Числовые характеристики и другие свойства лиевых многообразий почти полиномиального роста тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Пестова Юлия Рямильевна

ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ И ДРУГИЕ СВОЙСТВА ЛИЕВЫХ МНОГООБРАЗИЙ ПОЧТИ ПОЛИНОМИАЛЬНОГО РОСТА

Специальность 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени 28 ОКТ 2015

кандидата физико-математических наук

Ульяновск - 2015 г.

005563704

Работа выполнена на кафедре алгебро-геометрических вычислений в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Ульяновский государственный университет"

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

ФГБОУ ВПО "Ульяновский государственный университет"

Мищенко Сергей Петрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

ФГОБУ ВО "Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации", профессор кафедры "Математика" Пчелиицев Сергей Валентинович

кандидат физико-математических наук, ФГБОУ ВПО "Ульяновский государственный педагогический университет им. И.Н. Ульянова", исполняющая обязанности заведующего кафедрой высшей математики Череватенко Ольга Ивановна Ведущая организация: ФГАОУ ВПО "Казанский (Приволжский)

федеральный университет"

Защита состоится "02" декабря 2015 г. в Ю00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.278.02 при ФГБОУ ВПО "Ульяновский государственный университет", расположенном по адресу: ул. Набережная р. Свияги, 106, корп. 1, ауд. 703.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Ульяновского государственного университета и на сайте ВУЗа — http://ppo.ulsu.ru, с авторефератом — на сайте ВУЗа http://ppo.uisu.ru и на сайте Высшей аттестационной комиссии при Министерстве образования и науки Российской Федерации — http://vak.ed.gov.ru.

Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные печатью организации, просим направлять по адресу: 432017, г. Ульяновск, ул. Л. Толстого, 42, УлГУ, Отдел подготовки кадров высшей квалификации.

Автореферат разослан v 2015 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.278.02 кандидат физико-математических наук , ^ Волков М.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Первыми примерами неассоциативных алгебр стали алгебры Ли, прочно закрепившиеся в математике в конце 19 века в связи с изучением групп Ли. Класс алгебр Лейбница, вероятнее всего, впервые был определен в работе A.M. Блоха1 в качестве алгебр Лодея. Алгебры Лейбница стали активно изучаться лишь в начале 90-х годов как неантикоммутативные аналоги алгебр Ли для обобщения необходимых приложений лиевых алгебр в таких областях, как алгебраическая К-теория, классическая алгебраическая топология, дифференциальная геометрия. Свободная алгебра Лейбница была описана Ж. Лодеем и Т. Пирашвили3. Алгебры Лейбница определяются тождеством

(.xy)z = (xz)y + x{yz)

и являются обобщениями алгебр Ли, в которых выполняются тождество антикоммутативности

z2 = 0

и тождество Якоби

(xy)z + (yz)x + {zx)y = 0.

Заметим, что если в алгебре Лейбница выполняется тождество антикоммутативности, то она является алгеброй Ли.

При изучении разных математических структур хорошо известным и давно используемым в математике алгебраическим приемом является выделение классов объектов исследования с помощью тождеств. Класс всех линейных алгебр над некоторым полем, в которых выполнен фиксированный набор тождественных соотношений, Мальцевым А.И. назван многообразием линейных алгебр над заданным полем, а А.Г. Курош назвал его примитивным классом алгебр. Теория многообразий развивается и в настоящее время. Так, например, интересные результаты, связанные с числовыми характеристиками многообразий алгебр Ли, полученные в последние годы, изложены в статье3, где построена дискретная серия многообразий алгебр Ли с различными ■дробными экспонентами, что невозможно в ассоциативном случае.

Отметим, что на протяжении всей работы характеристика основного поля Ф равна нулю. Пусть V - некоторое многообразие алгебр, а Ф(Х, V) - относительно свободная алгебра этого многообразия со счетным множеством свободных образующих X --■ {xi, Х2,...}. Множество всех полилинейных элементов от Х\.....хп

1 Блох, A.M. 06 одном обобщения понятия алгебры Ля / A.M. Влек // Доклады Академии наук СССР.

- 1965. - Т. 18, № 3. - С. 471-473.

3 Loday, J.-L. Universal enviloping algebras of Leibniz algebras and (co)homology / Loday J.-L. and PirashviU T. // Math. Ann. - 1992. - V. 296. - P. 139-158.

