Исследование некоторых режимов движения твердого тела в сопротивляющейся среде тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

[2 7 Г, 7 9 ?

российская академия наук институт прикладной математики им.Н.В. келдьиа

На правах рукописи

Бондаренко Владимир Николаевич

исследование некоторых решюв дви5кения твердого тепа в сопротивляющейся среде

Специальность 01.02.01 - теоретическая механика

автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

москва 1992

Работа выполнена им. М. В. Келдыша РАН.

в Институте прикладной математик!

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

профессор В.А.Сарычев,

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник М. Ю. Овчинников

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

профессор А.Л.Куницын,

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник В.А.Привалов

Ведущая организация: кафедра теоретической механики

Московского физико-технического института ^ г

Защита диссертации состоится "_" _ 1992 г.

на заседании Специализированного Совета Д 002.40.01 при Институт! прикладной математики им.М. В.Келдыша РАН по адресу: 125047 Москва, Миусская пл., 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Институт; прикладной математики им.М.В.Келдыша РАН.

Автореферат разослан "_" _ 1992 г.

Ученый секретарь Специализированного Совета,

кандидат физико-математических наук I

И.А.Бахарев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Задача о движении твердого тела в сопротивляющейся среде представляет значительный теоретический интерес и имеет приложения в различных областях техники. Большое разнообразие условий движения, форм тел и характеристик сред определяет и широкий спектр свойств и особенностей движения тел. В каждом .конкретном случае представляет интерес выделить установившиеся режимы движения, найти условия их существования и исследовать их устойчивость. Часто движущееся в среде тело совершает вращательное движение. Примером такого тела может служить артиллерийский снаряд СН.Е. Майевский, Н.Е.Жуковский, Н.Г.Четаев и др.).

В последнее время получило распространение использование различных авторотирующих тормозни устройств, которые обладает рядом преимуществ по сравнению с обычными средствами спуска и посадки. Так, например, вращение парашюта при определенных значениях конструктивных и аэродинамических параметров повышает коэффициент аэродинамического сопротивления, что позволяет уменьшить размеры купола парашюта. Использование при изготовлении вращающихся (роторных) парашютов ткани повышенной прочности типа Кеу1аг делает вес парашюта и его укладочный объем гораздо меньшим, чем у обычных парашютов. Все это делает использование вращающихся парашютов одним из перспективных способов повышения эффективности парашютных систем на этапе спасения и транспортировки грузов. При правильной организации крепления парашюта к телу можно с его помощью обеспечить и устойчивое вращение спускаемого тела, при этом угловая скорость тела в процессе раскрутки будет зависеть от способа его крепления к телу. На начальном этапе снижения, когда скорость движения относительно воздуха еще достаточно велика, и скорость вращения парашюта гораздо больше скорости вращения тела возможно скручивание строп парашюта. Если вращающий момент передается телу через муфту с "подпружиниванием", то можно избежать фатального скручивания строп. Когда скорость движения велика, то сила аэродинамического сопротивления сжимает пружину в муфте, и вращающий момент телу не передается. При уменьшении скорости пружина разжимается, и вращение от парашюта к телу передается посредством сухого трения, возникающего в-муфте. Исследования динамики тел с вращающимся парашютом и ротошютом проводились как в нашей стране , так и за рубежом

£

СМ.П.Фалунин, В.А.Самсонов, P.Crimi и др.).

Демпфирование нутационных движений быстровращасщегося тела обычно осуществляется устройствами, содержащими подвижные части. Проблему демпфирования нутационных движений спутников исследовали W. Т. Thomson, G.S.Reiter, В. А. Сарычев и др. Традиционно используются демпферы вязкого трения. Однако в силу ряда причин иногда целесообразно использовать демпфер сухого трения. Наличие сухого трения, обладающего существенно нелинейной характеристикой, значительно осложняет исследование даже при использовании простейших моделей. При достаточно хорошей изученности сухого трения в случае неизменных знаков относительных скоростей движения поверхностей трения и постоянных усилиях их прижатия, сухое трение практически не изучено в случаях, когда в процессе движения знак относительной скорости меняется и изменяются усилия прижатия поверхностей трения. Именно последний вид движения реализуется в демпфирующих устройствах при наличии в них элементов сухого трения.

