Ω-расслоенные критические формации конечных групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Перечень определений и условных обозначений.

Введение.

Общая характеристика работы.

Глава 1 Обзор результатов.

Глава 2 Предварительные сведения.2Ь

Глава 3 Критические ^-расслоенные формации конечных групп.

3.1. Общие свойства ^-канонических формаций.

3.2. Описание минимальных О-канонических не ф-формаций.

3.3. Общие свойства О-биканонических формаций.

3.4. Описание минимальных ^-биканонических не ф-формаций.

Глава 4 Критические О-расслоенные нормально наследственные формации конечных групп.

4.1. Общие свойства ^-канонических нормально наследственных формаций.

4.2. Описание минимальных О-канонических нормально наследственных не ф-формаций.

4.3. Общие свойства ^-биканонических нормально наследственных формаций.

4.4. Описание минимальных П-биканонических нормально наследственных не ф-формаций.

Выводы.

Список используемых источников.

ПЕРЕЧЕНЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ.

Рассматриваются только конечные группы. Используемые в работе без ссылок обозначения, определения и классические результаты по теории групп можно найти в книгах [7,8,9,40,49], а по теории классов групп в [1,10,43,46,47].

Класс групп - совокупность групп, содержащая со всякой своей группой и все группы, изоморфные ей.

5, Ф, ЗЛ - некоторые классы групп. р, Я, г - простые числа.

0 - пустое множество. - класс всех групп.

- класс всех простых групп.

О. - непустой подкласс класса ^. в) - класс всех групп, изоморфных группе в.

К(О) - класс всех простых групп, изоморфных композиционным факторам группы О.

К(Х)- объединение классов К(О) для всех ве 26.

К'(Х)= 3\К(Х)

-группа - такая групп а в, что К(0)с£Х п- класс всех П-групп.

1 - единичная группа. в - {5-корадикал группы О, то есть пересечение всех тех нормальных подгрупп М из в, для которых в/МеОч

- ^-радикал группы в, то есть подгруппа групппы в, порожденная всеми нормальными {^-подгруппами из О.

Оя(О) - @й-радикал группы в.

0°(0) - ©^-корадикал группы в.

А[В] - полупрямое произведение групп А и В.

Ф(О) - подгруппа Фраттини группы в.

Формация - класс групп, замкнутый относительно взятия гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений.

Многообразие групп - класс всех групп, каждая из которых удовлетворяет некоторому данному множеству тождеств.

Произведение Ф формаций 5 и ф - совокупность всех таких групп О,

Наследственная (нормально наследственная) формация - такая формация, которая вместе с каждой своей группой содержит и все ее (нормальные) подгруппы.

0- непустая совокупность формаций.

0-формация - такая формация что {^£0. ь&о-критическая формация - такая 0-формация что но все собственные 0-подформации из ^ в классе ф содержатся. огш^- формация, порожденная совокупностью групп 26, то есть пересечение всех формаций, содержащих 3£.

01ЪгтЗ£ - 0-формация, порожденная дс, то есть пересечение всех 0-формаций, содержащих дс.

8п|огтХ - нормально наследственная формация, порожденная И. уагЭс - многообразие, порожденное совокупностью групп И.

Г2Р-функция - ^-формационная функция, то есть функция Г :

Quid'}1—{формации групп}, принимающая одинаковые значения на изоморфных группах из Q.

F-функция - формационная функция, то есть функция g : £5 {формации групп}, принимающая одинаковые значения на изоморфных группах из

FR-функция - формационно-радикальная функция, то есть функция ф : — {непустые формации Фиттинга}, принимающая одинаковые значения на изоморфных группах из iy.

Q-рассоенная формация - формация QF(f,(p) = (G: G/On(G)ef(i2') и G/Gcp(A)ef(A) для всех AeQHK(G)) с Q-спутником f и с направлением ф.

Расслоенная формация - формация = (G: G/G9(A)£g(A) для всех

AeK(G)) со спутником g и с направлением ф.