3 Malyusheva, (Bugdancbbuk) O. A. Series of varieties of Lie algebras of different fractional exponents [Text] / O. A. Malyusheva, S. P. Mishchenko, A. B. Verevkin // Doll. Bolg. AN - 2013. - V. 66.- № 3. - P. 321-330.

в алгебре Ф(ЛГ,У) обозначим через P„(V) и определим естественным способом на нем структуру модуля симметрической группы 5„. Результат действия перестановки р е Sn на полилинейном левонормированном мономе х(1х^ ...Xin € Pn(V) равен xp(iuxp(M) ■ • • xp[in)- В середине прошлого века было показано4, что в случае нулевой характеристики основного поля любое тождество эквивалентно системе полилинейных тождеств. Таким образом, вся информация о многообразии V содержится в пространствах Pn(V), n = 1,2,..., так называемых полилинейных частях многообразия. Поэтому исследование структуры б1,,-модуля P„(V) играет важную роль при изучении многообразия V. Модуль P„(V) является вполне приводимым, рассмотрим разложение его характера в целочисленную комбинацию неприводимых характеров Ха с кратностями гп\, где Ahn — разбиение числа п,

Хп(У) = х(Рп(У)) = £тлхл.

Ahn

Обозначим Cn(V) размерность пространства Pn(V). По сложившейся традиции последовательность чисел e„(V), n = 1,2,..., называют последовательностью коразмерностей вербального идеала многообразия или просто последовательностью коразмерностей многообразия. Эта последовательность является одной из основных числовых характеристик многообразия. Важными числовыми характеристиками являются также кратности тп\ и последовательность кодлин

=

Ahn

где п — 1,2,..., то есть последовательность длин модулей Pn(V). Обозначим через d\ размерность соответствующего разбиению А неприводимого модуля, то есть d\ — degXA- Понятно, что имеет место такое равенство

Ahn

Асимптотическое поведение размерности пространства Pn(V) определяет рост многообразия.

В математическом анализе принято различать полиномиальный или степенной, экспоненциальный или показательный рост. Если многообразие имеет полиномиальный рост, то и рост любого его подмногообразия будет таковым. А в случае многообразия показательного роста его подмногообразия могут иметь показательный, промежуточный или полиномиальный рост. Многообразие V имеет почти полиномиальный рост, если рост самого многообразия не является полиномиальным, но рост любого собственного подмногообразия является полиномиальным. Такие многообразия играют важную роль в теории многообразий.

4 Мальцев, А.И. Алгебраические системы / А.И. Мальцев. - М.: Наука, 1970. - 392 с.

В случае ассоциативных алгебр существуют только два многообразия почти полиномиального роста5. Первое из них порождено бесконечномерной алгеброй Грас-смана G, другое — алгеброй верхнетреугольных матриц ОТ 2 порядка два6. В классе алгебр Ли существует ровно четыре разрешимых многообразий почти полиномиального роста N2A = Vi, V2, V3, V4 и найдено одпо неразрешимое многообразие почти полиномиального роста Vq7. В случае алгебр Лейбница существует девять многообразий почти полиномиального роста. Помимо указанных ранее пяти многообразий алгебр Ли, найдены еще четыре многообразия Vi, V¡, V3, V4 с аналогичным экстремальным свойством8.

И.И. Бенедиктовичем и А.Е. Залесским9 сформулирован и доказан критерий полиномиальное™ роста в терминах диаграмм Юнга для случая алгебр Ли. Ограничение клеток вне первой строки в разбиениях, порождающих ненулевые слагаемые сумм неприводимых изоморфных подмодулей, построенных по таблицам Юнга, является характерным только для многообразий полиномиального роста. С.П. Мищенко10 нашел еще одно эквивалентное условие. С.П. Мищенко и О.И. Череватенко11 сформулировали критерий полиномиальности роста алгебр Лейбница над полем нулевой характеристики.

Объектом исследования данной работы являются многообразия алгебр Ли и Лейбница почти полиномиального роста, их полилинейные компоненты и числовые характеристики.

Предметом исследования является поведение числовых характеристик и строение базисов полилинейных частей некоторых многообразий алгебр Ли и Лейбница почти полиномиального роста.

Цель и задачи работы. Целью диссертационной работы является нахождение новых свойств известных примеров многообразий алгебр Ли и Лейбница почти по-

5Кемср, А.Р. Т-идсалы со степенным ростом коразмерностей / А.Р. Кемер // Сиб. матем. журнал. -1978. - № 19. - С. 37-48.

