Дополняемость в решетке подгрупп и групповая дополняемость тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение

Обозначения

Глава I. Локальная сверздазрешимость некоторых периодических Ф^ С - групп

§ I. Предварительные утверждения

§ 2. Локальная сверхразрешимость Ф^ С -групп, являющихся локально разрешимыми - или

- группами

Глава 2, Строение некоторых периодических локально разрешимых Ф^ С - групп

§ I. Предварительные утверждения

§ 2. Ф^ С - группы, являющиеся локально разрешимыми ж - или л - группами

§ 3. Локально разрешимые Я0^ С - группы с условием минимальности

Глава 3. Обобщения квазигамильтоновых групп с элементами бесконечного порядка

§ I. ЯКС - группы

§ 2, Полициклические К С - группы без кручения

§ 3. Группы с перестановочными изоордными циклическими подгруппами

Подгруппа А группы Ск называется дополняемой (реше-точно дополняемой) в (л- с помощью подгруппы о »если А&г & (<А,Ь>=(*)и А Г) Ь - ^.Впервые вопрос об изучении групп с заданными системами дополняемых подгрупп был поставлен С.Н. Черниковым [I] .Затем появился целый ряд работ, посвященных изучению этого вопроса.

Известно, что многие классы групп однозначно определяются своей решеткой подгрупп, и решетка подгрупп группы несет большую информацию о строении самой группы (см.,например, Судзуки [2] ).Подобно вопросу С.НДерникова изучался более общий вопрос о строении групп с заданной системой решет очно дополняемых подгрупп. Цахер [з] и Ф.Холл [4] рассматри -вали так называемые К - группы, то есть группы, у которых все подгруппы решеточно дополняемы.

Ясно, что в квазигамильтоновых группах, то есть в группах^ которых все подгруппы перестановочны, системы дополняемых и решеточно дополняемых подгрупп совпадают. Критериев решеточной дополняемости в настоящее время почти нет. Ю.М. Горчаков рекомендовал автору изучить влияние заданных соотношений между множествами дополняемых и решеточно дополняемых подгрупп некоторой группы на её с троение.Этот подход позволяет,используя достаточно развитую технику в группах с заданными системами дополняемых подгрупп, свести вопрос о решеточной дополняемости к вопросу о групповой дополняемости.Изучению влияния заданных соотношений между множествами дополняемых и решеточно дополняемых подгрупп группы на её отроение шовадены работы [б] - [и] .Основные результаты диссертации опубликованы без соавторов в работах [ 5 ] -t8]*[l2]s

Пусть C(G)» K(G)h LCG) - соответственно множества дополняемых,решеточно дополняемых и всех подгрупп группы Q. Ф.Ходл в работе [4] показал,что как только G -конечная сверхразрешимая группа и K(G} = L(G),toG является вполне факторизуемой группой,а значит K(G) = С(G) •

ШРД2ЩШШБ* Группу G ,У которой К(G)= С (G),назовем К С - группой.

Если в группе G найдутся такие подгруппы А , |Ъ и С ,что Aib = С и АПЬ^ЯР(£г)»то будем говорить,что подгруппа А G °Р - дополняема в подгруппе С с помощью подгруппы 1Ъ •

В диссертации изучается более широкий чем класс КС-групп класс так называемых Я3^ С - групп»

ШЩЕЛЕНИЕ. Пусть ¿г с ¿о .Группа Ст называется Ф^ С - группой, если при всех р £ «0Г для любой р -подгруппы А , содержащей Фр (G) ,из решеточной дополняемости А в Gr с помощью подгруппы,содержащей ЯРП| (G-) .следует СтФ I дополняемость А в G .По определению всякая группа является 9р0 С - группой.

В работе рассматриваются локально разрешимые Я^ С -группы следующих трех типов: I) локально нормальные группы; 2) периодические группы с конечными силовскими р - подгруппами по всем простым числам р и 3) группы с условием мини-мальносж.Для краткости изложения локально нормальные группы названы oft - группами, а периодические группы с конечными силовскими р - подгруппами по всем простым числам р - <$h -группами.

Ясно, что всякая КС- группа является Ф^ С - груп-пой.Поэтооду все необходимые условия для того, чтобы группа являлась Ф^С - группой,верны и для К С -групп.Так в §2 главы I доказана

ТЕОРЕМА X. Если локально разрешимая ¿fb - или - группа является Ф^ С - группой, то она локально сверхразрешима.

