Инварианты действия конечномерной алгебры Хопфа на алгебрах специального вида тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Еряшкин Михаил Сергеевич

Инварианты действия конечномерной алгебры Хопфа на алгебрах специального вида

01.01.06 - Математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 мар шг

Казань - 2012

005015601

Работа выполнена в отделе алгебры и математической логики Федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования "Казанский (Приволжский) федеральный университет".

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Скрябин Сергей Маркович,

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Ведущая организация : Государственное образовательное учреждение

Защита состоится «28» марта 2012 г. в . ос на заседании диссертационного совета Д 212.081.24 при ФГАОУВПО "Казанский (Приволжский) федеральный университет" по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, д. 35., конференц-зал библиотеки им. Н. И. Лобачевского.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Казанского (Приволжского) федерального университета.

профессор Артамонов Вячеслав Александрович, кандидат физико-математических наук, доцент Насрутдинов Марат Фаритович.

высшего профессионального образования "Самарский государственный университет".

<1,

Автореферат разослан « ¿^¿££^2012

-г

г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 21 к.ф.-м.н., доцент

Еникеев А.И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. В этой диссертации обобщаются некоторые классические результаты теории инвариантов конечных групп на случай действия конечномерной алгебры Хопфа на алгебре специального вида, гомоморфно отображающейся на коммутативную область целостности.

Хорошо известно, что для произвольной группы G на групповой алгебре kG можно задать структуру алгебры Хопфа, причем всякое действие группы G автоморфизмами на некоторой алгебре А дает действие алгебры Хопфа k G на алгебре А1. Таким образом, понятие действия алгебры Хопфа обобщает действия групп автоморфизмами, а значит имеет смысл рассмотреть задачу переноса ряда фактов классической теории инвариантов на случай действия алгебр Хопфа. Классическим результатом теории инвариантов, принадлежащим Э. Нётер, является факт о том, что алгебра А является целым расширением подалгебры инвариантов А°, в случае действия конечной группы G автоморфизмами на коммутативной алгебре А. Как обобщение этого результата Монтгомери2 был поставлен вопрос о том, будет ли коммутативная //-модульная А целым расширением подалгебры инвариантов Ан, в случае, если H конечномерна. Положительный ответ на данный вопрос был получен в следующих случаях:

1. H — кокоммутативная алгебра Хопфа, этот результат был получен в работах Феррера-Сантоса3 и Шнайдера4;

1 Montgomery S. Hopf algebras and their actions on rings. - Providence, RI: American Mathematical Soc. -1993.- 238 p. глава 4.

2 там же

3 Ferrei-Santos \V. Finite generation of the invariants offinite dimensional Hopf algebras113. Algebra - 1994,-V. 165. - P. 543-549.

4 Schneider H. J. On inner actions of Hopf algebras and stabilizers of representations J. Algebra - 1994. - V. 165.-P. 138-163.

2. char к не делит dim Я и Я инволютивна, или char к ф 0 и корадикал Я кокоммутативен, в работе Жу5;

3. Я — точечная алгебра Хопфа и А — аффинная целостная алгебра, в работе Артамонова6;

4. char к = р > 0 или А не содержит ненулевых нильпотентных идеалов, устойчивых относительно действия Я, в работе Скрябина7.

Контрпримеры, построенные в работах Жу8 и Тотока9, обусловлены наличием в А ненулевых нильпотентных Н -инвариантных идеалов. Если А конечно порождена как алгебра, свойство А быть целой над Ан равносильно тому, что А конечно порождена как модуль над /Iя, и в этом случае Ан конечно порождена как алгебра.

В случае, когда алгебра Хопфа не является кокоммутативной, коммутативных Я-модульных алгебр оказывается недостаточно много, например нельзя утверждать, что действие алгебры Хопфа Я на произвольном //-модуле V можно продолжить до действия на симметрической алгебре £(К). Таким образом имеет смысл рассмотреть действие алгебры Хопфа Я на более широком классе //-модульных алгебр.

Определение 1. Обозначим через А (или, более точно, Ан) категорию, объектами которой являются пары (А, За), где А — некоторая Я-модульная алгебра, За — идеал в А такой, что факгоралгебра Sa = А/За коммутативна, и За не содержит ненулевых устойчивых относительно действия Я идеалов алгебры А.

