Многообразия алгебр конечной кодлины в случае поля нулевой характеристики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

РГВ од

1 з дек 7ПЛ9

Васильева Ирина Романовна

МИПРООБТ5 -43- АЛГЕБР КОНЕЧНОЙ К О ДЛИНЫ В СЛУЧАЕ ПОЛЯ НУЛЕВОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ульянопск — 2000

Работа выполнена в Ульяновском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук, профессор С.П. Мищенко

()<j)IIU>I<l.lbill<n- (UHJ41II tl I 1)1. ДОКтОр 1.Ьи,1ИКЧ-М,и >.'.\1с11И'!1.Ч К11Х

наук, профессор M.R. За-йцев, кандидат физико-математических наук Л.Я. Белов

Ведущая организация: Московский государственный педагогичес-

Защита диссертации состоится 19 декабря 20G0 г. M часов ка заседании диссертационного совета KÛ53.37.Û3 по защите диссертаций на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук в Ульяновском государственном университете (432700, Ульяновск, ауд. 701 корп. на Набережной р.Свияга).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ульяновского государственного университета.

Отзывы на автореферат просим присылать по адресу: 432700, г. Ульяновск, ул. Л. Толстого, 42, УлГУ, научная часть.

кии университет

Автореферат разослан kù$tàA&<)nno

«

г.

Mff.JliS,

;

Учёный секретарь диссертационного совета, доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория многообразий алгебр - активно развивающаяся область современной алгебры, изучающая алгебраические объекты с точки зрения выполненных в них тождеств.

В случае поля нулевой характеристи вся информация о тождествах некоторого многообразия линейных алгебр содержится в полилинейной части соответствующей относительно-свободной алгебры. Часто для приложений достаточно знать не само строение полилинейной части, а лишь некоторые ее числовые характеристики, вернее те функции, которыми они мажорируются.

Ко длина многообразия алгебр - одна из таких характеристик. Отметим, что в работах специалистов по теории многообразий алгебр более активно изучались другие числовые характеристики, такие, как рост или экспонента многообразия. Все числовые характеристики несут в себе важную информацию о многообразии, нахождение этой информации является перспективным и многообещающим направлением в /'/-теории

Цель работы. Целью работы является исследование условий конечности кодлины многообразий линейных алгебр над полем нулевой характеристики для следующих случаев:

• многообразий ассоциативных алгебр с инволюцией;

• многообразий супералгебр, или ^-градуированных ассоциативных алгебр;

• многообразий алгебр Ли.

Методы исследований. Для получения основных результатов диссертации были использованы:

• аппарат теории представлений симметрической и гипероктаэд-■ ральной группы;

• техника диаграмм Юнга;

• комбинаторные методы вычислений в свободном объекте;

• общие методы теории колец и модулей.

Научная новизна. В работе получены следующие новые результаты.

1) Для многообразий ассоциативных алгебр с инволюцией над полями нулевой характеристики доказана эквивалентность условий конечности кодлины и полиномиальности роста.

2) Для многообразий Хг -градуированных ассоциативных алгебр над полями нулевой характеристики доказана эквивалентность условий конечности кодлины и полиномиальности роста.

3) Для многообразий алгебр Ли над полями нулевой характеристики доказана эквивалентность условий конечности кодлины и условия <£ V С ДД; здесь ЛГвА - многообразие алгебр Ли с нильпотентным коммутантом ступени нильпотентности не выше 5, Щ - многообразие алгебр Ли, определяющееся всеми тождествами Д = 0, где полином /д соответствует п - разбиению Л = (Аь Л2,..., А^, А1 >..,,> А4 > О, А1 + ... + Ае = п такому, что п — > 2.

4) Описаны все многообразия алгебр Ли, п-тая кодлина которых равна 2 при п > 4.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит чисто теоретический характер. Основные результаты диссертации и методы их доказательства могут оказаться полезными для специалистов, работающих с многообразиями ассоциативных алгебр, сигнатура которых содержит дополнительный набор из к линейных унарных операций, образующих конечную группу, а также для специалистов, работающих с многообразиями алгебр Ли.

На защиту выносятся следующие положения:

1) Критерий конечности кодлины многообразий ассоциативных ал- ' гебр с инволюцией:

Теорема. Пусть V - многообразие ассоциативных алгебр с инволюцией над полем пулевой характеристики. Тогда следующие условия эквивалентны:

(г) многообразие V имеет конечную кодлину;

(И) многообразие V имеет полиномиальный рост.

2) Критерий конечности кодлины многообразий супералгебр или многообразий ^2-градуированных ассоциативных алгебр:

Теорема. Пусть V - многообразие ассоциативных Ху-градуиро-ванных алгебр над полем нулевой характеристики. Тогда следующие условия эквивалентны:

(i) многообразие V имеет конечную кодлину; (И) многообразие V имеет полиномиальный рост. I) Критерий конечности кодлины многообразий алгебр Ли:

Теорема. Пусть V - многообразие алгебр Ли над полем нулевой характеристики. Тогда следующие условия эквиваленты:

(i) существует натуральное число s > 2, такое что Ui (JL V С NSA;

(И) кодлина многообразия V конечна.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на:

• научно-исследовательских семинарах, проводимых кафеДрой Ал-гебро-геометрических вычислений Ульяновского государственного университета;

» V, VII, VIII ежегодных научно-практических конференциях Ульяновского государственного университета (1996, 1998,1999 гг.).

Личный вклад. Все основные результаты диссертации получены 'ором лично.

Публикации. По теме диссертационного исследования опубликовано 11 работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы из 86 наименований. Общий объем диссертации - 86 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В диссертации исследуются свойства некоторых числовых характеристик многообразий линейных алгебр над полем нулевой характеристики. Основной целью данной работы является нахождение эквивалентных условий конечности кодлины в трех случаях: многообразий ассоциативных алгебр с инволюцией, многообразий супералгебр или многообразий ^-градуированных ассоциативных алгебр и многообразий алгебр Ли. Каждому из трех случаев посвящена отдельная глава. 4

Пусть V - некоторое из рассматриваемых многообразий алгебр, К(Х,У) - относительно-свободная алгебра данного многообразия, где X = {яь £2,...} - счетное множество свободных образующих. Известно1, что в случае поля нулевой характеристики вся информация о многообразии содержится в его полилинейной компоненте, поэтому достаточно работать лишь с полилинейными частями, а не с относительно-свободными алгебрами многообразия. Напомним, что полилинейная часть степени п многообразия является линейным подпространством в пространстве К(Х,У) и состоит из полилинейных элементов степени п от переменных х\,..., хп. В зависимости от сигнатуры алгебры К(Х, V) обозначение полилинейной части степени п будет различным. Если сигнатура состоит только из одной билинейной бинарной операции, то полилинейная часть обозначается через Р„(У); если же в сигнатуре дополнительно задана линейная унарная операция, то обозначение будет либо Р„(\\ *), либо РЦГ(У). Так, .для многообразий ассоциативных алгебр и многообразий алгебр Ли их

1Мальцев ЛИ. Алгебраические системы. М: Наука. 1970.

