Некоторые вопросы теории устойчивости классов липшицевых отображений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Коробков, Михаил Вячеславович АВТОР
кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
Новосибирск МЕСТО ЗАЩИТЫ
2002 ГОД ЗАЩИТЫ
   
01.01.01 КОД ВАК РФ
Диссертация по математике на тему «Некоторые вопросы теории устойчивости классов липшицевых отображений»
 
 
Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Коробков, Михаил Вячеславович

Введение

Глава I. Устойчивость классов липшицевых отображений, порожденных выпуклыми компактными множествами в Z/(Kn,M.m)

§1.1 Обозначения. Постановка задачи устойчивости

§1.2. Некоторые теоремы устойчивости для случая произвольных размерностей пит.

§1.3. Слабая связность множеств

§1.4. Устойчивость классов вектор-функций одной переменной (п = 1)

§1.5.Устойчивость классов вещественных функций нескольких переменных (m = 1)

§1.6.Устойчивость классов решений систем линейных дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка

Глава II. Устойчивость классов липшицевых отображений, порожденных квазивыпуклыми множествами. Теоремы Дарбу и Лагранжа. Устойчивость в теореме Дарбу

§2.1.Предварительные сведения. Основная теорема устойчивости

§2.2. Устойчивость и qc-связность

§2.3.Теоремы Дарбу и Лагранжа для вектор-функций

§2.4. Устойчивость классов аффинных отображений. Устойчивость в теореме Дарбу

Глава III. Классификация устойчивых классов липшицевых функций одной переменной

§3.1.Формулировка основных результатов

§3.2.Некоторые примеры

§3.3. Доказательство теорем

§3.

 
Введение диссертация по математике, на тему "Некоторые вопросы теории устойчивости классов липшицевых отображений"

Теория устойчивости классов отображений играет значительную роль в современном анализе. Одним из ведущих направлений в ней являются исследования по устойчивости плоских и пространственных конформных отображений. После ранних работ М. А. Лаврентьева [37-40], основные результаты здесь были получены П. П. Белинским [2-5] и Ю. Г. Решетняком [41-51]. Среди остальных публикаций по данной тематике отметим статьи В. И. Семенова об оценках отклонения квазиконформного отображения от конформного [52-56]. Из недавних работ по устойчивости конформных отображений упомянем результаты для четных размерностей при минимальных предположениях о степени суммируемости производных (на базе подхода Т. Иванца-Г. Мартина, см., например, [63, 73]), а также построение соответствующей теории для случая неевклидовых пространств — групп Гейзенберга (см., например, [12]).

Альтернативное направление исследований было предложено Ф. Джоном в его работах по устойчивости класса изометрических преобразований [64-66]. Более сильные теоремы устойчивости для изометрий были получены в [50], где доказана устойчивость в Wр-норме в целых областях весьма общего вида.

Говоря в общем, на этих направлениях устанавливается близость (в С- или W1-нормах) (1+е)-квазиконформных (квазиизометрических) отображений к конформным (соответственно изометрическим).

Близкие по духу исследования были проведены JI. Г. Гуровым для класса псевдоизометрий [8].

Классы конформных и изометрических отображений совпадают с классами решений дифференциальных соотношений д' (х) 6 М-)-б'О(п) и д'(х) £ SO(n) соответственно (g'(x) —дифференциал отображения д). Множества Ж)15,(9(п) и SO{n) являются наиболее характерными 4 примерами так называемых квазивыпуклых множеств, так что упомянутые исследования по устойчивости примыкают к теории квазивыпуклости, берущей начало от работ Ч. Морри [70, 71] и интенсивно развивавшейся в последнее время усилиями Д. Болла, С. Мюллера, В. Шверака и др. (см., например, [58, 61, 72]). В последней теории имеются некоторые аналоги теорем устойчивости для классов решений дифференциальных соотношений д'{х) € G почти всюду (п. в.) с квазивыпуклым множеством G.

