Управление программным движением систем твердых тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

Российский университет дружбы народов

{; Д На правах рукописи

АБРАМОВ НИКОЛАЙ ВАСИЛЬЕВИЧ

УПРАВЛЕНИЕ ПРОГРАММНЫМ ДВИЖЕНИЕМ СИСТЕМ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

01.02.01 - теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА -1998

Работа выполнена на кафедре теоретической механики Российского университета дружбы народов

Научный руководитель -доктор физико-математических наук профессор Р.Г. Мухарлямов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук профессор В.В. Кременпуло кандидат физико-математических наук В. И. Матюхин

Ведущая организация -Московский авиационный институт им. Серго Орджоникидзе

з »

Защита диссертации состоится «-?/ » 1998 г. в «/¿"» час.

на заседании диссертационного совета К 053.22.03 в Российском университете дружбы народов по адресу: 117302, г. Москва, ул. Орджоникидзе, 3

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Российского университета дружбы народов (117138, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6)

Автореферат разослан «/3 » -г 1998 года.

Ученый секретарь Л ^ jf---s

диссертационного совета К 053.22.03 ---^

кандидат физико-математических наук доцен'^^¡АУа'я C.B. Волков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В связи с развитием прикладных исследований особое значение приобретают обратные задачи динамики систем связанных твердых тел. Изучение обратных задач в механике восходит к Ньютону, определившему силу, вызывающую движение планет с наблюдаемыми свойствами - законами Кеплера. В прошлом, решением различных обратных задач динамики занимались такие выдающиеся ученые как Ж. Бертран, Г. Дарбу, М. Кенинг, Г.К: Суслов, Н Е. Жуковский и др.

Современный этап в развитии обратных задач динамики отличается широким использованием предложенного H.H. Еругиным метода построения систем, дифференциальных уравнений по заданному интегральному многообразию. Возможные постановки обратных задач динамики и задач построения уравнений программных движений, соответствующие методы решения этих задач, и различные приложения получили существенное развитие в трудах A.C. Галиуллина и его последователей.

Основная задача теории управления движением механической системы состоит в определении управляющих воздействий в соответствии с выбранным законом движения. Такой подход, основанный на задании конкретного движения и управления системой с целью максимального приближения ее действительного движения к заданному, приводит к довольно строгим и, вообще говоря, не всегда обязательным условиям, накладываемым на систему. Реальные задачи содержат лишь некоторую информацию о выбранных динамических свойствах системы, которые могут быть представлены в виде связей, накладывающих ограничения на координаты и скорости системы.

Методом построения уравнений движения управляемых механических систем посвящены работы Черноусько Ф.Л., Болотника H.H. и др., составляющие основу современной теории таких систем. Исследованию динамики управляемых систем, программа движения которых задается неголономными

связями, посвящены работы Добронравова В.В., Неймарка Ю.И., Фуфаева М.А. Построение общей теории программирования движения с помощью удерживающих связей рассматривается у Коренева Г.В. Построением алгоритмов управления движением механических систем занимались Крутько П.Д., Петров Б.Н.

Особый интерес представляют исследования динамики механических систем и построения теории управления на основе принципов и методов классической механики, так как они являются доступными и понятными широкому кругу специалистов. Исходным при этом есть предположение о том, что управляемое движение механической системы может быть запрограммировано путем наложения удерживающих связей. Однако, как известно^ такая программа точно не выполняется. В связи с этим задача более глубокого изучения механики систем с удерживающими связями с целью модификации решения задач управления движением остается не достаточно изученной.

Объект исследования. Исследуются некоторые проблемы управления динамикой систем твердых тел.

Целью диссертации является:

а) составление уравнений движения различных систем твердых тел;

б) построение уравнений программного движения систем твердых тел в форме уравнений Лагранжа второго рода, и форме уравнений Аппеля; •

в) определение реакций программных связей (управляющих сил), исходя из требований устойчивости программного движения;

г) получение условий устойчивости программного движения систем твердых тел;

д) синтез управления с учетом условий асимптотической устойчивости систем твердых тел;

е) управление программным движением робота-манипулятора.

