Приложение теории накрывающих отображений к нелинейным уравнениям и управляемым системам тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА

Факультет вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи

4В40ЭЧП

Жуковский Сергей Евгеньевич

ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРИИ НАКРЫВАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ К НЕЛИНЕЙНЫМ УРАВНЕНИЯМ И УПРАВЛЯЕМЫМ СИСТЕМАМ

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2011

1 2 МАЙ 2011

4845944

Работа выполнена в Российском университете дружбы народов

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Арутюнов Арам Владимирович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, доцент Ильин Александр Владимирович

доктор физико-математических паук, профессор Никольский Михаил Сергеевич

Ведущая организация:

Центральный экономико-математический институт РАН.

Защита состоится "йЬ " 2011 года в на заседании

диссертационного совета Д501.001.43 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, ВМК, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ВМК МГУ. Автореферат разослан "_"_2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

д. ф.-и. и., профессор .

З^^-уиу Е.В. Захаров

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Диссертация посвящена применению теории а-пакрывающпх отображений в метрических пространствах к исследованию локальной разрешимости дифференциальных, функционально-дифференциальных, интегральных уравнений и управляемых систем. В частности, рассматриваются

• управляемая система вида

x = f(t,x,u), x(t0) = х0, g(t,x,u)eV, и е U, где х - фазовая переменная, и - управление;

• задача Коши для интегро-дифференциального уравнения

1

f(t,x(t),x(t),J >C(t,s,x(s))ds) = 0, ¿(f) еП, x(t о) — х0] ■

'о

• интегральное уравнение вида

i

f(t,x{t), IIC(t,s,x{s))ds) = 0, x(t) е П;

¡о

• операторные уравнения Вольтерра в метрических фупкциопаль-пых пространствах.

В перечисленных задачах считаем заданными функции /, д, К.. множества U, V, Q, вектор Xq и число to-

Рассмотренные и многие другие прикладные задачи анализа и теории дифференциальных уравнений сводятся к решению уравнений вида

F(x) = у (1)

с неизвестным х или уравнений более общего вида

F(x) = Ф(х). (2)

Здесь F, Ф : X —> Y - заданные отображения, и для многих задач пространства X, Y являются лишь метрическими.

Если X и Y - линейные нормированные пространства, то при исследовании вопроса разрешимости этих уравнений часто применяется теорема

об обратной функции. Также нередко используется классический принцип сжимающих отображений. Особенно его применение обосновано в случае, когда соответствующие отображения не являются гладкими, или, более того, пространство X = Y метрическое. Если X и У разные метрические пространства, используются более общие принципы существования точек совпадения двух отображений, как правило, основанные на понятии накрывапия отображений.

Начавшееся в 80-х годах XX века активное изучение накрывающих отображений пополнило арсенал исследования разрешимости уравнений' в метрических пространствах новыми методами. Эти методы основаны на теоремах о точках совпадения отображений, теоремах о липшицевых возмущениях а-иакрывающих отображений, и т.д. В становление и развитие теории а-иакрывающих отображений существенный вклад внесли работы Авакова Е.Р., Арутюнова A.B. Дмитрука A.B., Иоффе А.Д., Милютина A.A. 2, Мордуховича Б.Ш.3, Обуховского В.В., Осмоловского Н.П., Фоменко Т.Н. и других.

Важно отметить, что частным случаем задачи о точках совпадения отображений является задача о существовании неподвижной точки, а принцип сжимающих отображений представляет собой следствие общих теорем о точках совпадения в терминах а-пакрывапия. Этот факт позволяет существенно расширить класс задач, разрешимость которых традиционно доказывается с помощью принципа сжимающих отображений. Такой подход применим, например, к исследованию локальной разрешимости уравнений с вольтерровыми по Тихонову А.Н.4 отображениями и, в частности, к исследованию интегральных уравнений Вольтерра, обыкновенных дифференциальных уравнений, функционально-дифференциальных уравнений и т.д. Отметим, что задачи о разрешимости уравнений Вольтерра, как правило, рассматриваются для уравнений в банаховых функциональных пространствах5. Однако использование теории а-иакрывающих отображений позволяет получить достаточные условия разрешимости такого рода задач и в нелинейных

1 Арутюнов A.B. Накрывающие отображения в метрических пространствах и неподвижные точки // Докл. РАН, т. 410, № 2, 2007, с. 151-155.

2Дмитрук A.B., Милютин A.A., Осмоловский Я.П. Теорема Люстерника и теория экстремума // УМН, т. 35, выи. G, 1980, с. 11—46.

Mordukhovich, B.S. Variational Analysis and Generalized Differentiation. V. 1. Springer. 2005.

* Тихонов А.Н. О функциональных уравнениях типа Вольтерра и их применениях к некоторым задачам математической физики // Бюл. Моск. ун-та. Секц. А, т. 1, вып. 8, 1938, с. 1-25.

5 Сумин В.И. Функциональные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами. 4.1. Нижний Новгород, 1992. 110 с.

метрических функциональных пространствах.

Удобным инструментом для изучения вопроса разрешимости уравнении является теорема об обратной функции. Отметим, что это утверждение применимо только в банаховых пространствах для достаточно гладких отображений в окрестности нормальной точки. В случае, когда уравнение рассматривается в нелинейном метрическом пространстве, или же входящее в уравнение отображение не является достаточно гладким, классические теоремы об обратной функции неприменимы. Однако получить конструктивные достаточные условия разрешимости уравнений в этом случае возможно с помощью теорем о липпшцевых возмущениях а-пакрьшающих отображений. Этот факт позволяет получить достаточные условия существования решения для многих негладких задач. Так, например, в терминах а-пакрыпшшя можно получить достаточные условия локальной разрешимости обыкновенного дифференциального уравнения, не разрешенного относительно производной, без априорного предположения гладкости входящих в задачу функций. Отметим также, что некоторые аналоги теоремы о неявной функции для а-накрывающих отображений применимы к исследованию управляемых систем. Такие утверждения позволяют получить достаточные условия локальной разрешимости управляемой системы без предположения гладкости входящих в задачу функций.

Описанный выше подход к исследованию уравнений с помощью теории а-накрывающих отображений, несмотря на перечисленные преимущества, до настоящего времени почти не использовался.

Цель работы. Основными целями диссертационной работы являются:

1) разработка методов исследования дифференциальных, функционально-дифференциальных уравнений, управляемых систем, основанных па теории накрывающих отображений;

2) получение новых признаков локальной разрешимости управляемых систем, дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной;

3) исследование свойств а-накрывающих вольтерровых отображений в метрических функциональных пространствах и получение достаточных условий локальной разрешимости абстрактных и интегральных уравнений Вольтерра, не разрешенных относительно неизвестной функции.