Новое развитие теория устойчивости получила благодаря созданию А. П. Копыловым общих подходов к изучению проблем устойчивости классов отображений, названных им концепциями и и-устойчивости [18-20]. Первая из них восходит к теории устойчивости конформных отображений, в то время как вторая имеет дело с классами липшицевых отображений и регулярным образом согласуется с упомянутой теорией Ф. Джона. А именно, ^-устойчивость класса изометрических отображений и устойчивость этого класса по Ф. Джону суть одно и то же (см. [19]). Понятия и (^-устойчивости означают, по существу, что из локальной близости отображения / к отображениям изучаемого класса (3 следует его близость к ним в С-норме. В частном случае, когда отображение / дифференцируемо, локальная w-близость / к отображениям класса © эквивалентна малости расстояния (абсолютного) от дифференциала f'(x) до множества линейных отображений класса б (см. точную формулировку этого утверждения в лемме 1.1.1). Отметим, что в теории ^-устойчивости локальная близость дифференцируемого отображения / к отображениям класса 0 равносильна малости относительного расстояния от f'{x) до множества линейных отображений из (5 (см. [20]).

Вопросам ^-устойчивости классов отображений посвящен ряд работ А. П. Копылова и Н. С. Даирбекова [9-11, 20-24]. В этих работах, в частности, были доказаны теоремы о устойчивости классов многомерных голоморфных отображений, пучков решений эллиптических систем уравнений с частными производными, классов сепаратно-конформных отображений. В последнее время теория си-устойчивости разрабатывалась А. А. Егоровым [13-14], который получил интересные результаты, касающиеся классов аффинных отображений, а также пучков решений систем линейных дифференциальных уравнений с частными производными.

Главная часть диссертации посвящена дальнейшему развитию теории устойчивости классов липшицевых отображений в рамках концепции ^-устойчивости. При этом большинство результатов касается классов отображений <25 следующего вида. Пусть имеется разбиение G = (J Gt непустого компактного подмножества G пространства teT

1/(Жп,Жт) линейных отображений из Е71 в Rm. Тогда класс (5 состоит из всевозможных локально липшицевых отображений д : Д —> Мт областей Д С Rn, для каждого из которых существует элемент разбиения Gt такой, что д есть решение дифференциального соотношения д'(х) 6 Gt п. в. в Л (см. определение 3.1.1).

В процессе исследований автора выявилось внутреннее родство между задачами устойчивости и обобщением таких классических теорем дифференциального исчисления, как теоремы Дарбу и Лагран-жа.

Согласно утверждению Дарбу, образ производной дифференцируемого отображения / : (а, Ъ) —У R является связным множеством. Проблема распространения этой теоремы на случай числовых функций нескольких переменных исследовалась с разных подходов в работах С.Д. Нойгебауэра [74], К.Е. Вейля [76], Я. Малы [69] (доказавшего связность образа производной дифференцируемого отображения / : А С Rn —> R) и др. (см., например, [59]). Однако, как хорошо известно, в отличие от ситуации с числовыми функциями, образ производной векторнозначных отображений может быть несвязным. 6

Теорема Дарбу тесно соприкасается с формулой Лагранжа о среднем для функций / : [a, b} —М. Существуют различные пути обобщения этой теоремы на случай вектор-функций (см., например, [57, 62]), в основном, на уровне соответствующих оценок. Наиболее элегантный вариант принадлежит МакЛеоду [68] (см. также [75]), который доказал, что, при дополнительном предположении о непрерывности справа или слева производной f'(x) дифференцируемой функции / : [а, 6] Мт, отношение (f(b) — /(а))/(6 — а) есть выпуклая комбинация т значений производной /'(&)•

Одной из целей диссертации является получение новых обобщений теорем Дарбу и Лагранжа для вектор-функций в связи с проблемами теории устойчивости классов отображений.

