Преобразования специальных спайнов 3-многообразий и дополнительные структуры на спайнах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. СУЩЕСТВОВАНИЕ ДОМИНИРУЮЩЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО СПАЙНА И ДОМИНИРУЮЩЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ПОЛИЭДРА. СПАЙНЫ С ВЛОЖЕННЫМИ

2-КОМПОНЕНТАМИ.

§1.1. Специальные полиэдры и их преобразования

§1.2. Специальные спайны 3-многообразиий

§1.3. Помеченные специальные спайны и их преобразования.

§1.4. Вздутия помеченных спайнов. Сингулярные триангуляции.

§1.5. Специальные спайны с вложенными 2-компонентами.

ГЛАВА II. ОРИЕНТИРОВАННЫЕ СПАЙНЫ

§2.1. Ориентация спайнов и преобразования спайнов.

§2.2. Ориентированные спайны гомологических сфер.

ГЛАВА III. РАЗВЕТВЛЕННЫЕ СПАЙНЫ

§3.1. Разветвленные специальные спайны.

Связь между разветвленными и ориентированными спайнами.

§3.2. Разветвленная структура и преобразования спайнов.

В топологии трехмерных многообразий, возникшей в начале XX века, остается много нерешенных проблем. Не существует классификации трехмерных многообразий (далее 3-многообразий), не решена трехмерная гипотеза Пуанкаре. Важной частью трехмерной топологии является описание различных способов задания 3-многообразий. К числу классических среди них можно отнести задание 3-многообразий с помощью триангуляции, разбиения Хегора. В 60-х годах возникла теория специальных спайнов 3-многообразий. В основании теории лежит теорема Каслера, утверждающая, что любое 3-многообразие имеет специальный спайн и что по своему специальному спайну многообразие восстанавливается однозначно [10]. Таким образом, специальные спайны являются еще одним способом задания 3-многообразий.

Определение. Компактный подполиэдр Р 3-многообразия М называется спайном многообразия М, если многообразие М коллапсиру-ется на полиэдр Р.

Коллапсирование-это процесс применения к триангулированному многообразию элементарных симплициальных стягиваний. Элементарное симплициальное стягивание состоит в отбрасывании открытого главного симплекса вместе с его открытой свободной гранью.

Используется также эквивалентное определение.

Определение. Компактный 2-полиэдр Р в 3-многообразии М с краем называется спайном многообразия М, если пространство М \ Р гомеоморфно <9М х [0,1).

Спайн замкнутого 3-многообразия М-это спайн многообразия М \IntiD3), где £>3 -шар в многообразии М.

Определение. Компактный 2-полиэдр Р называется специальным полиэдром, если выполняются следующие условия:

1) линк каждой его точки гомеоморфен одному из следующих одномерных полиэдров: а) окружности; Ь) окружности с диаметром; с) окружности с тремя радиусами;

2) в Р есть хотя бы одна точка с линком типа с);

3) любая 2-компонента (т.е. компонента связности точек полиэдра с линком типа а) ) полиэдра Р гомеоморфна открытой двумерной клетке.

Типичные окрестности точек специального полиэдра изображены на рис. 1.

Определение. Спайн 3-многообразия называется специальным, если он является специальным полиэдром.

В дальнейшем значительный прогресс в развитии теории спайнов был связан с работами C.B. Матвеева [14], [1]. В частности, им была разработана теория элементарных преобразований специальных полиэдров. Эта теория применяется в доказательстве эквивалентности гипотезы Зимана для специальных полиэдров объединению гипотез Пуанкаре и Эндрюса-Кертиса, в гамильтоновой механике и гиперболической геометрии, при определении инвариантов Тураева-Виро.

Многообразие по своему специальному спайну восстанавливается однозначно с точностью до гомеоморфизма, но при этом многообразие имеет много разных специальных спайнов. Аналогичная ситуация имеет место в теории узлов: один и тот же узел может быть задан с помощью разных диаграмм. Связь между разными диаграммами одного и того же узла описывается с помощью преобразований Рейдемейсте-ра. По аналогии с теорией узлов возникает вопрос о перечислении преобразований, позволяющих переходить от одного специального спайна данного многообразия к любому другому.

Опишем два преобразования специальных полиэдров.

Выберем в специальном полиэдре Р ребро е, инцидентное ровно двум вершинам полиэдра. Рассмотрим регулярную окрестность Е\ ребра е в полиэдре Р. Пересечение окрестности Е\ с остальной частью специального полиэдра Р гомеоморфно объединению двух окружностей, соединенных тремя дугами. Подполиэдр Е\ изображен на рис. 3.