Методика исследования. Для решения поставленных задач использовались методы дифференциальных уравнений, функционального анализа, теории функций вещественной переменной, теории многозначных отображений, теории а-накрывающих отображений.

Научная новизна. Все полученные результаты являются новыми. Среди них можно выделить следующие наиболее важные:

1) Получены утверждения о свойствах а-накрывающих отображений, применимые к изучению дифференциальных уравнений, функционально-дифференциальных уравнений, управляемых систем, абстрактных и интегральных уравнений Вольтерра. Решена задача о липшицевом возмущении условно а-накрывающих отображений.

2) Доказана теорема о локальной разрешимости управляемых систем без априорного предположения гладкости сметанных ограничений по переменной управления. Достаточные условия локальной разрешимости управляемой системы получены в терминах а-пакрываемости.

3) Доказана теорема о локальной разрешимости управляемых систем в предположении определенной гладкости смешанных ограничений по переменной управления. Достаточные условия локальной разрешимости управляемой системы получены в терминах 2-регулярности.

4) Получены достаточные условия локальной разрешимости абстрактных уравнений Вольтерра в метрических функциональных пространствах.

5) Получены достаточные условия локальной разрешимости дифференциальных и иитегро-дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной. Получены достаточные условия локальной разрешимости интегральных уравнений, не разрешенных относительно неизвестной функции.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация имеет теоретический характер. Полученные результаты могут быть полезны при исследовании глобальной разрешимости управляемых систем со смешанными ограничениями, при исследовании продолжаемости решений и корректной разрешимости функционально-дифференциальных уравнений, интегральных уравнений, абстрактных уравнений Вольтерра. Результаты диссертации могут быть использованы при исследовании разрешимости и корректности математических моделей.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих семинарах и конференциях:

1) международная конференция "Колмогоровские чтения. Общие проблемы управления и их приложения" (Тамбов, 2009);

2) семинар кафедры нелинейного анализа и оптимизации Российского университета дружбы пародов (рук. д.ф.-м.н., проф. A.B. Арутюнов, 2009, 2010);

3) семинар кафедры системного анализа факультета ВМК МГУ (рук. академик РАН, проф. A.B. Куржанский, 2011)

4) семинар кафедры оптимального управления факультета ВМК МГУ (рук. д.ф.-м.и., проф. Ф.П. Васильев, 2011);

5) семинар кафедры нелинейных динамических систем факультета ВМК МГУ (рук. академик РАН, проф. С.К. Коровин, 2011).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 печатных работ.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, и списка литературы, содержащего 42 наименования. Общий объем диссертации -- 92 страницы.

Краткое содержание работы

Во введении дается литературный обзор, обосновывается актуальность темы диссертационного исследования, описывается структура и дается краткое содержание работы, излагаются основные научные результаты, выносимые па защиту.

Первая глава посвящена разработке математического аппарата исследования локальной разрешимости управляемых систем, дифференциальных уравнений, интегро-дифференциальных уравнений и интегральных уравнений Вольтерра. Вначале даются определения «-накрывающих отображений, затем изучаются их свойства и выводятся достаточные условия разрешимости уравнений в метрических пространствах в терминах а-пакрывапия.

Приведем одно из общепринятых определений о-пакрывающего отображения (см. параграф 1.1).

Пусть (Х,рх), (У, ру) - метрические пространства. Обозначим замкнутый шар в пространстве X с центром в точке х € X и радиуса г > 0 через В\{х,г). Пусть задано число а > 0. Отображение р : X —> У называется онакрывающим, если для любых х £ X, г > 0 выполнено включение

Ву(Р(1),аг)СР(Вх(1,г)).

В диссертации также используются и следующие более общие определения а-иакрываемости. Пусть заданы множества II С X, IV С К и <ВСХх [0, +оо).

Определение 1. Отображение Р : X —> У называется а-накрывающим множество IV на системе 23, если

{х,г) е 93 => Ву{Е{х),аг)П\У С Р(Вх{х,г)).

Отображение Р : X —> У называется условно а-накрывающим мпо-лссство IV относительно и на система 23, если оно является а-на-крывтощим множество IV П Р([1) на системе 23.

В параграфе 1.2 исследуется вопрос о существовании непрерывного правого обратного отображения к a-накрывающему отображению.

Параграф 1.3 посвящен изучению следующего типа накрывания. Пусть £/, Е, У - метрические пространства с метриками рц, ру соответственно. Расстояние от точки у S У до множества У0 С У будем обозначать через dist(j/,yQ). Пусть заданы отображение G : £ х U —> У, множество U0 С U и замкнутое множество V С У. Определение 2. Пусть существуют такие а > 0, /5 > 1, что

G(o,Bu(u0,r((j,u0))^ ПУ VcreS, Vtí0eí/0,

где r(ff, u0) = —dist(G(ir, Мо),У)1/,/3.

Тогда будем говорить, что на множестве С/о отображение G(-, •) является (а, 0) —накрывающим множество V по переменной и.

Далее в этом параграфе доказывается вспомогательное утверждение о свойствах множества решений некоторых включений, использующееся во второй главе диссертации для исследования локальной разрешимости управляемых систем.

В параграфе 1.4 получено следующее утверждение о липшицевом возмущении накрывающего отображения.

Для заданных отображения Т : ХхХ —> У и точки у € У рассмотрим уравнение

Т(х,х)=у (3)

относительно неизвестного х £ X. Пусть дапы точка и0 £ X и числа а > Р > О, R > 0. Положим

w0 = T{uQ,u0), U = Bx{uq,R), (4)

%) = ^ZTpPy{y'wo)' й(у) = Bx(uo,t(y))-

Для каждого Х2 £ U определим

W(x2) = BY{r(u0,x2),aR), В(х2) = { (ж2,г) : 0 < г < R - рх{х2,иа) },

Теорема 1. Пусть пространство X полно и выполнены следующие прсдполож.спия:

а) для любого х? € U отображение Т(-,х2) X —► У является условно а-накриоающим м?южество W(rr2) относительно множества U на

системе 03 (х2);

b) для любых Х\,Х2 6 U выполнено

ру(г(х1,х1),т(х1,х2)) < 0Рх(хьх2);

с) для любой последовательности {щ} С II из того, что ик —> и. Т{и^,и) —> у, следует Т{и,и) = у. Тогда, если

г(у) < Я, (5)

уе П т(и,х2), (С)

хзеЩу)

то существует такая точка £ € С/, что Т(£, £)= у и рх(£, "о) < с(у).