5 Zhu S. Integrality of module algebras oyer its invariants. //J. Algebra - 1996. - V. 180. - P. 187-205.

6 Артамонов В. А. Инварианты алгебр Хопфа. //Вести. МГУ. Сер. 1, матем.мех.. - 1995. - №4. - С.45-49 ; Исправление Вести. МГУ. Сер. 1, матем.мех.. - 1997. -№2. - С. 64.

7 Skiyabiß S.M. Invariants offinite Hopf algebras. //Advances in Math. - 2004. - V. 183.-P. 209-239.

8 см. сноску 5.

9 Тоток А. А. Об инвариантах конечномерных точечных алгебр Хопфа. //Вестн. МГУ. Сер. 1, матем.мех.. - 1997. -№3. - С. 31-34.

Морфизмы в категории Л — это гомоморфизмы Я-модульных алгебр ф : А -> В с условием ф(3А) с Зв.

Для краткости будем говорить об алгебрах из категории Л без явного упоминания идеалов Зл. Обозначим через тс а : А —> каноническую проекцию.

Цель диссертационной работы. Обобщение классических результатов теории инвариантов конечных групп на случай действия конечномерной алгебры Хопфа на алгебре из категории Л.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер, её результаты могут использоваться в дальнейших исследованиях в области инвариантов алгебр Хопфа. Материалы диссертации могут быть использованы при чтении спецкурсов для студентов и аспирантов в университетах.

Основные результаты диссертации.

1. В случае действия полупростой алгебры Хопфа на конечно-порожденной алгебре А из категории А установлена конечная порожденность алгебры А как модуля над своей подалгеброй инвариантов. В случае не полупростой алгебры Хопфа построен контрпример.

2. Для каждой алгебры А из категории Л такой, что является облястью целостности, показано, что Н-эквивариантнос кольцо частных Март-индейла <2//(А) является конечномерной фробениусовой алгеброй над подпол ем инвариантных элементов (2н(А)н, а также является классическим кольцом частных алгебры А.

3. Введена полная подкатегория Л категории Л, алгебры из которой целы над своими подалгебрами инвариантов. Построен функтор из категории

А в категорию Л, сопряженный слева к включению Ли Л.

4. Получено несколько эквивалентных достаточных условий того, что поле инвариантов Я-эквивариантного кольца частных Мартиндейла <2и (А) совпадает с полем частных подалгебры инвариантов алгебры А из категории Л.

Апробация работы.

По результатам диссертации были сделаны доклады:

• на летней школе-конференции "Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов" (Самара, Россия, 8—15 июня 2009 г.);

• на второй школе-конференции "Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов" (Москва, Россия, 31 января — 5 февраля 2011 г.);

• на международной конференции "Алгебра и математическая логика" (Казань, 25-30 сентября 2011г.);

• на научных семинарах и итоговых конференциях кафедры алгебры и математической логики Казанского (Приволжского) федерального университета 2009-2011 гг.

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [1]-[6]

Личный вклад автора. Основные результаты диссертации получены автором. Результаты второй главы получены совместно с С. М. Скрябиным [1] в процессе нераздельного сотрудничества.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа изложена на 78 страницах и состоит из введения, четырех глав, разделенных на параграфы, и списка литературы, содержащего 32 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, приведен обзор результатов исследований по ее тематике. Приведены необходимые определения и обозначения. Приведем некоторые из них.

Определение 2. Алгебра Хопфа Я действует на А, если А наделена структурой левого Я-модуля и для любых Л б Я, а, Ь е А

А • (аЬ) = -а)ф{1) -Ь), к ■ 1А = в(И)1А.

А

Алгебра А с заданным действием Я называется Я -модульной алгеброй.

Определение 3. Алгебра Хопфа Я кодействует на А, если А наделена структурой правого Я-комодуля и р : А -> А <8> Я является гомоморфизмом алгебр.

В этом случае также считается, что А является Н-комодулъной алгеброй.

