятности тадания траекторий в резонансную область при движении механических систем 1ятникового типа. Рассматривается понятие вторичного резонансного эффекта при ижении механических систем стандартного вида с двумя быстрыми переменны-I. Показывается, что данный эффект приводит к увеличению скорости изменения •дленных переменных на нерезонансных участках при приближении к резонансу, ¡речисляготся основные задачи, возникающие при исследовании резонансов, к слу которых относятся:

оценка возмущений переменных при прохождении системы через резонансы;

получение и исследование условий устойчивости резонансов;

получение условий попадания в резонансную область в вероятностной постанов-

анализ влияния вторичного резонансного эффекта на движение системы.

Показывается, что традиционно рассматривались первые две задачи. Данная 5ота посвящена в основном исследованию вторичного резонансного эффекта при яжении ТТ с асимметрией в атмосфере.

Во второй главе рассматриваются математические модели движения ТТ в ат-сфере, которые являются исходными для исследований проведенных в данной

работе. Исходная система уравнений является существенно нелинейной и без ее у рощения изучение движений в рассматриваемой системе может быть осуществле1 лишь численными методами. Поэтому проводится упрощение данной системы помощью метода интегральных многообразий, который позволяет понизить пор док системы, что значительно облегчает дальнейшие исследования. Полученная результате приближенная нелинейная система уравнений является системой с одн< быстрой фазой и описывает движение ТТ, близкое к регулярной прецессии. Ра сматриваются вопросы, связанные с выполнением условий теоремы о существов нии интегрального многообразия для исходной системы уравнений движения Т Также приводятся квазилинейные уравнения, описывающие движение ТТ с мальв углами атаки. Рассматриваемое ТТ имеет динамическую асимметрию в виде смеш ния центра масс (Ау, Аг), центробежных моментов инерции (1x2, 1Ху, 1уг) и аэр

динамическую асимметрию в виде возмущающих моментов от несимметрии фор\

В третьей главе проводится подробное исследование влияния вторичного р зонансного эффекта на движение ТТ в атмосфере с использованием линейной, кв зилинейной и нелинейной приближенных математические моделей движения. О ределяются условия возникновения и основные факторы, влияющие на вторичш резонансный эффект. Дается аналитическая оценка вероятности попадания траект рии в резонансную область при достижении переменными системы за счет втори ного резонансного эффекта малой окрестности резонанса.

Приближенная нелинейная система уравнений движения ТТ в атмосфере я ляется стандартной системой с одной быстро вращающейся фазой вида:

^ = ег(2,9), (1)

ш

сШ

— = со(г) + е©(2,0). (2)

Здесь 8 - быстрая фаза; г=(сох, а, со) - вектор медленных переменных, <вх - углов скорость вращения ТТ вокруг продольной оси, а - пространственный угол атаки Т со - частота плоских колебаний ТТ при шх=0; со(г) = юх -са12 - резонансная ра стройка частот, £0|д = 0-51хсох ±юа - частоты "прямой" и "обратной" прецесси 1х==.1х/1,1хи1(1у или 17 ) - продольный и поперечный осевые моменты ине р2 2 2

ции ТТ, ша =л/1хшх /4 + ш ; Z(z,0) - вектор-функция правых частей дифференц альных уравнений для переменных шх, а, со; ©(г, 9) - функция, определяющая м лую поправку к резонансной расстройке со (г). Для исследования влияния вторичн го резонансного эффекта на движение ТТ в атмосфере необходимо производи анализ законов изменения медленных переменных в системе (1)-(2). Однако подо ное исследование непосредственно по уравнениям системы (1)-(2) невозможно из-

шисимости правых частей данных уравнений от быстрой фазы 0. Для получения равнений медленных переменных, не содержащих быструю фазу в, используется звестный метод усреднения систем с одной быстрой переменной на нерезонанс-ых участках движения. При нахождении асимптотических решений этим методом зодится замена переменных:

2=20 + е21(20,90)+...) (3)

6 = 6°+ее1(г0,6°)+..., (4)

1е функции г^г0^0) и периодичны по фазе 9° с нулевым средним.