Отметим, что если отображение Т(-,х2) : А' —> Y является "безусловно" а-пакрывающим множество W{xi) на системе !В(х2), то включение (С) становится следствием неравенства (5) и а-накрываемости и в формулировке теоремы 1 его можно опустить. Отметим, также, что предположение Ь) выполнено, например, если отображение T(xi,-) при всех Xi является /3-липшицевым. Для выполнения с) достаточно замкнутости или непрерывности отображения Т(-,хг) при всех х2-

Вторая глава посвящена следующей задаче. Рассмотрим управляемую систему

x(i) = /(i,x,u) (7)

с начальным условием

x{t0) = х0, (8)

смешанным ограничением

g(t,x,u)eVVt (9)

и ограничением па управление

и(Ь) е(/У(. (10)

Здесь ( 6 Е - время, ¿о - заданный начальный момент времени, х е К" - фазовая переменная, х0 - заданная начальная точка, и £ Кт -управляющий параметр, / : К х К" х К"1 К" и д : К х Мп х Кт -> Е* -заданные функции, II С К™, V С М^ - заданные замкнутые множества. В качестве допустимых управлений рассматриваются всевозможные измеримые существенно ограниченные функции и(-) 6 ¿^(К,®"1), или

всевозможные непрерывные функции и(-) G C(R,Rm), для которых выполняется (10).

Определение 3. Будем говорить, что система (7) - (10) локально разрешима в точке (¿0> Хо), если существуют число т > 0 и допустимое управление и(•) такие, что задача Коши

х = f(t,x,u(t)), x{t0) = x0

на отрезке [to.io + т] имеет решение х(-), для которого выполняется (9), т.е. g(t,x{t),u(t)) G V при п.в. t G [t0,t0 + т].

Цель исследований второй главы заключается в нахождении достаточных условий локальной разрешимости системы (7) - (10). В терминах пакрывапия эти условия формулируются в параграфе 2.2.

Пусть задано Uq G U и некоторое положительное число 7. Предположим. что функция / : [¿0, £о + 7] х В(х0,7) х Rm —► R" удовлетворяет условиям Каратеодори:

• при п.в. t функция /(i,-,-) непрерывна;

• при любых (ж,и) функция f(-,x,u) измерима;

• существует такая суммируемая функция ф : R —» R, что \f(t,x,u)\ < i>{t) при п.в. t G [io, io + 7]: для любого и G В(и0,7), х G В(х0,7).

Для задачи (7)—(10) с управлением и(-) G ¿oo(R,Rm) справедливо следующее условие локальной разрешимости.

Теорема 2. Предполоэ/сим, что

a) функция g непрерывна на [t0,io +7] х В(х0,7) х U;

b) g{t0,x0,ua) G V;

c) существуют такие а > 0 и 0 > 1, что для любого t G [fo, ¿о + 7] па множестве U0(t) = U П В(и0, r(t)), где r(t) = o_1(dist(g(i, xQ, и0), У)У//3, функция g(t,-,-) : В(х0,7) х U —» R' является (а,/3)-накрывающей множество V по переменной и.

Тогда сист,ема (7)-(10) локально разрешима в точке (tо,Хо)-

Теорема 2 справедлива без априорных предположений дифферен-цируемости функции g по переменной и. Для случая, когда функция g дважды непрерывно дифференцируема но переменной и, результаты теоремы 2 существенно усилены в параграфе 2.4.

Для формулировки введем необходимые понятия. Пусть заданы замкнутые выпуклые конусы U С Rm, УСЕ'и точка и0 G U. Пусть, кроме

того, задано отображение F : Кт —» К*1, являющееся дважды непрерывно дифференцируемым в окрестности точки щ, причем

F(u0) е v.

Определим выпуклые конусы С и Е по формулам 8F

С - 0)U - V + span{i)0},

Е = |х = и + vua : иеи, и е R, vva + щ)и е V j , 8F

где Va = —F(u0) + -д-(щ)и0, a span А - линейная оболочка множества А. Определение 4. Пусть существует такой вектор Л, что heE,

Отображение F называется 2-регулярным в точке щ отиоситслыю конусов U, V по направлению h, если имеет место

d2F

С+—(«0)[Л,£] = К*.

Возвращаясь к задаче (7)-(10), потребуем непрерывности допустимого управления, «(•) е С^КД"1). Предположим, что для любых (4,х) 6 [¿о 1 ¿о + 7] х В(х0,7) функция д дважды непрерывно дифференцируема но и на В(ио,7)> причем эти производные непрерывны по совокупности

переменных в окрестности точки (¿о,го,ио)> а отображение

при любых х) 6 [¿о, ¿о + 7] X В(хо,1) удовлетворяет .условию Липшица на В(щ,~у) с константой Липшица, пе зависящей от (¿,х) (здесь 7 > 0 определено перед теоремой 2).

Теорема 3. Пусть существует т,акой вектор к, что функция Хо, •) 2-регулярна в точке иц относительно конусов I], V по направлению Л. Тогда система (7)-(10) локально разрешима в точке. (¿о,Хо).

В третьей главе диссертации исследуется задача локальной разрешимости дифференциальных и иитегро-дифференциальных уравнений, а также интегральных и абстрактных уравнений Вольтерра в функциональных метрических пространствах.

В параграфе 3.1 дается определение вольтеррового оператора, формулируется задача о локальной разрешимости абстрактного уравнений Вольтерра и исследуются метрические свойства пространств сужений.

Пусть даны множества Е^, Е2 и определены некоторые множества X и У функций х : [а, 6] —> и у : [а, Ь] —» Е2, соответственно. Пусть 7 € (а, Ь). Для функции х € X обозначим через х1 ее сужение па [а,7]. Определим отображение 1РХ : х >—» х7. Для произвольного множества и С X положим 117 = Щ-С/. Аналогично, зададим отображение П^, ставящее в соответствие каждой функции у е У ее сужение у7 па [0,7], и для СУ обозначим И^7 = ТЦЖ.

Определение 5. Отображение Р : X -> У называют вольтерровъш (по А.Н. Тихонову), если для любого 7 £ (а,Ь) и произвольных х,и € X, удовлетворяющих равенству П]^х = Щ-и, имеет место ПуР(х) = ПуК(и) (для измеримых функций равенства должны, выполнятг>ся при почти всех £ € [а, Ц).

Пусть заданы вольтерров оператор F : X —> У и элемент у е У. Рассмотрим уравнение

= (11)

относительно неизвестного х € X. Для каждого 7 е (а, 6) определим оператор F7 : X7 —> У7 равенством Р7(х7) = Щ-Р(х) и положим у7 =

Определение 6. Если существуют такие 7 6 (а, 6] и £7 6 X7, что Е1^1 = ¿17, то уравнение (И) будем называть локально разрешимым, а функцию £7 - его решением, определенным на [а, 7].

