Аппроксимация области асимптотической устойчивости при помощи полиэдров тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. СВЕДЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ АППРОКСИМАЦИИ ОБЛАСТИ

АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ К ЭКСТРЕМАЛЬНОЙ

§ I. Постановка задачи. Основные определения

§ 2. Возможность аппроксимации области асимптотической устойчивости при помощи полиэдров

§ 3. Сведение исходной задачи к экстремальной . Я

§ 4. Использование линейных форм, заданных на гранях полиэдра, в качестве векторных функций Ляпунова.

ГЛАВА 2. РЕШЕНИЕ ЭКСТРЕМАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ.

§ 5. О поведении траекторий на гранях полиэдра

§ 6. Аппроксимация области притяжения на плоскости. А

§ 7. Аппроксимация области притяжения в m -мерном пространстве

§ 8. Построение нового симплициального разбиения

В современной теории дифференциальных уравнений большой интерес представляет задача устойчивости движения [I] . Она заключается в следующем. Пусть задана автономная система обыкновенных дифференциальных уравнений

V®*» • • • > , s= At • . . ,m , (0.1) правые части которой в области Ixsuh, s = ^ э^fn удовлетворяют условиям существования и единственности решения задачи Коши, и £ (О, • - . , СП = 0 , s = н,. . ., m . Нулевое решение acs(t) = О , t е [о , , s= ■ • • , гп этой системы называется устойчивым по Ляпунову, если для любого 6>0 существует такое , что из неравенства l^iCDUS следует |xs(t,X°)|^ £ для всех t >0 , s = ■{,. . Здесь X° = (xi(0'i, . . . , зс.сО")^ . Если найдется такое В^^О , V что при |OCS(0)| ^ Ъ' соответствующее решение стягивается к нулю, т.е.

I xstt,x°)| —>• 0 .t-^oo, s= А, . . . , m , (0.2) то нулевое решение называется асимптотически устойчивым по Ляпунову. Однако при исследовании конкретных физических или технических объектов бывает недостаточно установления факта существования того или иного динамического свойства (например, асимптотической устойчивости).

Огромное значение при исследовании конкретных систем имеет решение такой задачи, как получение [2, 3] оценок области асимптотической устойчивости (f\) - множества всех начальных отклонений, для которых выполняется условие (0.2). Таким образом, задача построения области асимптотической устойчивости или её приближенной оценки помимо чисто академического интереса имеет важное прикладное значение и является актуальной.

Несмотря на то, что В.И.Зубовым в [4] установлена теоретическая возможность получения точных оценок с помощью функций Ляпунова и найдено уравнение границы ЪЯ области асимптотической устойчивости, проблему и до настоящего времени нельзя считать закрытой. Она ждет своего полного решения. Дело в том, что метод Зубова приводит к уравнению в частных производных, для которого найти решение в замкнутой форме можно лишь в самых простых случаях. В связи с этим важное значение приобретает задача о построении оценок области асимптотической устойчивости. Этой задаче посвящены труды многих авторов [8-23, 25-28]. Очевидно, что простые способы дают грубые оценки и, наоборот, получение более точных оценок приводит к усложнению способа построения.

В диссертации предлагается аппроксимировать область асимптотической устойчивости при помощи полиэдров, имеющих заданное количество граней. При этом исходная задача приводит к задаче нелинейного программирования. Показано, что полиэдры, являющиеся решением экстремальной задачи, сколь угодно точно могут аппроксимировать область Я . Для решения экстремальной задачи предложен численный метод, являющийся по своей сути градиентным. Таким образом, предложен новый подход к решению задачи о построении области асимптотической устойчивости (или области притяжения), основанный на качественной теории дифференциальных уравнений, втором методе Ляпунова и многомерной геометрии.

Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и приложения. Нумерация параграфов сквозная, нумерация теорем, определений и формул следующая: первая цифра означает номер па

Основные результаты диссертации состоят в следующем.

1. Показано, что область асимптотической устойчивости нулевого решения может быть сколь угодно точно аппроксимирована при помощи полиэдров, принадлежащих области Я и обладающих тем свойством, что траектории системы пересекают их грани снаружи внутрь. При этом задача о построении области притяжения сводится к экстремальной.

2. Решением этой экстремальной задачи будет, по сути дела, некоторая поверхность уровня кусочно-линейной функции Ляпунова.