Определение 4. Элемент а € А называется инвариантом, если Н ■ а = в(К)а для всех /г е Я, в случае Я-модульной алгебры, р(а) = а ® 1, в случае Я-комодульной алгебры.

Корадикалом Со коалгебры С называется сумма (прямая) всех простых подкоалгебр в С. Алгебра Хопфа Я называется точечной, если любая ее простая подкоалгебра одномерна. Корадикал точечной алгебры Хопфа является линейной оболочкой ее группоподобных элементов, и множество всех груп-поподобных элементов алгебры Хопфа Я является группой, которая обозначается через О(Н).

Также во введение поясняется, что все утверждения, сформулированные для Я-модульной алгебры (Я-комодульной алгебры), остаются верными и для Я-комодульной алгебры (Я-модульной алгебры), в случае, когда Я конечномерна.

В главе 1 рассматривается вопрос о том, будет ли А конечно-порожденным модулем над Ан, и А" конечно-порожденной к-алгеброй, в случае кодей-ствия кополупростой конечномерной алгебры Хопфа на конечно-порожденных алгебрах из категории А.

Определение 5. Коалгебра С называется кополупростой, если для любых правых С-комодулей и с V существует правый С-комодуль IV с V такой, что

у = и®ш.

Для конечномерной коалгебры С известно, что С кополупроста тогда и только тогда, когда С* является полупростой алгеброй.

В параграфе 1.1 изучены первоначальные свойства Я -комодульных алгебр из категории А. Показано, что, если А — Я-модульная алгебра из категории А, тогда:

1. Отображение лд \лн: Ан —> Ба иньективно. При этом Ан содержится в центре А.

2. Если 5л конечно-порождена как -модуль, А является конечнопорож-денной к-алгеброй, и алгебра Хопфа Я конечномерна, то А конечно-порождена как Ля-модуль, и Ан — конечно-порожденная к-алгебра.

Также в параграфе 1.1 для любого Я-комодуля (Я-модуля) V построена Я-комодульная (Я-модульная) алгебра Бн(У) из категории А. В случае, когда Я коммутативна, $я(У) совпадает с симметрической алгеброй ¿'(К).

В параграфе 1.2 изучается кодействие кополупростой алгебры Хопфа на алгебре из категории А. Факты установленные в первом параграфе об алгебрах из категории А позволяют доказать, что, если Я является кополупростой алгеброй Хопфа, то алгебра Бц(У)н конечно-порождена как к-алгебра и алгебра конечно-порождена как Зд(У)н-модуль, откуда немедленно

следует следующая теорема, которая является основным результатом первой главы об алгебрах инвариантов кодействия кополупростой алгебры Хопфа.

Теорема 1. Пусть Н — конечномерная кополупростая алгебра Хопфа и А — конечно-порожденная Н-комодульная алгебра из категории А. Тогда алгебра Ан конечно-порождена как k-алгебра и алгебра А конечно-порождена как Ан-модуль.

В параграфе 1.3 показано, что в случае кодействия некополупростой алгебры Хопфа на конечно-порожденной Я-комодупьной алгебре А из категории А ответ на вопрос о конечной порожденное™ А как Л н-модуля, и Ан как k-алгебры отрицателен. Это показывает следующий пример, в котором используется четырехмерная алгебра Хопфа из книги Свидлера10. В этом примере полагается, что char к = 0.

Пусть Я = к(g, x)/(g2 — 1, x2, xg + gx), где k(£, x) — свободная алгебра порожденная элементами g их. Коумножение на Я задается по формулам

¿(g)=g®g, A(x)=x®l+g®x.

Предложение 2. Пусть U — правый Н-комодуль, и {е\,ег} образуют базис U над к, кодействие на котором задается по формулам

р(е2) — e2®g, p(ei) = ех ® 1 -f е2 ®

Тогда А — Sn(U) не конечно-порождена как АИ-модуль, и Ан не конечно-порождена как к-алгебра.

