Методы моделирования и исследование устойчивости резонансного движения твердого тела с малой асимметрией в атмосфере тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

На правах рукописи

ЗАБОЛОТНОВ Юрии Михайлович

МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ И ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РЕЗОНАНСНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА С МАЛОЙ АСИММЕТРИЕЙ В АТМОСФЕРЕ

Специальность 01.02.01 - теоретическая механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Самара, 1995

Работа выполнена в Самарском государственном аэрокосмичесж» университете имени академика С.П.Королева

Официальные оппоненты : доктор физико-математических наук,

профессор Ю.Ф.Голубев доктор физико-математических, наук А.И.Нейштадт

доктор физико-математических наук, профессор В.А.Соболев

Ведущее предприятие : Центральное специализированное

конструкторское бюро (г.Самара)

Защита состоится в феврале 1996 г. на заседанш диссертационного совета Д 063.87.04 в Самарском государственном аэрокосмическом университете имени академикЕ С.П.Королева (443086, г.Самара, Московское шоссе,34).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Самарскогс государственного аэрокосмического университета имени академию С.П.Королева.

Автореферат разослан "_" _1996 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Шяаш--/^ В.Г.Шахов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена разработке методов и тематических моделей исследования резонансных режимов управляемого движения в атмосфере твердого тела (ТТ) с малой имметрией. Особое внимание в работе уделяется исследованию тойчивости резонансного движения ТТ в атмосфере в стационарной постановке.

Актуальность работы. Источником данной работы явилось ссмотрение практически важной задачи по безопасной доставке лезного груза на поверхность Земли и других планет. На временном этапе развития космической техники для решения ;азанной задачи широко используются летательные аппараты 1)(спускаемые аппараты или спускаемые капсулы), совершающие управляемое движение в атмосфере. Такие ЛА отличаются простотой изготовлении и не требуют установки на них системы управления зшением. Особое распространение указанные ЛА получили в [стоящее время для доставки на поверхность планеты палых 'лезных нагрузок с результатами технологических экперимэнтов.

Рассматриваемые ЛА проектируются, как правило, ;всимметричной формы, а динамическую и аэродинамическую ¡имметрию стремятся свести к минимуму. Однако полной шамической и аэродинамической симметрии достигнуть не удается. 1лая асимметрия неизбежно возникает при изготовлении данных ЛА I счет неточной их балансировки, а также за счет отклонений >рмы ЛА от формы идеального тела вращения (неточности в изготовили, неравномерность обгара теплозащитного покрытия и т.д.).

Наличие малой асимметрии у ЛА, совершающего спуск в 'мосфере, приводит к появлению в динамике его движения ряда >вых "особенностей", требующих подробного исследования. К этим юобенностям" необходимо отнести прежде всего разнообразные »зонансные явления, возникающие при движении ЛА в атмосфере не ТТ. Известно , что в общем случае движение в атмосфере ? с малой асимметрией описывается двухчастотной системой »линейных дифференциальных уравнений с медленно изменяющимися ¡раметрами. При совпадении частот системы (или при обращении в )ль одной из частот) происходит интенсивное перераспределение юргии между различными каналами вращательного движения ТТ. зобенно опасными являются случаи длительного совпадения частот

системы ( захвата в резонанс), когда резонансный режим движет поддерживается в течение достаточно большого промежутка времеш Реализация длительных, устойчивых резонансных режимов движет может привести к "катастрофическому" увеличению пространственно! угла атаки (угла нутации ТТ) или к большой раскруи (авторотации) ТТ вокруг его продольной оси . С точки зреш движения ЛА в атмосфере это приводит к нераскрытию парашютнс системы и, следовательно, к невыполнению ЛА целевой задачи I безопасной доставке полезного груза на поверхность планетс Поэтому разработка методов исследования резонансного движения 1 в атмосфере и выбор на этой основе проектных параметров Ш обеспечивающих заданные условия его движения, является актуальнс задачей.

Анализ проблемы. Решение задачи -об уменьшит дестабилизирующего влияния резонансов на движение ТТ тес! связано с проблемой устойчивости резонансов (или I неустойчивости), так как особенно опасными являются длительнь резонансные режимы движения ТТ. С точки зрения современна математики и механики данная проблема сводится к проблел устойчивости резонансов в нелинейной системе с переменит частотами. Методы решения этой задачи в настоящее время I достаточно разработаны. Поэтому разработка новых методе исследования резонансов в прикладных задачах является достаточ! сложной проблемой.

Задача о движении ТТ почти осесимметричной формы вокрз центра масс в атмосфере близка к задаче о движении тяжело] твердого тела вокруг неподвижной точки в случае Лагранжа-Пуассо! с заменой направления скорости на направление вертикали. В эте случае опрокидывающий момент от силы тяжести ТТ аналогич« восстанавливащиму моменту аэродинамических сил, действующих I статически устойчивое ТТ в атмосфере. Близость рассматриваем? задачи к задаче, имеющей известное решение, а также малс изменение параметров движения центра масс на периоде быстр! колебаний ТТ вокруг центра масс, является предпосылкой применен! разнообразных асимптотических методов, позволяющих во мноп случаях значительно продвинуть решение данной задачи. Несмотря I близость рассматриваемой задачи к задаче Лагранжа-Пуассона, э: задачи имеют некоторые отличия, которые оказывают существен®

лияние на характер резонансного движения ТТ. Отметим главные из их. Первое отличие заключается в нестационарности задачи: в ависимости вращательного движения ТТ от медленных переменных скоростного напора, скорости и др.). Второе существенное отличие вязано с наличием у ТТ малой аэродинамической асимметрии, оторая в сочетании с динамической асимметрией, как показано в аботе, и определяет поведение системы в резонансной области вижения.

Исследованию резонансов при движении ТТ в атмосфере делилось и уделяется большое внимание в работах отечественных и арубежных ученых. Здесь прежде всего нужно отметить большое оличество работ, принадлежащих американским специалистам в бласти ракетной техники, которые впервые поставили■ и изучили ассматриваемую проблему . Первые важные результаты в этом аправлении получены в статьях Мейла, Синга, Бона, Платуса, айфэ, Мэрфи и др. Параллельно исследованиям за рубежом проблема езонансов получила свое отражение в работах отечественных ченых. Основополагающие результаты по исследованию резонансов ыли получены в работах Бвшгенса Г.С. и Студнева Р.В., рошевского В.А., Шилова А.А. и Гомана М.Г., Асланова B.C., митриевского А.А. , Богодистова С.С. и др. По сравнению с аботами зарубежных ученых в отечественных публикациях более лубоко были исследованы вопросы нелинейного резонанса. Анализ звестных работ по исследованию резонансов, возникающих при вижении ТТ в атмосфере, указывает на недостаточное развитие еории резонансного движения. Это в основном относится к вопросу сследования устойчивости резонансов с учетом нестационарности вижения, а также к вопросу влияния сложной асимметрии на акономерности возникновения и развития резонансных явлений, опрос об анализе устойчивости резонансного движения ТТ ассматривался в основном лишь с точки зрения выполнения еобходимых условий существования резонансных режимов движения ри стационарных условиях полета. При этом достаточные, условия стойчивости не были получены и, следовательно, не нализировались. Как показано в работе, вопрос о выполнении остаточных условий устойчивости является ключевым при сследовании возможности реализации длительных резонансных ежимов движения ТТ, наиболее опасных в прикладном отношении.

