Однородные вещественные гиперповерхности пространства C3 тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

олс:

НГУЕН Тхи Тхуи Зыонг

ОДНОРОДНЫЕ ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ ПРОСТРАНСТВА С3

01.01.01 — Вещественный, комплексный и функциональный анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- 1 НОЯ 2012

Воронеж — 2012

005054248

Работа выполнена на кафедре высшей математики Воронежского государственного архитектурно-строительного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

доцент Лобода Александр Васильевич, Воронежский государственный архитектурно-строительный университет, профессор кафедры высшей математики.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Белошапка Валерий Константинович, Московский государственный университет им М.В. Ломоносова, профессор кафедры теории функций и функционального анализа,

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Новиков Игорь Яковлевич, Воронежский государственный университет, профессор кафедры функционального анализа и операторных уравнений.

Ведущая организация: Казанский (Приволжский) федеральный университет

Защита состоится 20 ноября 2012 года в 15 ч. 10 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском Государственном университете но адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 333. С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета. Автореферат разослан октября 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

д.ф.-м.н., профессор Ю.Е. Гликлих

Общая характеристика работы

Актуальность исследования. Настоящая диссертационная работа посвящена изучению свойств аффинной и голоморфной однородности вещественных гиперповерхностей в 3-мерном комплексном пространстве С3. Эта тематика является актуальной в современном комплексном анализе, что подтверждается опубликованием в последние годы в известных российских и зарубежных изданиях работ по близким вопросам таких авторов, как А. Ха-клберри, В. Кауп, В.К. Белошапка, A.B. Лобода.

Задача описания голоморфно-однородных многообразий представляет также интерес для дифференциальной геометрии, теории групп и алгебр Ли, математической физики. Сложность решения этой задачи даже для случая вещественных гиперповерхностей пространства С3 делает актуальным и вопрос изучения аффинно-однородных поверхностей того же пространства. До настоящего времени имелось лишь большое количество примеров аффинно-однородных вещественных гиперповерхностей комплексного пространства С3. В диссертации предложена общая схема описания таких поверхностей. На примере изученного класса аффинно-однородных поверхностей трубчатого типа показана эффективность схемы. Это подтверждает значимость и актуальность диссертационных исследований для многомерного комплексного анализа.

Цель работы. Основная цель работы - построение классификации аффинно-однородных вещественных гиперповерхностей трубчатого типа в пространстве С3. Этот класс многообразий представляет собой удобную модель для проверки эффективности предлагаемой схемы изучения аффинной однородности, опирающейся на коэффициентный подход к задаче. В связи с этим еще одной целью диссертационного исследования является совершенствование технических приемов коэффициентного изучения голоморфно-однородных и аффинно-однородных вещественных подмногообразий комплексных пространств.

Методика исследования. Задачи, связанные с однородностью многообразий, традиционно изучаются на основе использования техники групп и алгебр Ли. В диссертации также применяется эта техника. Но ключевой метод работы - коэффициентный подход к описанию изучаемых аналитичс-

ских объектов. Главным инструментом работы является анализ алгебраических соотношений, накладываемых геометрическим условием однородности на тейлоровские коэффициенты поверхностей и отображений.

Полученная в первой части диссертации большая система квадратичных уравнений относительно этих коэффициентов и некоторых других параметров исходной задачи решается с привлечением пакета символьной математики МАРЬЕ. Завершающая часть работы связана с анализом изменений тейлоровских разложений неявных функций при аналитических преобразованиях координат.

Научная новизна. Следующие результаты являются основными в диссертации:

1. Построены аффинные канонические уравнения для класса строго псев-до-выпуклых вещественно-аналитических гиперповерхностей трубчатого типа комплексного пространства С3 . Уравнения учитывают все возможные случаи тейлоровских коэффициентов 3-го порядка и определяются с точностью до дискретных групп преобразований.

2. В терминах матричных алгебр Ли Описаны аффинно-однородные поверхности трубчатого типа. Получены координатные представления для большого семейства таких поверхностей и, в том числе, для всех поверхностей с "богатыми" группами преобразований.

3. Доказана вещественная аффинная однородность основания всякой трубчатой строго пеевдо-выпуклой гиперповерхности в С3, однородной относительно комплексных аффинных преобразований.

4. Построено 1-параметрическое семейство голоморфно различных аф-финно-однородных поверхностей, не сводимых аффинными преобразованиями к трубкам.

Теоретическая и практическая ценность. Предлагаемый в диссертации системный подход к изучению задачи об однородности позволил получить практически полное описание класса поверхностей трубчатого тина. На основе такого подхода ожидается построение в ближайшее время полной классификации аффинно-однородных вещественных гиперповерхностей пространства С3. Разработанные в диссертации методы решения систем квадратичных уравнений (в том числе, с использованием средств символьной математики)

могут найти практическое применение в задачах фундаментальной и компьютерной алгебры, связанных с системами полиномиальных уравнений.

Апробация работы. Результаты диссертационных исследований докладывались на научных семинарах ВГАСУ и ВГУ, на ежегодных научных конференциях преподавателей и аспирантов ВГАСУ, на международных математических конференциях (Воронежская зимняя математическая школа - 2011, 2012; Воронежская весенняя математическая школа - 2012, Международная научная конференция "Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики Воронеж-2012). Часть результатов была представлена на Российско-германской конференции по многомерному комплексному анализу (Москва, февраль-март-2012).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[8]. Статьи [1], [4], [8] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ. Из совместных работ [7], [8] в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие лично соискателю.

Структура и обьем диссертации. Дисертация содержит 109 страниц и состоит из введения, трех глав и списка литературы. Главы разделяются на параграфы и разделы с подчиненной нумерацией. Библиография содержит 53 наименования.

Содержание диссертации

Во Введении даны основные определения и приведен краткий обзор предшествующих исследований по тематике диссертации. Обоснована актуальность темы диссертации и сформулированы ее основные результаты.

Согласно известному определению, многообразие М называется однородным относительно некоторой группы (преобразований) (7, если эта группа транзитивно действует на М, то есть любую точку из М можно перевести в любую другую точку обсуждаемого многообразия подходящим преобразованием из группы (?.

В диссертации используются модификации этого определения для случаев аффинной и голоморфной однородности гиперповерхностей пространства С3. Аффинная однородность связывается с транзитивным действием на вложен-

ном многообразии подгрупп аффинной группы А//(3, С). Голоморфная однородность аналитической поверхности означает голоморфную эквивалентность ее ростков в различных точках. Везде в диссертации однородность изучается с локальной точки зрения.

