Качественная структура динамических систем и слоений, определяемая нелокальным асимптотическим поведением инвариантных многообразий на универсальных накрывающих тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

1. Структура квазиминимальных множеств на замкнутых поверхностях

1.1. Основные определения и примеры.

1.1.1. Слоения, ламинации и распределения.

1.1.2. Предельное множество полуслоя.

1.1.3. Геодезические ламинации.

1.1.4. Слоеные ящики.

1.2. Аналоги теорем Черри и Майера для слоений и ламинаций

1.2.1. Аналог теоремы Черри.

1.2.2. Аналоги теорем Майера

1.3. Построение замкнутой трансверсали.

1.4. Оценка числа квазиминимальных множеств слоений и ламинаций

1.4.1. Просторно расположенные квазиминимальные множества

1.4.2. Оценка числа квазиминимальных множеств для ориентируемой поверхности.

1.4.3. Оценка числа квазиминимальных множеств для не-ориентируемой поверхности.

1.4.4. Оценка числа одномерных базисных множеств диффеоморфизмов

2. Теория Аносова-Вейля и ее приложения к динамическим системам и слоениям на замкнутых поверхностях

2.1. Основные определения

2.2. Асимптотические направления полуслоев.

2.2.1. О существовании асимптотического направления нетривиально рекуррентного просторно расположенного полуслоя.

2.2.2. Структура стабилизатора точки абсолюта.

2.2.3. Иррациональность асимптотического направления нетривиально рекуррентного полуслоя.

2.3. О влиянии абсолюта на динамические свойства и гладкость потоков

2.3.1. Соответствующая геодезическая

2.3.2. Геодезический каракас слоений и ламинаций

2.3.3. О влиянии достижимых точек абсолюта на динамические свойства.

2.3.4. О влиянии достижимых точек абсолюта на гладкость

2.4. Отклонение траекторий потоков и слоев слоений от соответствующих геодезических.

2.4.1. Ограниченность отклонения от соответствующей геодезической для потоков и слоений с конечным числом особенностей

2.4.2. Равномерная ограниченность отклонения

2.4.3. Пример нетривиально рекуррентного слоя с неограниченным отклонением.

2.5. О колебании траекторий и полутраекторий относительно геодезических и эквидистант

2.6. О бифуркациях геодезических каркасов потоков и слоений со структурно устойчивыми особенностями.

2.6.1. Устойчивость глобальной секущей при малых возмущениях потока.

2.6.2. Непрерывность иррационального каркаса.

2.6.3. Бифуркации рационального каркаса.

2.6.4. Коллапс рационального каркаса.

2.7. С7'-лемма о замыкании для векторных полей и слоений при г > 2.

2.7.1. С-топология в пространстве динамических систем и слоений.

2.7.2. Кодирование Кобе-Морса геодезических.

2.7.3. Лемма о замыкании для нетривиально рекуррентных траекторий с асимптотическим направлением непостоянного типа.

2.7.4. Лемма о замыкании для динамических систем и слоений коразмерности один на n-мерном (n > 1) торе

3. Базисные множества коразмерности один структурно устойчивых диффеоморфизмов на замкнутых п-мерных (п > 3) многообразиях

3.1. Основные определения и вспомогательные предложения

3.2. Характеристические сферы и связывающие цилиндры

3.2.1. Построение характеристических сфер.

3.2.2. Свойства характеристических сфер.

3.2.3. Применения теории ламинаций к устойчивым и неустойчивым многообразиям.

3.3. Гомеоморфность накрывающей пространству к".

3.4. О существовании нетрансверсальных пересечений инвариантных многообразий

3.5. Гомотопический и топологический тип несущих многообразий.

3.6. Об отсутствии не ориентируемых двумерных базисных множеств у структурно устойчивых диффеоморфизмов на 3-мерных многообразиях.

3.7. Топологическая классификация структурно устойчивых диффеоморфизмов с базисными множествами коразмерности один на торе.

Одной из основных задач качественной теории динамических систем является изучение глобального поведения траекторий векторных полей и инвариантных многообразий орбит диффеоморфизмов со сложным предельным множеством. Такие траектории и инвариантные многообразия образуют часто ламинации или слоения (возможно, с особенностями). Таким образом, возникает задача изучения глобального поведения слоев ламинации или слоений. Одним из эффективных методов такого изучения слоев ламинаций и слоений со сложным предельным множеством является исследованея их асимптотических свойств. В свою очередь, изучение асимптотических свойств слоев ламинаций и слоений, и даже более общего объекта - полубесконечных кривых без самопересечений, является одним из основных предметов сравнительно недавно возникшей теории, получившей название теории Аносова-Вейля.

Предмет исследования. Диссертация посвящена дальнейшему развитию этой теории, и ее применению к изучению нелокального поведения траекторий динамических систем, слоев слоений и ламинаций со сложным предельным множеством, а также инвариантых многообразий структурно устойчивых диффеоморфизмов с нетривиальными базисными множествами коразмерности один.

Актуальность темы. Векторные поля со сложным поведением траекторий и диффеоморфизмы со сложной структурой инвариантных многообразий были впервые обнаружены Пуанкаре [146], [147]. Пуанкаре построил на торе векторное поле без особенностей с нетривиально рекуррентными траекториями (он называл такие траектории незамкнутыми устойчивыми по Пуассону. Однако это название сейчас применяется редко, так как термин "устойчивость" используется в другом смысле), каждая из которых всюду плотна на торе. Затем он построил на торе векторное поле без особенностей с нигде не плотными нетривиально рекуррентными траекториями, каждая из которых имеют предельное множество, локально гомеоморфное произведению отрезка на канторово множество. Для произвольных векторных полей без особенностей, имеющих глобальную секущую, Пуанкаре ввел инвариант топологической эквивалентности (с точностью до пересчета с помощью целочисленной унимодулярной матрицы) - число вращения, которое описывает асимптотическое поведение траекторий. В некотором смысле, число вращения Пуанкаре определяет "вращение" траекторий вдоль меридианов и параллелей тора.