Цель работы. Целью настоящей работы является разработк методов моделирования и методологии исследования устойчивост резонансного движения ТТ в атмосфере и выбор на этой основ параметров ЛА, обеспечивающих заданные условия его движения.

Методы исследования. При разработке методов, для получени математических моделей, аналитических формул, оценок, услови устойчивости использовались методы и подходы, развиты

A.Пуанкаре, В.И.Арнольдом, Н.Н.Боголюбовым, А.Б.Васильевой,

B.М.Болотовым, Н.Н.Моисеевым, А.И.Нвйштадтом, В.В.Румянцевым А.Н.Тихоновым, М.В.Федорюком, М.М.Хапаевым, Ярошевским В.А. и др

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Разработан метод исследования устойчивости резонансного движения ТТ с малой асимметрией в атмосфере.

2. Разработан метод оценки возмущений при прохождении через резонансы ТТ с малой асимметрией.

3. Получены новые математические модели, предназначенные дл исследования резонансных режимов движения ТТ с малой асимметрией полные уравнения движения в комплексной форме; квазилинейны уравнения в окрестности резонансов; нелинейные низкочастотны уравнения для главного резонанса.

4. Определены все возможные виды резонансов, возникающих пр движении асимметричных ТТ в атмосфере при малых углах атаки, и установлены причины их появления.

5. Установлены причины возникновения длительных устойчивы резонансных режимов движения ТТ и объяснено влияние сложна асимметрии на характер движения в резонансной области.

6. Разработан метод ускоренного расчета на ЭВМ траектори снижения в атмосфере асимметричных ТТ и проведено ег теоретическое обоснование.

Практическое значение работы состоит в том, что основны результаты доведены до простых аналитических формул и оценок удобных для инженерных расчетов. Выявленные в работ закономерности реализации резонансного движения позволяй оперативно решать задачи предполетного и послеполетного анализ движения ЛА. Разработанные методы внедрены в практик проектирования космических ЛА в Центральном специализированнс конструкторском бюро (г.Самара) и в учебный процесс в Самарскс государственном аэрокосмическом университете, что подтверждаете

соответствующими актами внедрения.

Публикации и апробация работы. Результаты диссертации шубликованы в 17 печатных работах в том числе восемь ;татей в центральных журналах РАН. Основные положения работы, гаучные и практические результаты докладывались на 15 зсероссийских, отраслевых и международных конференциях, в том шсле на научных чтениях по космонавтике (1981 г.,1992-1995 г.). га научных чтениях Ф.А.Цандера (1979 г.,1981 г.,1985 г.), на 'агаринских чтениях (1980 г.), на Втором Российско-китайском 5импозиуме по космической науке и технике (1992 г.) и других, а ?акжв обсуждались на семинарах в Институте проблем механики РАН и 5 Московском авиационном институте. Работа в полном объеме укладывалась на семинаре кафедры теоретической механики в {ооновском государственном университете, где получила галожительную оценку.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, гести глав, заключения, списка цитированной литературы (126 гаименований) и двенадцати приложений. Объем диссертации 410 е., 13 них 277 страниц машинописного текста (приложений 41 страниц, '9 рисунков, 4 таблицы).

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении дается краткая характеристика проблемы и юлученных в диссертации результатов.

В первой главе проводится анализ проблемы и формулируются зеновные задачи, рассмотренные в работе. Описываются типичные [юрмы твердых тел (тела, близкие к телам вращения) и асимметрия, зозникащая при их движении в атмосфере. Асимметрия ТТ сарактеризуется: I) смещением центра масс ТТ относительно оси, 5лизкой к оси симметрии формы (Ау,Аз); 2) ненулевыми дентробежными моментами инерции ТТ (I ,1,1 ); 3) различием

Я?У у»

зеевых моментов инерции ТТ (1-1 ¿0); 4) аэродинамической

асимметрией в силах и моментах Г), действующих на ТТ

(неровности ■ поверхности, неравномерность обгара и т. д.). В этой главе дается подробный аналитический обзор известных работ по ^следованию резонансов, возникающих при движении ТТ с малой симметрией. Кроме работ, посвященных движению ТТ в атмосфере, анализируются работы по сходной тематике из других областей шханики и математики. Показывается место методов, разработанных

в диссертации, среди известных.

Во второй главе приводятся математические модели, котор] являются исходными для исследований, проведенных в работ* Аэродинамические моменты, действующие на ТТ в атмосфере, задают« в виде:

ф а - ш -

11= С Az Sq + т qSl + т х ш qSl + т уп ш qSl ,

Я у 1 П. 4 X XX1 X УП1

Ф Ф ш - ¡55 -

a^qsum^ u>xqSl, (1)

Ф ф (¡5 -

ií =m qSl+G Ли qS+(m coacp +m aimp jqSl+m*11 uaSl ,

zn zn1 El "n1 Z Tn ¡/ ТП ^ Sil zn1

где 7 ~ коэффициенты аэродинамической силы в некоторс

связанной с ТТ системе координат; Ayn = Ay cos<pn - As aíncpn, Azn = Az cos<pn + Ay aírepn , <pn~ аэродинамический угол кренг S и 2 - характерные площадь и размер; q - скоростной

напор; я^- коэффициент восстанавливающего момента; пРх ,

, m^ и m^1- коэффициенты демпфирующих моментов;

¡¡5 = ш 7/у = ш í/u, 65 = ш I/u - безразмерные

XX * J/n ^П. ' гп zn ^ х

угловые скорости; у - скорость центра масс ТТ; w?=lP/qS\ m^é/qSl, m^iP/qSl . * *

Получены новые уравнения вращательного движения ТТ

комплексной форме: ^ _

— - ti и + Bfr,£Д = ffr,iú ллл , ф;, a!í

ЙФ ' - <3ш ' '' ^

—- = tos+ , ГЕ —1" = fffrfcúe ,

dt dt ' где £=ia expfíjJ - комплексный угол атаки; Ф=<р +7; I =1 /I ;

71 П X

1=(1у+1г)/2 , i=d£/dt, i'=d2£/dt2, wx- угловая скорость ТТ вокрз продольной оси ОХ; 1х и Iz~ осевые моменты инерции; 7- угс крена; г- вектор параметров движения центра масс ТТ; Л,3,/,(р и - известные функции своих переменных. Углы otn,<pn и 7 задаются соответствии с ГОСТом 20058-80 и представляют собой углы нутации собственного вращения и прецессии.

При получении системы (2) предполагается, что коэффициент аэродинамических сил и моментов, входящие в выражения (I), могу

Зыть аппроксимированы полиномами по углу ап, причем четные рункции приближаются полиномами с четными степенями an, а ючетные функции - с нечетными степенями а . Например,

N П

" Ztl-1

71 = 2 mz ап ' где Ж- число учитываемых членов, mz

, 2п—J 2п—I

П= 7

коэффициенты полинома, зависящие в общем случае от параметров движения центра масс ТТ. В системе (2) функции A,B,/,(p,W галучены в виде рядов по комплексному углу атаки £ (найдены формулы для общих членов этих рядов). Поэтому система уравнений (2) обощает известные уравнения, приведенные в работах Найфэ А., 1рошевского В.А., Шилова A.A. и др. ученых, и позволяет сохранить три необходимости любое количество членов по степеням Сказанное свойство системы (2) имеет особое значение при «¡следовании резонансных режимов движения TT, так как резонансные 1Л9ны в уравнениях движения требуют специальных методов оценки (эти методы развиты в главах 3 и 4) и не могут быть отброшены сольно на основании их оценки по абсолютной величине (или по сакой-либо другой норме).

