Расслоенные формации мультиоператорных Т-групп и их применения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

005014227

Демина Екатерина Николаевна

РАССЛОЕННЫЕ ФОРМАЦИИ МУЛЬТИОПЕРАТОРНЫХ Т-ГРУПП И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 5:\\? 2012

Москва - 2012

005014227

Работа выполнена на кафедре алгебры, геометрии и методики их преподавания института математики и информатики ГВОУ ВПО г. Москвы "Московский городской педагогический университет"

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Ведерников Виктор Александрович

Официальные оппоненты: Кожухов Игорь Борисович

доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО "Национальный исследовательский университет "МИЭТ", профессор кафедры высшей математики Л"» 1 факультета микроприборов и технической кибернетики Чубаров Игорь Андреевич кандидат физико-математических наук, доцент, ФГОУ ВПО "Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова", доцент кафедры высшей алгебры механико-математического факультета

Ведущая организация: ФГБУН Институт математики и механики

Уральского отделения

Российской академии наук (ИММ УрО РАН)

Защита состоится "02"апреля 2012 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 212.154.32 при Московском педагогическом государственном университете по адресу: 107140, г. Москва, ул. Краснопрудная, 14, математический факультет ФГБОУ ВПО МПГУ, ауд. 401.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО "Московский педагогический государственный университет "по адресу: 119991, г. Москва, ул. Малая Пироговская, д. 1.

Автореферат разослан "J2Ld— . 2012 г.

Ученый секретарь

/¿аС Муравьева О.В.

диссертационного совета ■> *

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Характерной чертой в общей теории алгебраических систем является рассмотрение их классов, в частности формаций алгебраических систем. Напомним, что класс алгебраических систем называется формацией, если он замкнут относительно гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений. Понятие формации конечных групп было введено в 1963 году Гашюцем В. Он определил локальные формации, используя функцию, отображающую множество простых чисел во множество формаций конечных групп. В 1974 году Шеметков JI.A. ввел принципиально новые спутники, отображающие множество всех конечных простых групп во множество формаций конечных групп. Формации со спутниками такого вида называются композиционными. Шеметковым Л.А. были также определены ступенчатые, примарно постоянные и однородные формации конечных групп.

Идея построения новых видов формаций и классов Фиттинга привела к необходимости рассмотрения ш-спутников (П-спутников) различных направлений, причем направление П-спутника / определяется как отображение класса 3 всех конечных простых групп во множество всех непустых формаций Фиттинга. Ясно, что таких направлений существует бесконечное множество, и, значит, для фиксированного непустого класса конечных простых групп Q можно построить бесконечное множество новых видов формаций, получивших в работе Ведерникова В.А. и Сорокиной М.М. (2001) название fi-расслоенных формаций конечных групп.

Эта работа имела принципиальное значение для дальнейшего развития теории формаций и классов Фиттинга. Введенное понятие ii-расслоенной формации конечных групп позволило не только с единых позиций изучать ранее определенные типы формаций, но и свести бесконечное множество новых типов формаций, путем задания направления. Наибольшие применения среди новых типов формаций нашли П-канонические и П-биканонические формации конечных групп, направления которых интегрируют в себе основные признаки направлений локальной и композиционной формаций. В последние годы интенсивно исследуются частично локальные (ш-локальные) и частично композиционные (^-композиционные) формации и классы Фиттинга конечных групп. Изучению свойств расслоенных формаций и классов Фиттинга конечных групп посвящен ряд работ Ведерникова В.А., Бловикова A.B., Камозиной О.В., Кор-пачевой М.А, Силенок Н.В., Скачковой Ю.А., Сорокиной М.М. и др.

Одним из основных подходов к изучению формаций является исследование свойств решеток их подформаций. Для любых двух формаций и fo полагают Ji А $2 = П fo, 3i V = formal U fo). Всякое множество формаций, замкнутое относительно операций Л и V, является решеткой. Существует большое число работ Ведерникова В.А., Воробьева H.H., Егоровой В.Б., Сафонова В.Г., Скачковой Ю.А., Сорокиной М.М., Скибы А.Н., Шеметкова Л.А.,

з

Эйдинова М.И. и др., посвященных таким свойствам решеток как полнота, модулярность, алгебраичность и дополняемость. Например, Шеметков JI.A. и Скиба А.Н. получили результаты о модулярности и алгебраичности решеток всех формаций конечных групп, всех n-кратно локальных формаций конечных групп. Скиба А.Н. изучил n-кратно локальные формации конечных групп, у которых решетка n-кратно локальных подформаций булева. Модулярность решетки всех тотально насыщенных формаций конечных групп доказана Сафоновым В.Г. Свойства полноты, модулярности и алгебраичности решетки п-кратно ii-расслоенных формаций конечных групп изучены Ведерниковым В.А., Коп-тюх Д.Г., Егоровой В.Е. и Скачковой Ю.А. Кроме того, Скачковой Ю.А. исследованы булевы решетки п-кратно ii-расслоенных формаций конечных групп.

Свойства полноты и модулярности решетки формаций дают возможность рассматривать длину формации. Понятие длины формации было введено Ски-бой А.Н. (1986), им изучены локальные формации конечных групп ¿-длины 5. fi-расслоенные формации конечных групп длины 3 исследовались в работах Ведерникова В.А. и Коптюх Д.Г. Формации конечных групп с дополняемыми подформациями длины 3 изучены Ведерниковым В.А.

В различных приложениях теории классов алгебраических систем часто приходится использовать формации, замкнутые относительно той или иной совокупности подсистем. Понятие подсистемного функтора (в терминологии Ски-бы А.Н.) охватывает все рассматриваемые при этом совокупности подсистем. Это позволяет наряду с организующими возможностями подсистемных функторов использовать их как аппарат исследования классов алгебраических систем. Пусть каждой алгебраической системе А класса X сопоставлена некоторая совокупность ее подсистем т(А). Будем говорить, что г - подсистемный функтор на X, если выполняются следующие условия: 1) А € т(Л) для любой алгебраической системы AgX\2) для любого эпиморфизма ip : А —> В, где А, В € X, и любых алгебраических систем Я 6 т(А) и К 6 т(В) имеет место Н^ € т(В) и К^ € т (Л). Результаты исследования т-замкнутых формаций конечных групп и их решеток содержатся в работах Воробьева H.H., Егоровой В.Е., Жизнев-ского П.А., Корпачевой М.А., Сафонова В.Г., Сорокиной М.М., Царева A.A., Шабалиной И.П. и др. Например, свойства решеток всех т-замкнутых тотально насыщенных формаций и всех r-замкнутых тотально канонических формаций конечных групп установлены в работах Сафонова В.Г. и Егоровой В.Е. соответственно. Воробьевым H.H., Царевым A.A. и Жизневским П.А. изучены свойства решетки всех т-замкнутых п-кратно w-композиционных формаций конечных групп.

Следует отметить, что до настоящего времени П-расслоенные формации были построены лишь для класса конечных групп. Однако дальнейший анализ понятия расслоенности формации конечных групп и групп, обладающих конечными композиционными рядами, проделанный Ведерниковым В.А., пока-

зал, что понятие расслоенности формации носит более универсальный характер и может быть вполне применено к построению расслоенных формаций универсальных алгебр, обладающих условиями минимальности и максимальности для идеалов. Поэтому рассмотренная в настоящей диссертации задача построения ^-расслоенных формаций для класса мультиоператорных Т-групп с конечными композиционными рядами является актуальной.

