Леви-плоские гиперповерхности в СР2 тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Московский Государственный Университет им. М.В.Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 515.171.21

Мищенко Михаил Александрович [тПЛОСКИЕ ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ В СР2

I

(01.01.01 - математический анализ)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель академик РАН, профессор А.Г.Витушкин

Москва, 1993 г.

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского Государственного Университета им. М.В.Ломоносова.

в 16 час. 05 мин. на заседании <

Д.053.05.04 при Московском Государственном Университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Ленинские Горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14-ый этаж).

Ведущая организация

Научный руководитель -

Официальные оппоненты -

доктор физико-математических наук, профессор, академик РАН А.Г.Витушкин

доктор физико-математических наук, профессор В.В.Жаринов, доктор физико-математических наук, доцент Е.В.Троицкий. Московский государственный институт электроники и математики (технический университет).

Защита диссертации состоится

Автореферат разослан

Ученый секретарь специализированного совета Д.053.05.04 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

Т.П.Лукашенко

1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

1.1 Актуальность темы.

Одним из направлений современного комплексного анализа является исследование вещественно-аналитических

гиперповерхностей в комплексных многообразиях. Центральным объектом, определяющим многое свойства гиперповерхностей

является форма Леви. Наиболее исследованными к настоящему

) *

времени являются локальные свойства гиперповерхностей с невырожденной; формой Леви. Широкие исследования в этой области начались с появления работы С. Черна и Ю.Мозера1 , в которой было введено понятие нормальной формы гиперповерхности. Нормальная форма гиперповерхности была определена как уравнение поверхности специального вида:

= {г, г) + £ р к1(г, г , Не(г^))

I к,1-2 :

где 2 = (г]_,[г2, ■■■ г > 2) " ограничение формы Леви

поверхности на комплексную касательную в некоторой точке, р ^ -

многочлен степеней к по г и 1 по г с коэффициентами,

аналитически зависящими от Ие(г^).

В работе доказано, что в случае гиперповерхности с невырожденной! формой Леви в окрестности некоторой точки всегда : найдется локальная биголоморфная замена координат комплексного многообразия, после выполнения которой уравнение поверхности

S.S.Chern, J.K.Moser. Real hyper surfaces in complex manifolds. - ■■ Acta Math., 1974, 133: 3-4, pp. 219-271. (Pyc. nep.: VMH, 1983; 38:2) '!

будет записываться в нормальной форме. В общем случае одной и той же поверхности сопоставляется, вообще говоря, много нормальных форм.

В терминах нормальных форм, можно выделить поверхности, нормальная форма которых имеет вид

такие поверхности называются квадриками. Остальные поверхности называются несферическими.

Свойства квадрик сильно отличаются от несферических поверхностей с той же формой Леви. Например, группа стабильности для сферы некомпактна2, в то время как группа стабильности несферической гиперповерхности с положительно-определенной формой Леви, так называемой псевдовыпуклой поверхностью, компактна3.

Для псевдовыпуклых гиперповехностей Витушкиным получена теорема о ростке отображения4: росток биголоморфного отображения, переводящего псевдовыпклую поверхность М в поверхность М' продолжается в окрестность центра ростка, общую для всех всех росков с фиксированным центром, при этом размеры

H.Poincare. Les fonctions analytiques de deux variables et la représentations conforme. - Rend. Cire. Mat Pàlermo, 1907, 23, pp. 185-220.

А.Г.Витушкин. Голоморфное продолжение отображений компактных гиперповерхностей. - Изв. АН СССР. Сер. мат., 1982, 46:1, с. 28-35.

А.Г.Витушкин. Вещественно-аналитические гиперповерхности комплексных многообразий. - Успехи мат. наук, 1985, т.40, вып.2, с.3-31.

окрестности зависят только от поверхностей М и М'. Одним из основных следствий этой теоремы был результат Кружилина и Лободы5 о существовании в окрестности произвольной точки псевдовыпуклой гиперповерхности системы координат, в которой все автоморфизмы поверхности записываются линейными

преобразованиями.

Для случая несферической гиперповерхности с невырожденной знакопеременной формой Леви вопрос о существовании аналога теоремы; Витушкина остается открытым. Для этого случая Ежовым6 доказана теорема о том, что для любого автоморфизма поверхности существует локальная система коррдинат в окрестности прозвольной точки поверхности, в которой данный автоморфизм записывается дробно-линейным преобразованием

В настоящей работе рассматриваются гиперповерхности с тождественно нулевой формой Леви. Известно7, что в некоторой окрестности любой точки такой поверхности найдется система координат, в которой уравнение поверхности имеет вид:

Гш (гк) = 0. ; Именно это обстоятельство дало таким поверхностям название

Кружили» Н.Г., Лобода A.B. Линеаризация локальных автоморфизмов псевдовыпуклых поверхностей. - Докл. АН СССР, 1983, т.271, 2, с.280-282.

