Теоретико-модельные свойства группоидов с условиями абелевости и нормальности

Трикашная, Наталия Вячеславовна

Теоретико-модельные свойства группоидов с условиями абелевости и нормальности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Трикашная, Наталия Вячеславовна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Владивосток МЕСТО ЗАЩИТЫ

2011 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.06 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Теоретико-модельные свойства группоидов с условиями абелевости и нормальности»

Автореферат диссертации на тему "Теоретико-модельные свойства группоидов с условиями абелевости и нормальности"

На правах рукописи

ТРИКАШНАЯ Наталия Вячеславовна

ТЕОРЕТИКО-МОДЕЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ГРУППОИДОВ С УСЛОВИЯМИ АБЕЛЕВОСТИ И НОРМАЛЬНОСТИ

01.01.06. — математическая логика алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

1 2 Ш ¿012

Владивосток 2011

005007404

Работа выполнена в Дальневосточном федеральном университете.

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, доцент Степанова Алёна Андреевна

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор Пинус Александр Георгиевич

кандидат физико-математических наук, доцент Больбот Александр Дмитриевич

Ведущая организация

Восточно-Сибирская государственная академия образования

Защита состоится 26 января 2012 г. в 16 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д003.015.02 при Институте математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук по адресу: СЖЮЭО, Новосибирск, пр. акад. Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук.

Автореферат разослан декабря 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

кандидат физико-математических наук

Общая характеристика работы

Постановка задачи и актуальность темы диссертации.

Тема диссертации относится к теоретико-модельной алгебре. Предметом исследования являются группоиды, а именно, полугруппы, группоиды с единицей л квазигруппы. С помощью современного арсенала теории моделей п методов универсальной алгебры изучаются такие свойства этих группоидов, как абелевость, гамильтоновость, примитивная нормальность и аддитивность.

Понятие абелевости для алгебр было введено R. McKenzie [11] как обобщение понятия абелевой группы. Легко понять, что группа является абелевой алгеброй тогда и только тогда, когда она коммутативна. Также нетрудно показать, что унарные алгебры и модули являются абелевыми алгебрами. Абелевы алгебры изучались в работах Н. Werner, W. Lampe, D. Hobby, R. McKenzie, M. Valeriot, R. Freese и др. (см.[21, 10, 4, 18, 6[). Абелевы алгебры сыграли важную роль в развитии теории коммутаторов [6], в исследованиях, связанных с функционально полными алгебрами [21]. Абелевы группоиды исследовались в работах W. Taylor, R. McKenzie, R. Warne, E.B. Овчинниковой (см.[17, 12, 19, 20, 2]). В [2] E.B. Овчинниковой приводится описание абелевых группоидов (Л, •) , для которых \А ■ А\ < 3 . В [12] R. McKenzie дается характерпзация конечных абелевых полугрупп. R. Warne в [19, 20] приводит полное описание структуры абелевых полугрупп, в частности, описывает полупростые, квазирегулярные, периодические абелевы полугруппы.

Понятие сильной абелевости появилось в работе R. McKenzie [13] при описании конечных алгебр с определенным типом решеток конгруэнцнй. Примером сильно абелевых алгебр являются унарные алгебры. Результаты R. McKenzie, связанные с понятиями абелевой и сильно абелевой алгебры, явились толчком для развития теории ручных конгруэнцнй, являющейся основным инструментом исследования конечных алгебр.

Понятие гамильтоновости для алгебр было введено В. Csakany [5] и

К. Shoda [16]. Оно является обобщением понятия гамильтоновой группы. Гамильтоновы алгебры изучались в работах R. McKenzie, Е. Kiss, М. Valerate (см.[7, 8, 14]). В работе [7] Е. Kiss и М. Valeriote показали, что если декартов квадрат алгебры гамильтонов, то сама алгебра абелева.

_ В данной работе описаны абелевы, сильно абелевы и гамильтоновы конечные квазигруппы и группоиды с единицей. Охарактеризованы абелевы полугруппы с условием минимальности всех односторонних главных идеалов, сильно абелевы полугруппы и гамильтоновы полугруппы с условием абелевости.

Абелевы, сильно абелевы и гамильтоновы многообразия алгебр изучались в работах таких математиков, как D. Hobby, R. McKenzie, Е. Kiss, М. Valeriot, L. Klukovits (см.[4, 7, 8, 14, 9]). В [8] Е. Kiss и М. Valeriot показали, что если конечная алгебра порождает сильно абелевое многообразие, то она гамильтонова. В [7] эти же авторы доказали, что если многообразие гамильтоново, то оно абелево. В [18] М. Valeriot показал, что если конечная простая алгебра абелева, то она гамильтонова. В [7] Е. Kiss и М. Valeriot показали, что для локально конечного многообразия свойства абелевости и гамильтоновости эквивалентны.

Нами дана характеризация конечных квазигрупп, группоидов с единицей и полугрупп, порождающих абелевы, сильно абелевы и гамильтоновы многообразия.

Примитивно нормальные и аддитивные теории изучались Е.А. Палютиным в [3, 15]. Эти теории являются обобщением теории модулей. Как и теория модулей, данные теории допускают элиминацию кванторов до примитивных формул. Легко понять, что алгебры, теория которых примитивно нормальна, являются абелевыми. В аддитивных теориях, являющихся по определению примитивно нормальными, на факторах любых примитивных копий моделей этих теорий по некоторой примитивной эквивалентности можно определить с помощью примитивной формулы изоморфные абелевы группы. Это свойство аддитивных теорий обобщает известное свойство модулей: в любом

модуле примитивные копии являются классами смежности некоторой абелевой группы.

