Нелинейные колебания систем твердых тел в центральном силовом поле тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

ВВВДЕНИЕ.

1. ОБЗОР ИССЛЕДОВАНИЙ ПО ДИНАМИКЕ СИСТЕМ СВЯЗАННЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ.

2. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДИНАМИКИ СИСТЕМ СВЯЗАННЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ.

2.1. Постановка задачи

2.2. Матрицы преобразований

2.3. Кинематические соотношения.

2.4. Динамические соотношения

2.5. Дифференциальные уравнения движения системы тел

2.6. Движение системы тел в центральном ньютоновском поле.

2.7. Математическая модель движения манипулятора на подвижном основании

3. ПОСТРОЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ ТЕЛ.

3.1. Методика построения периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений

3.1.1. Зависимость решения от параметра

3.1.2. Разрешающие уравнения в вариациях

3.1.3. Структура периодического решения

3.1.4. Построение периодического решения линейной неоднородной системы

3.2. Устойчивость периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений

3.3. Устойчивость нелинейных колебаний гамильтоновых систем.

3.4. Ветвление периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений

4. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА, СОДЕРЖАЩЕГО ПОДВИЖНУЮ ТОЧЕЧНУЮ МАССУ, В ЦЕНТРАЛЬНОМ СИЛОВОМ ПОЛЕ.

4.1. Дифференциальные уравнения движения твердого тела, содержащего подвижную точечную массу

4.2. Построение периодических решений дифференциальных уравнений.

4.3. Исследование влияния инерционных параметров системы на устойчивость ее движения

4.4. Исследование влияния взаимного расположения тел системы на устойчивость ее движения

4.4.1. Исследование движения системы с заданными инерционными параметрами несущего тела.

4.4.2. Исследование движения системы с заданными инерционными параметрами

4.5. Исследование нелинейных колебаний твердого тела, соединенного гибким нерастяжимым стержнем с точечной массой

4.5.1. Исследование влияния инерционных параметров системы.

4.5.2. Исследование влияния длины стержня

5. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ СИСТЕМЫ ДВУХ

ТЕЛ В ЦЕНТРАЛЬНОМ СИЛОВОМ ПОЛЕ.

5.1. Дифференциальные уравнения движения системы двух тел.

5.2. Построение периодических решений уравнений движения.

5.3. Исследование влияния инерционных параметров системы на устойчивость и формы ее относительного движения.

5.3.1. Исследование влияния момента инерции г> (2) Т„Л

О несомого тела.

5.3.2. Исследование влияния соотношений моментов инерции несомого тела

5.3.3. Исследование влияния соотношений моментов инерции несущего тела

5.4. Исследование влияния жесткости упругих связей на относительное движение системы двух

5.5. Исследование пространственного относительного движения системы двух тел.

Задачи об исследовании периодических движений систем твердых тел в потенциальном поле сил относятся к интенсивно развивающемуся разделу современной механики - теории нелинейных колебаний твердых тел. Под системой твердых тел понимается механическая система с конечным числом степеней свободы, образованная совокупностью абсолютно твердых тел, соединенных между собой посредством идеальных голономных, него-лономных, стационарных или нестационарных связей, а также упругих элементов.

Система твердых тел, находящаяся в потенциальном силовом поле, давно используется в качестве динамической модели в теории колебаний самодвижущихся аппаратов, в теории вибрационных устройств, в небесной механике, физике и других разделах науки и техники. Исследование динамики таких систем предполагает получение основных кинематических и динамических соотношений, нелинейных дифференциальных уравнений движения, построение периодических решений этих уравнений и исследование их устойчивости.