Аддитивная группа б с нулевым элементом 0 называется мулътиоператор-пой Т-группой с системой мультиоператоров Т (или, коротко, Т-группой), если в С задана еще некоторая система п-арных алгебраических операций Т при некоторых п, удовлетворяющих условию п > 0, причем для всех t 6 Т выполняется условие ¿(0,..., 0) = 0, где слева элемент 0 стоит п раз, если операция £ п-арна. Заметим, что мультиоператорные Т-группы объединяют в себе такие понятия как группы, кольца, модули и мультикольца. Для указанных алгебр результаты данной диссертации будут справедливы как следствия.

Кроме того, в диссертации получено описание минимальных и полных спутников для основных классов П-расслоенных формаций мультиоператорных Т-групп, обладающих композиционными рядами, установлено применение Г2-спутников к исследованию свойств решеток и произведений таких формаций, изучены Г^-расслоешше т-замкнутые формации мультиоператорных Т-групп, удовлетворяющих условиям минимальности и максимальности для Т-подгрупп, и их решетки - все это также принадлежит к современному направлению теории алгебраических систем и их классов.

Целью данной работы является построение различных классов П-расслоен-ных формаций мультиоператорных Т-групп с конечными композиционными рядами, описание строения их минимальных и полных П-спутников, изучение произведений и свойств решеток таких формаций, а также исследование ^-расслоенных т-замкнутых формаций мультиоператорных Т-групп, удовлетворяющих условиям минимальности и максимальности для Т-подгрупп, и их решеток.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1) построить различные классы расслоенных формаций мультиоператорных Т-групп, обладающих композиционными рядами; дать описание строения их минимальных и полных спутников, а также установить применение спутников к исследованию свойств решеток и произведений таких формаций;

2) изучить полные, модулярные, алгебраические и булевы решетки П-рас-слоенных формаций мультиоператорных Т-групп с конечными композиционными рядами; получить полное описание Г2-расслоенных формаций мультиоператорных Т-групп с конечными композиционными рядами, имеющих длину <2;

3) построить различные классы расслоенных т-замкнутых формаций муль-тиоператорных Т-групп, удовлетворяющих условиям минимальности и максимальности для Т-подгрупп;

4) исследовать полные, модулярные, алгебраические и булевы решетки Пх-расслоенных т-замкнутых формаций мультиоператорных Т-групп, удовлетворяющих условиям минимальности и максимальности для Т-подгрупп; установить полное описание ^^расслоенных т-замкнутых формаций мультиоператорных Т-групп, удовлетворяющих условиям минимальности и максимальности для Т-подгрупп, с длиной < 2.

Объектом исследования являются расслоенные формации мультиоператорных Т-групп, обладающих композиционными рядами, и расслоенные т-замкнутые формации мультиоператорных Т-групп, удовлетворяющих условиям минимальности и максимальности для Т-подгрупп.

Предметом исследования являются минимальные спутники, произведения и решетки расслоенных формаций мультиоператорных Т-групп с конечными композиционными рядами, а также решетки расслоенных г-замкнутых формаций мультиоператорных Т-групп, удовлетворяющих условиям минимальности и максимальности для Т-подгрупп.

Методы исследования. В работе использовались методы общей теории алгебраических систем, теории классов алгебраических систем, а также методы общей теории решеток.

Основные положения, выносимые на защиту:

1) описание различных классов расслоенных формаций мультиоператорных Т-групп, обладающих композиционными рядами; описание строения их минимальных и полных спутников, а также произведений таких формаций;

2) полнота, модулярность и алгебраичность решетки всех п-кратно П-расслоенных С-формаций для любого п € N0 с направлением (р, щ < ц>\ описание п-кратно О-расслоенных С-формаций с П^-длиной < 2, где п е N0 и (ро < 1р\ описание п-кратно П-расслоенных ^-формаций с г-направлением <р, таким, что <р{А) С Са'^а для всех А € 3, у которых решетка всех п-кратно П-расслоенных подформаций с направлением <р является булевой, где £ - класс всех мультиоператорных Т-групп с конечными композиционными рядами;

3) описание различных классов расслоенных г-замкнутых формаций мультиоператорных Т-групп, удовлетворяющих условиям минимальности и максимальности для Т-подгрупп;

, 4) полнота в Ш, модулярность и алгебраичность решетки всех п-

кратно ^-расслоенных г-замкнутых ЯЛ-формаций для любого п е N0 с направлением <ро < <р; описание п-кратно Г^-расслоенных т-замкнутых Ш-формаций с ^-длиной < 2, где п б N0 и у?0 < у; описание п-кратно IV расслоенных т-замкнутых ЯК-формаций с г-направлением <р, таким, что <р(А) С Ша>Ша для всех А £ 3\, у которых решетка всех п-кратно ^-расслоенных т-

замкнутых подформаций с направлением tp является булевой, где ЯЛ - класс всех мультиоператорных Т-групп, удовлетворяющих условиям минимальности и максимальности для Т-подгрупп.

Научная новизна полученных результатов. Все полученные результаты являются новыми. Важнейшие из них:

1) построены различные классы расслоенных формаций мультиоператорных Т-групп, обладающих композиционными рядами; дано описание строения их минимальных и полных спутников; установлено применение спутников к исследованию свойств решеток и произведений таких формаций;

2) показано, что решетка всех n-кратно П-расслоенных С-формаций для любого п € N0 с направлением <р, <ро < <Р, является полной, модулярной и алгебраической; получено полное описание n-кратно П-расслоенных С-формаций 5 с гПя»(3) < 2. где п 6 N0 и <р0 < Ч>\ изучены n-кратно П-расслоенные ^-формации с г-направлением таким, что ip(A) С для всех А е 3, у которых решетка всех п-кратно íí-расслоенных подформаций с направлением <р является булевой, где С - класс всех мультиоператорных Т-групп с конечными композиционными рядами;

3) построены различные классы расслоенных т-замкнутых формаций мультиоператорных Т-групп, удовлетворяющих условиям минимальности и максимальности для Т-подгрупп; дано описание строения их минимальных спутников; установлено применение спутников к исследованию свойств решеток таких формаций;

4) показано, что решетка tQ\F£ всех п-кратно Í7i-расслоенных т-замкнутых ЯЛ-формаций для любого п 6 N0 с направлением у?, ¥>0 < у», является полной в ЯЯ, модулярной и алгебраической; получено полное описание п-кратно fii-расслоенных т-замкнутых ЯП-формаций 3 с < 2, где п € N0 И <ро < <Р\ изучены п-кратно fii-расслоенные т-замкнутые ЯП-формации с г-направлением tp, таким, что tp{A) С ША'ША для всех А 6 Зь у которых решетка всех n-кратно П-расслоенных т-замкнутых подформаций с направлением <р является булевой, где ЯЯ - класс всех мультиоператорных Т-групп, удовлетворяющих условиям минимальности и максимальности для Т-подгрупп.

Практическая значимость полученных результатов. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут использоваться при изучении формаций алгебраических систем, а также при чтении спецкурсов, преподаваемых в госуниверситетах и пединститутах для студентов математических специальностей.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались автором на заседаниях кафедры алгебры, геометрии и методики их преподавания института математики и информатики Московского городского педагогического университета (2008-2011); на научно-практической конференции "Роль научных исследований в преподавании математических и естественно-

научных дисциплин"(Москва, 2009); на международной алгебраической конференции "Алгебра и ее приложения", посвященной 80-летию со дня рождения

A.И. Кострикина (Нальчик, 2009); на VIII международной школе-конференции "Теория групп и ее приложения", посвященной 75-летию В.А. Белоногова (Нальчик, 2010); на международной конференции "Алгебра, логика и приложения "(Красноярск, 2010); на международном алгебраическом симпозиуме, посвященном 80-летию кафедры высшей алгебры МГУ и 70-летию A.B. Михалева (Москва, 2010); на 42-ой Всероссийской молодежной школе-конференции "Современные проблемы математики"(Екатеринбург, 2011); на 8-ой международной алгебраической конференции в Украине, посвященной 60-летию со дня рождения

B.М. Усенко (Луганск, 2011); на международной конференции по алгебре и геометрии, посвященной 80-летию со дня рождения А.И. Старостина (Екатеринбург, 2011); на международной конференции "Алгебра и математическая логика", посвященной 100-летию со дня рождения В.В. Морозова (Казань, 2011); на международной конференции "Мальцевские чтения", посвященной 60-летию со дня рождения С.С. Гончарова (Новосибирск, 2011).