В данной работе описаны квазигруппы, группоиды с единицей и полугруппы с примитивно нормальными и аддитивными теориями.

Основное содержание диссертации.

В работе получены следующие основные результаты:

- описаны абелевы группоиды с единицей, абелевы конечные квазигруппы и абелевы полугруппы с условием минимальности всех односторонних главных идеалов (теоремы 2.1, 2.8, 2.18);

- дана характеризация гамильтоновых группоидов с единицей II полугрупп при условии абелевости этих алгебр; доказано, что конечная абелева квазигруппа является гамильтоновой алгеброй, (теоремы 2.5, 2.23, 2.11);

- описаны полугруппы, группоиды с единицей и квазигруппы, порождающие абелевы, сильно абелевы и гамильтоновы многообразия (теоремы 3.1, 3.2, 3.3, 3.6, следствия 3.4, 3.7);

- дана характеризация полугрупп, группоидов с единицей и квазигрупп с примитивно нормальными и аддитивными теориями (теоремы 4.2, 4.5, 4.6, 4.7)

Новизна и научная значимость работы. Результаты диссертации являются новыми и носят теоретический характер. Они могут быть использованы в теоретико-модельной алгебре, в универсальной алгебре, при чтении спецкурсов по теории моделей и универсальной алгебре, написании учебных пособий и монографий.

Апробация работы. Результаты диссертации излагались автором на семинарах Института математики СО РАН (г. Новосибирск), Института прикладной математики ДВО РАН (г. Владивосток), Дальневосточного федерального университета, а также на следующих международных конференциях и школах-семинарах: Российская школа-семинар "Синтаксис и семантика логических систем" (Владивосток, 2008), Международная конференция "Мальцевские чтения" (Новосибирск, 2009), Международная конференция

"Мальцевские чтения" (Новосибирск, 2010), Российская школа-семинар "Синтаксис и семантика логических систем" (Иркутск,

2010), Международный алгебраический симпозиум (Москва, 2010), Международная конференция "Мальцевские чтения" (Новосибирск,

2011), Дальневосточная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по теоретической и прикладной математике (Владивосток, 2011).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы 1) в работах [27, 28] из журналов, входящих в перечень ВАК ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, 2) в работах [23, 30]. Три работы [23, 27, 30] выполнены в соавторстве, где A.A. Степановой принадлежит постановка задач и общее руководство.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Компьютерный набор выполнен с использованием пакета ВД£Х. Общий объем диссертации 69 страниц. Библиография включает 47 наименований.

Содержание работы

В первой главе приводятся необходимые для дальнейшего сведения из универсальной алгебры и теории моделей.

В первом параграфе второй главы дается описание абелевых, сильно абелевых и гамильтоновых квазигрупп и группоидов с единицей.

Алгебра называется абелевой, если для любой полиномиальной операции 4(х, у\,..., уп) и любых элементов

алгебры из равенства ..., с„) = £(и, ..., дп) следует

£(г>, С\,..., сп) = ¿(г;, <¿1Алгебра называется сильно абелевой, если для любой полиномиальной операции ¿(¡г, у\,..., уп) и любых элементов а,Ь,е,с\,... ,сп, с?1 ,...,(1п алгебры из равенства ¿(а,сь...,с„) = следует ¿(е, сь..., с„) = . ..,с?„).

Алгебра называется гамилътоновой, если любая ее подалгебра является классом некоторой конгруэнции алгебры.

Теорема 2.1. Пусть (Л; •) - группоид с единицей. Группоид (Л; ■) является абелевой алгеброй тогда и только тогда, когда (Л; •) -комл1утативная полугруппа, такая что для любых а,Ь € А уравнение а ■ х = Ь имеет не более одного решения в (Л; ■) .

"Утверждение 2.3. Группоид с единицей (А, ■) сильно абелев тогда и только тогда, когда \А\ = 1.

Теорема 2.5. Пусть (А; •) - абелев группоид с единицей. Группоид (А; ■) является гамилътоновой алгеброй тогда и только тогда, когда (Л; •) - периодическая абелева группа.

Пусть (А; ■) - квазигруппа, а € А. Введем обозначения (см. [1]):

Ла(х) = х-а, Ьа(х)=а-х, х + у = Л"1 (ж) • Ь~1(у).

Ясно, что Д0(х) и Ьа(х) - перестановки множества А, (Л; +) -квазигруппа с нейтральным элементом а ■ а и равенства га(х) + а = 1а(х) + а = Ь~1(х) определяют перестановки га(ж) и 1а(х) множества А.

Теорема 2.8. Пусть (Л; •) - конечная квазигруппа, а € Л.

Квазигруппа {А;-) является абелевой алгеброй тогда и только тогда, когда

(1) {А]+) - абелева группа,

(2) перестановки га(х) и 1а(х) являются автоморфизмами

"Утверждение 2.9. Квазигруппа (А,-) сильно абелева тогда и только тогда, когда = 1.

Теорема 2.11. Любая конечная абелева квазигруппа является гамилътоновой алгеброй.