В первое время исследования многих нелинейных динамических систем проводились на базе хорошо разработанного математического аппарата теории линейных колебаний. Однако представления линейной теории о колебаниях твердых тел ввиду принимаемых упрощающих допущений при линеаризации уравнений весьма .приближенны, а иногда даже неверны, так как дифференциальные уравнения движения системы тел содержат нелинейные зависимости, которые принципиально не могут быть линеаризованы. Кроме того, в отличие от линейных систем в нелинейных принцип суперпозиции не выполняется и поведение решений носит локальный характер.

В настоящее время существует ряд точных и приближенных методов, позволяющих с достаточной степенью точности решать многие задачи нелинейной механики, однако все же отсутствует регулярный математический аппарат, с помощью которого можно было бы исследовать нелинейные системы с такой же полнотой и ясностью, как это возможно в теории линейных колебаний.

Большой интерес представляют задачи об исследовании движения систем тел в центральном поле сил. Движение таких систем описывается громоздкими векторными дифференциальными уравнениями с глубокими нелинейностями. Построение периодических решений этих уравнений предполагает переход к общей системе отсчета, связанный с неоднократным использованием матриц преобразований, элементы которых являются функциями времени. Эти и другие трудности приводят к необходимости автоматизировать вывод уравнений в координатах с помощью ЭВМ. Поэтому построение периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений движения систем тел и исследование их устойчивости, выявление особых точек и получение ответвляющихся решений возможно только на основе численных методов нелинейного анализа, допускающих реализацию на ЭВМ.

Решение каждой конкретной задачи об исследовании движения систем тел в центральном силовом поле начинается с составления уравнений движения. Использование для этой цели общих систем уравнений, приведенных в литературе, подчас требует большой подготовительной работы и не всегда представляется возможным, в частности, из-за сложности уравнений связей, обусловленных конструктивными особенностями рассматриваемых систем. Так, налагаемые на систему твердых тел связи, иногда вынуждают перейти от более простых по форме, симметричных уравнений Эйлера-Лагранжа к громоздким, несимметричным уравнениям движения в обобщенных координатах.

Численное исследование движения систем тел предполагает создание вычислительной системы, обладающей некоторой универсальностью с точки зрения разнообразия решаемых с помощью нее задач. В этом случае для описания движения необходимы уравнения, которые бы обеспечивали эту универсальность при изменении структуры системы и налагаемых на нее связей.

Задачи об исследовании нелинейных колебаний систем твердых тел в центральном силовом поле в основном решаются методом малого параметра с существенными упрощающими допущениями, обусловленными глубокой нелинейностью и громоздкостью уравнений движения. Эффективное использование этого метода для построения периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений и исследования их устойчивости возможно лишь при малых значениях параметра и удачного выбора порождающего решения.

Однако при конечных значениях параметра остается открытым вопрос о сходимости рядов, об устойчивости представляемых ими периодических решений, о корректности подхода вообще. Таким образом, строго полученные результаты локального исследования фактически используются нелокально.

Исследованию динамики систем твердых тел, движущихся в центральном ньютоновском поле сил, уделяется большое внимание в связи с созданием искусственных небесных тел, комплексов, составляемых из конечного числа таких тел. В связи с этим возникает необходимость исследования влияния инерционных и жесткостных параметров системы на устойчивость и формы ее относительного движения.

Эта задача намного усложняется, если траектория движения центра инерции системы является эллиптической. В таких системах наряду с вынужденными колебаниями, обусловленными неравномерностью вращения радиуса-вектора, проведенного из притягивающего центра к центру инерции системы, возможны колебания, возникающие вследствие переменности коэффициентов уравнений движения.

Однако и при эллиптической траектории для системы тел существуют некоторые положения относительного равновесия. В этом случае полное гашение вынужденных колебаний одних тел системы происходит за счет перемещаемых определенным образом других. Тело системы, находящееся в положении относительного равновесия, постоянно ориентировано вдоль радиуса-вектора, соединяющего центр притяжения с центром масс тела.