Требуется, чтобы новые переменные тРи 6° удовлетворяли уравнениям, пра-

>ге части которых не содержат быструю фазу 6°:

1 О <ц

^ = т(г°) + еВ1(г°)+-..- (6)

Л

скомые функции А; ,9; , где ¡=1,2.....определяются по известной методике

:тода усреднения. Так, функции А] и А2 для первых двух приближений имеют

и:

а,(2°) = ^ |2(г°,е°)ав0 = (г(г°,е°)), (7)

. , 0 \ / Ж ЭZ п дгл д 9г1 \

е ( } - оператор усреднения по быстрой фазе 9°; Ъ=Ъ(Ъ\,Ъ2,2-ъ) " правые час-уравнений для переменных юх, а, о; А! = |А|<°х),А|а),А^и)

г = {А<ЧА<а>,А«} -вектор-функции; = + ©(2°,0О)\;

1

/Р^.в^-А^г0)^0; в^г0^0) и 0(г°,О°) - скалярные функции; )

ю(ги) дг"

Характерной особенностью уравнений (7)-(8) является наличие резонансных ;нов второго приближения, которые посредством функций и 0; входят в вы-кение (8) для определения вектор - функции А2 - В отличие от резонансного слу-( особенности поведения решений системы (5)-(6) связаны не с возмущениями

параметров движения в резонансной области, а с вековыми изменениями медле: ных переменных на нерезонансных участках. Причем при приближении к резонан ной области скорость изменения медленных переменных увеличивается, так как р зонансная расстройка входит в знаменатели функций zj и 9j. Данное явление hoci название вторичного резонансного эффекта.

Рассматривается влияние вторичного резонансного эффекта на изменение у ловой скорости ТТ относительно продольной оси сох. Закон изменения fflx(t) на н резонансных участках имеет особое значение при исследовании движения ТТ поч: осесимметричной формы в атмосфере, так как от него зависит, достигнет ли трае тория системы резонансной области или нет.

Из выражений (7)-(8) находится уравнение для угловой скорости юх ПРИ ПР извольных углах атаки, учитывающее первые два приближения метода усреднен (далее верхний индекс у переменной со® опускается):

(9)

Функции Ajfflx) и Аимеют следующий вид:

А1Шх) =mf0qSL/Ix+m®xfflxqSL/Ix, (10)

Л(Д>») - +~А ) (По а cos(61 - 62) ± mx mA(a4coactga _ ±

2 да IxFa(BJx-<D1>2) ixFa(cax-o1>2)2 да 1 2

„ тхАтАш4ша дв2 . т 0 ч ("*) ю4 592 IxFa(rax-а>1д) да 21х(ш х-ш1>2) 5юх

где знаки «+» и «-» соответствуют случаям юх>0 и шх<0; ~~А А < 2 —А д. < 2 9шх 1

Шх = тх /ю , ш = т /са ; -—=- = —-—9 = фп-и/2, фп - угол

да ш 1 да

^ дМ7„/да со2? аэродинамического крена; Fa =-Si-+—Ь£_+(1хшх-ш1;2)(1хС0х-2®п);

I cos а

со = л/- m^qSLctga /1, - коэффициент восстанавливающего момента ТТ, S и - характерные площадь и размер ТТ; тх , тА, тЛ, mf0, в,, в2, 63 - функции, х

растеризующие величину и взаимное сочетание аэродинамической и массов< асимметрий ТТ.

