Модели и методы исследования переходных режимов движения твердого тела в атмосфере

Тимбай, Иван Александрович

Модели и методы исследования переходных режимов движения твердого тела в атмосфере тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

Тимбай, Иван Александрович АВТОР

доктора технических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Самара МЕСТО ЗАЩИТЫ

1998 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Модели и методы исследования переходных режимов движения твердого тела в атмосфере»

Автореферат диссертации на тему "Модели и методы исследования переходных режимов движения твердого тела в атмосфере"

На правах рукописи

ТИМБАЙ Иван Александрович

МОДЕЛИ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ПЕРЕХОДНЫХ РЕЖИМОВ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА В АТМОСФЕРЕ

Специальность 01.02.01 - теоретическая механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Самара, 1998

Работа выполнена в Самарском государственном аэрокосмическом университете имени академика С.П. Королева

Научный консультант:

доктор технических наук, профессор B.C. Асланов

Официальные оппоненты:

доктор технических наук Ю.Г. Антонов

доктор физико-математических наук, профессор М.Ю. Овчинников

доктор технических наук, профессор В.В. Салмин

Ведущее предприятие:

Государственный ракетный центр "Конструкторское бюро имени академика В.П. Макеева" (г. Миасс)

Защита состоится "_" _ 1998 г. в _ часов на заседании

диссертационного совета Д 063.87.04 в Самарском государственном аэрокосмическом университете имени академика С.П. Королева (443086, г. Самара, Московское шоссе, 34).

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Самарского государственного аэрокосмического университета имени академика С.П. Королева.

Автореферат разослан "_"_1998 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета, к.т.н., профессор (¡{¿('titti*-/.-В-Г. Шахов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Большое количество космических программ, осуществляемых в интересах развития техники, иауки и обороны страны, в качестве заключительной фазы предусматривают неуправляемый спуск летательного аппарата (ЛА) в атмосферу Земли и других планет. Несмотря на налтие обширных исследований в этой области, многие проблемы, как теории, так и практики, в настоящее время не нашли своего завершения. Важной проблемой является разработка математических моделей и методов исследования переходных режимов движения ЛА в атмосфере, под которыми понимаются случаи, когда в процессе снижения аппарата происходит изменение характера движения относительно его центра масс: вращательное движение переходит в колебательное, скачкообразно изменяются характеристики колебательного движения и г. д. Изучение переходных режимов движения необходимо для определения компонент перегрузки, рационального расположения теплозащитного покрытия, определения рассеивания точек посадки, а также для назначения требований к геометрической форме и конструктивно-компоновочной схеме ЛА.

Движение ЛА в атмосфере как твердого тела описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, общее решение которой получить не представляется возможным. При численном же интегрировании уравнений движения, во-первых, остаются скрытыми причины, обуславливающие тот или иной характер движения, во-вторых, для установления закономерностей движения требуется значительное число расчетов, а это даже с использованием современных быстродействующих ЭВМ приводит к большим затратам времени из-за наличия в правых частях уравнений быстро осциллирующих функций. Поэтому поиск приближенных аналитических решений и разработка математических моделей и методов исследования, позволяющих существенно ускорить процесс расчета и установить закономерности, свойственные движению тела, является актуальной задачей.

В работе рассматриваются переходные режимы движет«! осесимметричиых тел, возникающие на верхнем участке траектории спуска в атмосферу и обусловленные медленным изменением во времени формы зависимости восстанавливающего аэродинамического момента от утла атаки, и переходные режимы движения тел с малой асимметрией, вызванные резонансными явлениями, возникающими при движении в плотных слоях атмосферы.

Движение осесимметричпого тела в атмосфере описывается системой уравнении, представляющей собой квазиконсервативную нелинейную систему с одной степенью свободы. Характер движения тела во многом определяется формой зависимости восстанавливающего момента от угла атаки, который является нечетной функцией и в общем случае аппроксимируется нечетным рядом Фурье по углу атаки. Г.Е. Кузмаком исследованы переходные режимы движения тела с синусоидальной зависимостью восстанавливающего момента от угла атаки, когда фазовый портрет системы аналогичен возмущенной колебательной системе маятникового типа. В настоящее время эксплуатируются и разрабатываются ЛА (спускаемые модули "Союз", "Марс", многие перспективные малогабаритные грузовые капсулы) с достаточно сложной зависимостью восстанавливающего момента от угла атаки, для удовлетворительной аппроксимации которой рядом Фурье необходимо удерживать не менее двух гармоник. При этом возможно появление дополнительного положения равновесия по углу атаки - дополнительной особой точки на фазовом портрете системы. Переходные режимы движения тел, имеющих два устойчивых и одно неустойчивое положения равновесия, анализируются в монографии В.А. Ярошевского. Однако интеграл действия, который является адиабатическим инвариантом для рассматриваемой системы, не выписан в явном виде, что весьма существенно затрудняет анализ движения. В диссертационной работе на основе полученных аналитических формул для интеграла действия разработан метод аналитического исследования переходных режимов движения тела под действием медленно меняющегося во времени бигармонического восстанавливающего момента. Для описания эволюции движения внутри колебательных областей с учетом действия малых демпфирующих моментов и моментов от сил вязкости получены усредненные уравнения движения для тела с полигармоническим восстанавливающим моментом.

следовательно, оказывающее большое влияние на рассеивание точек посадки. Получены аналитические зависимости, связывающие изменения угла атаки, продольной угловой скорости и прецессионного движения при переходе тела через резонанс, с начальными условиями движения, с видом и величиной асимметрии. Предлагается использовать эффект прохода через резонанс для стабилизации продольной угловой скорости ЛЛ с целью выполнения требований к атмосферному рассеиванию точек посадки. Для этого в конструкцию аппарата может вводится рассчитываемая по аналитическим формулам малая искусственная инерционная или аэродинамическая асимметрия, которая дает в сравнении с известными системами стабилизации улучшение массово-геометрических и функционально-эксплуатационных характеристик ЛА.

Цель работы. Целью настоящей работы является разработка математических моделей и методов исследования переходных режимов движения твердого тела в атмосфере и выбор на этой основе малой искусственной асимметрии ЛА, обеспечивающей заданные условия его движения.

Методы исследования. При разработке методов, для получения математических моделей, аналитических формул, оценок использовались методы и подходы развитые В.И. Арнольдом, В.М. Волосовым. А.И. Нейштадтом, В.А. Ярошевским и др.

Научная новизна работы заключается в следующем.

1. Найден критерий применимости асимптотических методов в задачах спуска неуправляемого тела в атмосфере, характеризующий медленность изменения параметров системы, учитывающий условия входа, диапазон высот полета, баллистические и динамические свойства тела.

2. Получены для всех возможных движений осесимметричного тела с бигармопической зависимостью восстанавливающего момента от угла атаки аналитические формулы для интеграла действия, выраженные через полные эллиптические интегралы или элементарные функции.

3. Разработан метод аналитического исследовашм переходных режимов движения осесимметричного тела под действием медленно меняющегося во времени бигармонического восстанавливающего момента. Для случаев, когда при пересечении сепаратрисы фазовая точка может попадать в различные колебательные области фазового портрета системы, найдены формулы для определения вероятности попадания п ту или иную область движения.

4. Построены усредненные уравнения возмущенного движения осесимметричиога тела с полигармонической зависимостью восстанавливающего момента от угла атаки в интегро-дифференциальной форме без введения ограничений, накладываемых на характер движения. В случае, когда восстанавливающий момент имеет зависимость от угла атаки близкую к синусоидальной, правые части усредненных уравнений сведены к полным эллиптическим интегралам. Численное интегрирование усредненных уравнений дает значительное сокращение времени определения параметров движения по сравнению с исходными уравнениями.

6. Предложен графо-аналиггический метод определения диапазонов изменения скоростей прецессии и собственного вращения твердого тела, вида прецессионного движеиия по амплитудным характеристикам угла атаки.

7. Получены аналитические зависимости для определения изменения угла атаки в процессе перехода через резонанс твердого тела, имеющего матую динамическую и аэродинамическую асимметрию, с учетом изменения продольной угловой скорости и начальных условий по углу атаки. Выведена формула для определения изменения продольной угловой скорости твердого тела при переходе через резонанс.

8. Найдены формулы для определения величины малой искусственной асимметрии телз, обеспечивающей стабилизацию продольной угловой скорости при действ™ возмущающего момента, вызванного эффектами вязкости. Малая искусственная асимметрия ЛА может быть реализована в виде перекоса главной продольной оси инерции конструктивной компоновкой или размещением балансировочных грузов на днище аппарата, а также установкой специальных малых аэродинамических поверхностей из легкоуносимого материала.

Достоверность результатов обеспечивается корректностью принятых допущений в исходных математических моделях; применением при проведении экспериментов с математическими моделями известных асимптотических и численных методов, обладающих высокой точностью; соответствием результатов математического моделирования неуправляемого движения его физической сущности и результатам летных испытаний.