Представляется актуальным, с одной стороны, разработка эффективных численных методов и вычислительных систем нелинейного анализа дифференциальных уравнений и, с другой стороны - построение с их помощью периодических решений уравнений движения систем твердых тел в центральном ньютоновском поле сил и исследование их устойчивости. Решению этих задач и посвящена данная диссертационная работа.

Цель диссертационной работы заключается в разработке методики построения периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений движения системы связанных твердых тел в центральном силовом поле и исследования устойчивости этих решений.

Методы исследования. Построение периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений движения системы твердых тел в центральном ньютоновском поле сил и исследование их устойчивости, выявление особых точек и построение ответвляющихся решений выполнено с использованием теорий Г.Флоке, А.М.Ляпунова, метода квазилинеаризации нелинейного анализа дифференциальных уравнений, основанного на совместном применении метода продолжения решения по параметру и метода Ньютона-Канторовича.

Основными направлениями исследовании движения систем твердых тел в центральном ньютоновском поле являются: исследование влияния соотношений моментов инерции несущего тела на устойчивость и формы относительного движения системы тел при различных значениях эксцентриситета траектории движения ее центра масс; исследование движения несущего тела в зависимости от величины приведенной массы и эксцентриситета эллиптической траектории движения системы; исследование влияния взаимного расположения тел, входящих в систему, на устойчивость их относительного движения; исследование движения несомого тела в зависимости от жесткости упругих связей; исследование устойчивости движения несущего тела, соединенного с несомым гибким нерастяжимым стержнем; исследование влияния соотношений моментов инерции несомого тела на устойчивость и формы относительного движения тел системы при различных значениях эксцентриситета траектории движения центра масс; исследование движения системы в зависимости от соотношения главных моментов инерции несущего и несомого тел.

Научная новизна. В настоящей диссертационой работе получены нелинейные дифференциальные уравнения движения системы тел в форме уравнений Аппеля, обладающие некоторой универсальностью относительно изменения налагаемых на систему связей и допускающие их реализацию на ЭВМ в векторном виде. На основе теорий Г.Флоке, А.М.Ляпунова разработана методика численного нелинейного анализа дифференциальных уравнений относительного движения систем твердых тел в центральном силовом поле, позволяющая исследовать глобальные свойства периодических решений этих уравнений без каких-либо упрощающих допущений.

Поставлена и решена задача об исследовании пространственных нелинейных колебаний системы двух взаимосвязанных твердых тел, обладающей девятью степенями свободы, при движении ее центра инерции по эллиптической траектории в центральном ньютоновском поле. Исследовано влияние эксцентриситета траектории центра масс системы, ее инерционных и жест-костных параметров, взаимного начального расположения тел, входящих в систему, на устойчивость и формы ее колебаний. Получены траектории относительного движения несомого тела, зависимости изменения координат взаимного положения и углов ориентации тел системы от истинной аномалии при различных значениях эксцентриситета.

Показано, что изменение инерционных и жесткостных параметров системы, места расположения несомого тела относительно несущего существенно сказывается на устойчивости движения и может привести как к стабилизации, так и к дестабилизации движения системы.

Практическая ценность работы. Диссертация выполнена в соответствии с общим планом научных исследований по динамике дискретно-континуальных систем, проводимых на кафедре теоретической механики Киевского ордена Трудового Красного Знамени инженерно-строительного института под руководством д.т.н. Гуляева В.И.

Разработанная в диссертации методика исследования нелинейных колебаний систем твердых тел в центральном силовом поле и созданная на ее основе вычислительная система, полученные дифференциальные уравнения движения и результаты проведенных исследований могут быть использованы при решении задач, связанных с разработкой и созданием пассивных систем ориентации и стабилизации движения самодвижущихся аппаратов. Универсальность и алгоритмичность предложенной методики позволяют рассматривать системы тел различной структуры и получать удобные для практического использования результаты проводимых исследований.