Из теоремы I следует,что конечная КС - группа сверхразрешима, если она разрешима либо её силовская Я - подгруппа является абелевой (см.следствия I и 2).

Вообще говоря, периодические локально разрешимые Ф^ С -группы не обязательно локально сверхразрешимы.Так в конце § 3 главы 2 приведен пример локально разрешимой Ф^ С - группы с условием минимальности, которая не является локально сверхразрешимой.

Б главе 2 диссертации изучается строение локально разрешимых Ф^ С - групп трех ранее указанных типов.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ • Пусть G - локально сверхразрешимая Jt -или (Jh - группа.Будем говорить, что группа G- удовлетворяет условию Ф^ (& с со ) ,если при всех р в & из того,что G<?(p)z

Gp>н; cGp (н) . ^[(ерЯгЖ&рЛ , следует QP(G) П < g > ф 1 #Ео определению всякая локально сверхразрешимая ¿7É - или JÍ - группа удовлетворяет условию

В § 2 главы 2 доказана

ТЕОРЕМА. 2. Локально разрешимая Jt - или - группа является Ф^ С - группой тогда и только тогда, когда она локально сверхразрешима и удовлетворяет условию Ф^

В конце § 2 главы 2 указан один способ конструирования конечных Ф^ С - групп: для всякой конечной сверхразрешимой группы G- с тривиальной подгруппой Фраттини строится конечная ЯР^ С -группа Р такая,что Р/Ф(Р) - Сг (см,до-казательство предложения 8).

Если А - нормальная подгруппа группы С и в & существует такая подгруппа о ,что А Ь = & и для любой собственной в о подгруппы О выполняется ,то подгруппа Ь называется добавлением к А в & .

В этом же параграфе приведен пример, показывающий , что подгруппа Ф^ С - группы не обязательно является Ф^ С -группой.Ясно, что всякое дополнение к нормальной ^ - подгруппе КС -группы само является К С - группой.Для конечных разрешимых Фбо С - групп доказано более сильное

ПРЕд/1 ЩШИЕ I. Пусть От - конечная разрешимая Ф^. С -группа и А/ - нормальная в & ^ - подгруппа. Тогда всякое добавление к А/ в является С - группой.

Этот факт позволяет, проводя индукцию по порядку конечной разрешимой С - группы,доказывать многие её свойства (см., например, доказательство предложения 2) .Как показано в § 3 главы 2 обращение этого предложения неверно. Однако, проясняет эту ситуацию следующее

ЦРЩХСЕЕНИЕ 10. Пусть С - конечная сверхразрешимая группа, - нормальная в £г - подгруппа.Если всякое добавление к (} в й является Фр С - группой, причем о^ ^ р ,то и сама группа Сг является Фр С - группой. Основным результатом § 3 главы 2 является ТЕОРЕМА. 3. Локально разрешимая группа с условием минимальности является Ф^ С - группой тогда и только тогда , когда всякое добавление к её полной части является Ф^ С - группой.

Ясно, что строение любого добавления к полной части локально разрешимой Ф^ С - группы с условием минимальности в силу его конечности описывается теоремой 2*.

Б главе 3 диссертации рассматриваются некоторые обобщения квазигамилъ тоновых групп.Квазигамильтоновы группы почти полностью изучил Ивасава в работах [13] и [l4] •

Пусть А и Ь - подгруппы некоторой группы,причем А^Ь. Обозначим через L(fo,A) множество всех подгрупп из £Ь .содержащих А .Если С,Т>€ L(£b,A) и СЭ=Ь (<C,D>=fo), то подгруппу В назовем относительным дополнением (относительным решеточным дополнением) к С в Ь .Обозначим через С(Ь, А) и К С ^ Асоответственно множества относительно дополняемых и относительно решеточно дополняемых подгрупп из L (Ь)А)»Дахер [15] и Абрамовский [1б] рассматривали группы, у которых решетка подгрупп с относительными дополнениями, то есть группы, у которых для любых подгрупп А и Ь из А ^ Ь следует L(B,A)= К(Ь,А).Такив группы были названы Я К - группами.По аналогии как и в случае К С -групп рассмотрим группы,у которых К(£>,А) = С(Ь> А) для всех А и Ь таких,что А ^ Ь .Среди этих групп в диссертации рассматривались так называемые ИКС- группы.

ПРДцВЛЕНИЕ. R К С -группой назовем группу, у которой для любых подгрупп А и £Ь найдется такая подгруппа С , что АС = <А,1Ъ> , АпОАПЬ и Ь^С.