Практическое значение работы заключается в следующем.

Основные результаты доведены до простых аналигпгческих формул м оценок и могут непосредственно использоваться в инженерной практике при анализе движения JIA. Разработанные методы, алгоритмы и программы внедрены в практику проектирования в Государственном ракетном центре "Конструкторское Бюро имени академика В.П. Макеева" (г. Миасс), где продолжительное время работал автор. Результаты работы используются, при решении задач выбора проектных параметров, предполетного анализа, послеполетного восстановления движения летательных аппаратов коммерческого назначения и обеспечивают снижение в условиях существующего процесса проектирования сроков разработки и повышения качества новых и модифицированных ЛА. Результаты работы также используются в учебном процессе в Самарском государственном аэрокосмическом университете, что подтверждается соответствующими актами внедрения.

Публикации и апробация работы. По теме диссертации опубликовано 28 печатных работ1, в том числе предложенные технические решения по теме диссертации защищены двумя авторскими свидетельствами на изобретение, программа расчета параметров движения ЛА fio стохастической модели сдана в отраслевой фонд алгоритмов и программ (ОФАП).

Основные положения работы, научные и практические результаты докладывались на 17 всероссийских и международных конференциях, в том числе на Научных чтениях, посвященных разработке научного наследия и развитию идеи Ф.А.Цандера (1979 г.), К.Е. Циолковского (1979 г.); на Гагаринских чтениях (1979 г.); на Научных чтениях по космонавтике (1993, 1994, 1995 гг.); на Российско-Китайско-Украинском Симпозиуме по космической науке и технике (1994, 1996 гг.); на Всероссийском научно-техническом семинаре по управлению движением и навигации летательных аппаратов (г.Самара, 1985, 1987, 1989, 1993, 1995, 1997гг.); на Научных чтениях, посвященных творческому наследию Н.Е.Жуковского (1997г.) и других.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения, списка цитированной литературы из 106 наименований. Объем диссертации 232 страницы, из них 171 страница машинописного текста, 56 рисунков, 5 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследований, сформулирована цель диссертационной работы и пути ее достижения, отмечены новизна и практическое значение работы, даны сведения о публикациях.

В первой главе дается оценка современного состояния проблемы разработки математических моделей и методов исследования переходных режимов движения твердого тела в атмосфере и проводится анализ известной литературы по данной теме. Вначале анализируются переходные режимы движения осесиммстричных тел. Отмечается, что снижающийся в атмосфере летательный аппарат представляет собой существенно нелинейную механическую систему с переменными параметрами. Анализируются результаты исследований по данной теме, полученные в работах таких ученых, как В.А. Ярошевский, Г.Е. Кузмак, В.И. Арнольд, А.И. Нейштадт, B.C. Асланов, Л.Д. Акуленко, Ф.Л. Черноусько, Д.Д. Лещенко и др. Делается вывод о необходимости поиска аналитических выражений для интеграла действия при движении тела с бигармоническим восстанавливающим моментом и разработки на их основе метода аналитического исследования переходных режимов движения. Ставится задача построения усредненных уравнений возмущенного движения тел с полигармоническим восстанавливающим моментом и с восстанавливающим моментом близким к синусоидальному.

Далее анализируются переходные режимы движения тел с малой асимметрией. Отмечено, что наличие малой асимметрии у тела, совершающего спуск в атмосферу, приводит к появлению резонансных режимов движения. Проанализированы основные результаты по исследованию резонансов, полученные в работах Г.С. Бюшгенса и Р.В. Студнева, В.А. Ярошевского, A.B. Кострова, A.A. Дмитриевского, Л.Н. Лысенко, С.С. Богодистова, A.A. Шилова, М.Г. Гомана, B.C. Асланова, Ю.М. Заболотнова, А. Найфе, Д. Платуса и др. Делается вывод о необходимости проведения исследований по оценке влияния малой асимметрии тела на характер изменения прецессионного движения при переходе через резонанс и поиска достаточно простых аналитических зависимостей, связывающих изменения угла атаки, продольной угловой скорости и прецессионного движения при переходе тела через резонанс, с начальными условиями движения, с видом и величиной асимметрии.

Анализируются современные способы обеспечения заданного движения неуправляемых летательных аппаратов при спуске в атмосфере. Отмечаются достоинства и недостатки известных систем стабилизации продольной

угловой скорости. Предлагается использовать эффект прохода через резонанс для стабилизация продольной угловой скорости аппарата. ! (оказывается место основных результатов, полученных в диссертации, среди известных по исследуемой проблеме.

В последнем разделе главы кратко излагаются асимптотические методы, которые применяются в диссертационной работе.

Во второй главе дается вывод различных, как линейных, так и нелинейных, математических моделей движения в атмосфере твердого тела близкого к осесимметричному, которые являются исходными для исследовагаш, проведенных в работе. Дана взаимосвязь между различными математическими моделями и указаны области применения рассматриваемых моделей. Проанализировано влияние начальных условий углового движения, которые реализуются при входе тела в атмосферу, на характер его прецессионного движения при спуске.

Для поиска приближенных аналитических решений используются методы теории возмущений, для непосредственного использования которых требуется выделить малые параметры в уравнениях движения, характеризующие возмущения. Различают три вида возмущений: возмущения, обусловленные медленным изменением во времени параметров поступательного движешга по сравнению с изменением параметров вращательного движения; возмущения, вызванные действующими на тело малыми демпфирующими моментами и моментами от сил вязкого взаимодействия; возмущения, вызванные малой динамической и аэродинамической асимметрией. Малость двух последних видов возмущений определяется малостью некоторых безразмерных коэффициентов. Для первого вида возмущений найден критерий применимости асимптотических методов в задачах спуска неуправляемого тела в атмосфере, характеризующий медленность изменения параметров системы, который в отличие от критерия, полученного ЯрошевскимВ.А., учитывает помимо условий входа и инерционных характеристик тела, диапазон высот полета и более полный состав его баллистических и динамических характеристик.

Критерием применимости асимптотических методов для математических моделей движения является условие ]у|<< 1, где параметр V при спуске в атмосфере Земли определяется формулой

у =________ЖЛдЛ^тЭр _

\A-\-Rl / 1(Аг3Л~1Г02ехр(Аг4Л-1сгх/¡31П0О[)]}3/2 '

Здесь Л - С'*{х/( -хг)$1 /1 - коэффициент жесткости системы, С™ -производная коэффициента нормальной аэродинамической силы по углу

атаки, (хд - хт) - запас статической устойчивости, S - характерная площадь, / - характерный размер тела; Лд = Ixa>Xri II, о)Хо г продольная угловая скорость тела в момент входа в атмосферу; Ix, I - продольный и поперечный моменты инерции; ах = CmS / (2m) - баллистический коэффшщент, Сха -коэффициент силы лобового сопротивления, m - масса тела; V0, G0 - скорость полета и угол наклона траектории в момент входа в атмосферу; кх = 5.74 х 10 4 мш/кг1/2, к2 =9.83 кг1/2/м3"'2, ¿3=2.45 кг/м2,

кА = -1.72 х 104= кг/м2, Л = ехр(Я / 7000) - функция высоты полета Н.

В третьей главе проводятся исследования переходных режимов движения осесимметричных тел. Движение тела относительно центра масс с бигармоническим восстанавливающим моментом на верхнем участке траектории, когда можно пренебречь изменением скорости центра масс, утла наклона траектории и аэродинамическим демпфированием, описывается системой с медленно меняющимися параметрами вида

a + F(a) = Q, (2)

F(a) = (G - /?cosa)(7?-Gcosa)/sin3a-osina -6sin2a = 0, a=a{z), b^b(z),

где a - угол атаки; 7?=const, G=const - отнесенные к поперечному моменту инерции проекции вектора кинетического момента на продольную ось тела и на направление скорости центра масс; a(z), b(z) - коэффициенты моменгаой характеристики; z - медленно меняющийся параметр.

Коэффициенты а и Ъ, переменность которых связана с изменением плотности атмосферы в процессе спуска, представлены в виде

ar = a0z, b = b0z, (3)

ао = >»aSip(tQ)V02 /(27), b0 = / (21),

г = exp([$/), p=a.F0|sme0|,

где ma, mb - коэффициенты разложения восстанавливающего момента в тригонометрический ряд; р(/0) - плотность атмосферы в начальный момент времени, 'к - логарифмический градиент плотности по высоте.

Для описания движения системы с медленно меняющимися параметрами (2) используется условие постоянства интеграла действия, записанного в форме

где сст!п,атгк - амплитудные значения угла атаки (при плоском вращении ат1п= атах=71)- величина а определяется из интеграла энергии системы (2) при фиксированных значениях медленных параметров

где Ща) = 0.5(7?2 + С2 - IRGcosa) / sin2 а -t- acosa + beos2 а

- гютенциатьная энергия системы.

