Субнормальные подгруппы в теории формаций конечных групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ГОЛПШ.СШ1Й ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

РГ6 ОД им. Ф.СКОРШ1Ы

1 9 ИЮН 1995

Па правах рукописи

УДК 512.542

КАМОРНИКОВ Сергей Федорович

СУБНОРМАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ В ТЕОРПП ФОРМАЦИЙ КОНЕЧНЫХ ГРУПП

01.01.06 -- математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Гомель, 1995 г.

. абота Ешшана в Гомельском государственном университете ишки Франциска Скоринк

Официальные оппоненты:

доктор й'И.лсс-катеыашчесла наук, прсфзссор

ВЕДЕТ. ЖОБ Виктор Александрович

доктор физико-катетичесюк наук, профессор

КОНДРАТЬЕВ АЕШр;ойй Семенович

доктор фшжз-математических наук, профессор

ПРОТАСОВ Lopb Владимирович

Ошэнируищая организация - Институт математики HAH Украины

.Защита состоится " & " и>ол S. 1 Э9б года в {Ч часпв на еисодаии сойота ы займите диссортеций Д 0iJ.i2-.0i б Гомелъскхг государственном унш^ситете имени Ф.иг.-роы по адресу: 2<ioSljd г. Ромзль.ул. О^взтск&я, 104.

О даесартбцкей мскно озиакойигься б библиотеке Гомельского госудчрствегтого укигректета им. Ф. Окорили.

Авторе фзрат разослан " € 11 и ¡Он ^ ¿S95 года.

УчешШ с .cpsispb

ссвэта по завдхе диссертации,

•кандидат физике-к8Тб>шичбок,i наук,

профессор i\jüLi7"'? D.C.MOKAXGö

ОБЩАЯ ХАРАКТ2РИСТИКА РАБОТЫ Актуальность теш диссертации. Струкг'рная теория непроста?

ГруГЛj ССНОШШЭЯ в ИОПЦ8 !9-пО СТ0Л8ТИЯ- ~ рЭЗВИВ8Ш8ЯСЯ ТКЗрБОНа-чальпо е юлревлекш явного конструирования составных групп из прогш, в самом начале своего развития получила ряд реуу;. -тагов iнапример, георемн Юрдана-Гельдера и Рем'ка-Шмидтз), ука-згсадок на не обходимость изучения свойств композгсщоныйс рядое. Однако систематическое исследование этих свойств, а значит, и свойств субшрмалвннх подгрупп Сило начато по инициативе Ремэка только в конце 30-»s годов. Только в 1936 году он выделил впервые oecCu'i назвяннм эти подгрутш ( "mcliinvarlant" ) к поставил задачу исследования и общих "всйств. Б теории групп с конечными композиционна© ряда?,и (а значит, и в теории конечных групп) такая задаче имеет особую актуальность, так как именно в этих группах множество всех cv?нормальнн'х подгрупп в точности совпадает с ыбо ...еством Зоек членов их кошюэщтошвх. рядов, "оставляя, по словам ï.Холла, "скелет группы, обеспечивэтиа осноьу для всех других ГрупПОЮН структур"

Изучения свойств субнормальных подгрупп конечных групп положила начало в ¡339 году известная работа [I] Еклзндтч, оггавшэн стройное влияние на развитие всей теории конечных груш в после-дущиэ года.

В 50-70-е года теория субнормальных подгрупп фэршруется как сс"остоятелыый рь:.дел теории групп со своими интересными прооле-

vsmii, своеобразиями «е,одами и приложениями в другш разделах злгегты, Обще итоги исследований этого периода, во многом определивших лицо соиромояно® теории субнормальных подгрупп, были полведекн Виладг-ад в обзорном докладе [2] на математическом г-ижокую 5 сактя-Круз в 1973 году и Яеыокпо. и Ст унхью-opai в книге 13], Ешедай в 158. году.

D последние два десятилетия рдавитяе стуктурисЗ теории групп симулировалось заеераанхен класстфиздки кояечгагх цросткл груш.

Характерной ооос.нностьв этого триода является игроков применение б теории групп методов теор^л . классов, ключевую роль среди ■соторьг' ^кяли фор.', шж и классы Фиттинго. Напомним, что класс групп называется формацией, если он замкнут относительно гомоморфных образов и лодпрямнх произведений с конечным числом сомножителей. Классом Фиттинга каз. зается "'ормально наследственной кчасс # конечных груш, обдадзкещй тем свойством, что из С -- АВ, гдо А я В - норг.млышз $-подгруппы группы С, всегда следует в *

Ш о первых тагов развития теории плисом конечных груш огйля пнар/янться о&дае точкг соприкосновения ^ с теорией су<5: эркгльнвх яодтруш. Солее того, ключевые понятия теории формаций и теории классов Фиттир^й конечных, групп бззируются па ид'-е субЕорйаяьности (нащамэр, понятия самого к чеха Фиттинга, '*~рада.илэ, д-Ш1ъегтора, локальной г композиционной формиий и др.). Уз'е только этот факт наталкивает на кнель о том, что вырэ-з'-тельные возможности теории клэссов пгут быть широко использованы при исследовании сеиях суснсрма-кьнах подгрупп. Первыш: обра-гили ышызеий на -»то Л.А.Ийметков [41 и 0.Кегель [5].

К концу 70-х годов в теории конечных групп сформовался круг проблем, связанных с изучением свойств субнормальных под-гр-упп методами теории класеор и направленных кг развитие следу»>-К1Х регул* татов Вилог1дтэ:

ТЕОРЕМА 1 ([!];. Любе I субнормальная подгруппа нинмной груш пзрестэк.вочка с каждой ее перфек-гой субнормальной подгруппой.

ТЕОРЕМА Я, '!)];. В любой конечной гр'ипе множество всех субнормальных подгрупп образует роиетку.

Напразлеки развития теоремы 1 обозначена в теории «Формаций следующий двумя проблемам!;. Преаще чем сформулировать их, напомним, что если а - непустая формация и а - группа, то через о' обозначайте.. Л-корадикал группы 15 > т-е- пересечение всех тех нормальных подгрупп К из о, для которых о/к с 3.

ПРОБЛЕМА 1 (Л.А.Шеметков, 1978 г. [4]). Пусть $ - проиыюль-1..1я дока; лея формация разрешимых конечных групп, содержащая все

ковечша ¡шыютевише грушш. Щжагьть, что для „тогах, двух субнормальных подгрупп н я к произвольной конечной группы V. скрзь'е.д-жвс раЕенство 11% = КН^.

ПРОБЛЕМА 2 (О.Квгэль, 1975 г. {5]). Пус.а § - непустая наследственная фориацутя,. заыпутвя относительно рзсшкраи'/й. Верпо

ли, что ,уд0ст1ш1\ы8 подт'рупгш и к произвольной коночной группы

0. гшреотэнооочнн, если Н К* к Н -- Н'-* ?

Проблзш 1 и 2 предполагают двоякое развитие теоремы 1. Если лроолемз 1 направлена тга открытие в кэкдой конской группе субнормальных подгрупп, перестановочных со всеми ее субноркашааг подгруппами, тс в основе проблема 2 лехи? ¡тая о том, что фкк и-рстзннйя перфзктняя субнормальная иог-рупна группа о перестановочна не только с любой е'/бк'рдзлы'сз лодгрушюй из о, но такае и со всй5ш ы е-досгакшш подгруппами, где @ - формация зоех разрешит групп.

Отметим, что в проблеме 1 теорема > соответствует случав, когда ^ Из роботы Биладдть (63 следует ревенке проблема 1 для другого крайнего случая $ = где - формшдя еоед ккяыю-ттчтнкх групп. Ото реьтоние использует технику тесими операторов, разнитр; йишдтом в работе ¡6], я слравтг.-. на то'", факт, что в кзкдой конечной груш..- с справедливо равенство <-йД>я - <ня,кп> дм мбьз. ее субнормальных подгрупп н я X.