полилинейные части есть векторные пространства вида:

Pn{V) =< xh ...iin|{ib..., in} = {1,..., n} >,

для многообразий ^-градуированных ассоциативных алгебр

TT{V) =< ...,..., in} = {1,...,n}, 5il,. ..,№„€{ \,ф} >,

где ф - автоморфизм порядка 2 относительно-свободной алгебры данного многообразия. Для многообразий ассоциативных алгебр с инволюцией их полилинейная часть степени п выглядит следующим образом:

Pn(V, *) =< Л?;*..., |{гь..., ¿„} = {1,...,n}, gh,..., <?,„ € {1, *} >,

где * : а а*, а € А - унарная операция инволюции, заданная на некоторой алгебре многообразия V.

Размерность n-той полилинейной части многообразия определяет n-тую коразмерность многообразия c„(V) = dim Pn(V) (соответственно cn(V,*) — dim P„(V,*), c^r(V) = dim P^r(V)). В зависимости от функции, которой мажорируется или которую мажорирует числовая последовательность коразмерностей, будем различать полиномиальный или степенной, экспоненциальный или показательный рост и сверхэкспоненциальный рост многообразий. Рассматривают также понятие почти полиномиального роста.

Определение!.. Многообразие имеет почти полиномиальный рост, если рост любого его собственного подмногообразия полиномиальный, в то время как рост самого многообразия полиномиальным не является.

Понятие роста рядаясоразмерностей многообразия является одним из ключевых в данной работе. Другим центральным понятием является понятие кодлины многообразия. Оно, также как и рост ряда коразмерностей, является числовой характеристикой полилинейной компоненты многообразия.

Чтобы определить понятие n-той кодлины, рассмотрим две конечные группы: симметрическую группу 5„ биекций n-элементного множества и гипероктаэдральную группу Н„. Последняя является скрещенным произведением Z2 ~ Sn мультипликативной группы Z2 =

{1,*} порядка 2 и симметрической группы S„. В зависимости от сигнатуры рассматриваемых нами многообразий полилинейную часть степени п можно представить или как 5„-модуль, если сигнатура состоит из одной операции, или как Н„-модулъ, если сигнатура состоит из двух операций. По теореме Машке полилинейную часть степени п можно разложить в прямую сумму неприводимых подмодулей.

Определение 2. Число слагаемых в разложении полилинейной части степени п многообразия на неприводимые подмодули называется п-той кодлиной многообразия.

Дадим эквивалентное определение понятия и-той кодлины, использую язык характеров представлений и их кратностей.

Каждому подмодулю из разложения п-той полилинейной части на неприводимые подмодули стандартным образом сопоставляется разбиение Ahn, если мы имеем дело с 5„-модулями, либо пара разбиений (А, ц), А Ь гщ, ц Ь т2, т\ + тщ = п, если имеем дело с Нп-модулями. Напомним, что под разбиением Ahn понимается набор чисел (Ai,..., А(), такой что Aj >...,> А(, Ai -f ... + А( = п. Неразложимый характер, соответствующий разбиению А (паре разбиении (A,/t)), обозначим через хл (соответственно X\,/i)-

Тогда для многообразия V линейных алгебр с сигнатурой из одной билинейной бинарной операции ¿»„-характер равен

Xn(V) = х(Р»00) = £ ШЛХЛ, М-п,

где тп\ - степени неприводимых представлений, соответствующих разбиению А числа п.

При этом и-тая кодлина /„ многообразия равна *

In = ln(V) = £ «1А.

Ahn,

Для многообразия V линейных алгебр с сигнатурой из одной билинейной бинарной операций и одной линейной унарной операции Яд-характер и кодлина равны соответственно

п

Xn(V, *) = Е Е mx^XK^ г=0 Ahr

fit-fl — r

П

l»(v,*) = £ Е m\,tn

Г=О АН-

iihn —г

в случае многообразий ассоциативных алгебр с инволюцией *, либо

Х'^ОО -ЕЕ

r=0 Xf-r

з

Г=0 Ahr

fit-n — r

3 случае многообразий ¿^-градуированных ассоциативных алгебр, где

~~ степень неприводимого представления, соответствующего паре эазбиений (Л, ц).

Отметим, что само понятие п-той кодлины (длины композпцион-юго ряда соответствующего модуля) использовалось ранее в ряде забот2'3 Следующие определения являются новыми.

Определение 3. Многообразие V имеет конечную кодлину, ;сли существует константа С, не зависящая от п такая, что для любых г выполнено неравенство /„(V") < С (соответственно l„(V,*) < С или ?(V) < С).

Определение 4. Многообразие V имеет почти конечную годлипу, если любое его собственное подмногообразие имеет конеч-tyro кодлину, в то время как кодлина самого многообразия конечной се является.

В 1978 г. А.Р. Кемером4 было показано, что многообразие V имеет :онечную кодлину тогда и только тогда, когда рост его коразмерно-

2Воличенко И.Б. Об одном миогообразяи алгебр Ли, связанно« со стандартными тождествами,

4 Весвд АН БССР: Сер. фы.-матем. навук. 1880. №1. С. 23-30. II. //Там же. №2. С. 22-29.

3Дреиски B.C. Представления симметрической группы и многообразия линейных алгебр// Мат.

5орник. 1881. Т. 115. №1(5). С. 98-115.

4Кемер А.Р. Шпехтовость Т-идеалов со степенным ростом коразмерностей// Сиб. мат. журнал. Э78. Т. 19. №1. С. 54-69.

стей полиномиально ограничен. Для многообразий алгебр Ли, многообразий ассоциативных алгебр с инволюцией и многообразий градуированных ассоциативных алгебр аналогичные условия конечности кодлины получены не были.

Основной целью данной работы явиляется нахождение эквивалентных условий конечности кодлины в перечисленных трех случаях, и каждому случаю посвящена отдельная глава.

Диссертация начинается введением, в котором сформулированы основные результаты работы и дается краткий обзор по каждой главе. Здесь же обоснована актуальность исследуемой тематики.