Математическая модель, методика и вычислительная система внедрены в практику исследований в заинтересованных организациях с экономическим эффектом, который обусловлен увеличением надежности и долговечности динамических объектов.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на IX научной конференции молодых ученых Института механики АН УССР (г. Киев, 1981г.), на 1У Четаевской Всесоюзной конференции по устойчивости движения, аналитической механике и управлению движением (г.Звенигород, 1982 г.), на 44-й научно-технической конференции Киевского ордена Трудового Красного Знамени инженерно-строительного института (г.Киев, 1983г.).

Публикации. Результаты выполненных исследований освещены в пяти печатных работах.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти разделов, заключения и списка основной использованной литературы из 120 наименований.

Основные результаты диссертационной работы и выводы состоят в следующем:

1. Получены нелинейные дифференциальные уравнения движения систем связанных твердых тел в форме уравнений Аппеля с использованием неопределенных множителей Лагранжа, удобные с точки зрения алгоритмизации и программирования на ЭВМ.

2. На основе методов продолжения решения по параметру, Ньютона-Канторовича, теорий Флоке, Ляпунова разработана методика численного анализа нелинейных дифференциальных уравнений движения систем связанных твердых тел в центральном силовом поле, позволяющая строить периодические решения, исследовать их устойчивость, выявлять и анализировать особые точки, получать ответвляющиеся решения.

3. Поставлена и решена задача о нелинейных колебаниях твердого тела, несущего упругосвязанную с ним точечную массу, при движении центра инерции системы по эллиптической траектории в центральном ньютоновском поле. Получены зависимости, отражающие влияние соотношений главных центральных моментов инерции, приведенной массы, взаимного расположения тел, входящих в систему, на пространственную устойчивость и формы нелинейных колебаний системы тел при различных значениях эксцентриситета.

Установлены траектории относительного движения точечной массы. Показано, что изменение инерционных характеристик системы, взаимного расположения тел существенно влияет на характер относительного движения и может привести как к стабилизации, так и к дестабилизации этого движения. ниях твердого тела, соединенного гибким нерастяжимым стержнем с точечной массой, при движении по эллиптической траектории в центральном силовом поле. Исследовано влияние инерционных параметров системы, длины стержня на устойчивость относительного движения. Получены формы колебаний несущего и несомого тел при различных значениях эксцентриситета.

Отмечено, что стержень позволяет управлять формами экс-центриситетных колебаний тел системы и в значительной мере влиять на устойчивость этих колебаний.

5. Поставлена и решена задача о нелинейных колебаниях системы двух упругосвязанных твердых тел, движение которой происходит по эллиптической траектории в центральном поле сил. Исследовано влияние соотношений главных центральных моментов инерции несущего и несомого тел, жесткостей упругих связей на устойчивость и формы относительного движения системы тел при различных значениях эксцентриситета.

Отмечена возможность стабилизации движения одного из тел системы относительно притягивающего центра путем подбора коэффициентов жесткости упругих связей. Показано, что при постоянных инерционных параметрах системы в случае, когда радиус инерции несущего тела во много раз превосходит радиус инерции несомого, изменяя соотношения моментов инерции несомого тела, можно управлять пространственной устойчивостью относительного движения системы.

181 ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Акуленко Л.Д., Лещенко Д.Д. Некоторые задачи движения твердого тела с подвижной массой. Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1978, $5, с. 29-34.

2. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1981. - 568 с.

3. Аппель П. Теоретическая механика: Пер. с фр. В 2-х т. Т.2. Динамика системы. Аналитическая механика. М.: Физматгиз, i960. - 487 с.

4. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука. - 304 с.

5. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1974. - 434 с.

6. Бабаков И.М. Теория колебаний. 3-е стереотип, изд. -М.: Наука, 1968. - 559 с.

7. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. М.: Наука, 1965. - 416 с.

8. Белецкий В.В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1975. -308 с.

9. Белецкий В.В., Новикова Е.Т. Об относительном движении связки двух тел на орбите. Космич. исследования, 1969, 7, вып. 3, с. 377-384.