Естественна постановка задачи о нахождении воакх формаций $ с указанным свойством. На языке тэории операторов она равносильна задаче о нахождении операторов, перестановочных с гсмомор$шамк йначсЕие г,той задачи определяется следующши двум моментами. Ь.-пгфзд/, открытие каждого нового оператора приводит к лиекдени» нового признака перестаяовочксстя субнормальных подгрупп. что важно с точки зрения решения проблем 1 и 2. Во-вторых, каждый лсшй оператор дает вову»> инфориациг о строении подгруппы, порокг-чшой системой с^нормалькид подгрупп, что разливает в определенном сш. ю теорему 2, так как открывает новие .веяние зн-30;юр£йша реяееки суСнор^альма аодгрупп.

•Г '^лр-эдоз - в теории злрряцб сьлзчш следующие две щ^блл-

ш:

ПРОБЛЕМА 3 (Л.А.Шбкетков, !Э?8 1. [4]), В каких случаях ыно-лзз'зтво во5а З-субшркадьных подгру-л группы с образует реретку?

даОБРШ 4 (0.Кегель, 1978 г. [5]).' Найчх класс: групп обладайте тем свойством, что в .ш5ой коночной группе множество есэх $-достшиг"". подгрупп образует рван. л>у.

Отмзтг", что понятие #-зубисрмал*чоК подгруппы является зс~ тсдаояаи обобщением понятия еуонормашюй подгруппы, кля кепуе-1 ой формации 5 подгруппа и груп а а называется '¿г-с^бнор,-;альной, ■ сд либо а - с, либо существует такая максимальная цепь и =

=•= Н.<= К/- ... с гт -- С, ЧТО (II £ К ДЛЯ ¿002. 1 = 1,й.....п.

О 1 П * I ' 1-1 * I »

¡¿»шшыг другое иошто $-субнормальяоетя введзш Кег-олем в [5]. Фактически оно объединяв- понятия субнормальной и ^-субнормальной подгруши. Подгруппе К групш С называется ^--оу ^нормальной в сполз кег ля или, шшй, достижимой, если сущистеу&т ц;пь а - я £ ; не ... с и - о такая, что для кзадого 1-1,2,...п либо подгруппа н.пс^мальва в я, либо (Н е к^.

Общая гадвча п'строечшя теории ^-субнормальных' подгрупп по-стшш-ла Л.А.Шелкткоим ([4], стр. ¿3; и о.Кьгелем ([&), стр.22й/ в г. Частные оо аспекты, гклвчащив к указашшб ьроблсл 3 и 4, позже неодаокраж» уточнялись. Так, а ¡Соуровской тетрада под кокером 9.?5 Л.А.Шекотк.оЕпм поставлена задача описания всех такта локалышх формаций § , что в любой конечной группе множество всех #-еубпоршлш". подгрупп образует рёвегку. й сезоро НО] формулируется задача нахождения всех кайщзтвешы! лока^ьш: : $ 0МЭ1ШЙ " тем *8 свойством.

'Аперэсшга разу ли эта ю проблеме 4 полу еш Квг»лвм. Ь '•н тькази?» что в любой конечной груше а решетка п(0) жир/кается. в реиетку всех &-достяюмнх ..одпуш группы о, веж $ •• не-»{устая н'лСлбдетешгзя Формация, замкнутая откс-сителыю расивре кий. Цроод-зке по:вящзна рг ота Бошсте|л-£олиншз, Дерка и Перец-!'; гщ [г/].

В ?Г.:рЛ'Л *--СуОВО|«Г'ЬШХ подгрупп КОШ ИВ ОУГ!ЛОр;йЗДЬНООТН ^•»сгвеготву^г случи1, ког^а - 31. случай я-'ЛК'?ключевым

при йя.оди°9 ряда классфкашонзт;~ задэ. теории формаций. В связи о эти/ для теорй? 7*~пубпормальных подгрупп интересны проблем«, связанные с лучшем формаций. свойства которых по некоторым па-реме трал? близки к свойствам класса шш^отетных групп. Особое место срзтц гтш: проблем зяшаот яр блема описания лэкаяьгох формаций с услоагем Шзмэтшва, Согласно [8-91, формация 5 незнп-етзя Формацией с условием Шзмблсопа ¡тля, иначе, §-форациэй» если любая микиая-зая кэ русла либо является группой Екдта, либо Л'.Ке? простой порядок.

ЯГЖЯШ Е 1934 г. ИЗГ». Нулте веч лдаэлшв

2-формации.

Интерес идаяяо к .этой проблеме обусловлен вреждь всего тем, что мкогие известке 3-$сркаиии индуцируют оператор Вилащтя на суонормалыш. подгруппах, а потоку могут быть использованы при решш 35Д5Ч теории су5ясрмадьша подгрупп.

Связь работа с научим программами и томами. Диссортагш . л!По.!г-тон5 в рямклх госбгадпетноЯ тега Гомельского госутшвзрсятэтз "Развитое фракионшгк методов теории групп л других алгобрзи-•мских еиотек", вхпця©й в перечень важнейших по Республике Беларусь, и госбюджетной тем?! Гомельского гссупиворситета "Структурная теория формэшй и других классов алгебр", финачсиру-емой Нйлистерство» обрастания в кауип Республики Беларусь.

флъ % рздачй ^соледоваийЕ - рззвттао методой теории фотаа-гдай и "дагссв ^тгеа^ для изучения свойств субнормальных подгрупп. пртае^ешьз л ¡с решения указанных ноте проблем, построение г.бдйй теории д-субнор,1ильш.х подгрупп.

Все ослогашэ результата доаяттащ является новшя:.

Вргетвчзскг'^значимость полученных результатов. Работа имеет теоретический характер. Ее результаты могут о^ть и чолы'ванк в

сл'здовзниях по тэорл! формэцйй и клзсс0е "^тткнгз кснзчт.1х

групп, а тан$5 поз чтении свешсутзссв б университетах и пединститутах.

о

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

1) Решп проблемы Л.А.Шеметкова ^Коуравская тетрадь, задача 9.7L,; о перестановочности g-корадикалов субнормальных подгрупп для локальных формаций g.

2) Развитие методов построения операторов Вкландта, перестановочных с гомоморфизмами.

3) Построение общей теории "Э-еубнормалышх подгрупп конечных груш.

4> Решение проблемы Л.А.й1ем-зткова (Коуровская тетрадь, задача 9.75/ и О.Кегеля [5] об описании локальных формаций 3, обладающих решеточным свойством для '¿¡-субнормальных подгрупп.

5) Решение задачи О.Кегеля [5] о перестановочности g-кора-дикалоЕ ^-досигчимня подгрупп.

6) Решение проолзш Л.А.Шеметкова (Коуровокая тетрадь, задача 3.74; об описании лекальных 3-формацнй.

7) Реаенке задач 6.52, ii.2« и 12.7 из Коуровской тетрада, задачи '0.22 из обзора Л.А.Шеметкова [10J и проблем 7.22 и 10.5 из книги Л.А.Шемежова и А.Н.Скибы [ilj.

Все с новше результаты диссертации получены аЕтором самостоятельно.

Адрооацкд результатов диссертации. Результаты настоящей диссертационной работа льоде кратно докладывались ее авт ром ча семинаре по теории групп кафедры алгебры к геометрии Гомельского госуниверситета км. Ф.Скориин. Автор выступал с докладами на IX -XI Всесоюзных симпозиумах по теории групп ^Москва, 1Ш г.; Гомель, ij&b г.; Свердловск, 198Э г.), на хш - XIX Бсоссюзнпх алгелраичб.ких конференциях (.Минск, 1983 г.; йкинев, 1935 г.; Львов, 1%7 г.), на i -- ПI Междунарс-дш-г конференциях по алгебре ^Нэвосибкрск, 1939 г.; Барнаул, г.; Красноярск, 1У93 г.), vi конференции математиков Беларуси {Гродно, 1332 г.), Международной математической конферэнщи, посг/жлной 25-летик Гомельског. .ос/нкверситета im. ф.Схорины (Гомель, 1954 г.) и Международно!» конференции по алгебре и ан^тизу, посещенной ЮС-летию Н.Г.ЧеСотарзв' (Казань, 19Э4 г.).