В конце главы обсуждается и описана концепция введения лалых параметров, используемая в работе при применении асимптотических методов анализа. В данной работе способ введения яалого параметра связан с выделением так называемого порождающего эешения и с исследованием поведения системы в окрестности этого зешения. Фактически в этом случае производится ограничение типов эассматриваемых движений. Поэтому в данном случае малый параметр ; используется как своеобразная метка (или масштабный соэффициент), указывающая вид порождающего движения. В этом злучае успех использования асимптотических методов определяется 5лизостыо порождающего и точного решений друг к другу. В различных главах и разделах работы в зависимости от целей ^следования используются разные вида поровдающего движения.

В третьей главе проводятся исследования резонансных режимов движения TT по квазилинейным уравнениям. Для этого зистема (2) приводится к виду:

йН - d£

— -il u — + 4f(r)i = BF(r,tö ллл

at* 1 х at x (з)

аф т cío ...

— = w + е <рал) , х= eiffr.w , dt dt *

где еР =еГ/ + ÍI ш^АЛ - АЗУ , LA=A-at/dt, АВ=Б-ь?(г),

ш ■= (-mz1qSl/I)1//2- частота колебаний ТТ, определенная при ш^О,

а функции А4 и АВ определяют члены второго порядка и выше по

Система (3) описывает движение ТТ с малой асимметрией при малых углах атаки. Она рассматривается совместно с уравнениями движения центра масс ТТ, которые могут быть записаны в той или иной форме и описывают изменение компонент Еектора г , кал медленно изменяющихся параметров.

Система квазилинейных уравнений (3) при е=0 имеет порождающее решение вида:

£ = a, ezpfíT7J + аг ezp(iy2J , ^

Ф = Ф(О) + í , = aonat, г = conat, где а? и а2 - амплитуды колебаний ;7?=w;t+7?{'0.),72=ü)2t+72('0;-- вращающиеся фазы; j1(0),j2(0J, и Ф(О) - начальные значения

7.и Ф ; со, „=1 ш / 2 - ю - частоты колебаний;

11 ¿ _2 ^ i, ¿ a; a; U

= а ш / 4 ± и2 ;,/г. а х х

Таким образом, в данном случае за порождающее движение ТТ принимается двухчастотное гармоническое колебательное движение при u^conat ,r=conat. Амплитуды af и а2 при малых углах атаки аг при входе в атмосферу имеют простую геометрическую интерпретацию:

а - угол между осью 01 и вектором кинетического момента Q,

+ •*

а2- угол между вектором скорости v и векторам Q . Причем фаза 7f характеризует так называемую "прямую" прецессию ТТ (ш?>0), а фаза 72- "обратную" прецессию (ш2<0).

Методом вариации произвольных постоянных система (3) приводится к стандартному виду - системе с тремя быстрс вращающимися фазами 7?, 72 и Ф :

dr со) г

— = X (х) + еХ (х) + s ... (5) di

Здесь х = ( а1>аг>{¿х,1г12Л,г ) = (х^ хг,...х7),

у(ОУ_,- У (О) у(О) У (О), у (0)_ у (0)_ уС 02 у(0)_ п л -( Aj f 2 7 '» J ~ 2 3 ~ 7 ~

ÜJ;, x(50)= ü>2, Ws , ХЧ)(Х) - известная вектор-

пункция.

Методом усреднения по известной методике определяется "улучшенное" первое приближение для_решений системы (5)

X = Xo + Е Х}( Xo) . (6)

ЗДвСЬх, \ вп ехр [i (rf + а1° + т ] ,

к,а,ш у

h. = В*. / í( fei),f n w° ) ,

к з m a m 1 2 x ' '

^де m - коэффициенты Фурье функции

Проводится анализ "улучшенного" первого приближения (6-7) с *елью определения всех видов рэзонансов, возможных в системе (5) (&о?+ ш2+ т ьР=0). Для этого определяются коэффициенты Фурье этличные от нуля и анализируются условия, при которых

гагут обращаться в ноль расстройки частот зш2+ т

1олучено два ряда знаменателей, обращающихся в ноль

(к - Ш2 - о)^ = О, ("8;

№ - (к-1)ы2 - 2ых = О, (9)

да к = О, -1,-2,...

Причем причиной возникновения знаменателей (8) является ¡симметрия Ду, Lz, 1х<т, I , т® и т®, а знаменателей (9) - асимметрия I и ДГ . Из условий (8-9) определяются

yz

юзонансные угловые скорости

ш/ = ± (2к+1)ш / (1- 1х -к(к+1) 1гх ) 1/г , (10)

2к ш / (4- 41 х -(к-1 )(к+1 )1гх )1/г , (11)

>де к = О, -1,-2,..., которые существуют при

I < 1 / (к+1) , к = 0,1,2,3,... х (12)

1х < 2 / (к+1) , к = 1,2,3,...

Резонансные угловые скорости (10-11) симметричны ¡тносительно нуля, а ряд угловых скоростей (II) включает в себя >яд угловых скоростей (10). Неравенства (12) определяют [еобходимые условия существования резонансных режимов движения ТТ

¡ атмосферё в зависимости от значения параметра Анализ

зормул и неравенств показывает, что при некотором значении

параметра всегда реально возникает конечное число резонансов,

количество которых невелико. Так, при 2/3 < < 1 возникает две

резонанса (шР=0, ы/(1-1х)1/г), при 1/2 < 1х < 2/3 - три резонанса ит. д. Данный вывод не зависит от числа удерживаемых членов пс переменной £ в возмущающих функциях р (3). На рис.1 для

примера показаны несколько резонансных скоростей щР( ujjj>0) (II),

существующих при I =0.3. Расстояние между резонансными кривыми

(рисЛ) при нонечном значении параметра I есть величина порядка 0(ч>), где частота ш определяется величиной восстанавливающего момента т , который предполагается не малым. Поэтому резонанса (8-9) изолированы друг от друга, что позволяет проводить исследование каждого резонанса в отдельности и, тем самым, упрощает задачу.

Исследование резонансных режимов движения ТТ обычна разбивают на две задачи : I) оценка возмущений параметров движения при проходе через резонансы; 2) определение возможности существования длительных устойчивых резонансных режимов движения.

Для решения первой задачи разрабатывается метод оценки возмущений при прохождении через отдельный резонанс для системы с несколькими частотами:

úz Щ

— = sZ(z,q>), — = ы(г) + sü(z,m), (13)

at at

где z - fe-мерный вектор медленных переменных, <р- ш-мерный вектор

быстро вращающихся фаз, ш=(ш?,___со^)- совокупность частот

системы, Z и О - известные вектор-функции.

Предполагается, что выполнено условие прохода траектории через резонансную область + .. имеющее вид*J :

й Í

- I + М J/íü

I 11 m-1 т-1 т

dt

где С - некоторая положительная константа.

Для оценки возмущений система (13) представляется в виде:

' 3Гребеншод Ё.А., ТШШ ю.А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем.- М.: Наука, 1979.- 432 с.