вМальцев, Ю.Н. Базис тождеств алгебры верхнетреугольных матриц / Ю.Н. Мальцев // Алгебра и логика. - 1971. - Т. 10. - С. 393-400.

7 Мшденко, С.П. Рост многообразий алгебр Ли / С.П. Мищенко // Успехи мат. наук. - 1990. - Т. 45, № 6. - С. 25-45.

8 Mishchenko, S.P. Linear algebra varieties with almost polynomial growth / S.P. Mishchcnko // Polynomial identities and combinatorial methods. Pantelleria. — 2001.

9 Бенедиктович, И.И. Т-идеалы свободных алгебр Ли с полиномиальным ростом последовательности коразмерностей / И.И. Бенедиктович, А.Е. Залесскнй // Весщ АН БССР: Сер. <|нз. матем. наук. - 1980. -№ 3. - С. 5-10.

10 Мищенко, С.П. Рост многообразий алгебр Ли / С.П. Мищенко // Успехи мат. наук. - 1990. - Т. 45, № 6. - С. 25-45.

11 Мищенко, С.П. Необходимые и достаточные условия полиномиальности роста многообразия алгебр Лейбница / С.П. Мищенко, О.И. Череватенко // фундаментальная и прикладная математика. - 2006. - Т. 12, № 8. - С. 207—215.

линомиального роста над полем нулевой характеристики. Для достижения цели были поставлены и решены следующие задачи:

1. Нахождение формул для вычисления кодлины многообразия, порожденного трехмерной простой алгеброй Ли з^.

2. Построение базиса полилинейной части многообразия К2А, состоящего из алгебр Ли с нильпотентным ступени не выше двух коммутантом, а также нахождение явных формул для вычисления его кодлин и коразмерностей.

3. Построение базиса полилинейной части многообразия алгебр Лейбница почти полиномиального роста Ух, определяемого тождеством Х1(х2Хз){х^) ~ 0.

Методы исследования. В работе использованы методы теории линейных алгебр, методы теории представлений симметрической группы, техника диаграмм Юнга, комбинаторные методы.

Научная новизна. Все полученные в работе результаты являются новыми. Впервые найдена формула для вычисления кодлины многообразия, порожденного трехмерной простой алгеброй Ли, построен базис полилинейной части многообразия, состоящего из алгебр Ли с нильпотентным ступени не выше двух коммутантом, а также найдены формулы для вычисления его числовых характеристик, таких как кодлина и коразмерность, построен базис полилинейной части многообразия алгебр Лейбница почти полиномиального роста, определенного тождеством а^О^з) (0:4X5) = 0.

Научные положения, выносимые на защиту.

1. Формула для вычисления кодлины многообразия, порожденного трехмерной простой алгеброй Ли.

2. Формулы кодлины и коразмерности многообразия, состоящего из алгебр Ли с нильпотентным ступени не выше двух коммутантом, а также описание базиса его полилинейной части.

3. Описание базиса полилинейной части многообразия алгебр Лейбница, определенного тождеством х1(х2х3)(х4х^) = 0.

Теоретическая и практическая значимость работы. Работа носит теоретический характер. Возможность использования полученных теоретических результатов в исследованиях многообразий линейных алгебр является практической значимостью диссертационного исследования.

Личный вклад автора. Формулировки и идеи получения результатов, изложенных в диссертационной работе, выполнены совместно с научным руководителем, а проработка деталей доказательств, написание статей и их оформление согласно требованиям редакций, включая англоязычные версии, — автором лично.

Достоверность результатов исследований. Достоверность результатов, полученных в данной работе, подтверждается как строгостью постановок задач, так и ма-

тематическими методами их решения, опирающимися на теорию линейных алгебр, теорию представлений симметрической группы, технику диаграмм Юнга, комбинаторные методы.

Апробация работы. Основные результаты диссертации обсуждались и были представлены на конференциях и семинарах:

1) Семинары кафедры алгебро-геометрических вычислений Ульяновского Государственного Университета;

2) XI Международная конференция "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" (Саратов, 9-14 сентября 2013 г.);

3) XII Международная конференция "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" , посвященная восьмидесятилетию профессора В.Н. Латышева (Тула, 21-25 апреля 2014 г.);

4) Международная конференция "Мальцевские чтения" (Новосибирск, 10-13 ноября 2014 г.);

5) XIII Международная конференция "Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения", посвященная восьмидесятипятилетию со дня рождения профессора С.С. Рышкова (Тула, 25-30 мая 2015 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 работ, в том числе четыре статьи в журналах из списка ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит кз введения, трех глав и списка литературы из 77 источников. Общий объем диссертации составляет 103 страницы, основной текст диссертации изложен на 74 страницах.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, описываются цель работы и решаемые задачи. Дается краткий анализ научных работ, посвященных рассматриваемой тематике, приводится аннотация работы.