Q-каноническая формация - формация QKF(f) = (G: G/OQ(G)Gf(Q') и G/OA\/\ef(A) для всех AeQflK(G)) с ШС-спутником f и с направлением ф, где Ф(А)=@а',©'А для любого Ag

Каноническая формация - формация KF(f) = (G: G/OA',A^f(A) для всех AeK(G)) с К-спутником f и с направлением ф, где ф(А)=@// для любого

Q-биканоническая формация - формация QBF(f) = (G: G/OQ(G)ef(Q'), G/0A'Gf(A) для всех Ae(Q\2f)HK(G) и G/Од-Д f(A) для всех AeQn2CnK(G)) с

QB-спутником f и с направлением ф, где ф(А)=©/,' для любой неабелевой группы Ag и ф(А)=@/,' '©А Для любой абелевой группы Ag ^

Биканоническая формация - формация BF(f) = (G: G/0A^ef(A) для всех AeK(G)\2C и G/0A',i?4f(A) для всех Ae2fflK(G)) с В-спутником f и с направлением ф, где ф(А)=@А' для любой неабелевой группы Ae^j и ф(А)=@¡{ ■ @/■ для любой абелевой группы Ae^s

Внутренний спутник О-расслоеенной (расслоенной) формации Г? - такой П-спутник (спутник) 5 формации {5, что для любого А е

А е 3).

Максимальный внутренний ^-спутник (спутник) ^-расслоенной (расслоенной) формации Г? с направлением ф - максимальный элемент множества всех ^-спутников (спутников) формации • Пусть Г и Ь

-спутники (спутники) ^-расслоенной (расслоенной) формации {5- Полагают

Г < Ь, если ^А) £ КА) для всех АеПиф'} (Ае $$).

Минимальный внутренний О-спутник (спутник) ^-расслоенной (расслоенной) формации Г? с направлением ф - минимальный элемент множества всех О-спутников (спутников) формации {5 •

Минимальная не ^-формация - такая формация что но все собственные подформации из {5 в классе ф содержатся.

Минимальная П-каноническая (каноническая) не ^-формация - такая

О-каноническая (каноническая) формация что но все собственные

-канонические (канонические) подформации из в классе ф содержатся.

Минимальная О-биканоническая (биканоническая) не ф-формация такая ^-биканоническая (биканоническая) формация что но все собственные П-биканонические (биканонические) подформации из в классе ф содержатся.

Минимальная нормально наследственная не ф-формация - такая нормально наследственная формация что но все собственные нормально наследственные подформации из г5 в классе ф содержатся.

МинимальнаяО-каноническая(каноническая)нормально наследственная не ^-формация - такая О-каноническая (каноническая) нормально наследственная формация 5\ что но все собственные

-канонические (канонические) нормально наследственные подформации из в классе ф содержатся.

Минимальная О-биканоническая (биканоническая) нормально наследственная не ф-формация - такая П-биканоническая (биканоническая) нормально наследственная формация {5, что но все собственные

-биканонические (биканонические) нормально наследственные подформации из в классе ф содержатся.

Секция группы в - фактор-группа А/В, где А - подгруппа группы в, а В - нормальная подгруппа группы А.

Формационная секция группы в - секция группы в, принадлежащая ГоптЮ.

Критическая группа - конечная группа в, не принадлежащая многообразию, порожденному всеми собственными секциями группы в/

Формационно критическая группа - конечная группа в, не принадлежащая формации, порожденной всеми собственными формационными секциями группы в. базисная группа - такая формационно критическая группа О, что формация 1штО содержит единственную максимальную подформацию.

ОК-базисная (К-базисная) группа - такая формационно критическая группа в, что формация ОКР(О) (КР(О)) содержит единственную максимальную £Ж-подформацию (К-подформацию).

РКзп-базисная (К5п-базисная, 8п-базисная) группа - такая формационно критическая группа в, что формация £Жбп(0) (Кбп^), б^ошЮ соответственно) содержит единственную максимальную ^Жэп-подформацию

КБп-подформацию, нормально наследственную подформ ацию соответственно).

2В-базисная (В-базисная) группа - такая формационно критическая группа в, что формация ^ВР(О) (ВР(С)) содержит единственную максимальную ОВ-подформацию (В-подформацию).

Взп-базисная (Вэп-базисная, эп-базисная) группа - такая формационно критическая группа в, что формация £2Вбп(0) (Вбп(О), бпАэггпО соответственно) содержит единственную максимальную ПВБП-подформацию (ВБП-подформацию, нормально наследственную подформацию соответственно).

Максимальная подформация формации — такая собственная подформация формации что из включения следует 5Я=ф.

Монолитическая группа - неединичная группа, имеющая единственную минимальную нормальную подгруппу (монолит).