10. Беллман Р. Введение в теорию матриц: Пер. с англ. М.: Наука, 1976. - 351 с.

11. Биркгофф Дж.Д. Динамические системы. М.: Гостехиздат, 1941. - 320 с.

12. Блехман И.И., Дановко Я.Г. Методы решения линейных задач теории колебаний. В кн.: Механика в СССР за 50 лет. Общая и прикладная механика. М., 1968, т. I, с. 167-169.

13. Бобылев Д.К. О шаре с гироскопом внутри. Мат. сб., 1882, 16, №1, с. 544-581.

14. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. 4-е изд. - М.: Наука, 1974. - 504 с.

15. Булгаков Б.В. Колебания. М.: Гостехиздат, 1954.- 891 с.

16. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. - 527 с.

17. Валеев К.Г. О решении и характеристических показателях решений некоторых систем линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Прикл. математика и механика, i960, 24, вып. 4, с. 585-602.

18. Валеев К.Г. Об опасности комбинационных резонансов. -Прикл. математика и механика, 1963, 27, вып. 6, с. II34-II42.

19. Валеев К.Г., Ганиев Р.Ф. Исследование колебаний нелинейных систем. Прикл. математика и механика, 1969, 33, вып. 3, с. 413-430.

20. Верещагин И.Ф., Иванов А.П. Об относительном движении связки твердого тела и точки на круговой орбите. В кн.: Пробл. аналит. механики, теорий устойчивости и управл. М., 1975, с. 105-109.

21. Виттенбург Й. Динамика систем твердых тел: Пер. с англ. М.: Мир, 1980. - 292 с.

22. Ганиев Р.Ф., Кононенко В.0. Колебания твердых тел. М.: Наука, 1976. - 431 с.

23. Голдстейн Г. Классическая механика: Пер. с англ. М.: Наука, 1968. - 415 с.

24. Горошко O.A. Динамика упругой конструкции в условиях свободного полета. Киев: Наук, думка, 1965, - 168 с.

25. Горошко O.A., Савин Г.Н. Введение в механику деформируемых одномерных тел переменной длины. Киев: Наук, думка, 197I. - 224 с.

26. Горошко O.A., Ярошенко В.И. Нелинейные колебания в него-лономных системах с деформируемыми и твердыми телами. -В кн.: 9-я Мевдунар. конф. по нелинейн. колебаниям (Киев, 1981): Тез. докл. Киев, 1981, с. 96-97.

27. Григорьян А.Т., Фрадлин Б.И. История механики твердого тела. М.: Наука, 1982. - 293 с.

28. Гробов В.А., Бурлака B.C. Пространственные колебания двух связанных твердых тел, обусловленные ударными силами, возникающими при контакте с ненулевыми начальными скоростями. Прикл. механика, 1980, 16, J£II, с. 112116.

29. Гуляев В.И., Дехтярюк Е.С. Построение периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений. Сопротивление материалов и теория сооружений, 1978, вып. 32,с. I06-II0.

30. Гуляев В.И., Лизунов П.П., Пруденко H.H. Устойчивость нелинейных колебаний системы двух тел в центральном силовом поле. Прикл. механика, 1983, 19, ih9, с. 96-101.

31. Гуляев В.И., Лизунов П.П., Пруденко H.H. Нелинейные колебания системы двух тел относительно центра масс на эллиптической орбите. Космич. исследования, 1984, 22,вып. 2, с. 165-170.

32. Давиденко Д.Ф. Об одном новом методе численного решения систем нелинейных уравнений. Докл. АН СССР, 1953, 88, №4, с. 601-602.

33. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. ГЛ.: Наука, 1967. - 472 с.

34. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. 2-е изд. - ГЛ.: Наука, 1964. - 400 с.

35. Демин В.Г., Сингх Р.Б. Нелинейные плоские колебания спутника на эллиптической орбите. Космич. исследования, 1973, II, вып. 2, с. 192-197.