Интеграл действия (4) посредством замены переменной и = cosa принимает вид

/(и) = й2 = 2Ьи4 + 2 сп? - 2ф + k)tr - 2(а - RG)u + (2 h-R2-Cr), (7) щ - cosamjri, и2 = cosamax (при плоском вращении: = 1, и2 =-1; при плоских колебаниях относительно а = 0: г/j = 1, иг = cosamaK, относительно а = я: - cosocmin, и2 = -1). Параметр /я в формуле (6) соответствует следующим значениям: т=2 - при плоском вращении, плоских колебаниях относительно а = 0, л; т—1 - при всех остальных случаях.

Интеграл (6) относится к классу эллиптических шггегралов и, следовательно, приводится к сумме элементарных функций и грех так называемых нормальных эллиптических интегралов. Результат интегрирования зависит от типа корней полинома четвертой степени /(и).

Для реализации реального физическою процесса два из четырех корней многочлена (7) должны соответствовать предельным значениям угла атаки i/,=cosamin, и2" cosaI113x, при достижении которых м = 0. При этом [i<2,Hj]e[-l,+ l]. Оставшиеся два корня щ, 1ц в зависимости от соотношения величин h, а, b, R п G могут быть либо действительными, либо комплексно-сопрягшшыми. Вводится следующее правило нумерации этих корней. Действительные Kopim: при Ъ< 0 - и3>и4, при Ъ> 0 - щ<и4. Комплексно-сопряженные корни: щ = м34 ± iw.

Я-(i2 !2 + W(a) = h,

(5)

«i

(6)

где

Для случая плоского движения, которое реализуется при Л=0 и С=0, для варианта, когда все четыре корня полинома /(и) действительные, получено следующее выражение для интеграла действия

= mx\\hK{k) - а[и:(к) + уЯ(иД)]- Ь

(}? - 0.5v2 / (1 + п)^К(к) ■

( 0.5 v2« ^

"-I.. , +

2 ^ II

1(1 + n)(k2+n)J l V + л 1 + nJ J Jj

где K{k), E(k), П(п,к) - полные эллиптические интегралы I, П и III рода; к - К"з ~ и4)(иг ~ и\)! (из ~ и\)1(.иг ~ м4)]1/2 " модуль эллиптических интегралов, п = (и2-щ) / (и, -щ), г| = 4 / ,/- 2b(u¡ - и3)(и2 ~ щ), к = \={и2-щ).

Если имеют место два действительных и два комплексных корня ( и3 4 = м34 ± iw), то интеграл действия вычисляется по формуле

г Г/

/£' = rm\\hK{k) - а[7Л{к) + v(l

+ п)П(п, k)]-b\\k2 -v2(I+ п))К(к) +

Г у2(1 + п)л1 „,,. J v2(\ +ri)(n + 2k2) ,Л| ,пч

+• -Л--- Е(к) + (1 + п) —-{--+ 2Xv П(п,к) >, (9)

V к" +n ) V A +/j J jj

где ¿=[0Д1-С/Э)]Ш, и = (£-1)2/(4£), т) = 4/^^265,

;=(«!" «34)(«2 - ^34 ) + v2, 9 = [(«, - «34)2 + ^2],/2 [(«2 - «34 )2 + iv2 ],/2 ,

^ = К«! - щ4)2 + - г/34)2 + ™2]Ш, Л. = - «г) / (5 -1)

у=2!&и2-щ)/(е -1).

Для общего случая пространственного движения, для варианта, когда все корни полинома /(и) действительные, получена следующая формула для интеграла действия

= I'" - ¿оЛ/,[МГ(*)- (10)

/=1

где ¿12=<1.5(Н + 0)2 =(и2 - щ)([ + щ)/(и1-и3)/(\ + и2),

Ли-1/(1 + «3), У12 =1/(1 + 1^).

Если имеют место два действительных и два комплексных корня, то интеграл действия вычисляется по формуле

}Т = 7Г - ¿о.54м:(£) + V, (1 + п)П(г,,,к)}, (11)

;=1

где «, 2 = -1 + и2 + Ъщ )2 /Г4с( 1 + щ + щ - щи2)],

я.,.2 = (s - 1) / (s - 1 ± «2 * ), vi 2 = (1 + о / (1 + 5 + м2 + - я1>2.

Формулы (8)-(11) получены для всех возможных случаев движения тела с бигармоническим восстанавливающим моментом. Эти соотношения являются функциями корней полипома (7) /(zi)=0. Движете тела в зависимости от начальных условий и значений коэффициентов a, b, R, G может происходить в одной из областей фазовых портретов системы, показанных на рис. 1. Для каждой области движения определены корни полинома f(u)—О через коэффициенты a, b, R, G и начальные условия (/г), и в ряде частных случаев формулы для интеграла действия (8)-(11) упрощены, а интегралы действия, взятые вдоль сепаратрис, выражены через элементарные функции.

В связи с изменением коэффициентов а и b в процессе движения происходит эволюция фазовых траекторий, в результате которой они могут пересекать сепаратрисы, попадая в различные области фазового портрета, что сопровождается качественными изменениями характера движения. На рис. 2 приведен один из возможных вариантов изменения угла атаки в случае пространственного движения тела вокруг центра масс во время снижения.

Время перехода из одной области в другую определяется следующим образом. Интеграл действия для системы (2) с медленно меняющимися переменными д(г), b{z) остается постоянной величиной, т. е. является адиабатическим инвариантом. Исходя из постоянства интеграла действия, приравнивая выражение интеграла действия, вычисленного вдоль сепаратрис, значению интеграла действия, вычисленного по начальным условиям движения, определяется величина коэффициента b или а в момент времени, соответствующий переходу из одной области фазового портрета в другую. Время перехода при известном Ъ или а находится из соотношений (3). При таком подходе не требуется численного интегрирования уравнений движения. Режимы движения, в которых нарушается условие lg = const - режимы

зависания тела в окрестности неустойчивого равновесия, подробно исследованы в монографии Ярошевского В.А. и в данной работе не рассматривались.

Полученные аналитические формулы для интеграла действия, позволяют проследить за эволюцией фазовых траекторий внутри колебательных областей, поскольку интеграл действия является функцией

Фазовые портреты

Рис. 1

Характер изменения про странственого движения во время спуска: а - фазовые траектории; б - изменение угла атаки

а, град/с

40 20 0 -20 -40

а, град

60 I, с

100

а,град

(б)

Рис.2

параметров а, Ъ, с<«оет?л и представляет собой неявное задание амплитуды колебаний атах от а, Ь и начального значения интеграла действия.

В случаях, когда при пересечении сепаратрис фазовая точка может попадать в различные колебательные области, возникает задача выбора области продолжения движения. Фазовые точки, которые в начальный момент находились па расстоятш порядка е друг от друга (е - малый параметр, характеризующий скорость изменения параметра :), могут после пересечения сепаратрисы захватываться в разные области, и их дальнейшее движете будег совершенно различным. Так как начальные данные всегда известны лишь с некоторой точностью, то при с -> 0 детерминированный подход к задаче теряет смысл. Однако можно корректно определить и вычислить вероятность захвата в ту или иную область. В работах Арнольда В.И. и Лифщица И.М., Слуцкина А.А., Набутовского В.М. эта вероятность определяется как доля фазового объёма малой окрестности начальной точки движения, "захватываемая" в рассматриваемую область в пределе, когда малый параметр е —0 и размер окрестности 8 -> 0, е « 8 (сначала предел берется по е потом по 8). Показано, что этот предел существует. В диссертационной работе, используя известные интегральные формулы, получены аналитические формулы для определения вероятности попадания ту или иную область движения. В случае плоского движения при соотношении коэффициентов \Ь\> 0.5|«|, Л < 0 (рис. 1, б) вероятности попадания в области Л, и Л2, соответственно, 1\ и Р2 определяются по формулам

Р2 1 + (тс-га*)с/£а,

где а» = агссо5(-().5я0 / Л0).

В случае плоского движения при Ь > 0.5|<7|. Ь>0 (рис. 1, в) попадаште в колебательные области А, или Лг равновероятно.

В пространствешюм случае движения, когда на фазовом портрете имеет место седловая точка (этот случай реализуется при \Ь\> Ъ<О и

достаточно малых по модулю величин К и С, рис. 1, г), вероятности попадания в колебательные области Л\ и Аг вычисляются по формулам

Р\ _ ;0'[ - «.)(«. - щ) + (0.5С[ + а0 / Ь0)(0.5к + агсятб,)

где С) = щ + и2 + 2, 8! = (щ + и2 - 2и,)1\и2 - щ\, и3/1 = и}4 = г/, = сова

П+Рг-К

Для описания эволюции движения внутри колебательных областей на всей траектории спуска с учетом действия малых (порядка е) демпфирующих моментов и моментов от сил вязкого взаимодействия получено семейство усредненных уравнения. Исходная система уравнений возмущенного движения осесимметричного тела в атмосфере представлена в виде

а + F(a) = сФа (a,a,z), (12)

¿ = еФг(а ,z),

F(a) = (R-G cosa)(G - ftcosa) / sin3 a - Ma (oi,z),

где z = (R,G,V,Q,H,L„) - вектор медленно меняющихся функций; L„ -дальность полета, измеряемая по поверхности Земли; Фа, Фг - некоторые известные функции; Ма - восстанавливающий момент, отнесенный к поперечному моменту инерции.