Резонансные скорости Законы изменения со* (О

.-I

р -1

(Ох, О

80

Г\

/ г\

//

л

80

40

1:,с

0,-62=0

/

<0* /

УЛ Л л л ХгбпПП

50 100 150

Рис. 1

50 100 150

Рис. 2

Законы изменения (1) Критические значения ш

А =~А

ю

юх ,с

-1

тхАкг

-30

0>Х / =2Иг/2

\0

50 100 150

Рис. 3

А10-2

Рис. 4

Процесс захвата траектории в резонанс при &аз/йь>0 и при ёсо/сН<О

р,с

I

р}С

-1

10

о

-10

О в, Град 200 _200 Рис. 5

—

С V

\

0,град

200

— = Z(0)(z) + \ikZ(z,(p) , — = Й.Г Q<0}(z) + цАП^.ф.) 1 , (14) d % d т L J

где Z(0)(z)= <Z(z,ф;> и Q<0)(z) = ui(z)+<n(z,y)> - функции,

определяляицие усредненную систему, < > - оператор усреднения

по фазам ф , %=st - медленное время, к=е~1- большой параметр, А2

и АП - возмущащие функции, причем <AZ>=<AQ>=0; р.- малый

параметр. Введение в систему (14) малого параметра ц является

формальным и после построения асимптотических рядов мокнс

положить \х=1.

Асимптотические решения системы (14) ищутся методом Пуанкаре. Так, например, для медленных переменных s имеем:

Z( X ) = zQ(%) + ц £Г,(Ч; + Ц2... ,

dz0 ... dz, ÔZ<°> П5>

-0 = Z со)(г ) , -1 = - zf + kZ (z0,%),

d т ° d i ô z 1 P °

причем решение линейного уравнения для z? определяется квадратурой: %

zfCz)= J H(%,Tj) kZ(xi) <îr] , (16)

xo

где ïï(i,r\)~ матрицант, соответствующий линейной однородной chct6n Для оценки возмущения при прохождении через резонанс

___решение (16) для некоторой резонансной фазь

8 =гг(£.ф ф ) (п=1,2,„.) записывается в виде:

Т1 7 7 lit ИЬ

т

einM) т J kJV) expCikQjT])] dq , (17)

где g', , (T|j- коэффициент Фурье, соответствующий фазе 6 ;

R 1 t м ш в RUIL Tir

rv

0 - медленная фаза.

Оценка интеграла (17) находится методом стационарной фазы:

и Z1 К£ I f u , а ; | Ц (10)

de

где С2п- известная константа,%ж- момент прохождения чере£ резонанс; ô=-ot/ae; а - параметр, характеризующий действие демпфирующих членов; J ||- евклидова норма;

\ I й2 8 I -

I)

. ~ , . ~ параметр, характеризующий скорость

( х I й ■п

рохода через резонанс; и = эсОч-т;^; й. =• геСх-т^); й

I ( й , а ) = J едр [а { й - и)] егр( 1р % иг/2) сШ. , -00

[ричем интеграл \1(й,а)| оценивается по его первому максимуму.

Искомая оценка для для г1 вследствие суперпозиции решений юлучается соединением оценок (18):

II II * I [| 2,(1}) |Л =0( Х~,/2)= О (Е1/2 ). . (19)

Порядок оценки (19) соответствует порядку оценок, полученных ! работах Арнольда В.И. и Нейштадта А.И. Однако полученные оценки конкретны и их нетрудно вычислить по заданной системе уравнений ;13). Для аналитических функций Д2 из (18-19) можно получить ¡ависимость возмущений от порядка рассматриваемого резонанса

•■ При этом оценка (19) преобразуется к виду:

!1 21 || < С3ехр(-С4\Щ) / \Щ1/г , (20)

*Д9 С3 ,с4 > о.

Изложенный метод применяется для оценки возмущений при гроходе через главный резонанс ши=оз? (ш^хЗ) системы (5) в случае

аэродинамической асимметрии ТТ (тгР^О, пР/О). Полученные оценки ря возмущений амплитуд Да? и Ааг имеют вид:

I Ла?п | < | I, ||£пГ|/*, | Кагп | <г | Г2 ||5п2|/ш, ^

| Да, | <■ Е | Да;п | Да; | < с I А а,

п п

где 12| = 11Сй,а) 2)\, а1 и аг~ параметры, характеризующие цействие демпфирующих членов в уравнениях для амплитуд а; и а2 , ?п1 и 8п? ~ коэффициенты Фурье.

Оценки (31) получены для общего пространственного случая движения (а} 2 ^ О). Из этих оценок, как частный случай, следуют известные неравенства, найденные в работах Шилова А.А., Романа И.Г., Яропшвского В.А. Аналогичные оценки были также получены в случае аэродинамической асимметрии ТТ при прохождении через резонанс вида ш +ш,Р=0 (шх > 0).

При рассмотрении задачи о возможности реализации длительнш резонансных режимов движения используется частично усредненная система вида:

dz° d8°

■pnrr- = s S(z° , 0° ) , — = L(z°) + e D(z°,Q°) , (22) ax dt

где + . ..+t>m<pm, A^&jWjj-.. z° и 6o- усредненные

значения переменных z и 9, D= <&;П7+...+йт0и>, S=< Z >, < >-

оператор частичного усреднения по нврезонансным фазам.

Система (22) стандартным образом приводится к "маятниковой"

форме

do _ _

— = / е E(a,V е р,е; ,

di (23)

de _ _ dp _

— = р + У s D(a,Y е р,9) , — = P(a,Y в р,Q) , dt dx

где a =(z1 ,...zA_t ), р=£~7/2Д, %=e1/zt, P=S QL/dz,

E - известные -мерные функции.

Для получения необходимых условий устойчивости резонанса

прежде всего анализируется невозмущенная система

d&Q/d% = pG , dp0/d%= P(aQ,0 ,ео ; , (24)

где a0=con3t.

Необходимые условия существования устойчивого (по Ляпунову) тривиального невозмущенного решения системы (24) р *=0, P(ao,0,Q*)=0, имеют вид:

max Р min Р < О . (25)

эр

— сеЬ < о , (26)

39 и

где неравенство (25) определяет условие существования корней функции Р, а условие (26) позволяет выбрать из этих корней устойчивые (по Ляпунову). Неравенство (26) интерпретируется как условие, обеспечивающее минимум аналога потенциальной энергии П=-$ Р(В№0 для нелинейного осциллятора йг&/&1г-Р(В)=0.

Выполнение условия (26) не является достаточным для устойчивости решения при постоянно действующих возмущениях,так как в этом случае устойчивость невозмущенного решения определяется

свойствами возмущающих функций Е,0, входящих в систему (23). Для наследования устойчивости в этом случав делается замена геременных А6=в-0*, Др=р и движение системы (23) при малых склонениях от невозмущенного решения описывается в переменных амплитуда - фаза: Д0 = Асоаф, Ар=-4ш0з(?гф, где шв=(-дР/дв)1//г-гастота колебаний относительно резонансной поверхности, функция 7=Аг=(А9;2+СДр^2/Шд является положительно определенной функцией по переменным А9 и Ар при условии выполнения неравенства ¡26) и допускает по этим переменным бесконечно малый высший гредел. Поэтому из известных теорем об устойчивости движения шределяется достаточное условие устойчивости решения

<ЯГ/йх=2А ОА/йх < О, (27)

\де производная сМ/йч находится в силу возмущенных- уравнений [23). Здесь устойчивость решения - это устойчивость по переменным ф,А9 или (2,ву-устойчивость, где 2=(Ар,А9;, соответствующая )првделению, приведенному в монографии Хапаева М.М. г)(с.62). При )том требование на знак производной <ЗУ/йт ослабляется посредством гсреднения правой части (27) по фазе ф, то есть

<А с2МЗт>ф < О , (28)

"дэ < >ф - оператор усреднения по фазе ф.