36. Докучаев Л.В. Нелинейная динамика упругого летательного аппарата. Итоги науки и техники. Сер. Общая механика / ВИНИТИ, 1982, т. 5, с. 135-197.

37. Дубошин Г.Н. Небесная механика: Аналитические и качественные методы. 2-е изд. перераб. - М.: Наука, 1978. -455 с.

38. Дубошин Г.Н. Небесная механика: Методы теории движения искусственных небесных тел. М.: Наука, 1983. - 352 с.

39. Жуковский Н.Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородной капельной жидкостью. Собр. соч. М.; Л. 1949, т. 2, с. 152-309.

40. Измерение малых ускорений на орбитальной научной станции "Салют-6" / Гришин С.Д., Дубовский В.Б., Лесков Л.В. и др. Космич. исследования, 1982, 20, вып. 3, с. 479-481.

41. Исполов Ю.Г. Об уравнениях Аппеля в нелинейных квазиускорениях и квазискоростях. Прикл. математика и механика, 1982, 46, вып. 3, с. 507-508.

42. Ишлинский А.Ю. Задачи механики в свете решений ХХУТ съезда КПСС. М., 1981. - 38 с. - (Препринт / АН СССР, Ин-тпробл. механики).

43. Каудерер Г. Нелинейная механика. М.: ИЛ, 1961. - 777 с.

44. Кильчевский H.A., Проценко О.П. Современное состояеие и перспективы развития общей механики в Украинской ССР. -Прикл. механика, 1979, 15, №5, с. 3-26.

45. Кодцингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений: Пер. с англ. М.: ИЛ, 1958. -474 с.

46. Кононыхин Г.А., Харламов М.П. Об уравнениях движения системы двух тел, связанных упругим сферическим шарниром.- Докл. АН СССР. Сер. А, 1979, №4, с. 275-279.

47. Крементуло В.Б. О стабилизации положения равновесия твердого тела при помощи подвижных масс. Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1980, №2, с. 46-50.

48. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975. - 512 с.

49. Крылов Н.М., Боголюбов H.H. Введение в нелинейную механику. Киев: Изд-во АН УССР, 1937. - 157 с.

50. Лефшец С. Геометрическая теория дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1961. - 453 с.

51. Лилов Л.К., Чириков В.А. Об уравнениях динамики систем взаимосвязанных тел. Прикл. математика и механика,1981, 45, вып. 3, с. 525-534.

52. Литвин-Седой М.З. Механика систем связанных твердых тел.- Итоги науки и техники. Сер. Общая механика / ВИНИТИ,1982, т. 5, с. 3-61.

53. Литвин-Седой М.З. Уравнения движения основного тела системы твердых тел переменного состава. Докл. АН СССР, 1962,142, Я 2, с. 289-291.

54. Ломаченко А.И., Мамалыга В.М. Деформации протяженных упругих тел на орбите. Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1982, >4, с. 27-35.

55. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз, 1961.- 824 с.

56. Магнус К. Гироскоп. Теория и применение: Пер. с нем. -М.: Мир, 1974. 526 с.

57. Магнус К. Колебания: иер. с нем. М.: Мир, 1982. - 303с.

58. Малкин И.Г. Некоторые задачи в теории нелинейных колебаний. М.: Гостехиздат, 1956. - 492 с.

59. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966. - 530 с.

60. Мартынюк A.A. Практическая устойчивость движения. Киев: Наук, думка, 1983. - 248 с.

61. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. -М.: Наука, 1976. 319 с.

62. Меркин Д.Р. Гироскопические системы. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, 1974. - 344 с.

63. Механика космического полета / Гродзовский Г.Л., Охоцим-ский Д.Е., Белецкий В.В. и др. В кн.: Механика в СССР за 50 лет. Общая и прикладная механика. М., 1968, т. I, с. 265-319.- 2-е изд. перераб. М.: Наука, 1981. - 400 с.

