Оценки изменения нормального параметра цепей в связи с задачами продолжения голоморфных отображений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение.

Глава I. Цепи на вещественно-аналитических гиперповерхностях в комплексной пространстве

§ I, Уравнения строго псевдовыпуклых вещественноаналитических гиперповерхностей

§ 2. Свойства функций перехода при замене локальных координат.

§ 3, Параметризация цепи, определяемая ее наклоном к комплексной касательной плоскости

Глава 2. Нормальные параметризации цепей и отображения строго псевдовыпуклых вещественно-аналитических поверхностей

§ I. Цепи и продолжение биголоморфных отображений.

§ 2. Оценка изменения нормального параметра.

§ 3, Сходимость вещественно-аналитических гиперповерхностей и их отображений

Изучение вещественных гиперповерхностей в комплексном пространстве размерности, большей единицы, было начато А.Пуанкаре в 1907 г. в работе С15 Л в связи с проблемой классификации областей в Он поставил задачу исследования как локальной, так и глобальной биголоморфной эквивалентности гиперповерхностей, а также связи между локальной и гаюбальной эквивалентностью. Важным результатом Пуанкаре явилось описание им всех локальных би-голоморфных отображений трехмерной единичной сфера из € ^ в себя, которые, как он показал, совпадают с дробно-линейными автоморфизмами единичного шара.

Позднее вещественные гиперповерхности в двумерном комплексном пространстве изучались в 1930-е гг. Сегре [16Л и Э.Картаном С12J . Отметим, в частности, что Э.Картан установил существование на всякой гладкой строго псевдовыпуклой гиперповерхности би-голоморфно инвариантного семейства кривых, названных им цепями. На сфере цепи представляют собой линии ее пересечений с комплексными прямыми. В случае большей размерности пространства гиперповерхности с невырожденной формой Леви исследовались в 1960-е гг. Н.Танакой (см. Г ТО иЕ18Л ).

В 1974 г. С.Черном и Ю.Мозером в работе С13Л было предложено два подхода к изучению гладких вещественных гиперповерхностей с невырожденной формой Леви. В рамках одного из них, являвшегося развитием идей Э.Картана, изучалась внутренняя геометрия таких поверхностей. При этом было показано, что на гиперповерхностях в пространстве размерности, большей двух, также можно оп-редлить инвариантное семейство кривых - цепей. Второй подход, развитый в Г13Л для вещественно-аналитических гиперповерхностей Ю.Мозером, заключался в поиске локальной голоморфной системы координат,в которой поверхность записывается уравнением, имеющим некоторую специальную форму. Оказалось, что цепи можно определять в терминах таких систем координат. При этом на всякой цепи выделяется некоторое семейство параметризаций. Это определение цепей для случая вещественно-аналитической строго псевдовыпуклой гиперповерхности приводится в § I главы I.

В 1974 г. Г.Александер (С8Л ), не зная, по-видимому, работы Пуанкаре, повторил его результат о локально биголоморфных отображениях сферы в себя. Совпадение локальных биголоморфных автоморфизмов сферы с дробно-линейными автоморфизмами ограниченного этой сферой шара вытекало и из работы С13Л . Это вызвало гипотезу о том, что подобным свойством аналитического продолжения обладают произвольные локально биголоморфные отображения одной вещественно-аналитической строго псевдовыпуклой гиперповерхности в другую. Однако в работе д.Бернса и С.Шнайдера С ЮЛ был приведен пример такой гиперповерхности, локально биголоморфно эквивалентной сфере, что некоторое отображение сферы в эту поверхность аналитически не продолжалось.

Существенным продвижением в задаче об аналитическом продолжении отображений строго псевдовыпуклых гиперповерхностей стала работа С.И.Пинчука И7.Л , в которой показано, что локально биголо-морфное отображение вещественно-аналитической строго псевдовыпуклой гиперповерхности М в (Г*] не эквивалентной локально сфере, в другую такую же гиперповерхность М аналитически продолжается вдоль путей на М , если М компактна. Из этого результата следует, например, что, если границы двух вещественно-аналитических строго псевдовыпуклых областей в С односвязны и локально биголоморфно эквивалентны, то биголоморфно эквивалентными являются и сами области.