Опубликованность результатов. Основные научные результаты диссертации опубликованы в двух рецензируемых журналах [1-2], в материалах трех [35] и тезисах пяти [6-10] международных и всероссийских конференций, в одной депонированной работе [11], в одном сборнике трудов [12] и в одном препринте [13].

Личный вклад. Все основные результаты диссертации получены автором самостоятельно или при непосредственном его участии.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из перечня определений и условных обозначений, введения, общей характеристики работы, пяти глав основной части, заключения и списка использованных источников, расположенных в алфавитном порядке в количестве 70 наименований. Объем диссертации - 120 страниц.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность исследований и важность рассмотренных вопросов, приводится обзор научной литературы по изучаемой проблеме и формулируется цель диссертационной работы.

Глава 1 содержит обзор основных результатов диссертации.

В главе 2 собраны некоторые известные результаты, используемые в основном тексте диссертации.

Глава 3 посвящена построению различных классов расслоенных формаций мультиоператорных Г-групп с конечными композиционными рядами, описанию строения их минимальных и полных спутников, произведений таких формаций. Эта глава состоит из четырех разделов.

8

Функциональный подход, примененный Ведерниковым В.А. и Сорокиной М.М. к изучению свойств формаций конечных групп, также может быть использован для изучения формаций мультиоператорных Т-групп, принадлежащих классу £ всех мультиоператорных Т-групп с конечными композиционными рядами, которые определены в разделе 3.1.

3.1.4. Определение. Формация р) = (Се£: в/О^в) е ДГ2') и б/С^д) е ¡{А) для всех А € О П Л(С)), где / - Ш^-функция, </> - № функция, называется Г2-расслоенной формацией Т-групп с П-спутником / и направлением <р.

Задавая конкретное направление <р, в работе определены П-свободная (щ{А) =

для любого А Е 3), П-каноническая = Сд>£д для любого А е 3) и

П-биканоническая (^(А) = Сд- для любой Т-группы Л £ 3\2( и (/'г(Л) = для любой Г-группы А 6 3 П 21) С-формации (определение 3.1.6). Все перечисленные множества П-расслоенных формаций уже в классе всех конечных групп являются попарно различными.

Через П^ обозначим множество всех п-кратно Г2-расслосиных С-формаций, - пересечение всех П^-формаций, содержащих непустое множество С-групп X. Через Г1Ргп, ПКп и ПВ„ обозначаются множества всех п-кратно П-свободных, п-кратно П-канонических и п-кратно П-биканонических ^-формаций соответственно. Положим (П-Р»«,, О.К^ и ПВ«,) - множество всех тотально П-расслоенных (П-свободных, П-канонических и П-биканоничес-ких) ^-формаций.

В изучении строения П-расслоенных ^-формаций существенную роль играют их минимальные и максимальные П-спутники, вопросу существования и единственности которых посвящены разделы 3.2 и 3.3 соответственно.

3.2.7. Следствие. Пусть X - непустой класс С-групп. Тогда п-кратно П-расслоениая ^-формация £ = №„(Х, <р), где п € N и <ро < V» обладает единственным минимальным -спутником / таким, что f(Q,') = : О € Х),<р), }{А) = ПРп^ЦС/С^а) : в е 3),<р) для всех А € П П Д(2) и /(Л) = 0, если Л е П\Д(ЗЕ).

Аналогичные утверждения для ?^г„-формации, П.ЙГп-формации и ПВп-формации (П^-формации, П-Рг«,-формации, ПК^-формации и ПВоо-форма-ции) получены в следствиях 3.2.13,3.2.15 и 3.2.17 (следствиях 3.2.8, 3.2.14, 3.2.16 и 3.2.18) соответственно.

Для существования полного и максимального П-спутников П-расслоенной ^-формации приходится накладывать более серьезные ограничения на направление {р, нежели 1ро < <р.

Пусть ^ - Г^-расслоештя С-формация с направлением <р таким, что < <Р, и минимальным П-спутником /. П-спутник Ь, П-расслоенной £-формации 5 назовем полным, если Л(П') = £ и Л(А) = Сд/(Л) для любого А € П ГШ.

3.3.6. Следствие. Пусть п-кратно (тотально) П-расслоенпая С-форма-ция с Ьп-направлением <р таким, что <р0 < ¡р. Тогда 3" обладает единственным полным {¡-спутником Л таким, что /г(Л) = 5 для любого А € П\21.

В качестве следствий установлено существование и единственность полных внутренних П-спутников £Ж„-формации (О/Схгформации) и ПВ„-формации (ПВет-формации) (следствия 3.3.10 и 3.3.12 соответственно).

3.3.16. Следствие. Пусть $ -п-кратно (тотально) Г2-расслоенная С-форма-ция с п-направлением <р таким, что щ < ¡р. Если П П 21 = 0, го 5 обладает единственным максимальным внутренним П-спутником Л таким, что Л(Л) = 5 для любого А £ {£)'} и П.

Строение и единственность максимальных внутренних О-спутников fi.Fr,,-формации (Г^^Гоо-формации) и ПЛ„-формации (ПДс-формации) содержатся в следствиях 3.3.20 и 3.3.22 соответственно. Заметим, что вопрос существования единственного максимального внутреннего ^-спутника для П-расслоенной С-формации с произвольным направлением <р, щ < у, остается открытым (вопрос 3.3.24). Хотя в классе всех конечных групп ответ на него получен для ^-свободной, П-канонической, П-биканопической и П-композиционной формаций.

Строение минимальных П-спутников Л-расслоенных С-формаций находит применение к исследованию свойств произведений таких формаций. В разделе 3.4 показано, что при п > 1 множество всех п-кратно П-расслоенных ^-формаций, обладающих П-Р^-спутником, является моноидом относительно операции умножения формаций для бесконечного множества г-направлений ¡р, где ¡Р < ¡Р2 ИЛИ 1р = 1р2-

Напомним, что о $ = (СИ : <3® £ называется формационным произведением С-класса /) и С-формации

3.4.5. Следствие. Пусть тик- внутренние Q-cпyтники -формаций (О.Р^-формаций) 9Я и 5) соответственно с г-направлением ц> < ц>2- Тогда У = ЯЛ о & является -формацией (ОР^-формацией) с направлением ¡рис внутренним П-спутником / таким, что /(&) = /(Л) = тп(А) о для всех А е Л (ЯЛ) ПО и /(Л) = Л(Л) для всех А € П\Л(®1).

Так как <ро < <р2, то следствие 3.4.5 будет выполняться для Г2.Гг„-форма-ции (П^Гоо-формации) и ПВ„-формации (ПВ^-формации) (следствие 3.4.8 и 3.4.10 соответственно). В силу следствия 3.4.3 следствие 3.4.5 будет справедливо для ПКп-формации (ОЯ^-формации), хотя ^ > уь Однако, вопрос определения произвольных г-направлений у > <р2, для которых множество является моноидом для любого остается открытым (вопрос 3.4.12).

