Роль критических групп в конструктивном описании классов конечных групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ГОМЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ..

им.Ф. СКОРИНЫ рр^

УДК 512.542

i з дек т

СЕМЕНЧУК ВЛАДИМИР НИКОЛАЕВИЧ

РОЛЬ КРИТИЧЕСКИХ ГРУПП В КОНСТРУКТИВНОМ ОПИСАНИИ КЛАССОВ КОНЕЧНЫХ ГРУПП

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации

на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Гомель

2000 г.

Работа выполнена в Гомельском государственном университете им. Ф.Скорины

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

ВЕДЕРНИКОВ ВИКТОР АЛЕКСАНДРОВИЧ

доктор физико-математических наук, профессор

ВОРОБЬЕВ НИКОЛАЙ ТИМОФЕЕВИЧ

доктор физико-математических наук, профессор МАХНЕВ АЛЕКСАНДР АЛЕКСЕЕВИЧ

Оппонирующая организация — Киевский университет им. Тараса Шевченко

Защита состоится и ^[^¿¿ЛА!.^—-. 2000 года в / 7__часов

на заседании совета по защите диссертаций Д 02.12.01 при Гомельском государственном университете имени Ф.Скорины по адресу: 246699, г.Гомель, ул.Советская, 104. Телефон ученого секретаря: (0232) 57-37-91

. С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале № 1 Гомельского государственного университета им. Ф.Скорины

Автореферат разослан "

2000 года

Ученый секретарь

совета по защите диссертаций —

кандидат физико-математических наук, ([

доцент Л А.Ф.Васильев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации Центральной задачей любой содержательной математической теории является задача о разумной классификации и конструктивном описании тех исследуемых в ней объектов, которые наиболее полезны в различных приложениях. Реализация такой задачи всегда связана с разработкой новых методов исследования, которые в конечном счете составляют основное идейное богатство данной теории. Такая тенденция ярко проявилась на примере развития теории конечных непростых групп в последние три десятилетия. В монографии Л.А.Шеметкова "Формации конечных групп"(М.: Наука, 1978) отмечалось, что хотя теория конечных групп никогда не испытывала недостатка в общих методах, идеях и нерешенных проблемах, все же обилие полученных результатов с неизбежностью привело к необходимости разработки новых методов и систематизирующих точек зрения.

Одной из таких систематизирующих и, как оказалось, весьма перспективных точек зрения явилась идея Гашюца о том, что внутреннее строение конечной группы удобно исследовать по отношению к некоторому фиксированному классу групп, названному Гашюцом локальной формацией.

Напомним, что локальной формацией конечных групп называется класс конечных групп, замкнутый относительно гомоморфных образов, подпрямых произведений и фраттиниевых расширений. Такой подход к изучению строения конечных групп привлек внимание многих специалистов по алгебре, и исследования, связанные с локальными формациями, составили одно из доминирующих направлений современной теории классов групп.

С середины шестидесятых годов задача конструирования и классификации локальных формаций запимает одно из центральных мест в исследованиях но теории классов конечных групп. К концу 70-х годов благодаря работам таких известных алгебраистов, как Гашюц, Кегель, Хоукс, Брайс, Косси, Л.А.Шеметков, сформировался круг проблем, связанных с общей задачей классификации локальных формаций.

Отметим, что данная проблематика дала естественный толчок к анализу общей проблемы классификации локальных формаций. В настоящее время реализация этой задачи идет в основном по пути выделения и описания различных типов локальных формаций, важных для приложений.

Одной из первых проблем, вызвавшей бурное развитие классификационного направления в теории локальных формаций, была следующая проблема Хоукса.

Проблема 1 (Хоукс, 1970 г., [1]). Описать разрешимые наследственные формации Фиттинга.

Первый шаг в решении данной проблемы был сделан самим Хоуксом в работе [1], в которой было получено описание метанильпотентных наследственных формаций Фиттинга. Затем Врайсу и Косси [2] в 1982 г. удалось доказать, что любая разрешимая наследственная формация Фиттинга является насыщенной. Этот результат позволил им получить схему построения таких формаций с помощью объединения цепей некоторых формаций и доказать, что любая наследственная формация Фиттинга из класса W (разрешимых групп нильпотентной длины не выше п, где п — натуральное число) может быть получена с помощью операций произведения и пересечения формаций 6т всех разрешимых 7Т;-групи для некоторых наборов щ простых чисел ¡2). Дальнейшее продвижение в решении проблемы Хоукса связано с использованием понятия n-кратно локальной формации, введенного А.Н.Скибой [3].

Всякая формация считается 0-кратно локальной. Формация называется n-кратно локальной, если она имеет такой локальный экран, все непустые значения которого являются (п—1)-кратно локальными формациями. Формация называется тотально локальной, если она п-кратно локальна для любого натурального числа п.

Используя результаты работы [2], нетрудно показать, что класс разрешимых наследственных формаций Фиттинга совпадает с классом разрешимых тотально локальных формаций.

Следующий важный шаг в развитии классификационного направления теории локальных формаций связан с известными проблемами Кегеля и Л.А.Шеметкова.

Согласно классической теореме Виландта [4], множество всех субнормальных подгрупп в любой конечной группе образует решетку. Развивая этот результат, Кегель установил, что множество всех ^-достижимых подгрупп в любой конечной группе образует решетку, если J — наследственная формация, замкнутая относительно расширений, [5j. В теории классов групп понятия У-достижимости и ^-субнормальности являются расширением понятия субнормальности. В этой работе Кегель поставил следующую проблему.

Проблема 2 (Кегель, 1978 г., [5j). Найти классы групп обладающие тем свойством, что в любой конечной группе множество всех достижимых подгрупп образует решетку.

Такая же задача для ^-субнормальных подгрупп предложена Л.А.Ше-метковым.

Проблема 3 (Л.А.Шеметков, 1978 г., [6]). В каких случаях множество всех ^-субнормальных подгрупп группы G образует решетку?

Частное решение данных проблем для наследственных локальных формаций в разрешимом случае получили Баллеетер-Болинше, Дерк и Перец-

Рамош [7] .

В попытках решения этих и других классификационных проблем выяви-тась особая рать критических групп, т.е. групп, не принадлежащих некоторому классу но все собственные подгруппы которых принадлежат Еще в 1929 году С.А.Чунихин [8] поставил задачу изучения свойств конечной группы в зависимости от населяющих ее критических подгрупп. Развивая данную 1дею С.А.Чунихина, Л.А.Шеметков на восьмом (Суммы, 1982 г.) и девятом [Москва, 1984 г.) Всесоюзных симпозиумах по теории групп отметил особую золь критических групп при изучении не только отдельной группы, но и при шисании классов конечных групп.

Критическую группу по отношению к формации $ будем называть также минимальной не З'-группой. Изучение минимальных не ^-групп, где # — локальная формация, всегда находилось в поле зрения алгебраистов. Большой жлад в изучение таких групп для конкретных локальных формаций (ниль-тотентных, сверхразрешимых, разрешимых и др.) внесли такие известные математики, как О.Ю.Шмидт, С.А.Чунихин, А.И.Старостин, Хупперт, Дерк, Гомпсон, Ито, Картер, Фишер, Хоукс и др. Важнейшую роль в теории конечных групп играют группы Шмидта, т.е. минимальные ненильпотентные группа.- В-работе ¡9) С^Чунихин доказал, что минимальная не р-разложимая группа является группой Шмидта. Ито [10] установил, что минимальная не э-пильпотентнаятруппа также является группой Шмидта. Эти и другие результаты подобного рода привели к следующим классификационным пробле-

Проблема 4 (Л.А.Шеметков, 1984 г., [11]). Найти все локальные наследственные формации ^ с тем свойством, что минимальные не -группы являются группами Шмидта, либо группами простого порядка.

Проблема 5 (Л.А.Шеметков, 1982 г., [11]). Найти все локальные наследственные формации $ с тем свойством, что минимальные не ^-группы <оторых бипримарны.

Проблема 6 (Л.А.Шеметков, 1998 г.,[11]). Описать наследственные свер-срадикальные формации.

