Алгебры функций на группоиде слоения, порожденного действием коммутативной группы Ли тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Иваньшин Петр Николаевич

АЛГЕБРЫ ФУНКЦИЙ НА ГРУППОИДЕ СЛОЕНИЯ, ПОРОЖДЕННОГО ДЕЙСТВИЕМ КОММУТАТИВНОЙ ГРУППЫ ЛИ

01.01.04 - геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань - 2005

\

Работа выполнена в Научно-исследовательском институте математики и механики им. Н.Г. Чеботарева Казанского государственного университета (НИИММ КГУ)

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент,

Малахальцев Михаил Арменович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор,

Григорян Сурен Аршакович,

Ведущая организация Московский государственный

университет

Защита состоится 1 декабря 2005г. в 15.30 на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 при Казанском государственном университете им. В.И. Ульянова-Ленина по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, д.18.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н.И. Лобачевского Казанского государственного университета им. В.И. Ульянова-Ленина

кандидат физико-математических наук, доцент,

Жукова Нина Ивановна.

Автореферат разослан 30 октября 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, канд. физ.-мат. наук, доцент

М. А. Малахальцев

JgSSZ

шъги

3

Общая характеристика работы

Актуальность. Слоение, порожденное действием коммутативной группы, является естественным обобщением динамической системы. Основы качественной теории динамических систем заложены в работах А. Пуанкаре, ряд фундаментальных результатов в этой области был получен выдающимися советскими математиками А.Н.Колмогоровым, В.И.Арнольдом [1], Д.В.Аносовом [8]. Выдающиеся результаты в теории слоений были получены С.П. Новиковым.

Одним из мощных инстументов исследования динамических систем является применение методов функционального анализа. А. Конн развил новый подход к построению инвариантов слоения на основе изучения С*-алгебр функций на группоидах [12] слоений с использованием топологической -ЙТ-теории [2]. Исследованию топологических свойств многообразий со слоениями посвящена монография К.К.Мура и К.Шоке [15]. Ж.Рено, Ф.Каде [10] применяли эти методы, например, для решения задачи квантования скобки Пуассона на многообразии.

Слоения со связностями Эресмана были введены в работах P.A. Блюменталя и Дж. Дж. Хебды [9]. Они подробно исследовались в работах Я.Л.Шапиро, Н.И.Жуковой [6, 7, 5], Р.Волака [16]. Отметим, что понятие связности Эресмана является обобщением структуры двуслоения, введенной Я.Л. Шапиро. Существуют достаточно эффективные критерии существования связности Эресмана для слоений. Все они накладывают дополнительные требования на многообразие со слоением. Например, существование симплектической структуры и метрики с определенными свойствами, существование исчезающих циклов, отсутствие компонент Риба (в особенности на многообразиях размерности 3), отсутствие предельных циклов, наличие римановой метрики на многообразии и условия ограниченности длин стороны прямоугольников, построенных с помощью этой метрики. Также вопрос о существовании связности Эресмана исследовался для тотально геодезических слоений [11, 13].

Цель работы. Изучение многообразий со слоениями, порожденными действием коммутативной группы Ли, в частности, нахожде-

ние условий существования связности Эресмана, инвариантной относительно действия этой группы, построение инвариантов такого слоения с помощью алгебры непрерывных функций на группоиде слоения.

Методика исследования. В работе использовались методы теории слоений, дифференциальной топологии, функционального анализа.

Научная новизна. Результаты работы, выносимые на защиту, являются новыми и получены автором самостоятельно.

На защиту выносятся следующие результаты.

1. Для многообразия со слоением коразмерности 1, порожденным локально свободным действием группы Кп, в терминах действия этой группы найдены необходимые и достаточные условия существования связности Эресмана.

2. Построена почти всюду непрерывная биекция многообразия М со слоением F, порожденным действием коммутативной группы Ли Н, и связностью Эресмана, инвариантной относительно действия этой группы, на произведение Л-дополнительной трансверсали Р и фактора Я по инвариантной подгруппе Нр = {к е Н\кр 6 Р}.

3. Для алгебры скрещенного произведения С* (С?) на группоиде слоения построена фильтрация, сходящаяся к С*(С); доказана стабилизация группы К0 алгебр из фильтрации.

4. Построено вложение алгебры функций Со(М)\ь, полученных ограничением непрерывных функций, обращающихся в 0 на бесконечности, на слой слоения, в Со(Ь) х ЦС([0,1]). Выяснено, как свой-

г

ства этого вложения зависят от структуры множества точек пересечения слоя и трансверсали.

Теоретическое значение.

Результаты диссертации могут быть применены для исследования многообразий со слоениями, в частности, к получению условий существования связности Эресмана на слоеном многообразии, к исследованию алгебр, ассоциированных со слоением.

