Оптимальные управления с особыми участками в задачах о движении твердого тела тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ, ОРДЕНА ТРУ^ВФГО ^^РНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени

М.В.ЛОМОНОСОВА .1 / I механико-математический факультет

На правах рукописи

ЧЕРКАСОВ ОЛЕГ ПРЬЕВИЧ -

УДК 531.36

ОПТИМАЛЬНЫЕ УПРАВЛЕНИЯ С ОСОБЫМИ УЧАСТКАМИ В ЗАДАЧАХ О ДВИЖЕНИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Специальность 01.02.01. Теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА 1993

/

Работа выполнена на кафедре прикладной механики и управления механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель - кандидат физико - математических наук,

доцент Б.Я.Локшин. Официальные оппоненты - доктор физико - математических наук

Ведущая организация - Государственный научно - исследовательский

институт авиационных систем.

на заседании специали: . 05.01 (н 1) по

механике при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: иэвээ, Москва, Ленинские Горы, Главное

С диссертацией можно познакомиться в читальном зале библиотеки механико-математического факультета МГУ.

А.М.Формаль ский,

кандидат физико - математических наук Якушев А.Г.

Запита состоится

в часов

здание МГУ, зона "А", ауд. '/б-/О .

•Автореферат разослан

Ученый секретарь специализированного Совета Д.053.05.01. при МГУ доктор физико-математических наук

Д.В.Трещев.

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Бурное развитие авиа-ционно-ракетной техники во второй половине нашего века инициировало распространение приложений теории автоматического управления и теории оптимизации в этой новой области, что, в свою очередь, привело к дальнейшему развитию этих наук. В связи С тем, что в последующие года требования к эффективности авиационно-космических систем неуклонно возрастали, вопросы, связанные с оптимизацией параметров этих систем приобрели важнейшее- значение.

Уже в первые годы исследований по оптимизации траекторий движения летательных аппаратов выяснилось, что имеется определенный класс задач, для решения которых традиционные методы теории оптимального управления не всегда оказываются эффективными . Задачи этого класса получили название вырожденных задач оптимального управления, или задач с особыми управлениями. Актуальность исследования таких задач обусловлена следующими обстоятельствами:

1). Известные методы теории оптимизации (в том числе принцип максимума Л.С.Понтрягина ) оказываются малоэффективными при исследовании такого рода задач.

2). Рассматриваемый класс оптимальных задач охватывает обширное множество интересных и важных для приложений проблем астродинамики, управления движением и проблем теории автоматического регулирования.

Изложим эти обстоятельства более подробно.

Принцип максимума Л.С.Понтрягина по многих случаях оказывается мощным средством : решения ' задач оптимального управления. Оптимальная задача при этом сводится к краевой

задаче для некоторой системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Среди решений этой краевой задачи находится и оптимальная траектория ( разумеется, если оптимальное управление существует ). Процедура сведения оптимальной задачи к краевой реализуема, если максимум функции Понтрягина Н по управлению достигается в единственной точке. Может, однако, случиться, что этот максимум достигается в нескольких точках (в множестве допустимых управлений и есть подмножество и, состоящее не менее чем из двух элементов, удовлетворяющих уравнению ан/аи = о на некотором интервале времени т с [о,т]) или же функция Понтрягина не зависит от параметров управления явным образом на некотором интервале времени. Такие ситуации называют особыми, а управления им соответствующие - особыми (вырожденными) управлениями (в терминологии, принятой за рубежом, - сингулярными управлениями ).