Восстанавливающий момент является нечетной функцией угла атаки и для осесимметричного тела произвольной конфигурации представлен в виде тригонометрического ряда

Ма (a ,z)=maqSl / / = -qsma^Cj cos' а, (13)

/=о

где п - произвольное число, q - скоростной напор.

В качестве метода построения усредненных уравнений выбран метод В.М. Волосова, в котором не требуется явного представления порождающего решения. Вывод усредненных уравнений осуществляется на основе первого интеграла невозмущенной системы

а2 / 2 + W(a) = Е, (14)

и/ fcv w R2+G2-2RGcosa A q м где W=\F(a)da =-г--q\——cos a.

J 2sin a ~J/' + l

Усредненные уравнения представлены в интегро-дифференциальной форме

. 2s "f1 Ф.du - Л1 du

z=— , г---=£Фг, Г = 2 I --------------,

т i 42(Е - W)( 1 -и2) i л/2(Е - W){ 1 - и2)

где a = cosamax, u^cosa^, u=cosa, Е = W(ul) = W(x).

В работе приведены еще две формы эквивалентных усредненных уравнений, в которых первое уравнение записано для интеграла действия

и интеграла энергии Е. Отмечено, что подынтегральные выражения в этих уравнениях не содержат сложных в вычислительном отношении тригонометрических функций, а правые части "быстрых" переменных. Эти обстоятельства позволяют при высокой точности результата существенно сократить время определение параметров движения по сравнению с исходными уравнениями.

В случае, когда восстанавливающий момент имеет зависимость от угла атаки близкую к синусоидальной, используя известное порождающее решение для угла атаки при движении тела с синусоидальным восстанавливающим моментом, квадратуры в правых частях усредненных уравнений (15) сведены к полным эллиптическим интегралам

х = еФ х(х,г,К{к1Е(к\П(п1,к),П(п2М, (16) ¿ = еФ г(х,2,К(к),Е(кУ)-

Аналогично построены эквивалентные усредненные уравнения, в

которых первое уравнение записано для интеграла действия и интеграла

энергии Е. Правые части усредненных уравнений (16) содержат полные эллиптические интегралы, которые могут быть вычислены по эффективной схеме нахождения арифметико-геометрического среднего. Численное интегрирование усредненных уравнений (16) дает существенное (на два порядка) сокращение времени определения параметров движения по сравнению с исходными уравнениями. Проведены сравнительные расчеты по полным и усредненным уравнениям и дана оценка погрешности определения параметров движения по усредненным уравнениям.

В последнем разделе главы проведен анализ влияния нелинейного момента, обусловленного эффектами вязкости, на продольную угловую скорость тела. Найдено усредненное значение момента вызванного эффектами вязкости, при движении тела с синусоидальным восстанавливающим моментом.

В четвертой главе рассматриваются переходные режимы движения тел с малой аэродинамической, инерционной и массовой асимметрией при малых углах атаки. Проводится аналитическая оценка изменения угла атаки и угловой скорости крена при переходе через резонанс. В качестве исходной выбрана математическая модель движения, записанная для комплексного угла атаки, определенного в связанной системе координат, £ = алехр(-/ф„), где а„ - пространственный угол атаки, фл - угол собственного вращения.

Используя асимптотический метод ВКБ, получено решение для угла атаки в виде суммы трех составляющих угла атаки, обусловленных "медленной" прецессией "быстрой" прецессией \б и асимметрией тела

Применяя метод стационарной фазы, дана асимптотическая оценка дня составляющей угла атаки, порожденной асимметрией. При этом, в отличие от оценок, полученных в работах Ярошевского В.А., Шилова A.A., Романа М.Г., Заболотнова Ю.М., рассматривается совместное влияние динамической и аэродинамической асимметрии, учитывается изменение продольной угловой скорости и учитываются начальные условия по углу атаки.

Составляющие угла атаки, обусловленные "медленной" прецессией и "быстрой" прецессией, определяются rio формулам

=а .« ехр[ Jí[(ü - (1 - 0.5/x)ß>

'о

\б = аб exp[J/[-(o - (1 - 0.5/v)cöv ,

'о

где ci„, аб -амплитудные характеристики угла атаки, обусловлешые "медленной" прецессией и "быстрой" прецессией; ю = -/o2 +(/хсо„)2/4 -собственная частота колебаний угла атаки, ю2 = С"(хд - xT)qSl /1, IX=IX/I; (ох- продольная угловая скорость тела Следует отметить, что данные формулы выписаны для случая о х >0. В общем случае величине ш следует приписать множитель signo х.

В с.|учае, когда начальные условия задаются на момент входа в атмосферу, амплитудные характеристики гаи, аб вычисляются по формулам

i i___

ам = ак ехр[-J0.5d{dt]exp[jd3c¿t\,¡ 0.5) x(úx0 / о> (/), ч ч

t t__

аб = а у ехр [- j 0.5dt di] схр [- j d3dt]j0.5lxa>x0 / o(/) . 4 4

где ak, а у - углы, характеризующие соответственно положение продольной оси тела относительно вектора кинетического момента К и положите вектора кинетического момента К относительно вектора скорости центра масс V в момент входа в атмосферу;

с!х = (С™ -Ст)<?£/(тУ)-т'лдБ12 /(ГУ),

¿з = [(0.5/г (С" - Сх +тют12 //)- от,,,»;/2 / У )о У (от К) - 0.5/> , ] / (2со),

Ст - коэффициент тангенциальной аэродинамической силы; =ота,

= отиа„ - коэффициенты демпфирующих моментов.

Составляющая угла атаки, порожденная асимметрией, определяется го системы уравнений

шх(0)= Д/ад(0)5/ / ^ + <,*и^(0)?(0)М2 /(Л,Р) + + С4(0)57{((.г, - -гг)Х] + }\)[1т£„(0) + 1т££.(0)] + + ((*л - хТ)%2 ~ *г )Р^,,(0) + ае&(0)]} / /,,

где (0) - момент резонанса: выполнение условия и = (1 - 0.51Х)®Х \

~ат0+ас0+Х " невозбужденная балансировочная составляющая угла атаки, вызванная асимметрией;

а то =[(Л™2 + СхуТ + АСухг) - 1(Ату - Сх:-, - АСглг)]/[С°(хд -аТ)]

- балансировочное значение угла атаки, вызванное наличием аэродинамического момента асимметрии (коэффициенты Ату, Лот,) и

массовой асимметрии, обусловленной смещением центра масс тела относительно оси симметрии (уг =уТ / /, :т =:т I /);

X = XI - г/.2 - балансировочное значение утла атаки, вызванное наличием перекоса главной оси инерции(Х] «/ц,/(/-/г), I ^х)'* !ху, Ь:

- центробежные моменты инерции);

а£. = [(/ - 1Х)(ДСг - ¡АСу )<вх]/[С" (хд - хт)1тУ] - балансировочное

значение угла атаки, вызванное наличием аэродинамических сил асимметрии (коэффициенты ДСу, АС.);

Дтх - коэффициент аэродинамического момента асимметрии относительно продольной оси, яг®/ - коэффициент демпфирующего момента относительно продольной оси,

I Я

к„ = -=- -* _ - - коэффициент усиления

> Уй(0)-(1-03/х)<Ьх(0) (2-/г)

балансировочного угла атаки,

¡со (О)-(Г^Т/ 2)0,(0)

т =, I---£—- ——- I - безразмерное время,

V п

}"е = л г-' УЛ" ,УиК(0) - (0)] -демпфирующий

: Ы ( 0) ~ (1 - 0.5/х х(0) 1

коэффициент,

¿(0) = ^Ь(О)^ ^ГуИг(О), ю(0) = (1-0.5^)0^(0), (2-/,) ^(О) (4-2/х)

Ф(тД^) = Ф^хЛу) - /Ф2(гДр,

-сс

<г>2(Т»^)=: |ехр[-Х.^(т-т1)]соз(л:т2 /2-тех/ /2)^1,.

— со

На основе полученных решений для угла атаки выведена формула для определения изменения продольной угловой скорости тела при переходе через резонанс

.1 1 Г Л

1Х У<Ь(0)-(1-0.5/х)ах(0)

х [((*„ -*тУ/л + .Уг)(1т^л(0) - Яе£ „(0)- ку Ке^0) +

+ ((хд - хт)Хг - гг)(1тс„(0) + Ке^(О) + ку 1т^)].