Апробация работы.

Результаты докладывались на конференциях:

1 Международная конференция "Алгебра и Анализ - 2004", Казань, КГУ, 2-9 июля 2004 г.

2. Международная конференция "Колмогоров и современная математика", Москва, МГУ, 2003 г.

3. Международная конференция "New Geometry of Nature", Казань, КГУ, 25 августа - 5 сентября 2003 г.

Также по результатам диссертации были сделаны доклады на международных молодежных научных школах-конференциях "Лобачевские чтения"(2003, 2004 гг.), на итоговых конференциях Казанского государственного университета (2001 - 2004 гг.), на заседаниях семинаров кафедры геометрии Казанского государственного университета и отдела геометрии Научно-исследовательского института математики и механики им. Н.Г Чеботарева Казанского государственного университета.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Работа набрана в системе LaTeX и содержит 114 страниц. Список литературы насчитывает 54 названия

Содержание работы.

В первой главе излагаются основные сведения из теории слоений и теории С*-алгебр, используемые в диссертации.

В первой части второй главы изучаются условия существования на заданном многообразии со слоением коразмерности 1, порожденным действием коммутативной группы Ли, связности Эресма-на, инвариантной относительно действия этой группы.

Определение 38. Назовем трансверсалъ Р дополнительной к слоению F, если {кР}ьеН ~~ слоение на М, дополнительное к Р.

Определение 39. Будем говорить, что трансверсалъ гомотопна Я"-дополнительной, если на Н можно так задать новую групповую структуру, непрерывную относительно старой, что в новой групповой структуре на Н трансверсалъ Р станет Н-дополнительной.

Пусть слоение .Р допускает Н-дополнительную трансверсаль Р. Определим одномерное распределение Е на М следующим образом. Так как трансверсаль Р пересекает все слои слоения F (орбиты действия Н), для любой х е М существуют р € Р и к е Н такие, что х = Нр. Положим

Е{х) = йНр(ТрР).

Теорема 15. Распределение Е есть связность Эресмана на М

Рассмотрим теперь множество В = {{Н,х) € Н х Р\кх € Р}.

Теорема 16. Пусть (М, Р) — двумерное многообразие со слоением, порожденным локально свободным действием коммутативной группы Ли Н = Ж. Пусть существует тотальная связная замкнутая трансверсаль Р, для которой ко '■ В —> Р — глобально тривиальное накрытие.

Тогда Р гомотопна Н-дополнительной к слоению Р

Пусть сНт Н > 1 и расслоение В глобально тривиально. Определим перенос элемента Н £ Нх по д € Нх следующим образом: Пусть (дх, /г') € {дх} х Ндх — элемент слоя расслоения В, лежащий в одной компоненте связности с {х,Н) е {х} х Нх С В. Положим ПдК = дЫ е Нх.

Теорема 17. Если В глобально тривиальное накрытие и для всех х € Р и h € Нх перенос П3 - ограничение сдвига в Мп, то Р гомотопна Н-дополнительной.

Далее рассмотрим частный случай, в котором глобальная трансверсаль слоения гомеоморфна S1.

Теорема 18. Если трансверсалъ Р компактна, то 7го : В —► Р — накрытие.

Центральным утверждением этого параграфа является

Следствие 1. Пусть на двумерном многообразии слоение F порождено локально свободным действием R. Пусть Р — тотальная связная компактная трансверсалъ к F. Тогда Р гомотопна Н-дополнителъной.

Приведены примеры, иллюстрирующие утверждения, приведенные выше, в частности, показано, что для некомпактной трансвер-сали утверждения теоремы 18 и следствия 1 могут быть неверны.

Теорема 20. Пусть слоение коразмерности 1 на многообразии М порождено действием коммутативной группы Ли. Пусть еще множество Н-дополнительных к слоению F трансверсалей не пусто. Тогда на множестве инвариантных связностей Эресмана можно ввести структуру аффинного пространства.

Во второй части второй главы строится биекция М —► Р х S. Для построения этого отображения доказаны следующие утверждения:

Теорема 21. Предположим, что существует такая точка xq е М, что

1) Р(хо) - связное подмногообразие М размерности, равной коразмерности слоения.

2) Слой S, проходящий через точку хо, пересекает Р(хо) только в Хо-

Пусть S' есть связное подмножество в Н такое, что существует универсальное накрытие р : Н —* S, со свойствами: р{е) = xq, : S' —у S есть биекция upjy» : S'° S° есть гомеоморфизм, здесь А° - внутренность множества А. Тогда существует почти всюду непрерывная биекция ф : М —> Р(хо) х S'.

Следствие 4. Пусть М — многообразие со слоением, порожденным действием коммутативной группы Н. Пусть существует Р — множество точек, которые могут быть соединены с выделенной точкой хо G Lq С М горизонтальной кривой, такое, что

1) Р — подмногообразие.