Перечисленные выше проблемы являются ключевыми в классификации иокальных формаций. Данные проблемы вызвали большой интерес математиков как у нас в стране, так и за рубежом. В работе [12] испанские математики Баллестер-Волинше и Перец-Рамош предложили термин "формация Ше-четкова". Согласно [12], формация § называется формацией Шеметкова, если тюбая минимальная не ^-группа либо является группой Шмидта, либо имеет простой порядок. В последние годы А.Н.Скибой [13], С.Ф.Каморниковым [14], Валлестером-Болиише и Перец-Рамош [12],Васильевым А.Ф. [17] был полу-

чен ряд интересных результатов о формациях Шеметкова, которые показал* важную роль таких формаций в общей теории формаций конечных групп.

Таким образом, задача классификации и конструирования наследственных и нормально наследственных локальных формаций и классов Фиттинп занимает одно из центральных мест в современной теории классов групп.

Связь работы с крупными научными программами, темами. Диссертация выполнена в рамках госбюджетной темы "Структурна* теория формаций и других классов алгебр "Гомельского госуниверситет; им.Ф.Скорины. Тема входит в план важнейших научно-исследовательскю работ в области естественных, технических и общественных наук по Респу блике Беларусь, утвержденный решением Президиума HAH Беларуси N 8S от 23 ноября 1995 г.(номер госрегистрации в БелИСА - 19963987).

Цель и задачи исследования. Построение общей теории разрешимы} критических групп и ее использование для решения ряда классификационных проблем теории классов конечных групп, а именно:

- конструктивное описание разрешимых наследственных классов Фит типга;

— классификация к описание различных типов локальных формаций важных для приложений.

Объект и предмет исследования. Объетом исследования являюто критические группы и локальные формация, а предметом исследования и5 структура и конструктивные свойства.

Методология и методы проведенного исследования. Использова лись методы абстрактной теории групп, методы теории формаций конечны? групп.

Научная новизна и значимость полученных результатов. Bei

основные результаты диссертации являются новыми, впервые получены ав тором и имеют теоретическое значение. Они посвящены развитию классифи кациопного направления теории локальных формаций.

Результаты диссертации будут способствовать дальнейшему развитию те ории формаций и классов Фяттинга конечных групп, и могут быть использо паны при чтении спецкурсов в университетах. Отдельные результаты диссер тации неоднократно цитировались и применялись в статьях отечественные и зарубежных математиков (см., например, [12,15,17,18,19]) и монография) ¡6,16].

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

1. Общая теория разрешимых критических групп и ее приложение для развития классификационного направления теории классов конечных групп.

2. Конструктивное описание разрешимых наследственных классов Фиттинга — решение проблемы Хоукса (проблема 1).

3. Описание локальных наследственных формаций обладающих решеточным свойсгвом для ^-субнормальных подгрупп — решение проблемы Кегеля и проблемы Л.А.Шеметкова (проблема 2 и 3).

4. Описание разрешимых сверхрадикальных формаций — решение в разрешимом случае проблемы Л.А.Шеметкова (проблема б).

5. Описание локальных наследственных формаций У, минимальные не ¡^-группы которых бипримарны — решение проблемы Л.А.Шеметкова (проблема 5).

Личный вклад соискателя. В диссертации автором изложены результаты самостоятельных исследований, опубликованных в 1976-2000 гг. в 29 научных статьях, четыре из которых являются совместными. Описание локальных наследственных формаций обладающих решеточным свойством для ^-достижимых (^-субнормальных) подгрупп, получена автором, А.Ф.Васильевым и С.Ф.Каморпиковым в совместной работе [55]. Все остальные выносимые на защиту результаты диссертации получены автором самостоятельно.

Апробация результатов диссертации. Результаты настоящей диссертационной работы неоднократно докладывались автором на семинаре по теории групп кафедры алгебры и геометрии Гомельского госуниверситета ш.Ф.Скорины, на семинаре "Алгебра и логика"(Новосибирск), на Киев-жом и Минском городских алгебраических семинарах. Автор выступал с докладами на \T-XI Всесоюзных симпозиумах по теории групп (Черкас-:ы,1978 г., Шушенское, 1980 г., Сумы, 1982 г., Москва, 1984 г., Гомель, 986 г., Свердловск, 1989 г.), XIV, ХУ1~Х1Х Всесоюзных алгебраических сонференциях (Новосибирск, 1977 г., Ленинград, 1981 г., Минск, 1983 г., Сишинев, 1985 г., Львов, 1987 г.), на Н-Ш Международных конференци-IX по алгебре (Барнаул, 1991 г., Красноярск, 1993 г.), на Международ-гой математической конференции, посвященной 200-летию со дня рождения 1.И.Лобачевского (Минск, 1992 г.), на Международной математической конференции, посвященной 25-летию Гомельского госупиверситета (Гомель, 1994 .), на Международной конференции по алгебре и кибернетике, посвящен-юй памяти С.А.Чунихина (Гомель, 1995 г.), на Международной алгебраи-геской конференции, посвященной памяти Д.К.Фаддеева (Санкт-Петербург, 997 г.), на Международных алгебраических конференциях, посвященных

с

памяти профессора Л.М.Глускина (Славянек, 19Э7 г.) и памяти профессора Л.А.Калужина (Киев, 1999 г.), на Международном алгебраическом семинаре, посвященном 70-летию кафедры высшей алгебры МГУ (Москва, 1999 г.), на \Г[-А/Ш конференциях математиков Беларуси (Гродно, 1992 г., Минск, 1996 г.,2000г.)

Опубликованность результатов. По теме диссертационной работы имеется 54 публикации. Все результаты диссертации опубликованы в 29 научных статьях, из указанных четыре работы являются совместными. Отдельные результаты автора вошли в монографии [6,16]. Общее количество страниц опубликованных материалов — 247.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из перечня условных обозначений, введения, общей характеристики работы, обзора результатов, трех глав основной части, заключения и списка использованных источников, расположенных в алфавитном порядке, содержащего 141 наименований. Объем диссертации — 170 страницы текста.

ОБЗОР РЕЗУЛЬТАТОВ

Ниже охарактеризованы основные результаты диссертации по главам. Отметим, что все рассматриваемые нами группы предполагаются конечными. В книгах Л.А.Шеметкова [6], Л.А.Шеметкова и А.Н.Скибы [16], А.Н.Скибы [20], Дерка и Хоукса [21] можно найти все необходимые определения и обозначения.

Глава 1 "Минимальные не Зг-группы"включает в себя 3 раздела и посвящена построению общей теории разрешимых минимальных не У-групп для произвольной локальной формации у. Данная теория особенно ярко проявила себя в основных главах диссертации, посвященных решению известных классификационных проблем в теории классов конечных групп. Полученные результаты о строении разрешимых минимальных не З-групп с успехом применялись многими математиками в своих исследованиях (см.напр. работы [12,15,17,18,19]). Основные положения данной теории вошли в монографии [6,16].

Минимальные не ^-группы, т.е. группы не принадлежащие все собственные подгруппы которых принадлежат Зг, всегда находились в поле деятельности математиков. Так как любая не ^-группа содержит в качестве подгруппы некоторую минимальную не У-группу, то важность описания последних трудно переоценить.

Изучение строения минимальных не З-групп имеет в теории конечных групп большую историю. Начало такого рода исследований восходит к работе [22], в которых были изучены минимальные неабелевы группы (группы Миллера-Морено). Следующий важный шаг в данном направлении сделал в 1924 году О.Ю.Шмидт [23], изучив минимальные ненильпотентные группы (группы Шмидта). Интересные результаты о строении групп Шмидта получены в работах [8,9,24].

Хупперт [25], а затем Дерк [26] изучили минимальные несверхразреши-мые группы. Исследованию этих групп посвящены также работы [27,28]. Томпсон в работе [29] дает описание минимальных неразрешимых групп. Н.П.Конторович и В.Т.Нагребецкий рассмотрели строениер-разретнимых минимальных не р-сверхразрепшмых групп [30]. В работах [31,32] получено описание минимальных недисиерсивных групп. Картер, Фишер и Хоукс в [33] разработали метод экстремальных классов, который был успешно использован при исследовании разрешимых минимальных не "УГ-групп (91" — формация всех разрешимых групп с нильпотентной длиной < п).

С возникновением теории формаций вполне естественно возникла задача исследования свойств минимальных не З-групп для произвольной локальной формации. Эта задача была предложена автору профессором

Л.А.Шеметковьзм в 1976 году. Решению этой задачи посвящена глава 1 диссертации.

Напомним, что М ($) — класс всех минимальных не З-групп, а в — класс всех разрешимых групп. Через 63 обозначается произведение формаций в и Зг.

Важнейшую роль при решении квалификационных проблем сыграли следующие леммы, опубликованные автором в работе [41.] и вошедшие в монографии [6,16]. Данные результаты несомненно представляют самостоятельный интерес.