Для случая перехода через резонанс на восходящей ветви скоростного напора выписаны приближенные выражения для угла атаки, которые зависят только от начальных услозий движения и динамических характеристик тела. Проведено сравнение результатов расчетов по полученным формулам и по полной системе дифференциальных уравнений и показана область их применения.

Анализ переходных режимов прецессионного движения проводится на

основе решения для комплексного угла атаки, определенного в траекторией

системе координат, 5 = а„ ехр(/уа) - сехр[лсЛ]. Вначале рассматривается

<о

случай движения осесимметричного тела. Получены аналитические выражения для экстремальных значений угловой скорости прецессии и угловой скорости собственного вращения

Уа(«тах) = 0-5/1сох + а-е>, = 05//яу ,

а.„ +«б «л,

Фя(ат«,) = ®г-'Ул(атах). <?»(аш)=<й1-У.(0. (17)

Выражения (17) позволяют графически изобразить области возможных значений угловой скорости прецессии и угловой скорости собственного вращения тела в зависимости от отношения амплитудных характеристик угла атаки. В качестве примера на рис. 3 построены области возможных прецессионных движений осесимметричного аппарата на атмосферном участке траектории в зависимости от отношения амплитудных характеристик утла атаки ал, / а$ и аг> / а н. При выполнении условия ай<аи реализуется "прямая" прецессия и, как видно из рис. 3, колебания прецессионной скорости происходят относительно значения (0511ах +ю), которое незначительно отличается при движении в плотных слоях атмосферы от собственной частоты колебаний тела: ветвь +м. При выполнении условия ай>а„ реализуется "обратная" прецессия и колебания прецессионной скорости происходят относительно значения (0.5/хюг — со). Предельные случаи вращательного движения, когда тело совершает симметрическое коническое движение ал,=0, а й ^ 0 или ай=0, а„ £ 0, соответствуют "быстрой " и "медленной" прецессиям.

Отношение амплитудных характеристик угла атаки определяет амплитуду колебаний прецессионной скорости, тип прецессионного движения. По полученным формулам для амплитудных характеристик угла атаки проанализировано изменение в процессе спуска отношения амплитудных характеристик утла атаки при действии демпфирующих моментов и изменении продольной угловой скорости. Отмечается, что для осесимметричного тела смена типа прецессии может произойти только при условии близости начальных значений амплитудных характеристик амиаб.

Далее проведено исследование движения тела с малой асимметрией. Рассмотрены нерезонансный случай движения и проход через резонанс.

В нерезонансном случае экстремальные значения угловой скорости прецессии и угловой скорости собственного вращения определяются выражениями

Области возможных прецессионных движений осесимметричного тела на атмосферном участке траектории

0.5/гШг+и

"обратная" прецессия

У а (ашах)

0/0.5 ай 7а(аю,к) Ил'

^^^^^^ У а (^шт)

\ "прямая" прецессия

Уа

"быстрая" |прецессия

Рис. 3

Области возможных прецессионных движений тела с малой асимметрией на атмосферном участке траектории [а6=0, (1-0.5/.с)(ог<'ю]

Рис.4

■ ,„ -, («.„ -«б)м +(a« +ао-)0.5/хах +аясюд аи+аб+а„с

Yasmin )

(аб - а„+аг)

(ал, - ав)0.5/х(ох + (ад + аб)м (ал -аб + аас)

(«м + + (".« ~ "gfo ~ аасю *

(ал,+ а,7 -аж.)

ас — ириа„>ад, ам>авс,

приаб >а„, аб>аа£.,

приаж >а„, аж>аб,

= Ч> „(«min ) = «> » ~ У а (amin) •

Здесь а ас - амплитудная характеристика утла атаки, вызванная асимметрией, в нерезонансном движении. Используя данные выражения можно графически изобразить области возможных значений угловой скорости прецессии и угловой скорости собственного вращения тела с малой асимметрией в зависимости от отношения амплитудных характеристик угла атаки. В качестве примера на рис. 4 построены области возможных прецессионных движений тела с малой асимметрией на атмосферном участке траектории в зависимости от отношения амплитудных характеристик ам / аас и аас. / ам для случая, когда амплитудная характеристика а6=0 и выполняется условие (1 - 0.5/)С)(зг <со. При а ., >аш, реализуется "прямая" прецессия, при выполнении условия «ж > а и колебания угловой скорости прецессии происходят относительно значения продольной угловой скорости гах (тело совершает колебания но углу собственного вращения). Предельный случай вращательного движения, когда угловая скорость прецессии равна продольной утловой скорости тела (угловая скорость собственного вращения равна нулю), соответствует так называемому "лунному" движению (тело ориентировано одной стороной на набегающий поток).

В резонансном случае исследование прецессионного движения проводится по формулам (17) и графическим зависимостям, приведенным на рис. 3, при этом за амплитудную характеристику а.м, обусловленную

"медленной" преисссией, следует принимать геометрическую сумму её с амплитудной характеристикой угла атаки, порожденной асимметрией тела,

где а.ас =\£>аи\' - смещение амплитудных составляющих угла атаки по фазе.

Амплитудная характеристика угла атаки, порожденная асимметрией, в зависимости от величины асимметрии и условий прохождения через резонанс, может достигать величин соизмеримых с амплитудными характеристиками ал1 и аб, а, следовательно, существенно влиять на амплитуду колебаний прецессионной скорости и тип прецессионного движения.

Проанализированы случаи, когда при прохождении через резонанс возможна смена типа прецессионного движения. Отмечены следующие характерные случаи движения асимметричного тела.

1. При реализации на входе в атмосферу начальных условий: ак=0, а у = О и при наличии малой асимметрии при прохождении резонанса меняется тип прецессии с "лунного" движения на "прямую" прецессию.

2. При реализации на входе в атмосферу "обратной" прецессии (о^ * О, о. у * 0, а. у > ак ) смена типа прецессии при переходе через резонанс зависит как от величины асимметрии, так и от реализовавшегося угла \у0 и происходит при выполнении условия а (/)>ай(/).

3. При реализации на входе в атмосферу "быстрой" прецессии (ак =0, а у ф 0) смена тина прецессии при переходе через резонанс зависит только от величины асимметрии и происходит при выполнении условия

4. При реализации на входе в атмосферу "прямой" прецессии (ак ф 0, а у ф 0, ак >о>у) смена типа прецессии при переходе через резонанс зависит как от величины асимметрии, так и от реализовавшегося угла \|/0 и происходит при выполнении условия (() < ай(г).

5. При реализации на входе в атмосферу "медленной'' прецессии (ак а у =0) при переходе через резонанс тип прецессии не меняется.

Исходя из того, что значение угла можно считать случайной величиной, распределенной равномерно в интервале от 0 до 2тс, получены формулы для определения величины асимметрии, гарантирующей сохранение "обратной" прецессии.

а£.(/)>ос6(/).

^^шОо!/,

и величины асимметрии, гараитируютей изменение "обратной" прецессии на "прямую",

-М ¡5т0о|/г

аас0 > (аУ +ак)~, '

1.25./тг(1-/х)о,1о

где аж =|сС1| - балансировочное значение угла атаки, обусловленное асимметрией тела; Я, - логарифмический градиент плотности но высоте.

В пятой главе рассматриваются вопросы, связанные с практическим использованием полученных результатов. Летателыгые аппараты, к которым предъявляются высокие требования к точности приведения их в заданную точку поверхности Земли, перед входом в атмосферу закручиваются вокруг продольной оси с целью уменьшения влияния подъемной силы на рассеивание точек посадки. Действие подъемной силы на рассеивание будет в среднем за время полного оборота продольной оси аппарата вокруг вектора скорости центра масс близко к нулю, если пространственный угол атаки остается постоянным или изменяется незначительно, а ЛА прецессирует около вектора скорости с постоянной и большой по величине скоростью. В действительности при движении в атмосфере возможны ситуации, когда названные выше условия не реализуются. Наиболее значительное отклонение точки посадки от номинального значения возникает, когда под действием возмущающих моментов, вызванных малой асимметрией и эффектами вязкости, угловая скорость крена аппарата меняет знак - переходит через ноль. В окрестности этого положения подъемная сила, вызванная балансировочным углом атаки, ориентирована в одну сторону и осреднение её по конусу прецессии не происходит, что и приводит к уходу ЛА с номинальной траектории. Величина отклонения точки падения от номинального значения при этом может на порядок превосходить требуемую величину рассеивания.

Проанализировано измените угловой скорости крена аппарата в процессе спуска в атмосфере под действием возмущающих моментов, обусловленных асимметрией и эффектами вязкости.