ПуОлгкащй?. Основные результаты диссертации опубликована в 22 статьях в научных изданиях, а .акже в 15 тезисах конвенций.

Диссертация состоит из ппреч-liíi условных обозначений, введения, общей характеристики работа, обзора результатов, трех глав основной части, выводое, и списка использованных источников, распложенных г алфавитном порядке. Объем диссертации -- 183 страницы машинописи.

КРАТКИЕ СОДЕШЕШ ДИССЕРТАЦИИ

Ниже охарактеризовано содержание диссертации по главам. Отметим, что все рассматриваемые наш лэупок предполагаю ся конечными. В работе используются определения и обозначения, принятые е книгах [3,4,11,121.

Глава 1 "Корадикалы субнормальных подгрупп" включрт в сеся четнре гвздела " посЕящена проблеме перестановочно тп субнормали ■ них подгрупп. Прежде чем сформулировать основной результат этой главы, нам необходимо привести определение композиционной форма-пни.

Пусть f - функция, сопостевлягчея каждой щъстои (абелевой или неабелевой ) группе s некоторую формацию f(S), причем í(S) = г (ш, есла s -V н. Дусть, кроме того, í{1) - класс всех групп, и eau: a ^ 1, то Г<с> = П f(H/K), где н/к пробегает все композиционные факторы группы G. Функция f называется композиционным экраном. Класс Supp(í) всех тех простых групп L, для кс/орых f{s) ¡' -/ 0, называется носителем экрана i. Если н/к - главный фактор группы a и й/С (и/К) с í(н/к). то фактор н/к называется î-цент-t-зльным. Класс Ci'всех групп, у которых все глгзные факторы f-центральны, называется композиционной формацией, а Г - экраном этой формации.

Ц.нтрзлышм результатом главы í явллется следующая теорема.

I.3.Í. Теорема. pvcTb $ к 5 - произвольны0* композиционные формации. Пуст н и к • субнормальные подгруппы грушрт о. Коли ?со збелсин кошззишшяш» и акторы подгоуп н принадлежат 3 U ГС № .-

о

Приведши основные следствия теоремы 1.3.1. Одно из них. получается в случае, когда & - единичная формация.

1.3.6. Зледствие. Пусть $ - произвольная композиционна- формата. Пусть ник.- субнормальк^е подгруппы группы с. Если все абелевы коттсзан..онше факторы подгруппы н принадлежат 3, то

н% = К!18.

Так как кздая локальная $*рмация коночных групп является ) <.мп. зкщкжной, то имоэм

1.3.7. Следствие. Пусть § - произвольная локальная формация. Если л и " - оубнормяжше подгруппы группы а и дб) е то н\ - И13.

Следующий результат автора из [кб] решает отмеченную иге проблещ 1 Л.Д.Шеметкова (Коуровскап тетрадь, задача 9.73) дгааз без предположения о разрешимости Оз являете» частным

случаем ос^ей тьорзмы 1.3.1, доказанной в работе [35].

1.3.8. Следетеп^ . Пусть % - произвольная „окальная формация, одерживая все аашготоашо группы. Тогда да любых дв ух субнормальных подгрупп н ц к произвольной конечной группы о справедля во равенство к^к = кн^ .

Как уже отмечалось, в сыц ;аз, когда § - едиданая фошаща, 3 = 31 а 3 •--• 6, тсорада 1.3,1 дает результаты Виландта о шреста-шзочносиа лильяотойгного корадикала и перфектной суипормальпой подгр'чиш. Если § = я , & = Я ,, теореме 1.3.1 превращается в из-ве тьпй р'чультат Быондта из [6] о перелил" зочности ортогональных с, бпоркальгаа подгрупп ! течкой группы,

приведем еп два следствия;

1.3.11. Следствие. Сьергра&^щгшй кошшал ;%ссй субнормальной иодгруппв произвольно, конечной группы г, гаресуеново-' чен с кадсой субнормальной подгруппой группы с.

НсШ шм. что груша и называется квазшшыютзнтнзй. если Г^Г'К) - 0 для любого г.твпого фактора Н/К группы 0. Класс всех кчьзив»Л1 -отеятпь'т, пзует сбозп'&ч-гются через 31 .

..Г-1.!::. Следствие. Пуетъ * фор^ппл всех квао.пг/двг^тент-

* *

них rj'jiiF. Тогда нп К = Y3r д-v. я«!':. двух субнормйлмюх подгрупп н м к произвольной конечной группы О.

Последнее ольдствке интересно тем, "то масс Л* является композиционной Фиркэуей, которая не локечлв.

Доказательство теоремы 1.5.! cotjk довело дальнейшего развития тпорип сиарэторов, предложенной Виландтом в [С]. Оператор Г.1-лардта на .',уЗнорч8льяюс подгруппах определяете еде душ® образом. 0)терзтср."й еазыбовюд фрмдая «>, которая ставит в соответствия кавдоР субиоршькой ;годгр}шо И груши о некоторуа подгруппу н'" т н, njuPitiM для любых двух субнормальных подгрупп а и s любой груши G цтитсянгсся условия:

{[) чл,в> - 'А д< >;

для любого ипоморфизма р группы а справедливо равенство (G*f , «f)a.

Из множество всея операторов Ввлеэдга ш выделяем те, кото-¿•ые лерестаноеочнн со voMOíwpftreMsw групп. Для этого заме .шм усп"рие (2) р определение оператора бо.пе силышм условием:

(") (.(?)'* = (о">)® да jiíkíOí-.','' <р группы и.

петрудно ой^ртить (см. лемму 1.2.1 ), что функцг тваяьнкй педхед Рмандта тияо обязан с теорией классов. Действительно, для лг*.'ого оператора <■- ьш-м % - {g|gw« 1} является классе" Фига-чинга. Если же ;®цратор, «> удовлетворяет условию .3), го класс g /нллвгсч íoptóuaoit Т/мига м <f = $ для любой грунпн а.

О'ратяо, качдой непустой '¿ормаодк 3 соответствует функция г • а - víPEit^io, удовлетворяет условию (3). Если г^ обладает и свойством (! >, r^ - даратор Ви.пэкдта на субнормальных подгруппах. Мы говорим в ртом очучзе, что формация JJ индуцирует •:>п*ротср Билчидта г^ на еубпормол-юк подгруппах.

Таким обра?"К, отьскания оиерэтороз, перестановочных

о гомоморфизкайЧ), садится к cwct«jii всех тех ^ормаий тинга, для которых рвенсгео <Н,К>3 - вняимиям"» для лвбнх суб-

. нормальных подгрупп И л к либой г-руипк о,

диссертации 11рг»д)1ягав?*ся несколько подходов, позволяющих СТрОКТЬ BviBKe ПрЯИбр» ЛйфбТСрОВ ?ВЛЙНЛТ8 не субкс^мэлышх под-

группах, та' эй .гдача вят^рееяз уже потоку, что оукрдае каждого нового оператора обязано о очтфи жек нового свойства порождения с/бчор'гп-яьх поэд'р. тн. Отчетам, чао до яедавних нор были известно в едитачьые примера ояэратироь (см. работу Виландта [6], а • токдэ гнхту ?Й]>. В разделе 1.2 кы питаемся исправить такое тк»— .«чюнпе дел, разрабатывая осдие мет. да нсоледовангя формаций, щ-дуциру.щих оператор Виландта. При этом било замечено, что, изучая стрсвнае Я-керздвкала порождения двух субнормальных подгрупп конечной грулпч, приходится изучать в каждом сль.ршыюм случае сеойствр некоторого гипотетические шнгмаяьнсго контрпримера. Накопленный г »том отношении опыт иг изгггазм е теореме 1.2.4. Из нее, в частности, следует, что оператор Виландта на субнормальных подгруппах ишцчщру'ЭГ всякая формация Фитинга, не содержащая гг'унп с абелевыми к*мпсг:щионккш фагторзуз? ( следствие !.*,.?), всякий нормально наследственный идешотент полугруппы формаций ( следствие 1.2.8 ) и формация 5 = V. ¿А условии, что оператор Еиландта на субнормальных подгруппах ккдуцщзугт каждая из Фзр'/апи.. 51 и К(? ) Л К(Х.) - 0 для всех I - з из I ( следствие 1.2.13).