Во

втором параграфе второй главы изучаются абелевы, сильно абелевы и гамильтоновы полугруппы с условием минимальности всех односторонних главных идеалов. В работах Warne R.J. [19, 20] описаны абелевы полугруппы. Для доказательства теорем 2.21 и 2.23, дающих характеризацшо -сильно абелевых и гамильтоновых полугрупп, достаточно описать абелевы полугруппы с условием минимальности всех односторонних главных идеалов.

Полугруппа (А; •) называется прямоугольной связкой полугрупп, если существует семейство {AiX | г € /, А € Л} , являющееся разбиением множества А, причем <Л,:Л; •) - подполугруппы полугруппы (А\ ■) и для любых г е I,\,/л е Л выполняется включение AiX ■ Ajfl С Aiß . Полугруппа {А; •) называется раздуванием полугруппы (В; ■}, если существует разбиение {Ха | а 6 В} множества А такое, что а е Ха и ху = ab для любых а,Ь £ В,х € Ха,у е Хь . Полугруппа (Л; •) называется периодической, если для любого а е А существуют п, т е и), п > т , такие что ап = ат .

Теорема 2.18. Пусть все односторонние главные идеалы полугруппы (А, •) минимальны. Тогда полугруппа (А,-) является абелевой алгеброй в том и только в том случае, когда (А, •) -раздувание прямоугольной связки абелевых групп и произведение идемпотентов из А является идемпотентом из А .

Теорема 2.21. Полугруппа (А,-) является сильно абелевой алгеброй тогда и только тогда, когда (А, •} - раздувание прямоугольной

связки идемпотентов.

Теорема 2.23. Абелева полугруппа (А, •) является гамильтоновой алгеброй тогда и только тогда, когда (А, •) - раздувание прямоугольной связки периодических абелевых групп и произведение идемпотентов из А является идемпотентом из А .

В первом параграфе третьей главы описываются полугруппы, порождающие абелевы, сильно абелевы и гамильтоновы многообразия.

Многообразие называется абелевым (сильно абелевым, гамильтоновым), если все алгебры этого класса абелевы (сильно абелевы, гамильтоновы).

Пусть (Л,-) - группоид. Обозначим через У{А) многообразие, порожденное группоидом (А, •).

Теорема 3.1. Пусть (А, •) - полугруппа. Следующие условия эквивалентны:

(1) многообразие У{А) абелево;

(2) многообразие У(А) гамильтоново;

(3) полугруппа (А, ■) - раздувание прямоугольной связки абелевых групп конечного периода и произведение идемпотентов из А является идемпотентом из А.

Теорема 3.2. Пусть (А, ■) - полугруппа. Многообразие У(А) сильно абелево тогда и только тогда, когда (А, •) - раздувание прямоугольной связки идемпотентов.

Во втором параграфе третьей главы дается характеризация группоидов с единицей и квазигрупп, порождающих абелевы, сильно абелевы и гамильтоновы многообразия.

Теорема 3.3. Пусть (А, •) - группоид с единицей. Следующие условия, эквивалентны:

(1) многообразие У(А) абелево;

(2) многообразие У{А) гамильтоново;

(3) группоид (А, •) является абелевой группой конечного периода.

Следствие 3.4. Пусть (А, •) - группоид с единицей. Многообразие

У {А) сильно абелево тогда и только тогда, когда \А\ = 1 .

Теорема 3.6. Пусть (А, ■) - конечная квазигруппа. Следующие условия эквивалентны:

(1) многообразие V(A) абелево;

(2) многообразие V(A) гамилътопово;

(3) квазигруппа (А,-) является абелевой алгеброй;

(4) (А\ +) - абелева группа и перестановки га(х) и 1а(х) являются автоморфизмами {А; +).

Следствие 3.7. Пусть (А, •} - квазигруппа. Многообразие V(A) сильно абелево тогда и только тогда, когда |Л| = 1.

В четвертой главе дается описание полугрупп, группоидов с единицей и квазигрупп с примитивно нормальными и аддитивными теориями.

В первом параграфе четвертой главы описываютс полугруппы с примитивно нормальными и аддитивными теориями.

Пусть Т - полная теория языка L. Зафиксируем некоторую достаточно большую и достаточно насыщенную модель С теории Т, которая называется монстр-моделью, так как предполагается, что всс рассматриваемые модели теории Т являются ее элементарными подмоделями. Все элементы, кортежи элементов и множества будут браться из монстр-модели С . Пусть s = (si,..., sn) - кортеж элементов или переменных, А - некоторое множество. Через l(s) обозначим длину кортежа s , т.е. l(s) = п . Если Ф(х,у) - формула языка L , А ~ модель теории Г, а - кортеж элементов из А и 1(a) — 1(у), то через Ф(А,а) будем обозначать множество {b | А |= Ф(Ь,а)} .

Формула вида

3xi ...Зж„(Ф0 Л... ЛФЬ), где Ф; (i < к) — атомарные формулы, называется примитивной.

Пусть Ф(х,у) - примитивная формула языка L, а - кортеж элементов и 1(a) = 1(у). Множество вида Ф(С, а) называется примитивным множеством. Если 6 - кортеж элементов и 1(b) = 1(у), то множества Ф(С,й) и Ф(С,6) называются примитивными копиями.

Эквивалентность а на некотором множестве X п-ок элементов из С, определенная в С с помощью некоторой примитивной формулы Ф(х1,х2), называется примитивной эквивалентностью. Область определения X такой эквивалентности а определяется в С примитивной формулой Ф(х, х) и обозначается через <1от(а). Если а е X , то через а/а будем обозначать класс эквивалентности а с представителем а.