Первая глава носит обзорный характер и содержит необходимые для чтения диссертации понятия и обозначения. В первом параграфе этой главы определены нужные нам понятия из теории многообразий. Второй параграф посвящен теории представлений симметрических групп. Точнее, в нем представлена та информация из этой теории, которая используется нами для исследования многообразий линейных алгебр. В третьем параграфе рассматриваются основные свойства и числовые характеристики двух ассоциативных многообразий почти полиномиального роста, которые исчерпывают полный список многообразий с такими же свойствами. Первое многообразие порождается бесконечномерной алгеброй Грассмана С, а второе - алгеброй верхнетреугольных матриц порядка два иТ2. В конце этого параграфа

сформулировал известный критерий полиномиальности роста для многообразий ассоциативных алгебр над полем нулевой характеристики12: пусть V является многообразием ассоциативных алгебр, тогда следующие условия эквивалентны:

1) Многообразие V не содержит алгебр G и UT2\

2) V имеет полиномиальный рост;

3) V имеет конечную кодлину.

Для многообразий ассоциативных алгебр хорошо известен следующий результат А. Регева13 об их росте: многообразие ассоциативных алгебр V, в котором выполнено нетривиальное тождество степени m, удовлетворяет неравенству Cn(V) < (m — l)2n для любого п, то есть любое многообразие ассоциативных алгебр, в котором выполнено нетривиальное тождество, имеет не более чем экспоненциальный рост.

Вторая глава посвящена свойствам лиевых многообразий почти полиномиального роста пад полем нулевой характеристики Ф.

В первом параграфе дано описание многообразий алгебр Ли, имеющих почти полиномиальный рост. Для единообразия записи мы будем придерживаться обозначения Vo, Vi, Vj, V3, V4. Четыре из них, кроме первого, исчерпывают весь набор разрешимых многообразий алгебр Ли почти полиномиального роста. Также в работе мы приведем известный критерий полиномиалыюсти роста многообразий в классе алгебр Ли над полем нулевой характеристики14: для многообразий алгебр Ли над полем нулевой характеристики следующие условия эквивалентны:

1) Многообразие V имеет полиномиальный рост;

2) Для некоторого s выполнено условие N2A </L V С N,A;

3) Ненулевые подмодули модуля Pn(V) соответствуют лишь диаграммам с ограниченным числом, не зависящим от п, клеток вне первой строки.

Напомним, что многообразие всех нильпотентных алгебр ступени нильпотентности не выше s обозначается через Ns, а многообразие всех абелевых алгебр - А. Их произведение NSA содержит все такие алгебры Я, содержащие идеал I € Nä такой, что R/I е A. N,A - многообразие алгебр Ли, определяемое тождеством (iiz2)... (x2j+1X2S+2) = 0. Таким образом, многообразие N2A является наименьшим подмногообразием в N„A, рост которого выше чем полиномиален.

Рассмотрим матрицы второго порядка со следом нуль над основным полем относительно операции коммутирования. Множество этих матриц образует трехмерную простую алгебру Ли sl2. Для многообразия, порожденного этой алгеброй, будем при-

12 Кешег, A. T-ideals with power growth of the codimensions are Specht / A. Kemer. // (Russian) Sibirskii Matematicheskii Zhurnal. - 1978. - V. 19. - P. 54-69; (English) Siberian Math. J. - 1978. - V. 19. - P. 37-48

13 Regev, A. Existence of polynomial identities in A ® В / A. Regev // Bull. Amer. Math. Soc. — 1971. — V. 77, № 6. - P. 1067-1069.

14 Мищенко. С.П. Рост многообразий алгебр Ли / С.П. Мищенко // Успехи мат. наук. — 1990. — Т. 45, № в. - С. 25-45.

держиваться обозначения V0. Именно этому многообразию и будет посвящен второй параграф второй главы. Размыслов Ю.П. доказал пшехтовость, нашел базис тождеств этого многообразия15,16:

Утверждение 2.4. Базис тождеств многообразия V0 состоит из тождественных соотношений

^(-l^zoZptijipWZp^ZpM - °i pes*

(хгх^^зц)®! = 0.