Автором получены следующие основные результаты: а) найдены новые семейства устойчивых классов решений дифференциальных соотношений, порожденных разбиением компакта G на выпуклые и квазивыпуклые компакты; б) доказана устойчивость некоторых классов аффинных отображений, причем установлены явные оценки устойчивости во всей области с учетом близости производных; в) получена исчерпывающая классификация устойчивых классов липшицевых отображений интервалов вещественной прямой Ж со значениями в Km, т > 1, причем установлены оценки устойчивости с учетом близости производных; г) получены обобщения теорем Дарбу и Лагранжа на случай вектор-функций и доказана устойчивость в теореме Дарбу.

Диссертация состоит из трех глав, разбитых на параграфы. Мы используем подчиненную нумерацию утверждений и формул. Опишем кратко содержание диссертации по главам.

Первая глава посвящена изучению ^-устойчивости классов отображений вида 3(G), порожденных компактами G С L(En,Mm) в еле7 дующем смысле: 3(G) = {g G Lip | 3 компонента связности К множества G такая, что д'{х) Е К п.в. в domд} (определение 1.1.3). Здесь Lip — множество всех локально липшицевых отображений д : Д —>• Мт областей ДсГ.

В §1.1 напоминаются основные определения концепции а;-устой-чивости классов липшицевых отображений, в том числе определения функционалов локальной и глобальной близости отображения / к отображениям изучаемого класса (3, и ставится задача устойчивости.

Основной теоремой первой главы является

Теорема 1.2.9. Пусть непустой компакт G С L(Rn, Mm) допускает представление в виде где Gf — выпуклые компактные множества. Тогда класс отображений 3 (G) является си-устойчивым.

Следует отметить, что множество А индексов а в (0.1), вообще говоря, может быть бесконечным; по поводу точного определения ш-устойчивости мы отсылаем к §1.1. Совокупность требований на G в теореме 1.2.9 называется «условием (Т)» (см. определение 1.2.7).

В §1.3 мы показываем, что условию (Т) можно придать естественное геометрическое истолкование, используя следующее понятие.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3.1. Пусть X — метризуемое локально выпуклое пространство. Множество U С X называется слабо связным, если его нельзя представить в виде объединения U = (J Ut семейства множеств Ut таких, что Ut ф U, Ut П cl (U \ Ut) — 0 для каждого t ЕТ и Utl П cl со Ut2 — 0, если t\, ^ € Т и t\ ф ±2аеА г— 1

G?CiGnG? = 0, аеА, гф], Ь j € {1,., *Q}> (0.2) t£T 8

Здесь cl Е и со Е — замыкание и выпуклая оболочка множества Е соответственно. Всякое связное множество слабо связно, обратное в общем случае неверно.

Теорема 1.3.3. Непустой компакт G С L(Rn, Мт) удовлетворяет условию (Т) в том и только том случае, когда все компоненты слабой связности множества- G выпуклы.

В §1.4-1.5 проблема устойчивости классов 3(C) полностью решается для случая, когда одна из размерностей п или m равна 1. А именно, при п — 1 критерием ^-устойчивости классов 3(C) является условие (Т) (теоремы 1.4.1, 1.4.4), а при m = 1 — выпуклость компонент обычной связности множества С (теорема 1.5.1).

В §1.6 с помощью доказанных результатов получены теоремы об устойчивости классов липшицевых решений систем линейных дифференциальных уравнений с частными производными.

Пусть Q — произвольный дифференциальный оператор следующего вида: (Qg)K(x) = Y2=\ff^' к = ^---Л где

G М, и пусть q — вектор пространства Шк. Зададим систему

Qg(x) = q. (0.3)

Выберем компакт G С L(Mn, Rm), содержащий хотя бы одно решение системы (0.3) и рассмотрим класс отображений 3g,g(C), состоящий из тех отображений g класса 3(C), которые являются W^-решениями системы (0.3).

Теорема 1.6.1. При сделанных предположениях, если компакт G удовлетворяет условию (Y), то класс 3Q,g(C) со-устойчив.

Если оператор Q эллиптический, то накладываемое на С в предыдущей теореме условие (Т) оказывается излишним (теорема 1.6.2).