Теория Т называется примитивно нормальной, если для любых примитивных копий X, У выполнено X = У или X ПУ = 0 .

Алгебру Л назовем примитивно нормальной, если теория Т1г(А) примитивно нормальна.

Теорема 4.2. Пусть (Л, •) - полугруппа. Следующие условия эквивалентны:

(1) полугруппа (Л, •) примитивно нормальна;

(2) полугруппа (А, ■} является абелевой алгеброй и все односторонние главные идеалы полугруппы минимальны;

(3) полугруппа {А, •) является раздуванием прямоугольной связки абелевых групп и произведение идемпотентов из А является идемпотентом из А.

Множество X называется Д -примитивным, если существует такое семейство 5 примитивных множеств, что

X = р){У | У е 5}.

Эквивалентность а называется Д -примитивной, если существует такое множество Е примитивных эквивалентностей, что

а = (){/3\РеЕ}.

Классы X и У одной Д -примитивной эквивалентности а называются Д -примитивными копиями. Множество вида X = X*/а = {а/а | а £ X*}, где X* - Д-примитивное множество, а -примитивная эквивалентность и X* С йот(а), называется обобщенно примитивным множеством. При этом X* называется основой, а а

- образующей эквивалентностью обобщенно примитивного множества X. Обобщенно примитивные множества АГ0 и Х\ называются обобщенно примитивными копиями, если у них есть общая образующая эквивалентность, а их основы и являются Д -примитивными копиями.

Пусть обобщенно примитивные множества Хо и Х\ являются обобщенно примитивными копиями и а - их образующая эквивалентность. Говорят, что Х0 аддитивно связано с Х\ , если существуют примитивные формулы Ф(х,у,г,и), Ф{х,у,3) (с параметрами 6,), примитивная эквивалентность (3 и кортежи элементов 60, 61 такие, что

(a) (аП(Х*)2) С/3, г < 1;

(b) для любого г < 1 формула Ф(х,у,г,Ь^ задает в С на X*/¡3 абелеву группу, причем эта группа нетривиальна, если множество Х0 или Х1 более, чем одноэлементно;

(Ь).

Теория Т называется аддитивной, если она примитивно нормальна и любые обобщенно примитивные копии аддитивно связаны. Алгебру А назовем аддитивной, если теория Т1г{А) аддитивна.

Теорема 4.5. Полугруппа {А; ■) аддитивна тогда и только тогда, когда {А; •) является абелевой группой.

Во втором параграфе четвертой главы дается харатеризация группоидов с единицей и квазигрупп с примитивно нормальными и аддитивными теориями.

Теорема 4.6. Пусть (Л; •) - группоид с единицей. Следующие условия эквивалентны:

(1) группоид (А,-) примитивно нормален;

(2) группоид (А,-) аддитивен;

(3) группоид {А, ■) является абелевой алгеброй и для любых а,Ь € А уравнение а ■ х = Ь имеет решение в (А; •) ;

(4) группоид (А,-) является абелевой группой.

Теорема 4.7. Пусть (А,-) - квазигруппа, а G А. Следующие условия эквивалентны:

(1) квазигруппа (Л,-) примитивно нормальна;

(2) квазигруппа (А, ■) аддитивна;

(3) (А, +) - абелева группа и перестановки га(х) и 1а(х) являются автоморфизмами (А, +) .

Теорема 4.8. Пусть {А, •) - конечная квазигруппа, а е А. Следующие условия эквивалентны:

(1) квазигруппа (А,-) примитивно нормальна;

(2) квазигруппа (А, ■} аддитивна;

(3) квазигруппа (А,-) является абелевой алгеброй;

(4) (А+) - абелева группа и перестановки га(х) и 1а(х) являются автоморфизмами (А, +) .

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю д.ф.-м.н. A.A. Степановой за внимание к работе и всестороннюю поддержку.

Список литературы

[1] Белоусов В.Д. Основы теории квазигрупп и луп // М.: Наука. 1967.

[2] Овчинникова Е.В. Об абелевых группоидах с образами малой мощности // Алгебра и теория моделей. Сборник статей. НГТУ. 2005. С.125-131.

[3] Палютин Е.А. Примитивно связные теории // Алгебра и логика. 2000. Т.39. No.2, С. 145-169.

[4] Хобби Д., Макензи Р. Строение конечных алгебр // М.: Мир. 1993.

[5] Csakany В. Abelian properties of primitive classes of universal algebras // Acta. Sci. Math. Szeged. 1964. No25. P.202-208.

[6] Freese R., McKenzie R. Commutator theory for congruence modular varieties // Volume 125 of London Mathematical Society Note Series. Cambridge University Press. 1987.

[7] Kiss E. , Valeriote M. Abelian algebras and the Hamiltonian property // J. Pure Appl. Algebra. 1993. V.87. No.l. P.37-49.

[8] Kiss E., Valeriote M. Strongly abelian varieties and the Hamiltonian property // Canad. J. Math. 1991. V.43. No.2. P. 1-16.

[9] Klukovits L. Hamiltonian varieties of universal algebras // Acta. Sci. Math. 1975. No37. P.ll-15.

[10] Lampe D., Freese R. and Taylor W. Congruence lattices of algebras of fixed similarity type // I. Pacific Journal of Math. 1979. No.82. P.59-68.