B.C. Дренски получил информацию о строении его полилинейных частей как модулей симметрических групп. Им же построены ненулевые элементы относительно свободной алгебры этого многообразия, линеаризациями которых порождаются неприводимые модули в полилинейной части. Он сформулировал результат о кратно-стях неприводимых характеров в разложении характера 5„-модуля Р„ многообразия Vo17. Этот результат о кратностях мы использовали при доказательстве основного результата этого параграфа. Сформулируем его в виде отдельной теоремы.

Теорема 2.2. В разложении характера полилинейной части Pn(V0), п > 1, для кратностей выполняются следующие равенства:

Г 1, если Л = (р + q + r,p + д, р), где р + q ф 0 и q или г нечетное;

I 0, в остальных случаях.

Поясним, что в связи с тем, что тождества, которые выполняются в алгебре sh имеют степень не менее пяти, то модуль P„(Vо) при п < 4 совпадает с соответствующим модулем многообразия всех алгебр Ли и его строение хорошо известно18, а именно:

Xi(Vo) = = X(1,1>,

X3(V0) = X(2,l). X4(V0) = X(3,l) + X(2,l,l)-

Для доказательства основной теоремы этого параграфа нам понадобятся также вспомогательные результаты, которые мы сформулируем в виде лемм. Все ниже изложенные результаты являются новыми и опубликованы в работах автора19'20.

15 Размыслов, Ю.П. О конечной базируемости тождеств матричной алгебры второго порядка над полем характеристики нуль / Ю.П. Размыслов // Алгебра и логика. - 1973. - Т. 12, № 1. - С. 83-113.

16 Размыслов, Ю.П. Конечная базируемость некоторых многообразий алгебр / Ю.П. Размыслов // Алгебра и логика. - 1974. Т. 13, № 6. - С. 685-693.

17 Дренски, B.C. Представления симметрической группы и многообразия линейных алгебр / B.C. Дренски // Матем. сб. - 1980. - Т. 115, № 1. - С. 98-115.

18 Вахтурин, Ю.А. Тождества в алгебрах Ли / Ю.А. Бахтурин, - М.: Наука, 1985. - 448 с.

15 Пестова, Ю.Р. Кодлвна многообразия, порожденного трехмерной простой алгеброй Ли / Ю.Р. Пестова // Вестник Моск. Униэ-та. Сер. 1. Математика. Механика. — 2015. — № 3. — С. 58-61.

20 Пестова, Ю.Р. О многообразии, порожденном трехмерной простой алгеброй Ли / Ю.Р. Пестова Ц Малъцевские чтения: междувар. конф. - Новосибирск, 2014. - С. 107.

Лемма 2.1. Для кодлин многообразия при тг > 4 верно следующее соотношение:

1п{Уо) =1п-з(Уо)+ап + еп,

где

если п = 4к; если и = 4к + 2; если п = 2т + 1

1, если п = 2т; О, если п — 2т + 1.

Лемма 2.2. Для кодлин многообразия У0 при п > 4 верно следующее соотношение:

1п+1(Уо)=1п(Уо) + еп,

к, если п = 4к\ 1, если п = 4к + 1; к, если п = 4к + 2; 1, если п = 4£ 4- 3. Сформулируем основной результат второго параграфа.

Теорема 2.3. Для всех п> 2 кодлина многообразия "Уо вычисляется по формулам:

где еп :

Шо) = .

п2-4-4П 18 1 па+бп—7 16 > па+4п+4 16 ' па+6п-11 16 >

если п = 4к; если п = 4к +1; если п = 4к + 2; если 71 = 4к 4" 3.

Третий параграф посвящен многообразию VI = ^А, которое определяется тождеством

(х1х2)(х3х4,)(х^х6) = О

и состоит из алгебр Ли с нильпотентным ступени не выше двух коммутантом. Это многообразие было достаточно подробно исследовано в работе С.П. Мищенко21. Там была установлена почти полиномиальность роста этого многообразия, найдены формулы для кратностей вхождения неприводимых модулей в разложение полилинейной части, рассматриваемой как модуль симметрической группы, описаны на "языке тождеств" подмногообразия с дистрибутивной решеткой подмногообразий.