В теории конечных групп одним из наиболее важных и интересных направлений является характеризация групп по тем или иным свойствам, налагаемых на их подгруппы. Большое значение здесь имеет проблема изучения групп, все собственные подгруппы которых обладают некоторым свойством £2, которым сами группы не обладают. Первыми такие группы стали исследовать Миллер и Морено, которые рассматривали неабелевы группы, все собственные подгруппы которых абелевы (или, иначе, минимальные не

2С-группы, где 2С- класс всех конечных абелевых групп) [50]. В 1924 году

О. Ю. Шмидт получил описание строения минимальных ненильпотентных групп [44], получивших название впоследствии групп Шмидта. Впоследствии, не ф-группы для некоторого класса групп ф изучали К. Дерк, Б. Хупперт,

С. А. Чунихин, Ю. А. Гольфанд, Л. А. Шеметков, А. И. Старостин, В. Н. Семенчук, В. А. Ведерников, В. Т. Нагребецкий и многие другие. Обобщением теории минимальных не ф-групп является теория минимальных не ф-классов (или иначе ф-критических классов), то есть таких классов групп, которые сами не содержатся в некотором классе ф, но у которых все собственные подклассы в ф содержатся.

В 30-ые годы после выхода работ Г. Биркгофа [45] и Б.Г.Неймана [51] теория классов групп выделилась как отдельное направление и начала интенсивно развиваться. Изначально, развитие этой теории было связано в основном с изучением различных классов групп, заведомо содержащих бесконечные группы (многообразия, квазимногообразия и др.). В 1963 году, после выхода работы В. Гашуца [48] началось интенсивное изучение различных классов конечных групп, ключевую роль среди которых заняли формации групп. Так возникло и начало развиваться новое научное 9 направление - теория формаций. Напомним, что класс групп называется формацией (Гашюц, [48]), если он замкнут относительно взятия гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений. Итоги развития теории формаций нашли отражение в работах [1,41,43,46,47]. Как отмечается в [43], при изучении формаций можно выделить два основных подхода. С одной стороны, можно ставить задачу изучения формаций, у которых некоторая выделенная система подформаций удовлетворяет определенным требованиям. С другой стороны, естественно выделять и изучать подформации заданной формации. Многочисленные исследования в этом направлении связаны с понятием минимальной не ф-формации. Пусть 0 - произвольная непустая совокупность формаций, ф - некоторый класс групп. 9-формация называется минимальной не ф-формацией [42] или иначе фо-критической формацией [21], если Ф, но все собственные 9-подформации из (5 содержатся в классе ф. В 1980 году Л.А.Шеметковым на VI Всесоюзном симпозиуме по теории групп была впервые поставлена проблема изучения Фе-критических формаций (см.

42]). Исследованием фе-критических формаций для определенных 0 и ф занимались А. Н. Скиба, А. Ф. Васильев, С. Ф. Каморников, В. Н. Семенчук, Е. А. Таргонский, В. М. Селькин, В. Г. Сафонов и другие. А. Н. Скибой получено решение этой проблемы в случае, когда 9 - совокупность всех локальных формаций, а ф£0 - формация классического типа.

В. А. Ведерниковым и М. М. Сорокиной решена задача J1. А. Шеметкова для композиционных и композиционных (нормально) наследственных формаций [3,4,30,31]. В последние годы интенсивно исследовались частично локальные и частично композиционные формации (см., например, [2,28,29]). В работе [2] В. А. Ведерниковым и Д. Г. Коптюх изучены ^-композиционные наследственные критические формации. Исследованию со-локальных критических формаций посвящены работы В. М. Селькина и А. Н. Скибы (см., например, [16]). Введенная в 1999 году В. А. Ведерниковым концепция частичной веерности и частичной расслоенности позволила на языке функций описать все формации конечных групп [5,6,52]. Отметим, что локальные и композиционные формации являются частными случаями веерных и расслоенных формаций соответственно.