[11] McKenzie R. On minimal, locally finite varieties with permuting congruence relaion // Berkeley Manuscript. 1976.

[12] McKenzie R. The Number of Non-isomorphic Models in Quasi-varieties of Semigroups // Algebra Universalis. 1983. No.16. P.195-203.

[13] McKenzie R. Finite forbidden latties // In Universal Algebra and Lattice Theory. Volume 1004 of Springer Lectures Notes. Springer-Verlag. 1983.

[14] McKenzie R. Congruence extencion, Hamiltonian and Abelian properties in locally finite varieties // Algebra Universalis. 1991. No28. P.589-G03.

[15] Palyutin E.A. Additive theory // Proceedings of Logic Colloquium'98 (Lecture Notes in Logic, 13). ASL. Massachusetts. 2000. P.352-356.

[16] Shoda K. Zur thcorie der algebraischen erweiterungen // Osaka Math. Journal. 1952. No4. P. 133-143.

[17] Taylor W. Some Application of the Term Condition // Algebra Universalis. 1994. No.31. P.113-123.

[18] Valeriot M. Finite simple Abelian algebras are strictly simple // Proc. of the Amer. Math. Soc. 1990. No. 108. P.49-57.

[19] Warne R.J. Semigroups obeying the term conditions // Algebra Universalis. 1994. No.31. P.113-123.

[20] Warne R.J. Semigroups and Inflations // Semigroup Forum. 1997. V.54. P.271-277.

[21] Werner H. Congruences on products of algebras and functionally complete algebras // Algebra Universalis. 1974. No.4. P.99-105.

Список работ автора по теме исследования

Степанова A.A., Трикашная Н.В. Абелевы полугруппы // Российская школа-семинар "Синтаксис и семантика логических систем". Тезисы докладов. Владивосток: Изд-во Дальнаука. 2008. С.22.

Степанова A.A., Трикашная Н.В. Абелевы и гамильтоновы группоиды // М.: Фундаментальная и прикладная математика, 2009, Т. 15. №7. С. 165-177.

Степанова A.A., Трикашная Н.В. Сильно абелевы группоиды // Материалы международной конференции "Мальцевские чтения" / Институт математики СО РАН, Новосибирск. 2009.

Трикашная Н.В. Абелевы и гамильтоновы многообразия некоторых группоидов / / Материалы международной конференции "Мальцевские чтения" / Институт математики СО РАН, Новосибирск. 2010.

Трикашная Н.В. Полугруппы с примитивно нормальными теориями // Российская школа-семинар "Синтаксис и семантика логических систем". Тезисы докладов. Иркутск. 2010. С. 126.

Степанова A.A., Трикашная Н.В. Абелевы и гамильтоновы многообразия группоидов // Новосибирск: Алгебра и логика. 2011. Т.50. №3. С. 388-398.

Трикашная Н.В. Группоиды с примитивно нормальными и аддитивными теориями // Новосибирск: Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. 2011. Т.Н. вып.4. С.68-77.

Трикашная Н.В. Группоиды с примитивно нормальными теориями / / Материалы международной конференции "Мальцевские чтения" / Институт математики СО РАН, Новосибирск. 2011.

Степанова A.A., Трпкашная H.B. Об абелевых полугруппах // Algebra and Model Theory. Collection of papers. Edited by A.G. Pinus, K.N. Ponomarev, S.V. Sudoplatov, and E.I. Timoshenko. Novosibirsk State Technical University, 2011. - P. 75-81.

Наталья Вячеславовна ТРИКАШНАЯ

ТЕОРЕТИКО-МОДЕЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ГРУППОИДОВ С УСЛОВИЯМИ АБЕЛЕВОСТИ И НОРМАЛЬНОСТИ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано к печати 05.12.2011 г. Печать офсетная. Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Усл. п. л. 1,0. Уч.-изд. л. 0,89. Тираж 100 экз. Заказ 139

Отпечатано в типографии ФГУП Издательство «Дальнаука» ДВО РАН 690041, г. Владивосток, ул. Радио,7

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Трикашная, Наталия Вячеславовна, Владивосток

61 12-1/389

Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Дальневосточный федеральный университет"

На правах рукописи

Трикашная Наталия Вячеславовна

ТЕОРЕТИКО-МОДЕЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ГРУППОИДОВ С УСЛОВИЯМИ АБЕЛЕВОСТИ И

НОРМАЛЬНОСТИ

01.01.06. —математическая логика, алгебра и теория чисел

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук

А.А. Степанова

Владивосток - 2011

Содержание

Введение 3

1 Предварительные сведения 16

1.1 Сведения из универсальной алгебры..............................16

1.2 Сведения из теории моделей ......................................21

2 Группоиды с абелевыми и гамильтоновыми теориями 25

2.1 Абе левы и гамильтоновы группоиды с единицей и квазигруппы 25

2.2 Абелевы, сильно абелевы и гамильтоновы полугруппы .... 35

3 Абелевы и гамильтоновы многообразия группоидов 45

3.1 Абелевы и гамильтоновы многообразия полугрупп..............45

3.2 Абелевы и гамильтоновы многообразия группоидов с единицей

и квазигрупп........................................................50

4 Группоиды с примитивно нормальными и аддитивными теориями 53

4.1 Полугруппы с примитивно нормальными и аддитивными теориями ............................................................53

4.2 Группоиды с единицей и квазигруппы с примитивно нормальными и аддитивными теориями..........................60

Литература 64

Введение

Тема диссертации относится к теоретико-модельной алгебре. Предметом исследования являются группоиды, а именно, полугруппы, группоиды с единицей и квазигруппы. С помощью современного арсенала теории моделей и методов универсальной алгебры изучаются такие свойства этих группоидов, как абелевость, гамильтоновость, примитивная нормальность и аддитивность.