В 30-х годах А.Вейль [160], [161] предложил альтернативное определение для числа вращения Пуанкаре, использующее траектории накрывающего потока на евклидовой плоскости. Именно, Вейль доказал, что число вращения равно угловому коэфициенту прямой, которая имеет то же самое асимптотическое направление, что и траектории накрывающего потока [160]. Основой его рассуждений был тот факт, что поднятия траекторий на универсальной накрывающей попарно не пересекаются. Это навело Вейля на мысль, что аналогичным свойством должны обладать кривые без самопересечений, не обязательно определяемые дифференциальными уравнениями. В работе [161] он сформулировал две гипотезы о поведении накрывающих для кривых без самопересечений.

К сожалению, подход Вейля не был поддержан и вскоре забыт. Однако, в начале 60.-х годов в рамках общего подъема, переживаемого теорией динамических систем, интерес к данной тематике был возрожден Д.В.Аносовым. Вопрос, с которого начались исследования Д.В.Аносова, состоял в нахождении общего в асимптотическом поведении траекторий потока и геодезических на поверхности. Этот вопрос естественно привел Д.В.Аносова к исследованию траекторий накрывающего потока на универсальной накрывающей и изучению их асимптотического поведения. Им была доказана теорема о существовании асимптотического направления у накрывающих для траекторий потока с конечным числом точек покоя на компактной поверхности неположительной эйлеровой характеристики. В 1966 году на симпозиуме по общей топологии в Тирасполе Д.В.Аносов сообщил о доказанной им теореме, и сформулировал ряд гипотез (одна из которых обобщала гипотезу Вейля) о поведении накрывающих для кривых без самопересечений. Теорема Аносова и эти гипотезы послужили своеобразным катализатором развития всей теории.

Основы качественной теории динамических систем были заложены в конце позапрошлого и начале прошлого века в классических работах А. Пуанкаре, Дж. Биркгофа, И. Бендиксона, A.M. Ляпунова, pi др. Возникла теория Пуанкаре-Бендиксона, под которой в настоящее время понимают исследование возможного поведения отдельной траектории и изучение структуры ее предельного множества [1]. Дальнейший прогресс в этой теории связан с именами A.A. Андронова, JI.C. Понтрягина, Е.А. Леонтович, А.Г. Майера, Т. Черри. В 1937 году Андроновым и Пон-трягиным [3] было введено понятие грубости динамической системы и изучены грубые векторные поля в компактной части плоскости. Качественная структура векторных полей на двумерной сфере S2 с конечным множеством особых траекторий была исследована Леонтович и Майером [52].

При переходе от плоскости и сферы (поверхностям нулевого рода) к поверхностям ненулевого рода возрастают трудности, связанные с изучением разбиения поверхностей на траектории, поскольку становится возможным существование нетривиально рекуррентных траекторий и негомотопных нулю замкнутых траекторий или замкнутых контуров, составленных из точек покоя и сепаратрисных связей. В конце 30-х и в начале 40-х годов Черри [94] и Майер [54] описали типы траекторий квазиминимального множества, то есть множетва, являющегося замыканием нетривиально рекуррентной траектории. Черри доказал, что в любом квазиминимальном множестве имеется континуум всюду плотных в нем нетривиально рекуррентных траекторий и описал возможные типы траекторий (отметим, что теорема Черри справедлива для потоков на n-мерных многообразиях, удовлетворяющих второй аксиоме счетности). Майер для компактных ориентируемых поверхностей установил, что в квазиминимальном множестве потока всюду плотна любая содержащаяся в нем нетривиально рекуррентная траектория. Им также были получены необходимые и достаточные условия того, чтобы незамкнутая траектория являлась нетривиально рекуррентной.

Современный этап (так называемое "гиперболическое" направление) в развитии качественной теории динамических систем начался с широко известного доклада С. Смейла в 1961 году на Межднародной конференции по нелинейным колебаниям в Киеве, в котором был приведен пример структурно устойчивого диффеоморфизма двумерной сферы со счетным множеством седловых периодических точек ("подкова" Смейла). С появлением данного феномена и динамических систем Аносова

Д.В. Аносов ввел их под названием У-систем) теория гиперболических динамических систем сложилась как самостоятельная область, использующая широкий спектр методов дифференциальной топологии, теории слоений и эргодической теории. Большой вклад в дальнейшее развитие этой теории внесли работы В.М. Алексеева, Р. Боуэна, Я.Г. Синая, Дж. Френкса, Л.П. Шильникова, и др.

Возникновение качественной теории слоений восходит к работам Г. Рэба, А. Хефлигера и С.П. Новикова. Особый интерес к теории слоений возник в связи с изучением динамических систем Аносова. Техника слоений позволила Дж. Френксу [100] классифицировать диффеоморфизмы Аносова коразмерности один, неблуждающее множество которых совпадает со всем многообразием. Применение "хирургической операции" к диффеоморфизмам Аносова коразмерности один и обобщенным псев-доаносовским диффеоморфизмам приводит к нетривиальным базисным множествам коразмерности один (аттракторам и репеллерам), глубокие результаты по изучению геометрии и топологии которых принадлежат Р.В. Плыкину [61] - [65], Р. Вильямсу [164], В.З. Гринесу [38] - [40] и А.Ю. Жирову [46] - [48], [165]. Еще более сложный гиперболический аттрактор был построен В.Н. Белых [37] при исследовании конкретных дискретных систем фазовой синхронизации.

Новый импульс в изучении слоений, ламинаций и гомеоморфизмов с инвариантными слоениями дали работы В. Терстена, в которых по новому осмыслена и дополнена гомотопическая классификация гомеоморфизмов поверхностей, полученная в 1920-х годах Якобом Нильсеном. Введение Терстеном понятия псевдоаносовского гомеоморфизма, обобщающего понятие аносовского диффеоморфизма, стимулировало дальнейшие исследования в этом направлении, основанное на изучении действия гомеоморфизмов в фундаментальной группе.