Аналогично в работе определяются усредненные уравнения для угловой скор сти ш х в квазилинейном и линейном случаях. В частности, при малых углах атак

огда cosa «1, sin а к а, функция А^^, определяющая действие вторичного резо-ансного эффекта на угловую скорость сох, имеет вид:

АС®Х> =± _ Гох ЩА(04-COS(01 _б2)_ (12)

21х(0 а (о х-СО] 2 )

'ункции А^*^ (11), (12) содержат члены с расстройкой частот юх-©12 в знаме-

ателе, которые и определяют влияние вторичного резонансного эффекта на враща-:льное движение ТТ. Кроме того, выражения (11) и (12) имеют в своем составе

эобщенные параметры асимметрии 8j -62, которые в линейном случае

тределяются из следующих выражений: глЛ = y(mf')2 + (ni2')2 ,

2 2 2 2 Л СО 4 2 А ю Ф 00 Т" . 7 2

if =--п&,+-СхоДг-ГиЛв^.Иа =--Що--Сх0Ау+ 1хуах,

mzI * mzl mzl mzl

n9j =mf /mA,cos9i = -m£ /mA;m£ =yj(m¿i)2+(mA2)2 ,

А Ш2ф OI2 — -f 2 А Ю2Л Ю^ „ "Г- у 2

xl =--mxsO--Ч1ДУ-1хуИ1,2.тх2 =--тхсО--í-y,Az-lxz(Q,2,

m2l mzl mzl mzl

i02 = -mxl / mx ,cose2 = mx2 / mA,

le ca =л/~ mJnqSL/1, т®п - частная производная от восстанавливающего момента ш по углу а, определенная при а=0; Дг = Az / L; Ду = Ау / L; íxz=Ixz/I;

у = Ixy /1. При этом параметры , тА, характеризующие величину асиммет-:и, определяют величину модуля производной {de> х / dt), так как они положи-пьны. Знак производной (dcox / dt) определяется значением угла -02, т.е. вза-[ным сочетанием аэродинамической и массовой асимметрий ТТ.

Численные расчеты показывают, что в ряде случаев вторичный резонансный фект может привести к достижению продольной угловой скоростью своих резо-ксных значений (рис. 1а). Поскольку начальные условия движения ТТ, приводя-ie к захвату в резонанс и к проходу через резонанс, в общем случае еремешаны», то в подобных случаях возникает необходимость подсчета вероят-сти захвата в резонанс по начальным условиям движения. Поэтому рассматрива-:я задача об оценке вероятности захвата в резонанс при движении ТТ на атмо-ерном участке. С этой целью в системе (1)-(2) вводится замена переменных

и изменяется масштаб времени: т = -Jet, т-едленное время. В результате этих замен система уравнений движения ТТ запивается в «маятниковой» форме:

^ = цЕ(ст,рр,е,м.), (13)

ах

Влияние вторичного резонансного эффекта на изменение угловой скорости а (О

со , с

50 *

/ 1 \ X / \

/ \ / \

/ « 2 \

и-!---- ------

/ уГ^

- 0

30 60 90 120

Рис.1 в

30 60 ЭО 120

Рис.1д

ш

р I

30 60 90

Рис.1 б

«в с

х '

30

15

—- | 1 /\ р 1 / со н «

> 1 / 1/ / 1 \ х 1

X 2 • _

^^с^—т

1 \

< 1 1 \ ' X

1,С

Рис.1 г

Фазовый портрет системы -1

в > С

ю

1 ^^ у \ V : 0 __I_______ \ \

'x 1 ю х^-зо ------- 1 -3- 1 1 1 у 90 1

Рис.2

^ = Р(а,црДц), (14)

ат

¿9

— = р+цФ1(а,црДц), (15)

г , . ^ I, 1 ™ ЭА ¿со,, ЭА йш ЭД dа

нормированное расстояние до резонансной поверхности. Функции Е, Р, Б пе->дичны по фазе 0 с периодом 2тг.

Уравнения (13)-(15) в невозмущенном случае при ц=0 переписываются в сле-эщем виде:

^=а(ст) + Ь(ст)5ш(е+92). (16)

d20

dt2

м 2(l-ïx)1/2 dû) am£ îx Ïxcùx

ï малых углах атаки имеем:а(с) = --=-~rr,b(a) = - —=— [1 - —(1 + —)J.

2 —Ix Qt Ix .