Понятие абелевости для алгебр было введено R. McKenzie [30] как обобщение понятия абелевой группы. Легко понять, что группа является абелевой алгеброй тогда и только тогда, когда она коммутативна. Также нетрудно показать, что унарные алгебры и модули являются абелевыми алгебрами. Абелевы алгебры изучались в работах Н. Werner, W. Lampe, D. Hobby, R. McKenzie, M. Valeriot, R. Freese, C. Herrman, J. Shapiro и др. (см.[47, 29, 18, 19, 40, 21, 24, 37]). Абелевы алгебры сыграли важную роль в развитии теории коммутаторов [21], в исследованиях, связанных с функционально полными алгебрами [47]. Абелевы группоиды исследовались в работах W. Taylor, R. McKenzie, R. Warne, E.B. Овчинниковой (см. [39, 31, 43, 44, 45, 6]). В [6] E.B. Овчинниковой приводится описание абелевых группоидов (А,-), для которых |Л-Л|<3. В [31] R. McKenzie дается характеризация конечных абелевых полугрупп. R. Warne в [43, 44] приводит полное описание структуры абелевых полугрупп, в частности, описывает полу простые, квазирегулярные, периодические абелевы полугруппы.

Понятие сильной абелевости появилось в работе R. McKenzie [32] при

описании конечных алгебр с определенным типом решеткок конгруэнций. Примером сильно абелевых алгебр являются унарные алгебры. Результаты R. McKenzie, связанные с понятиями абелевой и сильно абелевой алгебры, явились толчком для развития теории ручных конгруэнций, являющейся основным инструментом исследования конечных алгебр.

Понятие гамильтоновости для алгебр было введено В. Csakany [20] и К. Shoda [38]. Оно является обобщением понятия гамильтоновой группы. Гамильтоновы алгебры изучались в работах R. McKenzie, Е. Kiss, М. Valeri-ote, J. Garcia (см.[26, 27, 33, 22]). В работе [26] Е. Kiss и М. Valeriote показали, что если декартов квадрат алгебры гамильтонов, то сама алгебра абелева.

В данной работе описаны абелевы, сильно абелевы и гамильтоновы конечные квазигруппы и группоиды с единицей. Охарактеризованы абелевы полугруппы с условием минимальности всех односторонних главных идеалов, сильно абелевы полугруппы и гамильтоновы полугруппы с условием абелевости.

Абелевы, сильно абелевы и гамильтоновы многообразия алгебр изучались в работах таких математиков, как D. Hobby, R. McKenzie, Е. Kiss, М. Valeriot, L. Klukovits (см.[18, 33, 35, 34, 25, 26, 27, 42, 23, 28]). В [27] Е. Kiss и М. Valeriot показали, что если конечная алгебра порождает сильно абелевое многообразие, то она гамильтонова. В [26] эти же авторы доказали, что если многообразие гамильтоново, то оно абелево. В [40] М. Valeriot показал, что если конечная простая алгебра абелева, то она гамильтонова. В [26] Е. Kiss и М. Valeriot показали, что для локально конечного многообразия свойства абелевости и гамильтоновости эквивалентны.

Примитивно нормальные и аддитивные теории изучались Е.А. Палютиным в [7, 36]. Эти теории являются обобщением теории модулей. Как и теория модулей, данные теории допускают элиминацию кванторов до примитивных формул. В аддитивных теориях, являющихся по определению примитивно нормальными, на факторах любых примитивных копий по некоторой примитивной эквивалентности можно определить с помощью примитивной формулы изоморфные абелевы группы. Это свойство аддитивных теорий обобщает известное свойство модулей: в любом модуле примитивные копии являются классами смежности некоторой абелевой группы.

В работе получены следующие основные результаты:

- дана характеризация гамильтоновых группоидов с единицей и полугрупп при условии абелевости этих алгебр; доказано, что конечная абелева квазигруппа является гамильтоновой алгеброй, (теоремы 2.5, 2.23, 2.11);

- описаны полугруппы, группоиды с единицей и квазигруппы,

порождающие абелевы, сильно абелевы и гамильтоновы многообразия (теоремы 3.1, 3.2, 3.3, 3.6, следствия 3.4, 3.7);

Результаты диссертации являются новыми и носят теоретический характер. Они могут быть использованы в теоретико-модельной алгебре, в универсальной алгебре, при чтении спецкурсов по теории моделей и универсальной алгебре, написании учебных пособий и монографий.

Результаты диссертации излагались автором на семинарах Института математики СО РАН (г. Новосибирск), Института прикладной математики ДВО РАН (г. Владивосток), Дальневосточного федерального университета, а также на следующих международных конференциях и школах-семинарах: Российская школа-семинар "Синтаксис и семантика логических систем" (Владивосток, 2008), Международная конференция "Мальцевские чтения" (Новосибирск, 2009), Международная конференция "Мальцевские чтения" (Новосибирск, 2010), Российская школа-семинар "Синтаксис и семантика логических систем" (Иркутск, 2010), Международный алгебраический симпозиум (Москва, 2010), Международная конференция "Мальцевские чтения" (Новосибирск, 2011), Дальневосточная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по теоретической и прикладной математике (Владивосток, 2011).