Общий подход в отекании гавюзгтюь.кх: аормааий, кодирующих оператор Виландта Е2 субнориаяьн;/: подгруппах. дает следующая теорем*.

1.2.1«. Теорема. Пусть Г - композиционный зкран. Ясли для любой группы ¡г . Зирр(Г) формация ГШ) шдугтфует оператор Виландта г . ч на су бкоомалышх псдгруппзх, то и (*ормащи. $ - О?(Г) индущгоует ог.йр?-ор Вклакдта г^ на субнормальных подгруготзх.'

С-кхщ*, в честчесте, *кееу •

1.2.19. Сле ;ствхг?. Яля жй-'х дгух субнормальных подгр'чш н и

*

К произвольной конечной группы с имеет место равенство <к,к>* -= <нп д5' >.

Счмаим такке теорему 1.2.21, доказательство которой опирается на тзорзку 1.2.16:

Г.2.Г'. Теорзтс. Любая разрешимая тотально локальная форма-

пча 3 индуцирует оператор £иландта ? ни субнормальных подгруппах.

Отсюда ввиду известного результата Врайса и 1Го:си [14] пжем t-3.24. Следствие. Пусть 5 - РЭ!гРвшгая наследственная формация Фиггинга. Тогда для лтобнх суонсрмааниг подгрупп н и к группы о справедливо рзвокство л,к>' = <н*,"®>-

Функциональный подход Вилэндта тесно связан с вопросом перестановочности субнормальных подгрупп. Эта связь определяется лрезде всего следующей "еоремой Ввяапцта: Пусть v и у/ - кекотерне операторы Вздзндта на субнормальных подгруппах. Пмдаыюии, чг справедливо следующее утверждение: субаормзлш» подгруппы Н l К группы g перестановочна. ее,та и - f? -• н^, Тогда a'V - bV для лабпх.д, в < ии(о).

Учитывая связь между операторами и формациями Фит инга, мы замечаем, что yi таанна? теорема Вияандта своде? проблему перестъ ковочкости корадикалов для формаций Фиттинга к задаче описания формаций, ин^утфугщн опс-ратор Вилакдта на субнормелыпгх подгруппах. однако, несмотря на определенную универсальность, теория опр^оров Me кшз? быть прямо применена к роиашш задачи о перестановочности g-корэдикалов для яеридикзлыюй формации 3. Поэтому доказательство основной модам 1.3.1 потребовало развития елм-й теории чедаозкцконнкх формаций.

Главный результат е этом направлении - теорема 1.1.6, которая с помо'Д'ю операций произведения и пересечения формаций позволяет кокзтрукровйть композиционную форматно из значений ее компостщокного экрана, отметим, что шшогичная конструкция имз-с-, место и для локальных формаций (см. [4],1121): .зли ! - локальный ЭКрЗк 3, то

з = V^WW'1»-

Прелую чт. сфорсулкрсвоть теорему, привадек ряд "вродзле-иаи. lityia 1 ■ йсьусюП класс групп, то крез Dt обозначается

•слаос зезх гили:, :бл;д':;гцих ^Згсритза« рлдаш с I-факторам-.!.

Если с» - неедшкчпая группа, то черпз к(а) обозначается класс ьоех просты,: групп, изоморфных комп^зшшсянш фактор?!* грушш о. Если же с - одшякая группа, то полагаем к(о) 0. Кроме того, здесь' К' (0) -• доползете классе к>'С) в классе всех простых групп. Пуогъ - класс Есех тех групп, у которых Есе главные р.-фзг;то-ры абнтралыш.

1.1.с Теорема. Пусть Т. - композиционный экран, а? - Suppl.il. Тогда СРСГ) П где ^ ^^Д^.р), *«=

- П 'ЕК'ОШШЛН - веэбелева £-группа}.

Теорзма 1.1.« позволяет представить ^-корадикал группы в виде произведения нормальных подтрушу кащш из которых является либо 0 -ксрадзкалш, жбо ЕК' Ш)-корадикалом некоторой нормальной подгруппы, и таким образом родужровзть вопрос таргстенозоч-нссти 2(-кор.яшсзлй субнормальной подгруппы "ля композиционной формаци 3 к сост-вэгствуыему вопросу для форхаикй в и К'(И).

Излог'чшне визе результаты показывают, что в теории компо-зиционшя формаций я в теории операторов вагауг. роль играют ндем-пстбиты полугруппы формаций, т.е. такие фармации К, что й - I2. Одна из проблзм, сЕязанш;х о самими пдемпотентамн,- решается в разделе 1.4. Згз проблема поставлена впервые е кнзге И1] и заключается б сло&дем: разлагается т печально наследственная формация к - 1№ е произведение двух формаций нетривиальным образом? оаметм, что неединичный нормально наследственный идемпотент Ю полухруьты ьсех формаций г.онечьж груш полностью определяется запанием класса X есох простых групп, пшгадтежавди К. тек как в этом олучае 1 = Е*.

:.4.2. Теошма. Если нормально наследственный идемпотент полугруппы а® содержит две неизс-жрфные простые группы, то он разложим.

И? теоремы, в частности, следует, что формации всех групп и формация чсех разрешимых групп разложимы.

Недавний результат 0.В.Мельникова о неразложимости формации И, гд. У - класс гвупп. изоморфных фиксированной простой неабе-левоГ 'руппе л, и те шма А.Н.Ски^н I' Л.А.иечсткоъ?) из [15] о не-

Vi

разложимости формации Шр позголя: г теорему 1,4.2 с^рмулирояать следушим образом.

1.-1.6. Теорема. Пусть 2 - непустой класс проотнх групп. Формация Ы рэзложа тогда " только тогда, когда £ содержит по крайней мере две пеизожравде простые группы.

Наблюдения, связанные с доказательством теорем! 1.2,21, позволили описать строение тотально локальной фор-эции, порожденной простой неабелевой гр.,пшй. В качестве приложений tskoíо описания у разделе 1.1 предлагаются ренты двух задач, ыязшшчх с тотально локальными формациями. Одна из этих задач состоит в описании всех тотально локальных фзрчяций, у которых все тотально локальные подфор.чащш иэсдедсткшм. Она реэавтгч в следующей теореме.

1.4.13. Теорема. Пусть X - класс всех простых снималытх не разрешай групп. Тогда и только тогда все тотально локальные подрормции из 1 íontí наследственны, когда G е 31огяй.

1.1.20. Следствие. Пусть # - тотально локальная формация. Тогда и тоако тогда все тотально лекальные подфрмаиш из $ наследственны, когда g г Síontí?, где X - класс всех просек минимальна! неразрешвш групп.

Что касается второй задачи, то она связана с ответом т,а вопрос 10.5 из книги Л.А.Шекэткова и А.Н.Сгабы "Формация алгебраических систем" (М.: Чзука, 1369)г будет ли подзолугруппа <S>, порожден ая множеством 3 всех неразложим элементов полугруппы вс х тотально локсльшк формаций, совпадать с jsio&scteom l, где I - кшюсгео всех иде.чгютентов полугруппы GOT. В теории аюо-гоо^эзй это так. Однако дач полугрупш всех тотально локальных формаций теорем l.l.U утверждает, чю <G> с о^М.

Глава 2 'убнормалыие подгруппы" посвлцзна построению об-дей теории ^-субв.ортыш подгрупп конечных груш.