В данной диссертации рассматриваются ^-канонические и С!-биканонические критические формации. Здесь приводится описание строения минимальных П-канонических не ф-формаций, минимальных П-биканонических не ф-формаций, а также описание строения минимальных О-канонических нормально наследственных не ф-формаций и минимальных £2-биканонических нормально наследственных не ф-формаций. Тем самым решается задача Л. А. Шеметкова об изучении Фе-критических формаций в случае, когда 0 - класс всех П-канонических формаций, когда 0 - класс всех £2-биканонических формаций, а также, когда 9 - класс всех нормально наследственных ^-канонических (^-биканонических) формаций.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА

РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Общая проблема конструирования и

1 с* и классификации формации с определенными свойствами является одной из центральных задач теории классов конечных групп. Реализация этой задачи связана с идеей исследования формаций с заданными свойствами подформаций. На этом пути были выделены и описаны многие важные классы формаций, среди которых значительное место занимают Фе-критические формации, то есть такие 0-формации, не содержащиеся в классе групп ф, у которых все собственные 9-подформации содержатся в ф для некоторой непустой совокупности формаций 0. На VI Всесоюзном симпозиуме по теории групп Л. А. Шеметков впервые поставил общую проблему изучения Фе-критических формаций [42]. Решению этой проблемы посвящены работы

A. Н. Скибы Г 16,21-28 3 , Е. А. Таргонского [37-39], В. Г. Сафонова [И],

B. М. Селькина [12-15] и др., в которых исследовалось строение различных видов локальных критических формаций. После введения в рассмотрение В. А. Ведерниковым О-расслоенных формаций, появилась необходимость их исследования. П-канонические и О-биканонические формации являются частными случаями О-расслоенных формаций. Поэтому вопрос их изучения весьма актуален и перспективен в настоящее время. В данной диссертации решается проблема Л. А. Шеметкова для О-канонических (нормально наследственных) формаций, а также для О-биканонических (нормально наследственных) формаций

Цель и задачи исследования - построение общей теории критических О-канонических, критических О-бикинонических, критических О-канонических нормально наследственных и О-бикинонических нормально наследственных формаций.

Научная новизна полученных результатов. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Практическая значимость полученных результатов. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в исследованиях по теории, классов групп, в частности, при дальнейшем изучении веерных и расслоенных формаций, при исследовании различных видов критических формаций. Полученные результаты могут быть использованы также при чтении спецкурсов в университетах и пединститутах для студентов математических специальностей.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

1) Описание минимальных П-канонических не ф-формаций.

2) Описание минимальных С2-биканонических не ф-формаций.

3) Описание минимальных Г2-канонических нормально наследственных не ф-формаций.

4) Описание минимальных О-биканонических нормально наследственных не ф-формаций.

Личный вклад соискателя. Все основные результаты диссертации получены автором самостоятельно.

Апробация результатов диссертации. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры естественнонаучных дисциплин филиала Брянского государственного университета в г. Новозыбкове, на Третьей Международной алгебраической конференции в Украине (Сумы, 2001 г.), на Международном семинаре по теории групп, посвященному 70-летию А. И. Старостина и 80-летию Н. Ф. Сесекина (Екатеринбург, 2001 г.), на Международной математической конференции, посвященной столетию начала работы Д. А. Граве в Киевском университете (Киев, 2002 г.), на Международной алгебраической конференции, посвященной памяти 3. И. Боревича (Санкт-Петербург, 2002 г.).

Опубликованность результатов. Все основные результаты диссертации опубликованы в статьях [17,32,33] и тезисах конференций [18,34-36].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из перечня определений и условных обозначений, введения, общей характеристики работы, четырех глав основной части, выводов и списка используемых источников в количестве 52 наименований. Объем диссертации - 97страниц.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю - доктору физико-математических наук, профессору Виктору Александровичу Ведерникову, а также кандидату физико-математических наук, доценту Марине Михайловне Сорокиной за внимание, оказанное при написании данной диссертации.

выводы

1) В диссертации получено описание минимальных ^-канонических не ф-формаций для произвольной ^-канонической формации ф.

2) получено описание минимальных Ф-биканонических не ф-формаций для произвольной П-биканонической формации ф.

3) получено описание минимальных □-канонических нормально наследственных не ф-формаций для произвольной ^-канонической нормально наследственной формации ф.

4) получено описание минимальных П-биканонических нормально наследственных не ф-формаций для произвольной £2-биканонической нормально наследственной формации ф.

1. Ведерников В. А. Элементы теории классов групп. Смоленск: Смоленский госпединститут, 1988. - 122 с.

2. Ведерников В.А., Коптюх Д.Г. Частично композиционные формации групп. Препринт. Брянск: БГПУ, 1999. - № 2. - 28 с.