Рассмотрим подполиэдр Еч, который представляет собой поверхность треугольной призмы вместе со средним треугольником и тремя прямоугольниками, которые присоединены к поверхности призмы вдоль трех ее ребер.

Естественная граница подполиэдра Еч гомеоморфна естественной границе подполиэдра Е\. Если заменить подполиэдр Е\ на подполиэдр Еъ то получим новый специальный полиэдр Q.

Преобразование, состоящее в переходе от специального полиэдра Р к специальному полиэдру Q обозначается через M. Преобразование, состоящее в переходе от специального полиэдра ф к специальному полиэдру Р обозначается через М-1.

Преобразования М и М~1 изображены на рис. 3.

Опишем подполиэдры и Е4, см. рис. 4. Рассмотрим квадрат с двумя выделенными параллельными ребрами и /¿2- Подполиэдр получается из квадрата приклеиванием к ребру К\ прямоугольников 5х и и приклеиванием к ребру /¿2 прямоугольников 5з и 64. Рассмотрим в подполиэдре простую кривую I, концы которой лежат на ребре и которая трансверсально пересекает ребро /¿2 ровно в двух точках и пересекается по дуге с прямоугольником 5з. Приклеим теперь прямоугольники ¿>1 и £2 к кривой I. Полученный подполиэдр обозначим через Е4.

Естественная граница подполиэдра гомеоморфна естественной границе подполиэдра Е4. Если заменить подполиэдр Е3 на подполиэдр то получим новый полиэдр 5.

Преобразование, состоящее в переходе от специального полиэдра Р к специальному полиэдру 5 обозначается через Ь. Преобразование, состоящее в переходе от специального полиэдра 5 к специальному полиэдру Р обозначается через Ь~1.

Замечание. В результате применения к специальному полиэдру одного из преобразований М, М'1, Ь всегда получается специальный полиэдр. В отличие от этих случаев, при применении к специальному полиэдру преобразования Ь~1 в полученном полиэдре может возникнуть 2-компонента, гомеоморфная цилиндру или листу Мебиуса. Поэтому условие специальности полиэдра, получающегося в результате преобразования Ь"1 является существенным.

Определение. Преобразования М и Ь называются увеличивающими преобразованиями, преобразования М~1 и Ь~1 называются уменьшающими преобразованиями.

Теорема С.В. Матвеева утверждает, что преобразование М является достаточным для описания связи между двумя специальными спай-нами одного многообразия, [14].

Теорема(Матвеев). Пусть Р-специальный спайн (с не менее чем двумя вершинами) 3-многообразия М. Тогда для того, чтобы некоторый специальный полиэдр являлся специальным спайном многообразия М, необходимо и достаточно, чтобы от полиэдра Р к полиэдру можно было перейти с помощью преобразований М±1.

Из этой теоремы вытекает следующее (более слабое) утверждение. Пусть Р и (^-специальные спайны 3-многообразия М. Тогда от спайна Р к спайну ф можно перейти с помощью последовательности преобразований М±г, Ь±1 (оставаясь все время в классе спайнов многообразия М).

Определение. Пусть Р и (^-специальные спайны данного 3-многообразия. Специальный спайн ф доминирует спайн Р, если от спайна Р к спайну (^ можно перейти с помощью последовательности увеличивающих преобразований ( все промежуточные спайны в этой последовательности преобразований должны являться специальными спайнами данного многообразия).

Определение. Специальный полиэдр доминирует полиэдр Р, если от спайна Р к спайну ф можно перейти с помощью последовательности увеличивающих преобразований.

Для других упоминавшихся выше способов задания 3-многообразий. триангуляции и разбиений Хегора, известны такие, в определенном смысле схожие, теоремы как теорема Александера об общем звездном подразделении и теорема Рейдемейстера-Зингера о стабильной эквивалентности диаграмм Хегора, [8], [21].

Возникает вопрос: верна ли аналогичная теорема для специальных спайнов? На этот вопрос отвечает следующая теорема, которая является основным результатом диссертации.

Теорема 1. Пусть Р и ф являются специальными спайнами 3-многообразия М. Тогда существует специальный спайн 5 3-многообразия М, доминирующий спайн Р и спайн

Аналогичное утверждение справедливо и для специальных полиэдров.

Теорема 2. Пусть Р и С} являются специальными полиэдрами и от специального полиэдра Р к специальному полиэдру ф можно перейти с помощью последовательности преобразований М±1 и Ь±1. Тогда существует специальный полиэдр 5, доминирующий полиэдры Риф.