Доказательство в [73 было основано на возможности приведения поверхности в некоторой голоморфной системе координат к упомянутой выше специальной форме. Оно использовало такте предложенное Ч.Фефферманом в CI43 определение цепей на гиперповерхности М в (L как проекций световых лучей некоторой индефинитной конформно-инвариантной метрики на (доказательство эквивалентности этого и других определений цепей см. в [93, С193) . При этом существенно использовалось, что поверхности задаются о'дной картой, то есть лежат в VL .

В работе А.Г.Витушкина, В.В.Ежова и диссертанта [223 было показано, что аналитическое продолжение отображений имеет место и в более общем случае строго псевдовыпуклых гиперповерхностей в произвольных комплексных многообразиях. Доказательство этого факта потребовало существенно иного подхода. Оказалось, в частности, полезным-перейти от мозеровской формы уравнений гиперповерхности к другой форме, введенной А.Г.Витушкиным в [S3,, что привело к необходимости рассматривать новое семейство параметров на цепях. Эти параметры называются нормальными (определение см. в § I главы I). Нормальные параметризации оказались тесно связаны с продолжением локально биголоморфных отображений поверхности вдоль цепей и их исследование было существенно для доказательства общего результата в [223 .

Особый интерес с этой точки зрения представляло изучение нормальных параметризаций на таких цепях, у которых образуемый ими с комплексной касательной плоскостью к гиперповерхности угол не отделен от нуля. Теорема I, доказанная в диссертации см.§ 2 главы 2) утверждает, что интервал изменения всякого нормального параметра вдоль такой цепи не ограничен. Это означает, что, если локально биголоморфное отображение -f гиперповерхности М в М переводит некоторый отрезок цепи у на М в цепь у' на М и угол ^ с комплексной касательной к М не отделен от нуля, то f продолжается аналитически вдоль всей цепи у.

Доказательство теоремы I основано на лемме 8 (также см.§ 2 главы 2), в которой дана оценка снизу интервала изменения нормального параметра на отрезке цепи в терминах длины этого отрезка и угла, образуемого цепью в начальной точке отрезка с комплексной касательной, вычисленных относительно какой-либо локальной системы координат. Существование такой оценки объясняется тем, что цепи на произвольной строго псевдовыпуклой гиперповерхности, проходящие под малым углом к комплексной касательной близки к аналогичным цепям на сфере, т.е. к окружностям малого радиуса. На сфере же один оборот вдоль такой окружности соответствует изменению нормального параметра на О^ТС.

На лемму 8 опирается и доказательство другого результата диссертации - теоремы 2 (см.§ 3 главы 2). Эта теорема утверждает, что, если дана последовательность локально биголоморфных отображений вещественно-аналитических строго псевдовыпуклых гиперповерхностей, локально не эквивалентных сфере, в подобные же поверхности, то из сходимости гиперповерхностей в образе и прообразе следует существование сходящейся подполедовательности отображений.

Теорема 2, с одной стороны, дает новую, быть может более естественную, конструкцию продолжения локально заданного отображения строго псевдовыпуклых гиперповерхностей. С другой стороны, частным случаем теоремы 2 оказывается результат о компактности группы локальных автоморфизмов строго псевдовыпуклой гиперповерхности, локально не эквивалентной сфере, полученный А.Г.Витуш-киным и В.К.Белошапкой вГ2Л (см.такие Ц4Л ), и вытекающее из компактности этой группы, как показано в совместной с А.В.Лобо-дой работе диссертанта CB3J , существование локальной голоморфной системы координат, в которой все локальные автоморфизмы этой поверхности являются линейными унитарными преобразованиями по переменным вдоль комплексной касательной плоскости в неподвижной точке. А это, в свою очередь, показывает, что всякий локальный автоморфизм такой гиперповерхности определяется ограничением своего дифференциала в неподвижной точке на комплекс ную касательную, что было с использованием других методов доказано В.К.Белошапкой С СXЛ ) и А.В.Лободой ( С6Л ). Заметим, однако,что результат Белощапки и Лободы остается верным и для гиперповерхностей с невырожденной индефинитной формой Леви, когда теорема 2 не может быть применена.