Успех принципа максимума и многочисленные примеры его использования в сравнительно несложных ситуациях создали впечатление, что оптимальное управление, как правило, принимает предельные значения, а случаи особого управления являются исключительными. Может быть поэтому долгое время после введения Л.И.Розоноэром особых управлений, последние почти не изучались. Тем не менее, постепенно накапливались задачи, в которых особые управления оказывались неизбежными или, по-крайней мере, типичными. В первую очередь это относится к задачам оптимального управления объектами, динамика которых описывается нелинейными обыкновенными дифференциальными уравнениями с линейно входящими управлениями, а также к задачам, гамильтониан которых не обладает свойством выпуклости по управлению. Большинство приложений таких задач исторически было связано с механикой космического полета, ракетодинамикой, оптимизацией траекторного

движения в атмосфере. Пионерскими исследованиями здесь явились работы Д.Е.Охоцимского, В.А.Егорова, В.И.Гурмана, А.Миеле и других.

Особые участки, содержащиеся в оптимальной траектории, были впоследствии обнаружены в задачах оптимального управления линейными системами с вырожденным квадратичным функционалом, в задачах оптимизации робототехнических систем, в задачах управления экономическими системами, в игровых задачах управления и других. Можно ожидать, что по мере расширения области применения методов оптимального управления будет расширяться и класс задач с особыми участками.

В настоящее время особые управления достаточно тщательно исследованы с качественной точки зрения. Однако приходится констатировать, что этот раздел теории оптимального управления практически не повлиял на структуру численных методов решения задач оптимизации. Известно, что для задач, оптимальные траектории которых не содержат особых участков, были разработаны и апробированы многочисленные итерационные методы приближенного решения на ЭВМ, для некоторых из этих методов были доказаны теоремы сходимости. Вместе с тем, попытки применить эти методы к задачам с особыми управлениями натолкнулись на существенные трудности, такие, как нерегулярное поведение последовательных приближений, появление участков с нарастающей частотой переключений неособого управления и другие. Попытки же создания численного метода решения оптимальных задач, учитывающего возможность наличия особого участка в оптимальной траектории, носят фрагментарный характер.

Шансы на сходимость упомянутых численных методов могут значительно возрасти, если известна структура оптимальной траектории и характер сопряжения особых и неособых участков.

В задачах со свободным временем окончания процесса для динамической системы невысокого (не выше третьего) порядка структуру оптимальной траектории иногда удается определить с помощью метода А.Миеле, основанного на использовании теоремы Грина для минимизации криволинейных интегралов. В других задачах вопрос о структуре оптимальной траектории остается, как правило, открытым. Известен "практический" подход, когда при решении конкретных задач авторы волевым решением задают структуру оптимальной траектории, а затем проверяют полученное приближенное решение на оптимальность. В ряде случаев, когда структура оптимальной траектории "угадана" верно, этот подход дает хорошие результаты, как, например, в работах В.Т.Злацкого и Б.Н.Кифоренко, Ф.Грейга и др. В общем случае, разумеется, упомянутый подход непригоден.

Таким образом, специальное исследование вопроса о структуре оптимальной траектории и характере сопряжения особых и неособых дуг представляется оправданным.

Цель работы. Целью настоящей работы является исследование структуры оптимальной траектории и характера сопряжения особых и неособых дуг для определенных классов задач оптимального управления, а также приложение результатов этого" исследования для решения конкретных задач оптимизации движения твердого тела в сопротивляющейся среде.

Научная новизна работы. В настоящей работе для определенного класса динамических систем предложен нетрадиционный подход к исследованию оптимальных задач с особыми управлениями.

В задаче Лагранжа для динамической системы второго' порядка определен характер сопряжения особых и неособых участков. Показано, что сопряжение носит, как правило, разрывный характер.

В задаче Лагранжа для редуцируемой динамической системы

второго порядка в случае свободного правого конца траектории и фиксированного времени окончания процесса. конструктивно определено множество особых дуг, примыкающих к правому концу траектории.

В задаче о полете На максимальную дальность осесимметричного вращающегося твердого тела, управляемого посредством реактивного момента определена точная верхняя оценка максимальной дальности полета. Для широкого множества значений ограничений на управление определена структура оптимальной траектории движения рассматриваемого тела. Выделено множество начальных- условий, при которых оптимальная траектория состоит ровно из одной неособой и, возможно, одной особой дуги.