Первая глава "Предварительные сведения" содержит сводку необходимых определений и обозначений. В ней сформулированы необходимые для дальнейшего рассмотрения результаты из теории представлений групп. В частности, в пункте 1.2 рассматривается описание строения 5„-модуля Рп(У), где V - многообразие ассоциативных алгебр'или многообразие алгебр Ли, а в пункте 1.3 - описание строения Нп-модуля Р„(У, *), где V - многообразие ассоциативных алгебр с инволюцией *.

Во второй главе, посвященной многообразиям ассоциативных алгебр, мы также не приводим новых результатов. В начале главы помещен обзор результатов о росте и кодлине многообразий ассоциативных алгебр и формулируется уже известный критерий конечности кодлины многообразий ассоциативных алгебр5. Здесь основной интерес представляет предложенное автором другое доказательство данного критерия, поскольку используемая при этом техника будет применяться в последующих главах при доказательстве критериев конечности кодлины в других рассматриваемых случаях.

Сам критерий сформулирован в виде теоремы. *

Теорема 2.1. Пусть V - многообразие ассоциативных алгебр над полем нулевой характеристики. Тогда следующие условия эквивалентны:

(г) многообразие имеет конечную кодлину;

5Кемер А.Р. Шпехтовость Т-идеалов со степенным ростом коразмерностей// Сиб. мат. журнал. 1978. Т. 19. №1. С. 54-69.

(ii) многообразие имеет полиномиальный рост.

Третья глава посвящена числовым характеристикам многообразий ассоциативных алгебр с инволюцией. - Напомним, что линейное отображение * является инволюцией, действующей на элементах алгебры А, если выполняются следующие свойства:

* : а -> а*, (аЬ)* = Ь*а* и (а*)* — а, а,Ъ£ А.

Центральным результатом третьей главы является

Теорема 3.1. Пусть V - многообразие ассоциативных алгебр с инволюцией над полем нулевой характеристики. Тогда следующие условия эквивалентны:

(i) многообразие V имеет конечную кодлину;

(и) многообразие V имеет полиномиальный рост.

Отметим, что среди многообразий ассоциативных алгебр с инволюцией имеются только два многообразия почти полиномиального роста 6:

• многообразие, порожденное четырехмерной алгеброй М с базисом {а, Ь,с, с*} таким, что а* — а, Ь* — 6, а2 = а, Ь2 = Ь, ас = cb = с,с*а = be* = с* и всеми остальными произведениями равными нулю (см.7 );

• многообразие, порожденное двумерной коммутативной алгеброй

= F ф F с инволюцией (а, 6)* = (6, а)8.

Оказывается, что вышеприведенные многообразия имеют почти конечную кодлину. Таким образом, верна также следующая теорема - критерий конечности коддины многообразий ассоциативных алгебр с инволюцией на "языке носителей".

eMishchenko S., Valenti A. A star-variety with almost polynomial growth// J. of Algebra. 2000. V. 223. P. 66-84.

7Mishchenko S., Valenti A. A star-variety with almost polynomial growth// J. of Algebra. 2000. V. 223. P. 68-84.

'Giambruno A., Mishchenko S. Polynomial growth of the »-(»dimensions and Young diagrams.//preprint.

Теорема 3.2. Пусть V - многообразие ассоциативных алгебр с инволюцией над полем нулевой характеристики. Тогда следующие усло-оия эквивалентны:

(г) многообразие V имеет конечную кодлипу;

(И) многообразие V не содержит алгебр Сч и М.

В четвертой главе диссертации рассматриваются многообразия Zi-градуированных ассоциативных алгебр (или супералгебр).

Критерий конечности кодлины многообразий супералгебр над полями нулевой характиристики формулируется в следующем виде:

Теорема 4.1. Пусть V - многообразие Z^-zpadyupoeauubix ассоциативных алгебр над полем нулевой харатеристики. Тогда следующие условия эквивалентны:

(г) многообразие У имеет конечную кодлину;

(гг) многообразие V имеет полиномиальный рост.

Отметим, что среди многообразий ¿^-градуированных ассоциативных алгебр существует пять многообразий почти полиномиального роста 9:

• многообразия, порожденные бесконечномерной ^-градуированной алгеброй Грассмана G над полем К и /^-градуированной алгеброй UT-z верхнетреугольных матриц размера 2x2 над полем К с тривиальным типом градуировки (G = G©О, UT? = i/T^ffiO). Мы будем обозначать их supvar G и supvar UT2 соответственно;-

• многообразия, порожденные алгебрами G и UT% с заданой на них стандартными градуировками G = Gq®G\, LT2 = (Кеи+Ке22)© Ке 12, где Go - линейной пространство, порожденное мономами от ej четной длины, a Gy - нечетной длины. Мы будем обозначать их соответственно supvar Ggr и supvar UT$T]

• многообразие супералгебр, порожденное алгеброй I\@tK, t2 ~ 1.

9Giambruno A., Mischenko S., Zaicev M. Superalgebtas with almost polynomial growth// preprint.

Заметим, что данные многообразия также имеют почти конечную кодлину (!0 см. также 12, К!, и, 15) и верна следующая теорема.

Теорема 4.2. Пусть V - многообразие Zi-градуированных ассоциативных алгебр над полем пулевой харатеристики. Тогда следующие условия эквивалентны:

(i) многообразие V имеет конечную кодлину;

(И) многообразие V не содержит алгебр G, UT'г, Gsr, £/Tfr и К ® tK, t2= 1.

Подчеркнем, что доказательство теорем 3.1 и 4.1 схоже с доказательством теоремы 2.1. Это обусловлено связью многообразий просто ассоциативных алгебр с многообразиями ассоциативных алгебр с инволюцией (см. работы16, 17) и многообразиями супералгебр18.

И наконец, пятая, центральная глава диссертации, посвящена многообразиям алгебр Ли.

Отметим, что в отличие от случаев многообразий ассоциативных алгебр, рассмотренных в главах 2, 3, 4, конечность кодлины многообразий алгебр Ли не эквивалентна полиномиальности роста, хотя из конечности кодлины полиномиальность роста следует.

Важную роль в нашем исследовании играет многообразие U2 алгебр Ли, которое определяется всеми тождествами вида fx = 0, где полином fx соответствует разбиению А = (Aj,..., At) числа п, удовлетворяющему условию п — Ai > 2.

В отличие от многообразий, описанных в предыдущих Главах, рост

10Кемер А.Р., Шпехтовостъ Т-идеалов со степеаиым ростом кораэмерностей//Сиб. матем. журнал. 1978. Т. 19 №1. С. 54-69.

"Olsson. J., Regev A. Colength sequences of some T-ideals// J. of Algebra. 1976. V. 1. P. ЮО-Ш.