1.1.1. Лемма [41]. Пусть б € -М(З) П 63, где 3 ~ произвольная локальная формация. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) группа С?/Ф((?) монолитична с монолитом

&Ф(С)/<ЦО) в Сс(6'5Ф(С)/Ф(С)) = = ^((3);

2) — р-группа для некоторого простого р;

3) /Ф(С^) — 5-эксцентральный главный фактор (3;

4) Ф(<3®) = С?« П Ф((?) С

5) если группа неабелева, то ее центр, коммутант и подгруппы Фрат-тини совпадают и имеют экспоненту р;

6) если абелева, то она элементарная;

71 пд. <п — ) ОВ'ЛПЛПОП'ГО сЯ

шает 4;

8) для любой 3-абнормальной максимальной подгруппы М из б имеет место

М Л Сс(С5/Ф(С?)) = Ф(£) и См(С3) = = = Ф(<2);

9) любые две 3-&бнормальные максимальные подгруппы группы <3 сопряжены в С;

10) если Ф(С) С Н С б и подгрз'ппа Я содержит тоЯ/Ф((?) е /(р) для любого паяного локального экрана / формации 3;

11) если М — 3-абнормальная максимальная подгруппа группы Си/

— некоторый полный локальный экран то М/ Ф(<3) — минимальная не /(р)-группа и либо М = Ф(<3) = 1, либо ё(М/Ф{С)) > (¿(б).

1.1.3. Лемма [41]. Пусть 3 — локальная наследственная формация, /

— некоторый ее полный экран. Группа (3 принадлежит М. (У) П 63 тогда и только тогда, когда выполняются следующие два условия:

1) Ф(С) = г1 (С);

2) (?/Ф((?) = СЗ®Ф((?)/Ф(С?) X М/Ф(в), где ОуФ(С)/Ф((?) - главный рс^-ф актор группы б, М/Ф(0) — минимальная не /(р)-группа.

В частности, из леммы 1.1.1 следует, что разрешимый ^-корадикал минимальной не ^-группы (г? — произвольная локальная формация) обладает такими же свойствами, как нильпотентный корадикал группы Шмидта и сверхразрешимый корадикал минимальной несверхразрешимой группы.

Ввиду сказанного, естественно ввести следующее понятие подгруппа Т группы называется подгруппой шмидтовского типа, если Т является неединичной р-группой для некоторого простого р и выполняются следующие заслоняя:

1) если Т — неабелева группа, то Ф(Т) = Т' = Z(T) — группа экспоненты

р;

2) если Т — абелева группа, то она элементарная;

3) экспонента Т не превосходит р2, причем если р > 2, то она в точности равна р\

4) если Т нормальна в б, то Т/Ф(Т) — б-главный фактор и

ч>(Т) = ТГ)Ф{в) С г(т).

Пусть (3 — произвольная группа. Определим рекурсивно подгруппы №) и Ф4(С):

1) положим -Рс(<3) = Фо(£?) = 1;

2) если г > 1, то пусть подгруппы ^(С) и таковы, что

Ф,(<ЗД-1(0) = Ф(С/^_!((?)).

Одним из центральных результатов главы 1 является описание разрешимых минимальных не О^-групп, которые ярко проявили себя при решении классификационных проблем диссертации. Первые результаты о строении таких групп были получены Картером, Фишером, Хоуксом в известной работе [33]. Важную роль минимальных не 91п-групп отметили Врайс и Косси в работе [36], в которой было доказано, что разрешимый наследственный класс Фиттинга является формацией. Используя построенную в данной главе теорию разрешимых минимальных не ^-групп, удалось получить конструктивное описание разрешимых минимальных не ОТ1-групп. Решающую роль при описании таких групп сыграла следующая лемма.

1.2.1. Лемма [47]. Если в 6 М(0Т"), то (?/#(*?) € М(9Г_<) для любого г е 1,2,..., п.

Следующий результат, опубликованный в работе [47], дает описание разрешимых минимальных не ОТ*-групп.

1.2.3. Лемма [47]. Тогда и только тогда разрешимая группа б является минимальной не ^ТГ'-грушгой ( п — натуральное число), когда выполняются следующие условия:

1) ^(<3)/ФД(?) — главные факторы группы б для любого г = 1,2,..., п+

1;

2) $((!) = ^'^Ф^Ст), причем - подгруппа шмидтовского типа в (3/^-1 (С?) для любого г = 1,2,...., п + 1;

3) группа О имеет точно п -Ь1 классов максимальных сопряженных подгрупп. Причем если М\, Мч,..., Мп+\ — представители этих классов, то:

Мг/Ф^С?) € Л* (ОТ-1), М2/Ф2(С?) £ м{тп~2),

..., М„/Ф„(С) е Мфр), Мп+1 = ^(С);

4) С/Сс(М/К) б ОТ1-' для любого (З-главного фактора М(К из Ф<(С?)/^_1(С) (I = 1,2.....

Заключительный раздел первой главы диссертации посвящен изучению одного из интересных обобщений минимальных не У-групп, а именно групп, у которых каждая неединичная собственная подгруппа либо ^-субнормальна, либо 3"-абнормальна. В основе изучения таких групп лежит одно из основных' понятий теории формаций — понятие 5"-субнормальной подгруппы, которое является естественным обобщением понятия субнормальности. В данном разделе разработана общая схема изучения таких групп, множество которых мы обозначим символом Е($). Начало такого рода исследований связано с работой [34], посвященной изучению строения групп, у которых каждая подгруппа нормальна или абнормальна. Затем в работе [35] было исследовано строение отмеченных выше групп в случае, когда 3" — формация всех ^-нильпотентных разрешимых групп. Следующая лемма, опубликованная в работе [46], дает описание групп из Е(§), где — формация всех сверхразрешимых групп.

1.3.10. Лемма [46]. Пусть £ — формация всех сверхразрешимых групп, С — несверхразрешимая группа из Е($). Тогда справедливы следующие утверждения:'

1) (3 = С3 X Я, |Я|) = 1, Н - ^-проектор <3, в - дисперсивная группа;

2) НФ(С?)/Ф(С?) — либо группа Миллера-Морено, либо примарная абеле-ва группа.

В работе [54] нами получено описание групп из Е($), где $ — произвольная разрешимая формация Шеметкова. Построенная схема изучения групп из Е($) [46] нашла успешное применение в работах ряда математиков (см. напр. [15,18]). Отметим, что в главе 3 диссертации получено конструктивное

описание групп, у которых каждая неединичная собственная подгруппа либо ^-субнормальна, либо ^-абнормальна для произвольной сверхрадикальной разрешимой формации У [64].

Таким образом, в главе 1 построена общая теория минимальных не 5-групп. Данная теория в диссертации носит вспомогательный характер и поэтому все ее положения сформулированы в виде лемм, но нужно заметить, что из полученных результатов следуют результаты работ [23,25,26]. Леммы 1.1.1 и 1.1.3 иллюстрируют наиболее характерные свойства минимальных не -3"-групн. Предложенные здесь методы позволяют изучить новые классы минимальных не З-групп, что продемонстрировано в леммах 1.2.1,1.2.3 и 1.3.10, которые с успехом применяются в главах 2 и 3 при решении классификационных проблем теории локальных формаций.

Глава 2 "Разрешимые наследственные формации Фиттинга" посвящена решению проблемы описания разрешимых наследственных формаций Фит-тинга.

Напомним, что класс групп 3 называется классом Фиттинга, если он является нормально наследственным классом и содержит всякую группу = АВ, где А и В — нормальные З-подгруппы.

Формация Фиттинга — класс групп, являющийся одновременно формацией и классом Фиттинга.

В 1970 году Хоуксом [1] была поставлена общая проблема описания разрешимых формаций Фиттинга. Там же было отмечено, что в ненаследствепном случае эта проблема не имеет перспективы. Время показало, что это действи-тельпе так. Однако в наследственном случае был достигнут существенный прогресс. Первым крупным достижением здесь явилась теорема Брайса и Косей о том, что всякая наследственная разрешимая формация Фиттинга является насыщенной [2]. Используя данный результат, нетрудно показать, что

ГГППЛЛ ПЛГ)Г1ЛТ"ТТ»#1_Т\Г ттолпргтртлпмнт »V ЛлАр 1/П ГТТ»Т1 (Пштурц И ГО ЛЛПТТО ТТЮТ Р ЬТТОГРЛМ!