В первой части второй главы (§2.1-2.2) получены теоремы устойчивости, аналогичные теоремам из главы I, но вместо выпуклости 9 используется более тонкое свойство порождающих множеств — квазивыпуклость (см. [70-72], а также §2.1).

Теорема 2.1.3. Пусть для компакта G С L(Kre,Rm) имеет место представление (0.1)-(0.2) с квазивыпуклыми компактными множествами Gf. Тогда класс отображений

0 = {g G Lip | Va 6 Л 3i е {1,. ., ka} д'(х) G Gf для п. в. х е dom g} является uj -устойчивым

Из теоремы 2.1.3, в частности, вытекает, что класс 1П всех изометрических отображений (как сохраняющих, так и меняющих ориентацию) является и;-устойчивым. (следствие 2.1.5). Это усиливает предшествовавший результат [19] об (^-устойчивости класса изо-метрий, сохраняющих ориентацию.

Кроме того, теорема 2.1.3 влечет w-устойчивость класса аффинных отображений, производные которых лежат в объединении G — SO(n)a 1 U . U SO(n)aki det щ ф 0, SO[n)a,i П SO(n)a,j = 0 при i ф j (следствие 2.1.6). Эти результаты имеют отношение к актуальной задаче теории квазивыпуклых множеств, так называемой проблеме /г-колец (/c-well) (об этой проблеме см., например, [72, 77, 61]).

В §2.2 вводится определение qc-связности множеств в L(Kn,Ж77г), которое можно получить из определения слабой связности, заменив в нем символ выпуклой оболочки ("со") символом квазивыпуклой оболочки. Всякое связное множество дс-связно, а всякое дс-связное множество слабо связно, обратное в общем случае неверно. Доказано, что для компакта G существует описанное в теореме 2.1.3 представление в том и только том случае, когда все компоненты qc-связности компакта G квазивыпуклы (теорема 2.2.4). Отсюда и из теоремы 2.1.3 выводится, что если все компоненты дс-связности непустого компакта G квазивыпуклы, то класс отображений 3qc{G) = {g 6 Lip | 3 компонента qc-связности К множества G такая, что g'(x) Е К п.в. в domg} является си-устойчивым (теорема 2.2.5).

10

Следующий параграф §2.3 посвящен изучению строения образа производной дифференцируемой вектор-функции.

Теорема 2.3.2 (обобщенная теорема Дарбу). Пусть X — метри-зуемое локально выпуклое пространство, и пусть f : Л —> X — дифференцируемое отображение в X области Л С Мп. Тогда образ Im f производной отображения / является слабо связным множеством в пространстве Хп.

При п — 1 и наложении некоторых дополнительных условий установлена и обратная теорема, а именно: если G — непустой слабо связный компакт в пространстве Фреше X, который является к тому же локально слабо связным множеством, то тогда G есть образ производной некоторого дифференцируемого отображения / : [0, 1] —> X (теорема 2.3.5). Специфику многомерного случая подчеркивает построенный пример дифференцируемой функции / : [0,1] —> К2, образ производной которой является вполне несвязным компактом (теорема 2.3.1).

Если в теореме 2.3.2 X = Rm и функция / локально удовлетворяет условию Липшица, то образ Im f обладает более сильным свойством — qc-cвязностью (теорема 2.3.14).

Используя обобщенную теорему Дарбу (теорему 2.3.2), в том же параграфе мы докажем следующий аналог формулы Лагранжа. Если функция / : [а,/?] —у Жт непрерывна на [а,/3] С К. и дифференцируема в (а,/3), m > 1, то существуют числа ^ 6 (а,/?) и рг > 0, m г = 1,. . ,т, £>г = 1, такие, что (f(p)-f(a))/{(3-a) = EiliPi/'te) i= 1 теорема 2.3.12). Таким образом, процитированный в начале результат МакЛеода [68] верен без всяких дополнительных предположений о регулярности производной f.