12Mischenko S., Regev A., Zaicev M. A Characterization of P-I. Algebras wuth Bounded Multiplicities of the Cocharacters// J. of Algebra. 1999. V. 219. №. P. 35S-368.

"Мальцев Ю.Н. Базис тождеств алгебры верхнетрфгольных матриц// Алгебра и логика. 1971. Т.10, С. 393-400.

I4Giambruno A,, Mischenko S., Zaicev М. Super algebras with almost polynomial growth// preprint.

lsValenti A. Variety of Zi — P.I. algebras of upper-triangular matrices // (to appear).

16Giambruno A., Regev A., Wreath products and P.I. algebras// J. Pure and Applied Algebra. 1985. V. 35. P. 133-149.

I7Berele A. Cocharacter sequences for algebras with Hopf algebra actions// J. of Algebra. 1996. V. 185. P. 869-885.

18Giambruno A., Mischenko S., Zaicev M. Superalgebras with almost polynomial growth// (preprint}.

и кодлина многообразия í/2 растут полиномиально l„(U2) = п-2, п > 3 и Cn(U2) = п2 — 2п.

Данное многообразие является интересным еще и потому, что, как доказано автором, двумя его собственными подмногообразиями U2 П (А2)3 и £7h Л i;ar(sí2) исчерпываются все многообразия алгебр Ли с конечной ко длиной, удовлетворяющие условию l„(V) = 2 при п > 4.

Предложение 5.1. Если при любом п > А для многообразия V алгебр Ли выполняется. ln{V) = 2, тогда имеет место одно из следующих равенств:

1.V = U2n (Л2)2

2. V = U2 П var(sl2).

Здесь многообразие (А2)2 есть многообразие 2-метабелевых алгебр Ли (подробности см. в работах19,20), многообразие var(sl2) - многообразие алгебр Ли, порожденное алгеброй матриц размера 2 X 2 со следом 0 (см. работы 21,22). В ходе доказательства получено описание полилинейных частей данных многообразий. Отметим, что описание многообразий с условием ln(V) = 2 при п > 4 явилось первым результатом автора по тематике диссертации.

Прежде чем формулировать теорему 5.1 напомним, что многообразия NSA алгебр Ли с нильпотентным коммутантом ступени нильпотентности не выше s определяются тождеством вида

(xia;2)... (x2a+ia:2s+2) = 0.

\

Теорема 5.1. Пусть V - многообразие алгеор Ли над полем нулевой характеристики. Тогда следующие условия эквиваленты:

(i) кодлина многообразия V конечна,

(п) существует натуральное число s > 2, такое что U2 *¡£ V С

NSA-

19Мкщенко С.П. Многообразие 2-метабелевых алгебр Ля// Пятый Всесоюзный симпозиум по теории колец, алгебр и модулей, тезисы сообщений. Новосибирск. 1982. С. 93-94.

MVaughan-Lce M.R. Varities of Lie algebras. D. Phil, thesis. Oxford. 1970.

г1Дренски B.C. Представления симметрической группы и многообразия линейных алгебр// Ма-тем. сб. 1981. Т. 115. №1 (5). С. 9&-U5.

г2Размыслов Ю.П. Конечная базируемость некоторых многообразий алгебр// Алгебра и логика. 1974. Т. 13. №6. С. 685-693.

В случае алгебр Ли доказательство критерия конечности кодлины оказалось более технически сложным, поэтому мы его разбили на доказательство необходимого и доказательство достаточного условия. Этот результат является центральным результатом всей диссертации.

Отметим также, что из критерия конечности кодлины для многообразий алгебр Ли немедленно вытекает, что многообразие и многообразия Уа, Ц, алгебр Ли, описанные в работе23, имеют почти конечную кодлину.

Следствие 5.1. Многообразие и многообразия Ц, V-), Уз, почти полиномиального роста имеют почти конечную кодлину.

Полное описание многообразий алгебр Ли почти полиномиальной кодлины, является, вероятно, сложной задачей. Мы ограничимся только формулировкой гипотезы:

Гипотеза. Многообразия 11г, Уо, Уъ, Уз, У), и только они, имеют почти конечную кодлину.

23Мищенко С.П. О многообразиях разрешимых алгебр Ли// ДАН СССР. 1990. 'Г. 313. №6. С. 1345- 1348.

Работы автора по теме диссертации

[1] Ханина. И.Р. О некоторых подмногообразиях многообразий Щ и NiAf/ Труды молодых ученых Ульяновского государственного университета: Тезисы докладов студентов и аспирантов на V ежегодной научно-практической конференции. Ульяновск: УлГУ. 1996. С. 8-9.

[2] Ханина И.Р. Необходимое условие конечности кодлины многообразия алгебр Ли в случае поля нулевой характеристики// Фундаментальная и прикладная математика. 2000. №2. С. 607-61G.

[3] Ханина И.Р. О многообразиях алгебр Ли конечной кодлины в случае поля нулевой характеристики // Ученые записки УлГУ. Фундаментальные проблемы математики и механики/ Под ред. Б.Ф. Мельникова. Вып. 4. Ульяновск: УлГУ. 1997. С. 97-98.

[4] Khanina I.R*. Necessary property of colenght fmiteness for a variety of Lie algebras// Межд. алг. конф. памяти А. Г. Куроша. Тез. докл. Москва. 1998.

[5] Ханина И.Р. О многообразиях алгебр Ли конечной кодлины в случае поля нулевой характеристики// Труды молодых ученых Ульяновского государственного университета: Тезисы докладов студентов и аспирантов на VII ежегодной научно-практической конференции. Ульяновск: УлГУ. 1998.

[6] Ханина И.Р. Критерий конечности кодлины многообразий ассоциативных алгебр с инволюцией // Ученые записки УлГУ. Фундаментальные проблемы математики и механики. Часть 2/ Под ред. Б.Ф. Мельникова. Выпуск 2(6). Ульяновск: УлГУ. 1999.

[7] Ханина И.Р. О многообразиях алгебр Ли конечной кодлины в случае поля нулевой характеристики. // Ученые записки УлГУ. Фундаментальные проблемы математики и механики/ Под ред. A.C. Андреева. Выпуск 1(5). Ульяновск: УлГУ. 1998. С. 142-146.

[8] Khanina I.R. About one property of a variety of associative algebras with involution of finite colength and Lie algebras// Межд. алг. конф. 70-летию кафедры высшей алгебры МГУ. Тез. докл. Москва. 1999. С. 71-73.