¿А * 1 Ча/ДА А ЛА11Х и о^и^дД^и*^ А V/

разрешимых тотально локальных формаций. На основе этого факта в работах автора [47,52,53,56,59] был найден ряд новых свойств разрешимых наследственных формаций Фиттинга. Некоторые из них пошли в монографию [16].

В главе 2 рассматриваются только конечные разрешимые группы. Одно из важнейших свойств разрешимых тотально локальных формаций 3 связано с минимальными не ^-группами и содержится в следующей лемме, опубликованной в работе [48].

2.1.17. Лемма [48]. Пусть # — тотально локальная формация. Если С? е М($) и ¿(С?) = п, то справедливы следующие утверждения:

1 )Сб М( 0Г-1);

2) б 2-порождена.

Из данной леммы, в частности, вытекаег

2.1.18. Следствие. Пусть $ — тотально локальная формация. Тогда, если всякая 2-порожденная подгруппа группы (3 принадлежит то и С принадлежит у.

Обозначим через существенную характеристику формации т.е. множество всех простых делителей р порядков всех групп из £ таких, что }{р) гДе / ~ максимальный внутренний локальный экран формации 3\

Важную роль в дальнейших исследованиях сыграло понятие следа тотально локальной формации, предложенное автору Л.А.Шеметковым.

Пусть / — максимальный внутренний локальный экран тотально локальной формации г(#) -ф 0 и р1 £ с (У). Возьмем Р2 € сг (/(рг)) • Обозна-. чим через /(рьрг) значение максимального внутреннего локального экрана формации /(рг) на простом числе р2. Если формация /(рьрг, ■■■,Рп-\) уже определена и р„ — элемент ее существенной характеристики, то 1(Р1:Р2, ■ ■ ■ ,рп) ~~ значение максимального внутреннего локального экрана формации /(рг,р2, •• • ,рп-0 на простом числе р„- При этом выбранную последовательность (рь?>2. • ■. ,р„) будем называть следом ширины п формации

Напомним, что через Х^ мы обозначаем множество всех тг-групп из

При доказательстве основного результата данной главы диссертации решающую роль сыграли следующие леммы, представляющие самостоятельный интерес.

2.1.20. Лемма [50]. Пусть $ — наследственная тотально локальная формация, / — максимальный внутренний локальный экран формации У, п — натуральное число. Тогда и только тогда

когда 5 — формация, имеющая следующее строение

• £ = (П6р16й ... П е,(5),

где (р1,р2,- ■■ ,рп) пробегает все следы ширины п формации у.

2.1.23. Лемма [59]. Пусть 3 — тотально локальная формация, / — ее максимальный внутренний локальный экран. Если С? € П в^у), то

справедливы следующие утверждения:

1) /'¿(<?)/Ф;((?) — главный р;с/-фактор группы С? для любого г ~ 1,2,. ,.,п, где п - ¿(б) - 1;

2) € М(/(рьр2, для любого г = 1,2,.. .,п;

3) — группа порядка где д £ 7г(/(р1,р2, ■ • • ,Рп))-

Как следует из данной леммы, каждой минимальной не 3-группе G (3 — тотально локальная формация) с нильпотентной длиной n + 1 однозначным образом соответствует последовательность (рь Р2> ■ ■ ■ ,Рп) простых чисел таких, что ^(С?)/Ф<(<?) — pi-rpynna, являющаяся главным фактором группы G для любого i — 1,2,...,п. Такую последовательность назовем главным следом формации 3-

Теперь сформулируем основной результат главы 2, опубликованной в работе |59].

2.1.27. Теорема [59]. Пусть 3 — тотально локальная формация. Тогда она имеет следующее строение:

• 3 = (f|epi6p-...бР>бп{ЯР1^Ря)])П6,0),

где (рьрг, ■ • - ,Рп) пробегает все главные следы формации 3-

Непосредственно из данной теоремы, ввиду "того, что пересечение и произведение формации Фиттннга также является формацией Фиттннга, получаем

2.1.28. Следствие. Пусть 3 — непустая наследственная формация. Тогда и только тогда 3 является формацией Фиттннга.. когда она может быть получена из формаций 6Г (тг — некоторое множество простых чисел) с помощью операций произведения и пересечения формаций.

Ввиду результата Брайса и Косси ¡36] теорема 2.1.27 дает конструктивное описание произвольного разрешимого наследственного класса Фиттинга.

Изучению важного подкласса тотально локальпых формаций — изотропных тотально локальных формаций — посвящен второй раздел второй главы диссертации. В основе определения изотропной тотально локальной формации лежит понятие ранга тотально локальной формации.

Всякую тотально локальную формацию 3 с <7(5) = 0 назовем формацией ранга г(30 — 0. Натуральное число г(3) = п > 1 назовем рангом тотально локальной формации 3, если ее максимальный внутренний локальный экран / удовлетворяет следующим условиям:

1) r(/(p)) < п — 1 для любого р € ff(3);

2) r(f(q)) = п — 1 для некоторого q G <х(3)-

При этом 3 будем называть формацией конечного ранга. Если 3 не имеет конечного ранга, то 3 называется формацией бесконечного ранга и пишут г(3) = оо.

Тотально локальная формация 3 конечного ранга называется изотропной, если сг(3) ~ 0, либо <т(3) ^ 0 и для любого р € <т(3) имеет место равенство r(f(p)) = г(3) — 1, где / — максимальный внутренний локальный экран формации 3-

Например, для любого п > 0 формация 91" изотропна. Важность изучения изотропных тотально локальных формаций вытекает из следующей леммы.

2.2.6. Лемма (56]. Непустая наследственная формация $ тогда и только тогда является тотально локальной формацией, когда

т

гДе & — изотропные тотально локальные формации.

Сформулируем основной результат раздела 2.2 диссертации, дающий описание изотропных тотально локальных формаций конечного ранга.

2.2.7. Теорема [56]. Пусть $ — тотально локальная формация конечного ранга п > 0, / — ее максимальный внутренний локальный экран. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) Зг — изотропная тотально локальная формация;

2)м($) = м(т«т)\$-,

3) $= (П вйб^... 6^6,1/^,...,.))) П®«®. где (Р1,Р2, пробегает все следы ширины п формации

Приведем наиболее важные следствия из данной теоремы.

2.2.8. Следствие. Пусть 3" — изотропная тотально локальная формация ранга п. Тогда С

2.2.9. Следствие (Картер, Фишер, Хоукс [33]). Пусть 3 — формация всех групп с р-длиной, не превосходящей п, где п — натуральное число. Тогда л<(ф С

2.2.10. Следствие. Пусть 3 — изотропная тотально локальная формация конечного ран га.-Тогда— -

г(.?) = /((3)-1

для любой минимальной не ^-группы С? такой, что 7г((?) С тг(3).

2.2.11. Следствие. Пусть $ — изотропная тотально локальная формация ранга г(ЗГ) > 1, /■— ее максимальный внутренний локальный экран. Тогда

т Ш)=*№

для любого простого числа р из тг(Зг).

2.2.12. Следствие. Пусть $ — изотропная тотально локальная формация, / — ее максимальный внутренний локальный экран. Тогда

МШ) с 5

для любого р из ст(3).

2.2.13. Следствие. Пусть 3~ изотропная формация ранга п (п — натуральное число). Тогда любой след ширины п формации 3 является главным следом формации 32.2.14. Следствие. Пусть 9Т1 — формация всех разрешимых групп с нильпотентной длиной < п (п > 1) и р\,ръ, ■ ■ ■ ,Рк — различные простые числа (1 < к < п+1). Тогда существует минимальная не 91"-группа (7 такая, ЧТО 7Г(С?) ~{РиР2,.-.,Рк}-

Ярко проявилась роль минимальных не 5-групп в главе 3 "Классификация локальных наследственных формаций по заданным свойствам".

Центральным разделом третьей главы диссертации является раздел 3.1, в котором получено описание локальных наследственных формаций с решеточным свойством для 3-субнормальных (^-достижимых) подгрупп.

Говорят, что некоторое множество подгрупп ЭД1 конечной группы в образует решетку, если А П В € ЯЯ, < А, В >€ Ш для любых двух подгрупп А и В из ПЛ. Согласно классической теореме Виландта [4], множество всех субнормальных подгрупп в любой конечной группе образует ре-тетку. Естественным обобщением понятия субнормалыюсти является понятие 3-субнормальности, которое для произвольных конечных групп впервые введено Л .А. Шеметковым [6].

