Характеры разрешимых групп и их обобщений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

— ишт —1 1ЛЖ—^—^—^———п

На правах рукописи

УДК 512.54

СЕЛ\ЕНТОВСКИЙ Александр Владиславович

ХАРАКТЕРЫ РАЗРЕШИМЫХ ГРУПП И ИХ ОБОБЩЕНИЙ

01.01.0e — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1992

Работа выполнена в Гомельском отделении ВЦ АН'Беларуси.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук,

профессор Романовский Александр Васильевич.

Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук,

профессор Гордеев Н иколаи Леонидович,

— кандидат физико-математических наук Руколайне Анатолий Владимирович.

Ведущая организация—Киевский государственный университет

им. Т. Г. Шевченко.

Защита диссертации состоится « 24 » .06. . . 1992 г.

в . . . . . . час. на заседании специализированного совета К 063 57.45 по присуждению ученой степени кандидата физпко-ма тематических наук в Санкт-Петербургском государственном уни версптсте (адрес совета: 198904, Санкт-Петербург, Ст. Петергоф Библиотечная пл., 2, математико-механический факультет СПбУ) Защита будет проходить по адресу: 191011, Санкт-Петербург, наб реки Фонтанки, 27, 3-й этаж, зал 311 (помещение ПОМИ).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им. Л. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан « /¿Р» . . . 1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета

Р. А. Шмидт

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ. Б современной теории конечных групп наряду с абстрактными теоретико-групповыми методами исследования широко и плодотворно используются методы теории представлений. Теория характеров является одним из наиболее мощных методов для изучения конечных групп. Исключительно важную роль имеет теория характеров в определении нормального и подгруппового строения конечной группы - одной ив важнейших проблем теории конечных групп. Некоторые "важные результаты (например, теорема <1робени-уса) не имеют пока доказательства, не использующего теорию характеров.

В последние 10 - 15 лет бурно развивается теория характеров конечных разрешимых групп и их обобщений, в частности, ЗТ-обо-собленных групп.

В 1984 году Айзеке1'' определил множество комплекснозначных функций на классах сопряженных 5"С-злемен-тов конечной ^-обособленной группы (? и показал, что в случае 51 = {р' } для простого числа р ^ является множеством неприводимых брауэровских характеров, соответствующих неприводимым модулярным представлениям над полем характеристики р . Следуя Айзексу, будем называть элементы множества неприводимыми 5Т-браузровскими характе-

рами группы <3- .

Для доказательства существования 01-брауэровских характеров 51-обособленной группы (Р- Айзеке использовал введенное им же множество В^СС?-) £ 1|т ((-г) и множество 51-специальных характеров (О-) . введенное Гадмэндра-

^Isaacs I. М. Characters of' 5i-separable groups // J. Algebra. - 1984. - Vol.86. - P. 38-128.

гадкаром

Упомянутые множества характеров дают возможность получить результаты о строении и характерах конечных ¡¡[-обособленных групп, которые часто являются новыми даже в случае р-разрешимых групп. В качестве примеров можно назвать работы Айзекса, Гадкендрагад1са-ра, Вольфа, Слаттэри.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Диссертационная работа посвящена изучению свойств обыкновенных и 'JU-брауэровеких характеров конечной Я-обособленной группы и влияния этих свойств на строение группы.

ОБЩАЯ МЕТОДИКА ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ. Применены методы исследования конечных разрешимых, ¡¡¡[-разрешимых и К-обособлепных групп, теория обыкновенных и Срауэровских характеров.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА.. Шлучени следующие основные научные результаты:

1. Установлена биекция между множествами jC^(G-) и Lr(Nc (GV)) для 5Ü-обособленной группы G- , холловская

51-подгруппа которой нильпотентна либо нормальна в G- .

2. Получен аналог теоремы Браузра для 1)1-брауэровских характеров 51-обссобленноп группы.

3. Получен ряд признаков Si -замкнутости ¡¡Т-обособленной группы.

4. Получены условия существования нормальных и относительно нормальных дополнений к подгруппе ÜL-обособленной группы, характеры либо классы сопряженных элементов которой продолжаются на группу.

б. Установлен критерий абелевости холловской К-подгруппы, обобщающий соответствующий результат Фонга

2)

Gajendragadkar D.S. A characteristic class of characters of finité UC-separable groups // J. Algebra - 1Q79. -Vol.59. - P.237-259.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Результаты и методы работ могут быть применены в теории конечных разрешимых групп и их обобщений для выяснения взаимосвязи строения группы и свойств ее обыкновенных и брауэровских характеров.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЕ Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре лаборатории алгебры Института математики АН БССР в 1990 году, на XI Всесоюзном симпозиуме по теории групп в КУнгуркэ в 1989 г., на Международной конференции по алгебре в Барнауле в 1091 г.