Материал §2.3 используются при доказательстве некоторых теорем устойчивости классов отображений, например, приведенных выи ше теорем 1.4.1 и 1.4.4.

В §2.4 на основе доказанных ранее результатов изучается устойчивость классов аффинных отображений 21 (С) с линейной частью из компактного множества G С L(Rn, Km). Полученные утверждения придают характер устойчивости установленным в предыдущем параграфе многомерным аналогам теоремы Дарбу. Одной из основных является

Теорема 2.4.1. Пусть G С L(Mn,Mm) — непустой компакт, все компоненты qc-связности которого одноточечны. Тогда класс аффинных отображений 21(G) ш-устойчив.

Из теоремы 2.4.1, в частности, вытекает, что класс 21 (С) является w-устойчивым, если все компоненты слабой связности множества G одноточечны (следствие 2.4.5). Отметим, что при п — 1 или m = 1 сформулированные в только что упомянутых следствии 2.4.5 и теореме 2.4.1 условия эквивалентны. При n = 1 эти условия являются не только достаточными, но и необходимыми для со-устойчивости класса 21(C) (теорема 2.4.6), а при m — 1 для ^-устойчивости 21(C) оказывается достаточной одна только вполне несвязность компакта G (теорема 2.4.3). Замечательным свойством классов аффинных отображений является то обстоятельство, что для них удается получить оценки устойчивости следующего вида.

Теорема 2.4.7. В условиях теоремы 2.4.1 существует функция 7 : [0, +оо) —> [0, + оо) такая, что

1) 7(e) 7(0) - 0 прие 0;

2) для каждого отображения / : А —> Кт области А с Кп с Г2(/, 21(C)) < е найдется аффинное отображение g <Е 21(C), для которого выполнены неравенства

II/ - ^Цс(А) < 7Й diaminn А,

II/ - д'\\ь00(А){= ess sup \\f (х) -д'(х) ||) < 7(е). же А

12

Здесь символом diamjnn Л обозначен диаметр области Л относительно ее внутренней метрики, а символом П(/, 21(C)) — функционал локальной близости отображения / к классу 21 (G). Для случаев, когда все компоненты слабой связности компакта G одноточечны или когда т = 1 и компоненты обычной связности G одноточечны, удается получить явный вид функции 7 (теоремы 2.4.9, 2.4.12).

В третьей главе проведена исчерпывающая классификация со-устойчивых классов липшицевых отображений интервалов вещественной прямой Е со значениями в Mm, т > 1 (т. е. п — 1). Оказывается, что всякий о;-устойчивый класс 0 порождается некоторым компактом G С Ет и частичным предпорядком 7Г на G по следующему правилу: 0 состоит из всех липшицевых отображений д : А С М Ет, таких, что д'{х) 6 G п. в. и производная д' возрастает относительно тг (теорема 3.1.2). При этом для w-устойчивости классов, порожденных по указанному правилу, необходимо и достаточно, чтобы предпоря-док 7Г удовлетворял введенному нами (см. определение 3.1.1) условию расщепляемости, а компакт G удовлетворял условию (Т) (см. предложение 3.1.6).

С помощью найденной классификации мы доказываем, что при значениях размерностей, рассматриваемых в третьей главе (п = 1, т > 1)> Для всех w-устойчивых классов справедливы оценки устойчивости в -норме (теорема 3.1.4).

Основные результаты по теме диссертации опубликованы в работах [15-16], [25-35].

В заключение я выражаю бесконечную признательность своему научному руководителю А. П. Копылову за постановку задач, всестороннюю поддержку и терпение.

 
Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Коробков, Михаил Вячеславович, Новосибирск

1. Безрукова О. Л., Даирбеков Н. С., Копылов А. П. Об отображениях, близких в С-норме к классам решений линейных эллиптических систем уравнений в частных производных // Тр./АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т математики. Т. 8. , 1987. С. 19-30.