Теория бифуркаций динамических систем описывает качественные изменения фазовых портретов при непрерывном, плавном изменении параметров. Одной из знаменитых проблем теории бифуркации является так называемая лемма о замыкании. Основное достижение в решении данной проблемы принадлежит Ч. Пью, который доказал С1 лемму о замыкании (С0 лемма о замыкании решается тривиально) для динамических систем на компактных многообразиях [148], [149]. Что касается Сг леммы о замыкании для г > 2, то она решена (отрицательно) для некомпактных многообразий [108] и доказана для некоторых специальных динамических систем на компактных многообразиях. В полной общности для г > 2 вопрос о справедливости С'г леммы о замыкании на компактных многообразиях остается открытым.

Нелокальная теория бифуркаций, когда рассматриваются не только бифуркации положений равновесия и предельных циклов, но всей системы в целом вместе с ее инвариантными множествами и аттракторами, возникла в работах A.A. Андронова и созданной им Горьковской школы математиков [2], [36]. Особый интерес при нелокальной бифуркации представляет изменение инварианта системы, полностью описывающего ее топологическую структуру. Например, для большого класса потоков на торе или диффеоморфизмов окружности полным топологическим инвариантом является число вращения Пуанкаре. Исследованию зависимости числа вращения Пуанкаре от параметра посвящено много работ, две из которых, Арнольда [35] и Эрмана [113], являются основопологающими.

В 1973 году Арансон и Гринес [20] построили полный топологический инвариант сверхтранзитивных потоков с точками покоя отрицательного индекса на ориентируемых замкнутых поверхностях отрицательной эйлеровой характеристики. Этот полный топологический инвариант можно представить в виде специальной геодезической ламинации (геодезического каркаса), состоящей из геодезических, представляющих асимптотические направления полутраекторий и траекторий данного потока. Такое представление позволяет рассмотреть задачу зависимости полного топологического инварианта от возмущения потока, так как пространство геодезических ламинаций наделяется структурой топологического пространства.

Диссертация посвящена изучению нелокального асимптотического поведения слоев слоений и ламинаций на замкнутых ориентируемых поверхностях и инвариантных многообразий нетривиальных базисных множеств коразмерности один на n-мерных, п > 3, многообразиях с помощью поднятий слоев и инвариантных многообразий на универсальную накрывающую. Полученные результаты применяются для исследования зависимости геодезического каркаса потоков при бифуркациях потоков, а также при доказательстве Cr, г > 2, леммы о замыкании для нетривиально рекуррентных траекторий с определенными асимптотическими свойствами на замкнутых ориентируемых поверхностях отрицательной эйлеровой характеристики. Результаты о поднятиях инвариантных многообразий нетривиальных базисных множеств коразмерности один применяются для изучения структурно устойчивых диффеоморфизмов с такими базисными множествами на п-мерных, п > 3, многообразиях с точки зрения топологической классификации и топологических свойств несущих многообразий.

Методы работы. Основными в работе являются методы теории дифференциальных уравнений и слоений, методы дифференциальной топологии, используемые в топологии поверхностей и глобальном анализе, а также методы теории гладких динамических систем.

Цель работы. Разработка методов изучения глобального поведения слоев слоений и ламинаций со сложным предельным множеством с помощью исследования асимптотических свойств поднятий слоев на универсальную накрывающую, а также методов классификации структурно устойчивых диффеоморфизмов с нетривиальными базисными множествами коразмерности один.

Научная новизна. В диссертации обосновано новое научное направление в качественной теории динамических систем - теория Аносова-Вейля. Дана методика изучения глобального поведения слоев слоений и ламинаций со сложным предельным множеством с помощью исследования асимптотических свойств поднятий слоев на универсальную накрывающую.

Автором решены следующие задачи, определяющие научную новизну работы:

1) Изучена структура квазиминимального множества слоений и ламинаций на компактной поверхности. Доказано, что квазиминимальное множество содержит континуум нетривиально рекуррентных слоев, каждый из которых всюду плотен в квазиминимальном множестве. Показано, что при конечном числе особенностей каждый незамкнутый слой квазиминимального множества всюду плотен в данном квазиминимальном множестве. Как следствие, получена точная оценка числа квазиминимальных множеств с конечным числом особенностей на компактной поверхности и получена оценка числа различных одномерных базисных множеств диффеоморфизмов замкнутой поверхности, удовлетворяющих аксиоме А Смейла.

2) Исследовано влияние абсолюта на на динамические свойства и гладкость потоков на ориентируемых замкнутых поверхностях. Выделено множество абсолюта, при достижении которого поток необходимо имеет квазиминимальное множество. В этом множестве выделено подмножество, при достижении которого поток необходимо является либо сверхтранзитивным, либо получается операцией Уайтхеда и операцией раздувания из сверхтранзитивного потока. Выделены точки, которые предписывают любой траектории сверхтранзитивного потока, достигающей данную точку, быть либо сепаратрисой седла, либо нетривиально рекуррентной в обоих направлениях траекторией. Также выделено множество абсолюта, при достижении которого поток не может быть аналитическим.

3) Доказано свойство ограниченного отклонения для полуслоя слоения с конечным числом особенностей отрицательного индекса на замкнутой ориентируемой поверхности отрицательной эйлеровой характеристики. Для потока и слоения, все точки покоя которых являются топологическими седлами отрицательного индекса, доказана равномерная ограниченность отклонения. Исследована связь неограниченного отклонения накрывающих полутраекторий и возникающего при этом эффекта колеблемости и резонансной колеблемости полутраекторий относительно соответствующих геодезических линий (геодезических или эквидистант геодезических).

4) Изучена задача о зависимости геодезического каркаса от возмущения потока или слоения. Доказано, что иррациональный геодезический каркас сверхтранзитивного потока с гиперболическими точками покоя обладает такими же свойствами, что и иррациональное число вращения Пуанкаре минимального потока на торе:

4а) непрерывность относительно возмущения потока,

46) "неустойчивость" относительно возмущения потока, то есть сколь угодно малым возмущением может быть превращен в рациональный каркас.

