Условия конечности для нильютентных алгебр тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Г и " л

.■•■¿м и 3 у ,2.

!ЮСНОВСКИЙ ОРдаА ЛЕНША, ОРДША ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЩА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ШАМИВД ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ШИЕЕРСЖЕТ шени Й.В.ЛОМОНОЮМ

ыеханшсо-катештический факультет

На правах рукописи

ЩУЧШ НИКОЛАЙ АЛЕКСЕЕВИЧ

УД? 512.572

УСШВШ ИЭНЕЧЮСГИ'ДОЯ НйШЮТШКЫХ ЙШР

03101.06 - иатскгтэтесяая логика, алгебра и теорпг ад сел

АЗТОРЗеЕРАТ

дассс'ртавдз га сяйсхана» ученой степени кандидат» наук

"оодаа -

Работа вьшлнена на кафедре высшей алгебры- ыеханико-ыате магического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносове.

Научный руководитель - доктор физико-ыатеыатичесшк:

наук, доцент В.А.Артамонов Официальные оппоненты - доктор фиэико-математически;:

наук, профессор Л.Н.Щеврш

кандидат физико-математическ наук, доцент А.Р.Пинус

Ведущая организация - Саратовский государственны.';

университет

Зашита диссертации состоится " /С ¿¿¿¿¿У- 1992г

в 16.00, на заседании специализированного Совета Д 053о05.05 при Московском государственном университете имени Н.В.Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Ленинские гори, МГУ, ыеханико-ыатематический факультет, аудитория 14-03, Автореферат разослан &16&М' 1992р.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ыаха-нико-математического факультета МГУ /15 этаж/.

Ученъй секретарь специализированного Совета Д 053.05.05 при МГУ, доктор физико-математических наук

В.Н.Чубариков

•, - Г- 'ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА .ЩССЕРТАЦИИ * -

* т i

•Актуальность темы. Одним из центральных направлений развития теории многообразий универсальных алгебр является теория коммутаторов для конгрупнц-модулярных многообразий. Р.Маккензи с соавто-1/ 2/

рами ' нашел многочисленные и интересные применения результатов теории коммутаторов к проблемам, связанным со строением алгебр данного многообразия, с разрешимостью элементарных теорий многообразий и др. В книге ^ Р.Маккензи и Р.Фриз ввели понятие нильпотентной алгебры, которое является обобщением аналогичного понятия в группах, Кроме того, они показали ряд интересных результатов для нильпотентных алгебр, а именно: в конгруэнц-моду-лярном многообразии нильпотентные алгебры ступени не выше заданного целого положительного числа образуют подмногообразие; для конгруэнц-перестановочных многообразий верны следующие факты: если алгебра нильпотентна, то все классы смежности любой конгруэнции на этой алгебре имеют одинаковую мощность; в нильпотентных алгебрах две конгруэнции, имеющие хотя бы ояда обзглй класс смежности, совпадают; на любой нильпотентной алгебре можно задать структуру нильпотентной лупы; в конечной нильпотентной алгебре порядок любой подалгебры делит порядок алгебры.

1/ Fteese R., O/lcfienzie R- Commutatoz theozY foz congzuence madulat uozieti.es - Cpm6zid$e UniuezsitY Ptess. СатвгШсе, 195Б 2/ Wo<SoyD., Mс tieniie R. The sizucwze of finite atyeSzas.-(\mez. Math. Soc., Ш, ( Con tern. Math. v. ?6).

В работе ^ рассматривается интересная алгебраическая конструкция, позволяющая описать строение нильпотентных алгебр. Пусть 0. , Ь - алгебры из конгруэнц-модулярного многообразия, причем 0. - абелева алгебра. Предположим, что для каждого операционного символа ^ из сигнатуры этого многообразия имеется отображение 71: Бп- й , где а - арность . Обозначим все яти отображения через ТМИНеЦ . Определим алгебру (\ = & © 8 с носителем £2 * В и операциями

.....бя),{Д...,а

для I е 1 . Здесь " + " - сложение в абелевой группе 0. , построенной на абелевой алгебре 0. с помощью терма Германа.

Полученная алгебра $ не обязательно принадлежить тому же многообразию, где лежат 0. и 6 , однако она позволяет получить интересный результат: пусть С - алгебра из конгруанц-

с с

модулярного многообразия и и, Г]=о , где сС€ СопС, тогда имеется абелева алгебра 0. >и система отображений Т такова, что С = й ©Т В , Ц = СОО/Дс,Iе , б. = С/Л. Здесь С - конгруэнция оС .но рассматривается как под-

алгебра в С * С , Л^ 1е - конгруэнция на алгебре

С («С) , порожденная всеми парами.вида <£Сх,д> , < У, У >)

С С

где X, У € С . Символы { к 0 обозначают единичную и нулевую конгруэнции на алгебре С «

Определим по индукции: = 1° , = [{к,{С1 Алгебра С называется нильпотентной ступени П. , если для некоторого натурального п выполнено равенство [ {Сп , Iй]-0С . Таким образе

зои, конгруэнция 1 л в нильпотентной алгебре ступени П удовлетворяет вше указанному факту, который подсказивает удобный путь изучения условий конечности для нилъпс-тентных алгебр.