2) dim Р = п — р — коразмерности слоения.

Тогда существует сюрьеки,ия it : Р х Lq -н► М, которая почти всюду является локальным гомеоморфизмом, причем для каждого х б М 7г непрерывно на Lq/S х {я}, S — Н/Нр, где Hp — группа изотропии трансверсали Р.

В третьей главе исследуются алгебры функций на группоиде слоения.

Построим неубывающую последовательность подалгебр алгебры

скрещенного произведения C*(G). Покроем Р открытыми шарами

радиуса е, то есть Р = [J Ue(x). Определим алгебры C*£(U£(x)) в

хеР

каждом шаре Ue(x). Отношение эквивалентности для каждого шара U£(x) определим как отношение эквивалентности на многообразии Sat(?7g(a;)) с горизонтальными кривыми, лежащими в UE(x).

Предложение 17. Пусть М — многообразие со слоением, порожденным действием компактной коммутативной группы Ли Н и интегрируемой связностью Эресмана. Пусть Р есть горизонтальное инвариантное трансверсальное подмногообразие (M,F) максимальной размерности. <

Предположим, что

1) Для каждой пары точек х,у G Р d(hx, hy) = const (действие Hp сохраняет расстояние между точками на Р).

2) Существует лишь конечное количество особых точек на Р.

3) Каждый слой слоения F пересекает Р в дискретном множестве точек.

Тогда Um С* r = Cr* {G).

Исследованы на сходимость локальные алгебры группоида слоения:

Предложение 18. 1) Для любых двух слоев L\ и L^ слой L\

имеет насыщенную окрестность, которая не пересекает Ь2 ■

2) Пусть а) Н некомпактна, Ь) Нт С*Т — С*{О), с) для каж-

е—»0 '

дого Ь € Р и х € Ь(~)Р существует и{х) С Р, 1/(х)(]Ь = {х}. Тогда для любых двух слоев Ь\ и Ь^ слой Ь\ имеет насыщенную окрестность, которая не пересекает Ьч-

Теорема 24. Пусть слоение Р допускает Н-дополнительную трансверсаль Р такую, что множество особых точек £ конечно. Пусть Нт С* = С*. Тогда существует такое ео > 0, что для

е->0 '

любого 5 < ео

К0(С*г(О)) £ Ко(С$г).

В первой части последней главы изучается структура алгебры Со(М)\£. Вначале рассмотрены три простейших случая, для каждого из которых найдена структура исследуемой алгебры. На примере этих частных случаев показана связь исследуемой задачи с метрической классификацией гомеоморфизмов Р —> Р.

Теорема 26. Пусть для точки х £ Р последовательность апх содержит сходящуюся подпоследовательность ап'х —> г 6 Р, пг —> оо. Пусть Ь — слой слоения Р, проходящий через точку х. Тогда существует инъективное отображение

С0(М)\Ь ^ С0(Ь) хЦС([0,1\).

г

Далее доказано, что в представлении, полученном выше, Со(Ь) не присутствует тогда и только тогда, когда Ь(~]Р не содержит изолированные точки. Вторая часть ХхС([0,1]) конечна тогда и только тогда, когда конечно множество предельных точек.

Приведены примеры всех возможных типов представления, как содержащих только один сомножитель из представления, так и произвольную их комбинацию.

Далее исследована структура спектра семейства операторов типа Шредингера Нь = -¿I + V, V £ Со(М)^ на многообразии со

слоением. Пусть сначала Н = Тп и операторы действуют на универсальной накрывающей слоя.

Теорема 27. Пусть слои слоения Р компактны. Тогда спектр Лх оператора Шредингера И,х непрерывно зависит от х £ Р, то есть для любой точки в £ Ах и любой окрестности и (в) С К существует такая окрестность У(х) С Р, что для каждой х' € У(х) множество Ах> П С/(в) непусто. Пусть операторы действуют на слоях.

Теорема 28. Пусть все слои слоения Р компактны. Тогда спектр оператора Шредингера Нь, непрерывно {см. теорему 27) зависит от параметра р £ Р.

Теорема 29. Спектр оператора Шредингера

на Ь, где V есть почти-периодическая функция, не зависит от слоя

ЬеР.

Список публикаций автора по теме диссертации: Статьи:

1. Ivanshin P.N. Algebras of functions on groupoid of some special foliations. / P.N. Ivanshin // Southwest J. Pure Appl. Math. - 2003. -Vol. 1. - Pp. 96-108.

2. Ivanshin P. N. Deformational quantization on manifolds with the action of Mn and integrable Ehresmann connection. / P.N. Ivanshin // Proc. Joint Intern. Conf. "New Geometry of Nature", Kazan State University, Kazan, Russia, August 25-September 5. - 2003. - Vol. 1. -Pp. 98-100.