Глава 4 посвящена исследованию и применению свойств решетки кратно Л-расслоенных формаций мультиоператорных Т-групп, обладающих композиционными рядами. В состав данной главы входят три раздела.

ю

В качестве следствий из основного результата раздела 3.2 (теоремы 3.2.4) установлены свойства полноты и модулярности решетки П^ всех п-кратно Г2-расслоенных ^-формаций, где п 6 N0 и ^о < Ч>-

Пусть £ - непустая подформация в С, 9 - непустое множество ¿-формаций. Множество в называется полной решеткой формаций в £, если {0, (0), £} С в и пересечение любой совокупности ©-формаций принадлежит ©. Если £ = С, то полную решетку 0 в С будем коротко .называть полной решеткой.

3.2.6. Следствие. является полной решеткой для любого п € 1Ч0 и любого направления (р.

3.2.26. Следствие. П^ является модулярной решеткой для любого п £ N0 и любого направления <р, <ро < <р.

Полнота и модулярность решеток П-Гг„, 0,КП и ГШП для любого и 6 N0 установлены в следствиях 3.2.12 и 3.2.27 соответственно.

Свойства полноты и модулярности решетки формаций позволяют рассматривать понятие длины формации, введенное Скибой А.Н. В разделе 4.1 получено полное описание п-кратно П-расслоенных С-формаций 5 с < 2, где п £ N0 и <ро <

Пусть 0 - полная модулярная решетка формаций мультиоператорных Т-групп, 0е - нуль решетки 0. Будем говорить, что ©-формация 5 ф 0е имеет 9-длину п и обозначать ¿в(3) = если существует такая совокупность 0-формаций ЗЬ, Зл, • •Зп, что Зо = О0, 5„ = 5 и £¡-1 - максимальная 0-подформация 0-формации г = 1,..., п.

4.1.2. Лемма. Пусть 3 - непустая С-формация из где п € N0 и ¥>о < V- Тогда и только тогда ^пкКЗ) = 1, когда 3 = (0).

4.1.3. Лемма. Пусть 3 - непустая С-формация из где п € N0 и 1ро < ц>. Если /щ^(3) = к, где к б Ч то 3 = у), где в - ¿-группа.

4.1.7. Теорема. Пусть 3 - непустая ненулевая С-формация из где п 6 N0 и (р0 < <р. Тогда и только тогда = 2> когда 3 = Ф), где А - простая С-группа.

В качестве следствий аналогичные леммам 4.1.2 - 4.1.3 и теореме 4.1.7 утверждения будут справедливы для решеток МРгп, О.Кп и ПВ„, где п£ N0 (замечание 4.1.8).

Важным свойством решетки является ее алгебраичность. В разделе 4.2 установлена алгебраичность решетки всех п-кратно П-расслоенных ¿-формаций для любого п е N0 и любого направления уз, 1ро < <р, компактными элементами которой являются однопорожденные ПГ^-формации.

Пусть Ь - полная решетка и о б Ь. Элемент а называется компактным, если для любого подмножества X С Ь из а < зирХ следует а < вирХх для некоторого конечного подмножества Х1 С X.

Полная решетка называется алгебраической, если любой ее элемент является решеточным объединением компактных элементов.

и

4.2.5. Теорема. Решетка где п £ N0 и <ро < <Р, является алгебраической.

Алгебраичность решеток $1Кп и для любого п € N0 установлена в следствии 4.2.6.

Исторически теория решеток начала свое развитие с булевых (дистрибутивных) решеток. Изучению п-кратно П-расслоенных С-формаций с г-направлени-ем ц>, таким, что 1р{А) С Са'^а для всех А €3, у которых решетка всех

п-кратно ^-расслоенных С-подформаций с направлением р является булевой, посвящен раздел 4.3.

Решетку 0 назовем ограниченной, если Ое 6 в и существует $ £ © такая, что для произвольной € 0 выполняется С 5.

Ограниченную решетку 0 будем называть решеткой с дополнениями, если для любой непустой 03 е 0 существует # 6 9 такая, что 58А^ = Ое и 93Уе# =

где 3" - максимальный элемент решетки 0.

Решетка называется булевой, если она дистрибутивна и является решеткой с дополнениями.

Напомним, что С-формация ©<6/& = {Д, + А^ + ... + 6 €

I,] = 1,2,...,п,п € К}, где {&|г € /} - набор С-формаций таких, что & П

= (0),г,^ 6 1,г т^ ], и Д-, + Д-2 + ... + Дп- внешняя прямая С-групп Л;., ; = 1,2,...,п.

Элемент 93 решетки 0 с нулем Ое называется атомом, если 93 ^ Ое и Ое £ £ где 6 0, влечет, что 55 = Ое или — 93.

4.3.17. Теорема. Пусть 5 € где уз - г-направление, такое что ¡р(А) С Ча'^-а Для любого А € 3. Тогда следующие условия равносильны:

(1) решетка ¿пят (5") булева;

(2) 5 = ©;е/3;, где {&|| € /} - набор всех атомов решетки ¿ад (5);

(3) в 5" дополняем каждый элемент решетки Ь^р* (5) •

В качестве множества в теореме 4.3.17 можно рассматривать решетки и Г2В„ (замечание 4.3.18).

Глава 5 посвящена построению различных классов расслоенных т-замкну-тых формаций мультиоператорных Т-групп, удовлетворяющих условиям минимальности и максимальности для Т-подгрупп, и исследованию свойств решетки таких формаций. Глава состоит из четырех разделов.

В некоторых приложениях теории классов алгебраических систем получили применение формации, замкнутые относительно той или иной совокупности подсистем. Все рассматриваемые при этом совокупности подсистем охватываются понятием подсистемного функтора (в терминологии работ Скибы А.Н.).

В разделе 5.1 построены ^^расслоенные формации мультиоператорных Т-групп, принадлежащих классу Ш всех мультиоператорных Т-групп, удовлетворяющих условиям минимальности и максимальности для Т-подгрупп.

Формация fiiF(f,<p) - (G e Ш : G/On,(G) e /(fii) и G/Gv{A) € f(A) для всех A € fii П Я((?)) называется Qi-расслоенной формацией Т-групп с fii-спутником / и направлением tp.

fil-свободная = для любого Л S 3j), fii-каноническая и fii-

биканоническая ЯЯ-формации определяются аналогичным, как в классе С, образом.

Формация Т-групп 5 называется т-замкнутой, если t(G) С $ для любой Т-группы С? Ç J. Формация ЯЯ является r-замкнутой для любого подгруппо-вого ЯЯ-функтора т. Будем называть fii-F-функцию т-замкнутой, если все ее значения являются т-замкнутыми ЯЛ-формациями.

Обозначим fii-расслоенную r-замкнутую ЯЯ-формацию через rfii-расслоен-ную ЯЯ-формацию. При n > 1 положим tQ\F% - множество всех п-кратно rfii-расслоенных ЯЯ-формаций с направлением tp, обладающих хотя бы одним rfiiF^Li-спутником. Через rfiiFrn, т£1\Кп и т£1\Вп обозначаются множества всех соответственно п-кратно rfii-свободных, п-кратно rfii-канонических и п-кратно rfii-биканонических ЯЯ-формаций.

5.1.4. Лемма. Для любого т-замкнутого класса Ш-групп X имеет место равенство rforrriX = formX.

Решетка rfiiF*' всех п-кратно fii-расслоенных т-замкнутых ЯЯ-формаций исследована в разделе 5.2, в котором изучены свойства полноты в ЯЯ, модулярности и алгебраичности такой решетки.

5.2.1. Теорема. Решетка tÇI\F% является полной в ЯЯ для любого n £ No и любого направления tp.

5.2.6. Теорема. Решетка rfiiF^ является модулярной для любого n £ No и любого направления tp, щ < tp.