Перечисленные выше проблемы, встречаются, в частности, при исследовании движения в' атмосфере вращающихся аппаратов. Вращение аппарата может осуществляться с помощью вращающегося парашюта, ротошюта, лопасти или аппарат может предварительно закручиваться с помощью активных устройств. В последнем случае на аппарате устанавливается демпфер сухого трения.

Цель работы.

— Исследование движения в атмосфере вращающегося тела, закрутка которого осуществляется с помощью вращающегося парашюта; разработка способа предотврацения скручивания строп парашюта в процессе его раскрутки на начальном этапе движения.

—: Поиск стационарных движений в атмосфере тела с аэродинамической лопастью, при которых тело .вращается с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси, а вертикальная составляющая скорости спуска также остается постоянной.

— Исследование переходных и установившихся движений тела, стабилизируемого вращением, с демпфером сухого трения.

Научная новизна. Разработаны математическая модель у. исследована динамика системы тело-вращающийся парашют с учетов различных способов передачи вращающего момента от парашюта к телу, которые позволяют решать задачи, связанные с проектированием, выбором параметров и оценкой динамических характеристик указанно{ механической системы.

Разработана математическая модель системы тело аэродинамическая лопасть и определены параметры винтового, тривиального и плоского движений этой механической системы.

Разработана математическая модель системы тело-демпфер сухого трения. Рассмотрена задача о стационарных вращениях этой механической системы. На основе усредненных уравнений найден линейный по времени закон изменения амплитуды нутационных колебаний. Определены оптимальные по быстродействие и по остаточному углу нутации параметры системы. Рассмотрены вопросы, связанные с существованием в системах с сухим трением так называемой "зоны застоя".

Практическая ценность. Результаты настоящей работы могут найти применение при изучении движения и предварительном проектировании или при улучшении ухе существующих спускаемых под парашютом или ротошютом аппаратов, а также объектов, снабженных аэродинамической лопастью. Результаты, касающиеся двихения твердого тела с демпфером сухого трения, можно использовать при разработке стабилизируемых вращением спутников, снарядов с подвижными внутренними частями. Как правило, во всех упомянутых приложениях проведение натурных экспериментов является либо дорогостоящим, либо невозможны}.!.

Апробация работы. Основные результаты диссертации представлялись на 24-х Чтениях, посвященных разработке научного наследия и развитию идей К.Э.Циолковского СКалуга, 12-15 сентября, 1989), на 7-ой Всесоюзной конференции "Управление в механических системах" (Свердловск, 13-15 ноября, 1990), на 2-м Международном коллоквиуме по дифференциальным уравнениям С Пловдив, Болгария, 19-24 августа, 1991), на научных конференциях МФТИ (Долгопрудный. 1989-1991), на научных семинарах ИГО! им.Н.В.Келдыша РАН, МГУ им. М.В.Ломоносова С"Динамика относительного двихения" под руководством В.В.Белецкого и Ю.Ф.Голубева; "Динамика тела в сопротивляющейся среде" под руководством В.А.Самсонова).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [ I - 9 ].

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения, изложенных на 144 страницах; содержит I приложение, 3 таблицы и 72 рисунка, а также список литературы из 164 наименований.

в

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обосновывается актуальность рассматриваемых задач, приводится обзор по теме диссертации и по смежным с ней вопросам. Формулируется тема диссертации как задача определения способов и средств обеспечения устойчивого вращения тела, поиска стационарных режимов движения и уменьшения времени переходных процессов. Рассматривается три пути решения поставленной задачи -с помощью вращающегося парашюта, аэродинамической лопасти и нутационного демпфера сухого трения, установленного на предварительно закрученном теле. Описывается содержание диссертации.

В первой главе исследуется движение механической системы, состоящей из вращающегося парашюта и прикрепленного к нему с помощью соединительного фала тела, в атмосфере. Фал представляет собой модель скручивающихся строп парашюта. Вращающий момент парашюта через фал передается телу. Рассмотрены три способа передачи вращательного момента:

— нескручивающийся фал жестко •прикреплен к телу;

— скручивающийся (упругий) фал жестко прикреплен к телу; ка тело действует упругий момент со стороны фала;

— скручивающийся фал передает вращающий момент телу через муфту сухого трения;

Исследование проводится в рамках безынерционной модели парашюта. Тем самым воздействие атмосферы учитывается в главном векторе внешних сил и главной моменте, приложенных к телу.