Мищенко, С.П. Многообразия алгебр Ли с двуступенно нильпотентным коммутантом / С.П. Мищенко // Весщ АН БССР: Сер. фь. матем. наук. - 1987. - № 6. - С. 39-43.

Теорема 2.4. В разложении характера полилинейной части P„(N2A), п > 6, для кратяостей выполняются следующие равенства:

m(p,q), если Л = (р + q + 1,р + 1,1,1), n = 2p + q + A-

m(p,q), если А= (р + q + 2,р + 2,2), n = 2p +д + 6;

I m(p,q), если А = (р + q,p),p > 2, n = 2р + g;

n(p,q), если Л = (р + q + 1,р + 1,1), п — 2р + q + 3;

1, если А = (п — 1,1);

О в остальных случаях.

В этом параграфе мы находим формулы для вычисления кодлины данного многообразия, строим базис полилинейной части многообразия P„(N2A) и выводим формулу для вычисления его коразмерности. Эти результаты являются новыми22,23,24. Что касается кодлины данного многообразия, то во втором пункте мы доказываем такую теорему:

Теорема 2.5. Кодлина многообразия N2A для п > 2 вычисляется по следующим формулам:

!5„'-24n+32; если n = 4т;

Bn'-2g4n+36) если п = 4т + 2;

б„з-24>и-35; если п = 4т + 1 или п = 4т + 3.

Формула получена непосредственным вычислением, используя формулы для крат-ностёй из выше сформулированной теоремы.

В третьем пункте третьего параграфа мы находим базис полилинейной части многообразия N2A и, опираясь на известные комбинаторные тождества, связанные с биномиальными коэффициентами, выводим точную формулу для вычисления его коразмерности.

Теорема 2.6. Базис полилинейной части Pn(N2A) состоит из элементов вида:

Xi1XnXi2 . . .

где ii < п > ¿2 > ■ ■ ■ > i„_i;

(ZjjXnXi2 . . . Xin_k_1 ){xj1Xj2 ■ • ■

22 Мищенко, С.П. Новые свойства многообразия алгебр Ли NjA / СЛ. Мищенко, Ю.Р. Фятхутдинова (Пестова) // Фундаментальная и прикладная математика. - 2012. - Т. 17, № 7. - С. 165-173 (English: Mishchenko, S.P. New properties of the Lie algebra variety Nj A / S.P. Mishchenko, Yu.R. EYathutdinova (Pestova) // Journal of Mathematical Sciences. - March, 2014. - Vol. 197, № 4. - P. 558-564.)

23 Мищенко, С.П. Кодлина многообразия алгебры Ли N2A / С.П. Мищенко, Ю.Р. Фятхутданова (Пестова) // Ученые записки УлГУ. Сер. Математика информационные технологии. - 2012. - 1(4). - С. 70-72.

24 Мищенко, С.П. Новые свойства многообразия алгебр Ли NjA / С.П. Мищенко, Ю.Р. Фятхутданова (Пестова) // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения: XI междунар. конф. - Саратов: СГУ, 2013. - С. 62.

где к = 2,..., (п - 2) и h < п > v¡ > ■ ■ ■ > in-k~i,ji < к > h > • • • > Зк-

При п > 2 коразмерность многообразия задается формулой

сь(N2A) = (п - 1) ((п - 4)2"-3 + 2) .

Третья глава посвящена исследованию свойств многообразий алгебр Лейбница почти полиномиального роста над полем нулевой характеристики. В классе алгебр Лейбница известны девять многообразий почти полиномиального роста, пять из них - это выше упомянутые лиевы многообразия Vo, Vi, V2, Va, V¿, a оставшиеся четыре - это многообразия алгебр Лейбница Vi, V2, V3, V4, по свойствам попарно схожие с разрешимыми лиевыми. В первом параграфе третьей главы мы озвучим основные характеристики многообразий алгебр Лейбница почти полиномиального роста. Также мы сформулируем известный критерий полиномиальности роста многообразий алгебр Лейбница над полем нулевой характеристики25:

Утверждение 3.2. В случае нулевой характеристики основного поля многообразие алгебр Лейбница V имеет полиномиальный рост тогда и только тогда, когда существует такое число в, что выполпено условие

N2A, Vi V С NjA.

Многообразие NSA является многообразием алгебр Лейбница, определяется тем же самым тождеством, что и многообразие N2A, и имеет схожие с ним свойства.