3. Иваныпин П.Н. Структура алгебры ограниченных бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем на группоиде многообразия со слоением, порожденным действием коммутативной группы. / П.Н. Иваныпин // Изв. вуз-ов, Математика. - 2004. - N. 5. - С. 37-40.

4. Ivanshin P.N. Structure of function algebras on foliated manifolds. / P.N. Ivanshin // Lobachevskii J. Math. - 2004. - Vol. 14. - Pp. 39-54.

5. Иваныпин П.Н. Операторы на слоях слоения, порожденного действием R. / П.Н. Иваныпин // Уч. записки КГУ. 2005. т. 147, кн. 1. С. 55-64.

Тезисы конференций:

1. Иваныпин П.Н. Структура алгебры C*(G) на многообразии со слоением, порожденным действием коммутативной группы и связностью Эресмана/ П.Н. Иваныпин // Волга-2002, Тезисы докладов

- Казань, Изд-во "Регент", 2002,- С. 24.

2. Иваныпин П.Н. Алгебры функций на группоиде слоения, порожденного действием коммутативной группы / П.Н. Иваныпин // Движения в обобщенных пространствах, Межвуз. сб. науч. трудов.

- Пенза, изд-во ПГПУ, 2002.- С. 100-108.

3. Иваныпин П.Н. Алгебры функций на группоиде слоения, порожденного локально свободным действием коммутативной группы Ли./ П.Н. Иваныпин // Труды геометрического семинара: Межвуз. темат. сб. науч. тр., Вып. 24. - Казань, 2003.- С. 63-68.

4. Ivanshin P.N. On certain operator algebras on the groupoid of

the foliation. / П.Н. Иваньшин // Тезисы докладов международной конференции "Колмогоров и современная математика". - Москва, МГУ, 2003.- С. 811.

5. Иваньшин П.Н. Плотность слоев на многообразии со слоением, порожденным действием Rn / П.Н. Иваньшин // Волга-2004, Тезисы докладов. - Казань, Изд-во "Веда", 2004.- С. 51.

6. Иваньшин П.Н. Спектр одного семейства операторов на многообразии со слоением / П.Н. Иваньшин // Алгебра и Анализ - 2004, Материалы международн. конференции. - Казань, Изд-во Казанского математического общества, 2004.- С. 95-96.

Список литературы

[1] Арнольд В.И. Эргодические проблемы классической механики / В.И. Арнольд, А. Авец - Ижевск: РХД, 2000. - 284 с.

[2] Мерфи Дж. С*-алгебры и теория операторов / Дж. Мерфи -М.: Факториал, 1997. - 336 с.

[3] Новиков С.П. Топология слоений. / С.П. Новиков // Труды моек. мат. общ-ва. - 1965. - Т. 14. - С. 248-278.

[4] Тамура И. Топология слоений / И. Тамура - М.: МИР, 1979. -320 с.

[5] Шапиро Я.Л. О двулистной структуре на приводимом римано-вом многообразии. / Я.Л. Шапиро // Известия вузов. Матем. -1972. - N 12. - С. 102-110.

[6] Шапиро Я.Л., Жукова Н.И. О глобальной структуре приводимых многообразий. / Я.Л. Шапиро, Н.И. Жукова // Известия вузов. Матем. - 1980. - N 10. - С. 60-62.

[7] Шапиро Я.Л. Слоения на некоторых классах римановых многообразий. / Я.Л. Шапиро, Н.И. Жукова, В.А. Игошин // Известия вузов. Матем. - 1979. - N 7. - С. 93-96.

[8] Anosov D.V. Flows on closed surfaces and behavior of trajectories lifted to the universal covering plane // J. Dyn. Control Syst., 1, N 1, 1995. p. 125-138.

[9] Blumenthal R.A. Complementary distributions which preserve the leaf geometry and applications to totally geodesic foliations / R.A. Blumenthal, J.J. Hebda // Quart. J. Math. - 1984. - N 35. - Pp. 383-392.

[10] Cadet F. Deformation quantization using groupoids. Case of toric manifolds // arXiv:math.OA/0305261.

[11] Cairns G. Feulletages géodésibles. Thèse / G. Cairns - USTL Montpellier, 1987.

[12] Connes A. Noncommutative geometry / A. Connes - San Diego, CA: Academic Press, 1994. - 661 p.

[13] Hermann R. A sufficient condition that a map of Riemannian manifolds be a fibre bundle // Proc. A.M.S. - 1960. - Vol. 11. -Pp. 236-242.

[14] Molino P. Riemannian foliations / P. Molino Boston: Birkhauser, 1988. - 339 p.