В разделе I описывается математическая модель рассматриваемой механической системы. Аэродинамическое воздействие принимается в виде сил и моментов, зависящих от параметров системы и характеристик движения. Обсуждается специфика зависимости осегого момента от' скоростей снижения и вращения. Получены уравнения движения для случаев жесткого и скручивающегося фалов, а таксе при наличии одностепенного шарнира с сухим трением.

В разделе 2 рассматривается тривиальное движение, при котором центр масс тела движется по вертикали, а вращение происходит вокруг оси, совпадающей с этой вертикалью. Установлено, что с течением времени скорости снижения и вращения тела, а также угол скручивания фала стремятся к стационарным значениям, зависящим от параметров системы. В случае наличия в системе шарнира с сухи* трением, изменение скорости вращения за счет трения будет происходить до тех пор, пока момент, создаваемый скручивающим«

фалом, не сравняется по величине с моментом сил трения в шарнире. Когда это произойдет, вращение в шарнире прекратится и движение будет описываться уравнениями для системы с упругим фалом.

В разделе 3 получены условия существования тривиального стационарного режима, при котором скорости снижения и вращения системы, а также угол закручивания в случае скручивающегося фала, постоянны. Выписаны выражения для определения стационарных значений этих величин. При этом выражения для стационарных скоростей спуска и вращения в случаях жесткого и. скручивающегося фала совпадают. При наличии в системе шарнира с сухим трением стационарный режим существует тогда, когда шарнир находится в так называемой "зоне застоя", присущей системам с сухим трением, и вращение в нем отсутствует. В этом случае, как уже упоминалось, движение описывается уравнениями для системы с жестким или упругим фалом, а стационарный режим определяется соответствующими выражениями. Тривиальный стационарный режим представляет практический интерес и во многих случаях выбирается в качестве номинального режима движения. Поэтому следует быть уверенным в его устойчивости.

В разделе 4 производится анализ устойчивости на основе линеаризованных в окрестности тривиального стационарного режима системы уравнений движения, которая распадается на три подсистемы. Первые два системы независимы и описывают тривиальное стационарное решение, возмущенное, соответственно, по осевым и пространственным переменным. Решение третьей системы, в которую входят уравнения относительно вариаций по координатам, находятся с помощью квадратур, если известно решение первых двух систем. Решения систем, описывающих движение, возмущенное по осевым переменным, в случаях жесткого и скручивающегося фалов, находятся в конечном виде. Из них следует асимптотическая устойчивость по отношению к возмущениям по скоростям спуска и вращения и по углу скручивания фала при всех допустимых значениях параметров системы.

При исследовании устойчивости тривиального стационарного решения по пространственным переменным соответствующая система уравнений в вариациях с периодическими.коэффициентами на основании теоремы Ляпунова о приводимости преобразуется в систему, коэффициенты которой представляются в виде суммы постоянных и, умноженных на малый параметр, периодических членов. В качестве малого параметра принимается отношение массы среды в объеме, равному характерному объему парашюта, к массе тела. Вычисляются характеристические показатели в виде рядов по степеням малого

параметра. В разложениях получены первые, содержащие" отличные от нуля действительные части, слагаемые. В соответствии с вычисленными характеристическими показателями строится выражение для степени устойчивости. На основе этого выражения показано, что максимальная степень устойчивости не зависит от расстояния от центра масс до центра давления, а определяется лишь ускорением свободного падения и скоростью стационарного движения. Увеличение расстояния от центра масс тела до центра давления, а также увеличение коэффициента демпфирования тела, позволяет расширить диапазон изменения скорости вращения, в котором степень устойчивости достигает своей максимальной величины. Проводится численный расчет степени устойчивости в зависимости от скорости вращения при различных значениях параметров системы. Отличие от результатов, полученных по конечным формулам, имеет порядок отброшенных слагаемых в разложении характеристических показателей по степеням малого параметра.

В разделе 5 рассматриваются вопросы, связанные с нежесткостью на скручивание чстроп парашюта в процессе его раскрутки на начальном этапе движения. Получены выражения для сил и моментов при скручивании. Описывается один из способов предотвращения скручивания строп с помощью муфты с "подпружиниванием". Решается модельная задача, иллюстрирующая возможность применения предложенного способа..