Полное описание аффинно-однородных плоских кривых было известно уже в начале прошлого века. Его связывают с трудами школы В. Бляшке.

ТЕОРЕМА 0.1. Любая плоская аффинно-однородная кривая аффинно эквивалентна вблизи произвольной своей тонки какой-либо одной из следующего списка аффипно-разлинпых кривых:

1) у = х3 (-1 < й < 1), 2) у = 1паг, 3)у = х\пх,

4) г = еа1р (г — полярный радиус, ср — полярный угол, а > 0).

В 1995 г. Дубровым, Комраковым и Рабиновичем был получен аналогичный полный список аффинно-однородных поверхностей вещественного пространства К3. Эти поверхности играют важную роль в диссертационных исследованиях однородности в 3-мерном комплексном пространстве.

В многомерном комплексном анализе основополагающей работой о голоморфно-однородных вещественных гиперповерхностях является статья Э. Картана 1932 г. Напомним, что трубкой (или трубчатым многообразием) над основанием Г С К™ называется в многомерном комплексном анализе множество вида

М = Г + Ж" С С".

ТЕОРЕМА 0.3 (Э. Картан). Любая голоморфно-однородная вещест- . венная гиперповерхность 2-мерного комплексного пространства голоморфно эквивалентна вблизи произвольной своей точки либо трубке над аффин-но-однородным вещественным основанием, либо одной из проективно-одно-родных поверхностей

1 + \г\2 + \т\2 = а\1 + г2 + и>2\ (а > 1),

1 + |г|2-М2 = а\1 + г2-ги2\ (а > 1), И2 + М2 - 1 = а\г2 + ад2 - 1| (0 < |а| < 1).

В следующем по размерности комплексном пространстве С3 имеются важные частные результаты Лободы, Фелса-Кауиа, Белошапки-Коссовского о голоморфной однородности гиперповерхностей. Например, Г. Фелсом и В. Каупом полностью описаны (Acta Mathematica, 2008) вырожденные по Леви голоморфно-однородные вещественные гиперповерхности 3-мерных комплексных пространств. Локально все они сводятся либо к прямым произведениям картановых проективпо-однородных поверхностей на комплексную плоскость С, либо к трубкам над аффинно-однородными поверхностями из R3.

На основе коэффициентного подхода в работах Лободы A.B. описаны все голоморфно-однородные (в локальном смысле) вещественные гиперповерхности пространства С3, имеющие "богатые" группы голоморфных преобразований. Например, к однородным поверхностям с 7-мерными (локальными) группами голоморфных преобразований относится семейство многообразий

17 = 1п(1 - \Zl\2) + Ып(1 - Ы2), ь € (0,1];

Самым сложным и неизученным в 3-мерном пространстве остается случай, в котором размерность однородной гиперповерхности (равная 5), совпадает с размерностью локальной группы (голоморфных) преобразований этой поверхности. Здесь имеется лишь большое количество примеров таких многообразий, но нет их общего описания.

В современном комплексном анализе имеются и результаты более общего содержания. Например, Азад, Хаклберри и Рихтхоффер получили в 1984 г. описание алгебр Ли, которые могут соответствовать голоморфно однородным компактным вещественным гиперповерхностям комплексных пространств произвольной размерности.

В рамках задачи о голоморфной однородности Лободой и Ходаревым в 2003 г. было начато изучение аффинно-однородных вещественных гиперповерхностей пространства С3. Диссертация развивает идеи Лободы A.B., связанные с коэффициентным подходом к задаче об однородности и с использованием канонических уравнений изучаемых поверхностей.

После подходящего аффинного преобразования любую вещественно-аналитическую строго псевдо-выпуклую (СПВ) гиперповерхность М простран-

ства С3 можно задать вблизи ее произвольной точки уравнением вида

v=\z1? + \z2\2 + [el{zl + 4) + e2{zl + 4)]+ J2 (1)

k+l+2m>3

Здесь Zi, Z2, w - комплексные координаты в С3, и = Rew, v = Imw;

Fkim - многочлен степени к по переменным г = (zi, z2), степени I - по z = (¿1,^2), тп- по переменной и. Сумма (к + 1 + 2т) называется далее весом соответствующего слагаемого.

При этом пара £2) вещественных неотрицательных чисел является аффинным инвариантом поверхности М. Несложно проверить, что для всех трубчатых поверхностей (трубок) над строго выпуклыми основаниями из К3 выполняется равенство

£1 = £2 = (2)

Аффинно-однородные СПВ-гиперповерхности, удовлетворяющие (в любой точке) условию (2), мы называем поверхностями трубчатого типа.

Основные исследования диссертации связаны с изучением однородности именно таких поверхностей. Отметим, что в [5| построено семейство

Im(zw) = \z\eBaT3Z, ВеЖ (3)

аффинно-однородных поверхностей аналогичного трубчатого типа в пространстве С2. Полное описание аффинно-однородных вещественных гиперповерхностей пространства С2, содержащее класс поверхностей трубчатого типа и, в частности, семейство (3), опубликовано Лободой A.B. в 2012 г.

Помимо использования канонических уравнений важную роль в нашей работе играет алгебра Ли д(М), отвечающая произвольной однородной поверхности М. Так, в одном из наиболее сложных случаев возникают 5-мерные алгебры с базисами вида

( -4it2 - 6 + тх -2it7 + ni ЛЗ1 1 ^

-R2i + m1 B3i 0

О 2mj 0 '

0 0 0 ;

Ei =

-Rii — тц 4 i О

Е3 =

f —iR\ + m3 -iR2 + n3 Л33 0 ^ -2its-n3 -4it6 + m3 ВЗ3 1 0 Ai 2m3 0

(4)

\

0 0

0 о y

e2 =

( 2î2 + m2 n2 A32 г У

Ri-n2 tg + m2 B32 0

0 0 2m2 0

^ 0 0 0 0 ,

E4

0 0 2m4 0

^ 0 0 0 Oy

Г t7 + m4 n4 Л34 0 \ R2 - Щ 216 + m4 S34 i

E5

' Al5 A25 ЛЗ5

Bl5 B25 B35

¡5 О ИЛ) 1

О О 2(m5 + ^00 О

Важной технической частью диссертации является определение наборов из 16 вещественных параметров

при которых формулы тина (4), действительно, задают базисы матричных алгебр Ли. Отметим, что значения этих параметров определяют остальные элементы базисных матриц (4).