[15] Moore C.C. Global analysis on foliated spaces / C.C. Moore, C. Schochet - Berlin: Springer-Verlag, 1988. - 337 p.

[16] Wolak R.A. Ehresmann connections for lagrangian foliations. / R.A. Wolak // Journal of Gometry and Physics - 1995. - Vol. 17. - Pp. 310-320.

Отпечатано с готового оригинал-макета

в ООО «ХайТек» 420111, г. Казань, ул. Саид-Галеева, д. 6

Заказ № 139 от 20.10.2005 г. Формат 60x90 1/16. Бумага офсет 80 г. Печать ризографическая. Тираж 100.

i

Y

i

á

*21200

РНБ Русский фонд

2006-4 18562

и \ 00>- 4 \

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ уНИВЕРСИТЕТ им. В.И. Ульянова-Ленина

На правах рукописи

Иваньшин Петр Николаевич

АЛГЕБРЫ ФУНКЦИЙ НА ГРУППОИДЕ СЛОЕНИЯ, ПОРОЖДЕННОГО ДЕЙСТВИЕМ КОММУТАТИВНОЙ ГРУППЫ

ЛИ

специальность 01.01.04 - геометрия и топология

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: Малахальцев М.А., канд. физ.-мат. наук, доцент

Казань-2005

♦

Оглавление

1 Необходимые сведения. 15

1.1 Связность Эресмана слоения......................................15

1.2 Поля алгебр........................................................18

1.3 К -теория С*-алгебр..............................................20

1.4 Счетные отношения эквивалентности............................23

1.5 Классификация отношений эквивалентности и разложение пространств...................................24

1.6 Почти-периодические функции................. . 26

# 1.7 Группоиды..........................................................26

1.8 Мера Хаара............................' . 29

1.9 Группоид гомотопических классов слоевых путей..............30

1.10 Теорема Каца......................................................30

1.11 Связь с теорией динамических систем............................31

2 Структура многообразия М со слоением, порожденным ло-4 кально свободным действием коммутативной группы Ли Н

и связностью Эресмана. 33

2.1 Существование связности Эресмана, инвариантной относительно действия коммутативной группы, порождающей слоение..................................................33

2.2 Основная теорема существования................................35

^ 2.2.1 Основные предположения................................35

2.2.2 Стационарная подгруппа трансверсали..................36

2.2.3 Я-дополнительная трансверсаль и связность Эресмана 36

2.2.4 Условия существования Я-дополнительной трансверсали ........................................................38

2.3 Существование Я-дополнительной трансверсали при условии существования компактной трансверсали..................46

2.3.1 Свойства множества переносов............................48

2.3.2 Существование инвариантной трансверсали, если группа переносов кристаллографическая........... . 52

2.4 Существование связности Эресмана при условии существования некомпактной трансверсали Р............................59

2.4.1 Построение компактной трансверсали..................59

2.5 Структура аффинного пространства на множестве Н -дополнительных трансверсалей ...............................63

2.6 Структура алгебры C™(G)......................................66

3 Стабилизация группы Ко фильтрации алгебры C*(G(M)). 72

3.1 Алгебра измеримых функций, ассоциированная с парой слоев. 72

3.2 Алгебра функций C*(G) на G(M)..............................76

3.2.1 Определение пространства С*(G)........... . 77

3.2.2 Отношение эквивалентности на группоиде G и определяемые им подалгебры алгебры С* (G)..............78

3.3 Фильтрация C*(G)................................................79

3.4 Теорема о стабилизации К0-групп C¡r(G)......................86

4 Структура алгебры функций Cq(M)\l . 88

4.1 Структура алгебры Cq{M)\l для слоений, удовлетворяющих условию 1............................................................89

4.2 Структура алгебры Cq(M)\l для слоений, удовлетворяющих условию II.......................................92

4.2.1 Метрики, инвариантные относительно диффеоморфизма ..........................................................92

4.2.2 Структура С0(М)\Ь........................................97

4.3 Структура алгебры Cq{M)\l для слоений, удовлетворяющих условию III..........................................................98

4.4 Общий случай...........................101

4.5 Семейство операторов типа Шредингера............105

4.5.1 Оператор типа Шредингера на универсальной накрывающей слоя........................105

4.5.2 Оператор типа Шредингера на слое...........107

4

■4 <Ф

Общая характеристика работы

В диссертации изучаются слоения, порожденные локально свободными действиями коммутативных групп Ли. Находятся условия, при которых такие слоения допускают связность Эресмана и адаптированную к ней трансверсаль. Изучаются алгебры функций на группоиде слоения, порожденного локально свободным действием коммутативной группы Ли и допускающего связность Эресмана.

Актуальность.