Основные результаты по теме диссертации опубликованы в работах [9, И, 12, 16].

Перейдем к более подробному изложению содержания диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и библиографии.

В первой главе приводятся необходимые для дальнейшего сведения из универсальной алгебры и теории моделей.

Алгебра называется абелевой, если для любой полиномиальной операции ¿(ж, у\,..., уп) и любых элементов и, V, с\,..., сп, ¿1,..., дп алгебры из равенства ..., сп) = ..., дп) следует

¿(/и, С1,..., сп) = ¿(г>, (¿1,..., йп). Алгебра называется сильно абелевой, если для любой полиномиальной операции ¿(ж, г/1,..., уп) и любых элементов а, 6, е, с\,..., сп, ¿1,... , йп алгебры из равенства ¿(а, ..., сп) = ¿(6, ¿1,..., следует ¿(е, С1,..., сп) = ¿(е, ¿1,..., в,п). Алгебра называется гамилътоновой, если любая ее подалгебра является классом некоторой конгруэнции алгебры.

Теорема 2.1. Пусть (А;-) - группоид с единицей. Группоид {А; •) является абелевой алгеброй тогда и только тогда, когда (Л; •) -коммутативная полугруппа, такая что для любых а,Ь Е А уравнение а ■ х = Ь имеет не более одного решения в (А] ■).

Утверждение 2.3. Группоид с единицей (Л, •} сильно абелев тогда и только тогда, когда |Л| = 1.

Теорема 2.5. Пусть (Л; •} - абелев группоид с единицей. Группоид (Л; •) является гамильтоновой алгеброй тогда и только тогда, когда (Л; •) - периодическая абелева группа.

Пусть {А\ •) - квазигруппа, а Е А. Введем обозначения (см. [1]):

Ra(x) = x-a, La(x) = a-x, х + у = R~l(x) ■ L~l{y).

Ясно, что Ra{x) и Ьа(х) - перестановки множества А, (А; +) -квазигруппа с нейтральным элементом а-а и равенства ra(x) +а = R~х(х), la(x) + a, = L~l(x) определяют перестановки га(х) и 1а(х) множества А.

Теорема 2.8. Пусть {А; •) - конечная квазигруппа, а Е А. Квазигруппа (А; •) является абелевой алгеброй тогда и только тогда, когда

(1) [А] +) - абелева группа,

(2) перестановки га(х) и 1а(х) являются автоморфизмами (Л; +). Утверждение 2.9. Квазигруппа (А, •) сильно абелева тогда и только

тогда, когда \А\ = 1.

Теорема 2.11. Любая конечная абелева квазигруппа является гамильтоновой алгеброй.

Во втором параграфе второй главы изучаются абелевы, сильно абелевы и гамильтоновы полугруппы с условием минимальности всех односторонних главных идеалов. В работах Warne R.J. [43, 44] описаны абелевы полугруппы. Для доказательства теорем 2.21 и 2.23, дающих характеризацию сильно абелевых и гамильтоновых полугрупп, достаточно описать абелевы полугруппы с условием минимальности всех односторонних

главных идеалов.

Полугруппа (А; ■) называется прямоугольной связкой полугрупп, если существует семейство {Ai\ | i £ I, \ £ А}, являющееся разбиением множества А, причем (Дд;-) - подполугруппы полугруппы (А;-) и для любых г £ /, А,/2 € Л выполняется включение А{\ • А^^ С Ащ . Полугруппа (А; •) называется раздуванием полугруппы (В; •}, если существует разбиение {Ха | а £ В} множества А такое, что а £ Ха и ху = аЪ для любых а,Ь Е В,х £ Ха,у £ Хь. Полугруппа [А]-) называется периодической, если для любого а £ А существуют п,т £ и,п > т, такие что ап — ат .

Теорема 2.18. Пусть все односторонние главные идеалы полугруппы (Л, •} минимальны. Тогда полугруппа (А, •) является абелевой алгеброй в том и только в том случае, когда (А, •) - раздувание прямоугольной связки абелевых групп и произведение идемпотентов из А является идемпотентом из А.

Теорема 2.21. Полугруппа (А, •} является сильно абелевой алгеброй тогда и только тогда, когда (А, •) - раздувание прямоугольной связки идемпотентов.

Обозначим через У {А) многообразие, порожденное группоидом (.А, •).

Теорема 3.1. Пусть (Л, •} - полугруппа. Следующие условия эквивалентны:

(1) многообразие У (А) абелево;

(2) многообразие У (А) гамильтоново;

(3) полугруппа (А,-) - раздувание прямоугольной связки абелевых групп конечного периода и произведение идемпотентов из А является идемпотентом из А.

Теорема 3.2. Пусть (А, •) - полугруппа. Многообразие У {А) сильно абелево тогда и только тогда, когда (А,-) - раздувание прямоугольной связки идемпотентов.

Теорема 3.3. Пусть (Л, •) - группоид с единицей. Следующие условия эквивалентны:

(1) многообразие У (А) абелево;

(2) многообразие У {А) гамильтоново;

(3) группоид (Л,-) является абелевой группой конечного периода.