Как ц в теория субнормальных подгрупп, развитие теории ^-субнормальвнх подгрупп началось с вопроса: будет ли порождение двух ¿(-субнормальных подгрупп снова ¿(-субнормальной подгруппой. Одновременно этот вопрос был выдвинут з С4 j под номером 12

Л.Л.Шеметкоыли для оубнорьшыш подгрупп (см. также в [13] задачу 9.75 и в 1.10] проблему 10.1П) и Кегелем б работе [5] для 2)'-дистш/шх подгрупп. В [5] Кегель установил, что шшзстео всех $-Досишшх подгрупп в любой конечной группе образует решетку, ои.ш § - наследственный кдешготент полугруппы формаций. Р< етой же работе игла поставлена задача отысканий новых классов групп }}. с.бдадатем свойства*, что мноаество все? ^-дсеткташ. /ДЕгрусл в .¡побей конечной групп" образует решетку. Следуюшая тео-Ж" уотйн&вжЕае1]' гйшйвалеиткость отмеченных задач ¡Л.Шттт&ь и К-зтш. для случая наследственных лоьзльшх формаций-

й.!.!. Теорема. Пусть Щ - наследственная локальная формация. Тогда зледушм уТВбрЖДРЧИЯ раЕносиш;: •

») »аокество всех ^'-достигала подгрупл в любой конечной группе образует решетку;

~> множество всех '0-субнормальных подгрупп в ж(М конечной груше с 'рйзуы решетку.

Полное решение указанных задач Я.А.Щеметкова к Кзгеля о ка-тлыж нзояедствеинш локальных формаций, обладаювщх решеточны" свойством для Й'-субнормалышх подгрупп, дзет следующая теорема.

2.1-2, Теорема, Пусть У< - наследственная локальная формация. Тогда и только '¿огдз инокестго всех. %-субнормальных подгрупп образует решетку в любой конечной группе, когда $ удовлетворяет следующим условиям:

1)3 = и0(1й и й), Ш) 0 тс(Ь) = 0;

2) Ь = ио, где ^ П = (' для всех 1 К из I;

3) 1 - ^(Щ)®- - насйидствегаая^локальная.фэрмашя, явлдапа-яся классом Фиттинга, нормальным в I2;

4) всякая нециклическая минимальная не И-группа С- с единичной подгруппой Фраттиш яшьптся монолитической с монолитом N = причем 'г/Н - циклическоя примерная'групп.

В классе (о всех разреяимм 1-угот имеем следующий резулыат.

2-1.19. Ле:>ма. Пул 3 - разрешимая нормально нзслел',ткенная локальнил формоинг Тогда:'

Г еелл В Н^дСЙ ГрУПП.'; ¡.СЧ; ^ -'Л'ОНОрЗЛЫ::.;'; НОЛ-

группы образуют решетку, то $ имеет бил $ - , где ^ (1

П 1Гл, = 0 для лпбиг ]. * к ж I:

■?.) ее ли 1- - формация из пункта 1), то мнояедтве горл £Иус--нормалтж: подгрупп б любой" группе сбрсзуе? реше.л-

Из лешш 2.1.19 легко згхдется опгсше разреши,«их наслод-ственшк локальных формаций, ос..адагшх рещг хчквм свойстве» для ^-субнормальных подгрупп. Одновременно это описание получено Балле стерсм-Еолияже. Деркш и Перец-Раг/с-а в работе ["].

Отметим, что су!д8гтву;от неразрешимые наследственные локель-зне формапик Ъ- удовлетворяшие всем условия* теорема 2.1.2 и !г обладающие свойством % - Примеры таких формаций. строятсг в разделе 2.1 диссертации. Одной ?.з н-х является 'формация ?} -

= •З^оптй. где С- - жнималг*95 неразрешимая простая группа,. % -

=

В газделе Г.2 решеточные свойства формашй используются дл; характерноеиии нильпотентности.

2.2.1. Теорема. Группа О шиьпотептка тогда к только тогда, когда каждая подфоркацкя Ь кз 1огш& обладает решеточным свойством д.лл 5-субнормальных подгрупп.

Отсюда, в частности, следует, гт-с любая нильпотентная формация 3 обладает тем овойстеом, что в дабой конечной группе- множество всех ¡^-субнормальных подгрупп образует решетку. Поэтому на пути поиска новых формаций с решеточным свойством возможны отступления от локальности.,

Б разделе 2.-] решается указанна выше под номером 2 проблема Кегелл о перестановочности ^-корадикалов Я-дсспшых подгрупп. Грежде чем сформулировать основные результаты этого раздела, приведем следующее -определение. Будем говорить далее, что непустая формация 3 индуцирует оператор Еиландта на д-достютш иод-группа-, если для любых двух д-достияимнх подгрупп II и К произвольной конечной группы С справедливо равенство <Н;К ^ =

Важность 'веденного понятия состоит в том, что с его пемсиьп ;/а.;ьгсл нзйт!{ признак;г пес?с7г.новстос1и у-досткашя подгрупп. -;.-!.¿. ..Т=угю. Пусть - зегг/с^ая йермаци.., нндушгуг.':;зя

'люратор Виландта на ¿(-досттишх подгруппах.. Пусть Н и К - д-до-

тлашз подсуши групгл С. Подгруппы Н^ и К пзрестзновочш, •'ОЛИ ОД11О из условна:

1) !Ну/ - И'3.;

2) все збелз-ш композиционные факторы подгруппы И принэдле-.«!,т формации 'Л.

2.4.5. Теорема. Пусть $ - непустая формация, щдуцирущал зп-зратор Валандга на $-до5ткзкшх подгруппах. Пусть И и К - 7{-до-стияиказ подгруппы группы J = 'Л, К/. Если все аселевы композиционные ф-кторы подгруппа Н принадл-.-аг то сдедущио утверждения равносильны:

1) 1!К = КН ;

2) J = ИКЛ<* ;

3) каддый гомоморфизм группы J ь ^-группу переводит Н и К в персегацсБочнке подгруппы.

Таска образом, теорема 2.-1.5 редуцирует вопрос перестановочности Л-досткишх подгрупп Н и К группа С к вопросу перестановочности их образов при гомоморфизмах группы <Н,й> в ¿[-группы. Так как формация 51 всех нкльпотен-тых групп 1шдуцирует опера юр Екландта но суонсрмальшх подгруппах, то теорема 2.4.6 включает в себя в случае конечных групп известный армерий Бркстера [15] о перестановочности с„ Знорплыш подгрутш.

В случае, когда формация 3 является локальной, теорема 2.4.6 може г быть улучшена:

„.4.16. Теорема. Пусть I - максимальный внутренний локальный экран фо^лацил иддуцирущей оператор Ьдяандтл на ¿(-достаюш подгиуша: . Пусть Н и К - ¿ЬдостЕкикые подгруппы группа J = = <НД>. причем все абзлзш ксжсзпцжлгче факторы групп,. Н принадлежат Тогда и только тсгдз 121 - НИ, когда для всех р из т(3)'-в->ждыа гомоморфизм группы Т в 1(р)-группу переводиг Н и К в перестановочные подгруппы.

Из тесрекы 2.4.15 вытекает известный критерий Ьвлащга: су б нормальные подгруппы А и Б группы 1 перестановочны тогда и только тогда, когда т;аздый готаюрфзкм группы <А,В> в пркиарнуа группу

* г ,* 1 ;

треютч А и В в перестановочные пздгсулгн.

Результаты о перестановочности g-достикимнх подгруп", заключенные в теоремах 2.4.6 и 2.4.16. имеют общи., характер. Конкретизация их возможна на пути отыскания новь формаций д, индуцирунцик оператор Виляндфа на $-достижимых подгруппах. Эта задача рассматривается в разделе 2-Я.