Слоение, порожденное действием коммутативной группы, является естественным обобщением динамической системы. Основы качественной теории динамических систем заложены в работах А. Пуанкаре, ряд фундаментальных результатов в этой области был получен выдающимися советскими математиками А.Н.Колмогоровым, В.И.Арнольдом [2], Д.В.Аносовом [33]. Выдающиеся результаты в теории слоений были получены С.П. Новиковым [18] и М.Л.Громовым [8].

К настоящему времени опубликован ряд монографий, посвященных общей теории слоений, например. [48, 25].

Одним из мощных инстументов исследования динамических систем является применение методов фукционального анализа. А. Конн развил новый подход к построению инвариантов слоения на основе изучения С*-алгебр функций на группоидах [40] слоений с использованием топологической К -теории [16]. В связи с исследованием топологических свойств многообразий со слоениями нельзя не упомянуть монографию К.К. Мур и К.Шоке [49]. Ж.Рено, Ф.Каде [38] применяли эти методы, например, для решения задачи квантования скобки Пуассона на многообразии.

Слоения со связностями Эресмана были введены в работах P.A. Блюмен-таля и Дж.Дж. Хебды [35]. Они подробно исследовались в работах Я.Л. Ша-

пиро, Н.И.Жуковой [30, 31, 29], Р. Волака [53]. Отметим, что понятие связности Эресмана является обобщением структуры двуслоения, введенной Я.Л. Шапиро. Отметим, что несмотря на усилия многих ученых, вопрос о существовании связности Эресмана на слоении еще не полностью исследован. Например, для исследования существования связности Эресмана применялись тотально геодезические слоения [39, 45]. Существуют достаточно эффективные критерии существования связности Эресмана для слоений. Все они накладывают дополнительные требования на многообразие со слоением. Например, существование симплектической структуры и метрики с определенными свойствами, существование исчезающих циклов, отсутствие компонент Риба (в особенности на многообразиях размерности 3), отсутствие так называемых предельных циклов [5], наличие римановой метрики на многообразии и условия ограниченности длин стороны прямоугольников, построенных с помощью этой метрики. В настоящей работе эта проблема рассматривается для слоений, порожденных локально свободным действием коммутативной группы.

Цель работы. Исследование структуры многообразий со слоениями, порожденными действием коммутативной группы Ли и связностью Эресмана, а также алгебр функций, ассоциированных с группоидами слоений.

Методика исследования. В работе использовались методы теории слоений, дифференциальной топологии, функционального анализа, эрго-дической теории.

Научная новизна. Результаты работы, выносимые на защиту, являются новыми и получены автором самостоятельно.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ, список которых приведен в конце Введения.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Работа набрана в системе ЬаТеХ и содержит 114 страниц. Список литературы насчитывает 54 названия.

На защиту выносятся следующие результаты.

1. Для многообразия со слоением коразмерности 1, порожденным локально свободным действием группы Мп, в терминах действия этой группы найдены необходимые и достаточные условия существования связности

Эресмана.

2. Построена почти всюду непрерывная биекция многообразия М со слоением порожденным действием коммутативной группы Ли Я, и связностью Эресмана, инвариантной относительно действия этой группы, на произведение Я-дополнительной трансверсали Р и фактора Я по инвариантной подгруппе Яр = {Н € Н\кр € Р}.

3. Для алгебры скрещенного произведения С* (С?) на группоиде слоения построена фильтрация, сходящаяся к С*(С); доказана стабилизация группы Ко алгебр из фильтрации.

4. Построено вложение алгебры функций Со(М)\ь, полученных ограничением непрерывных функций, обращающихся в 0 на бесконечности, на слой слоения, в Со(Ь) хП С([0,1]). Выяснено, как свойства этого вложения зависят от структуры множества точек пересечения слоя и трансверсали.

Содержание работы.

В первой главе излагаются сведения из [48, 25, 16, 13, 9]

В первой части второй главы изучаются условия существования на заданном многообразии со слоением коразмерности 1, порожденным действием коммутативной группы Ли, связности Эресмана, инвариантной относительно действия этой группы.

Определение 38. Назовем трансверсалъ Р Н-дополнительной к слоению F, если {hP}heH ~ слоение на М, дополнительное к F. Или же, что эквивалентно, если из hP Р) Р ф 0 следует hP = Р.

Определение 39. Будем говорить, что трансверсаль гомотопна Н-дополнительной, если на Н можно так задать новую групповую структуру, непрерывную относительно старой, что в новой групповой структуре на Н трансверсалъ Р станет Н -дополнительной.

Пусть слоение F допускает Я-дополнительную трансверсаль Р. Определим одномерное распределение Е на М следующим образом. Так как трансверсаль Р пересекает все слои слоения F (орбиты действия Я), для любой жбМ существуют р Е Р и h Е Н такие, что х — hp. Положим

Е(х) = dhp(TpP).