[9] Ханика И.Р. Критерий конечности кодлины многообразий алгебр Ли// Труды молодых ученых Ульяновского государственного университета : Тезисы докладов студентов и аспирантов на VIII ежегодной научно-практической конференции. Ульяновск: УлГУ. 1999. С. 26-27.

.0] Vasiljeva I.R. Varieties of associative Zf graded algebras of finite colength// Межд. конф. "Formal Power Series and Algebraic Combinatorics": Тез. докл. Москва. 2000.

:1] Васильева И.Р. Критерий конечности кодлины многообразия Zi~ градуированных ассоциативных алгебр// Ученые записки УлГУ. Фундаментальные проблемы математики и механики. Часть 2/ Под ред. Е.В. Дулова. Выпуск 2(7). Ульяновск: УлГУ. 2000. (в печати)

Подписано в печать 13.11.2000. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ №126/¿5"?/

Отпечатано с оригинал-макета в лаборатории оперативной полиграфии Ульяновского государственного университета 432700, г. Ульяновск, ул. Л. Толстого, 42

Введение

Глава 1. Предварительные сведения

1.1 Основные определения и обозначения

1.2. Элементы теории представлений симметрической группы и структура полилинейной части многообразия ассоциативных алгебр

1.3. Элементы теории представлений гипероктаэдральной группы и структура полилинейной частрх многообразия ассоциативных алгебр с инволюцией

Глава 2. Критерий конечности кодлины многообразий ассоциативных алгебр

2.1. Обзор результатов о росте и ко длине многообразий ассоциативных алгебр .

2.2. Критерий конечности кодлины многообразий ассоциативных алгебр

Глава 3. Критерий конечности кодлины многообразий ассоциативных алгебр с инволюцией

3.1. Обзор результатов о росте и ко длине многообразий ассоциативных алгебр с инволюцией

•3.2. Критерий конечности кодлины многообразий ассоциативных алгебр с инволюцией

Глава 4. Критерий конечности кодлины многообразий ассоциативных ¿^-градуированных алгебр

4.1. Обзор результатов о росте и ко длине многообразий ^-градуированных ассоциативных алгебр

4.2. Критерий конечности кодлины многообразий ¿^-градуированных ассоциативных алгебр

Глава 5. Критерий конечности кодлины многообразий алгебр Ли.

5.1 Рост многообразий алгебр Ли

5.2 Кодлина многообразий алгебр Ли

5.3 Необходимое условие конечности кодлины многообразий алгебр Ли.

5.4 Достаточное условие конечности кодлины многообразий алгебр Ли.

Теория многообразий алгебр, или примитивных классов в терминологии Куроша А.Г., стремительно развивалась последние 50 лет.

В данной работе будет исследовано свойство конечности кодлины многообразий линейных алгебр над полем нулевой характеристики. Мы будем работать с многообразиями ассоциативных алгебр, многообразиями ассоциативных алгебр с инволюцией *, многообразиями ¿^-градуированных ассоциативных алгебр и многообразиями алгебр Ли.

Пусть V - некоторое многообразие алгебр, К{Х, V) - относительно-свободная алгебра данного многообразия, где X = {х]. Х2, ■ • •} - счетное множество свободных образующих. Известно ([23]), что в случае поля нулевой характеристики вся информация о многообразии содержится в его полилинейной компоненте, поэтому мы будем работать лишь с полилинейными частями, а не с относительно-свободными алгебрами многообразия. Напомним, что полилинейная часть степени п многообразия является линейным подпространством в пространстве K(X,V) и состоит из полилинейных элементов степени п от переменных .Г]. хп. В зависимости от сигнатуры алгебры К(Х. V) обозначение полилинейной части степени п будет различным. Если сигнатура состоит только из одной билинейной бинарной операции, то полилинейная часть обозначается через Рп(\ ): если же в сигнатуре дополнительно задана линейная унарная операция, то обозначение будет либо Рп{У- *), либо P%r(V). Так. для многообразий ассоциативных алгебр и многообразий алгебр Ли их полилинейные части есть векторные пространства вида:

Pn(V) =< Х{1 . . . .r7;n [{¿1, . . ., in} = {1,.,п}>, для многообразий ¿^-градуированных ассоциативных алгебр

PniV) =< я?1 • • •, • • •, in} = {1, • • •, «}, 9h, ■ ■ •, 9in е {1, Ф} >, где ф - автоморфизм порядка 2 относительно-свободной алгебры данного многообразия. Для многообразий ассоциативных алгебр с инволюцией их полилинейная часть степени п выглядит следующим образом: где * : а —>• а*, а £ А - унарная операция инволюции, заданная на некоторой алгебре многообразия V.

Размерность п-той полилинейной части многообразия определяет n-тую коразмерность многообразия cn(V) = dim Pn(V) (соответственно cn(V, *) = dim Pn(V, *), cgnr(V) = dim P%r(V)). В зависимости от функции, которой мажорируется или которую мажорирует числовая последовательность коразмерностей, будем различать полиномиальный или степенной, экспоненциальный или показательный рост и сверхэкспоненциальный рост многообразия.

Помимо роста коразмерностей, ключевым понятием в данной работе будет понятие ко длины многообразия, которую мы сейчас определим.

Известно, что полилинейную часть степени п можно рассматривать как модуль над групповой алгеброй некоторой конечной группы: в зависимости от сигнатуры это будет либо 5^-модуль. если сигнатура состоит из одной операции, либо -//„-модуль, если сигнатура состоит из двух операций. Здесь Sn - симметрическая группа порядка п. Нп - гипероктаэдральная группа. Тогда, по теореме Машке, полилинейную часть степени п можно разложить в прямую сумму неприводимых подмодулей.

Определение!. Число слагаемых в разложении полилинейной части степени п многообразия на неприводимые подмодули называется ко длиной многообразия.

Поясним данное понятие, использую язык кратностей и характеров.

Каждому подмодулю из разложения полилинейной части степени п на неприводимые модули соответствует либо разбиение A h п, если мы имеем дело с Sn-MOдулями, либо пара разбиений (A, /¿), A h mi, \i Ь m2, гп\ + m<2 — п. если имеем дело с ^„-модулями. Напомним, что под разбиением Ahn понимается набор чисел (Ai,., А*), такой что ^t, Ai + . -f At — п. Неразложимый характер, соответствующий разбиению А (паре разбиений (A,/i)), обозначим через ха соответственно Х\ц)

Тогда, для многообразия V линейных алгебр с сигнатурой из одной билинейной бинарной операции ^„-характер равен

Xn(V) = x(Pn(V)) = Етххл,

Ahn, где тп\ - степени неприводимых представлений, соответствующих разбиению Л числа п.