Во второй главе рассматривается задача о стационарных движениях динамически несимметричного твердого тела с аэродинамической лопастью в однородной атмосфере. Жестко связанная с телом лопасть моделируется круглой пластиной, закрепленной на конце тонкого жесткого стержня. Считается, что основная часть аэродинамического воздействия связана с лопастью и сводился к одной равнодействующей, приложенной в центре давления лопасти силе, пропорциональной аэродинамическому напору и равной сумме силы сопротивления, направленной по потоку, и подъемной силы, перпендикулярной к потоку. Коэффициенты пропорциональности зависят от формы лопасти и угла атаки, который составляет вектор скорости центра давления с плоскостью лопасти.

В разделе I описывается математическая модель рассматриваемой механической системы. Для удобства представления искомых движений тела вводится дополнительная связанная с телом система координат, положение которой относительно главных центральных осей тела определяется двумя постоянными углами. Одна из осей этой системы координат в стационарном режиме движения совпадает с вектором

угловой скорости тела;

В разделе 2 получена трансцендентная система алгебраических уравнений для определения параметров винтового движения, при котором центр масс тела перемещается с постоянной скоростью по бинтовой линии, ось которой вертикальна. При этом тело вращается с постоянной угловой скоростью, вектор которой направлен вертикально. Скорость вращения центра тсс вокруг оси винтовой линии равна угловой скорости тела С перманентное вращение). Угол атаки при винтовом движении остается постоянным. Радиус винтовой линии определяется параметра)® винтового движения. Наглядным примером движений такого типа служит движение плодов клена, липы и ясеня при их снижении в воздухе. Также рассматриваются два частных случая - плоское • и тривиальное . движения, которые можно рассматривать как два предельных случая винтового режима. В случае плоского движения центр масс невращающегося тела движется по наклонной прямой. В случае тривиального движения центр масс вращающегося тела движется по вертикальной прямой.

В разделе 3 исследуется плоский режим движения, в случае которого центр масс тела и центр давления лопасти расположены на одной вертикальной прямой. Ориентация лопасти влияет на параметры этого движения, при этом вектор скорости центра масс тела и нормаль к плоскости лопасти лежат в одной вертикальной плоскости. Стационарное значение угла атаки определяется как точка пересечения экспериментальной кривой зависимости аэродинамического качества и кривой, полученной из условий существования плоского режима. Функция качества для круглой пластины построена с помощью кубического сплайна на основе экспериментальных данных. Так как профиль круглой пластины симметричен относительно любого направления обдува, то свойства функции качества не изменяются при смене направления. Исходя из периодичности упомянутых кривых, стационарное значение угла атаки можно искать на промежутке от нуля до я/2. Для,плоского режима на этом промежутке имеется два решения.

В разделе 4 исследуется тривиальный режим движения, в случае которого плоскость лопасти содержит горизонтальную прямую, соединяющую вертикальную линию спуска центра масс тела и центр давления лопасти. Определение стационарного значения угла атаки в конечном итоге сводится, также как и в случае плоского режима, к определению точек пересечения экспериментальной кривой зависимости аэродинамического качества и кривой, полученной из условия существования тривиального режима. Показано существование одного

io

решения на промежутке от нуля до г/2.

В разделе 5 исследуется винтовой режим движения. Определение стационарного значения угла атаки производится аналогично первым двум случаям. На промежутке от нуля до л/2 в случае винтового режима существуют три С если указанные выше кривые пересекаются в районе максимума экспериментальной зависимости аэродинамического качества) или два Сесли кривые касаются) стационарных значений угла атаки.

Для всех рассмотренных случаев по найденным значениям угла атаки определяются остальные параметры системы и движения, входящие в условия существования этих режимов; приводятся численные примеры.

В третьей главе рассматриваются переходные и установившиеся движения вращающегося твердого тела с демпфером сухого трения поступательного типа. Демпфер представляется прямолинейной направляющей и перемещающимся вдоль нее грузом, связанным линейной пружиной с одним из концов направляющей. На груз действует сила трения, пропорциональная силе нормального давления груза на направляющую. В зависимости от конструкции демпфера, сила нормального давления может приниматься либо постоянной, либо определяться уравнениями движения и связью. В последнем случае сила нормального давления находится через перпендикулярную к направляющей демпфера проекцию ускорения груза. Тело вращается вокруг оси, близкой к одной из его главных центральных осей инерции. Предполагается, что на систему тело - груз не действуют внешние моменты, масса груза демпфера мала по сравнению с массой тела, влияние демпфирующего устройства на динамику тела мало, средний угол нутации невелик.