В задаче о вертикальном подъеме ракеты на максимальную высоту численно определено множество значений ограничений на силу тяги, при которых известное решение этой задачи не является оптимальным. Показано, что повторное включение режима максимальной тяги (после участка "промежуточной" тяги) позволяет увеличить высоту подъема ракеты.

Практическая ценность. Результаты работы могут применяться при исследовании задач оптимального управления движением летательных аппаратов и других сложных управляемых объектов различного назначения.

На этапе проектирования управляемых систем имеет практическое значение возможность определения целесообразности использования "промежуточных" значений управления (например, силы тяги или моментов электродвигателя, отклонения заслонок и т.д.) для достижения различных целей, а также построение точных' оценок значений избранного функционала качества.

Апробация работы. Диссертационная работа обсуждалась и была одобрена на заседании кафедры прикладной

механики и управления механико-математического факультета МГУ.

Основные положения и разделы работы были доложены на четырех научных конференциях, в том числе':

- на IV республиканском совещании по проблемам динамики твердого тела, Донецк, апрель 1984;

- на Всесоюзной конференции "Современные проблемы физики и ее приложения", Москва, апрель 1987 г,- на VI всесоюзной конференции по управлению в механических

системах, Львов, апрель 1988г;

- на Всесоюзной конференции "Современные проблемы механики и технология машиностроения", Москва, апрель 1989 г.

Материалы диссертации докладывались также на научно -исследовательских семинарах механико-математического факультета МГУ и Нии Механики МГУ.

Публикации. По результатам выполненной диссертационной работы опубликовано семь печатных работ.

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы ( 83 наименования) и изложена на 126 страницах машинописного текста, содержит 31 рисунок и 3 таблицы.

Содержание работы.

Во введении обосновывается актуальность теш диссертационной работы, указывается ее практическая значимость, проводится краткий обзор предшествующей и современной научной литературы по данному воцросу, формулируется цель исследования, излагается содержание работы.

В первой главе рассматриваются вопросы сопряжения особых и неособых участков в задаче Лагранша для редуцируемых динамических систем второго порядка (в классе

кусочно-непрерывных функций управления), а также проводится анализ возможности определения структуры оптимальной траектории. Такие задачи встречаются, например, при управлении некоторыми механическими системами,- и, кроме того, могут представлять интерес как некоторое приближение оптимальной задачи более высокого порядка.

В первом параграфе исследуются некоторые свойства оптимальных задач для редуцируемых систем обыкновенных дифференциальных уравнений, записанных в форме Коши. Под редуцируемой системой подразумевается такая система, в которой управление входит в правую часть только одного уравнения, например, уравнения для переменной хк. Это обстоятельство позволяет "вычеркнуть" из системы уравнение для переменной хк, а в оставшейся (редуцированной) системе переменную хк рассматривать в качестве нового управления. Доказывается теорема, устанавливающая связь между управлениями, полученными из необходимых условий оптимальности для исходной задачи, и управлениями, полученными из необходимых условий оптимальности для .редуцированной задачи. Получены условия, при которых оптимальная задача для исходной системы, как правило, не имеет решения в классе кусочно-непрерывных управлений, которые можно рассматривать, как условия принадлежности решения исходной оптимальной задачи классу кусочно-непрерывных управлений.

Во втором параграфе рассматривается задача Лагранжа для динамической редуцируемой системы второго порядка. Эта задача сводится к следующей задаче Майера: на классе кусочно-непрерывных скалярных управляющих функций и(1) минимизировать функционал вида

з = - г(Т), (1)

определенный на траекториях динамической системы

х = f(x,y), у = g(x,y) + h(x,y)u, z = Ф(х,у) (2)

с начальными условиями

= Х0г У(°) = У0. 2(0) = Zo.