Очевидно, что подгруппа и фактор-группа R К С -группы также являются Я К С - группами .йен о, что R К С -группа является КС -группой,а квазигамильтонова группа- RKC -группой. Согласно предложению 12 конечная Я К С -группа является нильпотентной,а по теореме 25 из [2] конечные RK -группы - это в точности вполне факторизуемые группы с транзитивным условием нормальности для подгрупп, поэтому пересечение множеств конечных ЯК -иЯКС - групп является множеством конечных аб елевых вполне факторизуемых групп. Очевидно, что симметрическая группа третьей степени является й К - , но не ЯКС -группой,а всякая неабелева группа порядка р3-ЯК С -,но не К К -группой.

Б § I главы 3 рассматривались Я К С - группы.Здесь было показано,что Я КС - группа без кручения является квази-гамильтоновой (см, лемму 5 )•

Б § 2 главы 3 рассматривались полициклические группы без кручения.Было доказано, что поливдклические группы без кручения, у которых все подгруппы конечного индекса являются КС - группами, - квазигамильтоновы (см. лемму 6 ). Известно, что следующие условия эквивалентны:

1) группа является квазигамильтоновой ;

2) все циклические подгруппы в группе перестановочны ;

3) все изоордные (равных порядков) подгруппы в группе перестановочны.

В связи с этим возникает вопрос изучения групп, у которых изоордные циклические подгруппы перестановочны.Группы такого рода рассматривались в § 3 главы 3. Оказывается, что группы без инволюции (элементов второго порядка) с перестановочными изоордными циклическими подгруппами являются ква-зигамильтоновыми (см. лемму 7 )• В конце этого параграфа приведен пример неквазигамильтшовой & - группы с перестановочными изоордными циклическими подгруппами.

Результаты,изложенные в диссертации, являются новыми. Работа носит теоретический характер.

Основные результаты диссертации докладывались на семинаре "Алгебра и логика" в Институте математики СО АН СССР, а такае на семинарах кафедры высшей алгебры и геометрии Кубанского государственного университета.

ФСЫШЕНШ а£ /Л

1ЛС к

ЛСК АЛ V К К

Л\ К н^ а ьк а н 4 а гл >

АЬ

А X ь п в, ле I л

П ле! л пт§ Ах Ь М элемент а принадлежит множеству М , М - подмножество множества К » уЛД - собственное подмножество множества К , объединение множеств /Л и К > пересечение множеств /Л и К > множество элементов из /Л ,не лежащих в К , Н - подгруппа группы О- , Н - собственная подгруппа группы Сг , подгруппа Н нормальна в & > 1-1 - собственная нормальная в Сг подгруппа, группа, порожденная элементами множества /Л , множество элементов вида при СсеА ж-ЬбЬ, где А и !Ь - подгруппы некоторой группы, црямое цроизведение подгрупп А и Ь некоторой группы, прямое произведение подгрупп некоторой группы при л € I ,где I - некоторое множество индексов, декартово произведение подгрупп &. некоторой группы цри 1 ,где I - некоторое множество индексов, произведение элементов ^ некоторой группы при ¿е I ,где I - конечное множество индексов, полупрямое произведение подгрупп А и Ь некоторой группы, мощность множества М » Н I - индекс подгруппы Н в группе 0- ,

1 - единица, единичный элемент группы, единичная подгруппа группы ,

- коммутатор элементов а и Ь некоторой группы, [А 7 £>] - взаимный коммутант подгрупп А и Ь некоторой группы , О-1 - коммутант группы (т , & - И труппа 0- изоморфна группе Н ,

- фактор-группа группы Сг по подгруппе Н ,

- подгруппа Фраттини группы Сг (пересечение всех максимальных подгрупп из & или сама группа Сг , если в ней не существует максимальных подгрупп),

С*) - центр группы Сг ,

СЬСА)

- централизатор подгруппы /л в подгруппе ь. ь(А) - нормализатор подгруппы А в подгруппе (Ъ ,

Сс-Ь и КС= с1 К С ,где а , -£> и с - элементы группы и К - некоторое множество элементов этой же группы ,

О. - образ элемента а цри отображении ^ ,

- образ множества элементов К при отображении ^ ,

- гомоморфизм группы Ос с ядром ФССг) везде,где группа обозначена символом Сг р и с^ - простые числа , т.,п.) наибольший общий делитель натуральных чисел тип,

- множество всех простых чисел ,

- множество со\& ,где ЛС с из ,

Ср") - множество всех простых чисел, не превышающих числа р .полагаем р и {р^1 - р1 , ^Сп) - множество простых делителей натурального числа гь, <£(|(т|) множество простых чисел,для кавдого р из которых в груше & найдется нее,циничный р - элемент , Я^-СС-)- соответственно некоторые силовские «к - подгруппы С*. и в сР(Сх)\еот X лежит в [^(((Х)]1 ,то = I ,в часности, 1, & гъСС-) — подгруппа р -группы G »порожденная всеми элементами порядка р ^, - подгруппа р - группы С »порожденная р а -ми степенями всех элементов из С- .