Справедливость данного утверждения обосновывается соответствующей теоремой 2). Условие (28) для системы (23) при юлых возмущениях ДО, Ар выписано в конкретном виде:

шд _ 9В дР

- - У 8 — - — > О , (29)

<39 <9р

'де Шд=с£ыд/с1т= 0(е1/2), дР/др=0(е1/>г),а все функции вычисляются ¡а резонансной поверхности.

При исследовании устойчивости неЕозмущенного решения в заботе используется также энергетический подход к построению зункции Ляпунова. В этом случае за функцию Ляпунова принимается голная энергия невозмущенной системы (24), в которой готенциальная энергия отсчитывается от устойчивого положения завновесия: У=р2/2+17(а,6*+ле)-П(о,В*), где 8* удовлетворяет условию (26). Нетрудно показать, что в этом случае функция 7 шляется определенно положительной в некоторой окрестности

'■'Хапоев м.м. Асимптотические методы и устойчивость в теории гелинейных колебаний.- М.:Высшая школа,1988.-184с.

невозмущенного решения и допускает по переменным Ар и Д£ бесконечно малый высший предел. Поэтому достаточное условие устойчивости невозмущенного решения будет иметь вид <Ш/йх<0 шп <дЯ/йх> < О2-1, где усреднение проводится по периоду колебаний невозмущенной системы (24) в окрестности невозмущенного решения. Известно, что в этом случае усредненное уравнение для энергии \ находится в квадратурах по схеме В.М.Волосова. В данной работе энергетический подход используется для дополнительного контрол? правильности результатов при численном моделированш на ЭВМ , та! как аналитический анализ зтого условия славен.

При решении вопроса о попадании траекторий систем I окрестность невозмущенного решения вводится в рассмотрение полна? энергия невозмущенной системы (24), отсчитываемая от неустойчивого положения равновесия: Ь=рг/2+П(а,(1)-П(а,В**), где

¡к* ЛЛ

Р(в0 >0, дР/д9(В0 )Ю. Подробно рассмотрен случай, когда функци? Р на отрезке [-%,%] имеет два корня, один из которых устойчш (0* ), а другой неустойчив (0**). Именно этот случай являете? наиболее характерным при исследовании резонансов при движении Т1 в атмосфере. Тогда на фазовом портрете невозмущенной системы (ща выполнении условия (25)) на отрезке [-%,%] имеется петл? сепаратрисы, отделяющая область вращений (внешняя область) от области колебаний (внутренняя область) (рис.5). Переход траектории из внешней области (Н>0) во внутреннюю (7г<О; и движение в последней соответствует захватам в резонанс. Для анализа возможности попадания фазовой точки во внутреншм область находится производная бк/йх, определяемая в сила возмущенной системы (23). Попадание фазовой точки во внутренний область происходит, если производная (Ш/йх при движении I резонансной области отрицательна и достаточно велика ж абсолютной величине. Наличие условий устойчивости (25),(26),(29; и явного выражения для функции бЬ/б.х позволяет провеси исчерпывающий аналитический анализ возможности реализацш длительных резонансных режимов движения ТТ в атмосфере.

Условия устойчивости для резонансов (8) имеют вид:

_ А

т %

37

(\щ-1)1 Ли/т

соа(В*+&2) > О , (31)

— «£+1с£)> С_ ( С > О ) , (32)

й1 1 2 7 7

где т и 9 - некоторые обобщенные параметры асимметрии,

® ф Ф

зависящие от Ду, Аг, I *ту и (влияние асимметрии и

ЛГ при малых углах атаки пренебрежимо мало); |№|=|2г+7|+|&|+7-порядок рассматриваемого резонанса. Условия (30-32), полученные в данной работе, обобщают известные условия, так как,во-первых, они выписаны для любого резонанса, возможного в системе (5); а, во-вторых, в них впервые учтено достаточное условие (32), не рассмотренное ранее.

С помощью неравенств (30-32) подробно анализируются два первых резонанса, возникающих в системе (5) Соз^ > О): шл-й)?=0 и ш-Зш +ш =0. Для главного резонанса выделяются три обобщенных параметра асимметрии: т , т и 9 ;-02 , от которых зависит поведение системы при пересечении резонансной кривой

(1Р=и/(1-1 )1/г. Показывается, что, если необходимые условия

X X

устойчивости (30-31) выполняются (при достаточно больших

величинах асимметрии т ,т ), то поведение системы при пересечении резонанса определяется значением угла 0,-02»

учитывющим взаимное сочетание асимметрий Ау, Аз, Г ,1 ,тгР и

ж ху xz у

пг. Описывается полная картина возможных резонансных режимов ТТ в этом случае. На рис.2-3 приведено пять типичных вариантов поведения системы (5), соответствующих достаточно большим и фиксированным значениям асимметрии тх ,п и различным значениям угла в;-92: 8?-82=0 (раскрутка по ц>л в положительном направлении, рис.2); 8;-б 2=ж/2 (захват в резонанс на нисходящей ветви скоростного напора, рис.2); вг-6г=% (устойчивый резонансный режим движения на всей траектории, рис.2); 6?-92=3%/2 (захват в резонанс на восходящей ветви скоростного напора и выход из резонансного режима на нисходящей ветви, рис.3); 8?-В2=0 (проход угловой скорости через резонансную кривую и раскрутка ТТ в отрицательном направлении с изменением знака с последующим захватом в резонанс на нисходящей ветви скоростного напора). Случай 0^0^=0, приведенный на рис.3, отличается от аналогичного случая, представленного на рис.2, только величинами асимметрий

А А

тх, т. , которые в два раза меньше. Устанавливается,что существует некоторый диапазон углов Э;-В2 (включающий в себя значение 0?-02=О), в котором достаточные условия устойчивости (32) для главного резонанса не выполняются и, следовательно, устойчивые резонансные режимы движения невозможны (при шя>0). С другой стороны в некотором диапазоне углов 0,-62 , включающем в себя значение е;-9и=тс, возмущения амплитуды а( максимальны, что, как правило, ведет к "катастрофическому" возрастанию углов атаки ТТ. Здесь следует отметить, что вследствие сложившейся терминологии, случаи 8 ?-0^=0, тс относятся к ортогональной, а случаи 01~В2=%/2,3%/2 - к компланарной асимметрии.Показывается также,что при изменении знака <±>х влияние угла В изменяется и ведет в общем случае к смене типа резонансного движения. Так, например, при изменении знака с плюса на минус асимметрия О;-02=О переходит в асимметрию 0?-92=тс, что сразу же ведет к устойчивым резонансным режимам движения (рис.3). При анализе всех вариантов поведения системы для главного резонанса, как показали исследования, ключевым является выполнение достаточного условия (32) (к=0), впервые полученного в данной работе.

Условия устойчивости (30-32), записанные для главного резонанса, позволили выявить основную причту реализации длительных резонансных режимов движения (вид асимметрии, угол 0г~02). Анализ поведения энергии Н во внешней области (вне петли сепаратрисы) подтвердил данный вывод, так как было показано, что изменение угла 0;-02 (цри достаточной величине асимметрий шх,т ) полностью качественно изменяет зависимость причем при 0;-62=О значения П( 1) максимальны, а при 9?-02=и; - минимальны, что создает благоприятные условия для реализации длительных резонансных режимов движения.