Уравнение (16) описывает движение «маятника» с постоянным крутящим мотом а(а). Первым интегралом данного уравнения является гамильтониан: 2

~ о - -**

H=Y + n(a6)-n*M )=const, (17)

—«* _ -**

9 - значение фазы 0 в особой точке типа "седло"; П*(цб ) - величина аналога гнциальной энергии на сепаратрисе, показанной на рис. 2. Причем, на отрезке [изменения фазы 0 имеются две особые точки: «центр» и «седло».

Вероятность захвата в резонанс при движении ТТ в атмосфере будем искать зормуле1:

t§(-dH/dt)dT

рг =-->если <£> (- dH/dx)dT < 4я|а| (18)

27i|a|+^(-dH/di:)dT

интегралы берутся по сепаратрисе; dH/dt - полная производная энергии шмущенного" маятника, вычисленная по возмущенным уравнениям (13)-(15). чем если (jp(-dH/dT)dT > 4л|а|,то Pr = 1, а если ^>{-dR/d-c)d-t<0,ToPr=0.

1 Нейштадт А.И. Прохождение через сепаратрису в резонансной задаче с мед-о изменяющимся параметром II Прикладная математика и механика. 1975, Т.39, '

Полученный интеграл <^(<1Я/с1т)сЬ не берется в элементарных функциях. Сле

довательно, вычисление вероятности захвата в резонанс при движении ТТ в атмо сфере по формулам (18) без дополнительных упрощающих предположений воз можно только численными методами.

Далее предполагается, что постоянный крутящий момент в "невозмущенном уравнении маятника (16) является малым: а(с) = 0(ц). Тогда полная производна интеграла энергий, определенная по возмущенным уравнениям (13)-(15) такж мала: с1Н / <1т = О(ц). Поэтому вероятность захвата (18) в этом случае имеет порядо единицы.

Гамильтониан, отсчитываемый от неустойчивого положения равновесия, пр] условии малости крутящего момента а(с) имеет вид: 2 5

Н = £_ + 2Ьсо52-. (19)

2 2

Для вычисления интеграла с^(-с1Н/ск)с1т определяется производная полно] механической энергии с!Й / ск:

— = цар + ц2—соэ2-- цЪФ, Бтё + 0(ц2). (20)

с1т ск 2

После подстановки производной (20) в выражения (18) и взятия интеграл;

_ _ ^

<|>(-с1Н/с1т)с1т с учетом замены ск = ±<10 / соэ—), где знак «+» и «-» соответ

ствуют интегрированию по верхнему и нижнему участкам сепаратрисы, определя ется формула для расчета вероятности захвата в резонанс: 212 +213

РГ=ц2я|а| + 12 + 13' <21)

где 12 +13 = -г==[--г-гтх т со5(01 -02)+2(-—-=~г—- * , 1.

/=Ь11Х(2-1Х)2 ^ 2> (2 - 1Х)2 (2-1х) 1хсо ^

Из выражения (21) следует, что величина вероятности захвата максимальна пр]

соз(0[ -02)я±1 (ортогональная асимметрия) по параметру 0] -82 и возрастает <

—А —А

увеличением параметров асимметрии тх ,т .

В работах Ю.М. Заболотнова по исследованию устойчивости главного резо нанса (сох~ш1,2 = 0) показано, что при ортогональной асимметрии вид;

01 -02 = 0,л, когда параметр шх щАсоз(01 -Э2) максимален по модулю (при дос

—А —А ~

гаточно большой асимметрии тх ,т ) выполняется условие устойчивости резо-

гансного движения ТТ.

Таким образом, для асимметрии, близкой к ортогональной, параметр шх тА соб(61 -62) при своем увеличении может достигнуть значений, при кото-5ых наблюдается выполнение сразу трех условий: условия реализации закрутки ТТ 1а нерезонансном участке до резонансных значений угловой скорости шх(при достаточно большой величине функции (12)), условия попадания траектории в резо-ганс (Рг « 1) и достаточного условия устойчивости длительного резонансного ре-шма.