Пусть теперь (X, рх) и (У, /су) - метрические пространства функций х : [а, Ь] —> Е± и у : [а,Ь] —» Е2 соответственно. Для исследования свойств вольтеррова отображения F : X —> У потребуется, чтобы при любом 7 6 (о, 6) формула

рХу{х'г,и'г) = тЦрл-^и) : П^х = I7, П> = и7} (12)

определяла расстояние в X"1. Аналогичным равенством должно определяться расстояние и в множестве У7.

Далее в параграфе 3.1 доказывается, что формула (12) определяет метрику на множестве X1 при некотором 7 6 (а,Ь), если

Vя7 £ X1 Зх £ X : ТГхх = х7, р*(х,и) = рХ1(х7,и7). (13)

В параграфе 3.2 получен критерий локальной разрешимости уравнения (3), в случае, когда отображение Т : X х X —> У является вольтер-ровым по каждому аргументу.

Пусть даггы точка щ € X и числа а > /3 > О, Я > 0, 7 € (а, 6]. Определим отображение Т7 : X7 х X7 —> У7 равенством Т7(а:17,127) = Щ. Т(я1, х2), где х\,х2 6 X - произвольные продолжения функций II7,ж27 £ X7. Положим у7 = = П^и)ц, С/7 = где т0, С/

заданы равенствами (4). Кроме того, обозначим

= ^ГрРгЛУ1^), = Вх(ио,г(у7)).

Для каждого х2 £ и определим

= Ву,(Т7(и7,х7),аЯ), <В7(х7) = {И,г) : 0<г<Я-р*,(®2,и2;)}. Отметим, что если пространство X удовлетворяет условию (13), то И^7(х7) = Щ\У{х2), где \У{х2) = Ву{Т(и0,х2),аК).

Теорема 4. Пусть пространства X, У удовлетворяют условию (13), пространство X полное и выполнены следующие предположения:

a) для любого х2 £ и отображение Т7(-,1^) : X7 —» У является условно а-накрывшощим множество \У1{х2) относительно и7 на системе

b) Лъя любых х\,х2 € ¡7 выполнено

ру(Т7(х],х?),Т7(х7, х?)) < /Зрх(хих2у,

c) для любой последовательности {и^} С и из того, что и1 —> и7, Т7(г^,и7) —» у7, следует Т7(и7,и7) = у7.

Тогда, если

г(г/7) < л, 2/7 е П П7Т([/,х2),

то существует, определенное на [а, 7] решение £7 £ С/7 уравнения (3), удовлетворяющее оценке , и^) < ^(?/7).

В параграфе 3.3 рассматриваются достаточные условия разрешимости интегрального уравнения.

Пусть заданы замкнутое множество П С К", измеримая по первому аргументу, непрерывная по совокупности второго и третьего аргументов функция / : [а, 6] х (I х М"1 —> К' и измеримая по совокупности первого и второго аргументов, непрерывная по третьему аргументу функция К. : [о, Ь] х [а, Ь] х и —> К"1. Рассмотрим уравнение (

¡(1,х(1), JK:{t,s,x(s))ds) =0, !(()£(!, £ е [а, Ь]. (14)

Решение будем искать в классе ¿¡^([а,Ь],П) измеримых существенно ограниченных функций х : [а,Ь] —» fi.

Пусть заданы функция и0 G ¿оо([о, Ь], Г2) и положительные числа Я, d, а. Положим V = BEm(0,d). Для п.в. t G [а,Ь], любых z 6 V обозначим

U(t) = В„(1Ю(0,Я), W(t,z) = Bw(f(t,uQ(t),z),aR).

Теорема 5. Пусть

a) существует такая суммируемая функция M : [a,b] —> [0, +оо), что при п.в. t G [а, 6], s G [o,i] выполнено неравенство |/C(i, s, Uo(s))| < JV(s);

b) су/цествует такая суммируемая функция M : [а, b] —» [0,+оо), что при 74.в. t G [а, 6], s G [о, i], любых i,ïE U(t) имеет место неравенство

\fC{t,s,x) ->C{t,s,x)\ < jW(s)|r - £|;

c) существует такое Л > 0, что при п.в. t G [а,Ь], любых х G U(t), выполнено неравенство ]/(i,i,0)| < Л;

d) существует такое неотрицательное число Р, что при п.в. t G [а, 6], любых х G U(t), z, z G V имеет место неравенство

\f{t,x,z)- f{t,x,z)\<P\z-z\-,

e) при п.в. t G [а,Ь], любых z € V отображение f(t,-,z) : П —+ R' является условно а-накрывающим множество W(t,z) относительно U(t) на системе 3t(t) = {{v,r) : v G U(t), r G [О, Я - )v - «o(t)|]}.

Тогда, если

vraisup |/(i,u0(i)i 0)1 < аЯ, te [n, 6]

0ef| f(t,U(t),z), Vi G [a, 6],

zeV

то ypa.cmc.nuc (Ц) локально разрешимо.

В параграфе 3.4 рассматриваются достаточные условия разрешимости интегро-дифференциального уравнения.

Пусть заданы вектор A G R", измеримая по первому аргументу, непрерывная по совокупности второго, третьего и четвертого аргументов функция / : [о, Ь] х f2 х К™ х Rm —> R' и измеримая по совокупности первого и второго аргументов, непрерывная по третьему аргументу функция К. : [о,Ь] х [о, b] х il —> Rm. Рассмотрим уравнение

t

f(t,x{t),x{t), J K{t,s,x{s))ds) =0, x(a)=A, x{t) G П. (15)

a

Решение будем искать в классе АС^А, [а, Ь], i2) абсолютно непрерывных функций х : [а, 6] —> R" таких, что х(а) = А и х 6 ¿оо([а, 6], П).

Пусть заданы функция щ 6 ЛС00(Л, [а, 6], fi) и положительные числа R, d, а. Положим V = BRm(0,d), В = B№,(A,d). Для п.в. t е [а, 6], любых X € В, г е V обозначим

U(t) = Bn(u0(t), R), W(t, x, z) = BRl (f(t, ua(t),X, г), aR).

Теорема 6. Пусть функция К. удовлетворяет предположениям а), Ь) теоремы 5, и

c) существует такое Л > 0, что при п.в. t € [а, 6], любых у 6 [/(f), выполнено неравенство |/(i, у, А, 0)| < Л;

d) существует такое неотрицательное число Р, что при п.в. t 6 [а,Ь], любых у £ U(t), г, г 6 V, х, х € В имеет место неравенство

\f(t,V,X,z)-f(t,y,x,Z)\ <Pmax{|X-xl, I* - 2|};

e) при п.в. t € [а, Ь], всех х £ В, z £ V отображение f(t, -,х, г): П —» R' является условно а-пакрывающим множество W(t, х< z) относительно U(t) на системе 21(f) = {(и,г) : v £ t/(i), г £ [О, Я -ji; -ii0(i)|]}-

Тогда, если

vraisup |/(£,u0(f), А,0)| < аЯ,

t£[n,b]

о е П f(t,U(t),x,z), Vie [а, 6],

хев, 26V

то уравнение (15) локально разрешимо.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Араму Владимировичу Арутюнову за постоянное внимание к работе и всестороннюю поддержку.