5.2.8. Теорема. Решетка rfiiF%, где n 6 No и tpo < tp, является алгебраической.

Аналогичные теоремам 5.2.1, 5.2.6 и 5.2.8 утверждения, как следствия, будут справедливы для решеток fiiгде n 6 No и tpo < tp-, решеток rfiiFr„, rQ,\Kn, т$1\Вп и решеток fiiFrn, fliKn, fii-B„, где n e No; a также решеток всех ЯЯ-формаций и всех т-замкнутых ЯЯ-формаций (следствие 5.2.10).

Используя свойства полноты и модулярности решетки rfiiFjf всех п-кратно fil-расслоенных т-замкнутых ЯЯ-формаций, где п 6 No и tpo < tp, можно исследовать TfiiF^-длину таких формаций, что отражено в разделе 5.3.

5.3.1. Лемма. Пусть 5 ~ непустая т-замкнутая DJl-формация из t£1\F%, где n € N0 и <ро < tp. Тогда и только тогда (5) = 1> когда $ = (0).

5.3.2. Лемма. Пусть 5 - непустая т-замкнутая ПЯ-формация из riliF^, где п 6 No и tpo < tp. Если lTn,Kf (5) = k, где k e N, то tf = TfiiFn(G, <p), где G - Ш-группа.

5.3.4. Теорема. Пусть $ - непустая ненулевая т-замкнутая Ш-формацня из tQ.\F£, где n 6 No и щ < tp. Тогда и только тогда = 2, когда

5 = т£1\Рп{А, <р), где А - простая Ш-группа.

В качестве множества в леммах 5.3.1 - 5.3.2 и теореме 5.3.4 можно

рассматривать решетку где п е N0 и <ро < V! решетки т£1\Ргп, тО.\Кп,

тО,\Вп и решетки П1.Ргп, ПхАГп, 0.\ВП, где п 6 N0; а также решетки всех Ш-формаций и всех т-замкнутых ШТ-формаций (замечание 5.3.6).

Усиление свойства дистрибутивности решеток дает возможность рассматривать булевы решетки, чему посвящен раздел 5.4. В нем изучены п-кратно ^-расслоенные т-замкнутые ГОТ-формации с г-направлением <р, таким, что <р(А) С Ша'ЯМа для всех А е 01, у которых решетка Ьтп[к?(5) всех п-кратно расслоенных т-замкнутых £Щ-подформаций с направлением ¡р является булевой.

5.4.8. Теорема. Пусть $ е т£1\Р£, где уз -г-направление, такое что <р{А) С Ша'Ша для любого А е Зь Тогда следующие условия равносильны:

(1) решетка булева;

(2) 5 = ©¿е/&, где {&|г £ 1} - набор всех атомов решетки

(3) в $ дополняем каждый элемент решетки

В качестве множества т^Р^ в теореме 5.4.8 можно рассматривать решетку где п £ N0 и <р - г-направление, такое что ср(А) С а для любого Л £ Зь решетки т£1\Кп, тО.\Вп и решетки ^Ргп, ПхКщ В„, где п € N0; а также решетки всех ШТ-формаций и всех т-замкнутых ШТ-формаций (замечание 5.4.10).

Следует отметить, что в случае тривиального подгруппового С-функтора т аналогичные теоремам главы 5 результаты, содержатся в главах 3 и 4. Кроме того, в качестве класса Ш во всех утверждениях главы 5 можно рассматривать класс всех конечных мультиоператорных Т-групп или класс всех конечных групп, что приводит к получению большого числа следствий, обобщающих для класса £ всех конечных групп многие ранее известные результаты.

В заключении приведены основные результаты работы, которые заключаются в следующем:

1) построены различные классы расслоенных формаций мультиоператорных Т-групп, обладающих композиционными рядами; дано описание строения их минимальных и полных спутников, исследованы произведения таких формаций;

2) установлена полнота, модулярность и алгебраичность решетки всех п-кратно Я-расслоенных С-формаций для любого п € N0 с направлением Фо < V; получено полное описание п-кратно П-расслоенных ^-формаций с длиной < 2, где п € N0 и <ро < <р; изучены п-кратно Г2-расслоенные С-формации с г-направлением ¡р, таким, что <р(А) С для всех А € 3, у которых решетка всех п-кратно П-расслоенных подформаций с направлением ц> является булевой, где С - класс всех мультиоператорных Т-групп с конечными композиционными рядами;

3) построены различные классы расслоенных т-замкнутых формаций муль-тиоператорных Т-групп, удовлетворяющих условиям минимальности и максимальности для Т-подгрупп;

, 4) установлена полнота в 971, модулярность и алгебраичность решетки тГ2^ всех п-кратно П^расслоенных г-замкнутых ЯК-формаций для любого п € N0 с направлением (р, <ро < <р\ получено полное описание п-кратно П^расслоенпых т-замкнутых ЯК-формаций с т^^-длиной.< 2, где п 6 N0 и <р0 < <р; изучены п-кратно Г^-расслоенные т-замкнутые ЭЛ-формации с г-направлением <р, таким, что 1р{А) С ШдШа для всех А € З1, у которых решетка всех п-кратно П1-расслоенных т-замкнутых подформаций с направлением ¡р является булевой, где ЯК - класс всех мультиоператорных Т-групп, удовлетворяющих условиям минимальности и максимальности для Т-подгрупп.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Ведерников В.А., Демина E.H. П-расслоенные формации мультиоператорных Г-групп // Сибирский математический журнал. — 2010. — Т. 51. — № 5. — С. 990-1009. — 1.3 п.л. (авторский вклад 50 %).

2. Демина E.H. Решетки п-кратно Oi-расслоенных т-замкнутых формаций мультиоператорных Т-групп // Дискретная математика. — 2012. — Т. 24. — № 1. — С. 3-25. — 1 п.л.

3. Ведерников В.А., Демина E.H. Q-расслоенные формации и классы Фит-тинга Т-групп // Алгебра и ее приложения: труды межд. алг. конф., поев. 80-летию со дня рожд. А.И. Кострикина. — Нальчик: КБГУ, 2009. — С. 26-29. — 0.2 п.л. (авторский вклад 50 %).

4. Демина E.H. Булевы решетки кратно П-расслоенных формаций мультиоператорных Т-групп // Теория групп и ее приложения: труды восьмой межд. школы-конф., поев. 75-летию В.А. Белоногова. — Нальчик: КБГУ, 2010. — С. 8693. - 0.4 п.л.

5. Демина E.H. Алгебраические решетки кратно ^-расслоенных т-замкнутых формаций Т-групп // Алгебра и математическая логика: мат. межд. конф., поев. 100-летию со дня рожд. проф. В.В. Морозова, и мол. школы-конф. "Современные проблемы алгебры и математической логики"; Казань, 25-30 сентября 2011 г. - Казань: КФУ, 2011. - С. 88-89. - 0.1 п.л.

6. Демина E.H. Алгебраические решетки п-кратно П-расслоенных формаций мультиоператорных Т-групп // Алгебра, логика и приложения: тезисы докл. - Красноярск: СФУ, 2010. - С. 33-34. - 0.1 п.л.

15

7. Демина Е.Н. Кратно П-расслоенные формации мультиоператорных Т-групп длины 2 // Современные проблемы математики: тезисы 42-ой всеросс. мол. школы-конф. - Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2011. - С. 198-200. -0.2 п.л.

8. Demina E.N. Hi-foliated r-closed formations of T-groups // 8th International Algebraic Conference in Ukraine: book of abstracts. — Luhansk: LTSNU, 2011. — P. 97. - 0.1 п.л.