64. Морозов В.М. Устойчивость движения космических аппаратов. Итоги науки и техники. Сер. Общая механика / ВИНИТИ, 197I, т. I, с. 5-84.

65. Морозов В.М. Об устойчивости относительных равновесий на круговой орбите двух твердых тел, соединенных упругим стержнем. В кн.: Некоторые задачи управл. и навигации движущихся объектов. М., 1978, с. 41-57.

66. Николаи E.JI. Теория гироскопов. М.: Гостехтеориздат, 1948. - 171 с.

67. Павловский М.А., Маросин О.П., Свистунов С.Я. Методика автоматизированного составления дифференциальных уравнений движения системы твердых тел с упругими связями.- В кн.: Механика гироскопич. систем. Киев, 1983, J&2, с. 77-80.

68. Парс Л. Аналитическая динамика: Пер. с англ. М.: Наука, 197I. - 635 с.

69. Пеньков В.И. Компенсация эксцентриситетных колебаний спутника с гравитационной системой стабилизации. Космич. исследования, 1977, 15, вып. 3, с. 376-383.

70. Пеньков В.И., Сарычев В.А. Гравитационная система стабилизации спутников с одностепенным шарнирным подвесом. -Космич. исследования, 1977, 15, вып. 4, с. 499-509.

71. Погребысский И.Б. Аналитическая механика. В кн.: Развитие механики в СССР. М., 1967, с. 31-60.

72. Пруденко H.H. Нелинейные колебания системы двух тел в центральном силовом поле. Киев, 1983. - 15 с. - Рукопись предст. Киев. инж.-строит, ин-том. Деп. в УкрНИИНТИ 21 июля 1983г., №805 Ук-Д83.

73. Раус Дж. Динамика системы твердых тел: Пер. с англ. В 2-х т. М.: Наука, 1983. - Т. 1-2

74. Раушенбах Б.В., Токарь Е.Н. Управление ориентацией космических аппаратов. М.: Наука, 1974. - 598 с.

75. Рачек И.Ю., Банит Е.Л. Уравнения Аппеля для консервативных систем. Одесса, 1981. - 12 с. - Рукопись предст. Одесск. технол. ин-том пищ. пром-сти. Деп. в ВИНИТИ3 дек. 1981г., №5500-81.

76. Розенвассер E.II. Колебания нелинейных систем. М.: Наука, 1969. - 576 с.

77. Рубановскии В.Н. Устойчивость установившихся движений сложных механических систем. В кн.: Итоги науки и техники. Сер. Общая механика. М., ВИНИТИ, 1982, т. 5, с. 62-134.

78. Румянцев В.В. О развитии исследований в СССР по теории устойчивости движения. Минск: Дифференциальные уравнения, 1983, 19, №5, с. 739-776.

79. Сазонов В.В. Периодические решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений с большим параметром. Прикл.• математика и механика, 1983, 47, вып. 5, с. 707-719.

80. Сазонов В.В. Периодические колебания спутника-гиростата относительно центра масс на круговой орбите. Космич. исследования, 1983, 21, вып. 6, с. 838-850.

81. Самойленко A.M., Ронто II.И. Численно-аналитические методы исследования периодических решений. Киев: Вща школа, 1976. - 180 с.

82. Сарычев В.А. Вопросы ориентации искусственных спутников. М.: ВИНИТИ, 1978. - 198 с. - (Итоги науки и техники. Сер. Исследование космического пространства / ВИНИТИ;т. II).

83. Сарычев В.А., Мирер С.А. Оптимальные параметры гравитационной системы спутник-стабилизатор. Космич. исследования, 1976, 14, вып. 2, с. 209-219.

84. Сарычев В.А., Пеньков В.И. О быстродействии гравитационной системы стабилизации спутников с демпфирующей пружиной. Космич. исследования, 1977, 15, вып. 5, с. 683689.

