Нормальные поверхности в трехмерных многообразиях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Введение

1 Полное описание нормальных поверхностей

1.1 Чистые поверхности.

1.2 Уравновешенные поверхности.

1.2.1 Связные нормальные поверхности.

1.2.2 Фундаментальные поверхности

1.3 Кодирование нормальных поверхностей линейными комбинациями простых полиэдров.

1.3.1 Частичный моноид допустимых комбинаций.

1.3.2 Каноническое разложение нормальной поверхности в сумму фундаментальных поверхностей.

1.4 Нормальные поверхности в многообразиях с симметричными цепными спайнами.

1.4.1 Уравновешенность поверхностей.

1.4.2 Элементарное преобразование допустимых комбинаций

1.4.3 Частичный моноид комбинаций сложности

2 Почти нормальные поверхности в многообразиях с симметричными цепными спайнами

2.1 2-нормальные и почти нормальные поверхности.

2.2 Классификация почти нормальных поверхностей с октагоном

2.3 Классификация почти нормальных поверхностей с трубкой

3 Многообразия с симметричными цепными спайнами

3.1 Какие многообразия имеют симметричные цепные спайны?

3.2 Какие линзовые пространства содержат бутылку Клейна?

Теория нормальных поверхностей Хакена играет важную роль в топологии трехмерных многообразий. С одной стороны, она лежит в основе таких знаменитых алгоритмов, как алгоритмы распознавания тривиального узла [12], расщелляемости зацепления в трехмерной сфере [8], распознавания многообразия Хакена [10]. С другой стороны, нормальные поверхности допускают удобное числовое описание, что выделяет их среди множества всех поверхностей в многообразиях.

Вначале мы дадим основное определение 2-нормальной поверхности, впервые сформулированное в [6]. Напомним, что двумерный полиэдр Р называется простым, если линк каждой его точки гомеоморфен окружности, окружности с диаметром или окружности с тремя радиусами, (см. рис. 1). Объединение точек первого типа состоит из нескольких связных двумерных многообразий, которые называются 2-компонентами полиэдра Р. Оставшиеся точки образуют особый граф полиэдра Р, причем точки третьего типа называются его вершинами. Простой полиэдр называется специальным, если он имеет хотя бы одну вершину и все его 2-компоненты являются клетками. Специальный полиэдр Р С М называется специальным спайном трехмерного многообразия М, если либо дМ ф 0 и многообразие М\Р гомеоморфно дМ х (0,1], либо дМ = 0 и многообразие М\Р гомеоморфно открытому шару.

Хорошо известно, что каждый специальный спайн Р многообразия М порождает его разбиение £р на ручки следующим образом. Нужно заменить каждую вершину полиэдра Р на ручку индекса 0 (шар), каждое ребро — на ручку индекса 1 (балку), каждую 2-компоненту — на ручку индекса 2 (плитку). При этом объединение этих ручек должно либо совпадать с многообразием М, либо (если М замкнуто) получаться из него удалением шара (который в данном случае можно рассматривать как ручку индекса 3). Компоненты связности пересечения шаров с балками называются островами, шаров с плитками — мостами.

Определение. Пусть к — натуральное число. Замкнутая поверхность F с М называется к-нормалъной по отношению к разбиению £р, если:

Рис. 1: Допустимые окрестности точек простого полиэдра

Рис. 2: Элементарные диски в шаре разбиения £р: а) треугольный, Ь) четырехугольный, с) октагон

1) пересечение поверхности F с каждой плиткой D2 х I либо пусто, либо состоит из нескольких параллельных дисков вида D2 х{х\,х2, ■ ■ ■ ,осп}, где xi < Х2 < ■ ■ ■ < хп — набор внутренних точек отрезка /;

2) пересечение поверхности F с каждой балкой I х £>2 состоит из полосок вида Ixl, где I — дуга в D2 с концами на 3D2 (диск D2 можно отождествить с островом {0} х D2);

3) концы каждой дуги I принадлежат различным компонентам связности пересечения края острова с мостами;

4) пересечение поверхности F с каждым шаром состоит из дисков (эти диски называются элементарными);

5) пересечение каждого элементарного диска с каждым мостом либо пусто, либо состоит из не более чем к дуг с концами на тех островах, которые соединяет рассматриваемый мост.