Публикации автора по теме диссертации

[1] Жуковский С.Е. Некоторые свойства решений включений с накрывающей левой частью // Вестник Тамбовского университета. Серия: Ест. и техн. науки, т. 14, вып. 4, 2009, с. 712.

[2] Арутюнов А.В., Жуковский С.Е. Локальная разрешимость управляемых систем со смешанными ограничениями // Дифференциальные уравнения, т. 46, № 11, 2010, с. 1561-1570.

[3] Арутюнов А.В., Жуковский С.Е. Существование обратных отображений и их свойства // Труды МИАН, т. 271, 2010, с. 9-19.

[4j Arutyunov, А. V., Zhukovskiy, S.E. Existence of local solutions in constrained dynamic systems // Applicable Analysis, 29 July 2010, DOI: 10.1080/00036811003735873.

[5] Жуковский С.Е. Об одном классе операторов в пространстве непрерывных функций // Вестник Тамбовского университета. Серия: Ест. и техн. науки, т. 15, вып. 6, 2010, с. 696-698.

Заказ № 217-1/04/2011 Подписано в печать 19.04.2011 Тираж 75 экз. Усл. п.л. 0,6

ООО "Цифровичок", тел. (495) 649-83-30 www.cfr.ru; е-таИ: info@cfr.ru

Диссертация посвящена применению теории «-накрывающих отображений в метрических пространствах к исследованию локальной разрешимости дифференциальных, функционально-дифференциальных, интегральных уравнений и управляемых систем. В частности, рассматриваются

• управляемая система вида яг =ж(*о) = Ж(ь д(Ь,х,и)еУ, и е С/, где х - фазовая переменная, и - управление;

• задача Коши для интегро-дифференциального уравнения

• операторные уравнения Вольтерра в метрических функциональных пространствах.

В перечисленных задачах считаем заданными функции /, д, /С, множества С/, V, О, вектор х^ и число tQ.

Рассмотренные и многие другие прикладные задачи анализа и теории дифференциальных уравнений сводятся к решению уравнений вида о Г2, гс(¿о) — • интегральное уравнение вида

4о

Ф(Ж) = у 3 с неизвестным х или уравнений более общего вида

Ф(ж) = Ф(ж).

Здесь Р, Ф : X —» У - заданные отображения, и для многих задач пространства X, У являются лишь метрическими.

Если X и У — линейные нормированные пространства, то при исследовании вопроса разрешимости этих уравнений часто применяется теорема об обратной функции. Также нередко используется классический принцип сжимающих отображений. Особенно его применение обосновано в случае, когда соответствующие отображения не являются гладкими, или, более того, пространство X = У метрическое. Если X и У разные метрические пространства, используются более общие принципы существования точек совпадения двух отображений, как правило, основанные на понятии накрывания отображений.

Дадим определение понятия «-накрывающего отображения. Пусть X, У - метрические пространства с метриками рх и ру соответственно, заданы числа а > О, Я > 0, множество ]¥ С У и точка хо £ X. Обозначим через Вх(х,г) замкнутый шар в X с центром в точке х радиуса г > 0, положим и = Вх{хо, Я)- Пусть задано отображение ^Р : X —> У. Будем говорить, что отображение Р является аг-накрывающим, если для любых х £ X, г > 0 выполнено включение

Ву(Е{х),аг)сГ(Вх(х,г)). Если же для любого шара Вх{х, г) С. и выполнено включение то будем говорить, что отображение Р является «-накрывающим относительно шара II и множества \¥.

Перейдем к краткому литературному обзору по теории «накрывающих отображений.

Основные свойства накрывающих отображений в случае, когда Y - линейное пространство, были изучены A.A. Милютиным в 1980 году в работе [15]. В случае, когда Y - метрическое пространство, свойства и приложения а-иакрывающих отображений приведены в статье [4] от 2007 года A.B. Арутюновым. Понятия локального а;-накрывания и а-накрывания относительно множеств, которые также применяются в этой диссертации, были введены и изучены в [5], [32], [39].

Существует ряд задач, при изучении которых используется понятие а-накрываюгцего отображения. Типичным применением а-накрывающих отображений является задача о точках совпадения отображений. Сформулируем её.

Пусть заданы отображения Ф, Ф : X —> У. Задача заключается в нахождении условий разрешимости уравнения ф(ж) = ф(ж) с некоторой априорной оценкой.

Важно отметить, что частным случаем задачи о точках совпадения отображений (когда X = Y и отображение Ф является тождественным) является задача о существовании неподвижной точки, а хорошо известный принцип сжимающих отображений представляет собой следствие общих теорем о точках совпадения.

Классическим примером теоремы о точках совпадения отображений, сформулированной в терминах а-накрывания, является теорема 1 из [4]. Эта теорема гласит, что если пространство X полно, отображение Ф является а-накрывающим и непрерывным, а Ф удовлетворяет условию Липшица с константой ß < а, то для любого хо Е X существует х £ X такое, что

Ф(ж) = Ф(ж) и рх{х,хо) < —1—py(F(x),F(xо)).

В предположении ск-накрываемости Ф относительно множеств эта задача была решена в [32] (см. теорему 1).

Важную роль играют исследования устойчивости точек совпадения при малых возмущениях отображений ФиФ. В работе [6] были получены общие условия, гарантирующие устойчивость точек совпадения при указанных возмущениях.

Аналогичная проблема о точках совпадения возникает для многозначных отображений Ф, Ф : X У. В этом случае задача заключается в нахождении такого х € X, что

Ф(ж) П Ф(ж) ^ 0.

Эта задача в терминах «-накрывающих многозначных отображений также была решена в [4], а для локально ск-накрываю-щих многозначных отображений - в [32]. Кроме того, в работе [6] доказана теорема об {а — е)-накрываемости равномерного предела многозначных си-накрывающих отображений.

Еще одной задачей теории накрывающих отображений является задача о липшицевых возмущениях а-накрывающих отображений. Существуют различные постановки этой задачи. Так, например, в [15] эта проблема сформулирована следующим образом. Пусть пространство У линейно, дано (^-накрывающее отображение Ф : X —» У и (3-липшицево отображение Ф. Спрашивается, при каких условиях отображение Ф + Ф является накрывающим? Достаточные условия накрываемости Ф + Ф были доказаны в [15] в теореме 1.4. Эта теорема гласит, что если пространство X полно, Ф непрерывно и а > /3, то Ф + Ф является {а — /3)-накрывающим. Обобщение этой теоремы на случай многозначных отображений имеется в [22].