Ежов В.В. О линеаризации автоморфизмов вещественно-аналитической гиперповерхности. - Изв. АН СССР. Сер. мат., 1985, Том 49, 4, с. 731-765.

См. наприме

Чирка Е.М. Введение в геометрию CR-многообразий. - Успехи мат. наук, том 46, вып 1 (277), с. 81-164.

"Леви-плоские".

С точки зрения локальных свойств, Леви-плоские поверхности являются тривиальным объектом. Однако, глобальные свойства таких поверхностей на сегдняшний день малоизучены. Наиболее известным свойством Леви-плоской поверхности в комплексном многообразии X является существование на ней слоения корамерности 1, у которого каждый слой является комплексным подмногообразием в X8.

1.2 Цель работы

Получить необходимые условия существования вложения

компактого трехмерного вещественно-аналитического многообразия

М, с заданным на нем вещественно-аналитическим слоением 3

2

коразмерности 1, в СР такого, что после вложения каждый слой слоения 3 становится комплексным подмногообразием в СР2.

1.3 Общая методика исследования

В работе применяются методы теории функции одного и многих комплексных переменных, а также методы геометрии, топологии и теории слоений.

1.4 Научная новизна

Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

2

- Леви-плоская компактная гиперповерхность в СР имеет некоммутативную фундаментальную группу;

См. наприме

Чирка Е.М. Введение в геометрию С Я,-многообразий. -мат. наук, том 46, вып 1 (277), с.81-164.

Успехи

- слоение, возникающее на Леви-плоской гиперповерхности в СР , не имеет компактных слоев и обязательно имеет слой с нетривиальной группой глономий.

1.5 Приложения

Диссертация носит торетический характер. Ее результаты могут найти применение в теории гиперповерхностей в комплексных многообразиях, а также могут быть полезны в теории слоений.

1.6 Апробация работы

Основные результаты диссертации были доложены на совместном семинаре по комплексному анализу кафедры ТФФА механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова и отдела ТФКП Математического института им. В.А.Стеклова РАН.

1.7 Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приведен в конце автореферата.

1.8 Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 11 наименований. Объем диссертации - 81 машинописная страница.

2. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во ведении диссертации дается краткий обзор основных

результатов, известных о вещественно-анлитических

гиперповерхностях с тождественно нулевой формой Леви в

комплексных многообразиях.

Затем описывается объект, который будет исследоваться в

диссертации, а именно:

дано трехмерное аналитическое компактное многообразие М,

на котором задано аналитическое слоение 3 коразмерности 1, дано

2

вложение Р многообразия М в СР такое, что каждый слой слоения

2

3 становится комплексным подмногообразием в СР .

Во введении также приводятся основные результаты диссертации.

Первая глава диссертации состоит из четырех параграфов.

Она посвящена исследованию свойств терхмерного многообразия, 2

вложенного в СР , а также доказательству теорем об о

некоммутативности фундаментальной группы и об отсутствии

2

компактного слоя у Леви-плоской гиперповерхности в СР .

В параграфе 1.1 диссертации даются необходимые определения, приводятся известные факты о Леви-плоских гиперповерхностях с доказательствами автора:

на Леви-плоской вещественно-аналитической

гиперповерхности М в комплексном многообразии X существует аналитическое слоение О коразмерности 1, каждый слои которого является комплексным подмногообразием в X;

для любой точки а, лежащей на Леви-плоской гиперповерхности в комплексном многообразии X, найдется

локальная комплексная система координат X - 22, ... ,

такая, что в некоторой окрестности точки а уравнение гиперповерхности в этой системе координат имеет вид:

= 0.

А также доказываются следующие утверждения:

трехмерное вещественно-аналитическое многообразие, 2

вложенное в СР обязательно ориентируемо;

если на трехмерном вещественно-аналитическом

многообразии задано слоение коразмерности 1 и существует

2

вложение этого многообразия в СР , такое, что каждый слой слоения

2

становится комплексным подмногообразием в СР , то слоение

должно быть ориентируемым.