Сформулируем главный результат диссертации.

ТЕОРЕМА 0.5. Для всякой аффинно-однородной СПВ-поверхности M трубчатого типа в С3 верно одно из 4-х следующих утверждений:

1) M аффинно эквивалентна трубке над одной из аффинно-однородных вещественных поверхностей пространства R3;

2) M аффинно эквивалентна одной из 7 следующих поверхностей:

ть 7тг2, т3, т4; пх,п2, п3, n4; tlt t2, t3, i4, i5, t6, t7, tg

(5)

(6)

V = x\ + \zi\, Re(ziw)Re{z{z2) = |zi|2, V -\zi\2 = v\z2\2 - Im{zlz{),

(7)

(8) (9)

ЛеМІгіІ2 + (Ле(гіг2))2 = |гі|3. (11)

(« - аф» = хі ' (12)

3) алгебра д(М) имеет базис вида (4) с наборов параметров (5) одного из 7 следующих видов, удовлетворяющим условию 714 = 0:

(6, 4і4, 0,0; 0,0, -4,0; 1,0,0, и, 0,0,0,2і4), и ф 0;

(0,0,0,2*6; 0,0,0,0; 1,0, «в, О, О, і6,2і6,0), і6 ф 0;

(0,0,0,0; 0,2«в, 0,0; 1,0,46, 0,0, ¿6,0,0), Ц ф 0;

(6,2*2,0,0; 0,0,0,0:1, «г, 0,0,0,0,0,0), і2фО- (13)

(3,2і2,0,0; О, О, -3,0; 1, <2,0, «2,0,0,0,212), Ц ф 0;

(3,0,0,0; О, О, -3,0; 1, <2,0, і2,0,0,0,0), і2 ф 0;

(6,0,0,0; 0,0,0,0; 1, і2,0,3/2*2,0,0,0, Ь2), *2 ф 0.

4) в канонических для поверхности координатах алгебра д(М) имеет вид (4) с некоторым ненулевым параметром щ.

Теорема 0.5 является объединением нескольких утверждений, полученных в отдельных главах диссертации. Обсудим кратко их содержание.

В первой главе диссертации подробно обсуждаются методы исследования, применяемые в дальнейших обсуждениях. Прежде всего вводится разложение многочлена веса 3 из уравнения (4) произвольной (не обязательно однородной) СПВ-гиперповерхности в сумму двух слагаемых

г, и) = ^3(0)(г, 2) + г)и. (14)

Здесь = (аі2і + а2г2) + (аігі + а 122) с некоторыми комплексными коэффициентами с*і,а2; і*з°' = 2]їе(Е3д + Р2\). В используемых здесь двойных индексах первая цифра означает степень слагаемого по переменной г, а

вторая - по х. Слагаемые Р2\ и F3Q можно записать в виде

^30 = /зо2? + }2\г\г2 + 1\2г\г2 + /озг|,

^21 = (52021 + 5112122 + 502^1)21 + (/12021 + ЛцЗ^ + Ло22|)г2

с некоторыми комплексными коэффициентами /к1,дк1,Ьк1-

Тогда многочлен г) определяется "матрицей" из 10 коэффициентов

(15)

(15)

Всего выделяются 4 случая, связанные с видом многочлена 3-го веса. ТЕОРЕМА 1.1. Аффинными преобразованиями, сохраняющими вид (1) при Єї — Є2 = 1/2, можно добиться выполнения одного из следующих условий для многочлена і<з из этого уравнения:

Уравнение вида (1), в котором многочлен ^з удовлетворяет одному из условий теоремы 1.1, называется далее аффинным каноническим уравнением поверхности трубчатого типа.

Пусть теперь вещественно-аналитическая гиперповерхность М является аффшшо-однородной вблизи начала координат пространства С3. Это означает, что в А//(3, С) имеется некоторая (локальная) подгруппа Ли С(М) преобразований, действующая транзитивно на М вблизи начала координат.

Инфинитезимальные преобразования, соответствующие элементам группы С{М), имеют вид (Ак, Вь, а, Ь, с, р, а, д - комплексные константы)

1) Fз(1) = І(21 - ¿і)щ

2) ^з1' = 0, ^зо = 0;

3) = 0, Fзo ~ (і, іі3,И4,И6), ¿з, ¿4, ¿6 Є М;

4) Г3(1) = 0, ^зо ~ (1 + й2, и3, И4, И6), ¿2, <з, и, и Є К.

Эти'

Совокупность таких полей, касательных к поверхности М, образует алгебру Ли, которую мы обозначим д(М). Значениями нолей из этой алгебры накрывается в силу однородности поверхности вся касательная плоскость к М в начале координат.

Так получается следующий удобный вариант определения локальной однородности вещественных гиперповерхностей пространства С3.

Определение 1.5. Вещественная гиперповерхность М, проходящая через точку <3 пространства С3, называется аффинно-однородной вблизи этой точки, если существует некоторая алгебра Ли аффинных векторных полей в С3, значения которых в точке <5 образуют 5-мерную вещественную гиперплоскость в пространстве С3.

Алгебры з(М), отвечающие аффинно-однородным поверхностям, допускают представление в виде вещественных подалгебр Ли матричной алгебры вЬ(А, С):

В1 а

\ 0

При этом скобке векторных полей соответствует скобка (коммутатор) матриц [2а, Z^2\ = — Z■!.Z\, а размерность алгебры сохраняется.

Для каждого аффинного векторного поля, касательного к некоторой вещественной поверхности М пространства С3, факт касания можно записать в виде основного тождества:

Ле{2(Ф)},м = 0, (18)

где Ф = —1ти1 + Р - определяющая функция поверхности.

Исследование основного тождества для аффинно-однородных поверхностей трубчатого типа в С3 приводит к следующему утверждению.

ТЕОРЕМА 1.2. Если М - аффинно-однородная поверхность трубчатого типа в С3, то

5 < сИт^д(М) < 7.

В первой главе отдельно изучен случай "богатых" алгебр д(М) (и групп

А2 Лз Р

в2 В3 Б

ь с Я

0 0 0

(17)

, отвечающих изучаемым аффинно-однородным поверхностям. С точностью до аффинной эквивалентности здесь имеется всего 3 аффинно-одно-родных поверхности трубчатого типа

М = {„ = Ы2 + |г2|2 + i(zf + 4 + z? + zi2)} = {v = 2x1 + 2z2}, (19)

M± = {x\ + x\ ± u2 = 1} С С3, xx = Rezux2 = Rez2,и = Rew. (20)

Все они оказываются трубками над параболоидом (формула (19)), сферой (знак "плюс" в формуле (20)) или гиперболоидом (знак "минус"в той же формуле (20)).