Кодлину многообразия тогда можно определить как

L = L(V) = Е

Ahn,

Для многообразия V линейных алгебр с сигнатурой из одной билинейной бинарной операции и одной линейной унарной операции Нп-характер равен п

Хп(У• *) = Е Е m\.nXx,ß

Г-0 Ahr ßhn — г в случае многообразий ассоциативных алгебр с инволюцией *. либо y„(F) = £ £ mX flXX fi

Г—0 Ahr ¿¿Нп — г в случае многообразий Z^-rpajynpoBaHHbix ассоциативных алгебр, и кодлину многообразия V тогда можно определить как п

LiV. *) = Е Е m\.ß

Г=0 Ahr ßhn—r i3n(v) -ЕЕ rnKli, r=0 Ahr ßbn — r где m\ ß - степени неприводимых представлений, соответствующих паре разбиений (А,/х).

Дадим еще два определения, связанные с основным объектом нашего исследования - кодлиной.

Определение2. Многообразие V имеет конечную кодлину, если существует константа С, не зависящая от п, такая, что для любых п выполняется неравенство 1п{\г) < С (соответственно 1п(У,*)<С или /Г(У)<С).

ОпределениеЗ. Многообразие V имеет почти конечную кодлину, если любое его собственное подмногообразие имеет конечную кодлину, в то время как кодлина самого многообразия V конечной не является.

В 1978 А.Р. Кемером году был получен критерий конечности код-лины в случае многообразий ассоциативных алгебр ([17]). Он утверждает: многообразие V имеет конечную кодлину тогда и только тогда, когда рост его коразмерностей полиномиально ограничен.

Основной целью данной работы является нахождение эквивалентных условий конечности кодлины в трех случаях: многообразий ассоциативных алгебр с инволюцией, многообразий супералгебр или многообразий £2-градуированных ассоциативных алгебр и многообразий алгебр Ли. Каждому из трех случаев посвящена отдельная глава. Таким образом, центральными результатами диссертационного исследования являются доказательства следующих трех критериев.

1. Критерий конечностн кодлины многообразий ассоциативных алгебр с инволюцией:

Пусть V - многообразие ассоциативных алгебр с инволюцией над полем нулевой характеристики. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) многообразие V имеет конечную кодлину: и) многообразие V имеет полиномиальный рост.

2. Критерий конечности кодлины многообразий супералгебр, то есть многообразий ¿¡^-градуированных ассоциативных алгебр:

Пусть V - многообразие ассоциативных ¿¡^-градуированных алгебр над полем нулевой характеристики. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) многообразие V имеет конечную кодлину; и) многообразие V имеет полиномиальный рост.

3. Критерий конечности кодлины многообразий алгебр Ли:

Пусть V - многообразие алгебр Ли над полем нулевой характеристики. Тогда следующие условия эквиваленты:

I) существует натуральное число 5 > 2, такое что Ьт2 <£. V С А^А;

II) кодлина многообразия V конечна.

Все три результата формулируются в виде теорем: первый результат - в виде теоремы 3.1 в главе 3, второй результат - в виде теоремы 4.1 в главе 4, третий результат - в виде теоремы 5.1 в главе 5.

Результаты диссертации изложены в 5 статьях [50], [46], [49], [74] и [48], а также опубликованы в тезисах 6 конференций [45], [48], [50], [73], [74], [85].

Результаты диссертации докладывались на рабочих научно-исследовательских семинарах кафедры х\лгебро-геометрических вычислений Ульяновского государственного университета, в Ульяновском педагогическом университете, на ежегодных научно-практических конференциях студентов и аспирантов Ульяновского государственного университета.

Теперь перейдем в более подробному изложению содержания диссертации по Главам.

Первая глава "'Предварительные сведения"' носит вводный характер и состоит из трех пунктов.

В пункте "Определения и обозначения'1 напоминаются основные определения и обозначения. Здесь же вводятся соглашения о некоторых обозначениях и приводятся примеры многообразий ассоциативных алгебр, ассоциативных алгебр с инволюцией, ¿^-градуированных ассоциативных алгебр или супералгебр и многообразий алгебр Ли. большинство из которых понадобится при дальнейшем изложении.

Во втором и третьем пунктах Главы 1 даются необходимые сведения из теории представления симметрической группы биекпий п-элементного множества и гипероктаэдральной группы Нп соответственно. Здесь же описывается строение полилинейных частей многообразий как модулей над соответствующими групповыми алгебрами.

В частности, в пункте 1.2 описано строение ¿"„-модуля Рп(У), где V - многообразие ассоциативных алгебр или многообразие алгебр Ли.

В пункте 1.3 описано строение Нп-модуля Р„(У, *), где V - многообразие ассоциативных алгебр с инволюцией *. В начале данного пункта мы даем определение гипероктаэдральной группы Нп, поскольку данная группа не так широко известна по сравнению с группой 5П, и показываем в общих чертах, как можно описать модуль Р„(У, *) в терминах модулей над групповыми алгебрами симметрических групп.

Глава 2 носит название "Критерий конечности ко длины многообразий ассоциативных алгебр"; она не содержит новых результатов. В начале данной главы приводятся результаты о многообразиях ассоциативных алгебр, связанные с ростом и кодлиной данных многообразий и приводится критерий конечности ко длины многообразий ассоциативных алгебр, сформулированный и доказанный А.Р. Кемером (теорема 5, [17]). Здесь мы приводим передоказательство этого результат с использованием другой техники, которая понадобится нам при доказательстве критериев конечности кодлины в других случаях. Сам критерий конечности кодлины многообразий ассоциативных алгебр звучит следующим образом:

Теорема 2.1. Пусть V - многообразие ассоциативных алгебр над полем нулевой харатеристики. Тогда следующие условия эквивалентны: г) многообразие имеет, конечную ко длину: и) многообразие имеет полиномиальный рост.

Для доказательства критерия мы используем два многообразия ассоциативных алгебр, которые описаны в пункте 1.1, а именно, многообразие, порожденное бесконечномерной алгеброй Грассмана С, и многообразие, порожденное алгеброй иТъ верхнетреугольных матриц порядка 2.

Бесконечномерная алгебра Грассмана <9 над полем К порождается счетным множеством {е1,е2,.}, причем для порождающих выполнены соотношения = —е^ег- для всех г,

Алгебра ТЛ'ч верхнетреугольных матриц размера 2x2: имеет идеал тождеств гд.{Т-2) = Т([:Г1, #4]) (см. [24]).