Теорема 15. Распределение Е есть связность Эресмана на М.

Рассмотрим теперь множество В = {(h,x) бЯх P\hx Е Р} .

Теорема 16. Пусть (М, F) — двумерное многообразие со слоением, порожденным локально свободным действием коммутативной группы Ли Н = Ш.. Пусть существует тотальная связная замкнутая трансверсалъ Р, для которой щ : В —» Р — глобально тривиальное накрытие.

Тогда Р гомотопна Н -дополнительной к слоению F.

Пусть dim il > 1 и расслоение В глобально тривиально. Определим перенос элемента h 6 Нх по g Е Нх следующим образом: Пусть (gx, h!) 6 {дх} х Ндх — элемент слоя расслоения В, лежащий в одной компоненте связности с (х, h) 6 {х} х Нх С В. Положим Пgh = gh' Е Нх.

Теорема 17. Если В глобально тривиальное накрытие и для всех х G Р и h € Нх перенос П5 — ограничение сдвига в W1, то Р гомотопна Н -дополнительной.

Далее рассмотрим частный случай, в котором глобальная трансверсаль слоения гомеоморфна S1.

Теорема 18. Если трансверсаль Р компактна, то это : В —* Р — накрытие.

Центральным утверждением этого параграфа является

Следствие 1. Пусть на двумерном многообразии слоение F порождено локально свободным действием R. Пусть Р — тотальная связная компактная трансверсаль к F. Тогда Р гомотопна H -дополнительной.

В завершении мы приводим результат, говорящий о том, что, как и для линейных расслоений, инвариантные связности на многообразии со слоением образуют аффинное пространство.

Теорема 20. Пусть слоение коразмерности 1 на многообразии M порождено действием коммутативной группы Ли. Пусть еще множество H -дополнительных к слоению F трансверсалей не пусто. Тогда на множестве инвариантных связностей Эресмана можно ввести структуру аффинного пространства.

Во второй части второй главы строится биекция M —» Р х S. Для построения этого отображения доказаны следующие утверждения:

Теорема 21. Предположим, что существует такая точка хо £ M, что

1) Р(хо) — связное подмногообразие M размерности, равной коразмерности слоения.

1) Слой S, проходящий через точку Хо, пересекает Р(хо) только в Xq.

Пусть S' есть связное подмножество в H такое, что существует универсальное накрытие р : H S, со свойствами: р(е) = xq, p\s' : S' —> S есть биекция и р\$'0 : S'0 —» S° есть гомеоморфизм, здесь А° — внутренность множества А. Тогда существует почти всюду непрерывная биекция ф : M Р(хо) х S'.

Следствие 4. Пусть M — многообразие со слоением, порожденным действием коммутативной группы H. Пусть существует Р — множество точек, которые могут быть соединены с выделенной точкой xq Е Lq С M горизонтальной кривой, такое, что

1) Р — подмногообразие.

2) dim Р = п — р — коразмерности слоения.

Тогда существует сюръекция тг : Р х Lo —> М, которая почти всюду является локальным гомеоморфизмом, причем для каждого х Е М тг непрерывно на Lq/S х {х}, S = Н/Нр, где Hp — группа изотропии трансверсали Р.

В третьей главе исследуются алгебры функций на группоиде слоения.

Построим неубывающую последовательность подалгебр алгебры C*(G). Покроем Р открытыми шарами радиуса е, то есть Р = (J U£(x). Опре-

хеР

делим алгебру C*ex(U£(x)) в каждом шаре U£(x) как в параграфе 2 этой главы была определена алгебра Ве для всего Р. Отношение эквивалентности для каждого шара U£ (х) определим как отношение эквивалентности на многообразии Sat(U£(x)) с горизонтальными кривыми, лежащими в U£(x).

Найдены необходимые и достаточные условия сходимости фильтрации алгебр к C*(G).

Предложение 17. Пусть М — многообразие со слоением, порожденным действием компактной коммутативной группы Ли Н и интегрируемой связностью Эресмана. Пусть Р есть горизонтальное инвариантное трансверсальное подмногообразие (М, F) максимальной размерности.

Предположим, что

1) Для каждой пары точек х,у G Р d(hx, hy) = const (действие Hp сохраняет расстояние между точками на Р).

2) Существует лишь конечное количество особых точек на Р.

3) Каждый слой слоения F пересекает Р в дискретном множестве точек.

Тогда Нш С* = C*(G).

£->0 £ Г V '

Исследованы на сходимость локальные алгебры группоида слоения:

Предложение 18. 1) Для любых двух слоев Ь\ и L2 слой Ь\ имеет насыщенную окрестность, которая не пересекает L2.