Пусть 3 — непустая формация. Подгруппу К группы б назовем 3-субнормалыюй, если либо К — О либо существует максимальная цепь

^ Ч гг — ту — —. ТГ Т.Г

С_г = ЛО и Л.1 и ... и Лп = Л

такая, что (^„х)® С К, для всех г = 1,2,..., п.

Наряду с понятием ^-субнормальности естественным обобщением суб-пормальности является понятие ^-достижимости, введенное Кегелем в работе [5].

Назовем подгруппу Н З-Достижимой, если существует цепь подгрупп

С? = Я0 Э Э ... 3 Ят = Я

такая, что для любого % = 1,2,... ,т либо подгруппа Н- нормальна в либо С Щ.

Развивая отмеченный выше результат Виландта, Кегель [5] установил, что множество всех 3-достижимых подгрупп в любой конечной группе образует решетку, если 3 — наследственная формация, замкнутая относительно расширений. В этой же работе Кегель поставил задачу об отыскании новых классов групп 3", обладающих тем свойством, что множество всех 3-достижимых подгрупп в любой конечной группе образует решетку.

' Одновременно в монографии [6| Л.А.Шеметковым под номером 12 была поставлена проблема: в каких случаях множество всех ^-субнормальных подгрупп группы б образует решетку?

В дальнейшем, данная проблема неоднократно уточнялась. Так, в обзоре [37] Л.А.Шеметковым была .поставлена проблема о нахождении всех локальных наследственных формаций, обладающих тем свойством, что множество всех ^-субнормальных подгрупп в любой конечной группе образует решетку.

Центральным результатом раздела 3.1 диссертации являются следующие две теоремы, которые дают полное решение отмеченных выше проблем Кеге-ля и Шеметкова о нахождении наследственных локальных формаций, обладающих решеточным свойством для ^-субнормальных (^-достижимых) подгрупп. Данные теоремы опубликованы в работе [55].

Напомним, что ЮоХ — класс всех групп С?, представимых в виде

б = #1 х #2 х ... X Нк,

где е X;

3.1.7. Теорема [55]. Пусть 5 — наследственная локальная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) множество всех ^-достижимых подгрупп в любой конечной группе образует решетку;

2) мпожество всех ^-субнормальных подгрупп в любой конечной группе образует решетку.

3.1.18. Теорема [55]. Пусть $ — наследственная локальная формация. Тогда и только тогда множество всех ^-субнормальных подгрупп образует решетку в любой конечной группе, когда 3" удовлетворяет следующим условиям:

1) у = А,(яип "(ЭДОФ) = 0;

2) Я = А)(Ц6/ ®тг(), где 7Г| П щ ~ 0 для любых к ф I из /;

3) Ш — — наследственная локальная формация, являющаяся классом Фиттинга, нормальным в ЯП2;

4) всякая нециклическая минимальная не ЯП-группа О с единичной подгруппой Фраттини является монолитической с неабелевым монолитом N = Сш} причем О/И — циклическая примарная группа.

Из теоремы 3.1.18 в классе конечных разрешимых групп легко получается описание разрешимых наследственных локальных формаций, обладающих решеточным свойством для ^-субнормальных подгрупп.

3.1.14. Лемма [55]. Пусть ^ — нормально наследственная разрешимая формация. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) если в каждой разрешимой группе все ^-субнормальные подгруппы

образуют решетку, то 3 имеет вид

¿е/

где тс*П7Г| = 0 для любых кф1 ш

2) если 3 ~ формация из пункта 1), то она обладает решеточным свойством для ^-субнормальных подгрупп.

Одновременно аналогичный результат был получен Баллестером-Болинше, Дерком и Перец-Рамош в работе [7] для разрешимых наследственных локальных формаций.

В заключении данного раздела строятся неразрешимые наследственные локальные формации обладающие решеточным свойством для 3-субнормальных подгрупп и незамкнутые относительно расширений. Одной из таких формаций 3 является формация вида 3 = &~{огтС, где <3 — минимальная неразрешимая простая группа, 7Г — 7г((3).

В конце 70-х годов Л.А.Шеметков впервые обратил внимание на возможность использования минимальных не 3-групп в вопросах классификации локальных формаций. Толчком к такого рода исследований послужила известная проблема о нахождении всех локальных наследственных формаций Шеметкова.

В совместной с А.Ф.Васильевым работе [44] нами было получено описание разрешимых наследственных локальных формаций Шеметкова. Описание произвольных локальных наследственных формаций Шеметкова полупил С.Ф.Каморников в работе [14]. В настоящее время формациям Шеметкова посвящено большое число работ как у нас в стране, так а за рубежом (см. [12-14,44,51,58]).

Пусть 3 и $з — непустые формации. Формация 3 называется Р)-формацией Шеметкова, если

Если ^ — формация всех конечных групп, то .^-формация Шеметкова называется формацией Шеметкова.

Напомним, что локальный экран / называется полным, если /(р) = 9Тр/(р) для любого простого числа р.

В следующей лемме, опублихованной в работе [58], получено описание локальных наследственных ^-формаций Шеметкова.

3.2.1. Лемма [58]. Пусть 3 — локальная наследственная формация, / — ее максимальный внутренний локальный экран, 55 — непустая наследственная формация такая, что $ = Тогда и только тогда 3 — ^-формация

Шеметкова, когда:

2) формация J имеет полный локальный экран h такой, что

0»{/W)i> = ACp)f>

для любого простого числа р из я'(З').

3.2.2. Следствие. Пусть £ — локальная наследственная формация, / — ее максимальный внутренний локальный экран. Тогда и только тогда $ — формация Шеметкова, когда:

1) М(д) С 6;

2) i = Прбжда ®Р'®»(/Ы) П ®ir»)-

3.2.3. Следствие. Пусть $ — разрешимая локальная наследственная формация, / — ее максимальный внутренний локальный экран. Тогда и только тогда 3 — 6-формация Шеметкова, когда

рСн(5)

Из следствий 3.2.2 и 3.2.3 нетрудно показать, что любая лохальная наследственная формация Шеметкова и любая разрешимая наследственная локальная 6-формация Шеметкова являются тотально локальными формациями.

5-2.4. Следствие. Пусть f) — локальные наследственные формации, / и Н — максимальные внутренние локальные экраны соответственно J и ■?)■

Тогда и только тогда g" — ^-формация Шеметкова, когда:

1) МШГIS С о;

2) формация § имеет полный локальный экран г такой, что

для любого простого числа р из тг(^р)й).

Формация $ называется сверхрадикальной, если она удовлетворяет следующим двум требованиям:

1) 5 — нормально наследственная формация;

2) формация У содержит любую группу G = АВ, где А и В - 5-субнормальные ^-подгруппы.

Л.А.Шеметковым в Коуровской тетради [11] была сформулирована проблема описания сверхрадикальных формаций.

При получении описания разрешимых сверхрадикальных формаций важную роль сыграли ^-формации Шеметкова и следующие леммы.

3.3.4. Лемма [57]. Всякая локальная сверхрадикальная формация является 6-формацией Шеметкова.

3.3.8. Лемма [65]. Пусть X = XX — наследственная формация. Тогда всякая формация вида 3 = Пуе/^¡ЗЦ- является сверхрадикальной.

3.3.9. Следствие Любая формация 3 = П^е/ является сверхрадикальной формацией.

Теорема 3.3.10, опубликованная в работе [65], дает полное описание разрешимых сверхрадикальных формаций.

3.3.10. Теорема [65]. Пусть 3 — непустая разрешимая наследственная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) 3 — сверхрадикальная формация;

2) З^ПиеГ6»,®*,-

Формация 3 называется формацией с решеточным свойством для перестановочных 3-субнормальных подгрупп, если справедливы следующие утверждения:

1) для любой группы (? и для любых ее перестановочных 3-субнормальных подгрупп Н и К подгруппа НК 3-субнормальна в С;

2) ДЛ.Я Любой ГруГШЫ С И ДЛЯ любых СС ^-СубйОрМйЛЫТЫХ подгрупп Н и К подгруппа Н (~) X 3-субнормальна в (?.