Важным свойством триангуляции многообразия является возможность описания триангуляции с точностью до гомеоморфизма комбинаторным способом. В то же время большое число симплексов трин-гуляции конкретных многообразий затрудняет работу с ними. Сингулярные триангуляции находятся посередине между триангуляциями и клеточными комплексами. Теорема 1 позволяет обнаружить полезное свойство сингулярных триангуляций.

Каждому специальному спайну Р замкнутого 3-многообразия М можно сопоставить двойственную сингулярную триангуляцию этого многообразия. Одной вершине спайна соответствует один тетраэдр двойственной триангуляции, шести крыльям из окрестности вершины в спайне соответствуют шесть ребер тетраэдра, четырем ребрам из окрестности вершины-четыре грани тетраэдра, см. рис. 20.

Преобразованиям М±1 и спайнов соответствуют преобразования М*±1 и Ь*±г, см. рис. 21 и 22. Преобразование М* состоит в переходе от бипирамиды, разбитой на два тетраэдра, к той же бипи-рамиде, но разбитой на три тетраэдра. Преобразование Ь* состоит в переходе от двух треугольников с общим ребром к двум тетраэдрам, склеенным по двум граням.

Следствием теоремы 1 является следущая теорема.

Теорема 3. Для любых двух сингулярных триангуляций замкнутого 3-многообразия М с одинаковым количеством вершин существует их общее подразделение, к которому от исходных триангуляций можно перейти с помощью преобразований М*±1 и Ь*±1.

Произвольный специальный спайн представляет собой достаточно сложно устроенный клеточный комплекс. Следующая теорема описывает спайны, имеющие простую клеточную структуру.

Определение. Пусть Е'-ребро спайна. Рассмотрим регулярную окрестность этого ребра в спайне. Части клеток, инцидентных данному ребру и попадающие в окрестность, будем называть крыльями.

Определение. Пусть У-вершина спайна. Рассмотрим регулярную окрестность этого ребра в спайне. Части ребер, инцидентных данной вершине и попадающие в окрестность, будем называть иглами.

Определение. Пусть Р-специальный спайн. Будем называть ребро спайна Р хорошим, если все три крыла, инцидентные с данным ребром, принадлежат разным 2-компонентам спайна Р. Если два из трех крыльев, примыкающих к данному ребру, принадлежат одной

2-компоненте, а третье крыло принадлежит другой 2-компоненте, то такое ребро будем называть средним. В случае, если все три крыла, инцидентные с данным ребром, принадлежат одной 2-компоненте, то такое ребро будем называть плохим.

Определение. Ребро спайна называется петлей, если это ребро инцидентно единственной вершине спайна.

Будем говорить, что 2-компонента спайна п раз проходит через данную вершину спайна, если при движении по граничной окружности данной 2-компоненты мы пройдем данную вершину п раз. Назовем два крыла, инцидентные данной вершине V, противоположными, если в окрестности вершины V они пересекаются в единственной точке-самой вершине V.

Определение. Вершина V спайна Р называется хорошей, если любая 2-компонента спайна Р проходит проходит через вершину V не более одного раза, и плохой в противном случае.

Определение. Специальный спайн Р называется спайном с вложенными 2-компонентами, если граф спайна не содержит петель и все его ребра и вершины являются хорошими.

Окрестность любой клетки в спайне с вложенными 2-компонентами имеет простую структуру и моделирутся с помощью подполиэдра, изображенного на рис. 39.

Теорема 4. Пусть Р-специальный спайн 3-многообразия М. Тогда существует специальный спайн того же 3-многообразия М, удовлетворяющий следующим условиям:

1) спайн ф является спайном с вложенными 2-компонентами;

2) от спайна Р к спайну $ можно перейти с помощью только преобразований М.

В работах Гиллмана и Ролфсена [17]-[19] введено понятие ориентации спайна.

Определение. Специальный спайн Р называется ориентируемым, если каждую 2-компоненту спайна Р можно ориентировать так, что на любом ребре спайна Р ориентации двух инцидентных с данным ребром крыльев индуцируют на ребре ориентацию, противоположную ориентации, которую индуцирует на этом ребре третье крыло.

Ориентация спайнов использовалась Гиллманом и Ролфсеном при доказательстве эквивалентности гипотезы Зимана и гипотезы Пуанкаре.

Во второй главе диссертации исследуется связь между ориентаци-ями и преобразованиями спайнов. Основной вопрос, который мы ставим при изучении спайнов с дополнительными структурами, состоит в следующем: описать семейство преобразований, позволяющих перейти от одного спайна данного многообразия с некоторой дополнительной структурой (в данном случае с ориентацией) к другому спайну того же многообразия с дополнительной структурой.