При изучении нильпотентных алгебр В.А.Артамонов ■ ввел нятие квазикоммутатора, которое позволяет по новому взглянуть строение таких алгебр. Если р - свободная алгебра из конгру-ц-модулярного многообразия с бесконечным множеством порождаю-

х X , то элемент со (х1г ..., хп , Х„) , где х^ 6 X , назы-

р

ется квазикоммутатором веса К , если ( Ха,с^(Х1,-.., х„,хс)>€ .

Пусть А - произвольная алгебра из конгрузнц-модулярного огообразия. Для любого фиксированного О, в Л строим множес-

Ва> .....ап,а,) I О: = 1р{х;), 0.Р"),

е 1р - гомоморфизм из Р на , 0. Р* - множество всех азикоммутаторов веса К .

Если й - нильпотентная алгебра ступени л , то на мно-гтве можно задать структуру абелевой группы 1)а„ с попью терма Германа, причем — 0. .

Представляет интерес взаимосвязь понятия нильпотентности я универсальных алгебр, введенное в и различными понятия-нильпотентности для классических алгебр, таких как луп, 1 -групп, мультиоператорных групп. Брак Р. ^ ввел понятие орально-нильпотентных луп, которое является аналогом группо-< нильпотентности. Райт '' показал, что нильпотентность

Артамонов В.А. Нильпотентность, проективность, разложимость.-Сиб.мат.ж.,1991с.3-11.

Вгиск О. Эигггеу о( бспагу $,у%1еть.-ЬегЫ-\\е1с1е1Ьегд-/Уемуог«.: &ргш$ег, 197{.

С 0п ^he тиЕирКсаиол дгоир о$ а 1оор.~ о ее. У-Май., {969, в,А/Ч, р. 660-675.

конечной лупы влечет разрешимость ее ассоциированной группы.

Частным случаем универсальных алгебр с одной П. -арной операцией является П -группы. При П > 2 в теории П -групп существует большой круг вопросов, которые специфичны для этой теории и не имеот места в бинарном случае. Пост ' показал тесную взаимосвязь между п.-группами и бинарными группами: для любой Д -группы Д существует покрывающая группа такая, что I. й порождает А *; 2. co(äl, ..,Хп)— KL'...'Xn , для всех X; б f-где СО - Я -арная операция в $ ; 3. в й существует нормальная подгруппа

N такая, что фактор-группа й /А/ является циклической группой, порядок которой делит П-{ ; 4. 4 является смежнта классом в н по модулю

Л/, который будет образующим в О /А/. С помощью нильпотентности группы /V удобно рассматривать различные свойства н/льпотентной П -группы 4 .

Мультиоператорные группы - специальный класс универсальных алгебр., представляющий собой объединение групп, колец и других классических алгебр. На важность изучения таких алгебр указывал А.Г.Курош в работах

Целью работы является: I. Найти условия для конечности нильпотентных алгебр из конгруэнц-модулярных многообразий; 2. Найти взаимосвязь меаду обобщенной нильпотентностью универсал] Hitx алгебр к нильпотентностью классических алгебр, таких как луп, а -групп и мультиоператорных групп;

б/ Рсн и.1. Ро^с/сКо уг0иг>.~Тт$ Д№г.Мс>111.30С.у.М,/1/2,20Я({9М)

7/ Куры А.Г. Лекции по общей алгебре. - М.:Наука,1973. 8/ Курса А.Г, Общая алгебра. Лекции 1939-1970 учебного года. -М. :Каука,1974.

¡. Изучить некоторые свойства нильпотентных луп, п, -групп и «ультиоператорных групп.

Методы исследования. За основу бпята алгебраическая структура, построенная в ^ /смотри вытпе/ и позволяющая характеризовать строение нильпотентных алгебр. Используется индукция по ступени нильпотентности.

Научная новизна. В диссертации по'лучени следующие новые результаты: 1. Найдено термальное условие для конечности конечно торокденной нильпотентной алгебры из конгруянц-модулярного многообразия с некоторым ограничением на свободные алгебры /предложение 2.1.1/. Если фактор-алгебра по коммутанту конечна для некоторой алгебры из г>того многообразия, то конечной будет и сама алгебра. если ока конечно порождена /теоремз 2.2.1/. Показано, что, если сигнатура такого многообразия содержит хотя бы один нулевой операционная символ, то любая конечно порожденная периодическая нильпотентная алгебра из этого многообразия будет конечной /теорема 2.1.1/. Периодическая часть из конечно порожденной алгебры этого многообразия такче конечна /теорема 2.1.2/.