Аналогичный результат получен для слоений.

5) Построена бифуркация геодезического каркаса, названная коллапсом геодезического каркаса. Изучена связь этой бифуркации со свойствами соответствующей бифуркации потока и слоения. При достаточно общих предположениях доказано, что поток (или слоение), соответствующий коллапсу геодезического каркаса необходимо имеет бесконечное множетсво особеностей.

6) Исследована связь асимптотических свойств нетривиально рекуррентных траекторий и Сг леммы о замыкании при г > 2 для замкнутых ориентируемых поверхностях отрицательной эйлеровой характеристиориентируемых поверхностях отрицательной эйлеровой характеристики. Доказано, что если кодировка Морса-Кебе соответствующей геодезической имеет неограниченный тип, то справедлива Сг лемма о замыкании (г > 2) для данной нетривиально рекуррентной траектории.

7) Изучены растягивающиеся аттракторы и сжимающиеся репеллеры коразмерности один структурно устойчивых диффеоморфизмов на замкнутых n-мерных (п > 3) многообразиях. Показано, что в случае ориентируемых базисных множеств несущее многообразие гомотопически эквивалентен n-мерному тору Тп. Если п ф 4, то несущее многообразие гомеоморфено Тп. Основываясь на этом результате, получена классификация с точностью до сопряженности вышеуказанных диффеоморфизмов. Доказано, что структурно устойчивый диффеоморфизм замкнутого трехмерного многообразия не содержит в спектральном разложении неориентируемых растягивающихся аттракторов и сжимающихся репеллеров коразмерности один.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Разработанные в диссертации методы смогут найти применение в теории гладких динамических систем и ее приложениях. Например, применяя конструкцию двумерного неориентируемого аттрактора, оказалось возможным построить новый пример открытой области в пространстве диффеоморфизмов, не содержащей структурно устойчивых диффеоморфизмов. Результаты диссертации нашли отражение в спецкурсах, которые автор в течение ряда лет читал студентам Нижегородского государственного университета им. H.H. Лобачевского.

Апробация работы. Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на различных семинарах в МГУ им. Ломоносова: по теории динамических систем (семинар Д.В. Аносова), по эргодической теории (семинар Я.Г. Синая); на научном семинаре Харьковского математического общества; на научном семинаре в институте математики Молдавской АН; на научном семинаре Бершевского университета (Израиль); регулярно на научном семинаре отдела дифференциальных уравнений НИИ прикладной математики и кибернетики при Нижегородском государственном университете им. Лобачевского (руководители Е.А. Леон-тович, Л.П. Шильников).

Результаты диссертации докладывались на:

• Всесоюзных конференциях по качественной теории дифференциальных уравнений (Кишинев, 1979; Иркутск, 1986; Рига, 1989; Самарканд 1992);

• Всесоюзной конференции по геометрии (Кишинев, 1988);

• Международной конференции по топологии и ее приложениям (Киев, 1992);

• Международном симпозиуме по геометрическому изучению слоений (Токио, 1993);

• Международной конференции по топологии (Рио де Жанейро, 1994);

• Международной конференции - Дни динамики (Будапешт, 1994; Лион, 1996);

• Международной конференции по современным проблемам теории динамических систем (Нижний Новгород, 1996);

• Международной конференции по слоениям, геометрии и динамике ( Варшава, 2000);

• Международной конференции по динамическим системам и эргоди-ческой теории (Кацивели, 2000);

• Международной конференции по динамическим системам и эргоди-ческой теории (Марсель, 2001).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [23], [24], [25], [26], [27], [28], [29], [30], [31], [32], [33], [34], [45], [49], [50], [76], [79], [81], [83], [84], [85]. [131], [138].

Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 254 страницах и состоит из введения, трех глав, содержащих изложение диссертации, и списка литераруры, включающих в себя 165 наименований. Первая глава разбита на четыре параграфа, вторая - на семь, третья - на семь параграфов.

1. Андронов A.A., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г.Качественная теория динамических систем второго порядка. "Наука", Москва, 1966.

2. Андронов A.A., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г.Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. "Наука", Москва, 1967.

3. Андронов A.A., Понтрягин Л.С. Грубые системы. Доклады АН СССР, 14(1937), 5, 247-250.

4. Аносов Д.В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны. Труды МИ АН СССР 90(1967).

5. Аносов Д.В. Об одном классе инвариантных множеств гладких динамических ситем. Труды пятой международной конференции по нелинейным колебаниям. Т.2 Качественные методы, Ин-т математики АН УССР, 1970, 39-45.

6. Аносов Д.В. Грубые системы. Труды МИАН СССР 169(1985), 5993.

7. Аносов Д.В. О поведении траекторий на плоскости Евклида или Лобачевского, накрывающих траектории потоков на замкнутых поверхностях, 1. Изв. АН СССР, сер. мат., 51(1987), 1, 16-43.

8. Аносов Д.В. О поведении траекторий на плоскости Евклида или Лобачевского, накрывающих траектории потоков на замкнутых поверхностях, 2. Изв. АН СССР, сер. мат., 52(1988), 3, 451-478.

9. Аносов Д.В. О бесконечных кривых на торе и замкнутых поверхностях отрицательной эйлеровой характеристики. Труды МИАН СССР, 185(1988), 30-53.

10. Аносов Д.В. Как могут уходить в бесконечность кривые на универсальной накрывающей плоскости, накрывающие несамопересека-ющиеся кривые на замкнутой поверхности. Труды МИАН СССР, 191(1989), 34-44.

11. Аносов Д.В. О бесконечных кривых на бутылке Клейна. Матем. сб., 180(1989), 1, 39-56.

12. Аносов Д.В. Потоки на поверхностях. Труды МИАН СССР. 193(1992), 10-14.

13. Аносов Д.В. О поведении траекторий на плоскости Евклида или Лобачевского, накрывающих траектории потоков на замкнутых поверхностях, 3. Изв. АН СССР, сер. мат., 59(1995), 2, 63-96.