Возмущающий момент крена обусловленный эффектами вязкости, описывается следующей формулой

=и&а>унЧЯг1У, (18)

где со уп - проекция поперечной угловой скорости ЛА на плоскость

пространственного угла атаки, - производная коэффициента момента крена по ы .

В случае двихения Л А при малых углах атаки выражение (и;,; принимает вид

Каи видно, величина и знак момента крена от эффектов вязкости, помимо величины коэффициента тхпу'а, зависят от величины и знака скорости прецессии ЛА и от величины квадрата пространственного угла атаки. Расчеты показывают, что данный момент начинает активно себя проявлять после прохождения резонанса на восходящей ветви скоростного напора. У аппаратов, входящих в атмосферу с угловой ориентацией аг>ак, что, как правило, характерно для закрученных на внеатмосферном участке траектории ЛА, реализуется "обратная" прецессия и момент крена (19) при движении Л А в атмосфере уменьшает угловую скорость крена. При большом значении ¡.ц- и малом ак возможен переход угловой скорости крена через ноль (реверс), что в свою очередь приводит к значительному отклонению точки падения ЛА от номинального значения, поэтому реверс угловой скорости крена необходимо исключить.

При прохождении через резонанс малая асимметрия аппарата существенно влияет на характер изменения пространственного угла атаки и прецессионного движения и данный эффект предлагается использовать для исключения проявления вращающего момента от эффектов вязкости (19) путем введегам в конструкцию аппарата малой искусственной асимметрии.

При наличии асимметрии аппарата, после прохождения резонанса на восходящей ветви скоростного напора, момент крена (19) можно определить по следующей формуле

При выполнении условия ам_ -аб вращающий момент (20) равен

нулю. Исходя из этого, получена формула для величины искусственной асимметрии, при которой возмущающий момент, обусловленный эффектами вязкости, не будет уменьшать у гловую скорость крена,

К искусственной асимметрии, вводимой в конструкцию аппарата, предъявляются следующие требования.

а „а ■ 2 гг;2 / г/

М/ - -тхп' уаа„д$Г /V,

(19)

где т^ - от^ / да

(20)

(21)

1. Искусственная асимметрия не должна приводить к захвату в резонансный режим движения на восходящей ветви скоростного напора. Исходя из этого, получено следующее ограничение на величину искусственной асимметрии

, 0.17(хЛ-хт)1х{2 - 1х)и2 ('2 ак фа^Щ^

О-ас К------—--1---I--;-■ --------,

&г{\-1х)ш V ®г0 ) 1.66.т(1-/х)о10

где Аг =[>у + - поперечное смещение центра масс относительно оси

симметрии.

2. Искусственная асимметрия пе должна оказывать существенного влияния на изменение продольной угловой скорости после прохождения резонанса, на высотах интенсивного проявления возмущающих моментов от асимметрии.

Предложены конструктивные решения реализации искусственной асимметрии, удовлетворяющей предъявляемым требованиям. Искусственная асимметрия может быть реализована в виде инерционной или аэродинамической асимметрии. В первом случае искусственная асимметрия ЛЛ реализуется в виде перекоса главной продольной оси инерции конструктивной компоновкой или размещением балансировочных грузов на днище аппарата. В момент прохождения резонанса на восходящей ветви скоростного напора указанная асимметрия породит составляющую угла атаки с'г',с, произойдет изменение нутационно-прецессионного движения и выполнение условия Мху >0. После прохождения резонанса значение балансировочного угла атаки, вызванного перекосом главной продольной оси инерции тела, стремите» к нулю и на изменение продольной угловой скорости влияния практически не оказывает. Во втором случае искусственная асимметрия реализуется в виде аэродинамического щитка, выполненного из легкоуносимого материала на кормовой части аппарата. Аэродинамический щиток, создавая необходимый балансировочный угол атаки (21), обеспечивает при прохождении резонанса соответствующую перестройку нутационно-прецессионного движения, в результате которой возмущающий момент, обусловленный эффектами вязкости, не будет уменьшать угловую скорость крена. После прохождения резонанса, аэродинамический щиток, выполненный из легкоуносимого материала, уносится и не оказывает в дальнейшем влияния па изменение угловой скорости крена на высотах интенсивного действия возмущающих моментов, обусловленных асимметрией.

Проведен сравнительный анализ с известными конструктивным! схемами летательных аппаратов (ЛА без устройства стабилизации; ЛА с косо поставленным оперением; ЛА с регулируемой центровкой, газовыми рулями, управляющими аэродинамическими органами и т.п.).

Известные способы стабилизации продольной угловой скорости, как правило, основываются на создании момента, который парирует возмущающий момент. В предлагаемом способе стабилизации малая искусственная асимметрия создает такое нутационно-прецессионное движение, при котором возмущающий момент, обусловленный эффектами вязкости, интенсивно не проявляется.

Сравнительный анализ показывает преимущества предлагаемых конструктивных решений. ЛА с искусственной асимметрией выполняют требования к атмосферному рассеиванию точек падения с минимальными весовыми затратами и имеют лучшие геометрические и функционально-эксплуатационные характеристики. Выбор конкретной реализации искусственной асимметрии зависит от конкретного летательного аппарата проектируемого вновь или модифицируемого.

Проектные параметры искусственной асимметрии определит для номинальных геометрических, инерционных и аэродинамических характеристик ЛА и для номинальных условий входа в атмосферу без учета разбросов данных характеристик. Реализовать проектные параметры искусствешюй асимметрии можно также с некоторыми разбросами. В этом случае необходимы поверочные расчеты. В связи с этим разработан алгоритм стохастического моделирования, в основу которого положен алгоритм ускоренного расчета параметров движения ЛА в атмосфере. В алгоритме ускоренного расчета в зависимости от баллистического коэффициента аппарата, ею моментной характеристики, демпфирующих свойств, условий входа в атмосферу могут использоваться те или иные полученные математические модели. В качестве примера приведен алгоритм ускоренного расчета для закрученных относительно продольной оси аппаратов с моментной характеристикой близкой к синусоидальной. В результате стохастического моделирования определяются вероятности выполнения требуемых параметров движения ЛА в атмосфере при наличии малой инерционно-массовой и аэродинамической асимметрии, изменяющейся в полете, при наличии возмущений термодинамических параметров атмосферы, аэродинамических характеристик аппарата и разброса начальных условий движения.

3 заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе:

1. Найден критерий применимости асимптотических методов в задачах спуска неуправляемого тела в атмосфере, характеризующий медленность изменения параметров системы, учитывающий условия входа, диапазон высот полет а, баллистические и динамические свойства тела.

2. Выписан в явном виде интеграл действия для всех возможных движений осесимметричного тела с бигармоническим восстанавливающим моментом, который имеет вид нечетного ряда Фурье по углу атаки с двумя первыми гармониками.

3. Разработан метод аналитического исследовшшя переходных режимов движения осесимметричного тела под действием медленно меняющегося во времени бигармонического восстанавливающего момента. Для случаев, когда при пересечении сепаратрисы фазовая точка может попадать в различные колебательные области фазового портрета системы, найдены формулы для определения вероятности попадания в ту или иную область движения.

4. Получено без введения ограничений, накладываемых на характер движения, семейство усредненных уравнений возмущенного движения осесимметричного тела, использование которых позволяет значительно снизить объем вычислений по сравнению с интегрированием исходных уравнений при сохранении высокой точности решений.

5. Выявлено влияние малой асимметрии твердого тела на характер изменения прецессионной скорости при прохождении через резонанс. Получены формулы для определения критических величин асимметрии, гарантирующих заданный вид прецессионного движения. Предложен графоаналитический метод определения диапазонов изменения скоростей прецессии и собственного вращения твердого тела, вида прецессионного движения по амплитудным характеристикам утла атаки.

6. Получены аналитические зависимости для определения изменения утла атаки в процессе перехода через резонанс твердого тела, имеющего малую динамическую и аэродинамическую асимметрию, с учетом изменения продольной угловой скорости и начальных условий по углу атаки. Выведена формула для определения изменения продольной угловой скорости твердого тела при переходе через резонанс.

7. Разработан алгоритм выбора величины малой искусственной асимметрии летательного аппарата, обеспечивающей заданные условия его движения.

8. Предложены конструктивные решения реализации искусственно!! асимметрии. Малая искусственная асимметрия ЛА может быть реализована в виде перекоса главной продольной оси инерции конструктивной компоновкой или размещением балансировочных грузов на днище аппарата, а также установкой специальных малых аэродинамических поверхностей из легкоуносимого материала.

9. Разработана на основе полученных математических моделей стохастическая модель движения.

По теме диссертации опубликовано 28 печатных работ, в том числе:

1. Асланов B.C., Тгшбай И.А., Бойко В.В. Пространственные колебания осесимметричного аппарата на произвольных углах атаки при снижении в атмосфере планеты // Космические исследования. 1981. Т. 19. № 5. С. 680-687.