2. Белинский П. П. О непрерывности пространственных квазиконформных отображений и о теореме Лиувилля // ДАН СССР. 1962. Т. 147, № 5. С. 1003-1004.

3. Белинский П. П. Устойчивость в теореме Лиувилля о пространственных квазиконформных отображениях // Некоторые проблемы математики и механики. Л., 1970. С. 88-102.

4. Белинский П. П. О порядке близости пространственных квазиконформных отображений к конформным // ДАН СССР. 1971. Т. 200, № 4. С. 759-761.

5. Белинский 17. П. Общие свойства квазиконформных отображений. Новосибирск: Наука, Сиб. отделение, 1974.

6. Бурбаки Н. Функции действительного переменного. М.: Наука, 1965.

7. Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов. М.: Мир, 1975.

8. Гуров Л. Г. Об устойчивости псевдоизометрий j j Современные проблемы геометрии и анализа. Тр. Ин-та математики: Т. 14 (Под ред. С. С. Кутате-ладзе.) Новосибирск: Наука, Сиб. отделение, 1989. С. 89-98.

9. Даирбеков Н. С., Копылов А. П. ^-устойчивость классов отображений и системы линейных уравнений с частными производными // Сиб. мат. журн. 1985. Т. 26, № 2. С. 73-90.

10. Даирбеков Н. С. Квазирегулярные отображения нескольких n-мерных переменных // Сиб. мат. журн. 1993. Т. 34, № 1. С. 65-69.

11. Даирбеков Н. С. Устойчивость классов квазирегулярных отображений нескольких пространственных переменных // Сиб. мат. журн. 1995. Т. 36, № 1. С. 47-59.

12. Даирбеков Н. С. Устойчивость отображений с ограниченным искажением на группе Гейзенберга // Сиб. мат. журн. 2002. Т. 43, № 2. С. 281-294.

13. Егоров А. А. Об устойчивости классов аффинных отображений j j Сиб. мат. журн. 1995. Т. 36, № 5. С. 1081-1095.

14. Егоров А. А. Об устойчивости классов липшицевых решений систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка // Сиб. мат. журн. 1999. Т. 40, № 3. С. 538-553.

15. Егоров А. А., Коробков М. В. Устойчивость классов липшицевых отображений, теорема Дарбу и квазивыпуклые множества // Сиб. мат. журн. 2000. Т. 41, № 5. С. 1046-1059.

16. Егоров А. А., Коробков М. В. К устойчивости классов аффинных отображений // Сиб. мат. журн. 2001. Т. 42, № 6. С. 1259-1277.

17. Егоров А. А. Письмо в редакцию // Сиб. мат. журн. 2001. Т. 42, № 6. С. 1443-1444.

18. Копылов А. П. Об устойчивости классов многомерных голоморфных отображений. I. Концепция устойчивости. Теорема Лиувилля. // Сиб. мат. журн. 1982. Т. 23, № 2. С. 83-111.

19. Копылов А. П. Об устойчивости изометрических отображений // Сиб. мат. журн. 1984. Т. 25, № 2. С. 132-144.

20. Копылов А. П. Устойчивость в С-норме классов отображений. Новосибирск: Наука, 1990.

21. Копылов А. П. К устойчивости классов конформных отображений. I // Сиб. мат. журн. 1995. Т. 36, № 6. С. 348-369.

22. Копылов А. 17. К устойчивости классов конформных отображений. II // Сиб. мат. журн. 1997. Т. 38, № 2. С. 326-343.

23. Копылов А. П. К устойчивости классов конформных отображений. III // Сиб. мат. журн. 1997. Т. 38, № 4. С. 825-842.

24. Копылов А. П. Устойчивость в Сг-норме классов решений систем линейных уравнений с частными производными эллиптического типа // Сиб. мат. журн. 1999. Т. 40, № 2. С. 352-351.

25. Коробков М. В. Устойчивость классов отображений // Материалы 34 международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический128прогресс", Математика. Новосибирск: изд. НГУ, 1996. С. 41-42.