Неравенства (30),(32) позволяют также провести анализ влияния различных факторов на критические значения параметров асимметрии ,т , то есть на те минимальные значения тх ,т , при которых еще возможно существование устойчивых резонансных режимов движения. Показывается, что на плоскости параметров тх,т (при 0;-6г=сопз1) существуют две кривые (нижняя и верхняя), определяющие различное качественное поведение траектории (рис.4). Если точка находится ниже нижней кривой (кривой критических значений), то устойчивые резонансные режимы невозможны (не

заполняются условия устойчивости (30) и (32) ). Если точка шходится выше верхней кривой, то устойчивые резонансные режимы движения реализуются всегда. Если точка находится между сказанными кривыми (зона неуверенного захвата), то реализация остойчивых резонансных режимов зависит от значения резонансной Е>азы на момент прохода через резонанс. Так как начальная

Е>аза 9 (0) (и, следовательно, фаза 9(4^,) ) обычно является мопределенной величиной и может быть любой О < 9(О) < 2%, то в этом случае вопрос о захвате в резонанс преобретает вероятностный сарактер. Причем вероятность захвата очевидно зависит от юложения точки (т ) (ближе к верхней или нижней кривой) и закона распределения 9(0). В работе проводится подробное шсленное исследование влияния различных параметров на фитические значения тх,т и на ширину зоны неуверенного захвата.

Для резонанса ш =0 (ш^хЗ) был также проведен анализ

условий устойчивости (30-32) (й=7), который показал, что в этом случае устойчивых длительных резонансных режимов цвииения не наблюдается. Несмотря на значительные усилия (проведенный аналитический анализ неравенств (30-32), а также лногочисленные численные эксперименты), поиск таких вариантов не увенчался успехом. Как было установлено, это связано с *евозмохностью выполнения достаточного условия устойчивости (32). 1оэтому для этого резонанса характерен быстрый проход через резонансную область, приводящий к ступенчатому изменению тарамвтров движения ТТ (первая задача).

При исследовании главного резонанса при некоторых сочетаниях тарамвтров асимметрии (варианты 6?-92=0 и в}-в2=%) выявился эффект раскрутки ТТ вокруг продольной оси (угловая скорость ш^) за нерезонансных участках его движения. Закономерности этого явления были подробно исследованы с помощью метода усреднения. Наблюдаемую закрутку удалось обнаружить во втором приближении метода усреднения и полностью объяснить ее. Было установлено, что !1редельные значения асимметрии тх,т , приводящие к закрутке, приблизительно в два раза превышают критические значения тех же параметров, приводящие к захвату в резонанс, для других видов асимметрии (угол 0;-в2). Полученные аналитические формулы для производной позволили выявить основные факторы, влияющие

па возникновение и развитие нерезонансной авторотации.

В последнем разделе главы приводится схема преобразования моделей для квазилинейного случая и рассматриваются некоторые вопросы теоретического обоснования уравнений, используемых для исследования резонансного движения асимметричных ТТ в атмосфере.

В четвертой главе развивается метод исследования резонансных режимов движения ТТ с помощью нелинейных низкочастотных уравнений. Исходная система уравнений вращательного движения в атмосфере ТТ в резонансном случае (<2■$1/йЬ=0(Е1/г)) представляется в следующем виде:

бх ба.

йт а а% ~ ша '

ц — = - Я(т,а) - / (х,а)шп + йт; за (33)

р.г[/1(х,а,ц>)+?2(х,а,ц>)ыа],

— = р(х,а) + (х,а,<р,ип) . бя 7 и

где х - вектор медленных -переменных системы ; т=р.£ - медленное время; \1=е,/г - малый параметр; 1,Р,/7,/2,/э,р и известные функции; а и ф - углы атаки ап и аэродинамического крена сра (индексы опущены).

Ставится задача об асимптотическом расщеплении решения системы (33) на низкочастотную и высокочастотную составляющие, которая решается с помощью асимптотического метода для сингулярно возмущенных систем. Асимптотические решения системы ищутся в виде:

х = х + х , а - а + а - , ша= ба + ша , <р = ср + <р , (34) где и ф - асимптотические ряда, описывающие "медленные"

"•И XI IX XI

движения; г , а ,ша и ф - асимптотические ряды, описывающие "быстрые" движения (пограничные члены). Для описания "медленного" движения системы (33) в резонансном случае используются два первых члена асимптотических рядов. В этом случае система, описывающая "медленные" движения, представляется в виде:

с1х/й% = \&(х,а,<$>,0)+ 0(у.г), (35)

дР <3а 91?

— — = - х + осц2; , (36)

да й1 дх

dtp „

— = p(x,a) + рФ (x,a,q,0 ) + Ofr ) . (37)

d%

лдв х=х0+\1х1г а=а0+\ш. }, ф=<р0+щ>?. В системе (35-37) верхнее годчеркивание над переменными х,а, и <р опущено.

Использование приближенных уравнений (35-37) для описания зезонансного движения ТТ вместо исходной системы возможно, если выполнены условия теоремы А.Н.Тихонова, ключевым из которых для {энной системы является условие, обеспечивающее асимптотическую гстойчивость точки покоя так называемой присоединенной системы3 Сказанное условие для системы (33) имеет вид:

- - + т 211- < 0 , (38)

mv 2X1 Iv

"де г?а - частная производная по ап коэффициента подъемной силы 1уа, ш - масса ТТ, v - скорость. Поэтому выполнение условия (38) определяется соответствущими демпфирующими характеристиками ТТ. 1ри движении в атмосфере ТТ достаточного удлинения довольно дощным фактором, обеспечивающим демпфирование угла атаки ап шляется коэффициент С® , который в большинстве случаев и

J/CZ»

1риводит к выполнению условия (38).

При отсутствии асимметрии уравнения (35-37) описывают 1рецессионнное движение ТТ с медленно изменяющимися параметрами, 1ри наличии асимметрии на квазирегулярную прецессию в резонансном случае накладываются низкочастотные колебания угла срп, так как 1ри этом переменная <рп аналогична резонансной фазе 9 (см.(22)). Бактически в этом случае система (35-37) подобна частично усредненной системе (22). Это подтверждается еще и тем, что при лалых углах атаки а„п низкочастотные уравнения тождественно совпадают с частично усредненной системой (22), найденной для квазилинейных уравнений методом усреднения. В работе также токазывается, что из полученных нелинейных низкочастотных |Гравнений, как частный случай, следуют известные квазистатические \ низкочастотные решения, приведенные в работах В.А.Ярошввского, А.Шилова, М.Г.Гомана. При получении системы (35-37) на вид аэродинамических характеристик ТТ накладываются достаточно общие гребования: одна устойчивая балансировка, соответствующие

3■'Васильева А.Б. .Бутузов в.Ф.Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений.-М.:Высшая школа, 1990.-208с.

демпфирующие свойства и т.д. Поэтому никаких предварительн преобразований аэродошамиче ских характеристик (аппроксимац полиномами, рядами Фурье) не требуется и они задаются достаточно общем виде (таблицами, графиками и др.). Это являет^ несомненным достоинством рассматриваего метода при использован на практике.

При исследовании резонансного движения ТТ низкочастотн уравнения (35-37) представляются в Еиде (22),(23) и дали используется метод исследования устойчивости резонансов, подроб] рассмотренный в третьей главе. Причем условия устойчивое (25),(26),(29) для линейного и нелинейного случаев име] одинаковую форму (по разному вычисляются лишь функции, входящие эти неравенства). Условия устойчивости для нелинейного случ! получаются в виде:

_ в Ш

(1-1

ыг(2-1х)

(39)

созС9*+84; > О , (40)

<3а/аг > Сд , (41)

_в

где и8 > О, т и 94 - обобщенные параметры асимметрии (завис: также от угла а), /((а) - известная функция угла а, зависящая < восстанавливающего момента т2Т1(а)'> с£§а /1)1/г

частота колебаний ТТ при ых=0 в нелинейном случае.

