Устойчивость классов многомерных голоморфных отображений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВДРЩЕ.

Глава I. КОНЦЕПЦИЯ Ь -УСТОЙЧИВОСТИ КЛАССОВ ОТОБРАЖЕНИЙ

§ 1.1. Основные классы отображений, функционалы глобальной близости

§ 1.2. функционалы локальной близости и основные задачи теории ^ -устойчивости классов отображений

§ 1,3. Глобальная близость отображений к заданному классу и теорема Лиувилля

Глава П. УСТОЙЧИВОСТЬ КЛАССОВ ГОЛШСШШХ ОТОБРАЖЕНИЙ

§ 2Л. Формулировка основных результатов и схема их доказательства.

§ 2„2. Локальная близость к голоморфным отображениям и равномерно эллиптическая система дифференциальных уравнений в частных производных

§ 2„3. Интегральное представление Мартинелли-Бох-нера и сингулярные интегральные операторы П и Г

§ 2„4. О суммируемости частных цроизводных решений системы ~ = О

§ 2.5. Равностепенная нецрерывность отображений класса оС С £)

§ 2,6. Глобальная близость отображений класса сС^О к голоморфным отображениям

Глава Ш. СВОЙСТВА ОТОБРАЖЕНИЙ, БЛИЗКИХ К ГОЛОМОРФНШ

§ 3*1. Устойчивость классов многомерных голоморфных отображений и близость цроизводных

§ 3»2* Характеристика Пономарева плоских квазиконформных отображений и многомерные отображения, близкие к голоморфным.

§ 3.3. Свойство Лиувилля отображений, близких к голоморфным отображениям.

§ 3.4. Продолжение отображений, близких к голоморфным, в пространства высших размерностей и проблема минимальности ацриорных предположений о суммируемости производных .•

§ 3«5. Нерасщепляемость системы — О • «••

§ 3*6. Композиции отображений» близких к голоморф-нш

Глава 1У. -УСТОЙЧИВОСТЬ КЛАССОВ ОТОБРАЖЕНИЙ И СВОЙСТВА (4+ £) -КВАЗИКОНФОРМНЫХ ГОМЕОМОРФИЗМОВ ОБЛАСТЕЙ В ВЕЩЕСТВЕННЫХ МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ПРИ МАЛЫХ ЗНАЧЕНИЯХ ПАРАМЕТРА £

§ 4Д. О граничных значениях отображений полупространства, близких к конформны*

§ 4„2. Аппроксимация отображений, близких к конформным, гладкими квазиконформндаи отображениями

Глава У. ПЕРСПЕКТИВЫ ДАЛЬНЕЙШЕГО РАЗВИТИЯ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ КЛАССОВ МНОГОМЕРНЫХ ГОЛОМОРФНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

§ 5Л. Системы уравнений с частными производными и ^ -устойчивость классов отображений. Одно направление исследований.

§ 5.2» Еще раз об ацриорных условиях, налагаемых на отображения, близкие к классам многомерных голоморфных отображений.

§ 5.3. Некоторые другие нерешенные цроблшы ••••••

ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ.

В теории квазиконформных отображений областей на плоскости и в вещественных многомерных пространствах вагшое место занимает теория устойчивости конформных отображений, развитая (в основном) в работах [1-22] М.А. Лаврентьева,¡¡.¡¡.Белинского и Ю.Г. Решетняка. Суть исследований, определяющих построение последней теории, состоит в следующем. Пусть ^ -квазиконформное отображение, локально близкое в каком-либо смысле к конформным отображениям. Нельзя ли утверждать, что близко к ним и глобально (в этом же смысле или в каком-нибудь ином)?

Для наших целей особое значение имеет теория устойчивости плоских конформных отображений 2, 4, ь\, центральным утверждением которой является следующая

ТЕОРЕМА А. Существует универсальная функция такая, что при сО и для каждого топологического отображения В В замыкания с£В круга В - В на себя, удовлетворяющего условию: сужение у/8 отображения У на 1фуг В является решением некоторой системы Бельтрами г - ^/г = ° ' «М.1> где ЧЪИео - £ < 1, и условиям нормиров ^ б л ки о и при 2 6СС& выполняется неравенство

Замечание 0.1.1. Для функции можно цредьявить явное значение (см, [4, д]).

Используя свойства решений системы Бельтрами, из теоремы А можно получить, в свою очередь, следующее утверждение

ТЕОРЕМА 0.1.1. Существует неотрицательная функция двух вещественных переменных, оцределенная в квадрате обладающая свойствами:

1) цри 3>6(0У1) 0^(0^0 у когда О .

2) если ^: Л - непрерывное отображение области Д , удовлетворяющее некоторой системе Бельтрами (ОЛ Л) с II<р1\ео = ) 5 £ < 1 то для каждого числа и каждого круга В (в^Ъ^^Д существует голоморфное отображение ^ : такое, что цри

I ^ ^ ^ ф | ^ (е,з>) ¿¿ал*. ^ О).