9. Демина Е.Н. Решетки кратно fii-расслоенных т-замкнутых формаций мультиоператорных Т-групп // Алгебра и геометрия: тезисы межд. конф. по алг. и геом., поев. 80-летию со дня рожд. А.И. Старостина; Екатеринбург, 22-27 августа 2011 г. - Екатеринбург: УМЦ УПИ, 2011. - С. 62-64. - 0.2 п.л.

10. Демина Е.Н. Булевы решетки кратно Пх-расслоенных т-замкнутых формаций Т-групп // Мальцевские чтения: тезисы докл. межд. конф., поев. 60-летию со дня рожд. С.С. Гончарова; Новосибирск, 11-14 октября 2011 г. — Новосибирск: ИМ СО РАН, 2011. — С. 37. URL: http://www.math.nsc.ru/conference/ malmeet/ll/malmeet2011.pdf (дата обращения 14.01.12). — 0.1 п.л.

И. Демина Е.Н. Решетки расслоенных формаций мультиоператорных Т-групп. - Москва: МГПУ, 2011. - 34 с. - Деп. в ВИНИТИ 15.12.11, № 539-В2011. - 2.1 п.л.

12. Демина Е.Н. Булевы решетки кратно П-расслоенных формаций мультиоператорных Т-групп // Сборник научных трудов преподавателей, аспирантов и студентов математического факультета. — М.: МГПУ, 2010. — С. 53-70. — 1.2 п.л.

13. Ведерников В.А., Демина Е.Н. П-расслоенные формации мультиоператорных Т-групп. Препринт № 4. — М.: МГПУ, 2009. — 27 с. — 1.7 п.л. (авторский вклад 50 %).

Подп, к печ. 27.02.2012 Объем 1 пл. Зак, № 58 Тир. 100 экз.

Типография МПГУ

61 12-1/703

Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования города Москвы "Московский городской педагогический университет"

На правах рукописи

Демина Екатерина Николаевна

РАССЛОЕННЫЕ ФОРМАЦИИ МУЛЬТИОПЕРАТОРНЫХ Т-ГРУПП

И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель -доктор физико-математических наук, профессор В.А. Ведерников

Москва - 2012

ОГЛАВЛЕНИЕ

Перечень определений и условных обозначений.........................4

Введение................................................................13

Общая характеристика работы.........................................19

Глава 1. Обзор результатов работы....................................26

Глава 2. Предварительные сведения...................................38

2.1. Методы доказательств..........................................38

2.2. Используемые результаты...................................—38

Глава 3. Расслоенные формации мультиоператорных Т-групп и их

применения..........................................................41

3.1. Расслоенные формации мультиоператорных Т-групп..........42

3.2. Минимальные спутники расслоенных формаций мультиоператорных Т-групп......................................................52

3.3. Полные спутники расслоенных формаций мультиоператорных Т-групп..............................................................62

3.4. Произведения расслоенных формаций мультиоператорных Т-групп .............................................................69

Глава 4. Решетки кратно ^-расслоенных формаций мультиоператорных Т-групп и их применения...........................................75

4.1. Длина кратно ^-расслоенной формации мультиоператорных Т-групп .............................................................75

4.2. Алгебраичность решетки кратно О-расслоенных формаций мультиоператорных Т-групп .......................................81

4.3. Булевы решетки кратно О-расслоенных формаций мультиоператорных Т-групп.....................................................85

Глава 5. Расслоенные т-замкнутые формации мультиоператорных

Т-групп и их решетки...............................................92

5.1. Расслоенные т-замкнутые формации мультиоператорных Т-групп..............................................................93

5.2. Полнота, модулярность и алгебраичность решетки кратно Г^-расслоенных т-замкнутых формаций мультиоператорных Т-групп .............................................................96

5.3. Длина кратно ^-расслоенной т-замкнутой формации мультиоператорных Т-групп ..............................................104

5.4. Булевы решетки кратно (^-расслоенных т-замкнутых формаций мультиоператорных Т-групп.......................................107

Заключение...........................................................113

Список используемых источников.....................................114

Перечень определений и условных обозначений

Рассматриваются мультиоиераторные Т-группы, обладающие композиционными рядами (главы 3 - 4), и мультиоператорные Т-группы, удовлетворяющие условиям минимальности и максимальности для Т-подгрупп (глава 5). Используемые в работе без ссылок определения и обозначения по теории алгебраических систем можно найти в [31, 33, 34, 35, 38, 50, 51, 63, 66], по теории классов алгебраических систем в [5, 37, 43, 58, 59], по теории решеток в [1, 17, 35, 50, 51].

Мультиоператорная Т-группа с системой мулътиоператоров Т (Т-группа) - аддитивная группа С с нулевым элементом 0, в которой задана еще некоторая система п-арных алгебраических операций Т при некоторых п, удовлетворяющих условию п > 0, причем для всех £ Е Т выполняется условие ¿(0,..., 0) = 0, где слева элемент 0 стоит п раз, если операция £ п-арна.

Мультиоператорная Т-группа удовлетворяет условию минимальности для Т-подгрупп, если всякий убывающий ряд ее Т-подгрупп Н\ 3 Нъ ~2 ■ • • обрывается, т.е. Нп = Нп+\ = ... при некотором п.

Мультиоператорная Т-группа удовлетворяет условию максимальности для Т-подгрупп, если всякий возрастающий ряд ее Т-подгрупп Н\ С #2 Я ■ • ■ обрывается, т.е. Нк = \ — ... при некотором к.

А <] (7 (идеал А Т-группы (7) - непустое подмножество А Т-группы (?, для которого выполняются следующие условия: 1) А является нормальным делителем аддитивной группы; 2) для всякой п-арной операции £ Е Т, любого элемента а Е А и любых элементов Х2, ■ ■ •, хп Е С при г — 1, 2,..., п имеет место включение —¿(жь Х2, ■ • •, хп) + ..., #¿-1» (а + жг+ъ • • • > хп) £ А-

{0} - нулевая Т-группа (нулевой идеал).

Простая Т-группа - ненулевая Т-группа (7, не содержащая идеалов, отличных от С и {0}.

Минимальный идеал Т-группы С - ненулевой идеал N в С, такой что из N1 с ТУ, ^ {0} и <1 С всегда следует = N.

Монолитическая Т-группа - ненулевая Т-группа, имеющая единственный минимальный идеал.

Нормальный ряд Т-группы - конечная система вложенных друг в друга Т-подгрупп Т-группы С вида {0} = Ао С А\ С ... С Ак-\ С Ак — С, где Т-подгруппа % = 1, 2,..., /г, является истинным идеалом в А^ (хо-

тя необязательно в А^ при ] > г); число /с - длина нормального ряда; ..., А1/А0 - факторы нормального ряда.

Композиционный ряд Т-группы - нормальный ряд Т-группы, не имеющий уплотнений, отличных от него самого.

Главный ряд Т-группы С - ряд идеалов Т-группы (? вида {0} = Ао С А\ С ... С А^-1 С Аи — С, где идеал А{)А^\ является минимальным в г — 1,2,... ,к; число к - длина главного ряда.

[А, В] (взаимный коммутант Т-подгрупп А я В Т-группы б?) - идеал Т-подгруппы А + В Т-группы С, порожденный множеством всех элементов следующих двух видов: 1) [а, Ь] = — а — Ь + а + Ъ, а 6 А, Ь £ В - коммутатором элементов а и 6; 2) [а\, 0,2,..., ап; 61, 62,..., = — ¿(«ь а2, • • •, ^п) — /(61, 62, • • • 7 + ¿(«1 + Ьь «2 + • • •; а>п + 6п), где £ - п-арная операция из Т, аь а2,..., а„ е Д 6Ь Ъ2,... ,Ьп £ В.