В разделе I получены уравнения движения исходя из принципа виртуальных перемещений. Рассмотрен вопрос о существовании стационарных вращений системы, под которыми понимаются только такие движения, при которых тело и груз вращаются с постоянной угловой скоростью как одно твердое тело. При этом сила трения покоя, присущая системам с сухим трением, равна нулю. Стационарным является вращение системы тело - груз относительно ее главных центральных осей при покоящемся грузе демпфера. Направление главных центральных осей определяется из условий существования стационарных вращений, из которых также находится и величина угловой скорости. Описывается модель сухого трения и определяются все входящие в нее величины.

В разделе 2 исследуется движение в окрестности стационарного

вращения. При небольшом возмущении система будет совершать нутационные движения, которые из-за наличия демпфера будут затухать. В .связи с существованием в системах с .сухим трением так называемой зоны застоя, нутационные движения затухают не полностью, и система тело - груз будет продолжать совершать остаточные нутационные движения. Исследование проводится с учетом "кусочно - линейного" поведения силы трения для относительного движения груза по направляющей на основе "линеаризованной" в окрестности стационарного вращения системы уравнений движения, которая имеет первый интеграл. Исключая с помощью первого интеграла отклонение составляющей угловой скорости вдоль оси вращения и вводя безразмерные переменные и параметры, получаем систему уравнений, описывающую вращение твердого тела под действием возмущающего момента, пропорционального малому параметру. Полученная система решается методом усреднения. В гсачсстпе малого параметра с выбрано отномение: с = рЬ^/С, где р -присаленная масса систеш тело - груз, Ьст- расстояние от центра масс системы до груза демпфера при стационарном вращении, С - один из главных центральных моментов инерции систем тело - груз. Нелинейное слагаемое, соответствующее силе сухого трения, представляется в виде гармонического ряда. В процессе решения коэффициент трения считается малым (характерное значение коэффициента трения, например, для пары трения металл - металл разно 0.1 + 0.2). На основе усредненных уравнений устанавливается линейный закон затухания нутационных колебаний в зависимости от параметров тела'и демпфера, из которого следует целесообразность резонансной настройки демпфера, при которой амплитуда нутационных колебаний будет уменьшаться наиболее быстро. Получен закон изменения угла нутации.

Определение границ "зоны застоя" производится в нулевом по с приближении. ■ Границами зоны застоя являются две синусоиды, расстояние между которыми равно ширине полосы зоны застоя в случае свободных колебаний этой же системы. При попадании в зону застоя груз демпфера залипает до момента выхода из нее. В процессе затухания нутационных колебаний границы зоны застоя изменяются. В работе получено условие, зависящее от амплитуды нутационных колебаний и параметров системы,1 при выполнении которого внутри зоны застоя возникает область, попадая в которую с нулевой скоростью, груз залипает окончательно и процесс гашения нутационных колебаний прекращается. Из этого условия найдена верхняя граница остаточной амплитуды нутационных колебаний.

В работе определяется оптимальное положение демпфера в теле, при котором нутационные колебания затухают наиболее быстро, а остаточный угол нутации имеет минимальное значение. Если демпфер конструктивно устроен так, что силу нормального давления можно считать постоянной, то оптимальным является такое положение демпфера, при котором груз в стационарном положении находится на главной оси максимального момента инерции вокруг которой происходит вращение, а линия его движения направлена вдоль главной оси среднего момента инерции. В случае, когда сила нормального давления определяется через ускорение груза, то оптимальным является расположение, при котором груз в стационарном пол жении находится на главной оси среднего момента инерции, ~ линия его движения направлена вдоль главной оси максимального момента инерции. Если в этом случае демпфер расположить по предыдущей схеме, то сила нормального давления при стационарном вращении будет равна нулю, а при наличии нутационных колебаний она будет меньше, чем в предыдущей схеме. Тем не менее такое расположение примечательно тем, что для некоторого диапазона коэффициентов трения амплитуда нутационных колебаний стремится с течением времени к нулю. Поэтому такое расположение демпфера, в случае когда нормальное давление определяется ускорением груза, является оптимальным с точки зрения минимума ширины зоны застоя.