2. Для луп показана эквивалентность определений обобщенной нильпотентности по Маккензи и центральной нильпотентности по Браку /предложение 3.1.3/. Если лупа нильпотентна, то и ее ассоциированная группа будет нильпотентной /следствие 3.1.3/. Коммутант любой лупы является наименьшей нормальной подлупой, фактор-лупа по которой является абелевой группой /теорема 3.1.1/. Для X Р -луп любая подлупа, содержащая коммутант, является нормальной подлупой /теорема 3.1.4/,

3. Для П -групп нильпотентность любой д -группы равносильна нильпотентности нормальной подгруппы из покрывающей группы этой п -группы, которая возникает из теоремы Поста /следствие 3.2.2/. Любая полуинвариантная л -подгруппа определяет конгруэнцию на п -группе /следствие 3.2.3/. Обратно не верно /пример, стр.68/. Если В - полуинвариантная а -подгруппа в произвольной

П -группе й и для любого ¿3 е /? существует 5 £ Ь такой,что О = 8 (modil*{% то ¿J = ß /теорема 3.2.2/. Конечная примерная Л -группа нильпотентна /предложение 3.2.7/. Конечная л -группа разлагается в прямое произведение конечного числа примерных п -групп /теорема 3.2.3/.

4. Для мультиоператорных групп обобщенное понятие нильпотентности по Маккензи совпадает с нильпотентностью по Курошу /следствие 3.3.1/. В конечно порожденной дистрибутивной мульти-оперяторной группе абелевый идеал конечного индекса конечно порожден /предложение 3.3.3/. В любой нильпотентной дистрибутивной ыультиоператорной группе периодическая часть ее аддитивной группы является наибольшей локальной конечной мультиоператорной подгруппой /теорема 3.3.4/. Любая конечно порожденная дистрибутивная нильпотентная ыультиоператорная группа с периодической аддитивной группой конечна /теорема 3.3.3/.

Практическая и теоретическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в теории коммутаторов конгруэнц-ыодулярных многообразий, в теории луп, п-групп и мультиоператорных групп, а такие в теории других классических многообразий универсальных алгебр.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались в МГУ на научно-исследовательском семинаре кафедры высшей алгебры,

семинаре по теории колец и модулей кафедры выспей алгебры, на алгебраических конференциях в Магнитогорске и Саратове.

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в работах /1,2,3,4,^/.

Структура и объем диссертации. .Диссертация состоит из введения и восьми параграфов. Объем диссертации - 83 страницы.

КРАТКОЕ СОдаКАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении приводятся краткий обзор исследований, связанных с содержанием диссертации.и формулировки основных результатов диссертации.

В первой главе в трех параграфах приведены основные результаты по теории коммутаторов для конгруэнц-модулярных многообразий, которые понадобятся для получения основных результатов диссертации.

Во второй главе в двух параграфах найдены различные условия конечности для нильпотентных универсальных алгебр.

В третьей главе з трех параграфах найдена взаимосвязь между обобщенным понятием нильпотентности и понятием нильпотентности классических алгебр - луп, п. -групп и мультиоператорных групп. Изучаются различные свойства этих классических нильпотентных алгебр.

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю доктору физико-математических наук, доценту В.А.Артамонову за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Основные результаты диссертации изложены в следующих публикациях:

1.Щучкин H.A. Разрешимые и нильпотентные п—группы. - Ыежвуз.сб. науч.работ "Алгебраические системы". Изд-во Волг.пед.ин-та, Волгоград,1989,сЛ33-139.

2.Щучкин H.A. Конечно порожденные нильпотентные алгебры. -"Вест.МГУ",мех-мат,1992,И.

3.Щучкин H.A. Нильпотентные п-группы. - Тез.сообщ.б-й Всесоюзной школы по теории многообразий алгебраических систем, 25-30 июня 1990 года. - Магнитогорск Д990, с. 34-Si.

4.Щучкин H.A. Условия конечности для нильпотентных алгебр. -Тез.сообщ. по логике и универсальным алгебрам, прикладной алгебре. Междунар.конф.пс алгебре памяти А.И.Ширшова, 20-25 августа 1991 года. - Барнаул,I99I,c.I69.

Б.Щучкин H.A. Условия конечности для нильпотентных дистрибутивных мультиоператорных групп. - Тез.сообщ.2-х мат.чтений памяти Н.Я.Суслина, 23-28 сентября 1991 года. - Саратов,1991,с.94.