В разделе 3.1 было получено описание локальных наследственных формаций с решеточным свойством для 3-субнормальных подгрупп. В частности, оказалось, что любая разрешимая локальная наследственная формация 3 - решеточным свойством для З-^убнормальных подгрупп име^т следующее строение:

ш

где ггд. П щ — 0 для любых к ф I из I;

Испачьзуя описание разрешимых наследственных сверхрадикальных формаций, в разделе 3.3 получено описание разрешимых локальных наследственных формаций с решеточным свойством для перестановочных 3-субнормальных подгрупп. Оказалось, что класс таких формаций значительно шире и все такие формации имеют следующее строение:

з=П6А-

гдег,;'е/.

Сверхрадикальные формации сыграли важную роль при получении ха-рактеризации локальных наследственных формаций Шеметкова.

3.3.19 Теорема [58]. Пусть 3 — локальная наследственная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) 3 ~~ формация Шеметкова;

2) $ — сверхрадикальная формация и М(3) Сб.

Раздел 3.4 посвящен решению проблемы Л.А.Шеметкова (см. проблему 8.87 из [И]) об описании наследственных локальных формаций Зг, минимальные не ^-группы которых бипримарны.

При решении данной проблемы нами был использован метод экстремальных классов, разработанный Картером, Фишером и Хоуксом в работе [33]. В его основе лежит следующая конструкция.

Пусть - классы групп. Обозначим через множество всех та-

ких групп, у которых все ЗЕ-подгруппы принадлежат Обозначим через ЗсР множество всех примарных групп и бипримарных рй-групп.

3.4.6. Теорема [62]. Пусть $ — формация, имеющая полный наследственный локальный экран <р. Тогда и только тогда любая минимальная не

группа бипримарна, когда выполняются следующие условия:

1)М($)С6;

2) формация 5 имеет полный локальный экран Ь, такой, что

т = И (ф))х> р| у С

для любого простого числа р.

3.4.7. Следствие. Пусть 3" — локальная наследственная формация, И — ее полный локальный экран. Тогда и только тогда любая минимальная не ^-группа бипримарна, когда выполняются следующее утверждения:

'-« \ I 4 -- /V

х) о;

2) М (/¡(р)) П 3" С Xр, для любого простого числа р.

3.4.8. Следствие. Пусть # — локальная наследственная формация. Тогда и только тогда любая минимальная не 5-группа бипримарна, когда выполняются следующие утверждения:

1) М(3) С 6;

2) формация 3 имеет полный локальный экран <р такой, что

для любого простого числа р.

Используя основные результаты главы 2, в классе разрешимых групп была доказана следующая теорема, опубликованная в работе [62], дающая конструктивное описание наследственных классов Фиттинга минимальные не ^-группы которых бипримарны.

3.4.9. Теорема [62]. Пусть 3 — наследственный класс Фиттинга. Тогда и только тогда любая минимальная не группа бипримарна, когда 3 одного из следующих типов:

■ 1) &р> 6„, где 7Г — множество простых чисел, содержащее число р;

2) (вр-бу.)", (&pi&qi)n&pi, где р п q — различные простые числа, тг — натуральное число;

3) 3= П(6/&'> гДе Зч — формации из пунктов 1) или 2).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получены следующие результаты

1. Построена общая теория разрешимых критических групп по отношению к произвольной локальной формации 3 (см. работы автора [38-43]) и изучена их роль в классификации локальных формаций. На основании этой теории подучено решение известных классификационных проблем.

2. Получено конструктивное описание разрешимых наследственных формаций Фиттинга, тем самым решена проблема Хоукса 1970 года.

Решение данной проблемы опубликовано в работах [56,59].

3. Получено конструктивное описание локальных наследственных формаций обладающих решеточным свойством для ^-субнормальных ($достижимых) подгрупп, тем самым решены проблемы Л.А.Шеметкова и Ке-геля 1978 года.

Решение данных проблем опубликовано в работе [55].

4. В классе конечных разрешимых групп получено решение проблемы Л.А.Шеметкова 1998 года об описании наследственных сверхрадикальных формаций.

Данное описание получено в работе [57].

5. Найдены новые характеризации локальных формаций Шеметкова, которые опубликованы в работах [51,58].

6. Получено описание локальных наследственных формаций по заданным свойствам минимальных не З-групп. В частности, решена проблема Л.А.Шеметкова 1982 года об описании локальных наследственных формаций с тем свойством, что минимальные не 3"-группы бипримарны. Решение данной проблемы опубликовано в работе [62].

ЛИТЕРАТУРА

1. Hawkes T. On Fitting formations// Math. Z. 1970. - V.117. - P.177-182.

2. Bryce R.A., Cosscy J.Subgroup closed Fitting classes are formations// Math. Proc.Camb. Phil Soc. - 1982.-V.91. - P.225-258.

3. Скиба A.H. Характеризации разрешимых групп заданной нильпотент-ной длиной// Вопросы алгебры. — Минск: Изд-во "Университетское". —1987. - N 3. - С.21-31.

4. Wielandt H. Uber den Normalisator der subnormalen Untergruppen// Math.Z. - 1958. - V.69, N 8. - P.463-465.

5. Kegel O.H. Untergruppenverbande endlicher Gruppen, die Subnorrnal-teilorverband echt enthalten// Arch. Math. - 1978.- V.30. - P.225-228.

6. Шеметков JI.A. Формации конечных групп. M.: Наука. — 1978. — 267

с.

7. Ballester-Bolinches A., Doerk К., Perez-Ramos V.D. On the lattice of 3-subnormal subgroups// J.Algebra. - 1992,- V.148. - P.42-52.

8. Чунихин C.A. О специальных группах// Мат.сборник. — 1929. — Т.36, N 2,- С.135-137.

9. Tchounikhin S.A. Uber Gruppen mit vorgegcbenen Untcrgruppen// Мат. сборник. - 1938. - T.4. - С.521-530.

10. Ito N. Note on (LM)-groups of finite order// Kodai Math.Sem.Rep- 1951.

- V.l-2. - P.l-6.

11. Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп). Новосибирск: Институт математики СО РАН, 1999. — 146 с.

12. Ballester-Bolinches A., Perez-Ramos M.D. Two questions of L.A.Shemetko on Critical groups// J.Algebra. - 1999. - V.179.- P.905-917.

13. Скиба A.H. Об одном классе локальных формаций конечпых групп// ДАН БССР. - 1990. - Т.34, N И. - С.382-385.

14. Каморников С.Ф. О двух проблемах Л.А.Шеметкова // Сиб.мат. журнал,- 1994. - Т.35. - N 4. - С.801-812.

15. Li Shirong. ^-subnormal and 3-subabnormaI chains in finite.groups // Science in china (Series A). - 1998. - V.41. - N 11. - P.1121-1127.

16. Шеметков Л.А., Скиба A.H. Формации алгебраических систем. М.: Наука.- 1989. - 256 с.

17. Васильев А.Ф. К проблеме перечисления локальных формаций с заданным свойством// Вопросы алгебры. — Минск: Изд-во "Университетское".

- 1987. - N 3. - С.3-11.

18. Закревская Л.К. Конечные группы с плотной системой 3-субнормальных подгрупп// Исследования нормального и подгруппового строения конечных групп: Тр./ Ин-т математики АН БССР. — Минск: Наука и техника, 1984. - С.71-88.

19. Ходалевич А.Д. Подгрупповое строение минимальных не gf-групп// Вопросы алгебры. — Минск: Изд-во "Университетское". — 1986. — N 2. — С.72-80.

20. Скиба А.Н. Алгебра формаций. — Мн.: Беларуская навука, 1997. — 240 с.

21. Doerk К., Hawkes Т. Finite soluble groups. Walter de Gruyter. Berlin, New York. 1992. - 889 p.

22. Miller G.A., Moreno H.C. Nonabelian groups in which every subgroup is

abelian// Trans. Amer. Math. Soc. - 1903. - V.4.- P.398-404.

23. Шмидт О.Ю. Группы, все подгруппы которых специальные// Мат. сб. - 1924. - Т.31, N 3. - С.366-372.

24. Гсшьфапд Ю.А. О группах, все подгруппы которых специальные// Докл. АН СССР. - 1948. - Т.60, N 8. - С.1313-1315.

25. Huppert В. Normalteiler und maximale Untergruppen endlichen Grup-pen// Math. Z. - 1954.-V.60. - P .409-434.

26. Doerk K. Minimal nicht uberaufiosbare, endiiche Gruppen// Math.Z.-1966. - 91. - P. 198-205.

27. Левищенко С.С., Кузенный Н.Ф. Конструктивное описание конечных минимальных несверхразрешимых групп// Вопросы алгебры.- Минск: Изд-во "Университетское". - 1987. - N 3. - С.56-63.