В последнем пункте второго раздела рассматривается уравнение движения демпфера в нулевом по с приближении. Исследуется поведение решения этого уравнения в зависимости от параметров в случаях, когда сила нормального давления постоянна и когда она зависит от ускорения груза. Определяется вид решения в зависимости от соотношения сил: вынуждающей, упругой и трения. Графически оценивается погрешность приближенного представления силы трения при различных значениях коэффициента трения. Рассматривается ряд модельных задач, иллюстрирующих поведение демпфера в процессе гашения нутационных колебаний. Во всех рассмотренных случаях определяется вид границ зоны застоя.

В разделе 3 полученные результаты подтверждаются численным решением исходной системы нелинейных уравнений. Аналитическое и численное решения совпадают тем больше, чем меньше коэффициент трения и чем больше разница между собственной частотой демпфера и частотой возбуждающей демпфер силы. Для конкретного набора данных численно определяется оптимальный коэффициент трения.

В Заклечении приведены основные результаты диссертационной работы:

1. Разработаны математические модели движения в однородной атмосфере вращающегося твердого тела, закрутка которого осуществляется с помощью вращающегося парашюта, лопасти, или сторонних сил. В первых двух случаях демпфирование осуществляется за счет "скоса потока", в последнем случае тело снабжается демпфером сухого трения.

2. Рассмотрены различные модели передачи вращающего момента от парашюта к телу: с помощью нескручивающегося или скручивающегося фалов, а также через одностепенной шарнир сухого трения, соединяющего фал и тело. Рассмотрены вопросы, связанные с иежесткостью парашюта. Опнсан способ предотвращения скручивания, строп. Проведено исследование вертикального стационарного спуска.

3. Показано существование винтового, тривиального и плоского движений твердого тела с аэродинамической лопастью. В каждом случае определено количество стационарных значений угла атаки, по которому определяются другие параметры этих движений.

4. Проведено исследование переходных и установившихся движений вращающегося твердого тела с демпфером сухого трения.

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Сарычев В.А., Мирер С.А., Овчинников М.Ю. , Бондаренко В.Н. Математическая модель системы груз - инерционный парашют. - Отчет КШ им.М.В.Келдыша АН СССР, 1987, 57 с.

2. Овчинников И.О., Бондаренко В.Н. Демпфирование нутационных ДЕигений вращающегося тела с помощью демпфера сухого трения. Труды 24-х чтений К.Э. Циолковского, секция "Механика космического полета", М., 1990, 67 - 72.

3. Овчинников М.Ю., Бондаренко В.Н. Об особенностях использования нутационного демпфера нелинейного типа. - Тезисы докладов 7-ой Всесоюзной конференции "Управление в механических системах", Свердловск, 1990, с.80.

4. Сарычев В.А., Овчинников М.Ю. , Бондаренко В.Н. Исследование устойчивости стационарного движения вращающегося тела в атмосфере. - М., 1990, препринт ИЛМ им.М.В.Келдыша АН СССР, N 157, 28 с.

5. Овчинников М.Ю., Бондаренко В.Н. О движении относительно центра касс вращающегося тела с демпфером сухого трения. - И., 1391, препринт ИПН им.М.В.Келдыша АН СССР, N 35, 28 с.

6. Овчинников М.Ю. , Бондаренко В.Н. Плоское движение тела с

аэродинамической лопастью. Междувед. сб.: Прикладная механика и процессы управления. -М., МФТИ, 1991, с.4 - 10,

7. Ovchinnikov М. Yu. , Bondarenko V.N. Transient and steady - state motions of a rotating body with nutation damper of coulojnb friction type. - Abstracts of invited lectures and short communications delivered at the 2nd International Colloquium on Differential Equations, Plovdiv, Bulgaria, 19-24 August, 1991, p. 216.

8. Сарычев В.A.,'Овчинников M.Ю., Бондаренко В.Н. Стационарные движения тела с лопастью в атмосфере. - М., 1992, препринт' ИПМ им.М.В.Келдыша РАН, N 4, 30 с.

9. Сарычев В.А., Овчинников М.Ю., Бондаренко В.Н. Система груз -вращающийся парашют. - Отчет ИПМ им.М.В.Келдыша РАН, 1992, 73 е., N 5-1-92.