Во втором параграфе данной главы исследуется многообразие алгебр Лейбница почти полиномиального роста Vi, определяемое тождеством

xi(x2x3)(xix¡) = О

и являющееся аналогом многообразия алгебр Ли N2А - Vi. Оно было построено в работе С.П. Мищенко и А. Валенти26.

Пусть e,j - матричные единички, а {/Т2 = UT2(Ф) = Феи + Фе12 + Фе22 ассоциативная алгебра верхнетреугольных матриц размером 2x2 над полем нулевой характеристики Ф. Введем обозначение через UT% для алгебр тех же матриц только относительно другого умножения, когда результат произведения двух матриц равен нулю, то есть для любых а°, £ UT% произведение а?«" = 0. Рассмотрим теперь

U = UT* в UT2

25 Мищенко, С.П. Необходимые и достаточные условия полиномиальности роста многообразия алгебр Лейбница / С.П. Мищенко, О.И. Череватенко // Фундаментальная и прикладная математика. - 2006. - Т. 12, № 8. - С. 207-215.

26 Mishchenko, S. A Leibniz variety with almost polynomial growth / S. Miehchenko, A. Valenti //J. Pure Appl. Algebra. - 2005. - V. 202. - P. 82-101.

Шд :

прямую сумму двух векторных пространств LT2° и UT2. Зададим на U структуру линейной алгебры, определяя произведение в ней следующим образом

(а? + сц)(а£ + а2) = (а^)0 + [ai, а2],

где [ai, а2] = oia2 — a^ai коммутатор матриц, а

0 (еа , если j = h е?¡eu = <

" \ 0 , если j ф h.

Алгебра U является алгеброй Лейбница, которая порождает многообразие Vi. В выше названной работе найдены основные числовые характеристики данного многообразия, в том числе и формулы для кратностей вхождения пеприводимых модулей в разложение полилинейной части, рассматриваемой как модуль симметрической группы:

' д + 1, если А = (р + ? + 1,р+1,1,1), (p + g + 2,p + 2,2), (д + 1,1); 2q +1, если А = (g+ 1,1,1); 2q + 2, если А = (р + q,p), р > 2; Зд + З, еслиА = (р + д+1,р + 1,1), р > 0; 1, если А = (п); 0, в остальных случаях.

При доказательстве основного результата этого параграфа мы опираемся на формулы для кратностей, а также па следующую лемму.

Лемма 3.1. В многообразии алгебр Лейбница Vi выполняются следующие тождественные соотношения для р 6 q € Sm :

(xxpW ... xp(k)){ztyqm ... yg(m)) = (zzj... xk){ztyi... ym).

Из этой леммы следует, что наличие пары альтернированных образующих начиная со второй позиции внутри первой скобки, или во второй скобке начиная с третьей позиции, влечет равенство элемента нулю. Еще мы замечаем, что тождество

(ZiÏ! . . . Xfcplt+l . . . Уп-2)(2223У1 . . . УкХк+1 ■ ■ ■ Хп-2) = 0

не выполняется в алгебре U, а следовательно и в многообразии Vi.

Основным результатом этого параграфа является построение базиса полилинейной части указанного многообразия алгебр Лейбница, который опубликован в работах автора и его научного руководителя37'28.

27 Мищенко, С.П. Базис полилинейной части многообразия алгебр Лейбница Vi / С.П. Мищенко, Ю.Р. Пестова // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. - 2014. - № 3 (114). - С. 76-82.

28 Mishchenko, S.P. Leibniz algebras variety Vi / S.P. Mishchenko, Yu.R. Pestova // Proceedings XII International Conference Algebra and Number Theory: Modern problems and Applications, dedicated to S0-th anniversary of Professor V.N. Latyshev. - 1\ila: L.N. Tolstoy TulGPU, 2014. - P. 121.

Теорема 3.1. Базис полилинейной части Рп(У 1) состоит из элементов вида:

• • • Х^,

где г2 > • • • > ¿„;

(х^х^ . . . . . . Х]к),

где к = 2,..., (п - 1), г2 > ■ ■ ■ > ¿„-к, Л < 32 Ъ32> Зз> ■■■> Зк-

В заключении отметим такую взаимосвязь формул для коразмерностей трех многообразий: многообразия ассоциативных алгебр иТ2, порожденного алгеброй верхнетреугольных матриц порядка два иТ?\ многообразия N2А всех алгебр Ли, коммутанты которых нильпотентны ступени не выше двух и многообразия алгебр Лейбница VI.