14. Аносов Д.В. О подъемах на плоскость полуслоев слоений на торе с конечным числом особенностей. Труды МИАН СССР, 224(1999), 28-55.

15. Аносов Д.В., Солодов В.В. Гиперболические множества. В сб. серии "Современные проблемы математики", Фундаментальные направления (Итоги науки и техники), том 66, 1991, Динамические системы 9 (под ред. Д.В.Аносова), 12-99.

16. Арансон С.Х. Траектории на неориентируемых двумерных многообразиях. Матем. сб., 80(1969), 3, 314-333.

17. Арансон С.Х. О некоторых арифметических свойствах динамических систем на двумерных многообразиях. Докл. АН СССР, 1975, 222, 2, 265-268.

18. Арансон С.Х., Гринес В.З. О некоторых инвариантах динамических систем на двумерных многообразиях (необходимые и достаточные условия топологической эквивалентности транзитивных динамических систем). Мат. сб. 1973, 90, 3, 372-402.

19. Арансон С.Х., Гринес В.З. О представлении минимальных множеств потоков на двумерных многообразиях геодезическими линиями. Изв. АН СССР, сер. матем., 1978, 42, 1, 104-129.

20. Арансон С.Х., Гринес В.З. Каскады на поверхностях. В сб. серии "Современные проблемы математики", Фундаментальные направления (Итоги науки и техники), том 66, 1991, Динамические системы 9 (под ред. Д.В.Аносова), 148-187.

21. Арансон С.Х., Гринес В.З., Жужома Е.В. О геометрии и топологии потоков и слоений на поверхностях и проблеме Аносова. Матем. сборник, 1995, 186, 8, 25-66.

22. Арансон С.Х., Жужома Е.В. О Сг-лемме о замыкании на поверхностях. Успехи Мат. Наук, 1988, 43, 5, 173-174.

23. Арансон С.Х., Жужома Е.В. Классификация аттракторов коразмерности один без перемешивания. Методы Качесив. Теории Дифф. Уравн. и Теории Бифуркаций, Горький, 1989, 5-12.

24. Арансон С.Х., Жужома Е.В. О траекториях накрывающих потоков в случае разветвленных накрытий сферы и проективной плоскости. Матем,. заметки, 1993, 53, 5, 3-13.

25. Арансон С.Х., Жужома Е.В. Квазиминальные множества слоений и одномерные базисные множества А-диффеоморфизмов поверхностей. ДАН РАН, 1993, 330, 3, 280-281.

26. Арансон С.Х., Жужома Е.В. О структуре квазиминимальных множеств слоений на поверхностях. Матем. сб., 185(1994), 31-62.

27. Арансон С.Х., Жужома Е.В. О свойствах абсолюта, влияющих на гладкость потоков на замкнутых поверхностях. Матем. заметки., 68(2000), 6, 819-829.

28. Арансон С.Х., Жужома Е.В., Медведев B.C. Усиленная С'г-лемма о замыкании для динамических систем и слоений на торе. Мат. Заметки, 1997, 61, 3, 323-331.

29. Арансон С.Х., Жужома Е.В., Медведев B.C. О непрерывности геодезических каркасов потоков на поверхностях. Мат,, сбор-нищ 1997, 188, 7, 3-22.

30. Арансон С.Х., Жужома Б.В., Медведев B.C. Непрерывность и коллапс геодезических каркасов потоков на поверхностях. Докл. РАН, 1998.

31. Арансон С.Х., Жужома Е.В., Медведев Т.В. Потоки Черри на двумерной сфере. Успехи Мат. Наук, 1994, 49, 5, 167-168.

32. Арансон С.Х., Жужома Е.В., Медведев B.C., Тельных И.А.О двумерных базисных множествах грубых диффеоморфизмов трехмерных многообразий. Успехи Мат. Наук, 55(2000), 6, 123-124.

33. Арнольд В.И. Малые знаменатели 1. Об отображениях окружности в окружность. Известил АН СССР, сер. мат., 25(1961), 1, 21-86.

34. Баутин H.H., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. Из-во "Наука", Москва, 1990.

35. Белых В.Н. Модели дискретных систем фазовой синхронизации. В книге Системы фазовой синхронизации (под ред. В.В. Шахгильдяна и Л.Н. Белюстиной). Из-во "Радио и Связь", Москва, 161-176.

36. Гринес В.З. О топологической сопряженности диффеоморфизмов двумерного многообразия на одномерных базисных множествах. Успехи мат. наук, 29(1974), 6(180), 163 164.

37. Гринес В.З. О топологической сопряженности диффеоморфизмов двумерного многообразия на одномерных ориентируемых базисных множествах, 1. Труды ММО, 1975, 32, 35-60.

38. Гринес В.З. О топологической сопряженности диффеоморфизмов двумерного многообразия на одномерных ориентируемых базисных множествах, 2. Труды ММО, 1977, 34, 243-252.

39. Гринес В.З. Топологическая классификация диффеоморфизмов Морса-Смейла с конечным множеством гетероклинических траекторий на поверхностях. Матем. заметки 54(1993), 3, 3-17.

40. Гринес В.З. О топологической классификации структурно устойчивых диффеоморфизмов поверхностей с одномерными аттракторами и репеллерами. Матем. сб., 188(1997), 57-94.

41. Гринес В.З., Жужома Е.В. О топологической классификации ориентируемых аттракторов на n-мерном торе. Успехи мат. наук, 34(1979), 4, 185-186.

42. Гринес В.З., Жужома Е.В. Необходимые и достаточные условия топологической эквивалентности ориентируемых аттракторов на n-мерном торе. Дифференциальные и интегральные уравнения: Сб. научных трудов. Горыс. гос. ун-т., Горький, 1981, 89-93.

43. Гринес В.3.7 Жужома Е.В. О грубых диффеоморфизмах с растягивающимися аттракторами и сжимающимися репеллерами коразмерности один. Доклады РАН, 374(2000), 274-276.