Методы исследования. В диссертации использовались методы классической и аналитической механики, методы составления уравнений кинемати-

ки и динамики механических систем с программными связями, методы качественной теории дифференциальных уравнений и теории устойчивости динамических процессов, а также теория управления процессами.

Научная новизна. Получены уравнения движения систем связанных твердых тел, стесненных голономными и неголономными нестационарными связями. Предложен метод построения уравнений программного движения систем твердых тел в форме дифференциальных уравнений Лагранжа второго рода и уравнений Аллеля. Установлены условия асимптотической устойчивости программного движения систем твердых тел. Проведена алгоритмизация всех этапов моделирования управления программным движеиием манипулятора.

Практическая значимость. Результаты диссертационной работы могут быть использованы в исследовании устойчивости движения динамических процессов несвободных механических систем, в механике управляемого движения и в общей теории управления, при решении задач управления динамикой манипуляционных систем.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались:

- на семинарах кафедры теоретической механики (1994 - 1997 г.г.) Российского университета дружбы народов;

- на XXX - ХХХП1 научной конференции физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов (г. Москва, 1994 - 1997 г.г.);

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [4].

Структура п объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка цитированной литературы, содержащего 91 наименование. Объем диссертационной работы составляет 100 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ И ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Во введении приводится обоснование актуальности темы исследования, указана цель работы, сформулированы основные положения, выносимые на защиту, дано краткое содержание диссертации.

Первая глава является вводной. В ней рассмотрены вопросы составления уравнений движения систем связанных твердых тел.

Первый раздел этой главы посвящен описанию структуры систем связанных твердых тел. Во втором разделе получены кинематические соотношения вариаций положения смежных тел друг относительно друга. Получены явные зависимости этих соотношений от выбранных обобщенных координат системы. В комплексной матричной форме записаны уравнения связей разомкнутых контуров. В третьем разделе составлены уравнения динамики систем твердых тел с помощью принципа Даламбера.

Первый подраздел этого раздела посвящен выводу уравнений динамики рассматриваемых систем в форме дифференциальных уравнений второго порядка. Второй подраздел посвящен составлению уравнений динамики рассматриваемых систем методом разделения в форме дифференциальных уравнений второго порядка.

Пусть некоторая механическая система стеснена удерживающими связями, определяемым некоторым выражением вида

Как было указана выше, вследствие неизбежных ошибок в определение начальных условий движения или постоянно действующих возмущений, равенство (1) может быть выполнено с определенной точностью, т.е. действи-

Я*, *,0 = о

(1) (1*)

где х = {*,} - вектор координат системы, / = 1,

f = {fy} ' " = 1> а~п'

тельное движение механической системы х = *('), соответствующее некоторым начальным условиям х(>0) = х0, *(/„) = х0 не удовлетворяет (1) и для этого решения имеек

Кх,*А=а (2)

где а = {а1.}- некоторый вектор, соответствующий отклонениям системы от программы, задаваемой в виде (1).

Для контроля за величиной этого вектора в процессе движения механической системы предлагается определять его решением системы дифференциальных уравнений вида

а = /-"(а, а, х, х, () (3)

где = {/\} - некоторая произвольная вектор функция, удовлетворяющая условию

Г(0, 0, х,х, /) = 0 (4)

Предполагается, что Р можно выбрать таким образом, что дифференциальное уравнение (3) будет допускать решение а = а = о и это решение может быть асимптотически устойчивым.

Управление движением механической системы состоит, как известно, в том, что ее принуждают, используя управляющие силы, двигаться по заранее заданной программе. Если программа задана удерживающими связями, то управляющие силы могут рассматриваться как реакции этих связей. Учитывая это, сформулирована следующая задача: получить уравнения движения механической системы, которые бы учитывали возможные отклонения от заданной программы, и определить реакции программных связей (управляющих сил), исходя из требований устойчивости программного движения в определенном смысле.

Вторая глава посвящена дальнейшему развитию метода программных связей в применении к системам твердых тел.