28. Нагребецкий В.Т. О конечных минимальных несверхразрешимых группах// Конечные группы: Тр./ Йн-т математики АН БССР. — Минск: Наука и техника, 1975. - С.104-108.

29. Thompson J.G. Nonsolvable finite groups all of whose local subgroups are solvable// Bull.Amer. Math,Soc. - 1968.- V.74. - P.383-437.

30. Конторович Н.П., Нагребецкий В.Т. О конечных минимальных по р-сверхразренпшых группах// Матем.записки. Уральск, ун-т,- 1975. — Т.9, N О _ г о и

»J. — W.OvJ—О i .

31. Hawkes Т. On the class of Sylow tower groups// Math. Z. - 1968.- V.105, N 5. - P.393-398.

32. Кузенный Н.Ф., Левищенко С,С. Конечные разрешимые минимальные недисперсивпые группы// Укр. мат. журнал. — 1975. — Т.27, N 4 - С.526-528.

33. Carter R., Fisher В., Hawkes Т. Extreme classes of finite soluble groups // J. Algebra. - 1968. - V.9, N 3. - P. 285-313.

34. Ebert G., Bauman 8. A note on subnormal and abnormal chains//' J. Algebra. - 1975. - V.36, N 2. - P.287-293.

35. Fattachi A. Groups with only normal and abnormal subgroups// J.Algebra.- 1974. - V.28, N 1. - P.15-19.

Pmr/tn D A /-IT r T Cil+in'» Л+-1Г.-П О r\i ivii^rt ffrni 1ГЛ С / /

OV. UiJVC } WUOO^J J. J. Jl/I/U4g iOxxtJCtuivJiAO liAiAtv ouiuOiC ¿iwu^o^ f

Math.Z. - 1972. - V.127, N 3. - P.217-233.

37. Шеметков Л.А. Новые идеи и результаты теории формаций// Вопросы алгебры,- Минск: Изд-во "Университетское". — 1989. — N 4. — С.65-76.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ АВТОРОМ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

38.Семснчук В.Н. Об одном классе конечных разрешимых групп// ДАН

БССР. - 1976. - N 2. - С.104-105.

39. Семенчук В.Н. О минимальных не ^-группах// ДАН БССР,- 1978.-N 7. - С.596-599.

40. Семенчук В.Н. Конечные группы с заданными свойствами подгрупп// ДАН БССР. - 1979. - N 1. - С. 11-15.

41. Семенчук В.Н. Минимальные не 3-группы// Алгебра и логика. — 1979. - Т.18, N 3. - С.348-382.

42. Семенчук В.Н. Конечные группы с системой минимальных не 3-подгрупп // Подгрупповое строение конечных групп: Тр./ Ин-т математики АН БССР. - Минск: Наука и техника, 1981. - С.138-149.

43. Семенчук В.Н. Минимальные не ^-группы// Исследование нормального и подгруппового строения конечных групп: Тр./ Ин-т математики АН БССР. - Минск: Наука и техника, 1984. - С.170-175.

44. Семенчук В.Н., Васильев А.Ф. Характеризация локальных формаций 3 по заданным свойствам минимальных не 3-групп// Исследование пормаль-ного и подгруппового строения конечных групп, Тр./ Ин-т математики АН БССР. - Минск: Наука и техника, 1984. - С.175-181.

45. Семенчук В.Н. Разрешимые группы со вторыми максимальными сверхразрепгамыми подгруппами// Вопросы алгебры. — Минск: Изд-во "Университетское".- 1985. - N 1. - С.86-96.

46. Семенчук В.Н. Строение конечных групп с ^-абнормальпымн или 3-субнормальными подгруппами// Вопросы алгебры. — Минск: Изд-во "Университетское". — 1986. — N 2. - С.50-55.

47. Семенчук В.Н. Описание разрешимых минимальных не 3-групп для произвольной тотально локальной формации// Мат. заметки.- 1988. — Т.43, N 4. - С.452-459.

48. Семенчук В.Н. О разрешимых минимальных не 3-группах// Вопросы алгебры. — Минск: Изд-во "Университетское". — 1987. — N 3.- С. 16-21.

49. Семенчук В.Н. Описание тотально локальных формаций, минимальные не 3-группы, для которых либо примарны, либо бипримарны// Вопросы алгебры. — Минск: Изд-во "Университетское". — 1990. — N 5. — С.34-39.

50. Семенчук В.Н. Роль минимальных не 3-групп в теории формаций// Мат. заметки. - 1991. - Т.98, N 1. - С.110-115.

51. Семенчук В.Н. Характеризация 5-формаций// Вопросы алгебры.-Минск: Изд-во "Университетское". - 1992. - N 6. - С.103-108.

52. Семенчук В.Н. Разрешимые тотально локальные формации. - Гомель.

— 1993. — 19 с. — (Препринт/Гомельский госуниверситет; N 8).

53. Семенчук В.Н. 0 тотально-локальных формациях// Вопросы алгебры.

- Минск; Изд-во "Университетское".- 1993. - N 6. - С.24-30.

54. Семенчук В.Н. Конечные группы с Анормальными или 3-убнормальными подгруппами// Мат. заметки. — 1994.- Т.56, N 6. — С.111-15.

55. Семенчук В.Н., Васильев А.Ф., Каморников С.Ф. О решетках под-рупп конечных групп // Бесконечные группы и примыкающие алгебраиче-:кие структуры: Тр./ Институт математики АН Украины. — Киев, 1993. —

27-54.

56. Семенчук В.Н. Разрешимые тотально локальные формации// Сибир-:кий математ. журнал. - 1995. - Т.36, N 4. - С.861-872.

57. Семенчук В.Н. Разрешимые З-радикальные формации// Мат. заметен. - 1996. - Т. 59, N 2. - С.261-266.

58. Семенчук В.Н. Об одной проблеме в теории формаций// Весщ АН Зеларуа. - 1996. - N 3. - С.25-29.

59. Семенчук В.Н. О разрешимых тотально локальных формациях// Во-гросы алгебры. Гомель. - 1997. - N 11. - С.109-115.

60. Семенчук В.Н.,Поляков Л.Я. Характеризация минимальных не 3-■рупп// Известия высших учебных заведений - 1998. — N 4 (431). — С.1-4.

61. Семенчук В.Н. Характеризация локальных формаций 3 по заданным :войствам минимальных не 3-груггп // Известия Гомельского госуниверсите-:а им.Ф.Скорины. - 1999. - Т.1, № 1 (15)Вопросы алгебры.-С. 146-152.

62. Семенчук В.Н. Классификация локальных наследственных формаций сритичеекие-группыкоторых-бипримариы// Известия Гомельского госуни-¡ерситета им.Ф.Скорины. —1999. — Т.1, №1(15). Вопросы алгебры.-С.153-162.

63. Семенчук В.Н. Классификация важнейших типов локальных форма-щй// Веснж ВДУ. - 2000. - №1. - С.115-116.

64. Семенчук В.Н. Конечные группы с заданной системой нодгрупл // Зестн. Белорус, ун-та. Сер. 1. 2000. - № 2. - С.89-91.

65. Семенчук В.Н., Шеметков Л.А. Сверхрадикальные формации.// До-слады НАН Беларуси. - 2000. - Т.44, № 5. - С.24-26.

66. Semenchuk V.N. Description of finite groups with 3-abnormal or 3-lubnormal subgroups// Известия Гомельского госуниверситета им.Ф.Скорины. - 2000. - №3(16). Вопросы алгсбры.-С.93- 97.

67. Семенчук В.Н. О строении минимальных пе 3-групп// VI Всесоюзн. :имп. по теории групп: Тез. докл. Черкассы, 1978 г./ Наукова думка. — Киев, [978. - С.54-55.

68. Семенчук В.Н. Строение минимальных не З-групп// XV Всесоюзн. шгебр. конф.: Тез. докл. Красноярск, 3-6 июля 1979 г./ Красноярский уни-¡ерситет. — Красноярск, 1979. — С. 136.

69. Семенчук В.Н. О строении £3-групп// VJI Всесоюзн. симп. по те-

ории групп: Тез. докл. Красноярск, 1980 г./ Красноярский университет. -Красноярск, 1980. - С.109.