85. Сарычев В.А., Сазонов В.В. Оптимальные параметры пассивных систем ориентации спутников. Космич. исследования, 1976, 14, вып. 2, с. 198-208.

86. Сарычев В.А., Сазонов В.В., Мельник Н.В. Пространственные периодические колебания спутника относительно центра масс. Космич. исследования, 1980, 18, вып. 5, с. 659-677.

87. Сарычев В.А., Яковлев Н.И. Динамика системы спутник-стабилизатор с двухстепенным подвесом. Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1978, .№6, с. 3-12.

88. Сингх Р.Б. Движение связки двух тел на эллиптической орбите. Вестн. Моск. ун-та. Сер. Математика, механика, 1973, №3, с. 82-86.

89. Сингх Р.Б. Относительное движение системы двух тел на орбите. В кн.: Пробл. механики управл. движ. Пермь, 1972, & I, с. 196-209.

90. Сингх Р.Б. Пространственное движение связки двух тел в центральном ньютоновском поле сил. В кн.: Пробл. механики управл. движ. Пермь, 1972, №1, с. 210-215.

91. Сингх Р.Б. Пространственное движение связки двух тел на эллиптической орбите. Вестн. Моск. ун-та. Сер. Математика, механика, 1973, №4, с. 59-65.

92. Старжинский В.М. Прикладные методы нелинейных колебаний. М.: Наука, 1977. - 256.

93. Суслов Г.К. Теоретическая механика. 3-е изд. - М.; Л.: ОГИЗ, 1946. - 655 с.

94. Тюлина И.А. История и методология механики. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1979. - 282 с.

95. Устойчивость периодических процессов в нелинейных механических системах / Гуляев В.И., Баженов В.А., Гоцу-ляк Е.А. и др. Львов: Вища школа. Изд-во при Львов, ун-те, 1983. - 288 с.

96. Харламов П.В. Об уравнениях движения системы твердых тел. Механика твердого тела, Киев, 1972, №4, с. 52-73.

97. Харламова Е.И., Лесина М.Е. Об уравнениях движения двух связанных тел. Механика твердого тела, Киев, 1980, №12, с. 26-44.

98. Хейл Дж. Колебания в нелинейных системах: Пер. с англ. М.: Мир, 1966. - 230 с.

99. Черноусько Ф.Л. 0 движении твердого тела с упругими и диссипативными элементами. Прикл. математика и механика, 1978, 42, $1, с. 34-42.

100. Черноусько Ф.Л. 0 движении твердого тела с подвижными внутренними массами. Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1973, №4, с. 33-44.

101. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука, 1972. - 720 с.

102. Ctirek J.R Response of a too-èody gsairlty gsadlent system la a slightly eccentelc osélt.- J. Spacecraft and. Rockets, 1970, 7, H3, p.294-298.

103. Huston R.L., Passesello C.E. On multl-fclgld-Body system dynamics.- Comput. and Stsuct., 1979, 10,J\i3, p. 439-446.

104. Huston R.L.,Passe?ello C.E.,Hasßoi^ M.W. Dynamics of muttl-fcLgld-fcody slstems. J.Appl. Mech., 1978,45, J\r4, p. 889-894.

105. Jezeuiski D.J.,Donaldson J.D. Coupled motion of 2lgld bodies aèout the te center of mass. Ce-test. Mech., 1979, 19, J\M, p. 59-75.

106. KaneT.R., Letfinson D.A. Formulation of equations of motion fos complex spacecraft.-J. Guidance and Conts., 1980, 3, jsf2, p. 99-112.

107. Voitezza V. Sue la theosie, de la vaziatlon deseatltucles.- Acta math., 1899, 22.

108. Wange£in. A. U6es die freurecjung mltelnandes 'lУeгfundeneг Kozpez.- Univ.-ScKslft Ha£te,l889.