На управление наложены ограничения вида

|u(t)|i й, й > о, t « [0; т]. (3)

Относительно функций Ф, д, h и f предполагается, что они непрерывны вместе со своими производными по х и у достаточное число раз. Кроме того, предположим, что f^(t) и h(t) не

обращаются тождественно в нуль ни на каком отрезке времени т,

те[0;Т].

/

Показано, что в задаче (1)-(3) особое управление может быть вычислено уже из второй производной по времени от функции Понт-рягина Н и представляется в виде функции одних исходных переменных: uQc(t)=F(x(t),y(t)). Справедлива следующая теорема: ,

Теорема I. Пусть управление u(t) в задаче (I)—(3) содержит неособые и особые участки, t)6]о,-т[ - точка сопряжения двух из них, сопряжение имеет следующий характер:

2

а) на особом участке —f^j— (—(—) 11 = t >

dt j

б) на неособом участке u(t)=u, tett^; t4+ в[, s>o, (Б)

в) в момент сопряжения

uoC<V°> " U<V =й< Uoc(V0) = u(V - й - о, ,

Uor,)(ta -0)="(P""(V=0, u^,(tl-0)*u<,"(ti)=0, 0<Р<Ю, (В)

производные по времени от управления берутся в силу системы (2). Тогда указанное сопряжение в точке t = ti неоптимально. Теорема I дает качественное представление о характере сопряжения особых и неособых участков.

Далее задача (I)-(3) исследуется в случае свободного правого конца траектории и фиксированного времени окончания процесса. Освободим в данной задаче начальное значение по у и вместо

системы (2) рассмотрим систему

X = f(S,yb z = Ф(х,у), х(0)=хо, z(0)=zo. (4)

в которой y(t) будем считать управлением.

Применение принципа максимума к задаче оптимального управления (i),(4) позволяет свести ее к следующей краевой задаче:

( X = f(x,y), х(0)=хо,

1 • (5)

1 У = g(x,y)+F(x,y)h(x,y), Фу(х(Т),у(Т))=0.

Обозначим через s множество кривых, являющихся решением краевой задачи (5) и таких, что при всех te]o;T[ выполнено условие |?(x(t),y(t))|ай. Тогда справедлива следующая теорема:

Теорема 2. Пусть управление u(t) в задаче (1)-(3) со свободным концом траектории и фиксированным временем окончания процесса содержит неособые участки и особый участок, которому отвечает особая дуга, лежащая на кривой из множества t^o.-Tt - точка сопряжения особого и неособого участков, сопряжение имеет следующий характер:

а) на особом участке выполнено условие (А),

б) на неособом участке выполнено условие (Б),

в) в момент сопряжения u (t^-0) * u(t() = й.

Тогда указанное сопряжение в точке t = tt неоптимально.

Следствие. Если особая дуга задачи (1)-(3) принадлежит множеству s, то эта дуга примыкает к концу оптимальной траектории задачи (1)-(3).

В третьем параграфе обсувдаегся возможность распространения результатов предыдущего параграфа на более широкий класс задач Лагранжа" - задач для динамических систем второго порядка с линейно " входящим управлением (необязательно являющихся редуцируемыми в указанном выше смысле).

В четвертом параграфе результаты, полученные во втором и

третьем параграфах распространяются на задачу Майера для динамических редуцируемых систем второго порядка.

В тексте параграфов приводятся примеры.

Результаты, полученные в первой главе, проливают свет на структуру оптимальной траектории задачи Лагранжа для динамической редуцируемой системы второго порядка. Полученная априорная информация об этой структуре позволяет свести указанные задачи к задачам максимизации некоторой функции 2-х переменных. Информация о характере сопряжения особых и неособых дуг может облегчить численное решение указанных оптимальных задач.