26. Коробков М. В. Слабая связность множеств и теорема Дарбу // Материалы международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов", выпуск 2. Москва: изд. Московского государственного университета, 1998. С. 56-57.

27. Коробков М. В. Об одном обобщении понятия связности и его применении в дифференциальном исчислении и в теории устойчивости классов отображений // Докл. РАН. 1998. Т. 363, № 5. С. 590-593.

28. Коробков М. В. Об одном обобщении теоремы Дарбу на многомерный случай // Сиб. мат. журн. 2000. Т. 41, № 1. С. 118-133.

29. Коробков М. В. Об устойчивости классов липшицевых отображений, порожденных компактными множествами пространства линейных отображений // Сиб. мат. журн. 2000. Т. 41, № 4. С. 792-810.

30. Коробков М. В., Егоров А. А. Устойчивость классов липшицевых отображений, теорема Дарбу и квазивыпуклые множества j j Докл. РАН. 2000. Т. 373, № 5. С. 583-587.

31. Коробков M. В Обобщение теоремы Лагранжа о среднем на случай векторнозначных отображений // Сиб. мат. журн. 2001. Т. 42, № 2. С. 349-353.

32. Коробков М. В. К обобщению теорем Лагранжа и Дарбу на векторнозначные функции // Докл. РАН. 2001. Т. 377, № 5. С. 591-593.

33. Куратовский К. Топология. М.: Мир, 1969. Т. 2.

34. Лаврентьев М. A. Sur une classe de representations continues // Мат. сб. 1935. Т. 42, № 4. С. 407-423.

35. Лаврентьев М. А. Об одном дифференциальном признаке гомеоморфных отображений трехмерных областей // ДАН СССР. 1938. Т. 20, № 2. С. 241-242

36. Лаврентьев М. А. Об устойчивости в теореме Лиувилля // ДАН СССР. 1954. Т. 95, № 3. С. 925-926.

37. Лаврентьев М. А. Квазиконформные отображения // Тр. /3-й Всесоюз. мат. съезд, г. Москва, июнь-июль 1956 г. Т. 3. М., 1958. С. 198-208.

38. Решетняк Ю. Г. Устойчивость в теореме Лиувилля о конформных отображениях пространства // Некоторые проблемы математики и механики. Новосибирск, 1961. С. 219-223.

39. Решетняк Ю. Г. Об устойчивости в геореме Лиувилля о конформных отображениях пространства // Доклады АН СССР. 1963. Т. 152, № 2. С. 219-223.

40. Решетняк Ю. Г. Об устойчивости конформных отображений в многомерных пространствах // Сиб. маг. журн. 1967. Т. 8, № 1. С. 91-114.

41. Решетняк Ю. Г. Теоремы устойчивости для отображений с ограниченным искажением // Сиб. мат. журн. 1968. Т. 9, № 3. С. 667-684.

42. Решетняк Ю. Г. Об оценке устойчивости в теореме Лиувилля о конформных отображениях многомерных пространств // Сиб. мат. журн. 1970. Т. 11, № 5. С.1121-1139.

43. Решетняк Ю. Г. Устойчивость в теореме Лиувилля о конформных отображениях пространств для областей с негладкой границей // Сиб. мат. журн. 1976. Т. т. 17, № 2. С. 361-369.

44. Решетняк Ю. Г. Устойчивость в теореме Лиувилля и Lp-интегрируемость производных квазиконформных отображений // Сиб. мат. журн. 1976. Т. 17, № 4. С. 868-896.

45. Решетняк Ю. Г. Оценки в классе Wp устойчивости в теореме Лиувилля о конформных отображениях для замкнутой области // Сиб. мат. журн. 1976. Т. 17, № 6. С. 1382-1394.

46. Решетняк Ю. Г. Теоремы устойчивости в некоторых вопросах дифференциальной геометрии и анализа // Мат. заметки. 1978. Т. 23, № 5. С. 773-781.