Для остальных изучаемых однородных поверхностей алгебры д(М) имеют размерность 5. В первой главе диссертации устанавливаются предварительные соотношения на элементы 5 базисных матриц алгебр Ли, отвечающих аффинно-однородным поверхностям трубчатого типа (Теорема 1.2) и на коэффициенты их канонических уравнений (Предложение 1.9).

Например, для аффинно-однородной поверхности М трубчатого типа в С3 с 5-мерной алгеброй д(М), отвечающей случаю 4 теоремы 1.1, набор коэффициентов многочлена F^ из ее канонического уравнения можно представить в виде следующей "матрицы"

^ l+it2 iti it4 it6 \

3 + it2 itr i(ti — ¿g) ,

V i(tз -17) its it6

где ¿2, -¿8 - вещественные параметры.

Основной задачей второй главы диссертации является построение списка 5-мерных матричных алгебр Ли, отвечающих аффинно-однородным поверхностям трубчатого типа. В работе приведено практически полное ее решение.

В соответствии с теоремой 1.1 из первой главы задача разбивается на 4 случая. В трех первых из них приведены полные описания таких алгебр. В первом из 4-х обсуждаемых случаев существует единственная (с точностью до аффинной эквивалентности) поверхность (6). Во втором случае все алгебры оказываются 5-мерными подалгебрами "богатых" алгебр, т. что соответствующие поверхности являются трубками над поверхностями 2-го порядка (19),

(20). Третьему случаю отвечают поверхности (7)-(12).

Наиболее сложным и интересным является четвертый случай, содержащий, например, все трубки над аффинно-однородными строго выпуклыми основаниями.

Здесь главная трудность связана с изучением алгебр с базисами вида (4) и определением наборов параметров (5), при которых формулы (4) задают базисы матричных алгебр Ли.

Во всех случаях необходимым и достаточным условием для этого является система из 90 комплексных уравнений, означающая замкнутость вещественной линейной оболочки матриц (4) относительно матричной скобки [Ek, Ei] = EkEi — EiEk- Вместо этого в главе 2 рассматривается ее подсистема из 21 вещественного уравнения относительно параметров (5). Таким образом удается получить близкие к окончательным выводы о структуре базисных матриц искомых алгебр Ли.

Важную роль при этом играет смешанный параметр

5 = n|-t-^+(i7-2i3)2+(i8-2i4)2+(m4+2i6)2+(m2+2i2)2+(i7+m4)2-l-(i8+m2)2

(21)

вычисляемый по набору матриц (4). Например, он обязан равняться нулю для аффинно-однородных трубок.

Отдельный интерес представляет следующее утверждение.

Предложение 2.13. Всякая аффинно-однородная СПВ-трубка в С3 -аффша ю-эквивалентна трубке с аффинно-однородным основанием.

В итоге при П4 = 0 в четвертом случае теоремы 1.1. остается лишь 7 новых типов решений (13) системы из 21 уравнения, приводящих к матричным алгебрам. В форме алгебр все такие решения выписаны в теореме 2.3 диссертации.

Случай ri4 ф 0 изучен не до конца, но в одном из 4-х естественных под-случаев здесь доказано отсутствие алгебр Ли требуемого вида.

В третьей главе диссертации коэффициентная техника применяется для изучения голоморфных свойств аффинно-однородных поверхностей. Ожидалось, что многие из полученных аффинно различных аффинно-однородных поверхностей трубчатого типа окажутся различными (и, возможно, новыми)

в голоморфном смысле.

Однако, в §3.1. показано, что 4 аффшшо-различных поверхности (6), (7), (10) и (11) из случая 3 теоремы 1.1 "склеиваются" голоморфными преобразованиями в две известные голоморфно различные однородные поверхности. Аналогично, все поверхности из семейства

v = x\ + \zl\eB^ {В 6R), (22)

отвечающие четвертому из наборов (13), голоморфно эквивалентны сфере пространства С3 и новых примеров голоморфной однородности не дают.

В связи с этим было рассмотрено с голоморфной точки зрения одно семейство аффинно-однородных поверхностей пространства С3, построенное в работах Лободы A.B. и его соавторов. Необходимая для таких рассмотрений техника голоморфных нормальных форм Мозера описывается в §3.2.

Основным результатом третьей главы диссертации является утверждение о том, что аффинно-однородные поверхности пространства С3 из 1-парамет-рического семейства

V = (У1Х2 + ty 1У2) - hty* + 3х1У\) - ■ (y'~3f)2 (23)

6 4 XI - tyi

голоморфно различны (Теорема 3.1).

Интересно отметить, что все представители семейства - алгебраические поверхности 4-го порядка. Они не принадлежат пи к трубкам, ни к поверхностям трубчатого типа.

Автор глубоко признателен профессору Лободе A.B. за научное руководство и постоянное внимание к работе.

Публикации автора по теме диссертации

[1] Нгуен, Т.Т.З. Об обобщениях логарифмических спиралей в пространстве С2 / Т.Т.З. Нгуен // "Вестник ВГУСер. "Физика, Математика". 2010, N 1. С. 139-143.

[2] Нгуен, Т.Т.З. Аффинно-однородные гиперповерхности трубчатого типа в С3 / Т.Т.З. Нгуен // Воронежская зимняя матем. школа (ВЗМШ-2011)

Воронеж, 2011. Тезисы докл. С.236 - 237.

[3] Нгуен, Т.Т.З. Аффинные инварианты 3-го порядка однородных вещественных гиперповерхностей в С3 / Т.Т.З. Нгуен // Воронежская зимняя матем. школа (ВЗМШ-2012) Воронеж, 2012. Тезисы докл. С. 156 - 158.

[4] Нгуен, Т.Т.З. Построение 5-мерных матричных алгебр ли с помощью пакета МАРЬЕ / Т.Т.З. Нгуен // "Вестник ВГУ Сер. "Физика. Математика". 2012, N 1. С. 162-170.

[5] Нгуен, Т.Т.З. О голоморфных свойствах одного семейства аффинно-однородных поверхностей / Т.Т.З. Нгуен // Воронежская весенняя матем. школа (ВВМШ-2012) Воронеж, 2012. Тезисы докл. С. 122 - 123.