Еще Э.Картан отметил, что на строго псевдовыпуклой гиперповерхности, локально не эквивалентной сфере, в окрестности точки общего положения, кроме исходной С R -структуры, можно определить другие инвариантные структуры, как то: инвариантную метрику, инвариантное векторное поле и т.п. Эти инварианты находили применение при исследовании отображений гиперповерхностей (см. С21Л » СИЛ )• В ходе доказательства теоремы 2 мы используем наличие на подобной гиперповерхности нетривиальной вещественной I-формы, непрерывно продолжающейся во все точки поверхности, впервые введенной С.Вебстером ([20Л , Г21Л ). С помощью этой формы мы можем следить за растяжением отрезков цепей при голоморфных отображениях одной гиперповерхности в другую, что, в совокупности с результатом леммы 8 о нормальных параметризациях цепей, позволяет доказать нужное утверждение.

Основной результат диссертации с полным доказательством опубликован в работе С24Д . Упомянутые во введении совместные работы диссертанта с другими авторами С22Л ,£"233 , относящиеся к обсуждаемой теме, а диссертацию не включены.

Автор глубоко благодарен члену-корреспонденту АН СССР А.Г.Витушкину за научное руководство.

1. Белошапка В.К. О размерности группы автоморфизмов аналитической гиперповерхности.- Изв.АН СССР, сер.матем., 1979,р.43, № 2, с.243-266.

2. Белошапка В.К., Витушкин А.Г. Оценки радиуса сходимости степенных рядов, задающих отображение аналитических гиперповерхностей.- Изв.АН СССР, сер.матем., 1981, т.45, № 5, с.962-984.

3. Витушкин А.Г. Глобальная нормализация вещественно-аналитической гиперповерхности вдоль цепи.- Докл.АН СССР., 1983,т.269, № I, с.15-18.

4. Витушкин А.Г. Голоморфное продолжение отображений компактных , гиперповерхностей.- Изв.АН СССР, сер.матем., 1982, т.46,I, с.28-35.

5. Ежов В.В. Асимптотика поведения строго псевдовыпуклой поверхности вдоль ее цепи.- Изв.АН СССР, сер.матем., 1983, т.47, № 4, с.856-880.

6. Лобода А.В. О локальных автоморфизмах вещественно-аналитических гиперповерхностей,- Изв.АН СССР, сер.матем., I98X, т.45, 1(5 3, с.620-645,

7. Пинчук С,И. О голоморфных отобраиенпяъ вещественно-аналитических гиперповерхностей.- Матем.сб., 1978, 105(147), № 4, с.574-593.

8. Atexande^M. Ыо^оточрйсс mapping* fiom tfie and ро^склкгMatfiAm.>

9. Potnccwe H. fonctcon* от^Щие de cleuK хго^о^ел at £c< ч.еpresentationс on f ояте г Oe иигел, Рстл: Gauihien.

10. Se^ie 6. Intew о рчовРете die PoincaW de&Q lapp^ie^ntatlone pJieudoconfoimer Renol. bee. ZmceioWtftf, p. 6T6-683.

11. ГопойоМ. On tfte рлеио/о-сои£ошю£-cjeomet^ of ftvjjpe^u^fciceA of fcfteлросе of n compfex тиъШл.-ТМаМ. Soc.Гапа&о Л/. On ^rim^-W ZeeXv\d ^ometTice A^ucfu^A.Tr IMotft. Soc. Japan, 13p.2tf"-25*9.

12. Wefrite^S.M. Kafl&i mefote* ъ\\ос'шШto Q реч-ъиъ-Роеег foment MqM.

13. We^teTL S.M. Рлеио/о-fteimlticm лЫисtu^e^ on Q T.ea£; ^речла^аее.-J

14. We&\te4 S.M. On tAe hom^fo^mo^ofi18.i^ioup of q ч.еоё &цреч.лич{С(Се-Тг1аи^. Ыеч. Moifi. Soc. 97v. Щ ЛЛ> ^ p.

15. Витушкин А»Г., Ежов В.В., Кружилин Н.Г» Продолжение локальных отображений псевдовыпуклых поверхностей,- Докл.АН СССР, 1983, т»270, № 2, с»271-274.

16. Кружилин Н.Гг, Лобода А.В. Линеаризация локальных автоморфизмов псевдовыпуклых поверхностей.- Докл.АН СССР, 1983, т.271, В 2, с.280-282.

17. Кружилин Н.Г. Оценка изменения нормального параметра цепи на псевдовыцуклой поверхности,- Изв.АН СССР, сер.матем., 1983, т*47, № 5, c.I09I-III3.