44. Жиров А.Ю. Перечисление гиперболических аттракторов на ориентируемых поверхностях и применения к псевдоаносовским гомеоморфизмам. Докл. РАН. 330(1993), 6, 683-686.

45. Жиров А.Ю. Соленоидальные представления и гомологии гиперболических аттракторов диффеоморфизмов поверхностей. Матем. сб. 188(1997), 6, 3-26.

46. Жужома Е.В. Ориентируемые базисные множества коразмерности 1. Известия ВУЗов. Математика, 1982. 5, 16-21.

47. Жужома Е.В., Медведев B.C. Лемма о замыкании для кусочно диффеоморфных отображений окружности. Матем. Заметки, 69(2001), 2, 310-312.

48. Келдыш JI.B. Топологические вложения в евклидово пространство. Труды МИАН СССР 81(1966).

49. Леонтович Е.А., Майер А.Г. О траекториях, определяющих качественную структуру разбиения сферы на траектории. Доклады АН СССР, 14(1937), 5, 251-257.

50. Майер А.Г. Грубое преобразование окружности в окружность.Ученые записки Горък. госуниверситета, 1939, 12, 215-229.

51. Майер А.Г. О траекториях на ориентируемых поверхностях. Мат. сборник, 12(1943), 1, 71-84.

52. Медведев B.C. О новом типе бифуркаций на многообразиях. Мат. сб., 1980, 113, по 3, 487-492.

53. Медведев B.C. О бифуркации "катастрофа голубого неба" на двумерных многообразиях. Матем. заметки, 1992, 51, по 1, 118-125.

54. Немыцкий В.В, Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.; Л., Гостехиздат, 1947.

55. Нитецки 3. Введение в дифференциальную динамику. М., Мир, 1975.

56. Новиков С.П. Топология слоений. Труды ММО, 1965, 14, 248-278.

57. Палис Ж., Ди Мелу В. Геометрическая, теория динамических систем. Введение. М., Мир, 1986.

58. Плыкин Р.В. О топологии базисных множеств диффеоморфизмов Смейла. Матем. сб., 84(1971), 301-312.

59. Плыкин Р.В. Источники и стоки А-диффеоморфизмов поверхностей. Матем. сб., 94(1974), 243-264.

60. Плыкин Р.В. О существовании притягивающих (отталкивающих) периодических точек А-диффеоморфизмов проективной плоскости и бутылки Клейна. Успехи мат. наук, 32(1977), 3, 179.

61. Плыкин Р.В. О гиперболических аттракторах диффеоморфизмов. Успехи мат. наук, 35(1980), 3, 94-104.

62. Плыкин Р.В. О геометрии гиперболических аттракторов гладких каскадов. Успехи мат. наук, 39(1984), 6, 75-113.

63. Плыкин Р.В., Сатаев Е.А., Шлячков С.В. Странные аттракторы. В сб. серии "Современные проблемы математики", Фундаментальные направления (Итоги науки и техники), том 66, 1991, Динамические системы 9 (под ред. Д.В.Аносова), 100-148.

64. Постников М.М. Лекции по алгебраической топологии. Основы теории гомотопий. М., Наука, 1984.

65. Пупко В.И. О несамопересекающихся кривых на замкнутых поверхностях. ДАН СССР, 177(1967), 2, 272-274.

66. Рохлин В.А., Фукс Д.Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. М., Наука, 1977.

67. Стинрод Н. Топология косых произведений. М., Иностр. Литер., 1953.

68. Тамура И. Топология слоений. М., Мир, 1979.

69. Хирш М. Дифференциальная топология. М., Мир, 1979.

70. Anosov D.V. Flows on closed surfaces and behavior of trajectories lifted to the universal covering plane. 'Jour, of Dyn. and Control Syst., 1995, 1, no 1, 125-138.

71. S. Aranson, G. Belitsky, E. Zhuzhoma: Introduction to Qualitative Theory of Dynamical Systems on Closed Surfaces. Translations of Math. Monographs, Amer. Math. Soc., 153(1996).

72. Aranson S., Bronshtein I., Nikolaev I., Zhuzhoma E. Qualitative theory of foliations on closed surfaces. J. Math. Sci.: 90(1998), no 3, 2111-2149.

73. S. Aranson, V. Grines, E. Zhuzhoma. On Anosov1 Weil problem.Topology, 40(2001), 475-502.

74. S. Aranson, M. Malkin, E. Zhuzhoma. On the Cr-closing lemma and the Koebe-Morse coding of geodesies on surfaces. Preprint. National Tsing Hua University, National Center for theoretical Sciences, Taiwan, 2000, no 2.

75. S. Aranson, V. Mamaev, E. Zhuzhoma. Asymptotic properties of foliations and Anosov-Weil problem. Abstracts of Intern Symp. and Workshops on Geom. Study of Foliations, Tokyo, 1993, 43-44.

76. S. Aranson, V. Mamaev, E. Zhuzhoma. Asymptotic properties of codimension one foliations and Anosov-Weil problem. Proc. of Geom. Study of Foliations (Intern Symp. and Workshops on Geom. Study of Foliations, Tokyo, 1993), 1994, 145-151.

77. S. Aranson, T. Medvedev, E. Zhuzhoma. Cherry foliations and Cherry flows on the sphere. Selecta Math. Sovietica, 13(1994), 4, 283303.

78. S. Aranson, V. Medvedev, E. Zhuzhoma. Collaps and continuity of geodesic frameworks of surface foliations. Methods of Qualitative Theory of Differential Equations and Related Topics. AMS, Translations, 200(2000), ser. 2, 35-49.

79. S. Aranson, E. Zhuzhoma. Classification of transitive foliations on the sphere with four sinularities of spine type. Selecta Math. Sou., 1990, 9, 2, 117-121.

80. Aranson S., Zhuzhoma E. Maier's theorems and geodesic laminations of surface flows. Journ. of Dyn. and Contr. Syst., 2(1996), no 4, 557-582.