47. Решетняк Ю. Г. Об устойчивости изометрических преобразований // Сиб. мат. журн. 1994. Т. 35, № 4. С. 860-878.

48. Решетняк Ю. Г. Теоремы устойчивости в геометрии и анализе. 2-е изд. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики СО РАН, 1996.

49. Семенов В. И. О равномерных оценках устойчивости для пространстрен-нных квазиконформных и квазиизометрических отображений // Доклады АН. 1986. Т. 286, № 2. С. 295-297.

50. Семенов В. И. Об одной оценке в теореме устойчивости о конформных отображениях круга // Сиб. мат. журн. 1986. Т. 27, № 2. С. 176-181.

51. Семенов В. И. Интегральное представление следа на сфере одного класса векторных полей и равномерные оценки устойчивости квазиконформных отображений шара // Мат. сб. 1987. Т. 133, № 2. С. 238-253.

52. Семенов В. И. Оценки устойчивости для пространственных квазиконформных отображений звездной области // Сиб. мат. журн. 1987. Т. 28, № 6. С. 102-118.

53. Семенов В. И. Оценки устойчивости, теоремы искажения и топологические свойства отображений с ограниченным искажением // Мат. заметки. 1992. Т. 51, № 5. С. 109-113.

54. Aziz А.К., Diaz J.B. On a mean value theorem of the differential calculus of vector-valued functions, and uniqueness theorems for ordinary differential equations in a linear-normed space // Contrib. to Diff. Eqns. 1963. V. 1. P. 251-269.

55. Ball J. M. Sets of gradients with no rank-one connections // J. Math. Pures Appl. 1990. V. 69, N 3. P. 241-259.

56. Brucner A. M. Differentiation of integrals j j Supplement to Amer. Math. Monthly. 1971. V. 78, N 9, Part II. P. .131

57. Chlebi'k M., Kirchheim В. Rigidity for the four gradient problem. Leipzig, 2000. 7 p. (Препринт/Max-Plank-Institut fur Mathematik in den Naturwissenschaften; № 35 (http://www.mis.mpg.de/jump/publications.html)).

58. Dolzmann G., Kirchheim В., Miiller S., Sverak V. The two-well problem in three dimensions. Leipzig, 1999. 15 p. (Препринт/Max-Plank-Institut fur Mathematik in den Naturwissenschaften; N 21).

59. Flett T.M. Mean value theorems for vector-valued functions // Tohoku Math. J. 1972. V. 24, N 2. P. 141-151.

60. Iwaniec TMartin G. Quasiregular mappings in even dimensions // Acta Math. 1993. V. 170, N 1. P. 29-81.

61. John F. Rotation and strain // Comm. Pure Appl. Math. 1961. V. 14, N 3. P. 391-413.

62. John F. On quasi-isometric mappings. I // Comm. Pure Appl. Math. 1968. V. 21, N 1. P. 77-110.

63. John F. On quasi-isometric mappings. II // Comm. Pure Appl. Math. 1969. V. 22, N 2. P. 265-278.

64. Kinderlehrer D. Remarks about equilibrium configurations of crystals j I Material instabilities in continuum mechanics and related mathematical problems. Oxford: Oxford Univ. Press, 1988. P. 217-242.

65. McLeod R.M. Mean value theorems for vector valued functions // Proc. Edinburgh Math. Soc. (Ser. 2). 1965. V. 14. P. 197-209.

66. Maly J. The Darboux property for gradients // Real Anal. Exchange. 1996/97. V. 22, N 1. P. 167-173.

67. Morrey С. B. Multiple integrals in the calculus of variations. Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verl., 1966.

68. Morrey С. B. Quasi-convexity and lower semicontinuity of multiple integrals // Pacific J. Math. 1952. V. 2, N 1. P. 25-53.

69. Miiller S. Variational models for microstructure and phase transitions. Leipzig: Max-Plank-Institut fur Mathematik in den Naturwissenschaften, 1998. (Lecture notes; N 2. http://www. mis.mpg.de/jump/publications.html).