2) Пусть а) Н некомпактна, b) lim С* = C*(G), с) для каждого

Ь 6 Р и х е Ь(~)Р существует II (х) С Р, и(х)(~)Ь = {ж}. Тогда для любых двух слоев Ь\ и Ьч слой Ь\ имеет насыщенную окрестность, которая не пересекает Ьч.

Теорема 24. Пустъ слоение Р допускает Н -дополнительную трансверсаль Р такую, что множество особых точек Е конечно. Пусть

1нп С* = С*. Тогда существует такое £о > 0, что для любого 5 < £ о £-+0 '

к0(с;(с)) * .

В последней главе изучается структура алгебры Со(М)\ь- В начале рассмотрены три простейших случая, для каждого из которых найдена структура исследуемой алгебры. На примере этих частных случаев показана связь исследуемой задачи с метрической классификацией гомеоморфизмов Р —> Р.

Предложение 21. Со(Ь) = Со(М)|х если Ь[}Р дискретно.

Предложение 24. Если М компактно и для отображения / : Р —» Р верно следующее а) для каждой точки х 6Е Р множество (/п(^))пе2 плотно в Р, Ь) существует f -инвариантная метрика на Р, то алгебра Со(М)\ь состоит из равномерно почти-периодических функций.

Предположим, что группа Нр имеет неподвижную точку х £ Р, и для каждой точки р 6 Р р Ф х существует такая и(р) С Р — окрестность точки р, что -й[/(р) = #1(р)} то есть мы считаем, что отношение эквивалентности, индуцированное на Р* = {х € Р\ группа изотропии х есть Щ} действием Нр является отделимым. Таким образом, графики Н : Р —► Р проходят через точку сгущения, лежащую на диагонали. Предположим еще, что для любой точки р €Е Р существует такой базис (ах,..., ап) группы Яр, что а^(р) х к —> -Ьоо. То есть набор Нр есть сжатие [19].

Следствие 7. С0(М)\ь = С{ЬХ) х С0{Ь).

Теорема 26. Пусть для точки х 6 Р последовательность апх содержит сходящуюся подпоследовательность ап'х —> г Е Р, щ оо. Пусть Ь ~ слой слоения Р1, проходящий через точку х. Тогда существует инъективное отображение

Cq(M)\l Co(L) x JJC([0,1)).

z

Далее доказано, что в представлении, полученном выше, Co(L) не присутствует тогда и только тогда, когда Lf]P не содержит изолированные точки. Вторая часть х^С([0,1]) конечна тогда и только тогда, когда конечно множество предельных точек.

Далее исследована структура спектра семейства операторов типа Шре-дингера на многообразии со слоением. Пусть сначала Н = Тп и операторы действуют на универсальной накрывающей слоя.

Теорема 27. Пусть слои слоения F компактны. Тогда спектр Ах оператора Шредингера Нх непрерывно зависит от х 6 Р, то есть для любой точки s € Ах и любой окрестности U(s) Cl существует такая окрестность V(x) С Р, что для каждой х' 6 У(х) множество Ах> П U(s) непусто.

Пусть операторы действуют на слоях.

Теорема 28. Пусть все слои слоения F компактны. Тогда спектр оператора Шредингера Нь> непрерывно (см. Теорему 27) зависит от параметра р € Р.

Теорема 29. Спектр оператора Шредингера Нь = — ^ + У на L, где V есть почти-периодическая функция, не зависит от слоя L G F.

Апробация работы

Результаты докладывались на конференциях:

1. Международная конференция "Алгебра и Анализ - 2004", Казань, КГУ 2-9 июля 2004 г.

2. Международная конференция "Колмогоров и современная математика". Москва, МГУ, 2003 г.

3. Международная конференция "New Geometry of Nature", Казань, КГУ, Август 25-Сентябрь 5 2003 г.

Также по результатам диссертации были сделаны доклады на международных молодежных научных школах-конференциях "Лобачевские чте-ния"(2003, 2004 гг.), на итоговых конференциях Казанского государствен-

ного университета (2001 - 2004 гг.), на заседаниях семинаров кафедры геометрии Казанского государственного университета и отдела геометрии Научно-исследовательского института математики и механики Казанского государственного университета.

Список публикаций автора по теме диссертации:

Статьи:

1. Ivanshin P.N. Algebras of functions on groupoid of some special foliations. / P.N. Ivanshin // Southwest J. Pure Appl. Math. - 2003. - Vol. 1. - Pp. 96-108.

2. Ivanshin P. N. Deformational quantization on manifolds with the action of ]Rn and integrable Ehresmann connection. / P.N. Ivanshin // Proc. Joint Intern. Conf. "New Geometry of Nature", Kazan State University, Kazan, Russia, August 25-September 5. - 2003. - Vol. 1. - Pp. 98-100.

3. Иваньшин П.Н. Структура алгебры ограниченных бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем на группоиде многообразия со слоением, поро