81. S. Aranson, E. Zhuzhoma. Qualitative theory of flows on surfaces (a review). J. Math. S ci90(1998), no 3, 2051-2110.

82. S. Aranson, E. Zhuzhoma. On the Cr-closing lemma and the Koebe-Morse coding of geodesies on surfaces. Journ. Dyn. Contr. Syst., 7(2001), no 1, 15-48.

83. P. Arnoux, J. C. Yoccoz. Construction de difféomorphismes pseudo-Anosov. C. R. Acad. Sci. 292(1981), 75-78.

84. I. Bendixson. Sur les courbes définies par les equations différentielles. Acta Math. 24(1901), 1-88.

85. A. Berdon. The Geometry of Discrete Groups. Springer-Verlag, 1983.

86. J. Birman, C. Series. Geodesies with bounded intersection number on surfaces are sparsely distributed. Topology, 24(1985), 217-225.

87. Bowen R. Periodic points and measures for axiom A diffeomorfisms. Transactions of the American. Math. Soc. 154(1971), 337-397.

88. M. Brown. A proof of generalized Shoenflies theorem. Bull. Amer. Math. Soc. 66(1960), no 2, 74-76.

89. M. Brown, H. Gluck. Stable structure on manifolds. Ann. of Math. 79(1964), no 1, 1-58.

90. A. J. Casson, S. A. Bleiler. Automorphisms of Surfaces after Nielsen and Thurston. London Math. Soc. Student Texts, Cambridge Univ. Press, 1988.

91. T. Cherry. Topological properties of solutions of ordinary differential equations. Amer. J. Math. 59(1937), 957-982.

92. T. Cherry. Analytic quasi-periodic discontinuous type on a torus. Proc. Lond. Math. Soc. 44(1938), 2, 175-215.

93. A. Denjoy. Sur les courbes définies par les équations différentielles a la surface du tore. J. Math Pure et Appl. 11(1932), 333-375.

94. A. Denjoy. Le phenomene ergodique et les trajectoires sur le tore, C. R. Acad. Sci. Pans. 247(1958), 15, 1072-1078.

95. Ezell C.L. Branch point structure of covering maps onto nonorientable surface. Trans. Amer. Math. Soc. 243(1978), 123-133.

96. F. Farrell, L. Jones. New attractors in hyperbolic dynamics. J. Diff. Geom. 15(1980), 107-133.

97. J. Franks. Anosov diffeomorphisms. Global Analisys. Proc. Symp. in Pure Math., AMS 14(1970), 61-94.

98. J. Franks, C. Robinson. A quasi-Anosov diffeomorphism that is not Anosov. Trans. AMS 223(1976), 267-278.

99. Gardiner C.J. The structure of flows exhibiting nontrivial recurrence on two-dimensional manifolds. Journ. Diff. Equat., 1985, 57, 1, 138-158.

100. V. Grines, E. Zhuzhoma. Structuraly stable diffeomorphisms with codimension one basic sets. Preprint. Université de Bourgogne, Laboratoire de Topologie, Dijon Cedex, 2000, no 223.

101. Guckenheimer J. Endomorpliisms of Riemann sphere. Global Anal-isys. Proc. Symp. in Pure Math., AMS 14(1970), 95-123.

102. C. Gutierrez. Structural stability for flows on the torus with a cross-cap. Trans. AMS, 241(1978), 311-320.

103. C. Gutierrez. Smoothing continuous flows on 2-manifolds and recurrences. Ergod. Th. and Dyn. Sys. 6(1986), 17-44.

104. C. Gutierrez. On the Cr-closing lemma for flows on the torus T2. Ergodic Th. and Dynam. Sys. 6(1986), 45-56.

105. C. Gutierrez. A counter-example to a C2-closing. Ergodic Th. and Dynam. Sys. 7(1987), 509-530.

106. C. Gutierrez. Foliations on surfaces having exceptional leaves. Led. Notes of Math. 1331(1988), 73-85.

107. Hadamard J. Sur l'itération et les solutions asymptotiques des équations différentielles. Bull. Soc. Math. France 29(1901), 224-228.

108. Hedlund G. Two-dimensional manifolds and transivity. Ann. Math. 37(1936), no 3, 534-542.

109. Hempel J. 3-manifolds. Princeton, Annals Math. Studies, 86(1976).113. Hermann M.R.Sur la conjugaison différentiable des difféomorphismes du cercle à des rotations. Publ. Math. /#££49(1979), 2-233.

110. H. Hilmy. Sur les ensembles quasi-minimaux dans les systèmes dynamiques. Ann. of Math. 37(1936), 899-907.

111. M. Hirch, C. Pugh. Stable manifolds and hyperbolic sets. Global Analysis, Proc. Symp., Amer. Math. Soc., 14(1970), 133-;163.

112. M. Hirch, J. Palis, C. Pugh, M. Shub. Neighborhoods of hyperbolic sets. Invent. Math. 9(1970), 121-134.

113. W. C. Hsiang, C. T. C. Wall. On homotopy tori, II. Bull.London Math. Soc. 1(1969), 341-342.

114. Jones L. Locally strange hyperbolic sets. Trans. Amer. Math. Soc. 275(1983), no 1, 153-162.

115. A. Katok, B. Hasselblatt. Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems. Encyclopedia of Math, and its Appl. Cambridge Univ. Press, 1994.

116. R. Kirby, L. Siebenmann. On the triangulation of manifolds and Hauptvermutung. Bull. Amer. Math. Soc. 75(1979), no 4, 742-749.

117. P. Koebe. Uber die Uniformizierung algebraischer Kurven. Math. Ann., 1909, Bd. 67, 145-224; 1910, Bd. 69, 1-81; 1912, Bd. 72, 437- 516; 1914, Bd. 75, 42-129.

118. P. Koebe. Riemannische Manigfaltigkeiten und nichteuklidiche Raumformen, IY. Sitzung. der Preuss. Akad. der Wissenchaften, 1929 414-457.