Другая постановка задачи о липшицевых возмущениях а-накрывающих отображений была рассмотрена в [5] в теореме 2. Пусть дано непрерывное отображение Т : X х X —» У. Относительно него предполагается, что для любого Х2 € X отображение Т(-, Х2) является «-накрывающим, для любого x\ £ X отображение T(xi, •) удовлетворяет условию Липшица с константой ¡3. Тогда теорема 2 из [5] гласит, что если а > /?, то отображение х ь-Т(аг, х) является (а — /?)-накрываюгцим. В этой же работе было введено и изучено понятие условно а-накрывающих отображений и выделено множество тех у £ Y, для которых уравнение Т(х,х) = у имеет решение. Отметим, что понятие условной накрываемости впервые было введено в [39], где для него использовался термин "restrictive metric regularity".

Среди работ, посвященных задачам о точках совпадения и о липшицевых возмущениях накрывающих отображений, отметим также статьи [22], [30], [31], [34], [35], [38], [42], в которых рассматриваются эти и смежные проблемы.

Важнейшей проблемой теории а-накрывающих отображений является получение критериев накрываемости. Известно, что если X, Y — банаховы пространства, а отображение F : X Y строго дифференцируемо в точке :го, то F является ск-накрывающим в окрестности точки хо тогда и только тогда, когда точка xq нормальна, т.е. когда линейный опера-dF тор —— (жо) является сюръективным. Этот факт был получен ох в [40] (см. теорему 1.57).

Для случая, когда отображение F недифференцируемо в точке Жо, также известны некоторые условия накрываемости. Так, например, если производная Кларка dFc{xо) липшице-вого отображения F : Шп —> Мп не содержит невырожденных матриц, то F является а-накрывающим в окрестности xq. Этот факт является непосредственным следствием теоремы 7.1.1 из [23]. Следует отметить, что эти условия накрываемости не являются необходимыми. Необходимые условия накрываемости были получены Б.Ш. Мордуховичем в [25] (см. теорему 5.2).

Завершая обсуждение публикаций по теории накрывающих отображений, еще раз отметим работу [5], являющуюся первой статьей, полностью посвященной приложениям а-накрываю-щих отображений к исследованию локальной разрешимости обыкновенных дифференциальных уравнений.

Прежде чем изложить основные результаты диссертации, сформулируем некоторые понятия и результаты, связанные с вольтерровыми операторами и уравнениями Вольтерра. В диссертации используется понятие вольтеррового оператора, введенное и изученное А.Н. Тихоновым в [29]. Напомним его.

Пусть даны непустые множества Е2 и определены некоторые множества X и У функций х : [а, Ь] —» Е\ и у : [а, Ъ] —» Е2, соответственно. Пусть 7 £ (а, Ь]. Для функции х £ X обозначим через ж7 ее сужение на [а, 7]. Определим отображение П^ : х х1.

Отображение Е : X —> У называют вольтерровым (по А.Н. Тихонову), если для любого 7 € (а, 6] и произвольных и е X, удовлетворяющих равенству П^-а; = П^п, имеет место Пу^(ж) = П^О) (в пространствах измеримых функций все равенства подразумеваются почти всюду). Отметим, что существует множество обобщений данного определения (см., например, [12], [14], [16], [27], и т.д.)

Рассмотрим следующую задачу. Пусть оператор Е : X —> У вольтерров. Будем говорить, что уравнение х - Е(х) локально разрешимо, если существуют х Е X и 7 6 (а, Ь] такие, что х7 = Пу^(ж).

Отметим, что достаточные условия локальной разрешимости данного уравнения хорошо известны. Их можно найти, например, в [29] (теорема 1), в [27] (теорема 2) и т.д. При доказательстве перечисленных теорем существенно использовался принцип сжимающих отображений. В дальнейшем будет показано, что применение теорем о липшицевых возмущениях накрывающих отображений существенно расширяет класс уравнений, для которых возможно доказать существование локального решения.

Основные результаты диссертаци были опубликованы в работах [7], [8], [18], [19], [33]. Кратко изложим их. Диссертация состоит из двенадцати параграфов, объединенных в три главы. Первая глава посвящена изучению свойств «-накрывающих отображений и содержит формулировки и доказательства утверждений, используемых в приложениях.

В параграфе 1.1 дается определение «-накрывающего и условно «-накрывающего отображений. Сформулируем их.

Пусть (Х,рх), (У,ру) ~ метрические пространства. Пусть задано число а > 0, точка хо Е X, некоторые множества 17 С X, 03 С X х [0,+оо), Ж С У. Здесь и далее замкнутый шар в пространстве X с центром в точке х радиуса г будем обозначать через Вх{х,г).

Отображение Р : X —» У назовем а-накрывающим множество на системе 03, если ж,г)е93 Бу(Т(ж),«г) П УУ С Р(Вх(х,г)).

Если ТУ = У, то будем говорить, что F является а-накрывающим на системе 03.

Предположим теперь, что система ЯЗ и множество и связаны соотношением ж, г) € 03 Вх{х,г) С и.

Отображение Р : X —> У назовем условно «-накрывающим множество \¥ на системе 03, если оно является «-накрывающим \У П Р(17) на системе 03.

Пусть задано число Я > 0. Положим и = Вх{х0, Я), 03 = {{х, г) : Вх(х, г) С Щ и рассмотрим произвольное «-накрывающее на системе 03 отображение Р. Непосредственно из приведенного выше определения следует, что существует такое отображение (р : Ву{Р(х0),аЙ) X, что

Р&Ш =УУУ€ Ву(Г{х0),аК), 1

РхЫ,(р(у)) < -ру(^(ж0),г/). а

Такое отображение принято называть правым обратным к Р в окрестности точки хо- Очевидно, что в силу приведенной выше оценки, отображение <р непрерывно в точке жц.

Естественно задаться вопросом о существовании хотя бы одного непрерывного правого обратного к^в окрестности жо отображения (р. Ответ на этот вопрос дает приведенный в параграфе 1.2 пример 2. В нем приведено непрерывное 1-накры-вающее отображение Р : М2 —> Ж2, у которого любой правый обратный имеет разрыв в любой окрестности нуля, что дает отрицательный ответ на поставленный вопрос. Однако, в одном частном случае, а именно, когда У = М, мы можем гарантировать существование непрерывного правого обратного к Р отображения. Этот факт доказан в теореме 1.

Следует также отметить, что если пространства X и У банаховы, а отображение Р строго дифференцируемо, то отображение является локально а-накрывающим (т.е. существует Я > 0 такое, что Р ск-накрывает на системе 03) тогда и только тогда, когда точка ссо является нормальной, т.е. у см., например, теорему 1.57 из [40]). В этом случае существует непрерывное правое обратное к Р отображение в окрестности точки хо. Это следует, например, из теоремы о неявной функции из [28].