Утверждение 3.3. Для всех п > 1 для коразмерностей выполнены равенства

Это очевидно из формул коразмерностей каждого из выше перечисленных многообразий

Сп(иТ2) = 2п~1(п — 2) + 2, ^(N2 А) = (п - 1) ((п - 4)2"-3 + 2) , ^(УО = 2П~2п(п - 3) + 2п.

Основные результаты, полученные в диссертационной работе.

1. Найдена формула д ля вычисления кодлины многообразия, порожденного трехмерной простой алгеброй Ли.

2. Построен базис полилинейной части многообразия, состоящего из алгебр Ли с нильпотентным ступени не выше двух коммутантом, а также найдены формулы его кодами и коразмерностей.

3. Построен базис полилинейной части многообразия алгебр Лейбница почти полиномиального роста VI, определенного тождеством ¡г^хгЯзХя^б) = О-

Автор выражает искреннюю благодарность и признательность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Сергею Петровичу Мищенко за предложенное направление исследований, полезные советы, постоянное внимание к работе и поддержку.

РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ

Публикации в журналах, входящих в список ВАК

[1] Мищенко, С.П. Новые свойства многообразия алгебр Ли N2 А / С.П. Мищенко, Ю.Р. Фятхутдинова (Пестова) // Фундаментальная и прикладная математика. -2012. - Т. 17, № 7. - С. 165-173 (English: Mishchenko, S.P. New properties of the Lie algebra variety N2A / S.P. Mishchenko, Yu.R. Fyathutdinova (Pestova) // Journal of Mathematical Sciences. - March, 2014. - Vol. 197, № 4. - P. 558-564.)

[2] Мищенко, С.П. Базис полилинейной части многообразия алгебр Лейбница Vi / С.П. Мищенко, Ю.Р. Пестова // Вестник Самарского Государствешюго Университета. Естествешюнаучная серия. — 2014. - Л"1 3 (114). - С. 76-82.

[3] Пестова, Ю.Р. Кодлина многообразия, порожденного трехмерной простой алгеброй Ли / Ю.Р. Пестова // Вестник Московского Университета. Серия 1. Математика. Механика. - 2015. - № 3. - С. 58-61.

[4] Пестова, Ю.Р. О новых свойствах некоторых многообразий почти полиномиального роста / Ю.Р. Пестова // Чебьппевский сборник. - 2015. - Т. 16, выпуск 2. -С. 186-207.

Публикации в прочих журналах

[5] Мищенко, С.П. Кодлина многообразия алгебры Ли N2A / С.П. Мищенко, Ю.Р. Фятхутдинова (Пестова) // Ученые записки Ульяновского Государственного Университета. Серия Математика и информационные технологии. Выпуск 1(4) / Под редакцией профессора A.A. Смагина. - Ульяновск, 2012. - С. 70-72.

[6] Мищенко, С.П. Новые свойства многообразия алгебр Ли N2 А / С.П. Мищенко, Ю.Р. Фятхутдинова (Пестова) // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения. Тезисы докладов XI международной конференции (Саратов, 9-14 сентября 2013 г.). - Саратов, 2013. - С. 62.

[7] Mishchenko, S.P. Leibniz algebras variety Vi / S.P. Mishchenko, Yu.R. Pestova // Proceedings XII International Conference Algebra and Number Theory: Modern problems and Applications, dedicated to 80-th anniversary of Professor V.N. Latyshev (Tula, 21-25 April 2014.). Tula, 2014. - P. 121.

[8] Пестова, Ю.Р. О многообразии, порожденном трехмерной простой алгеброй Ли / Ю.Р. Пестова // Мальцевские чтения: международная конференция (Новосибирск, 10-13 ноября 2014 г.). - Новосибирск, 2014. - С. 107.

[9] Пестова, Ю.Р. О новых свойствах некоторых многообразий алгебр Ли и Лейбница почти полиномиального роста / Ю.Р. Пестова // XIII Международная конференция "Алгебра, теория чисел и дискретная геометрияховременные проблемы и приложения", посвященная восьмидесятипягилетию со дня рождения профессора С.С. Рышкова (Тула, 25-30 мая 2015 г.). - Тула, 2015. - С. 173-176.

Подписано в печать 28.09.2015. Формат 60 х 84/16. Гарнитура Times New Roman. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 120. Заказ № 92 Wo?

Отпечатано с оригинал-макета в Издательском центре Ульяновского государственного университета 432017, г. Ульяновск, ул. Л. Толстого, 42