Четвертая глава посвящена математическому моделированию вторичного юзонансного эффекта при движении КА в атмосфере по нелинейным уравнениям. Троводится сравнение результатов численных расчетов с результатами аналитиче-кого анализа, проведенного в третьей главе. Вторичный резонансный эффект при-юдит к нескольким характерным случаям изменения угловой скорости юх, пока-

анным на рис.1 (расчеты по исходным нелинейным уравнениям и по усредненным равнениям обозначаются соответственно кривыми 1 и 2, рис.1а-1б получены при -02 = я, рис.1в-1д соответствуют 81-02=О). Рассматриваются следующие лучаи:

. КА, имеющий близкую к нулевой начальную угловую скорость вращения относи-ельно продольной оси (сох(0)«0), благодаря влиянию вторичного резонансного ффекта раскручивается так, что зависимость со^Ц) поднимается до положительной

етви кривой ох(1), после чего КА захватывается в резонанс (рис. 1а). . КА имеет большую начальную угловую скорость вращения относительно про-ольной оси (шх (0) » 1). Однако за счет влияния вторичного резонансного эффекта

гвисимость сохО) достигает кривой и реализуется длительный резонанс

шс.16).

КА, имеющий ненулевую начальную угловую скорость вращения относительно эодолыгой оси (сох(0) * 0), благодаря вторичному резонансному эффекту раскру-

щается так, что зависимость шх(1;) огибает сверху резонансную кривую юх(1), не девая ее(рис.1в).

КА имеет ненулевую начальную угловую скорость вращения относительно прошлой оси (сах(0) Ф 0). Зависимость сох(0 пересекает кривую юх(С) до ее Максима. После этого под действием вторичного резонансного эффекта КА раскручи-ется вдоль продольной оси в отрицательном направлении, вследствие чего зави-.

!мость сох(1) достигает отрицательной ветви резонансной кривой сйх(0 и КА за-ятывается в резонанс (рис.1 г).

5. Этот случай аналогичен предыдущему случаю, за исключением того, что углова скорость вращения КА относительно продольной оси cox(t) не достигает отрица тельных значений, но не является достаточно большой, чтобы дважды пересечь пс ложительную ветвь кривой юх (t) (рис. 1 д).

В четвертой главе рассматривается также влияние вторичного резонансног эффекта на движение возвращаемых КА различных форм и назначения, использу« мых в настоящее время для доставки полезного груза на поверхность.

В пятой главе решается задача учета вторичного резонансного эффекта пр проектировании спускаемых КА. Рассматриваются КА, имеющие малую начальну! угловую скорость вращения. Записывается условие, позволяющее избежать закрут ки почти симметричного КА за счет влияния вторичного резонансного эффекта о малых начальных значений угловой скорости сох до значений, при которых реали

зуется длительный резонанс (рис. 1а) и нарушаются функциональные ограничени движения. По найденному условию строится область допустимых отклонени (ОДО) параметров асимметрии КА.

Ставится задача нахождения таких максимальных значений параметро асимметрии, при которых не происходит нарушения функциональных ограничени на контролируемые характеристики движения КА. Функциональные ограничени по угловой скорости <ах и углу атаки а в этом случае имеют вид: „min . „, _max

сох <шх<шх , (22)

а < атах, (23)

где со , со£1ах, а№Х - величины, определяющие заданные ограничения на парг метры а> х и а.

Условия (22)-(23) обеспечиваются выполнением следующего неравенства:

|П| cos(9j -92)| <|Пр|. (24)

где Qp - максимально допустимое значение параметра Q, при котором еще выпол няются условия (22)-(23). Для нахождения величины Qp выбирается расчетам

случай по начальным условиям движения и параметрам асимметрии КА.