Другие обозначения, возникающие при рассмотрении формаций конечных групп, взяты из [17 ] ♦

1. Черников С.H. Группы с заданными свойствами системы подгрупп. М. :Наука, 1980,383 с.

2. Судзуки М. Строение группы и строение структуры её под-групп.М. :Иностр.лит,1960,158 с,

3. Za,cA.er G. Ca*raiierLz%a.zione oiei gruppl rlsoÎLLèLii d'ordln-e finito com^emeaia.r'irRenoL.erruln-аг Ла-t. UaLv. Ра-olova, ш-Ш.

4. H&IZ P, Comptem.£n.teol jrûupS,- J.LoacLon. Mâtfu Soc., 19 37, p. aot-m.

5. Титов Г.H. Соотношения между множествами дополняемых и решеточно дополняемых подгрупп.-В кн. :17-я Всесоюзная алгебраическая конференция.Тез.докл. Ч.2.Минск, 1983,6.234.

6. Титов Г.Н. Соотношения между множествами дополняемых и решеточно дополняемых подгрупп.Кубан.гос.ун-т.Краснодар,1983, 34 с. (рукопись деп. в ВИНИТИ J§ 5758 83).

7. Титов Г.Н. Решеточная и групповая дополняемость в периодических локально разрешимых группах.- Алгебра и логика,1984, т.23,гё 2, с>208 219.

8. Титов Г.Н. Некоторые обобщения квазигамильтоновых групп. Кубан.гос.ун-т.Краснодар, 1984, 18 с.(рукопись деп. в ВИНИТИ JÊ 2557 84).

9. Китченко О.Г., Титов Г.Н. Группы с единственной решеточ-но недополняемой подгруппой.Кубан.гос.ун-т.Краснодар, 1984, 10 с. (рукопись деп.в ВИНИТИ В 2555 84).

10. Титов Г.Н. 0 группах,у которых циклические подгруппы равных порядков перестановочны,-Б кн.: 8-й Всесоюзный симпозиум по теории групп.Тез .докл.Киев, 1982, с.127.

11. Iwasawa К. il&er dit cndíicKen Grruppen. unci die Verê&nàe îArer Un.iergru.ppen,-. J, liniv,14. lwa.sa.wa К. On. Ue ôiraciare of ùvfùalle M-jroaps.- Ja.p. J. Ma.i£.,1943,voe.if,p. 709-US.

12. Zacfier Gr. Determln-axlone oiei gru,ppl dSorcLitie. Jf LaUo re€aícvameate cornp£ern.enta.ru г Rend. Jbeca.cL.Sel., p¿s. e Mat. Va-poíc, Яоо-£ое.

13. Абрамовский И.H. 0 группах, y которых структура подгрупп есть структура с относительными дополнениями.-Алгебра и логика,1967,т.6,$ I, é¿5-8.

14. Шеметков Л .А. Формации конечных групп. М. :Наука, 1978, 271 с.

15. Холл М. Теория групп.М.:йностр.лит.,1962, 468 с.

16. Каргаполов М.И.,Мерзляков Ю.И. Основы теории групп.М. : Наука, 1982, 288 с.

17. Черников С.Н. Конечные сверхразрешимые группы с абелевы-ми силовскими подгруппами.-В кн.: Группы,определяемые свойствами системы подгрупп. Киев, 1979, с;3~15-.

18. Горчаков Ю.М. Группы с конечными классами сопряженных элементов. М. : Наука, 1978, 120 с.

19. Курош А.Г. Теория групп. М. : Наука, 1967, 648 с.

20. Hijipper-f. £>. EncLlUhaG-ru.pp£tx-I.beriln, ?93>s.24. £>arrvsu>(.e W. Theory groups of -j-'Uvlte oroLer. fcu^g. Cam£>rvioLqe , ¿Si l9 £12 p.

21. K.A. 0r\ infinite, soluble groups. 4.-J.LortdLon, Ma-Lfi. SocM p.Si-35V.