В большинстве случаев исследуются механические системы, состоящие либо из одного твердого тела, либо из нескольких твердых тел в некоторой

особенно простой геометрической конфигурации. Важная роль, которую играют такие системы в классической механике, обусловлена тем, что их уравнения движения могут быть проинтегрированы в замкнутой форме. Это невозможно в общем случае, если система состоит из многих твердых тел в какой-нибудь произвольной конфигурации. Предположение, что отдельные тела таких систем тверды, является идеализацией, приемлемость которой в значительной мере зависит от характера исследуемой задачи.

В настоящей работе для построения уравнения программного движения систем твердых тел предварительно излагается метод исследования таких систем, который позволяет с единых позиций рассмотреть вопросы, связанные с их структурой, кинематикой и динамикой.

Состояние системы твердых тел описывается большим числом параметров, определяющих геометрию системы, распределение масс в системе, природу внешних сил и сил, действующих в местах соединения смежных тел.

Взаимодействие между смежными телами системы осуществляется через шарниры, которые являются различными по своей конструкции и физической природе. Поэтому очень удобным представляется введение условного шарнира для обозначения того или иного взаимодействия между смежными телами и такое понятие будет объединять в себе имеющиеся между смежными телами виды взаимодействий. Наличие шарниров ограничивает перемещения составляющих систему тел относительно друг друга, а при составлении уравнений движения действие этих шарниров можно заменить связями. Такие связи можно рассматривать, как внутренние и кроме них движение системы может быть ограничено внешними связями, представляющими модель взаимодействия системы твердых тел в целом со средой, другими телами или системами, не входящими в рассматриваемую и т. п.

Совокупность выделенных шарниров при переходе от одного произвольного тела к другому в системе многих тел вдоль последовательности тел и шарниров так, что ни один шарнир не проходит дважды, называется путем

между этими телами.

Если для всех пар тел пути между ними определяются единственным образом, то говорят, что система имеет структуру дерева. С другой стороны, если существуют хотя бы два различных пути между двумя телами, то эти пути образуют замкнутую цепь. Если, в частности, каждый шарнир в замкнутой цепи содержит по крайней мере, одну кинематическую связь, то замкнутая цепь называется замкнутой кинематической цепью.

На практике системы многих тел функционируют в двух существенно различных ситуациях. В большинстве систем одно или несколько тел связаны шарнирами с внешним миром, положение которого в инерциальном пространстве является заданной функцией от времени. Сравнительно редким является способ функционирования системы, при котором ни одно ее тело не связано с внешним телом, совершающим заданное движение. Положение системы многих тел в инерциальном пространстве определено однозначно, если положение смежных тел относительно друг друга известны для всех шарниров и если, кроме того, известно положение относительно подвижного базиса, неизменно связанного с внешним телом. Это наводит на мысль ввести фиктивный шарнир между подвижным основанием, с которым связан базис е(0) и некоторым произвольно выбранным телом.

Для составления уравнений движения систем твердых тел используется методика, основанная на теории графов связей. Особое внимание уделяется полному описанию структуры взаимодействий в системе и компактной записи уравнений связей, что существенно облегчает задачу вывода уравнений движения. Динамические уравнения выводятся из общего уравнения динамики (принцип Даламбера-Лагранжа). Разработанный математический аппарат легко поддается алгоритмизации и ориентирован на применение ЭВМ.

В третьей главе приведены результаты исследования конкретной механической системы с помощью созданного теоретического аппарата. В качестве объекта исследования рассмотрена задача программирования движения

схвата машшулятора из заданной точки М17 в точку Мг минуя препятствие, границы которого ограничены замкнутой кривой <а1. Решение задачи ищется в качестве траектории точки, д вижение которой описывается системой дифференциальных уравнений, определенных структурой

_ л (Г ~ Г ~ \Л

дсо ., , да

х,=—¿СМ) .