Глава 2 посвящена вопросу о существовании наибольшей подалгебры Хопфа в биалгебре. Результаты этой главы получены совместно с С.М. Скрябиным и носят вспомогательных характер. Как известно, алгебры Хопфа выделяются среди биалгебр наличием антипода — обратного к тождественному

10 Sweedler М.Е. Нор/Algebras - New York:Benjamin. - 1969. - 336 p.

отображению относительно операции конволюции. Для двух подалгебр Хопфа Я), Яг биалгебры В не ясно, всегда ли существует подалгебра Хопфа, содержащая Hi и Нг одновременно.

Если А — алгебра, то векторное пространство Нот(С, А) всех линейных отображений С —> А наделено структурой алгебры посредством конволюции *п задаваемой по формуле

<р * f = M о (<р <g> f) о Л, <р, \jr е Нот(С, А),

где M : А <8> А А — умножение в А. Единичным элементом этой алгебры служит отображение мое, где и : к —»■ А определено сопоставлением а al л-Пусть далее В — некоторая биалгебра. Если H — подалгебра Хопфа в В, то ее антипод s и, рассматриваемый как линейное отображение Я -> В, является обратным к отображению включения H В в алгебре Нот(Я, В). Это мотивирует следующее

Определение 6. Назовем подкоалгебру Сел слабо обратимой в В, если отображение включения i : С В обратимо в Нот(С, В). Обозначим s с = г-1. Назовем С обратимой в В, если, кроме того, Imic i= С.

В параграфе 2.1 изучаются свойства (слабо) обратимых подко алгебр в биалгебре. Показано, что произвольная сумма (слабо) обратимых подко алгебр снова является (слабо) обратимой подкоалгеброй, откуда немедленно следует следующее

Предложение 3. Любая биалгебра В содержит наибольшую обратимую в В подкоалгебру Кроме того, В содержит наибольшую подкоалгебру обратимую как в В, так и в В°р.

11 Montgomery S. Hopf algebras and their actions on rings. - Providence, RI: American Mathematical Soc. -1993.-238 p.

Без дополнительных теоретико-кольцевых предположений не удается доказать, что подкоалгебры, существование которых установлено в предложении 3, замкнуты относительно умножения в В. Поэтому в параграфе 2.2 биалгебра В предполагается слабо конечной.

Кольцо R называется слабо л-конечным, если для любых п х и-матриц U е Matn{R) равенство XY = 1 влечёт равенство YX = 1. Кольцо R называется слабо (или стабильно) конечным, если оно слабо л-конечно для всех п > 0. Равносильная формулировка заключается в том, что любой сюръекгив-ный эндоморфизм каждого конечно порожденного свободного Я-модуля биективен. Благодаря условию слабо конечности биалгебры В удается показать, что образ любого морфизма ко алгебр ср : С -> В обратимого в Нот(С, В) является слабо обратимой подкоалгеброй в В. Благодаря этому факту удается доказать, что подкоалгебры, существование которых установлено в предложении 3, замкнуты относительно умножения в В, и тем самым получить следующую теорему.

Теорема 4. Слабо конечная биалгебра В имеет наибольшую подалгебру Хопфа Н{В), а также наибольшую подалгебру Хопфа с биективным антиподом Ш(В). При этом 7i{B) (соотв. совпадает с наибольшей обратимой

в В (соотв. в В и в В0?) подкоалгеброй. Для произвольной алгебры Хопфа (соотв. алгебры Хопфа с биективным антиподом) Н морфизмы биалгебр Н —> В находятся в биективном соответствии с морфизмами алгебр Хопфа Н — Н(В) (соотв. Н -> H(£)J.

Следствие 5. Если J — биидеал алгебры Хопфа Н, причем биалгебра H/J слабо конечна, то J является идеалом Хопфа.

Слабо конечными являются многие классы колец1213. В частности, сфор-

12 Montgomery S. Von Neumann ßniteness of tensor products of algebras //Comm. Algebra. - 1983. - V. 11.-P. 595-610.

" Rowen L.H. Ring Theory. Vol. 1. - Boston; Academic Press. - 1988. - 462 p.

мулировашгый выше результаты применимы к любой нетеровой слева или справа биалгебре, а также к любой биалгебре, удовлетворяющей полиномиальному тождеству. По крайней мере утверждение о гомоморфизмах Я В перестает быть верным без предположения о слабой конечности.