2. Асланов B.C., Тгшбай И.А. Некоторые задачи динамики неуправляемого спуска КА в атмосфере // Космические исследования. 1995. Т. 33. № 6. С. 639-645.

3. Асланов B.C., Тгшбай И.А. Переходные режимы углового движения КА на верхнем участке траектории спуска // Космические исследования. 1997. Т. 35. № З.С. 279-286.

4. Асланов B.C., Тгшбай И.А. Интеграл действия при движении твердого тела в обобщенном случае Лагранжа // Изв. АН. Механика твердого тела. 1998. №2. С.9-17.

5. Тимбай И.А. Нелинейные колебания осесимметричного ЛА относительно центра масс // Сб. тр. VI Всерос. научн.-техн. семинара по управлению движением и навигации летательных аппаратов. Ч. 2 - Самар. гос. аэрокосм. ун-т. Самара, 1994.С. 108-111.

6. Тгшбай И.А. Аналитическая оценка изменения угла атаки и продольной угловой скорости летательного аппарата при переходе через резонанс // Сб. тр. VII Всерос. научн.-техн. семинара по управлению движением и навигации летательных аппаратов. Ч. 2 - Самар. гос. аэрокосм. ун-т. Самара, 1996. С. 33-36.

7. ТимбайИ.А. Аналитическое исследование углового движения твердого тела при переходе через резонанс /У Межвузовский сборник. Проблемы механики и управления. Нелинейные динамические системы. - ПГТУ. Пермь, 1997, С. 160-174.

8. Тгшбай И.А. Влияние момента от сил вязкости на угловую скорость крепа спускаемого аппарата // Сб. тр. VIII Всерос. иаучн.-техн. семинара по управлению движением и навигации летательных аппаратов. Самар. гос. аэрокосм. ун-т. Самара, 1998. С.188-191.

9. Асланов B.C., Мотиулев Б.И., ТимбайИ.А. О методе расчета пространственного движения спускаемого аппарата произвольной формы под действием нелинейного момента 1! Труды VI Научных чтений Ф.А. Цандера. ИИЕТ АН СССР. 1980. С. 75-81.

10. Асланов B.C., ТимбайИ.А., Бойко В. В. Пространственные колебания осесимметричного аппарата при нестационарных режимах движения в атмосфере планеты // Труды XIV Научшлх чтений К.Э. Циолковского. ИИЕТ АН СССР. 1980. С. 75-81.

11. Асланов B.C., Тгшбай И.А. Определение границы перехода вращения в колебания летательных аппаратов с нелинейными моментными характеристиками // Сб. тр. VII Всерос. научн.-техн. семинара по управлению движением и навигации летательных аппаратов. Ч. I -Самар. гос. аэрокосм. ун-т. Самара, 1996. С. 21-24.

¡2. Aslanov V.S., Timbail.A. Mathematical models of rotary motion in problems of the re-entry vehicles dynamics // Proceeding of third China-Russia-Ukraine symposium on space science and technology. China, 1994. C. 531-533.

13. Aslanov V.S., Timbail.A. Definition of transitions regimes of the re-entry vehicle around center-of-mass motion during the Atmospheric entry // Proceeding of fourth Ukraine-Russia-China symposium on space science and technology. Ukraine, 1996. V. 1. C. 382-384.

Подписано в печать 06.04.98 г. Формат 60x84 4ie Бумага K_ym Lux. Печать оперативная. Гарнитура "Тайме" Усл. печ. л. 1,87. Тираж 100 экз. Заказ 76

Отпечатано с готовых оригинал-макетов в типографии ООО "CMC" Лицензия ПЛД 67-33 от 03.02.97 г.

Текст научной работы диссертации и автореферата по механике, доктора технических наук, Тимбай, Иван Александрович, Самара

-IL

Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева

ТИМБАЙ Иван Александрович

МОДЕЛИ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ПЕРЕХОДНЫХ РЕЖИМОВ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА В АТМОСФЕРЕ

Специальность 01.02.01 - теоретическая механика

Диссертация на соискание ученой степени

доктора технических наук

Научный консультант: доктор технических наук,

профессор В.С^ Асланов

Самара, 1998

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ............................4

ВВЕДЕНИЕ............................................................6

ГЛАВА 1. СОВРЕМЕНОЕ СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ И МЕТОДЫ ЕЕ РЕШЕНИЯ..............................................13

1.1. Переходные режимы движения осесимметричных тел . . 13

1.2. Переходные режимы движения тел с малой асимметрией 19

1.3. Современные способы обеспечения заданного движения неуправляемых летательных аппаратов........................23

1.4. Асимптотические методы в задачах неуправляемого движения тела в атмосфере......................................31

ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДВИЖЕНИЯ НЕУПРАВЛЯЕМОГО ТЕЛА В АТМОСФЕРЕ........................41

2.1. Исходные системы уравнений движения....................41

2.2. Начальные условия углового движения....................62

2.3. Критерий применимости асимптотических методов в задачах спуска неуправляемого тела в атмосфере........ 71

ГЛАВА 3. ПЕРЕХОДНЫЕ РЕЖИМЫ ДВИЖЕНИЯ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ТЕЛ..........................................76

3.1. Аналитические выражения для интеграла действия при движении тела с бигармонической зависимостью восстанавливающего момента от угла атаки....................77

3.2. Переходные режимы движения тела с бигармоническим восстанавливающим моментом при входе в атмосферу............................. 96

3.3. Усредненные уравнения возмущенного движения тела произвольной конфигурации при спуске в атмосфере..........114

3.4. Усредненные уравнения возмущенного движения тела с зависимостью восстанавливающего момента от угла атаки близкой к синусоидальной.................... 120

3.5. Влияние момента от эффектов вязкости на продольную угловую скорость тела...................... 132

ГЛАВА 4. ПЕРЕХОДНЫЕ РЕЖИМЫ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛ С МАЛОЙ АСИММЕТРИЕЙ............................................137

4.1. Аналитическая оценка изменения угла атаки и продольной угловой скорости тела при переходе через резонанс..........................................................137

4.2. Анализ переходных режимов прецессионного движения

тела................................ 152

ГЛАВА 5. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭФФЕКТА РЕЗОНАНСА ДЛЯ ОБЕСПЕЧЕНИЯ ЗАДАННОГО ДВИЖЕНИЯ НЕУПРАВЛЯЕМЫХ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ.................... 190

5.1. Алгоритм выбора величины малой искусственной асимметрии ЛА, обеспечивающей стабилизацию угловой скорости крена.......................... 190

5.2. Летательные аппараты с искусственной малой асимметрией........................... 205

5.3. Стохастическая модель движения ЛА в атмосфере .... 214

ЗАКЛЮЧЕНИЕ............................. 220

ЛИТЕРАТУРА............................. 222

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

ап - пространственный угол атаки (в главе 3 - а = а„); у а - угол прецессии; Ф„ - угол собственного вращения; = а„ехр(-/ф„) - комплексный угол атаки, определенный в связанной

системе координат;

§ = аяехр(/уа) - комплексный угол атаки, определенный в траекторией

системе координат;

ам, аб -амплитудные характеристики угла атаки, обусловленные

"медленной" прецессией и "быстрой" прецессией; аас - амплитудная характеристика угла атаки, вызванная асимметрией, в

нерезонансном движении; а%с - амплитудная характеристика угла атаки, порожденная асимметрией,

при переходе через резонанс; ак, ау - углы, характеризующие соответственно положение продольной оси

тела относительно вектора кинетического момента К и положение вектора кинетического момента К относительно вектора скорости центра масс V в момент входа в атмосферу; т - масса тела; / - характерный размер тела; 5 - характерная площадь тела;

1Х, 1у, 12, 1Х2 1у2- осевые и центробежные моменты инерции тела (для

осесимметричного тела 1у = 12 - /); хТ = хТ /1 - безразмерное смещение центра масс от "носка" тела; (хд - хт) - запас статической устойчивости; q - скоростной напор; V - скорость полета; 0 - угол наклона траектории;

Н - высота полета;

Ьп - дальность полета, измеряемая по поверхности Земли;

оох, &у, со, - проекции вектора угловой скорости тела на оси связанной

системы координат; Мх, Му, М2 - проекции вектора главного аэродинамического момента на

оси связанной системы координат; тхп > туп " коэффициенты демпфирующих моментов;

тхп ' туп " коэффициенты моментов, обусловленные эффектами вязкости;

Сх, С„- коэффициенты тангенциальной и нормальной аэродинамических

сил;

С" - производная коэффициента нормальной аэродинамической силы по углу атаки;

Ма - моментная характеристика (отнесенный к поперечному моменту

инерции восстанавливающий момент); а, Ъ - коэффициенты моментной характеристики;

Я, С - отнесенные к поперечному моменту инерции проекции вектора кинетического момента на продольную ось тела и на направление скорости центра масс; г = (К,0,У,д,Н,Ьп) - вектор медленно меняющихся переменных;

в - малый параметр;

АСу, АС2 - коэффициенты аэродинамических сил асимметрии; Атх, ¿шу, Ат2 - коэффициенты аэродинамических моментов асимметрии; X], %2 - углы, характеризующие инерционную асимметрию (перекос главной оси инерции);

уТ~ ут / /, 2Т — / / - безразмерное смещение центра масс с оси симметрии

тела (массовая асимметрия);

С-тах

= |ас/сс - интеграл действия;

^тш

К(к), Е(к), П(п,к) - полные эллиптические интегралы I, П и Ш рода.