В диссертации мы будем рассматривать только 2-нормальные поверхности. Край каждого шара разбиения £я содержит четыре острова и шесть мостов, причем каждые два острова соединены ровно одним мостом. Элементарный диск в шаре разбиения £р будем называть треугольным диском, четырехугольным диском или октагоном, если пересечение его края с мостами шара состоит соответственно из трех, четырех или восьми дуг (см. рис. 2). Легко видеть, что любая 2-нормальная поверхность содержит только указанные элементарные диски. Следуя Хакену, 1-нормальные поверхности называются просто нормальными. Отметим, что класс 2-нормальных поверхностей содержит в себе класс нормальных. Нормальные поверхности характеризуются тем, что они содержат только треугольные и четырехугольные диски, тогда как 2-нормальные поверхности могут содержать и октагоны.

Основной результат теории нормальных поверхностей Хакена заключается в том, что множество всех нормальных поверхностей обладает алгоритмически конструируемым конечным базисом. Опишем это более подробно. Будем говорить, что два элементарных диска в шаре разбиения (р относятся к одному типу, если существует инвариантная на островах и мостах изотопия шара, переводящая один диск в другой. Отметим, что для любого шара разбиения £р существует ровно 7 тииов содержащихся в нем элементарных дисков — 3 четырехугольных и 4 треугольных.

Обозначим через Ei, ., Еп элементарные диски, представляющие без повторений все типы во всех шарах разбиения £р. Нормальная поверхность F может пересекать шары по нескольким параллельным копиям каждого диска ЕЧисло этих копий обозначим через хг. Итак, каждой нормальной поверхности F сопоставляется вектор x(F) = (х' ,х2,. хп) с целыми неотрицательными координатами. При этом нормальные поверхности F1} F2 эквивалентны (т.е. переводятся друг в друга инвариантной на шарах, балках и плитках разбиения изотопией) тогда и только тогда, когда x(Fi) = ^(i^)- Разумеется, далеко не каждый вектор х = (х1, х2,., хп) с целыми неотрицательными координатами реализуется нормальной поверхностью. Опишем множество тех векторов, которые реализуются нормальными поверхностями.

Рассмотрим балку I х D2 разбиения £р и в острове {0} х £>2 выберем простую дугу {0} х I, соединяющую два моста. Подсчитаем общее количество копий дуги {0} х I в пересечении нормальной поверхности F с рассматриваемым островом. Это число представляется в виде линейной комбинации координат вектора z(F) с коэффициентами 0 и 1. Точно так же найдем число копий дуги {1} х / в пересечении поверхности F с островом {1} х D2. Ключевой момент: так как пересечение поверхности F с балкой I х D2 состоит из полосок вида Ixl, то полученные числа должны быть равны. Таким образом, мы имеем линейное однородное уравнение. Поскольку плитки примыкают к балке I х D2 по 3 прямоугольникам, то в острове {0} х D2 можно провести 3 различных дуги, каждой из которых отвечает одно уравнение. Выписав эти уравнения для всех балок разбиения £р и всех дуг в них, мы приходим к системе §(£р) линейных однородных уравнений с целыми коэффициентами. Очевидно, что координаты вектора x(F) составляют решение этой системы. С другой стороны, далеко не каждое целое неотрицательное решение системы 8(£р) реализуется нормальной поверхностью. Для этого необходимо, чтобы для любых положительных координат хг, х> диски Ei, Ej были совместными, т.е. чтобы отвечающие им типы имели непересекающихся представителей. Такие вектора будем называть допустимыми.

Итак, вектор х = (ж1, ж2,., хп) с целыми неотрицательными координатами реализуется нормальной поверхностью тогда и только тогда, когда его координаты составляют допустимое решение системы S(£p). Поэтому множество N всех поверхностей в компактном трехмерном многообразии, нормальных по отношению к заданному разбиению многообразия на ручки, относительно операции сложения образует частичный коммутативный моноид (здесь под моноидом мы понимаем аддитивную полугруппу с нулевым элементом). Целое неотрицательное решение системы 8(£р) называется фундаментальным, если его нельзя представить в виде суммы двух нетривиальных целых неотрицательных решений. Поверхности Fx,., Fk в М, отвечающие допустимым фундаментальным решениям системы Sназываются фундаментальными. Они составляют минимальный набор образующих моноида N. Таким образом, моноид N нормальных поверхностей состоит из линейных комбинаций Yli=г фундаментальных поверхностей с целыми неотрицательными коэффициентами.