Во второй главе рассматривается задача о полете на максимальную дальность осесимметричного вращающегося твердого тела, управляемого посредством реактивного момента. Предполагается, что движение происходит в однородном поле' сил тяжести, в однородной воздушной среде. В рассматриваемом движении ось симметрии тела совпадает с осью вращения; управляющий момент направлен по оси вращения.

В первом параграфе содержится постановка задачи, описывается математическая модель движения и приводится формулировка задачи оптимального управления. Далее производится нормализация уравнений движения и переход к безразмерным переменным и безразмерному времени. В результате система уравнений, описывающих движение рассматриваемого тела, записывается в виде

v = -vz - sine, в - рш - cose/v, и) — u — qvu, x=vcos0, y=vsin9.

Здесь v - скорость движения центра масс тела, в - угол наклона траектории, и - угловая скорость вращения тела вокруг оси симметрии, х и у - горизонтальная и вертикальная координаты центар масс тела соответственно (дальность и высота полета), и -

управление, р и д - некоторые константы.

Во втором параграфе поставленная задача решается в случае отсутствия ограничений на управление и свободного значения угла наклона траектории в начальный момент времени. Это позволяет произвести описанную выше редукцию динамической системы. Получено магистральное оптимальное решение, соответствующее наивыгоднейшему режиму планирования (в смысле достижения максимальной дальности за заданное время). Решена краевая задача, к которой в соответствии с принципом максимума Л.С.Понтрягина сведена редуцированная задача. Достроена номограмма концов оптимальных траекторий при различных значениях начальной скорости полета и времени окончания процесса, С помощью этой номограммы определяется точная верхняя оценка максимальной дальности полета в исходной задаче. Материал второго параграфа представляет также самостоятельный интерес, так как решенная в нем задача может служить обобщением известной задачи о брахистохроне (для случая движения в сопротивляющейся среде).

Третий параграф посвящен исследованию исходной задачи. Рассматривались такие характерные значения масштабов коэффициентов системы уравнений движения, при котором исходная система (после соответствующей нормализации) принадлежит к классу систем с сингулярными возмущениями. Быстрому движению в этой системе отвечает движение вокруг центра масс, медленному -движение центра масс. Для указанной системы оказываются выполненными условия теоремы Тихонова [И] о выровдении системы с малым параметром при производных, что позволяет расщепить движение вокруг центра масс и движение центра масс и рассматривать последнее отдельно. Далее проводится исследование задачи при значении малого параметра, равном нулю, - оптимизация движения центра масс. Применение результатов, полученных в

первой главе, позволило:

1) Установить, что если значение ограничений на управление превосходит некоторую величину йо и оптимальная траектория содержит особую дугу, то эта дуга примыкает к правому концу траектории и данная траектория других особых дуг содержать не может. Выявленная структура оптимальных траекторий позволила свести исследуемую задачу к задаче минимизации некоторой функции двух переменных.

2) Построить область начальных значений скорости и угла наклона траектории, для которых оптимальная траектория указанной задачи состоит не более, чем из двух дуг: одной неособой и, быть может, одной особой дуги. Для этой области начальных данных исследуемая задача сводится к задаче минимизации функции одной переменной.

В третьей главе исследуется задача Годдарда (о вертикальном подъеме ракеты на максимальную высоту в неоднородной атмосфере) при сильных ограничениях на управление (силу тяги). Сильными считаются такие ограничения на управление, которым необязательно удовлетворяет режим "промежуточной" тяги.

В первом параграфе кратко освещается история вопроса,

содержится постановка задачи, осуществляется переход к

безразмерным переменным. Уравнения движения имеют вид

- 2

11 = V, V = (Р-Э)/т - Ь , т = -Р/с.

Здесь ь - высота подъема, V и т - скорость и масса ракеты, р - сила тяги, с -скорость истечения, о - сила аэродинамического сопротивления.