• Здесь показывается, что формация индуцирующая оператор Виландта на ^-достижимых подгруппах, всегда наследственна (лемма °.3..) и обладает ретюточным свойством для ^-достгашх подгрупп 'лемма 2.3.4). Ввиду теоремы 2.1.2 это позволяет резко ограничить поиск таких формаций. Следующая теорема показывает, что класс формаций g, которые индуцируют, оператор Виландта на $-достижимы? подгруппах, достаточно игрок

2.3.8. Теорема. Пусть g - формация, представимая в виде $ = =D0(El ü «.), где тс (И) П = 0, ® - Ей - непустая наследствен ная формация, % = VVl®n; ' пРичем ^ ^ = 0 для всех 1 t к из

I. Тогда ферм'ц/я g шэдцирует оператор Виландта на g-достижимых подгруппам.

:'з теоремн 2.о.а следует, что наследственный идемпотент I полугруппы формаций индуцирует оператор Виландта на К-достижюшх подгруппах. Поэтому лемма 2.4.2 дает положительное решение ука-зашхой Lüsie проблеш 3, поставленной Кегелем в работе [5J. Кроме тог-', ввиду ла^мы 2.4.3 гипотеза Кегеля верна для всех формаций g ко теорема 2.3.8.

Приведем еще два следствия тоерьм 2.3.8 и 2.4.16:

2.4.21. Следствие. Пусть g - формация всех разрешимых ic-рэз-лсшш" :руш. Пусть Н и К - "g-досттшмые тодгруды грушш 6, причем ',ц|Н:Н |) ли %ЦК:К ¡) ^ i . Тогда Ж КН.

•2.4.22. Следствие <[6j). Пусть А и В - субнормальные подгруппы грунты G. Если индькев |\:А j и |В:~ | взаимно просты, то пол1'ру"пы А и В перьсгаяовочш.

сьойсььа ¿¡-достижимых подгрупп изучаются в

рледоЛч

2.Ö.2. 'boptiwiii. i'.y.jit> £ - непустая наследственная .дормчщш.

Тогда н-рмализатор дыбой §-доотшыой подгруппы грушш G сед&рзаг ьсякую мшш«альнр» нормальную подгр.лпу груаш G, сошадаэдуь со "Бош Э-кор^дшсалом.

В разделе £.6 ¿з^чаются также свойства g-доетишшх иодгруш в ¡ракторизуешх группах.

2.5.5. '"еорема. Пусть g -■ непустая наследственная фсрмацгч. Пусть Н к л - Пёреетаковсчие подгруппы разрешикой грушш G. Если подгруппа к из перосоченил н ~ К д-достижима в подгруппах Н к IL. т. А - 7з достикимая подгруппа группы КК.

Простые при; ры показывают, что условие разрешимости группы G в теоре' е 2.Ь.Б отбросить нельзя. Б случае, когда <J - 31, юоро-ма 2.5.5- превращается ь i "вестный результат Р.Майера [17j о сус-нормальннх подгруппах разрешимых факторизуемых г^упп.

Третья глаза диссертации "S-фсрмацки" сос.оит из трех разделов. Наблюдения шршс двух глав, догглпечаие здесь некоторыми новыми поводами, позволили пепить целый ряд открытых вопросов.

Центральное к-зс-э в третьей главе занима&у проблема списания формаций с условием iife метко за. Нааошм, что если % - класс груш, то через äQ) обозначается класс всех мини,,.а.шгх но 3-групп, т. е. так;1Х групп G, которые не принадлежат ¿j, а вес их собственные подгруппы лсмх ь и. Через обозначается масс всех груш, у которых псе подгруппы принадлежат у. Очевидно, Щ8) -

= ЖЪ)-

Следующая теорема решает проблему описания формаций г ус .овием ШеметкоЕЗ ь наследственном oacje $

3.1.24. Теорем7:. Пуст; ^ и I - яегусп'с, формации, припе» формация 2 насл-дотвонка, $ = £ и £ -• Тогда § является

^-формацией в классо в том к то„.ькс к том случае, когда выполняются ?лед»кщ"г условия:

1; П 2 г. (5 ;

2) .ориация облагает такш.' полним композицкоеным скрапом 1, го:

Ы": ,р' =- SÄ(fp/- Я 3t, если р f. тл"/');

ü) tili) = ъ5 г„.„ м;':?, гоо.гой года; V. гз К''!)5);

1у

в; f(ü) -- р для всех R из л

Если 5 - класс зсех групп, теорема 3.1.24 дает описание всех (не обязательна лекальных; формаций с усл'зием Шеметксва, что и рупает в полном ебьзшз задачу кз Коурзсксй тетради

3.1.26. Следствие. Пусть $ - непустая формация. Тогда и тол'ко тог;д g является 8-формахшйй, золи выполняются следуй;,з услсж:

1; все Юижзлыяе не g-групгт разрешимы;

2) формация лв композиционна;

3) еелл h - мзкси/.2йьшЗ внутренний ксмозкц&онный зкрак формации тс она обладает таким кошезицконянм экраном f, что:

о; 1(Н) = для тибей неабелевой простой группы Н ик

в) ílR; =0 для 3CGX й ИЗ К QS). '

I; согор líüj под помором J0.£1 лредлекг-н ослабленной мри-он;- проичс-ш 9.74: описать вез наследственна локзльнве 5-формэ-uvni. Утсчпечис следствия 3.1.¿е позволязт реаить гту задачу в слелуддзк bxie:

3.1.27. слбдсг"ие. Пусть - наследственная яокчльаг i феркз-цлл. Тсгд;'. и только тогда $ является Информацией, когда Выполняются ждущие два ¿еловин:

1) все минимальные ко ¿-группы разрепл'/а;

í.) если n - «ai ж-альвый внутренний локальный з;п;ан фор'-ции то сиз общее? такик лжалиам зкрзпом í, что í(p) -да., всех р из

отмотик, 'по кроолька 10.21 резеяз так.« Беллсстррт'-БоЛняи'н и !.в; зц-í-хшп в йздгиюк раооте ¡"sj. В классе разреши©* груш: ;тросл?.му описания деркецмй с условием. ¡Ew.fi"люва решили В.Н.Семен-чук и Д.Т'.Езскль з [iiíj.

йзаду тесре;и; следствие 3.1 .:ir< ир»о;ш .. hoe. * »цл-

корак формзшШ, ¡зиаэдрукилх оператор Виландта n оубгюредлнигх недгр^глгх:

Сладегваз. Люоал язследстз-зшзя локальная ¡-^^тл/япья 5 знд/апрует слсратор ¿плаката г аъ сулоргй'лыь/ глдрупнах.

Переход о'х ..асхедстшвнсго случзя к произвольному б теореме 3 1.24 основ"!! но решошк: другой известкой задали о §-форшяях: будет ~ч наслелстг зн?я формация локальной ([11], гфоблема 23.17; [10], проблема 10.22). Для разрешимых формаций проблема гюлокитэльро тешена А.И.Сквбой в [19]. Е общем случае эхе кз та;-, к? что указывает построенный наш! в разделе 3.2 пример. Несмотря ча это, удается ползать ключевую ¿шформоцию о строении наследственных ё-фотж/дй, выраженную в следушем факте:

3.1.3. Следствие. Лабая наследственна? «-Фолиация является ко'ятозиг'онной.

В разделе 3.1 решаются две задачи, связанные с классами Фит-тингя. Здесь стпсится пример радчкальной наследственной формации конечных гр\цп:, которая не является композиционной. Тем самым опровергался вопрос Г.7 '.Ф. Насилье за р. Коуровской тетради. 17о-строзчкуй притер дзет страдательный ответ и на вопрос Н. Т.Воробьев" (Коурозская тетрадь, задача 11.24): всякий ли наследственна класс Фэтгшгг ?1 канонах гругп является локальным, т. е. существует ж такая лспльная групповая фувкцпя 1. что 1(р, - кхзсс Фяттилго для всех грсотых р к

В заключительном разделе 3.2 излагается краткий обзор дру-т. результатов автора, примыкающих к рассмгтриваемой в диссертации те"'е, В частности, здесь дается отрицательное решение следу-■пкей зада,тч 6.5? Л.А.Шсмоткова из Коурсвсксй те^раси: Пусть Г -локэлышй ркрап, А г Аии;. Пусть А действует 1-стсбилыю на цоколе грутпы С/ф СС> Доказать, что А действует I-стабильно из *(С).