При анализе неравенств основное внимание уделяет* сравнению их с аналогичными условиями (30-32), справедливыми д. линейного случая. Предлагается простой способ оценки влияния нелинейностей на критические значения параметров асимметрш основанный на сравнении необходимых условий устойчивости (30) (39). В частности, с помощью этого способа показано, что п] учете лишь одного члена в рядах Фурье по углу атаки а п] аппроксимации коэффициентов Сх1 , Су? и т^ небходимые услов] (30) и (39) практически совпадают до углов атаки (на моме] прохода через резонанс) порядка 60 град.

Подробно анализируется влияние величин и Д1 1

критические значения параметров асимметрш в нелинейном случа( Устанавливается, что в широком диапазоне углов атаки (до 90 грей

лияние асимметрии I ,А1 незначительно. Влияние атой симметрии становится заметным только в том случае, если ее ровень на порядок превышает величины других асимметрий, что рактически вряд ли возможно.

В последнем разделе главы рассматриваются некоторые вопросы еоретического обоснования использования низкочастотных уравнений ля анализа устойчивости резонансного движения ТТ в атмосфере.

На рис.5 в качестве примера представлен процесс захвата азовой траектории во внутреннюю область, соответствующий случаям а/йт>0 и сйд/йко. Возмущенные траектории в окрестности евозмущенного решения представляют собой в большинстве случаев кручивапциеся спирали, однако возмущенная траектория не тремится к невозмущенному решению, а стягивается в достаточно алую его окрестность, зависящую от величины действующих озмущений. На этом же рисунке показаны сепаратрисы, изображенные момент их пересечения (Н=0).

В пятой главе рассматривается разработка экономичного метода асчета на ЭВМ ситемы дифференциальных уравнений, описывающей ращательно-колебательныв движения, и применение его для :оделирования неуправляемого движения ТТ в атмосфере. Идея этода увеличения периодов колебаний основывается на том, что уществует бесконечное множество систем дифференциальных равнений, имеющих одинаковые асимптотические решения, полученные [этодом усреднения. Поэтому вместо исходной системы уравнений южно рассматривать расчет другой системы, быстрые переменные :оторой изменяются с меньшей частотой, что позволяет уменьшить бъем вычислений. Вид этой преобразованной системы определяется [3 условия инвариантности уравнений первого приближения метода среднения. Метод был предложен В.А.Ярошевским и В.В.Воейковым [ля системы уравнений с одной быстрой переменной. Однако рименение этого метода для расчета движения в атмосфере ТТ с ¡алой асимметрией потребовало его обобщения на случай многомерных ¡ращательно-колебательных движений, что и было сделано автором '1,2,8-10/. Метод увеличения периодов колебаний имеет несомненные [реимущества по сравнению с применением для ускорения расчетов ютода усреднения, так как не требует определения асимптотических юшений в явном виде. Фактически расчет движения производится по [сходной системе, в которую специальным образом введены

коэффициенты увеличения периодов. Кроме того, метод позволяв! легко регулировать погрешность вычислений, что для методг усреднения является довольно сложной проблемой.

Для обоснования метода рассматривается система достаточнс общего вида:

<3х , ву р

— - еХ.(х,у) , — = Y (х,у) + е Y (х,у) , (42,

dt 1 dt 0 1

где хну- векторы медленных и быстрых переменных системы.

Предполагается, что существует общее решение порождаще!

системы

dy/dt = Y0(x,y), x=oonat , (43,

в которую переходит система (42) при е=0.

Увеличивая период колебаний системы (42) в й-' раз, определяется вид преобразованной системы: dr „ dy.

-*=EXl(x,,y»)+z2..., КГ^у^+ёГ^у^+е ?.. , (44)

где K=K(t) - коэффициент увеличения периодов, х^ и уж- векторь интегрируемых переменных преобразованной системы.

При обосновании метода в резонансном случае рассматривается его применение для нелинейной системы с двумя быстро вращающимися фазами. На основании проведенного исследования предлагаются несколько вариантов задания коэффициента K(t) в атом случав. Самый совершенный из них обеспечивает инвариантность частично усредненных систем в резонансной области движения.

Рассматриваются особенности применения метода для нелинейной системы, описывающей неуправляемое движение в атмосфере ТТ с малой асимметрией. Предлагается закон задания коэффициента K(t), наиболее рациональный в данном случав:

к = Jk Kq , (45)

где [q(E)/q(EXI)l1//2 - коэффициент, учитывающий изменение

частоты колебаний ТТ по траектории; - постоянный по траектории коэффициент, зависящий от инерционно-массовых и аэродинамических характеристик ТТ; Н„ - высота начала применения метода {Нпм80-85кл).

В данной работе производится сравнение нескольких форы преобразованной системы. Фактически в данном случае решается вопрос, какие члены рационально включить в порождающую систему

равнений (43). Показывается, что в порождающую систему для беспечения минимальной погрешности вычислений необходимо еоючить все члены периодичные по углу ср (за исключением вмпфируюцих). Приводится большое количество примеров расчета раекторий снижения ТТ с малой асимметрией, иллюстрирующих еоретические исследования. Предлагаемый метод ускорения расчетов а ЭВМ дает существенный выигрыш в объеме вычислений (в 2-20 и олее раз). Выигрыш в основном зависит от исходных частот истемы. С другой стороны именно случаи больших частот и приводят

наибольшим трудностям при моделировании на ЭВМ. Применение етода позволяет не только ускорить процесс вычислений, но и меныпить накапливающуюся вычислительную погрешность, которая в бщем случае возрастает при уменьшении шага интегрирования.

В шестой главе рассматривается применение разработанных етодов в задачах баллистического проектирования ЛА. Приводится писание типичных задач баллистического проектирования ЛА и налитический обзор известных работ в этой области. Предлагается есяолько методик надежного решения рассматриваемых задач: пределение критических значений параметров асимметрии, проверка ыполнения заданных ограничений на контролируемые характеристики вижения ЛА, построение области допустимых отклонений параметров А, стабилизация вращательного движения ЛА с помощью создания скусственной асимметрии заданного вида. Вскрытые в работе акономерности развития и реализации резонансных явлений в инамике движения ТТ с малой асимметрией позволяют обосновать ростые и быстрые алгоритмы решения описанных задач. В частности станавливается, что при определении критических значений араметров асимметрии рационально использовать нелинейные изкочастотные уравнения движения ТТ (глава 4). Выбираются и босновывагатся расчетные случаи, при которых определять ритические значения параметров асимметрии наиболее елесообразно. Указанные расчетные случаи приводят к наиболее лагоприятным условиям, способствующим реализации устойчивых езонансных режимов движения ЛА.

Задача о проверке ограничений на контролируемые арактеристики движения ЛА ( в качестве контролируемых арактеристик движения чаще всего используют угол атаки ап и

¡одуль угловой скорости ш ЛА) решается следующим образом: в

заданной области асимметрий (Ау,Аг,1 ,1 ,1 ,1 -I

Ху {/2 2 у У 2

ищутся точки, приводящие к реализации максимальной ортогонально асимметрии ЛА. Как было показано в главах 3 и 4, особенно опасны является случай в}-е2=х, приводящий к наибольшему влияни главного резонанса на движение ЛА. В работе обосновываете методика поиска этих наихудших, в смысле нарушения ограничений п углам атаки а^ и угловым скоростям ш, вариантов движения ЛА Традиционный путь решения рассматриваемой задачи (задачи анализа - метод статистических испытаний требует значительных затра машинного времени, что исключает возможность многократного ее решения.