Экстремальная задача, получающаяся в рамках второго метода Ляпунова, заключается в нахождении экстремального значения нелинейной функции Ляпунова на нулях её производной. Последняя экстремальная задача принципиально отличается от предложенной в диссертации, так как в нашем случае решением экстремальной задачи является кусочно-линейная функция Ляпунова.

3. Предложен численный способ решения экстремальной задачи, являющийся по своей сути градиентным. Указан один из способов построения начального приближения. В результате для двумерного пространства область асимптотической устойчивости может быть аппроксимирована с любой наперед заданной точностью. В пространстве Ет алгоритм дает оценку области притяжения, которая может быть улучшена за счет выбора другого начального приближения.

4. Полученные результаты справедливы не только для систем с голоморфными правыми частями, но и для систем более общего вида (например, правые части которых непрерывны и удовлетворяют условию Липшица).

5. Предложен принципиально новый класс векторных функций Ляпунова, компоненты которых есть линейные формы, заданные на гранях полиэдра. Показана связь между решением предложенной экстремальной задачи и построением этих функций Ляпунова.

6. Для двумерного фазового пространства предложенный численный способ решения экстремальной задачи апробирован на ЭВМ.

ЗАКЛЮЧЕНМЕ

1. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. - М.: Гостехиздат, 1950. - 472 с.

2. Летов A.M. Некоторые нерешенные задачи теории автоматического управления. Дифференциал.уравнения, 1970, т. 6,4, с. 592-615.

3. Немыцкий В.В. К вопросу об установившихся режимах в системах автоматического регулирования. В кн.: Труды 1-го Международного конгресса ИФАК. М., 1961, т. I, с. 597-602.

4. Зубов В.И. Устойчивость движения. М.: Высшая школа, 1973. - 271 с.

5. Малкин Й.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966. - 530 с.

6. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970. - 240 с.

7. Харитонов В.Л., Хитров Г.М. К решению матричного уравнения А.М.Ляпунова. В кн.: Управление динамическими системами. Л., 1978, вып. 2, с. 259-264.

8. Немыцкий В.В. Оценка области асимптотической устойчивости нелинейной системы. Докл. АН СССР, 1955, т. 101, № 5, с. 803-804.

9. Кириченко Н.Ф. Некоторые задачи устойчивости и управляемости движения. Киев: Изд-во КГУ, 1972. - 212 с.

10. Малкин И.Г. Об устойчивости систем автоматического регулирования. Прикл. математика и механика, 1952, т. 16, № 4, с. 495-499.

11. Плисс В.А. Качественная картина интегральных кривых в целом и построение с любой точностью области устойчивости однойсистемы двух дифференциальных уравнений. Прикл. математика и механика, 1953, т. 17, № 5, с. 541-554.

12. Барбашин Е.А., Табуева В.А. Динамические системы с цилиндрическим фазовым пространством. М.: Наука, 1969. - 300 с.

13. Моисеенко С.А. К вопросу определения границ областей притяжения устойчивого состояния равновесия нелинейных объектов второго рода. В кн.: Аналитические методы синтеза регуляторов. Саратов, 1980, с. 49-54.

14. Сергеев B.C. Об одной оценке области асимптотической устойчивости для автономных систем уравнений. Дифференциал, уравнения,. 1975, т. II, № 10, с. 1832-1837.

15. Байдаев В.Н. Вычислительные аспекты оценки области притяжения. Дис. . канд. физ.-мат. наук. - Л., 1981. - 140 с.18. ^eLC^tori ifraPtet. bounded? cSomains of- attract con In tfte pftase рбсте.- Rend?, mat. , 19П МЭШ , тх -10 ,1. N 2/3 , p.m-h3i .

16. SufexQmani.on ft., BansaCR.K. £bti.mati.on oj^ powet-system stafetClt^ cfomqins uscn^ c^uacKati-c of^Qpunao- ^unctbons. Ptoc. £nst. £6ec. En^. , , v. № )N?,p. 59^- 601.

17. Vonneeec fl., ITLrf^aSQ^Qt 7TI. TTlaximaC ^apunov functions anc? domains oft- attaacti.on jj-ог auto-ъчnomous hon-2Cneat systems: Contt. ScL. and

18. SecftnoP. Рго^с. Soc. Ргос. 8 tft {TtLennl aO'O'cGdP Соп^г. Sntexn. ?e<S. Qutom. Cont-c. 0*j^o, -1982,1. D-. i, p.M- \П.

19. Земляков А.С., Матросов B.M. О способах построения вектор-функций Ляпунова для нелинейных систем. В кн.: Оптимальное и адаптивное управление. Саратов, 1977, с. 202-215.