Эту теорему естественным образом дополняет

ТЕОРЕМА 0.1.2. Существует неотрицательная функция двух вещественных переменных, оцределенная на множестве {С^У)£)1?г\о<У><±,04е<1Ср)<± } и обладающая следующими свойствами:

1) функция В положительна и < 1 цри

1) и £ 6 Г С?)) ;

2) для каждого 6 1) ^^Р) - О цри »

3) если отображение <£ области при каких-нибудь и удовлетворяет условию: для каждого круга В бг,^) из некоторой окрестности каждой точки ^¿-Д существует голоморфное отображение Втакое, что при то является решением некоторого уравнения Бельтрами (0.1.1) с <

Замечание 0.1.2. Ради цростоты формулщювок мы в теоремах 0.1.1 и 0.1.2 рассматриваем гладкие отображения ^ . Ниже (§ 1.2) мы откажемся от этого ограничения.

Замечание 0.1.3. Так как в теореме 0.1*2 дается характеристика асимптотического поведения функции цри О , конфетное значение функции В , участвующей в построении области определения функции , для нас несущественно» Ее выбор диктуется лишь необходимостью обеспечить наличие у функции вспомогательного свойства I).

Теоремы 0.1.1 и 0.1.2 можно рассматривать в определенном отношении как взаимно обратные. Они выражают следующие два факта; I) плоские голоморфные отображения устойчивы,т.е. близость локальная к этим отображениям влечет глобальную близость к ним; 2) класс отображений, близких к голоморфным, совпадает с классом решений тех систем Бельтрами (0.1.1), у которых параметр II ^ //^ достаточно мал.

Подобные факты лежат и в основе теории устойчивости конформных отображений областей в вещественных многомерных цро-странствах. Роль отображений, близких к конформным, играют в этом случае отображения, коэффициенты квазиконформности которых близки к 1. Подробное обсуждение этого мы цроведем во втором параграфе первой главы.

Главной целью настоящей диссертации является построение основ теории устойчивости голоморфных отображений областей в многомерных комплексных пространствах, подобной обсуждавшимся выше в случае плоских голоморфных отображений и в случае конформных отображений в многомерных вещественных пространствах. Цри этом оказывается, что как новая теория, так и црежние могут быть рассмотрены на основе единой концепции.

Диссертация состоит из введения и пяти глав. Каждая глава делится на параграфы. Все утверждения нумеруются тремя числами, первое из которых - номер главы, второе - номер параграфа и третье - номер утверждения. Таким же способом нумеруются формулы, определения и замечания, причем ради единообразия эту же нумерацию мы используем и во введении, полагая первое число номера равным нулю, а второе - / • Для удобства читателя в конце диссертации помещен список основных из используемых. в ней обозначений и изложены некоторые вспомогательные сведения*

1. Лаврентьев M.A./SW иит d& ^yoiL^YitodijMA OQrdiYVJUZA- Мат. сб., 1935, т. 42, с. 407-423.

2. Лаврентьев М.А. Квазиконформные отображения. В кн.: Труды 3-го Всесоюзного математического съезда. Т.З. Обзорные доклады. М., Изд-во АН СССР, 1958, с. 198-208.

3. Лаврентьев М.А. Об устойчивости в теореме Лиувилля. -Докл. АН СССР, 1954, т. 95, № 5, с. 925-926.

4. Белинский П.П. Об искажении цри квазиконформных отображениях. Докл. АН СССР, 1953, т. 91, № 5, с. 997-998.

5. Белинский П.П. Общие свойства квазиконформных отображений. Новосибирск: Наука, 1974. - 98 с.

6. Белинский П.П. О нецрерывности цространственных квазиконформных отображений и о теореме Лиувилля. Докл. АН СССР, 1962, т. 147, № 5, с. 1003-1004.

7. Белинский П.П. Компактность теоремы Лиувилля о конформном , отображении цространства размерности . В кн.: Международный конгресс математиков. Тезисы 1фатких научных сообщений. Секция 4. Классический анализ. М., 1966,с. 35„

8. Белинский П.П. Устойчивость в теореме Лиувилля о цространст венных квазиконформных отображениях. В кн.: Некоторые цроблемы математики и механики. Ленинград, Наука, 1970,с. 88-102.

9. Решетняк Ю.Г. Об устойчивости конформных отображений в многомерных цространствах. Сиб. мат. журн., 1967, т. 8, » I, с. 91-114.

10. Решетняк Ю.Г. Теоремы устойчивости для отображений с ограниченным искажением. В кн.: Всесоюзный симпозиум по геометрии в целом, 2-й. Тез. докл. Петрозаводск, 1967, с. 54-56.