Кодлины многообразий, порожденных данными алгебрами, являются почти конечными ([77], [24] и [79]). Отметим также, данные многообразия являются единственными многообразиями ассоциативных алгебр почти полиномиального роста ([24], [58], [17]). Таким образом, условие полиномиальности роста некоторого многообразия ассоциативных алгебр V эквивалентно отсутствию в данном многообразии бесконечномерной алгебры Грассмана С и алгебры 17Т2 верхнетреугольных матриц порядка 2.

Теорема 2.2. Пусть V - многообразие ассоциативных алгебр над полем нулевой характеристики. Тогда следующие условия эквивалентны: г) многообразие V имеет конечную ко длину;

И) многообразие V не содержит алгебр С и иТ-2.

Заметим также, что в приведенном доказательстве большую роль играет тождество специального вида:

Д гу»-*-1 = Е (1)

КМ где М.У - некоторые константы, коэффициенты -ц лежат К.

Третья глава посвящена изучению многообразий ассоциативных алгебр с инволюцией. Центральным результатом данной главы является критерий конечности кодлины. сформулированный в следующем виде:

Теорема 3.1. Пусть V - многообразие ассоциативных алгебр с инволюцией над полем нулевой характеристики. Тогда следующие условия эквивалентны:

I) многообразие V имеет конечную ко длину;

И) многообразие V имеет полиномиальный рост.

В начале Главы 3, как и в предыдущей главе, мы сделали краткий обзор известных на сегодняшний день результатов о росте и кодлине многообразий ассоциативных алгебр с инволюцией.

При доказательстве критерия используются два многообразия ассоциативных алгебр с инволюцией, которые были описаны в пункте 1.1. А именно:

1. Многообразие, порожденное четырехмерной алгеброй М с базисом {а, 6, с, с*}, таким что а* = а, Ъ* = 6, о? = а, Ь2 = Ь,ас = сЬ — с, с*а — Ьс* = с* и всеми остальными произведениями равными нулю (см. [78]). Идеал тождеств данного многообразия (согласно той же работе) равен Ы(М, *) = Т^г^). Переменные ¿1,22 являются кососиметрическими относительно действия инволюции, то есть ¿ = 1,2.

2. Многообразие, порожденное двумерной коммутативной алгеброй С2 = Р © Р с инволюцией (а, Ъ)* = (Ь. а) ( [61]).

Отметим, что кодлины данных многообразий не являются конечными ([60], [78]). Таким образом, верен также следующий критерий конечности кодлины многообразий ассоциативных алгебр с инволюцией на "'языке носителей":

Теорема 3.2. Пусть V - многообразие ассоциативных алгебр с инволюцией над полем, нулевой характеристики. Тогда следующие у словил эквивалентны: г) многообразие V имеет конечную ко длину: и) многообразие V не содержит алгебр 6'-> и М.

Аналогично ассоциативному случаю, при доказательстве критерия конечности кодлины большую роль играет тождество вида згу-'-т = Е 7,гЛ«/-'-' (2)

КТ где Т, N - некоторые константы, коэффициенты 7i принадлежат К, переменная у - симметрическая, а переменная х может быть как симметрической так и кососимметрической относительно действия инволюции *. Данное тождество выполняется в многообразиях V ассоциативных алгебр с инволюцией, не содержащих алгебру М.

Вывод условия полиномиальности роста из условия конечности кодлины является несложным результатом, так как описанные выше многообразия являются единственными в своем классе многообразиями почти полиномиального роста [78].

Заметим, что Теорема 3.1 имеет такую же формулировку, как и Теорема 2.1. Это обусловлено связью между многообразиями просто ассоциативных алгебр и многообразиями ассоциативных алгебр с инволюцией. (см. работы [66], [54]). Многообразия ассоциативных алгебр с инволюцией являются частными примерами многообразий алгебр, сигнатура которых содержит помимо бинарной билинейной операции еще к унарных линейных операций, представляющих собой действия элементов конечной группы порядка к на относительно-свободной алгебре данного многообразия. О таких многообразия см. подробнее в работе Джамбруно А., Мищенко С. П. и Зайцева М.В. [63].

В данной работе мы затрагиваем лишь случай, когда группа состоит их двух элементов. Как показано в работе ([65]), такие алгебры тесно связаны с ^-градуированными алгебрами, которым посвящена четвертая глава.

В четвертой главе формулируется и доказывается критерий конечности кодлины многообразий ^-градуированных ассоциативных алгебр или супералгебр.

В начале данной главы мы поясняем понятия полилинейной части Р%Г(У) многообразия V супералгебр и кодлины. данные в пункте 1.1. В частности, модуль РЦГ{У) является ^„-модулем (его строение сходно со строением Я„-модуля Рп{У- *). см. пункт 1.3) и разлагается в прямую сумму неприводимых подмодулей, число которых определяет кодлину многообразия V. Как и в случае с инволюцией, изучение строения модуля РЦГ(У) сводится к изучению модулей симметрических групп.

Кроме того, в этой главе мы приводим краткое описание всех многообразий ^-градуированных ассоциативных алгебр почти полиномиального роста. В отличие от предыдущих случаев, в рассматриваемом классе существует пять многообразий почти полиномиального роста [65]:

• многообразия, порожденные бесконечномерной ^-градуированной алгеброй Грассмана С над полем К и ¿^-градуированной алгеброй иТч верхнетреугольных матриц размера 2x2 над полем К с тривиальным типом градуировки (<2 = (7® О, ?7Т2 = £/Т2©0).

Мы будем обозначать их зириаг (? и вируаг ПТ-2 соответственно;

• многообразия, порожденные алгебрами С и ¿772 с заданой на них стандартными градуировками <2 = (7о©Сп, 11Т2 = (А'ец+ЛГегг)© Кех2, где ^о - линейной пространство, порожденное мономами от ег- четной длины, а (?! - нечетной длины. Мы будем обозначать их соответственно вириаг и вириаг 11Т

• многообразие супералгебр, порожденное алгеброй Кф1К, £2 = 1.

Сам критерий конечности кодлины многообразий супералгебр формулируется в следующем виде:

Теорема 4.1. Пусть V - многообразие ассоциативных 2ч-градуиро-ванных алгебр над полем нулевой харатеристики. Тогда следующие условия эквивалентны: г) многообразие V имеет конечную ко длину ; и) многообразие V имеет полиномиальный рост.

Заметим, что кодлины перечисленных выше многообразий растут полиномиально ([17]. [79]. см. также [77], [24], [65], [84], [62]).

Таким образом, верен также следующий критерий конечности кодлины многообразий ассоциативных алгебр с инволюцией на "языке носителей"':

Теорема 4.2. Пусть V - многообразие ассоциативных 2-1-градуиро-ванных алгебр над полем нулевой харатеристики. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) многообразие V имеет, конечную ко длину; п) многообразие V не содержит алгебр С, иТ->. СРГ. I Т|7 и К Ш / А' *2 = 1.