В параграфе 1.3 рассматривается следующая задача. Пусть и, Е - метрические пространства с метриками р-~ ри и р^ соответственно, дано множество УСУ, точки £о € сто £ Е, щ € и я непрерывное отображение (?:5хЕх?7—»У. Предположим, что ""о) € V, и рассмотрим включение о-, гг) £ V.

Задача заключается в нахождении многозначного отображения М : Б х Е —» 2и такого, что

• для любых £ 6 5, и £ Е множество М(£, а) компактно, непусто и и £ М(£, (г) С?«, 0-, и) € V;

• отображение М полунепрерывно сверху на Н х Е, и при любом £ £ £ отображение М(£, •) непрерывно в точке сто;

• для любого 7 > 0 существует такое число т £ (0,7], что при всех £ £ .Е?(£о,т), сг £ В(сг0,т) выполняется включение М(£,сг) сБЦл).

Отметим, что эта задача носит исключительно вспомогательный характер и малоинтересна сама по себе. Достаточные условия существования такого отображения Л/ получены в терминах ск-накрывания в теореме 2.

Параграф 1.4 посвящен задаче о возмущении накрывающего отображения липшицевым. Теоремы о возмущении накрывающего отображения рассматривались, например, в [15]. При существенно более слабых предположениях достаточные условия сохранения отображением свойства накрываемости при малых липшицевых возмущениях были получены в [5] и сформулированы в теореме 1, которая далее применялась авторами для исследования локальной разрешимости обыкновенных дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной. Подобная этим утверждениям теорема 3 доказана в параграфе 1.4. Сформулируем ее.

Для заданных отображения Т : X х X —> У и точки у € У рассмотрим уравнение

Т(х,х) = у относительно неизвестного х £ X. Пусть даны точка щ € X и числа а > (3 > О, И > 0. Положим

Щ) = и = Вх(и0, Я),

Для каждого х2 Е и определим

ЦГ{х2) = Ву(Г{щ,х2),аВ),

Ф(х2) = {(ж2,г) : 0<г<К-рх(х2,щ)}.

Теорема Пусть пространство X полно и выполнены следующие предположения: a) для любого х2 € С/ отображение Т(-,х2) : X —* У является условно а-накрывающим множество УУ(х2) на системе Ы; b) для любых х\, Ж2 € и выполнено р¥{Т(х1,х1),Т{х1,х2)) < Ррх{х 1,ж2); c) для любой последовательности {и^} С С/ ш того, что щ —> и, Т(щ^и) у, следует Т(и,и) = у.

Тогда если у)<Ъ уе р| Т^з), х2еД(у) то существует такая точка £ £ С/, что

3/ « < г(з/).

Эта теорема представляет интерес сама по себе и, кроме того, применяется в третьей главе к исследованию локальной разрешимости уравнений Вольтерра.

Во второй главе диссертации рассмотрена следующая задача. Пусть дана управляемая система ь) = ¡(г,х,и), х(г0) = х0, с ограничениями д(г,х,и)еУ, и(г)еиуг.

Здесь £ £ М - время, £о ~~ заданный начальный момент времени, гго - заданная начальная точка, жб!"- фазовая переменная, и £ К771 - управляющий параметр, / : 1 х Г х Г Г и д : К х Мп х Мт -> К*, и С Мт, V С К* - заданные замкнутые множества. В качестве допустимых управлений рассматриваются всевозможные измеримые существенно ограниченные функции и(-) £ 1/оо(М,Кт), для которых выполняется (2.4).

Будем говорить, что эта система локально разрешима в точке (£о,£о), если существуют число г > 0 и допустимое управление и(-) такие, что задача Коши х = /(£, х, и(£)), ж(£0) = х0 на отрезке [¿о До + т] имеет решение х(-), для которого д(£, :г(£), и(£)) £ V У££ [£0,£о + т].

Предположим, что существует точка щ £ II такая, что д{к,хо,ио) £ V.

При дальнейшем исследовании также предполагается, что функция / удовлетворяет условиям Каратеодори в некоторой окрестности точки

• при п.в. t функция /(¿, •) непрерывна;

• при любых (х,и) функция /(•,х,и) измерима;

• существует такая суммируемая функция ф : Ж. —» М, что \/(Ь,х,и) | < ф(£) при п.в. для любых и и х.

Относительно д предполагается, что существуют такие а > О и ¡3 > 1, что для любого Ь достаточно близкого к ¿о, на множестве £7о(£) = С/ П В^т(щ,г(Ь,хо)), где г(Ь,х) — аГ1 (с1181;(<7(£, хо, щ), У))1^, функция •) : ВЖп{х0^)х11 является (а, /3)—накрывающей множество V по переменной и. По определению это означает, что при любых х, достаточно близких к Жо, и для любого и 6 С/о(£) выполнено д(Ь, х, В(и, ф, х0)) П II)ПУ ф 0.

В этих предположениях теорема 4 в параграфе 2.2 гарантирует локальную разрешимость управляемой системы. Доказательство теоремы 4 приведено в параграфе 2.3.

Отметим, что в приведенных выше достаточных условиях локальной разрешимости рассматриваемой системы отображение д по переменной и не предполагалось гладким. В случае, когда отображение д по и дважды непрерывно дифференцируемо, утверждение теоремы можно существенно усилить и получить условия локальной разрешимости системы в классе непрерывных управлений. Для этого в диссертации использовались теоремы о неявной функции, применимые к анормальным задачам (см., например, теорему 3 в [3]). Достаточные условия локальной разрешимости управляемо!! системы в гладком анормальном случае рассмотрены в параграфе 2.4. Сформулируем их.

Предположим, что С/ С Мт, V С М/с - замкнутые выпуклые конусы; для любых (£, х) из некоторой окрестности (¿о,£о) функция д дважды непрерывно дифференцируема по и в окрестности точки щ, причем ее первая и вторая производные непрерывны по совокупности переменных в окрестности точки (¿о, £0,^0), а отображение ж, •) удовлетворяет оиг условию Липшица для любых (£, х) близких к (£q, xq) с константой Липшица, не зависящей от (t,x). Положим д

С = —(£, ж, щ)и - V + span{v0},

Е = |-u + : и £ U, и £ Ж, vvq + ^(¿о, яо, щ)и G у| , где о = -5(^0,^0, w0) + — (to,xQ,uo)J щ, a span А - линейная оболочка множества А. Пусть существует такой вектор h, что d2q h£E, —^(t0,x0,u0)[h,h]£C.

Отображение g(to,Xo,-) называется 2-регулярным в точке х^ относительно конусов U, V по направлению /г, если имеет место

C + ^(t0,x0,u0)[h,E]=Rm.