дхг дхг,

„и*,) +G*2J,

оЬ) , . „ да са, дхг

ЛЛ (да>Л

дх,) \дх2) у

/•Хси,х,1). »V

где х, =* , г2 = , ¿- = т(х,у)0 на кривых Я,и функции и выбраны в виде

= ф2>0о1. ,1 = 1,2. (5)

Здесь Ф = (6)

а Р{х,у) - произвольная непрерывная функция, отличная от нуля в области О.

Будем иметь систему

г *

х = Ф^вд....о,+ Д,га^го,+)...го,-г^ю^,...««.,^,,,.. ^,,,

>> = ед ,(аг,<а„ +Д,.. .и, + .■-«•>« ^«й^,...«,,,. (7)

е=1

Коэффициенты аи,аи,Ри,Рг., определяются из условий устойчивости заданных особых точек и кривых системы (7).

На защиту выносятся следующие основные результаты;

- Дано систематическое изложение метода составления уравнений движения систем твердых тел, при помопщ теории графов связей.

- Основываясь на принципе Даламбера-Лагранжа получены уравнения движения систем связанных твердых тел, стесненными голономными нестационарными связями.

- На основе методов современной аналитической механики разработана методика построения уравнений программного движения систем твердых тел,

-9в форме дифференциальных уравнений второго порядка, уравнений Лагранжа второго рода и уравнений Аппеля в обобщенных координатах системы.

- Установлены условия устойчивости и асимптотической устойчивости программного движения систем твердых тел. Рассмотрены вопросы синтеза управления с учетом условий асимптотической устойчивости программного движения систем твердых тел.

- Рассмотрены условия устойчивости интегрального многообразия, следуя второму методу Ляпунова.

- Проведена алгоритмизация всех этапов моделирования управления программным движением манипулятора, а именно:

1. Предложены алгоритмы определения положения многозвенного манипулятора, состоящего из «звеньев, и формирование законов движений отдельных звеньев.

2. Построены уравнения с заданными свойствами траекторий плоского манипулятора состоящего из трех звеньев.

3. Составлены уравнения динамики управляемого движения манипулятора.

4. Определены управляющие силы реакций связей, соответствующих заданным свойствам движения.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Абрамов Н.В. Анализ алгоритмов составления уравнений динамики систем твердых тел // Тезисы докл. XXX научн. конференц. фак. физикома-тем. и естеств. наук российского ун-та Дружбы народов. М., 1994. С. 6061.

2. Абрамов Н.В. Моделирование динамики систем с программными связями // Тезисы докл. XXXI научн. конференц. фак. физикоматем. и естеств. наук. российского ун-та Дружбы народов. М., 1995. С. 36.

3. Мухарлямов Р.Г., Абрамов Н.В. Непрерывные аналоги численного реше-

ния систем нелинейных уравнений // Математические методы и задачи функционирования систем железнодорожного транспорта. Межвузовск. сб. научн. тр. М.: РГОТУПС, 1995. С. 75-79.

4. Mouharliamov R.G., Abramov N.V. The modeling of mechanical systems // Вестник Российского унив. дружбы народов. Серия прикл. матем. и ин-форм. М., 1995. С. 31-33. SS

-п-

Абрамов Николай Васильевич, Россия «Управление программным движением систем твердых тел»

Получены уравнения движения систем связанных твердых тел, стесненных голономными и неголономными нестационарными связями. Предложен метод построения уравнений программного движения систем твердых тел в форме дифференциальных уравнений Лагранжа второго порядка и уравнений Аппеля. Установлены условия асимптотической устойчивости программного движения систем твердых тел. Проведена алгоритмизация всех этапов моделирования управления программным движением манипулятора.

Abramov Nickolay Vasilyevich, Russia «The Control of numerical motion in system of solid bodies»

There were received the equations of motion in system of connected solid bodies, torsioned with holonomic and nonholonomic nonstationary constraints. It s offered the method of construction of the equations programming motion of solid bodies system in the form of Lagrange differential equations of the second rind and Appeal's equations. Installed the condition of asymptotic stability in numerical motion in a system of solid bodies. It was conducted the algorithmisation at all stages of simulation of motion control of manipulator.