[6] Нгуен, Т.Т.З. Использование символьных вычислений в задаче описания аффинно-однородных поверхностей /Т.Т.З. Нгуен // Сборник трудов международной конференции "Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики" , Воронеж-2012. С. 269 - 274.

[7] Нгуен, Т.Т.З. Об алгоритмах решения больших систем квадратичных уравнений / A.B. Лобода, Т.Т.З. Нгуен // Сборник трудов международной конференции "Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики" , Воронеж-2012. С. 236 - 240.

[8] Нгуен, Т.Т.З. Об аффинной однородности поверхностей трубчатого типа в С3 / A.B. Лобода, Т.Т.З. Нгуен //Труды МИАН, Т. 279, 2012.С. 93 -110.

Статьи [1], [4], [8] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.

Подписано в печать »#10.2012. Формат 60 х 84 1/16. Бумага писчая.

Усл.-печ.л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ N^isV..

Отпечатано: отдел оперативной полиграфии издательства учебной литературы и учебно-методических пособий Воронежского государственного архитектурно-строительного университета 394006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84

Введение.

Глава 1. Схема изучения аффинно-однородных гиперповерхностей трубчатого типа в С3.

1.1. Канонические уравнения поверхностей трубчатого типа в С

1.2. Различные подходы к понятию однородности.

1.3. Оценка размерности алгебры д(М) для однородных поверхностей трубчатого типа.

1.3.1. Компонента веса 2 основного тождества.

1.3.2. Компонента веса 3 основного тождества

1.4. Примеры аффипио-однородиых поверхностей трубчатого типа с "богатыми" алгебрами д(М)

1.5. 5-мерные алгебры, отвечающие однородным поверхностям трубчатого типа.

1.6. Коэффициентные запреты па размерность алгебры д(М)

1.7. Описание однородных поверхностей с "богатыми" алгебрами д(М)

Глава 2. Аффинно-однородные поверхности трубчатого типа с 5-мерными алгебрами д(М)

2.1. Вычислительная схема описания матричных алгебр.

2.2. Случай многочлена Fз с нетривиальной и-компонентой.

2.2.1. Упрощенно вспомогательной системы.

2.2.2. Случай ¿7 = 0.

2.2.3. Случай /7 / 0.

2.3. Случай пулевого многочлена Т7^

2.4. Случай чисто мнимых коэффициентов Fз

2.5. Общий случай многочлена

2.5.1. Аффиппо-одпородпыс трубки.

2.5.2. Решение вспомогательной системы при щ = 0.

2?5:37"Изучсние~вспомогателшюй~системш-при-п-4-7^-0.842.6. Интегрирование алгебр.

2.6.1. Непосредственное интегрирование системы уравнений.

2.6.2. Использование подобных алгебр при интегрировании.

2.6.3. Использование экспоненциального отображения.

Глава 3. Голоморфные свойства аффинно-однородных поверхностей

3.1. Сферические гиперповерхности пространства С

3.2. Нормальная форма Мозера для уравнения жесткой поверхности

3.3. Семейство голоморфно различных аффинно-однородных вещественных гиперповерхностей.

В одномерном комплексном анализе хорошо известна классическая теорема Римана. Согласно этой теореме любая одпосвязпая область с "большой" границей голоморфно эквивалентна единичному шару.

Известно, что в случае нескольких комплексных переменных аналогичное утверждение не верно.

Одной из причин этого является голоморфное различие границы произвольной области в пространстве СП(п > 1) и сферы. Более того: две произвольные вещественные гиперповерхности пространства Сп, как правило, не сводятся голоморфными преобразованиями друг к другу. Это утверждение справедливо даже в локальном варианте. Как следствие, два ростка одной и той же поверхности (даже связанные с близкими ее точками) оказываются, как правило, различными с голоморфной точки зрения.

В такой ситуации оправданным является интерес к "исключительным" гиперповерхностям, которые являются "одинаковыми" во всех своих точках, или (в более строгих терминах) однородными относительно голоморфных преобразований.

Напомним, что согласно определению из [13] многообразие М называется однородным относительно некоторой группы, (преобразований) С. если эта группа транзитивно действует на М, то есть любую точку из М можно перевести в любую другую точку обсуждаемого многообразия подходящим преобразованием из группы С. В разных ситуациях возможны уточнения приведенного понятия однородности. В качестве простейшего и интуитивно понятного примера многообразия, однородного в различных смыслах (относительно различных групп), можно назвать единичную окружность в комплексной плоскости. На ней транзитивно действует, например, группа поворотов.

Основными объектами в нашей работе являются аффинно-одпородные и голоморфно однородные вещественные гиперповерхности 3-мерного комплексного пространства С3. Точные определения этих понятий приведены в начале первой главы диссертации. Здесь же. на уровне "наивного" представления об основном предмете исследования, мы кратко опишем ситуацию с классификацией однородных многообразий, сложившуюся к настоящему времени.

История вопроса. Полное описание аффинно-одпородных плоских кривых было известно уже в начале прошлого века. Его связывают с трудами школы В. Бляшке |7|.

ТЕОРЕМА 0.1. Любая плоская аффинно-однородная кривая аффинно эквивалентна вблизи произвольной своей точки какой-либо одной из следующего списка афф-инно-различных кривых:

1) у = х" {-1 < в < 1), 2) у = \п х, 3)у = х\пх.

4) г — еа1р (г — полярный радиус, р — полярный угол, а > 0).

Вопрос об аналогичном описании аффинно-однородных поверхностей 3-мерного пространства обсуждался в разных постановках с середины до конца прошлого века. Полный ответ на него был получен в работе |15| в 1995 г.

ТЕОРЕМА 0.2 ([15]).Всякая .локально однородная поверхность в 3-мерпой вещественной аффинной геометрии является открытым, подмно-эюсством либо некоторой поверхности второго порядка, либо цилиндра над одной из однородны,х плоских кривых из теоремы 0.1, либо аффннно эквивалентна открытому подмножеству одной из следующих поверхностей (а, (5 - вещественные параметры):

Отметим, во-первых, что полный список :здесь является достаточно большим. Во-вторых, укажем на тесную связь этих результатов вещественной геометрии с задачей об однородности в комплексных пространствах. В многомерном комплексном анализе основополагающей работой о голоморфно-однородных вещественных гиперповерхностях является статья Э. Картаиа [23] 1932 г. Несмотря на большой объем этой статьи ее основной результат формулируется достаточно просто. Напомним, что трубкой (или трубчатым многообразием) над основанием Г С 1" называется в многомерном комплексном анализе множество вида.