Задача построения области допустимых отклонений параметро: ЛА (по рассматриваемым асимметриям) очень сложна, относится : задачам синтеза и в общем случав сводится к задаче нелинейное программирования с большим количеством подбираемых параметро: (более десяти). В данной работе предлагается один из варианто: решения этой задачи, наиболее приемлемый с практической точка зрения. Сущность методики заключается в масштабировании исходно] области допустимых отклонений параметров и решении для каждо] новой области задачи по проверке ограничений на контролируемы! характеристики движения (задачи анализа, рассматренной ранее) Исходная область отклонений задается исходя из накопленного практического опыта в области проектирования баллистически; ЛА.

Наряду с разработанными методиками решения традиционных зада1 баллистического проектирования предлагается метод стабилизацш движения ЛА, основанный на создании искусственной асимметрш заданного вида. Сущность данного метода заключается в том, чт< создаваемая асимметрия выбирается из условия обеспечена неустойчивости главного резонанса. В этом случае фактически происходит уточнение номинальных значений проектных параметров которые уже не соответствуют симметричному ЛА. Вид асимметрии Л, определяется значением угла 9?~62- Обеспечивая заданное значен» угла в;-62 , можно управлять резонансным движением ЛА. При это! решаются следующие задачи: I Исключается возможност) возникновения неблагоприятных видов асимметрии, приводящих ) катастрофическому изменению параметров движения ЛА (случа] 0,-62=х); 2) снижаются требования на величину отклоненй

параметров ЛА. от их номинальных значений; 3) производится выбор заданных рекимов движения ЛА. В работе рассматриваются два варианта формирования заданных режимов движения ЛА. Первый вариант относится к случаю, когда ставится задача стабилизации движения только по углу ап, а к закону изменения выдвигаются достаточно общие требования, заключающиеся, например, в обеспечении закрутки ЛА. заданного знака > О). Второй

вариант предусматривает формирование законов изменения как углов атаки ап(I), так и угловых скоростей ыа(1). Устанавливается, что для обоих вариантов метода искусственную асимметрию необходимо выбирать так, чтобы обеспечить значения угла 9,-0г близкие к нулю. Причем в этом случае варианты метода отличаются друг от друга только величиной асимметрии ). Во втором варианте

метода для исключения случаев нерезонансной авторотации ограничивают величину параметров шх,т . В работе рассматривается простейший способ создания заданного вида асимметрии ЛА с помощью установки аэродинамических щитков.

Все рассмотренные в шестой главе методики и метода иллюстрируются решениями конкретных задач баллистического проектирования для ЛА с аэродинамическими характеристиками, заданными в табличном виде.

В Приложения к диссертации вынесены характеристики твердых тел, некоторые аналитические выкладки и преобразования, громоздкие формулы, приводятся другие вспомогательные материалы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

•I.Разработан метод исследования устойчивости резонансного движения ТТ в нестационарной постановке.

2.Разработан метод оценки возмущений при прохождении через резонансы ТТ с малой асимметрией.

3.Получены новые уравнения вращательного движения ТТ в комплексной форме , обобщающие известные уравнения.

4.Проведен подробный асимптотический анализ решений квазилинейных уравнений движения ТТ в атмосфере : установлены все возможные виды резонансов и проанализированы причины их появления.

5.Получены оценки возмущений параметров движения при

прохождении через главный резонанс в общем случае пространственного движения ТТ с малой аэродинамически« асимметией.

6. Получены необходимые и достаточные условия устойчивости резонансов , возникающих при движении ТТ в атмосфере цри малыз углах атаки. Проанализировано влияние сложной асимметрии не устойчивость резонансного движения ТТ.

7.Установлены причины раскрутки ТТ вокруг продольной оси не нерезонансных участках его движения и проведен асимптотически! анализ этого явления.

8.Получены новые нелинейные низкочастотные уравненш движения ТТ, обобщающе ранее известные уравнения.

9. Получены необходимые и достаточные условия устойчивости главного резонанса в нелинейном случав .

10.Проведено теоретическое обоснование метода увеличенш периодов колебаний для системы достаточно общего вида, описывающей многомерные вращательно-колебательные движения, I нерезонансном и резонансном случаях. Построен алгорита ускоренного расчета на ЭВМ движения в атмосфере ТТ с мало$ асимметрией.

II.Обоснована методика проверки ограничений не контролируемые характеристики движения ЛА бзллистическогс типа,основанная на поиске наихудших вариантов, приводящих к наиболее сильному воздействию резонансов на движение ЛА.

12.Разработана методика построения области допустимые отклонений параметров ЛА, в которой ограничения на контролируемые характеристики движения безусловно выполняются.

13.Предложен и обоснован метод стабилизации движения ЛА, основанный на создании искусственной асимметрии. Метод позволяет минимизировать влияние главного резонанса на движение ЛА.

Содержание диссертации отражено в 17 печатных работах, в тол числе:

1. Заболатнов Ю.М. Метод ускоренного расчета вращательно-колебательных движений на ЭВМ,- Деп. в ВЙНИИ 6031-83.- 28с.

2.3аболашо6 О.Ы. Метод уточнения решений усредненных систеи дифференциальных уравнений // Журнал вычислительной математики I математической физики.- 1986.- Т.26.- Вып.5.- с.686-693.

3.Заболотнов D.M. Асимптотический метод для квазилинейных адлебательных систем с непериодическим поровданцим решением // Яурнал вычислительной математики и математической физики.- 1990.-Г.ЗО.- Вып.З.- с.405-419.

4. Заболотнов D.M. Метод стабилизации вращательного движения неуправляемых летательных аппаратов в атмосфере.- Деп.в ВИНИТИ I926-B93.- 51 с.

5. Заболотнов D.M. Асимптотический анализ квазилинейных уравнений движения в атмосфере КА с малой асимметрией.! // Космические исследования.- 1993.- Т.31.- Вып.6.- с.39-50.

6. Заболотнов D.M. Асимптотический анализ квазилинейных уравнений движения в атмосфере КА с малой асимметрией.II // Космические исследования.- 1994.- Т.32.- Вып.2.- с.22-33.

7. Заболотнов D.M. Асимптотический анализ квазилинейных уравнений движения в атмосфере КА о малой асимметрией.III // Космические исследования.- 1994.- Т.32.- Вып.4-5 .- с.112-125.

8. Белоионов В.М., Белоконоб И.В., Заболотнов D.M. Ускоренный метод расчета на ЭВМ одной нелинейной колебательной системы // Журнал вычислительной математики и математической физики.- 1983.- Т.23.- Вып.4.- с.825-830.

9. Белоконов В.М., Белоконов И.В., Заболотнов D.U. Ускоренный расчет траекторий снижения в атмосфере неуправляемых КА с учетом их движения относительно центра масс // Космические исследования.- 1983.- Т.21.- Вып.4.- с.512-521.

10. Белононов В.М., Белоконов И.В., Заболотнов D.M. Метод ускоренного моделирования квазипериодического движения в атмосфере твердого почти осесимметричного тела // Изв. АН СССР, Механика твердого тела.- 1984.- Вып.2.- с.43-50.