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в шести работах, перечисленных в конце реферата.

ОБЪЕМ И СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация содержит 104 страницы машинописного текста и состоит из введения, трех глав и списка литературы из 45 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Первая глава содержит обозначения, определения, перечень результатов других авторов, используемых в работе. Рассматриваются только конечные группы.

Вторая глава посвящена изучению свойств обыкновенных и 5Г-брауэровских характеров ^-обособленных групп.

В работе Дейд3^ построил взаимно однозначное отображение множества неприводимых характеров системного нормализатора разрешимой группы в множество неприводимых харастеров самой группы.

3) г1

ОаЗо Е. С. Сагас1егез урпаг^ с1еБ % -погта112аЬеигз (Зип .

угоир Г1П1 гезо]иЫе // 1. ге!по апге*. 'МЬ. - 1979. - Уо1,307/'

303. - I3. 53-112.

л}

Используя эту биекцию, Гаджендрагадкар показал, что в р -разрешимой группе G- существует биекция между множеством 51-специальных характеров группы при 5Г ={р} и множеством неприводимых характеров ее подгруппы N д. ( G- р')

Результат Гаджендрагадкара усиливает следующая теорема: Т е о р е м а 3.3. Пусть холловская 5Т-подгруппа Q^ 51-обособленной группы & нильпотентна либо нормальна в & . Тогда существует биекция между 3Cr(G-) и Irr (No^G-ft1)) . где Gjj' - произвольная холловская 51-подгруппа группы G.

Одним из основных результатов 1) является утверждение, что всякий неприводимый 51-брауэровский характер 31-обособленной группы G есть ограничение на множество ее 51-элементов некоторого характера из Bft(G-) . Следующая теорема рассматривает более общую ситуацию

Теорема 4. 2. Пусть G- - 51-, б-обособленная группа, где 5Г,(У - некоторые множества простых чисел и 51s С , Тогда

1) для всякого неприводимого SC-браузровского характера Ci? группы G- существует неприводимый С-брауэрот-Жий характер у группы Q такой, что ограничение Ц/ на множество 01-элементов Q- совпадает с ¿9

2) если 2£5t , то ßa(G).

Основным результатом параграфа 4 является теорема 4. Б,

ч)

представляющая собой аналог известной теоремы Брауэра' для 5Г-брауэровских характеров ^-обособленной группы.

4)

Gajendragadkar D.S. A characterization of characters

which arise from S-nomializers // J. rein? anftew. Math. -

1980. - Vol.319. - P. 172-195. 51

Brauer R. , Tate J. On the characters of finite groups //

Ann. Math (2). - 1955. - Vol. 02. - P. 1-7.

В третьей главе диссертации исследуется взаимосвязь строения SI-обособленной группы и свойств ее обыкновенных и ft-бра-уэровских характеров.

Вопросу нахождения признаков и критериев нормальности хол-ловской подгруппы в ^-обособленной группе посвящен параграф 5. Наибольший интерес представляют теоремы 5. 4, Б. 13 и их следствия.

Теорема Ь. 4. ИТ-обособленная группа G- является ЯГ-замкнутой тогда и только тогда, когда |Ву[ (G-) ! =

= | ЭС^ (GO I .

Следст - и е 5. 5. ¡¡"[-обособленная группа G- является 5Т-замкнутой тогда и только тогда, когда степень всякого ее неприводимого Ш>брауэровского характера есть 5Г- число.

С л е д с т в и е 5: 6. Пусть G- - 5Г-обособленная группа такая, что ее холловская 5Т-подгруппа Gr^ нильпотентна либо нормальна в G- . Пусть S - число классов сопряженных 5Г-алементов группы G- , Г - число классов сопряженных элементов Ng.jj.CQjfO . Тогда S 3» Г , причем S = Г точно тогда, когда G- ¡д;1 <3 &

Следующая теорема усиливает результат Томпсона'5'' для случая р -разрешимых групп.

Т е о р е м а 5.13. Пусть Н - холловская 5Г-подгрулпа ^-обособленной группы & такая, что Н' 9(H) . Если среди степеней нелинейных неприводимых характеров из B^(G-)

i—' Г* г-1

нет 5Í-чисел, то Ь- имеет нормальную холловскую л-подгруппу.

Следствие 5. l^f. Пусть G - p-разрешимая группа и С|г - простое число, отличное от р . Если для всякого Срауэров-

6\hompson J.G. Iforrcil р-complements and irreducible charactors // J. Л1 sobra. - 1970. - Vol.14. - P. 129-134.

скот характера из IBt-^CG) справедливо ^('1)-'- I либо р | , то G обладает нормальной холловской р'-

нодг руиной.