ТЕОРЕМА 0.3 ([23]). Любая голом,орфно-однородная, вещественная гиперповерхность 2-мерного комплексного пространства голоморфно эквивалентна вблизи произвольной своей точки либо трубке над аффинно-однородным вещественным основанием (см. теорему 0.2), либо одной из проективно-однородных поверхностей

I) г = хау0,

3) г = 1п х+а 1п у. 5) г = 1п(.г2 + у2), 7) (г - ху + х3/3)2 = а(у - х2/2) 9) г = у2 ± ха,

II) г = у2 ± х\п.х, 13) г = ху + ха, 15) г — ху + .г Іікт, 17) хг = у2 ± ха, 19) хг = у2 ± х2 Іпх. а 3

2) г = (х2 + у2)аеРагд(х+іу)}

4)г = агд(х+іу)+/3 \п(х2+у2). 6) г = х(а 1пх 4- 1пу),

8) г = у2 ± ех. 10) г = у2 і 1п х. 12) г = ху + еж; Ц) г = ху + 1п х, 16) г = ху + х21п.г\ 18) хг = у2 ±х 1п х,

М = Г + гїїГ С С".

1 + |г|2 + И2 = а|1 + г2 + ги2\ (а > 1),

1 + \г\2 - И2 = а\1 + г2 - и>2\ (а > 1), г|2 + И2 - 1 = ф2 + ш2 - 1| (0 < |а| < 1).

В следующем по размерности комплексном пространстве С3 имеются важные частные результаты о голоморфной однородности гиперповерхностей ([32]. [48]. [5]). Напомним, что все гладкие гиперповерхности пространства С3 распадаются на три больших класса в соответствии с устройством их формы Леви (определение формы Леви см. в [51] и в главе 1 диссертации): класс строго псевдо-выпуклых (СПВ) поверхностей, форма Леви которых положительно определена, класс индефинитных невырожденных поверхностей (форма Леви - знаконеопределенная невырожденная) и класс поверхностей, вырожденных по Леви.

В работе [48] полностью описаны вырожденные по Леви голоморфно-однородные вещественные гиперповерхности 3-мерпых комплексных пространств. Локально все они сводятся либо к прямым произведениям картановых проективно-однородных поверхностей на комплексную плоскость С, либо к трубкам над аффиппо-одиородпыми поверхностями.

В работах Лободы A.B. описаны все голоморфно-однородные (в локальном смысле) вещественные гиперповерхности пространства С3, имеющие "богатые" группы голоморфных преобразований. Например, справедлив следующий результат.

ТЕОРЕМА 0.4 ([32]). Однородные, вещественные, гиперповерхности пространства С3, имеющие поло'жительно определенную форм,у Леей и 7-мерные группы, голом,орфных преобразований, задаются с 'точностью до локальной голом,орфтой эквивалентности следунгш/ам списком, попарно неэквивалентных многообразий (z\,z2,w - комплексные, кординаты в С3, v = Im w): l)v = ln(l + Ы2) + 61n(l + Ы2), ь e (0, 1];

2) v = ln(l + |2) - 61n(l - |г2|2). 6e (0,1) U (1, oo): 3) v = ln(l - |*i|2) + 61n(l - |г2|2), b e (0,1];

A) v=\z2\2 + eHl + s\z1\2), s = ±l:

Аналогичные описания получены Лободой A.B. и для индефинитных поверхностей с богатыми группами [32]. Самым сложным и неизученным остается случай, в котором размерность однородной гиперповерхности (равная 5). совпадает с размерностью локальной группы (голоморфных) преобразований этой поверхности. Здесь имеется лишь большое количество примеров таких "многообразий"[14"]7[б]7[1"7]~по~петихобтгрго"^пи(:апия.

В современном комплексном анализе имеются и результаты более общего содержания. Например, в [1] получено описание алгебр Ли, которые могут соответствовать голоморфно однородным компактным вещественным гиперповерхностям комплексных пространств произвольной размерности. Имеются также работы о проективной однородности (см. например, [47]).

В рамках задачи о голоморфной однородности в 2003 г. в [31] было начато изучение аффинно-однородных вещественных гиперповерхностей пространства С3. Диссертация идейно связана с этой работой.

Напомним, что согласно [31], после подходящего аффинного преобразования любую вещественно-аналитическую СПВ-гиперповерхность пространства С3 можно задать вблизи ее произвольной точки уравнением вида

V = Ы2 + Ы2 + Ыг\ + 7()+ Е2(4 + 4)}+ иУ (°л) к+1+2т>Ъ

Здесь 21,22,ги - комплексные координаты в С3, и — Неги, V = 1тги:

Рыт ~ многочлен степени к по переменным г = (21,22), степени I - по 2 = (21, 22), 777, - ПО переменной V.

При этом пара (еь^г) вещественных неотрицательных чисел является аффинным инвариантом поверхности М.

Для всех трубчатых поверхностей (трубок) над строго выпуклыми основаниями из К3 оба параметра с 1,^2 принимают значение 1/2. В диссертации рассматривается именно случай £2 = (0.2)

Аффинно-однородные СПВ-гиперповерхности (0.1). удовлетворяющие (в любой своей точке) условию (0.2). мы называем поверхностями трубчатого типа. Две первых главы диссертации посвящены изучению именно таких поверхностей. В третьей главе аффинно-однородные гиперповерхности пространства С3 изучаются с точки зрения их голоморфных свойств.

Актуальность исследования. Настоящая диссертационная работа посвящена изучению свойств аффинной и голоморфной однородности вещественных гиперповерхностей в 3-мерном комплексном пространстве С3. В связи с описанной выше ситуацией изучение голоморфной однородности вещественных гиперповерхностей пространства С3 является актуальной задачей современного комплексного анализа. Ее решение представляет также птерес для дифференциальной геометрии, теории групп и алгебр Ли. математической физики.

Сложность задачи описания голоморфно-однородных многообразий делает актуальным и вопрос изучения аффиппо-одпородпых поверхностей того же пространства. В диссертации предложена общая схема описания таких поверхностей. На примере изученного класса, аффиппо-однородных поверхностей трубчатого типа показана эффективность схемы. Это подтверждает значимость и актуальность диссертационных исследований для многомерного комплексного анализа.

Цель работы. Основная цель работы - описание аффинно-однородиых вещественных гиперповерхностей трубчатого типа пространства С3. Этот класс многообразий представляет собой удобную модель для проверки эффективности предлагаемой схемы изучения аффинной однородности, опирающейся на коэффициентный подход к задаче. В связи с этим еще одной целью диссертационного исследования является совершенствование технических приемов коэффициентного изучения голоморфно-однородных и аффинно-одпородпых вещественных подмногообразий комплексных пространств.