Построений! наш? пример показывает, что задача С.52 решает ся отрицательно для вссх локальных формаций, не содержащих формацию Я ь„ех пальпотентных групп. В г20] А.Н.Скиба описал все лпкяль:ше формации для которых задача 6.52 решается хголо» тельна.

ЛИТЕРАТУРА

1. Wlelandl Н. Vera!igemeinerurg der Invarlanten Untergruppen // i'5a;h. 2.- 1939.- Vol. ¿5,- P. 209-244.

c. Slelandt K.' Zuaammengebetze Cnippen: Holders Pro&ranm heute ,/ Proc. S.vmp. Pure Math.- 1580.- Vol. 37,- p. 161-173.

3. Lennox J.C., Stoneiiewer S.E. Subnormal subgroups oi gro'ipa. Oxford: Clarendon Press, 1987.- 254 p.

4. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. М.; Наука, 1978.272 п.

5. Kegel 0. (In terferuppenverbande endlicher Gruppen, die den bubnonralteilerverband echt enthalten // Arch. Math,- 1978,- Vol. 30, & 3.- P. 225-228.

6. fflelandt h\ Veriauschbare nachinvarlante (Jntergruppwi // Abit. Math. Sertu UniY. Haml.j'g.- 1У57,- Vol. 21, Л 1-2,- P. 55-62.

7. Bailester-BolincJies A., DoerkK., Perez-Ramos М.Ю. On the lattice of g-subnormai subgroups // J. Algebra.- 1992.- Vol. 148. ■ F. 42-52.

з. BalitJier-Boilncfler A., Perez-Ramos M.D. On ^-critical groups // J. Algebra (в печати).

Э. Семенчук В.Н. О разрешимых минимальных не ^-группах // со. Вопросы алгебры.- Минск: Университетское, 1987.- Вкл. 3.- G. 18-21.

10. Sheaetkov L.A. Some Ideaa and results in the theory of ion at Ions oi finite groupa.- Warwick Preprints.- 1991. Л 13.44 p.

!;. Шеметков Л.А., Скиба A.H. Формации алпебрэччес.ких систем. М.: Наука, 1У6Э.~ 255 с.

и. иоегк К., Hawkes Т. Finite soluble groups. Berlin - New York; Walter de Gruyter, 1992,- 8Ш p.

13, Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп). НоЕосибирс :: Ин-т математики СО РАН, 1ЭЭ2,- 146 с. .

К. Бгусе R.A., ^ossey .Т. Fitting formations, of finite soluble groups /,' liar/n. %.- 1972.- Vol. '27, it 3.- P. 2!'i-233.

15, Скьбв A.H., ¡Чеметков Л.А. о наследственно неразло^л.'х

формациях груш // ДАН БССР.- 1989,- "?. 33, № 7,- С. 581-582.

16. Biewster D.O. A criterion for the pennutabllity oí snt-norñial subPTCups // J. Algebra.- 1975,- Vol. 36.- P. ^5-87.

17. Maler R. Uiu problema da teoría dos subgrupos subnormals // Bol. Soc. «raaíl }¿at.- 1977.- Vol. 8.- P. 127-130.

18. Оменчук B.H., Васильев А.Ф. Характеркзашм локальных формаций д по заданным св-йствам минимальных не g-rpyrai // Сб. Исследование нормального и подгруплового строения конечные груше. - Наука к техника, 1984.- 0. 175-181.

19. Скиба /.Н. Об одном классе локальг:х формаций конечных групп // т БССР.- i090.- Т. 34, I11.-C, 982-985.

20. Скиба А.Н. О Формациях вида // Сиб. мат. журь.-1993.- 'г. 34, & 5.- С. 181-187.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ тСЖЩЖ

21. Каморнико^ С.Ф. Построение ^-проекторов в конечных группах // Сб. Вопросы алгебра. Минск: Университетское, 1985.-Bun. 1.-С, 50-54.

22. Ктарштоз G.I-. О ^--проекторах конечная групп // ДАН БССР.- 1985.- Т. 29, & Э,- С. 773-775.

23. Каморкиков С.Ф. О формациошнх подгруппах конечных групп /У Со. Арифметическое и подгруппозог строение конечннх • групп. Менс: Наука и техника, 1586,- С. 69-74.

24. Каыорякков С.Ф. ПрснорыЕльныз лрог:торы конечных о-раз-решг ых груш // Сб. Borr осы алгебры. Миног: Университетское, 1986.- Вып. 2. 0. 80-86.

25„ Кашрников С.Ф. Об одша, методе построения ^-проекторов в коиэчних группах. // Об, Вопр< алгебры. Минск: Университетское, 1387.- Ёкп. 3.- С. 31-28,

26. К шорников С. Ф. Пере стар ^вотгше субнормальные подгруппы ко: ^чаа групп // ВД ЕСТ0.- 1933.- Т. 33, X 5.- С. 393-398.

.;7. Кечсрнкко* С.Ф. К теореме Ф.Холла //Сб. Ьопр сн рпгвб-рц. УйЕЬврги.гтскэе, 1Э;Г.. Вит, 5.- С. 45 52.

28. паморшпюв С.Ф. К "опросу о дополняемости д-корадикала в конечной группе // .¡зв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук.- 1991.- йБ. С. 113-114 (совм. с Кармазиным А.И.).

29 Каморников С.Ф. Газ*, лишне идемьитенты полугру^ш формаций конечных груш // Г-Н БССР.- 1991.- Г. 35, Л 10.- С.' 869-871 (с^зм. с Цюметковым Л.А.).

30. Каморников О.Ф. О 1-стабильных группах автоморфизмов конечных групп // Изв. АН Беларуси. Сер. физ.-мат. наук.- 1992,- * 1.- С. ¡10-113.

31. Каморников О.Ф. Заметка об 3-длине конечной разрешимой груши // СО. Вопросы алгебры. Гомель: Изд-во Гомель^того ун-та,

1992.- Вып. ?.- 0. 110-113.

32. Каморников С.Ф. Об одной задаче Кегеля /7 Мат. заметки.-1ЭЭ2.- Т. 51, $ 5.- С. 51-56.

33. Каморников С.Ф. О решетках подгрупп конечг'х грушг // Об. Бесконечные грушты и 1 жшкакше алгебраические системы. Киев: Ин-г математики АН Украины, 1993.- С. 27-Н (совм. г Васильевым А.Ф. и Оеменчуком А.Н,).

34. Каморников С.Ф. О разрешимых грушах автоморфизмов конечных групп // СО. Вопросы алгебры. Минск: Университетское,

1993.- Был. 6.- С. 46-51.

35. Каморнико" О.Ф*. О перестановочности суочормалгчах подгрупп в конечных группах.- Препринт / Гомельский госуниверси. л.Гомель, 1593 - % 6.- 19 с. (ссвм.с Шемвтковым Л.А.;.

36. Каморников С.Ф. Перестановочность подгрупп и Э-дос^да-мость,- Препркт /' Гомельский госуниверситет.- Гомель, 1993.- Л

О ■ - .ои О .

37. Каморников С.Ф. О некоторых свойствах, формации квази-

нкльпотентаых гругга // йа- заметки.- 1993.- * 53, $ 2.- С. 71-

/V.

ей. Каморников С.О. Об одной характерная аильпотентиих формаций // Изв. АН Беларуси. Сер. фаз.-мат. наук.- 1994.- й 1.-С. 20-30.