3. Ведерников В. А., Сорокина М. М. Композиционные и локальные наследственные критические формации // Ред. журн. "Сибир. матем. ж.". -Новосибирск, 1998. 19 с. - Деп. в ВИНИТИ 8.01.98. - № 25. - В.98.

4. Ведерников В. А., Сорокина М. М. Композиционные наследственные критические формации // Вопросы алгебры. Гомель: Изд-во Гомельского ун-та, 1997. Вып. 11. - С. 6 -18.

5. Ведерников В. А., Сорокина М. М О-расслоенные формации и классы Фиттинга конечных групп // Дискретная матем., 2001. Т. 13, № 3. С. 125-144.

6. Ведерников В. А., Сорокина М. М оз-веерные формации и классы Фиттинга конечных групп // Матем. заметки, 2002. Т. 71, № 1. С. 43-60.

7. Горенстейн Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию. М.: Мир, 1985.-352 с.

8. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982.

9. Кострикин А. Н. Введение в алгебру. М.: Наука, 1997. 496 с.

10. Нейман X. Многообразия групп. М.: Мир, 1969. - 264 с.

11. Сафонов В. Г. О минимальных кратно локальных не ф-формацияхконечных групп. // Вопросы алгебры. Гомель: Изд-во Гомельского ун-та, 1995.-Вып. 8.-С. 109-138.

12. Селькин В. М. О критических формациях // Вопросы алгебры. Гомель: Изд-во Гомельского ун-та, 1996. Вып. 9. - С. 120-141.

13. Селькин В. М. О минимальных локальных нормально наследственных неф-формациях // Вести АН РБ. Сер. физ.-мат. н. - 1996. - № 3. - С. 73 - 83.

14. Селькин В. М. Описание минимальных наследственных локальных не ф-дисперсивных формациях // Вестник БГУ. Минск. Университетское, 1995. №37.-С. 72-73.

15. Селькин В. М., Скиба А. Н. О наследственных критических формациях h Сибирский матем. журнал. 1996. № 5. - С. 1145 - 1153.

16. Селькин В. М., Скиба А. Н. ф0со-критических формациях // Вопросыалгебры. Гомель: Изд-во Гомельского ун-та, 1999. - Вып. 14. - С. 127-131.

17. Силенок Н. В. Минцмллшые Цор/пдльно н/чсле^ (V\y¿Httbie we ^СрОрГАА^ЦЦ ^р.НЗДИЫЯ'1, Г^ЙПП г.;, j¡\ >.">, i

18. Соллекьаюго гос. 'им. ^-'^-ориньц J-^^feonpwsw ш^^ак^ть-ц

19. Силенок Н. В. О критических П-канонических нормально наследственных формациях // Международная алгебраическая конференция, посвященная памяти 3. И. Боревича: Тез. докл. Санкт-Петербург, 2002. -С. 61-62

20. Скачкова Ю. А. Решетки П-расслоенных формаций // Дискретная математика. Том 14. Выпуск 2, 2002. С. 85 - 94.

21. Скиба А. Н. Алгебра формаций. Мн.: Беларусская навука, 1997. - 240 с.

22. Скиба А. Н. О критических формациях // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. н., 1980. - № 4. - С. 27 - 33.

23. Скиба А. Н. О критических формациях // Докл. АН БССР 1983. - Т. 27, № 9.-С. 780-782.

24. Скиба А. Н. О минимальных локальных не тс-сверхразрешимых формациях //Вопросы алгебры. Минск: Изд-во "Университетское", 1985.-№ 1.-С. 105 — 112.

25. Скиба А. Н. О минимальных s-замкнутых локальных не л-сверхразрешимых формациях // Исследование нормального и подгруппового строения конечных групп. Минск: Наука и техника, -1984. - С. 53 - 58.

26. Скиба А. Н. О формациях, порожденных классами групп //Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. н. 1981. - № 3. - С. 33 - 39.

27. Скиба А. Н. О формациях с заданными системами подформаций !) Подгрупповое строение конечных групп. Минск: Наука и техника, 1981. - С. 155- 180.

28. Скиба А. Н. Формации со сверхразрешимыми локальными подформациями // Группы и другие алгебраические системы с условиями конечности. Новосибирск: Наука. - 1984. - Т. 4. - С. 101-118.

29. Скиба А. Н, Шеметков JL А. Частично композиционные формации конечных групп. Докл. HAH Беларуси, 1999, 43, № 4. С. 5 - 8.