70. Семенчук В.Н. Решетка ^-субнормальных подгрупп// XVI Всесокш алгебр, конф.: Тез. докл. Ленинград, 1981 г./ Ленинград, 1981. — С.146-147

71. Семенчук В.Н. Конечные группы с З'-абнормальными или 3 субнормальными подгруппами// VIII Всесоюзн. симпозиума по теории груш. Тез. докл. Суммы, 25-27 мая 1982 г./ Киев, 1982. - С-114.

72. Семенчук В.Н. О решетке 3-субнормальных подгрупп// XVII Всесо юзн. алгебр.конф.: Тез. докл. Минск, 1983 г./ Минск, 1983. — С.152.

73. Семенчук В.Н.,Васильев А.Ф. Характеризация локальных формаци! по заданным свойствам минимальных не 3"-групп// XVII Всесоюзн. алгебр конф.: Тез. докл. Минск, 1983 г./ Минск, 1983. - С.153.

74. Семенчук В.Н. О пересечениях максимальных подгрупп в конечные группах/'/ IX Всесоюзн. симн. по теории групп: Тез. докл. Москва, 18-2( сентября 1984 г./ Московский государственный педагогический институт им

B.И.Ленива. Москва, 1984. - С.168.

75. Семенчук В.Н. Обобщение минимальных не 3-групп// IX Всесоюзн симн. по теории групп: Тез. докл. Москва, 18-20 сентября 1984 г./ Московски* государственный педагогический институт им. В.й.Ленина. Москва, 1984. —

C.169.

76. Семенчук В.Н. Об одной проблеме в теории формаций// XVIII Всесоюзн. алгебр, конф.: Тез. докл. Кишинев, 16-18 сентября 1985 г./ Кишинев. 1885. - С.203.

77. Семенчук В.Н. Классификация разрешимых минимальных групп, не принадлежащих разрешимой радикальной наследственной формации// X Всесоюзн. симп. по теории групп: Тез. докл. Гомель, 9-12 сентября 1986 г./ Минск, 1986. - С.213.

78. Семенчук В.Н. Описание разрешимых минимальных не З-групп для произвольной тотально локальной формации// XIX Всесоюзн. конф.: Тез. докл. Львов, 9-11 сентября 1987 г./ Львов, 1987. — С.196.

79. Семенчук В.Н. Перечисление разрешимых тотально локальных формаций// Междунар. конф. по алгебре: Тез. докл. Новосибирск, 1989 г./ Новосибирск, 1989. - С.167.

80. Семенчук В.Н. Об одной проблеме в теории формаций// XI Всесоюзн. симп. по теории групп, посвященный 60-летию члена-корр.АН СССР М.И.Каргаполова: Тез. докл. Кунгурка, 31января — 2 февраля 1989 г./ Свердловск, 1989. - С. 104.

81. Семенчук В.Н. Я-формации// Междунар. конфер. по алгебре: Тез. докл. Барнаул, 20-22 августа 1991 г./ Новосибирск, 1991. — С.92.

82. Семенчук В.Н. О решетках подгрупп конечных групп// Конференция математиков Беларуси: Тез. докл. Гродно, 29 сентября - 2 октября 1992 г./ Гродно, 1992. - С.10.

83. Семенчук В.Н. Характеризация 5-формаций// Конференция математиков Беларуси: Тез. докл. Гродно, 29 сентября - 2 октября 1992 г./ Гродно, 1992. - С.46.

84. Семенчук В.Н. ^-субнормальные подгруппы конечных групп// Ш междунар. конференц. по алгебре: Тез. докл. Красноярск, 1993 г./ Красноярск, 1993. - С.205.

85. Семенчук В.Н. Перестановочные ^-субнормальные подгруппы// Международная математическая конференция, посвященная 25-летию ГГУ им.Ф.Скорины: Тез. докл. Гомель, 1994 г./ Гомель, 1994. — С.56.

86. Семенчук В.Н. О формациях Шеметкова// Международная математическая конференция, посвященная памяти академика С.А.Чунихина: Тез. докл. Гомель, 1995 г./ Гомель, 1995. - С.95.

87. Семенчук В.Н. Об одном классе локальных наследственных формаций// Международная алгебраическая конференция, посвященная памяти Д.К.Фадцсева: Тез. докл. Санкт-Петербург, 1997 г./ Санкт-Петербург, 1997. - С.277.

88. Семенчук В.Н. Об одном классе локальных наследственных формаций// Международная алгебпаичсская конференция, посвященная памяти Л.М.Глускипа: Тез. докл. Славянск, 1997 г./ Славянск, 1997. — С.63.

89. Семенчук В.Н. О разрешимых наследственных формациях Фиттин-га// Вычислительные методы и производство: реальность, проблемы, перспективы: Материалы I Международной научной конференции/ ГГУ им. Ф.Скорины. - Гомель, 1998. - С.257.

90. Семенчук В.Н. О разрешимых наследственных формациях Фиттин-га// Международный алгебраический семинар, посвященный 70-летию кафедры высшей алгебры МГУ: Тез. докл. Москва, 10-12 февраля 1999 г./ Москва,1999. - С.50-51.

91. Семенчук В.Н. Об одной проблеме Л.А.Шеметкова // Вторая междунар. алгебраич, конф. н Украине, посвященная памяти Л.А.Калужнина (1914-1990): Тез7 докл. Киев-Винница, 9-16 мая 1999 г./ Винницкий госпеду-ниверситет им. М.Коцюбинского. — Винница, 1999, — С. 109.

Р Э 3 Ю М Е

Семянчук Уладз1шр Miкaлaeвiч

Роля крытычшдх труп у канструктыуным атсднш класау канечных групп

Ключавыя словы: крытычная група, лакальная фармацыя, канечная вы рашальная група, клас Фггынга, экран, фармацыя, фармацыя Ф^тынга, ранг рашотка.

У дысертацьн пабудавана тэорыя вырашальных крытычных труп пг стасунку да адвольнай лакальнай фармацьн. 3 дапамогай дадзенай тэо-рьп вырашаны рад вядомых клааф1кацыйных праблем: праблема Хоукса аб зтсанш спадчыннай вырашальнай фармацьн Ф1тынга, праблемы Кегеля з Л.А.Шеметкова аб атсанш лакальных спадчышшх фармацый 3 з рашотач-най уласщвасщо для ^-субнамрмальных I {?-дасягаемых падгруп, праблемы Л.А.Шамяткова аб атсанш вырашальных звышрадыкальных фармацый, 1 лакальных спадчынных фармацый, крытычныя групы ягах бшрымарны.

Усе асноуныя выти працы з'яуляюцца новым!. Яны маюць тэарэтычны характар \ могуць быць выкарастаны у даследванн! па тэорыз класау Фггынга ! фармацый канечных груп, а таксама пры чытанш спецкурсау у ушверат-этах.

РЕЗЮМЕ

Семенчук Владимир Николаевич

Роль критических групп в конструктивном описании классов конечных групп

Ключевые слова: критическая группа, локальная формация, конечная разрешимая группа, класс Фиттинга, экран, формация, формация Фиттияга, ранг, решетка.

В диссертации построена теория разрешимых критических груш по отношению к произвольной локальной формации. С помощью данной теории решен ряд известных классификационных проблем: проблема Хоукса об описании наследственной разрешимой формации Фиттинга, проблемы Кегеля и Л.А.Шеметкова об описании локальных наследственных формаций £ с решеточным свойством для ^-субнормальных и ^-достижимых подгрупп, проблем Л.А.Шеметкова об описании разрешимых сверхрадикальных формаций и локальных наследственных формаций, критические группы которых би-примарны.

Все основные результаты диссертации являются новыми. Они имеют теоретический характер и могут быть использованы в исследовании по теории классов Фиттинга и формаций конечных групп, а также при чтении спецкурсов в университетах.

Summary

Semenchuk Vladimir Nikolayevich

The role of critical groups in the constructive description of classes of finite groups

Key words: critical group, local formation, finite soluble group,. Fitting class, screen, formation, Fitting formation, rank, latice.

In the dessert ation the theory of soluble critical groups with respect to an arbitrary local formation is constructed. The series of famous classification problems (T.Hawkes problem about a description of a hereditary soluble Fitting formation, O.Kegel and L.A.Shemetkov problems about a description of local hereditary formations 3 with the lattice property for ^-subnormal and ^-composition subgroups, L.A.Shemetkov problems about a description of soluble superradical formations and local hereditary formations critical groups of which are biprimary) is solved with the help of this theory.

All main results of the work are new. They have a theoretical character and are able to use in research in the theory of Fitting classes and in the theory of formations of finite groups; in teaching of special courses in universities.