39. Каморников С.Ф. О разредшш. подгруппах кояечк"\ групп

/•' 'паз. ¿4 ,.ед%/с;т. Сер. физ.-маг. наук.- 1994.- if 2.- 0. 53-57 'хгл:. о Сслькшзл ii.3.;.

4 . Ачкопнаксь С.Ф. 0 д&ух задачах кз "Коуровской тетрада" Мат. зжш.' 1394.- Т. 55, £ о,- С. 54-63. 41.' Кяморниксй О.Ф, о двух npcOmsx Д.А.Ш?моткова // -пб. :ит. кури.- 15S4.- 'I. А 4. - С. ^01-¿12.

4о. Кй&СГЛ iliov 1л. Sutornai j-jbgroups in tie Xorraation •Лэог^ of finite gronpo.-- Препринт / У^мвдьсюй госушавзрситет. 1X5.» 1G с.

алщи

В диссертации получена слегуадиз результаты: -1. Репина проблема Л.А.Шокэткозь (Коурсвская тетрадь, зпача '.?0) о tisp5CX'SH05Gлюзти §-корадикал«; оуб^гормальшх водгрул« для композиционных (в частности, локальных) формаций

2. Развиты метода построения операторов Сшйвдта, порзотано-ьочкых с гокошрфипмами. Нгйдеьн . серии формаций, якдущфулв^к оператор Гетзндг; нз субнсршыах гголгруглзх.

П. Лоотроелз обдзя тгерия З-счйюрмачьяш. подгрупп кокс-шх /руин: хсучзш релоточнко свойства g -убиормзльнкх подгрупп, най-

№1й) критерия их ШрйСГ &КОБОЧНССТЙ, ЙССЛ(.Д055/Ш НОрМЭДИоаТОрНЫ1)

свойства ^-сугнормг ышх подгрупп и их свойства в ф^кторизуемых группах.

4. В иласие наследсхзенннх локальных ¿ермаций. рзаеан проблемы Т.А.&кьткова (Коурсвокзд тетродь, ¿эдач- а.75; и О.Кегеля [б] об о"зсД(Ш 1>;.рмацкй обдалвших Н£сг;лгыа снойсгкж д/'9 5 -субкортг чьшх подгрупп.

Б. Кмека ..реблемз С.Кегель ;Di о перестановочности 3-корадикалов ¿--доетазеош. подгрупп. Кайдэаа с-гряя ков« зерацйй, для которчх гипстоог. 0.Ее)".л;' рекаетсп положителько.

6. f.?GoH3 проблема Л.А.Шеметкова. "Ксуроьская тетрадь, оадг-•а 9.74) об описании лохшш. ¡Е-форькцй. Доказано сздествоважк. нелокальных наследственвш. ¿Ч&ормэний (проблема 10.22 кз [101).

Гы;учг'чк ответы на вопросы G.f.2, jj .24 и 12.7 кз Еоуров-

сон тетрад;!, решвш прейшш 7.22 и 10.5 из киигл Л.А.Шеметксва и А.Н.О1ШОН "Формации алгебраически систем''.

РЕЖ®

Кгк&рнисев Сергей Федорович

Субяормашшз подгруппы в теории формаций конечных групп

Ключевые слова: конечная груша, субнормальная подгруппа, кзрадокйл, локальная формация, класс Фиттинга, субнормальная гп ¡¡группа, решетка, оператор Вилаидта, ¡¡Цррмвцвя.

В диссертации с помоги: методов теории формаций и классов Фнтткита рьшен ряд известных проблем теории субнормалыых подгрупп конечных г дин: проста Я.А.Шегшкова с перестановочное1?!, "Л-корадикалов субнормальных подгрупп, проблема О.Кегеля о перестановочности '¿корадикалов я-досяйкшх подгрупп, проблемы Л.4.Шзматкзва и О.Кегеля о нахождении формаций, обладающих решето'ним свойством для 3-оубнермалыиу подгрупп, проблема Л.А.Ше-изтксва об оиисзнйи локальных §~фор».лцЛ. Развита общая теория ^-субнормальных подгрупп конечных груш: изучена решеточные свойство $-субнормальных подгрупп, найдены критерии их перестановочности, мселвдовэяи иермздазаторида свойства $-субнормальных под-гр.утш и их свойства в фахторизуешх грунтах.

нее основные результата работе являются новики. Оки шевт теоретик характер и могут бшъ ислользсвакы в исследованиях ко тгорл {срйъииА к классов Фаттввга конечных групп, а также при чтеы-н .м.'цкурсов в университетах. и шдостетутах.

Р32КЖ

С.чртч-г л-:даг;авг-! .! г;:!,'^лгиунн у ¡рармацнй «анечних ¡рун

Клэтавыя слова: каяечиэя грусэ, субнвриальная падгрупа, ха-радикал, лакалькая фармация, клас -14т»кга, ^-субнармальная пад-група, рашотка, аператьр В1лакта, ё-фармвцкя.

У дысер'хацв; з даяамсгай а?ш.иу '^орк! фпрмаий 1 лласау Фйыкга ныр'.лан иэраг вядсмщ: праблем тэоры! субнйрмалвнлх п'д-труп т"<ше 1лнх груп: прабяиэ Я.А.йкшуковз зб пэрасганоначнаот ¿Н:арздокалау су-Зааркашакх лад. руп, npasVsf« О.Кег^ля ао пера-■гап-вачнасц! '¿-карадыкалзу 3-дасягшных иадгруп, ираолеьк Л.А.ШакягксБП 1 г.Кегсля аб знаходкашц фэрМиДЫй, яи1я валслаюць рашоши. 11 уласвдзасцяа! для 8-оуй»р»аг.ша падгрул, прайвема Л.А.Ламяткова аб атсанн' лакакьных S-фермиццй. Раза!та арульНоЯ тьоркя ^-субнармалыйсс иадгрук канечиих груп: впзучьт ргшожапя улааЦв. зц1 3 -субйарыальных кадгруп, ьноядвени крытари1 1л шрз-становачнасЩ, даследагага нармал1зкта;:чий улаодвасц! g-субнгр-мальакх п^дгруп i ix yjiacui^acni у фаыарызуемих гратах.

Усз йсноушм р' зультаты працьг з'яуляоцда hobumi. Янн какц, тэзрзмрша характер i «югуць бщь вык&рыотжи у даследавазкях па asopKi фармащЗ 1 класау Ф1тыкга, и такса»» прн шаадаай спецкурс^ ва усг1верс1?;угах i кед1нстетутах.

ЗЛЖАР.У

Kamomikov Sergey fyocLorovic'n

Sutoensai subgroups in the fcnnai-icn theory of finite groups;

Key words: finite group, subnormal subgroup, residual, iooal foTuaitcn, fitting class, ^-subnormal subgroup, lattice, Wielandt operator, S-foirsation.

In t'r.e ttetb bv :.1ie riiettiods of formations and Pitting alassss theory a roaiber of problems of (-.'abnormal subgroup;; theory c{ finite group* have been soiled: ¡-'.Hemeiter's problem ж 'Ле pennuiabiUty e{ '¿-rsfiiauals ct subnorsal Kcgf.I't;

problem on tv.e permutability of !*-rest<* 'air. wf '¿-attainable esub-■sroup-,, Shemctkov'g and Kegel's problems of firming formations, pc-FGsrjinfi a lattice property for J-subnorn»l sub/jronps and She.-i,ot':ov's problem or. describing looal. i-forat.;lonB, A general W-iKrj> of $ subrtoiml subgroups of fin!ie groups ttao been- developed: lattice qualities of 5"suhnor(I!i3l subgroups have been studt-2d, criteria for their perrnut: ".nltt.;/ have been found, noircaHaa-ticn pr::pcrti°s of $ 3i: nerval subgroups and thslx* pe uliartttes in fsctcrliable groups have been investigated.

All th® mai.:-. reey] ts cf the thtoia are . en. The.y are of •jroat theoretical value and can be used in the investigations connected with formations and Fitting classes theoij of finite groups ar '"'ell a? for teaching students at universttles.