С (коммунант Т-группы С) - идеал Т-группы С вида С = [С, Сг].

Абелева Т-группа - Т-группа, коммутант которой равен {0}.

Класс Т-групп - множество Т-групп, которое вместе с каждой своей Т-группой содержит все изоморфные ей Т-группы.

(X) - класс мультиоператорных Т-групп, порожденный множеством Т-групп X.

С - класс всех мультиоператорных Т-групп с конечными композиционными рядами.

Ш - класс всех мультиоператорных Т-групп, удовлетворяющих условиям минимальности и максимальности для Т-подгрупп.

Х-группа - Т-группа, принадлежащая непустому множеству Т-групп X.

51 (2(1) - класс всех абелевых С-групп (ШТ-групп).

3 (З1)- класс всех простых С-групп (ЯЯ-групп).

^ (Г2х) - непустой подкласс класса 3 (Зг), О,1 — 3\0, = ЗДГ^).

Л(С) - класс всех простых С-групп (ЯЛ-групп), изоморфных композиционным факторам С-группы (ЯЯ-группы) 6?.

Я(Х) - объединение классов Я(С) для всех С из непустого множества С-групп (ЯЛ-групп) X.

0,-группа (Ох-группа) - С-группа (ЭДТ-группа) С, такая что Д(С) С О, {Я{в) С

£п (ЯЛ^) - класс всех ^-групп (Ох-групп), принадлежащих С (ЯЯ).

= (С : С имеет идеал N Е X с (?/А Е 2)), где X и 2} - С-классы.

т - подгрупповой ЗС-функтор, сопоставляющий всякой Т-группе из непустого класса Т-групп X некоторую систему ее Т-подгрупп т(Сг), так что: 1) С? Е т((?) для любой Т-группы С Е X; 2) для любого эпиморфизма яр : Л -)• В, где А, В е X, ж любых Т-групп Н Е т(А) я К £ т{В) имеет место Я^ Е т(Б) и АГ^1 Е г (А).

Формация Т-групп (корадикальпый класс) - класс Т-групп, для которого выполняются следующие условия: 1) если Е А <1 С, то С/А Е # (класс # д-замкнут); 2) если С/Ах Е £ и 0/А2 Е Ах, А2 <] С, то С/Ах П А2 Е £ (класс ^ Яо-замкнут).

(#-корадикал Т-группы 6?) - пересечение всех идеалов Т-группы 6?, фактор-группы по которым принадлежат формации Т-групп

С-формация (Ш-формация) - формация мультиоператорных Т-групп, принадлежащих классу С (классу ЯЛ).

0 - пустая формация Т-групп.

(0) - нулевая формация Т-групп.

Тривиальные подформации С-формации (971-формации) $ - {0, (О),^}.

Э-формация - формация, принадлежащая непустому множеству С-формаций (ШТ-формаций) Э.

Л = $1 П $2, где Зь #2 - О-формации.

&/огтХ - Э-формация, порожденная классом С-групп (ЭДТ-групп) X.

V© #2 = @/огт($1 и #2), где - 6-формации.

т-замкнутая формация Т-групп - формация Т-групп такая что для любой Т-группы Сб^.

т/огтХ - т-замкнутая 9Я-формация, порожденная непустым множеством ШТ-групп X.

\/Т(5'гК £ -0 = г/огт(иге/5'г), где Е 1} - произвольная совокуп-

ность т-замкнутых Ш1-формаций.

+ А{2 + ... + А1п\А^ Е е 1,3 = 1,2,...,п,п Е N1, где Е 1} - набор С-формаций (ШТ-формаций) таких, что & П = (0), г,з Е I, г ф и А^ + А{2 + •.. + А^п - внешняя прямая сумма С-групп (ШТ-групп) А{., ^ = 1, 2,..., п.

$) о $ = (С : Е 5}), где # - £-класс Т-групп и $ - (^-формация.

Класс Фиттинга Т-групп (радикальный класс) - класс Т-групп, для которого выполняются следующие условия: 1) если С Е $ и ТУ <1 С, то N £ $ (класс # 5п-замкнут); 2) если 7УЬ ТУ2 < С и УУЬ Е У, то ^ + Е # (класс ^ Д-замкнут).

Формация Фиттинга - формация, являющаяся классом Фиттинга.

(Х-радикал Т-группы (7) - сумма всех идеалов Т-группы (7, принадлежащих классу Фиттинга X.

= (Оп1(С?) = СаЛо1).

On>,n{G) = G<rQl(rn {Oty^G) = (Зщцаяп,)-

93 о X = (G : G/G(& G X), где 23 - С-класс Фиттинга Т-групп и X -С-класс Т-групп.

О,F-функция (£l\F-функция) - функция /: Q U {fi'j {формации С-групп} (/: fii U —>• {формации ЗЯ-групп}).

r{l\F-функция - OiF-функция, все значения которой являются т-замкнутыми ШТ-формациями.

Пieifi - OF-функция (QiF-функция) /, такая что /(Л) = r\ieifi(A) для всех А е О. U {О'} (для всех А G iii U где {/¿|г G 1} - произвольный

набор OF-функций (QiT-функций).

FR-функция - функция (р: 3 —> {непустые формации Фиттинга С-групп} (ip\ 3\ —\ {непустые формации Фиттинга Ш1-групп}).

Г^-расслоенная формация Т-групп с Q-спутником / и направлением <р ({IF-формация) - множество Т-групп вида QF(f,cp) — (G 6 С : G/On(G) G /(О') и G/G^a) G f{A) для всех Л € П П Я((?)), где / - ОТ-функция, р -FR- функция.

Vtx-расслоенная формация Т-групп с ¡^-спутником / и направлением р (Q\F-формация) - множество Т-групп вида QiF(f, р) — (G G ЭДТ : G/O^G) G /(fli) и G/G^) G /(А) для всех A 6 fij П £((?)), где / -QiF-функция, if - Т.й!-функция.

тО,1~расслоенная Ш-формация - ^-расслоенная т-замкнутая Ш-формация.

0,-свободная (Qi-свободная) формация Т-групп (QFr-формация (Q\Fr-формация)) - формация р) (Cl\F(f, р)) с направлением р = таким

что уо(^) — для любого i G 3 (<£>о(-<4) — Жа< для любого A G 3i).

0,-каноническая (Q,\-каноническая) формация Т-групп (0,К-формация (iliК-формация)) ~ формация QF(f, р) (£l\F(f, (р)) с направлением (р = р2 таким что <Р2'(А) — для любого A G 3 (р^(А) = ЭДТл'ЯЯл для любого

А £Зг).

0,-биканоническая (0,\-биканоническая) формация Т-групп (0,В-формация {£1\В-формация)) - формация !Г2Т(/, ср) (ОхТ(/, <,?)) с направлением <р = таким что <^2(^4) = £а' для любой неабелевой Т-группы А £ 3 и ^ {А) — С^'Сл для любой абелевой Т-группы А £ 3 (<£2 (А) = 9Ла' Для любой неабелевой Т-группы А £ 31 и ^(А) = Ша'Ша для любой абелевой Т-группы Л Е Зг).

Внутренний (интегрированный) Г2-спутник Г2Т-формации $ - Г2-спутник /, такой что /(Л) С # для любого А Е О и {О'}.

Минимальный 0,-спутник (тГ^-спутник) ОТ-формации (гГ^Т-формации) - (^-спутник (тОх-спутник), который является минимальным элементом множества всех (2-спутников (тОх-спутников) Г2Т-формации (тГ^Т-формации).

Максимальный 0,-спутник ОТ-формации - £7-спутник, который является максимальным элементом множества всех (^-спутников Г2Т-формации.