Методика исследования. Вопросы, связанные с однородностью многообразий, традиционно изучаются на основе использования техники групп и алгебр Ли. В диссертации эти методы также активно применяются. Но ключевой метод работы - коэффициентный подход к описанию изучаемых аналитических объектов. Основным инструментом работы является анализ алгебраических соотношений, накладываемых геометрическим условием однородности на тейлоровские коэффициенты поверхностей и отображений.

Полученная в первой части диссертации большая система квадратичных уравнений относительно коэффициентов и параметров исходной задачи решается с привлечением пакета символьной математики МАРЬЕ. Завершающая часть работы связана с анализом изменений тейлоровских разложений неявных функций при аналитических преобразованиях координат.

Научная новизна и практическая значимость. До настоящего времени имелось лишь большое количество примеров аффинно-однородных вещественных гиперповерхностей комплексного пространства С3. Рассмотренный в диссертации класс поверхностей трубчатого типа является удобной моделью для описания системного подхода к изучению задачи об однородности. В рамках этого подхода уже получен ряд новых классификационных результатов; он применим также и к другим классам многообразий. В ближайшее время ожидается построение на его основе полной классификации аффинно-однородных вещественных гиперповерхностей пространства С3.

Разработанные в диссертации методы решения систем квадратичных уравнений (в том числе, о использованием средств символьной математики) могут найти практическое применение в актуальных задачах фундаментальной и компьютерной алгебры, связанных с системами полиномиальных уравнений.

Результаты, выносимые на защиту.

1. Построение аффинных канонических уравнений для класса строго псевдо-выпуклых вещественно-аналитических гиперповерхностей трубчатого типа комплекспого простра11ства С3. Уравнения учитывают все возможные случаи тейлоровских коэффициентов 3-го порядка и определяются с точностью до дискретных групп преобразований.

2. Описание аффипно-однородных поверхностей трубчатого типа при помощи матричных алгебр Ли. Получение координатных представлений для большого семейства таких поверхностей и, в том числе, для всех поверхностей с "богатыми" группами преобразований.

3. Доказательство вещественной аффинной однородности основания всякой трубчатой гиперповерхности в С3 однородной относительно комплексных аффинных преобразований.

4 Построение 1-1 тра метр и чес ко го семейства голоморфно различных аф-фипно-одпородпых поверхностей, не сводимых аффинными преобразованиями к трубкам.

Апробация работы. Результаты диссертационных исследований докладывались па научных семинарах ВГАСУ и ВГУ, па ежегодных научных конференциях преподавателей и аспирантов ВГАСУ, па международных математических конференциях (Воронежская зимняя математическая школа - 2011, 2012: Воронежская весенняя математическая школа - 2012, Международная научная конференция "Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики Воронеж-2012) Часть результатов была представлена на Российско-германской конференции по многомерному комплексному анализу (Москва, февраль-март-2012). Все основные результаты диссертации опубликованы. в том числе имеется 3 публикации в изданиях из списка ВАК РФ

Структура диссертации. Дисертация содержит 109 страниц и состоит из введения, трех глав и списка литературы. Главы разделяются па параграфы и разделы с подчиненной нумерацией. Библиография содержит 53 наименования

1. Azad Н. Homogeneous CR manifolds /Н. Azad, A. Huckleberry, W.Richthofer // J. Reine und Angew. Math. - Bd. 358 (1985). - P. 125 - 154.

2. Белых Ф. А. Вещественные подалгебры малых размерностей матричной алгебры Ли М(2, С) / Ф. А. Белых, А. К). Борзаков, А. В. Лобода // Известия вузов. Математика. 2007. - N 5. - С. 13-24.

3. Болдырева, О.А. О коэффициентном подходе к аффинной однородности / О.А. Болдырева, А.В. Лобода // Вестник ВГУ. Серия "Физика. Математика". 2006. N 1. - С. 105 - 109.

4. Beloshapka V.K. Homogeneous hypersurfaces in C3, associated with a model CR,-cubic / V. K. Beloshapka, I. G. Kossovskiy // J. Geom. Anal. 2010 - V. 20,- No. 3,- P. 538 - 564.

5. Blaschke W. Affine Diffcrcntialgeometric / W. Blaschkc // Berlin. 1923.

6. Гузеев P.H. О нормальных уравнениях аффинпо-однородных выпуклых поверхностей пространства R3 / Р.Н. Гузеев Р.Н. А. В. Лобода /'/ Известия вузов. Математика,- 2001.- N 3,- С. 25 32.

7. Guggenheimer Н. Differential geometry / Н. Guggenheimer // McGraw-Hill. New York. 1963.

8. Chern S. S. Real hypersurfaces in complex manifolds/ S. S. Chern, J. K. Moser //Acta Math. 1974 - 133, N 3. - P. 219-271.

9. Дубровин Б. А. Современная геометрия / Б. А. Дубровин. С. П. Новиков, А. Т. Фоменко.- М.: Наука. 1979. 760 с.

10. Dadok J. Automorphisms of tube domains and spherical hypersurfaces/ J. Dadok, P. Yang // Amor. J. Math. 1985. - V. 107 - N 4, - P. 999-1013.

11. Doubrov B.M. Homogeneous surfaces in the 3-dimensional affine geometry/ B. M. Doubrov. B. P. Komrakov, M. Rabinovich// Geometry and Topology of Submanifolds, VIII, World Scientific. 1996. - P. 168 - 178.

12. Eastwood M. On affine normal forms and a classification of homogeneous surfaces in affine three-space/ M. Eastwood, V. V. Ezhov // Geom Dcdicata. 1999. - V. 77. - P. 11-69.

13. Evchenko V. K. One family of algebraic homogeneous surfaces/ V. K. Evchenko, A. V. Loboda // Preprint/ http://www.mathcmatik.uni-bielefcld.de/sfb701 /files / preprints/sfbl 1129 .pdf.

14. Zaitsev D. On different notions of homogeneity for CR-manifolds / D. Zaitsev // The Asian Journal of Math. V.ll(2007).'- N 2. - P. 331 - 340.

15. Исаев А. В. Классификация сферических трубчатых гиперповерхностей, имеющих в сигнатуре формы Леви один минус / А. В. Исаев, М. А. Мищенко // Изв. АН СССР, Сер. матем. 1988. - Т. 52. - № 6. - С. 1123-1153.