ВВЕДЕНИЕ

Большое количество космических программ, осуществляемых в интересах развития техники, науки и обороны страны, в качестве заключительной фазы предусматривают неуправляемый спуск летательного аппарата (ЛА) в атмосферу Земли и других планет. Несмотря на наличие обширных исследований в этой области, многие проблемы, как теории, так и практики, в настоящее время не нашли своего завершения. Важной проблемой является разработка математических моделей и методов исследования переходных режимов движения ЛА в атмосфере, под которыми понимаются случаи, когда в процессе снижения аппарата происходит изменение характера движения относительно его центра масс: вращательное движение переходит в колебательное, скачкообразно изменяются характеристики колебательного движения и т. д. Изучение переходных режимов движения необходимо для определения компонент перегрузки, рационального расположения теплозащитного покрытия, определения рассеивания точек посадки, а также для назначения требований к геометрической форме и конструктивно-компоновочной схеме ЛА.

ускорить процесс расчета и установить закономерности, свойственные движению тела, является актуальной задачей.

В работе рассматриваются переходные режимы движения осесимметричных тел, возникающие на верхнем участке траектории спуска в атмосферу и обусловленные медленным изменением во времени формы зависимости восстанавливающего аэродинамического момента от угла атаки, и переходные режимы движения тел с малой асимметрией, вызванные резонансными явлениями, возникающими при движении в плотных слоях атмосферы.

Движение осесимметричного тела в атмосфере описывается системой уравнений, представляющей собой квазиконсервативную нелинейную систему с одной степенью свободы. Характер движения тела во многом определяется формой зависимости восстанавливающего момента от угла атаки, который является нечетной функцией и в общем случае аппроксимируется нечетным рядом Фурье по углу атаки. Г.Е. Кузмаком исследованы переходные режимы движения тела с синусоидальной зависимостью восстанавливающего момента от угла атаки, когда фазовый портрет системы аналогичен возмущенной колебательной системе маятникового типа. В настоящее время эксплуатируются и разрабатываются ЛА (спускаемые модули "Союз", "Марс", многие перспективные малогабаритные грузовые капсулы) с достаточно сложной зависимостью восстанавливающего момента от угла атаки, для удовлетворительной аппроксимации которой рядом Фурье необходимо удерживать не менее двух гармоник. При этом возможно появление дополнительного положения равновесия по углу атаки - дополнительной особой точки на фазовом портрете системы. Переходные режимы движения тел, имеющих два устойчивых и одно неустойчивое положения равновесия, анализируются в монографии В.А. Ярошевского. Однако интеграл действия, который является адиабатическим инвариантом для рассматриваемой системы, не выписан в

явном виде, что весьма существенно затрудняет анализ движения. В диссертационной работе на основе полученных аналитических формул для интеграла действия разработан метод аналитического исследования переходных режимов движения тела под действием медленно меняющегося во времени бигармонического восстанавливающего момента. Для описания эволюции движения внутри колебательных областей с учетом действия малых демпфирующих моментов и моментов от сил вязкости получены усредненные уравнения движения для тела с полигармоническим восстанавливающим моментом.

Движение тела с малой асимметрией в атмосфере в общем случае описывается двухчастотной системой уравнений. Если частоты (собственная частота и частота внешнего периодического воздействия) относятся как целые малые простые числа, то возникает резонанс. Исследованию резонансов при движении неуправляемого тела в атмосфере посвящено большое количество работ отечественных и зарубежных ученых, в которых, как правило, рассматриваются вопросы, связанные с изучением поведения угла атаки и продольной угловой скорости вращения. В диссертационной работе анализируется влияние малой асимметрии тела на прецессионное движение, определяющее положение вектора подъемной силы, а следовательно, оказывающее большое влияние на рассеивание точек посадки. Получены аналитические зависимости, связывающие изменения угла атаки, продольной угловой скорости и прецессионного движения при переходе тела через резонанс, с начальными условиями движения, с видом и величиной асимметрии. Предлагается использовать эффект прохода через резонанс для стабилизации продольной угловой скорости ЛА с целью выполнения требований к атмосферному рассеиванию точек посадки. Для этого в конструкцию аппарата может вводится рассчитываемая по аналитическим формулам малая искусственная инерционная или аэродинамическая асимметрия, которая дает в сравнении с известными системами стабилизации

улучшение массово-геометрических и функционально-эксплуатационных характеристик ЛА.

Для достижения указанной цели в работе решаются следующие задачи:

- вывод исходных уравнений вращательного движения твердого тела в атмосфере, обеспечивающих построение на основе асимптотических методов математических моделей, необходимых для решения поставленных задач;

- исследование переходных режимов движения при входе в атмосферу осесимметричного тела с бигармонической зависимостью восстанавливающего момента от угла атаки на основе аналитических формул для интеграла действия;

- исследование характера изменения угла атаки, продольной угловой скорости и прецессионного движения тела с учетом влияния малой асимметрии при прохождении через резонанс;

-построение усредненных уравнений возмущенного нерезонансного движения осесимметричного тела для анализа участков движения между переходными режимами;

- разработка алгоритма выбора величины малой искусственной асимметрии ЛА, обеспечивающей стабилизацию угловой скорости крена в определенных пределах, и конструктивная её реализация;

-разработка на основе полученных математических моделей стохастической модели движения для проведения поверочных расчетов.

Методы исследования. При разработке методов, для получения математических моделей, аналитических формул, оценок использовались

методы и подходы развитые В.И. Арнольдом, В.М. Волосовым, А.И. Нейштадтом, В.А. Ярошевским и др.

Научная новизна работы заключается в следующем.

2. Получены для всех возможных движений осесимметричного тела с бигармонической зависимостью восстанавливающего момента от угла атаки аналитические формулы для интеграла действия, выраженные через полные эллиптические интегралы или элементарные функции.

3. Разработан метод аналитического исследования переходных режимов движения осесимметричного тела под действием медленно меняющегося во времени бигармонического восстанавливающего момента. Для случаев, когда при пересечении сепаратрисы фазовая точка может попадать в различные колебательные области фазового портрета системы, найдены формулы для определения вероятности попадания в ту или иную область движения.

4. Построены усредненные уравнения возмущенного движения осесимметричного тела с полигармонической зависимостью восстанавливающего момента от угла атаки в интегро-дифференциальной форме без введения ограничений, накладываемых на характер движения. В случае, когда восстанавливающий момент имеет зависимость от утла атаки близкую к синусоидальной, правые части усредненных уравнений сведены к полным эллиптическим интегралам. Численное интегрирование усредненных уравнений дает значительное сокращение времени определения параметров движения по сравнению с исходными уравнениями.

5. Выявлено влияние малой асимметрии твердого тела на характер изменения прецессионной скорости при прохождении через резонанс.

Получены формулы для определения критических величин асимметрии, гарантирующих заданный вид прецессионного движения.

6. Предложен графо-аналитический метод определения диапазонов изменения скоростей прецессии и собственного вращения твердого тела, вида прецессионного движения по амплитудным характеристикам угла атаки.

7. Получены аналитические зависимости для определения изменения угла атаки в процессе перехода через резонанс твердого тела, имеющего малую динамическую и аэродинамическую асимметрию, с учетом изменения продольной угловой скорости и начальных условий по углу атаки. Выведена формула для определения изменения продольной угловой скорости твердого тела при переходе через резонанс.

8. Найдены формулы для определения величины малой искусственной асимметрии тела, обеспечивающей стабилизацию продольной угловой скорости при действии возмущающего момента, вызванного эффектами вязкости. Малая искусственная асимметрия ЛА может быть реализована в виде перекоса главной продольной оси инерции конструктивной компоновкой или размещением балансировочных грузов на днище аппарата, а также установкой специальных малых аэродинамических поверхностей из легкоуносимого материала.

Практическое значение работы заключается в следующем.

Основные результаты доведены до простых аналитических формул и оценок и могут непосредственно использоваться в инженерной практике при анализе движения ЛА. Разработанные методы, алгоритмы и программы

внедрены в практику проектирования в Государственном ракетном центре "Конструкторское Бюро имени академика В.П. Макеева" (г. Миасс), где продолжительное время работал автор. Результаты работы используются, при решении задач выбора проектных параметров, предполетного анализа, послеполетного вос