Во втором параграфе задача Годдарда исследуется с помощью принципа максимума Л.С.Понтрягина, определяются особые и неособые управления, затем с использованием результатов первой главы устанавливается, что сопряжение участков особого и

неособого управления имеет разрывный характер. Высказывается предположение, что при сильных ограничениях на управление на оптимальной траектории происходит повторное включение режима максимальной тяги.

В третьем параграфе приводятся результаты численного решения, на основе которых делается вывод о неоптимальности известного решения задачи Годдарда (максимальная тяга, затем "промежуточная" тяга и свободное движение) при значениях ограничений на силу тяги, меньших некоторого значения Ртах- Для траектории с повторным включением режима максимальной тяги производится численная проверка необходимых условий оптимальности.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в данной работе.

Общие выводы по работе.

В настоящей работе проведено исследование ряда задач оптимизации движения твердого тела в сопротивляющейся среде, в которых оптимальные траектории содержат участки особого управления. Предложен подход к исследованию оптимальных задач с особыми управлениями для определенного класса динамических систем и получены следующие основные результаты:

1. В задаче Лагранжа для динамической системы второго порядка определен характер сопряжения особых и неособых участков. Показано, что сопряжение носит, как правило, разрывный характер.

2. В задаче Лагранжа для редуцируемой динамической системы второго порядка в случае свободного правого конца траектории и фиксированного времени окончания процесса конструктивно определено множество особых дуг, примыкающих к правому концу

траектории.

3. Проведено исследование задачи о полете на максимальную дальность осесимметричного вращающегося твердого тела, управляемого посредством реактивного момента. Определена точная верхняя оценка максимальной дальности полета.

4. Для широкого множества значений ограничений на управление определена структура оптимальной траектории движения рассматриваемого тела. Выделено множество начальных условий, при которых оптимальная траектория состоит ровно из одной неособой и, возможно, одной особой дуги.

5. Проведено исследование задачи о вертикальном подъеме ракеты на максимальную высоту. Численно определено множество значений ограничений на силу тяги, при которых известное решение этой задачи не является оптимальным. Показано, что повторное включение режима максимальной тяги (после участка "промежуточной" тяги) позволяет увеличить высоту подъема ракеты.

. Список опубликованных работ по теме диссертации.

1. М.З.Литвин-Седой, Б.Я.Локшин, В.Е.Рыжова, А.М.Никулин, Черкасов О.Ю. О построении оценок траекторий движения противо-градовых ракет. // Отчет Ин-та Механики МГУ N 2850, 1983г.

2. Локшин Б.Я., Черкасов О.Ю. Об оптимальных траекториях движения тела в сопротивляющейся среде. // Тез.докл.' IV респ. совещ. по пробл. динамики твердого тела, Донецк, 1984, с.35.

3. Черкасов О.Ю. Об устойчивости стационарного режима планирования летательного аппарата. //Вестн. Моск. Ун-та, сер. Матем.Механ. 1985 г, № 5, с.80-83.

4. Б.Я.Локшин, М.Абуладзе, О.Ю.Черкасов. 0 плоскопараллельном движении симметричного вращающегося твердого тела в воздухе.

//Отчет Ин-та Механики МГУ N 3242, 1986г.

5. Черкасов О.Ю. Об оптимальном движении вращающегося твердого тела. // Тез.докл.Всесоюзн.конф."Современные пробл. физики и ее приложения". М., 1987 г, с.85.

6. Черкасов О.Ю. О структуре оптимальных траекторий в задаче Лагранжа. // Тез.докл.Всесоюзн.конф."Современные пробл. механики и технология машиностроения", М., 1989 г, с.10.

7. Локшин Б.Я., Черкасов О.Ю. О структуре оптимальных траекторий движения вращающегося твердого тела в сопротивляющейся среде. // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1990 г, № I, с.63-68.

Подписано к печати 01.09.93 Объем 1,0 п.л. Формат 60x84 1/16 Заказ 156 Тираж 100 ТОО "Нерей". ВНИРО. 107140, В.Красносельская, 17