Следствие 3.4. Пусть (Л, •} - группоид с единицей. Многообразие

У (А) сильно абелево тогда и только тогда, когда |А| = 1.

Теорема 3.6. Пусть {А, •) - конечная квазигруппа. Следующие условия эквивалентны:

(1) многообразие У {А) абелево;

(2) многообразие У (А) гамильтоново;

(3) квазигруппа (А, •) является абелевой алгеброй;

(4) {А] +) - абелева группа и перестановки га{х) и 1а{х) являются автоморфизмами (А\ +}.

Следствие 3.7. Пусть {А, •) - квазигруппа. Многообразие У(А) сильно абелево тогда и только тогда, когда \А\ = 1.

В первом параграфе четвертой главы описываютс полугруппы с примитивно нормальными и аддитивными теориями.

Пусть Т - полная теория языка Ь. Зафиксируем некоторую достаточно большую и достаточно насыщенную модель С теории Т, которая называется монстр-моделью, так как предполагается, что все рассматриваемые модели теории Т являются ее элементарными подмоделями. Все элементы, кортежи элементов и множества будут браться из монстр-модели С. Пусть в = (з1,...,зп) - кортеж элементов или переменных, А - некоторое множество. Через ¿(в) обозначим длину кортежа 5, т.е. 1(в) = п. Если Ф(х,у) - формула языка Ь, А - модель теории Т, а - кортеж элементов из А и 1{а) = 1(у), то через Ф(Л, а) будем обозначать множество {Ь \ А \= Ф(6, а)}.

Формула вида

3:л...За;п(ФоЛ...ЛФ*),

где Фг (г < к) — атомарные формулы, называется примитивной.

Пусть Ф(х,у) - примитивная формула языка L , а - кортеж элементов и 1(a) = 1(у). Множество вида Ф(С, а) называется примитивным множеством. Если Ъ - кортеж элементов и 1(b) = 1(у), то множества Ф(С, а) и Ф(С,Ь) называются примитивными копиями.

Эквивалентность а на некотором множестве X п-ок элементов из С, определенная в С с помощью некоторой примитивной формулы Ф(х\,х2), называется примитивной эквивалентностью. Область определения X такой эквивалентности а определяется в С примитивной формулой Ф(х,х) и обозначается через dom(a). Если a G X, то через а/а будем обозначать класс эквивалентности а с представителем а.

Теория Т называется примитивно нормальной, если для любых примитивных копий X, У выполнено X = Y или X П Y = 0 .

Алгебру Л назовем примитивно нормальной, если теория Th(A) примитивно нормальна.

Теорема 4.2. Пусть (А, •) - полугруппа. Следующие условия эквивалентны:

(1) полугруппа (А, •} примитивно нормальна;

(2) полугруппа (А, •} является абелевой алгеброй и все односторонние главные идеалы полугруппы минимальны;

(3) полугруппа (А.-) является раздуванием прямоугольной связки абелевых групп и произведение идемпотентов из А является

идемпотентом из А.

Множество X называется А -примитивным, если существует такое семейство $ примитивных множеств, что

X = р|{У I У € 5}.

Эквивалентность а называется А -примитивной, если существует такое множество Е примитивных эквивалентностей, что

« = П^ 10€ ЕУ-

Классы X и У одной А-примитивной эквивалентности а называются А -примитивными копиями. Множество вида X = Х*/а = {а/а | а € X*}, где X* - А-примитивное множество, а - примитивная эквивалентность и X* С дот{а), называется обобщенно примитивным множеством. При этом X* называется основой, а а - образующей эквивалентностью обобщенно примитивного множества X. Обобщенно примитивные множества Хд и Х\ называются обобщенно примитивными копиями, если у них есть общая образующая эквивалентность, а их основы Хд и XI являются А-примитивными копиями.

Пусть обобщенно примитивные множества и Х\ являются обобщенно примитивными копиями и а - их образующая эквивалентность. Говорят, что Хо аддитивно связано с Х\, если существуют примитивные формулы у, г, й), у, д) (с параметрами д), примитивная эквивалентность (5 и кортежи элементов 6о, Ъ\ такие, что (а) (аП(Х*)2)С/?, г < 1;

(b) для любого г < 1 формула Ф(х,у,2,Ь^ задает в С на Х*/(3 абелеву группу, причем эта группа нетривиальна, если множество Хо или Х\ более, чем одноэлементно;

Теория Т называется аддитивной, если она примитивно нормальна

и любые обобщенно примитивные копии аддитивно связаны. Алгебру А назовем аддитивной, если теория ТН(Л) аддитивна.

Теорема 4.5. Полугруппа (А; •} аддитивна тогда и только тогда, когда (А; •) является абелевой группой.

Теорема 4.6. Пусть (А; •) - группоид с единицей. Следующие условия эквивалентны:

(1) группоид (А, •} примитивно нормален;

(2) группоид (А,-) аддитивен;

(3) группоид (А,-) является абелевой алгеброй и для любых а,Ь £ А уравнение а • х = Ъ имеет решение в (А; •) ;

(4) группоид (А,-) является абелевой группой.

Теорема 4.7. Пусть (А, •} - квазигруппа, а £ А. Следующие условия эквивалентны:

(1) квазигруппа (А,-) примитивно нормальна;

(2) квазигруппа (А,-) аддитивна;

(3) (А,+) - абелева группа и переста