Следуя 7) , С R -подгруппой группы будем называть подгруппу, псе неприводимые характеры которой продолжаются на группу. Поиску нормальных дополнений к CR-подгруппам посвящены работы Са, Айзекса и других авторов. Теоремы 6.5, 6.8, 6.9 устанавливают существование нормальных дополнений к некоторым CR-подгруп-пам 51-обособленных и JC-разрешимых групп.

Теорема 6. 5. Пусть & - 5Т-обособлэнная группа. Если Ng-jj-CGsl') - CR-подгруппа группы 6-, то N^CGsi') имеет в <9- нормальное дополнение.

Используя введенное в работе определение цепи (*) подгрупп ^-обособленной группы G- , получим следующий результат:

С л е д с т в и о 6.6. Пусть в цепи О) ¡^-обособленной группы G- для всех Gj. таких, что Rl - Si-группа, подгруппы O^CG-J абелевы. Тогда

1) Nc^jj- (G.^0 имеет в Q нормальное дополнение;

2) NqCQ^') Имеет в Q дополнение.

Очевидным примером группы, для которой выполняется условие СлеЗ. 6.6, является группа с абелевой холловской •!)!-подгруппой.

В работе используется следующее определение.

Определение!, 7. Пусть Н - подгруппа группы G-. Подгруппу N группы G- будем называть дополнением к Н относительно множества простых чисел 5U , если G- = Н • N и р

7)

HawKcs Т.О. , Humphreys J. F. A character-theoretic criterion for the existence of normal complements to subtjjoups of finite proups // J. Algebra - 1РЯ5. - Vol.94. - Р.ЙЯ2-ЗП7.

Г I (1л N I il ля всякого простого числа р из Ц' .

Пугть OF S (Т , G - if-. О'-обособленная грунпа, Н -ее холловс1Ш б-подгруппа. Известная теорема Ca утверждает, что II обладает нормальным дополнением и G тогда и то лысо тогда, когда всякий imacc сопряженных С-элементов группы G при пересечении с H дает класс сопряженных элементов H .

Из результатов параграфа 7 диссертационной работы следует, что если H имеет в G нормальное дополнение относительно iï , то всякий luiacc сопряженных 'ic-злементов группы G- дает в пересечении с H класс сопряженных ÎH-элементов H . Обратное утверждение сказывается в общем случае неверным, но найдены некоторые достаточные условия его выполнимости, например

Т е о р е м а 7. 4. Пусть 51 ö , G- - (5-раэрешимая группа, и для всякого péiiL секционный ранг силовской р-

- подгруппы группы G не превосходит трех. Если всякий класс сопряженных 5Г-элементов холловской ö-подгруппы G<y группы G продолжается на G , то GCj имеет в G нормальное

дополнение относительно !ïl . q)

Зонг доказал, что абелевость силовской р-подгруппы р-разрешимой группы эквивалентна отсутствию среди степеней характеров главного р-блока группы чисел, делящихся на р . В §8 этот результат перенесен на ОС'-обособленные группы.

Т е о р е м а 8.3. Пусть G - 5Г-обособленная группа. Ее холловская 5Г-подгруппа G^ является абелевой тогда и

S)

Sah С. H. Existence of normal complements and extension of characters in finite groups // 111. J. Math. - 1962. - Vol.6. -

P. 282-291.

9)

Fong P. On the characters of p-soluble groups // Trans. Amar. Math. Soc. - 1961. - Vol. 90. . N2. - P. 263-284.

только тогда, когда степень всякого неприводимого характера ив главного ЗГ-блока группы & есть З^-число.

За постоянное внимание к исследованиям, научное руководство и помощь в работе автор считает приятным долгом выразить сердечную признательность и искреннюю благодарность доктору физико-математических наук, профессору А. В. Романовскому.

Работы автора по теме диссертации:

1. Сементовский А. К О существовании нормальных подгрупп в 51-обособленных группах - Мя., 1988. - 10 с. - ( Препринт /

АН БССР. Ин-т математики; N37 (347)).

2. Сементовский А. В. Продолжаемость характеров и нормальное строение конечных 5Г-обособленных групп // XI Всесоюз.' симпоз. по теории групп: Тез. докл. - Свердловск. 1989 - с. 103.

3. Сементовский А. В. Комплексные характеры и нормальное строение конечных ¡^-обособленных групп. - Мн., 1990. - 48 с. -( Препринт / АН БССР. Ин-т математики; N30 ( 430)).

4. Романовский А. В., Сементовский А. Е Характеры и нормальные дополнения конечных групп // Междунар. конф по алгебре: Тез. докл. - Барнаул, 1991. - С. 88.

5. Сементовский А. К О нормальном строении конечных 5Г -обособленных групп // Известия АН БССР. - 1992. - N 2. - С. 1722,

6. Сементовский А. К Неприводимые характеры и нормальное строение конечных К-обособленных групп // Мат. заметки. -1992. - №3. - С.И-15.