30. Скиба А. Н, Шеметков JL А. Кратно со-локальные формации и классы Фиттинга конечных групп. Матем. труды, 1999, 2, № 1. С. 1 - 34.

31. Сорокина М. М. О композиционных и локальных критических формациях // Известия вузов. Математика. № 7, 2000. С. 1 - 8.

32. Сорокина М. М. О композиционных нормально наследственных критических формациях // Вопросы алгебры. Гомель: Изд - во Гомельского ун - та, 1998. Вып. 12. - С. 22 - 35.

33. Сорокина М. М., Силенок Н. В. Критические Q-биканонические нормально наследственные формации конечных групп // Известия Гомельского гос. ун-та им. Ф. Скорины, 5(14), Вопросы алгебры. 18, 2002. С. 125- 133.

34. Сорокина М. М., Силенок Н. В. Критические П-расслоенные формации конечных групп // Математические заметки. Том 72. Выпуск 2, август 2002. -С. 269-282.

35. Сорокина М. М., Силенок Н. В. О критических Q-биканонических нормально наследственных формациях // Международная математическая конференция, посвященная столетию начала работы Д. А. Граве в Киевском университете: Тез. докл. Киев, 2002. - С. 125 - 126.

36. Сорокина М. М., Силенок Н. В. О П-канонических и Н-биканоническихкритических формациях // Материалы Международного семинара по теориигрупп, посвященного 70-летию А. И. Старостина и 80-летию Н. Ф. Сесекина:

37. Тез. докл. Екатеринбург, 2001. - С. 208 - 209.95

38. Сорокина М. М., Силенок Н. В. О П-канонических критически: формациях // Третья международная алгебраическая конференция в Украине Тез. докл. Сумы, 2001. - С. 253.

39. Таргонский Е. А. О локальных формациях с нильпотентным! немаксимальными собственными локальными подформациями // Вопрось алгебры. Минск. Изд-во "Университетское", 1985. - № 1.- С. 118 - 124.

40. Таргонский Е. А. Локальные формации со сверхразрешимым! предмаксимальными локальными подформациями // Вопросы алгебры. -Минск. Изд-во "Университетское", 1986. № 2.- С. 20 - 34.

41. Таргонский Е. А. Неразрешимые локальные формации с системо! нильпотентных подформаций // Вопросы алгебры. Минск. Изд-в( "Университетское", 1987. - № 3.- С. 11 - 16.

42. Холл М. Теория групп. М.: ИЛ, 1962. 468 с.

43. Шеметков Л. А. Формации конечных групп. М.: Наука, 1978. - 274 с.

44. Шеметков Л. А. Экраны ступенчатых формаций // Тр. VI Всесоюзногс симпозиума по теории групп. Киев.: Наукова думка, 1980. - С. 37 - 50.

45. Шеметков Л. А., СкибаА. Н. Формации алгебраических систем. М. Наука, 1989.-264 с.

46. Шмидт О. Ю. Группы, все подгруппы которых специальные. Матем. сб., 1924.-с. 366-372.

47. Birkhoff G. On structure of algebral // Proc. Cartridge Phil. Soc. 1935. -V.31.-P. 433-454.

48. K. Doerk and T. Hawkes Finite soluble groups. Walter de Grunter, Berlin. New York, 1992.-889 p.

49. Gaschutz W. Lectures on subgroups of Sylow type in finite soluble groups h Notes in Pure Mathematics. Canberra : Austral. Nat. Univ. - 1979.- V. 11.100 p.

50. Gaschutz W. Zur Teorie der endlichen auflösbaren Gruppen // Math. Z. 1963. Bd. 80, № 4.-P. 300-305.

51. Huppert B. Endliche Gruppen, I. Berlin; Heidelberg; New York : Springer. 1967.-793 p.

52. Miller G. A., Moreno H. Nonabelian groups in which every subgroup is abelian. Trans. Amer. Math. Soc., 1903. - 398 - 404 p.

53. Neumann B. H. Identical relations in groups. I // Math. Ann. 1937. - V. 114.-P. 506-525.

54. Vedernikov V.A. Maximal Satellites of Q-Foliated Formations and Fitting Classes. // Proc. of the Steklov Institute of Math. Suppl. 2. 2001. P. 217-233.1. ГОСУДАРС" .л.'" БПБЛИОГГ^- G