Отметим, что об ориентациях спайнов известны следующие факты: любое 3-многообразие имеет ориентируемый спайн, см. [1], более того, неориентируемый спайн можно превратить в ориентируемый с помощью увеличивающих преобразований М, см. [16].

Теорема 5. Пусть Р-ориентируемый спайн и 5-спайн, полученный применением одного преобразования М (Ь) к спайну Р. Тогда спайн 5 также является ориентируемым.

Будем называть граф п-валентным, если каждая вершина графа инцидентна п иглам.

Определение. Четырехвалентный граф имеет правильную ориентацию, если в любой вершине две иглы из четырех входят в вершину, а две выходят.

Ответ на поставленный выше вопрос о спайнах с дополнительными структурами для спайнов гомологической сферы дает следующая теорема. В работе [17] доказано, что любой спайн гомологической сферы является ориентируемым, причем ориентация спайна однозначно задается правильной ориентацией особого графа спайна.

Выберем в графе спайна с правильной ориентацией простой цикл. Поменяем его ориентацию на противоположную. Обозначим это преобразование через Т/г.

Теорема 6. Обозначим через (<3,01) спайн гомологической сферы с ориентацией 01, через ((5,С>2)-тот же спайн с ориентацией О2. От пары (<5, О1) к паре О2) можно перейти с помощью последовательности преобразований Т^.

Для специальных спайнов определена также и другая дополнительная структура-структура разветвленной поверхности. Эта структура возникла в работах Ишии, Гиллмана и Ролфсена, [11], [12], [13], [17].

Определение. Специальный спайн называется разветвленным спайном, если окрестности любого ребра и любой вершины этого спайна моделируются с помощью стандартных, см. рис. 47.

Между ориентациями специальных спайнов и разветвленными структурами есть определенная связь: если спайн является ориентируемым, тогда этот спайн заведомо допускает разветвленную структуру. Обратное утверждение не выполняется.

Теорема 7. Пусть Р-разветвленный спайн и 5-спайн, полученный применением одного преобразования M (L) к спайну Р. Тогда спайн S также является разветвленным спайном.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант №99-01-00813, фонда Университета России, грант №992742 и фонда INTAS, грант №97-808.

Автор благодарит своего научного руководителя C.B. Матвеева за всестороннюю помощь в работе над диссертацией.

Существование доминирующего специального спай-на и доминирующего специального полиэдра. Спай-ны 3-многообразий с вложенными 2—компонентами.

1. С.В. Матвеев. Дис. . д-ра физ.-мат. наук. Челябинск: ЧелГУ, 1987, 312 с.

2. С.В. Матвеев. Универсальные деформации специальных полиэдров.// Успехи мат. наук. N 3(1987), т. 42, стр. 193-194.

3. С.В. Матвеев. Гипотеза Зимана для неутолщаемых специальных полиэдров эквивалентна гипотезе Эндрюса-Кертиса.// Сибирский мат. журнал, N6(1987), т. 28, стр. 66-80.

4. С.В. Матвеев. Сложность трехмерных многообразий и их перечисление в порядке возрастания сложности.// Доклады АН СССР, N2(1988), 301, стр. 280-283.

5. Матвеев С. В., Овчинников М. А., Таблицы трехмерных многообразий сложности от 0 до 6.// Препринт ЧелГУ, 1994.

6. Матвеев С.В., Фоменко А.Т. Алгоритмические и компьютерные методы в трехмерной топологии. -М.: Изд-во МГУ, 1991.—301с.

7. Фоменко А. Т., Наглядная геометрия и топология// Издание Московского Университета, 1992.

8. J.W.Alexander. The combinatorial theory of complexes.// Annals of Math. (2), 31(1930), P.294-322.

9. R.H. Bing. Some aspects of the topology of 3-manifold related to the Poincare Conjecture.// Lectures on modern Math., edited by T.L. Saaty Inc-1964,-v.ll.

10. B.G.Casler. An embedding theorem for connected 3-manifolds with boundary.// Proc.Amer.Math.Soc. 16(1965), P.559-566.

11. I.Ishii. Flows and spines.// Tokyo J.Math. 9(1986), P.505-525.

12. I.Ishii. Combinatirial construction of a non-singular flow on 3-manifold.// Kobe J.Math. 3(1986), P.201-208.

13. I.Ishii. Moves for flow spines and topological invariants of 3-manifold.// Tokyo J.Math. 15(1992), P.297-312.14