Здесь стоит отметить два существенных упрощения метода Хакена [4], [20] за счет более простого вида уравнений и резкого уменьшения числа неизвестных системы. Однако, не смотря на важность, структура моноида нормальных поверхностей оставалась практически не исследованной. В явном виде фундаментальные поверхности найдены только в нескольких самых простых случаях. Кроме того, совершенно не изучена операция сложения. Поскольку каждая нормальная поверхность допускает несколько различных разложений в сумму фундаментальных поверхностей, важное значение приобретают как описание канонического разложения, так и алгоритм его нахождения.

Существенное развитие теории нормальных поверхностей произошло при построении алгоритма распознавания сферы S3. В 1992 году X. Ру-бинштайн анонсировал существование такого алгоритма, а в 1994 году А. Томпсон [19] (см. также [6]) полностью реализовала его идеи. Как оказалось, метод Хакена не работает в этом случае. В основе алгоритма лежит понятие почти нормальной поверхности.

Определение. Замкнутая поверхность F С М называется почти нормальной поверхностью с октагоном по отношению к разбиению £р, если она является 2-нормальной и содержит ровно один октагон.

Определение. Замкнутая поверхность F с М называется почти нормальной поверхностью с трубкой по отношению к разбиению если она получается из некоторой нормальной поверхности заменой двух дисков в плитке на незаузленную трубку (кольцо) с тем же краем.

Эти поверхности, по-видимому, сыграют важную роль для (пока не построенного) алгоритма вычисления рода Хегора (см. [18]). Отметим, что неисследованные вопросы теории нормальных поверхностей остаются открытыми и в теории почти нормальных поверхностей.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

1. Кассой Э., Блейлер С. Теория автоморфизмов поверхностей по Нильсену и Терстону. // Издательство ФАЗИС. 1998. 112 с.

2. Матвеев С.В. Один способ задания 3-многообразий. // Вестник Московского университета. 1975. 3. С. 11-20.

3. Матвеев С.В. Трехмерные многообразия, сконструированные на замкнутых цепочках. // Издательство Челябинского политехнического института. Сборник научных трудов. 1980. № 252. С. 79-82.

4. Матвеев С.В. Аддитивность сложности и метод Хакена в топологии трехмерных многообразий. // Украинский математический журнал. 1989. Т. 41. № 9. С. 1234-1239.

5. Матвеев С.В., Фоменко А.Т. Алгоритмические и компьютерные методы в трехмерной топологии. // Издательство Московского университета. 1991. 300 с.

6. Матвеев С.В. Алгоритм распознавания трехмерной сферы (по А. Томпсон). // Математический сборник. 1995. Т. 186. № 5. С. 6984.

7. Овчинников М.А. Представление гомеотопий тора простыми полиэдрами с краем. // Математические заметки. 1999. Т. 66. № 4. С. 533-539.

8. Шуберт X. Алгоритм для разложения зацеплений на простые слагаемые. // Математика: сборник переводов. 1966. Т. 10. № 4. С. 45-78.

9. Anisov S. Towards Lower Bounds for Complexity of 3-Manifolds: a Program. // Preprint. http://arxiv.org/abs/math.GT/0103169.

10. Матвеев С.В., Фоминых Е.А. Нормальные поверхности в трехмерных многообразиях. // Доклады Аакадемии Наук. 2002. Т. 384. № 6. С. 727-730.66

11. Фоминых Е.А. Полное описание нормальных поверхностей для бесконечных серий трехмерных многообразий. // Сибирский математический журнал. 2002. Т. 43. № 6. С. 1372-1387.

12. Фоминых Е.А. Суммирование нормальных поверхностей и уравновешенные специальные спайны. // Вестник челябинского университета, серия "Математика. Механика. Информатика". 2002. № 1(6). С. 25-29.

13. Fominykh Е.А. On normal surfaces in 3-manifolds. // Тезисы докладов международной конференции 'Топология и динамика — Рохлинский мемориал", посвященной 80-летию со дня рождения В. А. Рохлина. Санкт-Петербург: Институт математики. 1999. С. 31.