16. Isaev A.V. On the number of affine equivalence classes of spheiical tube hypersurfaces / A.V. Isaev // Math. Ann. 2011 (349): 59-74

17. Isaev A. V. Rigid spherical hypersurfaces/A. V. Isaev // Complex Variables.-1996 V 31 - P 141 - 163

18. Кокс Д. Идеалы, многообразия и алгоритмы / Д.Кокс. Дж. Литтл, Д.О'Ши,- М.: Мир, 2000. 688 с.

19. Cartan Е. Sur la geometric pseudoconforme des hypersurfaces de deux variables complexes / E. Cartan // Ann. Math. Рига Appl. (4) 11 (1932). -P. 17- 90 (Oeuvres II, 2. 1231 - 1304).

20. Лобода А. В. Аффипио-одпородпыс вещественные гиперповерхности в С2 / А. В. Лобода // Функц. анализ и его прил. Принято к печати, 2012.

21. Лобода А. В. Аффиппо-одпородные голоморфно-плоские гиперповерхности в С2 / А. В. Лобода //' Матер. 10-й Казанской летней школы-конф. Казань, 2011. С. 172-173.

22. Лобода А. В. Всякая голоморфно-однородная трубка в С2 имеет аффинпооднороднее основание/ А. В. Лобода /'/ Сиб. матом, жури., 42:6 (2001), 1335-1339.

23. Лобода А. В. О некоторых инвариантах трубчатых гиперповерхностей в с2,,/ А. В. Лобода // Матем. заметки. 1996. Т. 59. N 2. С. 211-223.

24. Лобода А. В. Об аффинной однородности поверхностей трубчатого типа С3/ А. В. Лобода, Т. Т. 3. Нгуен// Труды МИАН. Т. 279, 2012. С. 93-110.

25. Лобода А. В. Об определении однородной строго псевдо-выпуклой гиперповерхности по коэффициентам ее нормального уравнения / А. В. Лобода // Матем. заметки. 2003. - Т. 73. - № 3. - С. 419-423.

26. Лобода А. В. Об одном семействе аффиппо-одиородпых вещественных гиперповерхностей 3-мерного комлскспого просранства / А. В. Лобода, А. С. Ходарев // Известия ВУЗов. Сер. Математика. 2003. - № 10. - С. 38-50.

27. Лобода А. В. Однородные вещественные гиперповерхности в С3 с двумерными группами изотропии/ А. В. Лобода /,/ Труды МИАН. 2001. - Т. 235. - С. 114-142.

28. Лобода А. В. Однородные строго псевдо-выпуклые гиперповерхности в С3 с двумерными группами изотропии/ А. В. Лобода // Матем. сборник. -2001. Т. 192. - С. 3 - 24.

29. Нгуен Т. Т. 3. Аффиппо-одпородпыс гиперповерхности трубчатого типа в С3 /' Т. Т. 3. Нгуеп // Воронежская зимняя матем. школа. (ВЗМІІІ-2011) Воронеж, 2011. Тезисы докл. С.236 237.

30. Нгуен Т. Т. 3. Аффинные инварианты 3-го порядка однородных вещественных гиперповерхностей в С3 / Т. Т. 3. Нгуеп // Воронежская зимняя матем. школа (ВЗМШ-2012) Воронеж. 2012. Тезисы докл. С. 156 158.

31. Нгуен Т. Т. 3. Об обобщениях логарифмических спиралей в пространстве С2 / Т. Т. 3. Нгуеп // "Вестник ВГУ Сер. "Физика. Математика". 2010, N 1. С. 139-143.

32. Нгуен Т. Т. 3. О голоморфных свойствах одного семейства аффинпо-одиородиых поверхностей / Т. Т. 3. Нгуен // Воронежская весенняя матем. школа (ВВМШ-2012) Воронеж, 2012. Тезисы докл. С. 122 123.

33. Нгуеи Т. Т. 3. Построение 5-мерных матричных алгебр ли с помощью пакета MAPLE / Т. Т. 3.Нгуен // "Вестник ВГУ Сер. "Физика. Математика". 2012, N 1. С. 162-170.

34. Нгуен Т. Т. 3. Использование символьных вычислений в задаче описания аффипно-однородных поверхностей /Нгуен Т. Т. 3. // Международная научная конференция "Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики" , Воропеж-2012.

35. Нгуен Т. Т. 3. (36 алгоритмах решения больших систем квадратичных уравнений / Лобода А. В. Нгуеи Т. Т. 3. // Международная научная конференция "Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики" . Воропеж-2012.

36. Норден А. П. Пространства аффинной связности / А. П. Норден. М.: Наука, 1976.- 432 с.

37. Nomizu К. A new model of imimodular-affinely homogeneous surfaces ,/ K. Nomizu, T. Sasaki // Manuscr. Math. V. 73(1991).- N 1. - P. 39 - 44.

38. О леер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям / П. О л вер / / М. Мир, 1989.- 639 с.

39. Поитпрягии Л. С. "Непрерывные группы"/ Л. С. Поптрягин // М. "Наука 4-е изд. 1984. 520 с.

40. Постников М. М. "Группы и алгебры Ли"( Лекции по геометрии. 5-й семестр)/ М. М. Постников // М., "Наука 1982. 448 с.

41. Серр Ж.-П. "Алгебры и группы Ли". Ч. 1-3, "Платон 1997. 372 с.

42. Takagi R. On homogeneous real hypersurfaces in a complex projective space / R. Takagi // Osaka J. Math, V. 19 (1973), P. 495-506.

43. Fels G. Classification of Levi degenerate homogeneous CR-maniiolds m dimension 5 / G. Fels, W. Каир // Acta Math. V. 210(2008). P. 1-82.

44. Fels G. Local tube realizations of CR-manifolds and maximal abelian subalgebras /G. Fels and VV. Каир // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI Sci. (5), Vol X (2011), 99-128.

45. Чирка, E.M. Комплексные аналитические множества. M.,Наука. 1985,272 с.

46. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ / Б. В. Шабат // М.: Наука, 1976, 2-я часть.

47. Широков А. П. Аффинная дифференциальная геометрия / А. П. Широков. П. А. Широков /7 М. Физматгиз. 1959. - 319 с.

48. Stanton N. K. Infinitesimal CR automorphisms of rigid hypersurfaces / N. K. Stanton /7 Amer. J. Math. V. 117 (1995), N 1. P. 141 167.