11. Решетняк Ю.Г, Теоремы устойчивости для отображений с ограниченным искажением, Сиб. мат. журн., 1968, т. 9, № 3, с, 667-684.

12. Решетняк Ю.Г. Оценки устойчивости в теореме Лиувилля о конформных отображениях в пространстве. В кн.: Всесоюзный симпозиум по геометрии в целом, 3-й. Тез. докл. Петрозаводск, 1969, с. 57.

13. Решетняк Ю.Г. Об оценке устойчивости в теореме Лиувилляо конформных отображениях многомерных цространств, Сиб, мат, журн,, 1970, т. II, № 5, с, II2I-II39.

14. Решетняк Ю,Г. Устойчивость в теореме Лиувилля о конформных отображениях цространства для областей с негладкой границей, Сиб. мат. журн., 1976, т. 17, № 2, с. 361369,

15. Копылов А.П. Об устранимости шара для цространственных отображений, близких к конформным. Докл. АН СССР, 1977, т. 234, № 3, с. 525-527.

16. Копылов А.П. Об аппроксимации цространственных квазикон-- формных отображений, близких к конформным, гладкими квазиконформными отображениями. Сиб. мат. журн., 1972,т. 13, № I, с. 94-106.

17. Копылов А.П. Интегральные усреднения и квазиконформные отображения. Докл. АН СССР, 1976, т. 231, № 2, с.289-291.

18. Безрукова О.Л. Устойчивость класса решений системы Мои-сила-Теодореско. Новосибирск, 1983. - 50 с. (Прецринт/ Ин-т математики СО АН СССР: 46).

19. Хаусдорф Ф» Теория множеств. М.-Л.: ОНТИ НКТП, 1937. -304 с.

20. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: физмат г из, 1959. - 628 с.

21. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. -М.: Мрф, 1966. 351 с.

22. Решетняк Ю.Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением. Сиб. мат. журн., 1967, т. 8, № 3,с. 629-658.

23. Решетняк Ю.Г. Пространственные отображения с ограничен-ныл искажением. Новосибирск: Наука, 1982. - 288 с.

24. Решетняк Ю.Г. Теорема Лиувилля о конформных отображениях при минимальных предположениях регулярности. Сиб. мат. журн., 1967, т. 8, № 4, с. 835-840.

25. Гольдщтейн В.М. 0 поведении отображений с ограниченнымискажением цри коэффициенте искажения, близком к единице.- Сиб. мат. журн,, 197I, т. 12, № 6, с. 1250-1258.

26. Шварц Л, Комплексные аналитические многообразия. Эллиптические уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. 212 с.

27. Абросимов А.В. Система Бельтрами с несколькими независимыми комплексными переменными. Докл. АН СССР, 1977,т. 236, № 6, с. 1289-1292.

28. Айзенберг JI.A., Южаков А.П. Интегральные цредставления и вычеты в многомершм комплексном анализе. Новосибирск: Наука, 1979. - 368 с.

29. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М.: Физматгиз, 1962, - 254 с.

30. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир, 1973. - 344 с.

31. Соболев С Д. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1950. - 256 с.

32. Кытманов A.M., Айзенберг Л,А, 0 голоморфности нецрерыв-ных функций, цредставимых интегралом Мартинелли-Бохнера.- Изв. АН Арм.ССР. Сер. мат,, 1978, т. 13, № 2, с.158-169.

33. Уитни X. Геометрическая теория интегрирования. М.; Изд-во иностр. лит., I960. 536 с.

34. Решетняк Ю.Г., Шабат Б»В. О квазиконформных отображениях в пространстве. В кн.: Труды 1У Всесоюзного математического съезда. Т.П. Секционные доклады. Л,: Изд-во "Наука", 1964, с. 672-680.

35. Белинский П.П. О нормальности семейств квазиконформных отображений. Докл. АН СССР, 1959, т. 128, № 4, с. 651652.

36. Шварц Л. Анализ. Т.Н. М.: Мир, 1972. - 528 с.

37. Ладыженская О.А», Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М,i Наука, 1973. -576 с.65. Le&io 0. ЯшллЛсъ оуъ НеoUninrcdcn&i ф CjMAsUo&yd^YwoJL YYLOJfbfUsKfyb-Агиг. AccloL. , P&wi, А, I, 1965, №371,р. 1-8.

38. Ca£oUn#vt А.P.)iy^monoL A.OnUtt euUyte,ia.ce, of catt&ln -bCyifruJasi НаЖ.1952, V. 88, p. 85-139.

39. Gehniruj, KWl TU hp-LideyiaJk&ty JflQJvUaX oUA<SirQjtuis£A CCmAf4<u>lbf-Ac&k. MoMl. ? 1973, гг. 130, p. 265-277.