Полный 0,-спутник (1Т-формации - Г^-спутник 1г Г2Т-формации такой что /¿(¡Г2') = $ и К{А) = Са/(А) для любого А £ О, П 21, где / - минимальный О-спутник Г2Т-формации

ГЮ-спутник - О-спутник / ОТ-формации, такой что /(А) £ О для любого А Е Г2 и где Э - непустое множество ^-формаций.

г-направление (правильное) - направление <р Г2Т-формации (О1Т-формации), удовлетворяющее равенству Са'<р(А) — (р(А) для любого А £ 3 (9Ла,1р(А) = <р(А) для любого А £ 3\).

Ь-направление - направление <р ОТ-формации, такое что (р(А)&А — для любой абелевой Т-группы А £ 3.

ьа-направление, где А £ 3 - направление ср Г2Т-формации, такое что

<р(А)£А = <р(А).

п-направление - направление (р ОТ-формации, такое что А ^ <р(А) для любой неабелевой Т-группы А £ 3.

Дп — ~ множество всех ^-расслоенных С-формаций с направ-

лением (р, обладающих -спутником, где в - непустое множество С-

формаций.

ОТ^ - множество всех п-кратно (2-расслоенных С-формаций с направлением (р, обладающих хотя бы одним Г2Т^_гспутником.

тОх^п - множество всех п-кратно тГ^-расслоенных ЭДТ-формаций с направлением у?, обладающих хотя бы одним г01^_1-спутником.

- множество всех тотально Г^-расслоенных С-формаций.

0,Ггп (тО,\Ргп) - множество всех п-кратно О-свободных (тГ^-свободных) С-формаций (Щ1-формаций).

ОТгоо - множество всех тотально О-свободных С-формаций.

£1Кп (тО,1Кп) - множество всех п-кратно канонических (тГ^х-канонических) С-формаций (ШТ-формаций).

О^Коо - множество всех тотально (^-канонических С-формаций.

ОВп (тПгВ п) - множество всех п-кратно (1-биканонических (т(^х-биканонических) С-формаций (ШТ-формаций).

(2Воо - множество всех тотально (2-биканонических С-формаций.

£}Гп(Х,1р) (аГоо(Х, ср)) - ОТ^-формация (П^-формация), порожденная непустым множеством С-групп X.

гВп(Х, |р) - тПх^-формация, порожденная непустым множеством ЭДТ-групп X.

ПГгп(Х) (ОТгоо(Х)) - (2Тгп-формация (ОТгоо-формация), порожденная непустым множеством С-групп X.

0,Кп(Х) (^К00(Х)) - (Жп-формация (Г^оо-формация), порожденная непустым множеством С-групп X.

ПВп(Х) (ПДо(£)) - ПВ

„-формация (ГШоо-формация), порожденная непустым множеством С-групп X.

e -О — гДе {fol« G /} ~ множество п-кратно fi-

расслоенных С-формаций.

V^(fo|* € /) = ri2iF1f(Ut6/5'i), где 6 /} - множество n-кратно

fil-расслоенных r-замкнутых ЭДТ-формаций.

е /)(А) = G /) для любой Л G OU {fi'}, где

{fi\i G /} - система ОТп-функций.

Vft^C/iH £ = G I) для любой Л G fii U {fii'}, где

{fi\i El} - система rfiiFjj-функций.

Решетка - частично упорядоченное множество, каждое двухэлементное подмножество которого обладает как точной верхней, так и точной нижней гранью.

Полная решетка формаций в £ - непустое множество ^-формаций в, такое что {0,(0), £} С Э и пересечение любой совокупности 6-формаций принадлежит в, где £ - непустая подформация в С. Если £ = С, то 0 -полная решетка.

Lq{30 ~ решетка всех 9-подформаций Э-формации где 9 - полная решетка формаций.

-kf!Ki(3) - решетка всех fiF^-подформаций ^-формации # G fiгде n G No и cp - произвольное направление.

Lr^FxiB) ~ решетка всех rfiiF^f-подформаций ЯЯ-формации $ G tQiF%, где n G No и ip - произвольное направление.

Модулярная решетка - решетка в, такая что для любых Зз £

где fo С справедливо (fo Ve #2) Л £3 = fo V© (£2 А Зз)-

¿в(Ю ~ в-длина ©-формации где Э - полная и модулярная решетка формаций Т-групп.

^Кг(З) _ fi-f1^-длина С-формации £ £ где n G N0 и <р0 < р.

W^FxiB) - Fn -Длина 93?-формации 3 G rfixF^, где n G N0 и ip0 < p.

Компактный элемент - элемент а полной решетки Ь, такой что для любого подмножества X С Ь из а < зирХ следует а < вирХх для некоторого конечного подмножества Х\ С X.

Алгебраическая решетка - полная решетка, любой элемент которой является решеточным объединением компактных элементов.

Атом решетки - элемент 03 решетки в с нулем 0© такой, что 03 ф 0© и из 0© С £ С 03, где € в, всегда следует = 0© или .$0 = 03.

Ограниченная решетка - решетка в, в которой 0© 6 Э и существует 3 Е О такая, что для произвольной £ 0 выполняется С

Решетка с дополнениями - ограниченная решетка Э, в которой для любой непустой 03 Е 0 существует Е в такая, что ОЗЛ5э = О©иОЗ\/0^=:^', где $ - максимальный элемент решетки В.

Дистрибутивная решетка - решетка 0, такая что для любых $2, справедливо V© Л = А Зз) V© Л &>).

Булева решетка - дистрибутивная решетка с дополнениями.

Введение

В 50-х годах прошлого века началось интенсивное развитие общей теории алгебраических систем, результатом чего стала сформировавшаяся в работах Биркгофа Г., Кона П., Куроша А.Г., Мальцева А.И. и др. теория классов алгебраических систем. Это направление является одним из наиболее важных при изучении алгебраических систем, поскольку нередко успех в исследовании некоторой системы определяется строением соответствующих классов.

В первые годы развития теории классов исследовались лишь классы, заведомо содержащие бесконечные алгебраические системы - многообразия [61, 67]. В дальнейшем наряду с многообразиями были выделены и изучались и другие классы алгебраических систем (реплично полные классы, квазимногообразия, радикальные классы и др.). Классам систем посвящены многие работы Мальцева А.И., например [35]. Напомним, что непустой класс X алгебраических систем сигнатуры Е является многообразием тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия: 1) декартово произведение произвольной последовательности Х-систем есть 3£-система; 2) любая подсистема произвольной Х-системы является ^-системой; 3) любой гомоморфный образ произвольной Х-системы есть Х-система. Оригинальный подход к изучению свободных алгебр в некоторых их многообразиях содержится в работе [16]. Однако, многие классы систем с условиями конечности не являются многообразиями, таковым является и рассматриваемый в настоящей диссертации класс мультиоператорных Т-групп с конечными композиционными рядами. Поэтому при исследовании таких алгебраических систем имеет смысл использовать классы, "похожие"на многообразия, но необязательно наследственные и необязательно замкнутые относительно бесконечных декартовых произведений. Этими классами как раз являются формации..

Класс алгебраических систем называется формацией, если он замкнут относительно гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений или, коротко, {<£, Яо}-замкнут [59]. Понятие формации конечных групп бы-

ло введено в 1963 году Гашюцем В. [64] в связи с разработкой общих методов отыскания подгрупп в конечных разрешимых группах, и уже в этой работе функциональные методы нашли применение к построению формаций. А именно, Гашюцем В. были определены локальные формации, занимающие центральное место в теории формаций. Дальнейшее развитие функциональный подход к изучению формаций нашел в работе [57] Шеметкова Л.А., в кот