Для однозначного определения допустимых областей изменения параметро Ду, Az, Ixy Jxz, mf, mf из неравенства (24) задаются следующие соотношения:

mzl ™zl 1 —Ix 1-Ь

п& тФ

уо m7n

= -p5-i- = -Рб—zSl=u, (25)

mzl mzl

•де р! - положительные действительные числа (веса), для которых справедливо то-6

кдество: ^р; = 6. ¡=1

Подстановка соотношения (25) в неравенство (24) позволяет найти искомую

>ДО:

л/ЗкгСу1 У л/Зк^Су!' л/Зк2Су1 л/Зк2Су1' ДО-Гх) _ ^(1-Гх) -

' л/3к3 <%< л/3к3 ^к4 <1ж< л/3к4 '

- р=-< гаг < -1—р:-,—5—т=-< < ■ г-.-,

■ч/3к5 у л/3к5 л/3к6 2 л/3кб

(СХ1 -)-Су]) Су] 1

це к1 ----—, ко = —кт =--=—, Сх1, Суь т21 -

соэффициенты аэродинамических характеристик КА.

Таким образом, в пятой главе построена методика определения области до-устимых значений параметров асимметрии при движении КА в атмосфере с малой ачальной угловой скоростью вращения относительно продольной оси, учитываю-(ая влияние вторичного резонансного эффекта на вращательное движения аппара-1.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ: Получены приближенные математические модели (11) и (12), описывающие шяние вторичного резонансного эффекта на движение почти симметричного ТТ в :мосфере.

Определены условия возникновения вторичного резонансного эффекта в зависи-

—А—А

эсти от величины параметра шх т и вида асимметрии ТТ, определяемого значе-1ем угла 61-62-

Получена аналитическая оценка вероятности захвата траекторий в длительный зонанс для ортогонального вида асимметрии при движении ТТ в атмосфере (21). Разработана методика учета вторичного резонансного эффекта при проектирова-га спускаемых КА.

По материалам диссертации опубликованы следующие печатные работы:

1. Заболотнов Ю.М., Любимов В. В. Вторичный резонансный эффект при дви-:нии КА в атмосфере. // Космические исследования. М: 1998, Т36, № 2.

2. Заболотнов Ю.М., Любимов В.В. Применение низкочастотного решения я исследования устойчивости резонансного движения КА в атмосфере. // Межву-вский сборник научных трудов. Самара: СГАУ, 1995, с.48-53.

3. Заболотнов Ю.М., Любимов В.В. Исследование влияния асимметрии н движение космического аппарата в атмосфере при малых начальных угловых скс ростях вращения // М.: 1996,20 с. - Деп. в ВИНИТИ 27.02.96., № 611-В 96.

4. Заболотнов Ю.М., Любимов В.В. Исследование влияния возмущающих мс ментов на нерезонансное раскручивание КА в атмосфере // Тезисы докладов Х> Научных чтений по космонавтике. М: ИИЕТРАН, 1997, с.85-86.

5. Заболотнов М.Ю., Любимов В.В. Оценка вероятности реализации длител! ных резонансных режимов движения при снижении, возвращаемых космически аппаратов в атмосфере// Тезисы докладов XXI Научных чтений по космонавта» М: ИИЕТ РАН, 1997, с.85-86.

6. Заболотнов Ю.М., Любимов В.В. Исследование раскрутки космическог аппарата вокруг продольной оси при спуске в атмосфере //Тезисы докладов ХЮ= Научных чтений, посвященных разработке творческого наследия К.Э. Циолковскс го, Калуга: 1996, с.57

7. Заболотнов Ю.М., Любимов В.В. Исследование влияния возмущающих мс ментов на процесс возникновения закрутки космического аппарата при его движ( нии в атмосфере // Тезисы докладов Всероссийской конференции молодых ученых Математическое моделирование физико - механических, процессов", Пермь: 199< с. 85-86.

8. Любимов В.В. Учет влияния вторичного резонансного эффекта при npoef тировании возвращаемых космических аппаратов // Сборник трудов VIII Всерос сийского научно - технического семинара по управлению движением и навигаци летательных аппаратов, Самара: СГАУ, 1998, с.149-151.