В работе Николса14 утверждение о том, что J является идеалом Хопфа, сформулировано для нескольких случаев: Я/ J конечномерна, Я/ J коммутативна, Я точечна, Я кокоммуташвна (при этом условие е(У) — 0, накладываемое на биидеал, заменено требованием J П к = 0). Также в работе Такеучи15 то же самое заключение было получено в предположении о том, что Я — строго ко плоский Я/J-комодуль справа или слева.

В главе 3 продолжается начатое в первой главе исследование подалгебр инвариантных элементов некоммутативных Я-модульных алгебр специального вида. Важную роль в этой главе будет играть Я -эквивариаптное кольцо частных Мартиндейла Qu {А), введенное в обиход М.Коэн16 для изучения внутренних действий алгебр Хопфа. В пара1рафе 3.1 приведено построение Я-эквивариантного кольца частных Мартиндейла Qh{ä) для алгебры А из категории Л такой, что Sa является областью целостности.

В книге Монтгомери17 определено двустороннее кольцо частных Мартиндейла Qf(R) по отношению к произвольному фильтру идеалов Т кольца R с условием, что Lann(/) = r.ann(/) = 0 для всех / б Т, и для любых I, J е Т существует К 6 Т такой, что К с /У, ще через l.ann(/), r.ann(/) обозначены левый и правый аннуляторы идеала I. Это кольцо строится как

14 Warren D.Nichols Quotients of Hopf algebras. //Comm. Algebra. - 1973. - V. 6. - P. 1789-1800.

15 Takeuchi M. Quotient spaces for Hopf algebras //Comm. Algebra. - 1994. - V. 22. - P. 2503-2523.

16 Cohen M. Smash products, inner actions and quotient rings. //Pacific J. Math.. - 1986. - V. 125. - № 1. - P.

45-66.

17 Montgomery S. Hopf algebras and their actions on rings. - Providence, RI: American Mathematical Soc. -1993. - 238 p.

прямой предел

Qr{R) = lim{(/, g) | / e Нотй(я/, R), g e НотR)

такие, что (af)b = a(gb) для всех a,b e /},

где af = f(a) и gb = g(b). Сумма и произведешь двух его элементов = (_//,£,), где е НотЛ(«/,,Я), е Нотд(/(Л, Л), i е О, задаются по формулам <7i + <?2 = (/i + /2, gi + ft) и q:q2 = (/2 о /ь g-j о g2), вде правые и левые отображения определены на некотором К е Т таком, что К с 11 Г) 12 для суммы, и AT с /2/, для произведения.

Кольцо Л вкладывается в Qt(R) с помощью отображения а н>- (га,/а), где г а, 1а — правое и левое умножения на а. Гомоморфизмы / и g в любой паре (/, задающей элемент # е Qf(R), сводятся к правому и левому умножению на q в кольце Qr{R). Таким образом, Iq С R и qI с R, вде I — идеал из Т, на котором fug определены. Известно, что если R — коммутативная область целостности, Т — множество всех ненулевых идеалов в R, то Qj-{R) отождествляется с полем частных Q(R) кольца R.

Предположим, что R — некоторая Я-модульная алгебра. Если Я имеет биективный антипод и фильтр F является фильтром Я-инвариантных идеалов, то на Q(R) задается действие алгебры Хопфа Я. Пусть q = (/, g), где / € НоткОг/, R), g е НоmR(IR, R), I е Т. Тоща h ■ q - {h ■ f,h ■ g), где h • / € Нотд(д/, R), h • g e НотR(IR, R) определяются по правилам:

Ф ■ л = £>P) • [С^_ЧЛС1)> • а)Я Ф ■ s)a = X>n ■ ■ «)]•

W (Л)

Предположим, что A — алгебра из категории А, для которой фак-торалгебра Sa является областью целостности. Рассмотрим двусторонние Я-эквивариантное кольцо частных Мартиндейла Qh(A), построенное по

фильтру Т = {/ | J — ненулевой Я-инвариантный идеал в А}. Если ] — //-инвариантный идеал в А, то г.апп(7) и 1.апп(/) также являются Я-инвариантными идеалами в Л. Так как лгД/) ф 0 для любого 1 е то из целостности следует, что 1.апп(7) = г.апп(/) = 0. Для гфаткосги будем называть 0.н{А) кольцом Мартиндейла для алгебры А. Отождествим алгебру А с подалгеброй в в в (А).