20. Дилигенский С.Н. Оценка области притяжения многомерной нелинейной системы методом агрегатирования-разложения. Автоматика и телемеханика, 1979, № 5, с. 24-37.

21. Маликов А.И. Применение метода векторных функций Ляпунова для исследования нелинейных регулируемых систем. Дис. . . канд. физ.-мат. наук. - Л., 1982. - 163 с.

22. Матросов В.М., Анапольский Л.В., Васильев С.Н. Метод сравнений в математической теории систем. Новосибирск: Наука, Сибир. отд-ние, 1980. - 481 с.

23. Мартынюк А.А., Вербицкий В.Г. Оценка области притяжения для нелинейных систем определенного вида. Прикладн. механика, 1982, т. 18, № 10, с. 102-107.

24. Павлов А.А. Линейные модели в нелинейных системах управления. Киев: Техника, 1982. - 167 с.

25. Ахметгалеев И.И., Кренев В.А., Ситдикова Э.А., Хасанов А.Ю. Устойчивость, оценка области притяжения и синтез нелинейных нестационарных систем методом почти эйлеровых матриц. В кн.: Теория нестационарных систем управления. Севастополь, 1979, с. 2II-2I3.

26. Ахметгалеев И.И., Кренев B.C., Ситдикова Э.А., Хасанов А.Ю. Условия устойчивости и оценка области притяжения нелинейных систем с использованием почти эйлеровых матриц. В кн.:

27. Прямой метод в теории устойчивости и его приложения. Новосибирск, 198I, с. 137-150.

28. Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. М.: Наука, 1974. - 544 с.

29. Розенфельд Б.А. Многомерные пространства. М.: Наука, 1966. - 648 с.

30. Зейферт Г., ТрельфалльВ.Топология. М.: Л.: ГОНТИ, 1938.400 с.

31. Куратовский К. Топология. Т. I М.: Мир, 1966. - 594 с.

32. Введение в топологию / Ю.Г.Борисович, Н.М.Близняков, Я.А.Израилевич, Т.Н.Фоменко. М.: Высшая школа, 1980. -295 с.

33. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972. - 496 с.

34. Кренев В.А. Применение метода почти эйлеровых матриц к оценке области притяжения. В кн.: Устойчивость и управление. Казань, 198I, с. 55-61.

35. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.: Наука,1980. 256 с.

36. Be£(?man Я • Vectot ^apunott- notions. J. SlflM

37. Con-hoe. set. fl , 4962, tf.i , n<l , p. 32-34.

38. Матросов B.M. К теории устойчивости движения. Прикладн. математика и механика, 1962, т. 26, № 6, с. 992-1002.

39. BatBey F. N. ЭДе app2i.ca-ti.on о^ ^apuncn>'s second? method? to Lnte^connectecP systems. J. SI fl M ConUot. S>e'c. fl , -1966 , 3 , n3 , p. 462.

40. Пионтковский А.А., Рутковская Л.Д. Исследование некоторых задач теории устойчивости с помощью метода векторных функций Ляпунова. Автоматика и телемеханика, 1967, № 10, с. 23-31.

41. Валеев К.Г., Финин Г.С. Построение функций Ляпунова. Киев: Наук, думка, 1981. - 412 с.

42. Персидский С.К. 0 применении линейных форм в качестве функций Ляпунова. Изв. АН Каз. ССР. Сер. физ.-мат., 1968,3, с. 39-46.

43. Моисеенко Т.С. Об аппроксимации области асимптотической устойчивости при помощи многоугольника. В кн.: Прикладные задачи теории управления. Л., 1982, с. 50-53.

44. Моисеенко Т.С. Построение полиэдров, аппроксимирующих область асимптотической устойчивости. В кн.: 1У Четаевская Всесоюзная конференция по устойчивости движения, аналитической механике и управлению движением: Аннот. докл. М., 1982, с. 43.

45. Моисеенко Т.С. Построение области притяжения. Л., 1983.10 с. - Деп. в ВИНИТИ 22 июня 1983, № 3389-83.

46. Моисеенко Т.С. Аппроксимация области асимптотической устойчивости. В кн.: Некоторые вопросы качественной теории дифференциальных уравнений и теории управления движением. Саранск, 1983, с. 65-68.

47. Моисеенко Т.С. Сведение задачи об аппроксимации области асимптотической устойчивости к экстремальной. В кн.: Оптимальное управление механическими системами. Л., 1983,с. 167-175.