Теорема Пусть существует такой вектор h, что функция g{to,XQ,-) 2-регулярна по переменной и в точке щ относительно конусов U, V по направлению h. Тогда управляемая система локально разрешима в точке (£о>жо)

Третья глава диссертации посвящена накрывающим воль-терровым операторам и вопросу локальной разрешимости уравнений Вольтерра.

В параграфе 3.1 дается определение вольтеррового (по А.Н. Тихонову) отображения F : X —>■ У, где (Х,рх) и

У, ру) - некоторые метрические функциональные пространства функций, определенных на заданном отрезке [а, Ь]. Кроме того, в этом параграфе приводятся достаточные условия для того, чтобы для заданного числа 7 е (о, 6] функция

Рхч^х1 — \г^{рх{х,и) : 1Рхх = а;7, П\и = и7}. определяла метрику в пространстве X7 (здесь х1 - сужение функции х € X на отрезок [а, 7], X1 - множество сужений х1 всех функций х € X, оператор П^ : X —> X1 каждой функции х ставит в соответствие функцию ж7). Доказывается, что функция рху определяет метрику, если и(ЕХ, х^еХ1 ЗхеХ:

1Рхх = х7, рх{х,и) = рх^х1,^). (1)

Приводятся примеры конкретных функциональных метрических пространств, удовлетворяющих условию (1). Наконец доказывается, что если (1) выполняется для пространств X, У, то вольтерровый оператор Р : X —> У сохраняет свойство накры-вания при уменьшении отрезка [а, 7]. Последнее утверждение носит вспомогательный характер и используется в дальнейшем при доказательстве теорем разрешимости для уравнений Вольтерра, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений.

Параграф 3.2 посвящен уравнениям Вольтерра в метрических функциональных пространствах, а именно следующей задаче. Пусть заданы вольтеррово по каждому аргументу отображение Т : X х X —> У и элемент у е. У. Сформулируем условия локальной разрешимости уравнения

Г(х,х) = у.

Пусть даны точка щ 6 X и числа а > (3 > О, Я > О, 7 £ (а, 6]. Определим отображение Т7 : X1 X X1 —» У7 равенством

ГЧ(х1\х2ч) = ЩГ(хъх2), где х\,х2 £ X - произвольные продолжения функций Ж17, х27 € X7. Положим у7 = П7у, ^ = £/7 = П7£/, где г^о, и заданы равенствами (1.14). Кроме того, обозначим ^ руч (у\ , Щ1) = г(у7)).

Для каждого х2 Е и определим

Отметим, что если пространство X удовлетворяет условию (3.5), то ЧП{х1) = П7 1У(х2), где И^а*) = £У(ТЦ), х2),

Теорема Пусть пространства X, У удовлетворяют условию (3.5), пространство X полное и выполнены следующие предположения: a) для любого х2 £ и отображение : X7 —> У7 является условно а-накрывающим множество 2) относительно и7 на совокупности *87(ж2); b) для любых х\,х2 £ и выполнено ру(Тп/(х^х'1),Т'г{х1,х1)) < (Зрх{х 1,х2)\ c) для любой последовательности {и^} С и из того, что и?к —► -и7, Т7(и^,п7) —> г/7, следует Т 1{и1,и1) = ?/7.

Тогда если г(у7)<Д, П то существует определенное на [а, 7] решение £7 € £/7 урав-лсн/ия

1.13), удовлетворяющее оценке < г (у7).

Применение приведенной выше теоремы к интегральным уравнениям рассматривается в параграфе 3.3. Кратко изложим содержание этого параграфа.

Пусть заданы замкнутое множество Q, С Мп, измеримая по первому аргументу, непрерывная по совокупности второго и третьего аргументов функция / : [а, Ъ] xQ,xKm —> Ш1 и измеримая по совокупности первого и второго аргументов, непрерывная по третьему аргументу функция /С : [а, Ь] х [a, b] X Q, —> Мта. Рассмотрим уравнение t f(t,x(t), J JC{t,s,x(s))ds) = 0, x(t)eQ, te[a,b]. (2) a

Решение будем искать в классе Loo ([a, b], Í2) измеримых существенно ограниченных функций х : [a, b] —> Г2.

Пусть заданы функция щ £ Loo ([а, 6], Г2) и положительные числа Я, d, а. Положим У = i?Rm(0,cí). Для п.в. t £ [а, Ь], любых г; € V обозначим

U{t) = Bü(u0(t),R), W(t, z) = BRi(f(t,u0(t),z),aR).

Теорема Пусть a) существует, такая суммируемая функция Ai : [a, b] -—> [0,+оо), что при п.в. t £ [а, 6], s £ [а, t] выполнено неравенство |/C(í, s, i¿g(s))| < A/"(s); b) существует такая суммируемая функция Л4 : [а, b] —> [0,+оо), что при п.в. t £ [a, b], s £ [a,t], любых х,х £ U{t) имеет место неравенство

JC(t, s, х) — /C(¿, s, ж)| < .M(s)|a; — c) существует такое Л > 0, что при п.в. t £ [а, 6], любых х £ U(t), выполнено неравенство |/(t, ж, 0)| < Л; d) существует такое неотрицательное число Р, что при

B^n (Д d). Для п.в. t G [о, Ь], любых ^ 6 В, z G V обозначим

U{t) = Bn{u0(t),R), W(tiX,z) = BRl(f{t,ù0{t),x,z),aR). Теорема Пусть a) существует такая суммируемая функция J\f : [a, ft] —► [О, +оо), -что |/С(£, s,wo(s))| < -A/"(s) при п.в. t G [а, ft], s G [а, t]; b) существует такая суммируемая функция A4 : [а, 6] —» [0,+оо), что при п.в. t G [а, 6], s G [а,£], любых ж,ж G Ï7(i) имеет место неравенство

JC(t, s,x) — JC(t, < jM(s)|x — c) существует такое Л > 0, что при п.в. t G [а,6], любых у G выполнено неравенство |/(i, у, А, 0)| < Л; d) существует такое неотрицательное число Р, что при п.в. t G [а, b], любых у G z, z G V, x>X £ В имеет место неравенство f{t,y,X,z) - f(t,y,x,z)I < Pmax{|x - xl, \z ~ z\}\ e) при п.в. t G [a, ft], всеа; % G В, 2; G V отображение f{t,-,Xiz) : iî —^ является условно а-накрывающим множество W(t, х, z) относительно U(t) на системе

ЩЬ) = {(у,г): veU(t), r€[0,R-\v-uo{t)\]}.

Тогда если vrai sup t€.[a,b] og f| f(t,u(t),x,z), vteM, xeB, zeV то уравнение (3) локально разрешимо.

1 20