Идея доказательства Теоремы 4.1 аналогична идее доказательств теорем 3.1 и теорем 2.1. При доказательстве одной импликации мы находим тождество специального вида утху«-1-т = Е 7««/V-1-' (3)

КТ где Т, N - некоторые константы, коэффициенты 7г- лежат в К, переменная у - четная, а переменная х - произвольная.

Выполнение данного тождества следует из выполнения двух других аналогичных тождеств, только в первом тождестве переменная х -четная, что соответствует условию иТ% ^ V, а во втором тождестве переменная х - нечетная, что соответствует случаю ?7Т|Г 0 V.

Наконец, пятая глава посвящена многообразиям алгебр Ли. Мы считаем результат данной главы центральным результатом диссертационного исследования, поэтому в диссертации сделан более подробный обзор известных на сегодняшний день результатов по росту и ко длине многообразий алгебр Ли, и мы вынесли этот обзор в отдельные пункты (пункты 5.1 и 5.2 соответственно).

При доказательстве критерия использовались два многообразия алгебр Ли:

1. Многообразие Л .4 с нильпотентным коммутантом ступени нильпотентности не выше Оно определяется тождеством вила хЬГ2) . ■ • 1^25+2) = 0.

Рост данного многообразия экспоненциальный [40].

2. Многообразие 1~2 алгебр Ли. Данное многообразие определяется всеми тождествами вида = 0. где полином }\ соответствует разбиению А = (Ах.Аг) числа п. удовлетворяющему условию п--А) > 2. В пункте 5.2 данной диссертации мы показали строение полилинейной части данного многообразия, подсчитали его кодлину ¡пЦЬ) = п — 2. п > 3 и формулу п-й коразмерности с„(С72) = п - 1 + Ц + = п2 - 2гг.

Как несложно заметить, данное многообразие имеет полиномиальный рост коразмерностей, но при этом его кодлина также полиномиальна, в отличии от рассмотренных ранее случаев.

Сам критерий конечности кодлины многообразий алгебр Ли сформулирован в пункте 5.4 в следующем виде:

Теорема 5.1. Пусть V - многообразие алгебр Ли над полем нулевой характеристики. Тогда следующие условия эквиваленты:

I) кодлина многообразия V конечна, и) существует натуральное число з > 3, такое что и? У С

Данная теорема является самостоятельным результат'ом.

В случае алгебр Ли доказательство критерия оказывается более технически сложным, поэтому мы разбили его доказательство на доказательство необходимого и достаточного условия. Вкратце скажем, что идеи доказательств и в том и в другом случае состоят в нахождении тождеств специального вида, из которых следует, что либо многообразие V удовлетворяет первому условию Теоремы 5.1, либо оно имеет конечную ко длину.

Подчеркнем еще раз тот факт, что в отличие от случаев многообразий ассоциативных алгебр, рассмотренных в главах 2, 3. 4. для многообразий алгебр Ли полиномиальность роста является необходимым, но не достаточным условием конечности ко длины.

Отметим, в главе 5 получено полное описание многообразий алгебр Ли. ко длина которых равна 2. начиная со значения п = 4.

Предложение 5Л. Если при любом п > 4 для многообразия, V алгебр Ли выполняется 1п(У) = 2. тогда имеет место одно из следующих равенств:

1. V = 1~2 П (Л2)2

2. V = С~2 П иаг(з1-2).

Здесь многообразие (Л2)2 есть многообразие 2-метабелевых алгебр Ли (подробности см. в работах [26], [83]). многообразие тг^) - многообразие алгебр Ли, порожденное алгеброй матриц размера 2 х 2 со следом 0 (см. работы [10], [41]). В ходе доказательства получено описание полилинейных частей данных многообразий. Отметим, что описание многообразий с условием 1п{У) — 2 при п > 4 явилось первым результатом автора по тематике диссертации.

Отметим также, что из критерия конечности кодлины для многообразий алгебр Ли немедленно вытекает, что многообразие II2 и многообразия Уо, У2, Уз, У4 разрешимых алгебр, описанных в работе [31], имеют почти конечную ко длину.

Следствие 5.1. Многообразие 112 и многообразия Т^о, V*}, разрешимых алгебр почти полиномиального роста имеют почти конечную кодлину.

Полное описание многообразий алгебр Ли почти полиномиальной кодлины, является, вероятно, сложной задачей. Мы ограничимся только формулировкой гипотезы:

Гипотеза. Многообразия ЬЦ, ^о, и только они, имеют почти конечную кодлину.

1. Ананьин А.З., Кемер А.Р. Многообразия ассоциативных алгебр, решетки подмногообразий которых дистрибутивны// Сиб. ма-тем. журнал. 1976. Т. 17. N 4(98). С. 723-730.

2. Бахтурин Ю.А. Тождества в алгебрах Ли. М.: Наука. 1985.

3. Бенедиктович А.Н., Залесский А.Е. Т-идеалы свободных алгебр Ли с полиномиальным ростом последовательности коразмерностей// Весщ АН БССР. 1980. N 3. С. 5-10.

4. Васильева И.Р. Критерий конечности кодлины многообразия градуированных ассоциативных алгебр// В сб. "Ученые записки УлГУ. "Фундаментальные проблемы математики и механики." Часть 2/ Под ред. Е.В. Дулова. Выпуск 2(7). Ульяновск: УлГУ. 2000.

5. Вайс А. Я. О специальных многообразиях алгебр Ли// Алгебра и логика. 1989. Т.28. N 1. С. 29-40.

6. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М.: Наука, 1976.

7. Воличенко И.Б. Об одном многообразии алгебр Ли. связанном со стандартными тождествами. I// Весщ АН БССР: Сер. ф1з,-матем. навук. 1980. N 1. С. 23-30. И. // Там же. N 2. С. 22-29.

8. Гришков А.И. О росте многообразий алгебр Ли// Математические заметки. 1988. Т. 44. N 1. С. 51-54.

9. Джеймс Г. Теория представления симметрических групп. М.: Наука. 1982.

10. Дренски B.C. Представления симметрической группы и многообразия линейных алгебр// Матем. сб. 1981. Т. 115. N 1 (5). С. 98-115.И. Зайцев М.В. Многообразия аффинных алгебр Каца-Муди// Математические заметки. 1997. Т. 92. N 1. С. 92-105.

11. Зайцев М.В., Мищенко С.П. Асимптотика функций роста код-лины многообразий алгебр Ли// УМН. 1999. Т. 54. N 3. С. 161162.13