В параграфе 1.2 диссертации доказывается теорема о том, что

если на трехмерном вещественно-аналитическом многообразии

задано слоение коразмерности 1 и существует вложение этого 2

многообразия в СР , такое, что каждый слой слоения становится

2

комплексным подмногообразием в СР , то слоение не может иметь

компактных слоев. Как следствие из этой теоремы устанавливается,

что трехмерное компактное многообразие с конечной

фундаментальной группой, в частности трехмерная сфера, не могут

2

быть Леви-плоскими гиперповерхностями в СР , поскольку теорема Новикова утверждает9, что любое слоение на многообразии с конечной фундаментальной группой имеет компактный слой.

В параграфе 1.3 диссертации доказывается теорема о том, что если на трехмерном вещественно-аналитическом многообразии

Новиков С.П. Топология слоении. - Труды московского мат. общества, том 14, 1965 г., с.248-278.

задано слоение коразмерности 1 и существует вложение этого 2

многообразия в СР , такое, что каждый слой слоения становится

2

комплексным подмногообразием в СР , то фундаментальная группа многоообразия не может быть коммутативной. В частности,

трехмерный тор не может быть Леви-плоской гиперповерхностью в

2

ср .

В параграфе 1.4 диссертации рассматривается стандартная

2

:кэлерова дифференциальная форма Г2 на СР и доказывается, что

• 12 если трехмерное многообразие М вложено в СР , то прообраз

; формы на М, форма , порождает тривиальный класс

5 2

1 когомологий в группе И ( М , С). '

Вторая глава диссертации состоит из двух параграфов. Она посвящена исследованию универсальной накрывающей трехмерного многообразия с заданным на нем слоением коразмерности 1, а также исследованию свойств слоения "специального случая".

В параграфе 2.1 рассматривается универсальная накрывающая

1 А А

, М трехмерного многообразия М и слоение на М, порожденное слоением на М. В случае, когда слоение на М не имеет компактных слоев, доказываются следующие утверждения:

- подгруппа Н тех элементов из которые переводят в себя некоторый фиксированный слой Ъ слоения на М, сопряжена

.группе Л^Ь) при некотором мономорфизме вложения /7^(1/) —> где Ъ - слой слоения на М, который накрывается

.слоем Ь; ,

- на универсальном накрытии М не существует замкнутой - трансверсали к слоению;

- на универсальном накрытии М найдется такой атлас карт,

что каждый слой проходит не более одного раза через каждую карту, и как следствие этого утверждения, на универсальном накрытии все слои замкнуты.

В параграфе 2.2 рассматривается специальный случай ориентируемого слоения на трехмерной многообразии без

компактных слоев. А именно, рассматривается атлас карт {Ua на

многообразии М с координатами (xa,ya/ta), согласованный со

слоением, т.е. такой, что в каждой карте слой задается уравнением ta = Const. Дополнительным (специальным) условием слоения является существование в каждой карте непрерывной функции Та. Эти функции удовлетворяют следующим условиям: i) та постоянна на слоях;

и) Та монотонно возрастает в направлении положительной ориентации слоения;

iii) на пересечении двух карт Uа Г) U^ выполняется тождество

та - тр = Const.

Доказывается утверждение, что трехмерное ориентируемое,

компактное, вещественно-аналитическое многообразие на котором

2

задано слоение "специального случая" не может быть вложено в CP

так, что каждый слой слоения становится комплексным

2

подмногообразием в CP .

Третья глава диссертации состоит из трех параграфов. Она посвящена доказательству теоремы о существовании у Леви-плоской гиперповерхности в CP2 слоя с нетривиальной группой голономий.

В параграфе 3.1 дается определения группы глономий слоя, в случае слоения коразмерности 1.

В параграфе 3.2 доказывается, что "специальный случай" слоения на трехмерном многообразии не имеет слоев с нетривиальной группой голономий.

В параграфе 3.3 доказывается, что слоение на трехмерном многообразии коразмерности 1 без компактных слоев и слоев с нетривиальной группой голономий являются "специальным случаем" слоения. Как следствие, доказывается, что если на трехмерном вещественно-аналитическом компактном многообразии задано

I Г

вещественно-аналитическое слоение коразмерности 1 без компактных

X X

слоев и без слоев с нетривиальной группой голономий, то; такое

2 ' многообразие не может быть вложено в СР так, чтобы каждый слой

: 2 1 был бы комплексным подмногообразием в СР . ;

Список работ автора по теме диссертации

1. Мищенко М.А., Трехмерны^ компактные аналитические

I 2

многообразия, вложенные в СР с тождественно нулевой формой Леви, - Математические заметки, 1993 г., т.54, вып. 4.

2. Мищенко М.А., Компактные трехмерные многообразия с

2

коммутативной фундаментальной группой, вложенные в СР , -Математические заметки, 1994 г., т.55, вып. 1.