119. H. Kollmer. On hyperbolic attractors of codimension one. Lect. Notes Math. 597(1977), 330-334.

120. Levitt G. Feuilletages des surfaces. Ann. Inst. Fourier 32(1982), 179217.

121. Levitt G. Foliations and laminations on hyperbolic surfaces. Topology, 22(1983), no 2, 119-135.

122. Levitt G. Feuilletages des surfaces. These, Paris, 1983.

123. R. Marié. A proof of C1 stability conjecture. Publ. Math. IHES 66(1988), 161-210.

124. A. Manning. There are no new Anosov diffeomorphisms on tori. Amer. Journ. of Math. 96(1974), 422-429.

125. Markley N.G. The Poincare-Bendixon theorem for the Klein bottle. Trans. Amer. Math. Soc., 1969, 135, 159-165.

126. B. Mazur. On embedding of spheres. Bull. Amer. Math.' Soc. 65(1959), 59-65.

127. V. Medvedev, E. Zhuzhoma. Mappings with three homeomor-phisms intervals that change the orientation of one of them. Journ. Dyn. Contr. Syst., 6(2000), no 1, 13-19.

128. W. de Melo. Structural stability of diffeomorphisms on two-manifolds. Invent. Math. 21(1973), 233-246.

129. J. W. Morgan, P. Shalen. Valuations, trees, and degenerations of hyperbolic structure, II: measured laminations in 3-manifolds. Annals of Math., 127(1988), 403-465.

130. M. Morse. A one-to-one representation of geodesies on a surface of negative curvature. Amer. J. Math. 43(1921), 33-51; Symbolic dynamics. Institute of Advanced Study Notes, Princeton, 1966 (unpublished).

131. P. J. Myrberg. Ein Approximationssatz fur die Fuchsschen Gruppen. Acta Math. 57(1931), 389-409.

132. S. E. Newhouse. On codimension one Anosov diffeomorphisms. Amer. J. Math. 92(1970), no 3, 761-770.

133. J. Nielsen. Untersuchungen zur Topologie der geshlosseenen zweiseitigen Flächen. Acta Math. 50(1927), 189-358; 53(1929), 1-76; 58(1932), 87-167.

134. I. Nikolaev, E. Zhuzhoma. Flows on 2-dimensional manifolds. Lect. Notes 1705(1999).

135. J. Palis. On Morse-Smale dynamical systems. Topology 8(1969), no 4, 385-404.

136. M. Peixoto. Structural stability on two-dimensional manifolds. Topology, 1(1962), 101-120; A further remark. Topology 2(1963), 179-180.

137. Perron O. Uber Stabilität und asymptotisches Verhalten der Integrale von Differentialgleichungs systemen. Math. Z. 29(1928), 129-160.

138. Perron O. Die Stabilitätsfrage bei Differentialgleichungen. Math. Z. 32(1930), 703-728.

139. J. Plante. On the existence of exceptional minimal sets in foliations of codimension one. J. Diff. Equat. 15(1974), 178-194.

140. J. Plante. The homology class of an expanded invariant manifolds. Lect. Notes Math. 468(1975), 251-256.

141. H. Poincare. Theorie des groupes Fuchsiens. Acta Math., 1882, Bd. 1, 1-62. Имеется перевод: А. Пуанкаре. Теория фуксовых групп. Серия "Классики науки". Избранные труды, том 3, 9-62. Москва, Наука, 1974.

142. H. Poincare. Sur les courbes définies par les equations différentielles. J. Math. Pures Appl. 2(1886), 151-217. Имеется перевод: A. Пуанкаре. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. Серия "Классики естествознания". M-JL, ОГИЗ, 1947.

143. H. Poincare. Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste. I (1892), II, III (1899), Guathier-Villars, Paris.

144. C. Pugh. The Closing lemma. Amer. J. Math. 89(1967), 956-1009.

145. C. Pugh. An improved Closing lemma and a General Density Theorem. Amer. J. Math. 89(1967), 1010-1021.

146. C. Pugh, C. Robinson. The C1 Closing lemma, including Hamilto-nians. Ergodie Th. and Dynam. Sys. 3(1983), 261-313.

147. G. Reeb. Sur certaines propriétés topologiques des variétés feuilletées. Actual. Sci. Ind., no 1183, Hermann, Paris, 1952.

148. G. Reeb. Structures feuilletees. Lect. Notes Math. 652(1978), 104-113.

149. C. Robinson. Structural stability of С1 diffeomorphisms. J. Diff. Equat. 22(1976), no 1, 28-73.

150. C. Robinson. Dynamical Systems: stability, symbolic dynamics, and chaos. Studies in Adv. Math., Sec. edition, CRC Press, 1999.

151. R. C. Robinson, R. F. Williams. Future stability is not generic. Dynamical Systems: Proc. Symp. (Brazil, 1971), Academic Press, New York, London, 1973, 451-462.

152. H. Rosenberg. Foliations by planes. Topology 7(1968),: 131-138.

153. H. Rosenberg. Labyrinths in the disc and surfaces. Annals of Math., 117(1983), no 1, 1-33.

154. Smale S. Differentiable dynamical systems. Bull. Amer. Math. Soc., 1967, 73, 1, 741-817 (Первод на рус. язык: Успехи мат. наук 25(1970), 113-185).

155. J. Stallings. On fibering certain 3-manifolds. Topology of 3-manifolds, Prentice-Hall, 1962.

156. A. Weil: On systems of curves on a ring-shaped surface. J. Indian Math. Soc., 19 (1931), 5, 109-112.

157. A. Weil: Les families de curbes sur le tore. Mat. Sbornik, 43 (1936), 5, 779-781.

158. H. Whitney. Regular families of curves, Ann. of Math. 34(1933), no 2, 244-270.

159. H. C. Wilkie. On non-euclidean crystallographic groups. Math. Z., 1966, 87-102.

160. R. F. Williams. The DA-maps of Smale and structural stability. Proc. Berk. Symp. 14(1970), 329-334.

161. A. Yu. Zhirov. Complete combinatorial invariants for conjugacy of hyperbolic attractors of diffeomorphisms of surfaces. Journ. Dyn. and Contr. Syst, 6(2000), no 3, 397-430.