Также в параграфе 3.1 показано, что алгебра <2н(А) принадлежит категории Л, причем алгебра вкладывается в кольцо частных <2 (¿'л) алгебры Б а, и следующее предложение об инвариантных элементах алгебры 0.н(А) в случае, когда Я — алгебра Хопфа с биективным антиподом. В параграфах 3.1, 3.2 и 3.3 алгебра А зафиксирована и используются краткие обозначения

е = е

Предложение 6. Пусть Я — алгебра Хопфа с биективным антиподом и любой Н-подмодуль в А является суммой конечномерных Я -подмодулей. Тогда алгебра инвариантов 0,И является полем, причем

6 я ^ 1шгНотн(/,Л) Л Нощ^ОЛЛ),

Те?

где фильтр Т состоит из всех ненулевых Н-инвариантных идеалов в А и Нотд.лС/, А) — множество гомоморфизмов А-бимодулей из / в А.

Ненулевые элементы Qн представляются тройками (/, /, /'), где /, £ Т, а /:/->/' — изоморфизм Н-модулей и А-бимодулей, и каждая такая тройка задает некоторый ненулевой элемент из (¿н.

Заметим, что в параграфе 3.1 алгебра Хопфа Я не предполагается конечномерной в отличии от последующих параграфов третьей главы. Так как алгебра вкладывается в кольцо частных <2 алгебры 5/1, то будем отождествлять алгебру 8() с ее образом в алгебре ().

В параграфе 3.2 рассматривается вопрос о конечномерности алгебры 2 над полем инвариантных элементов 2я. Определим отображение /3 :

(? ®дя Q —»■ Нот(Я, <2), по правилу

<8>а)(Л) = q7Cв{ha),

где д е б, а е б, Ь е Я. Заметам, что Нот(Я, 2) г 6 ® Я* является алгеброй Хопфа над шлем б и левым Я-модулем относительно действия (/г • /)(£■) = /(е/г). На б <Эея зададим структуру левого Я-модуяя по формуле Л ОС Я' ® = £<7/ 0 ЛЬ,-. Тогда имеет место следующая

Теорема 7. Пусть Н — конечномерная алгебра Хопфа, а А — алгебра из категории Л такая, что 5л является областью целостности. Тогда:

1. с!шеяе ¿а™я, е = = б,

2. отображение Р является вложением Н-модульной алгебры <2 ® (¿н () в алгебру Хопфа Нот(Я, Q),

3. алгебра 2 является фробениусовым кольцам, и не содержит нетривиальных Я-инвариантных идеалов,

Также в параграфе 3.2 был установлен критерий того, что алгебра (У из категории Л изомофна алгебре ().

Предложение 8. Пусть Я — конечномерная алгебра Хопфа, и пусть А, ()' — такие Н-модульные алгебры из категории Л что Б а , ¿>е' являются областями целостности и А является подалгеброй в Q', причем = А П Пусть выполнены следующие условия:

1. О! не содержит нетривиальных Н-инвариантных идеалов,

2. для любого q е <2' существует ненулевой Я-инвариантный идеал / в А такой, что С А и С А,

3. О! = А- г ((?'), где г(б') - центр алгебры б'.

15

Тогда Q = Q' в категории А.

В значительной степени опираясь на результаты работу Скрябина и Ой-стаена18 в параграфе 3.3 получена следующая

Теорема 9. Пусть Н — конечномерная алгебра Хопфа, и пусть А — такая Н-модульная алгебра из категории А, что Sa является областью целостности. Тогда Q является классическим левым и правым кольцом частных для А.

В параграфе 3.4 показано, что любую Я-модульную алгебру из категории А (в частности и любую коммутативную Я-модульную алгебру) можно расширить некоторым универсальным способом так, что для полученной алгебры свойство целостности над подалгеброй инвариантов выполняется. Приведем сначала несколько определений.

Пусть R — ассоциативная алгебра над коммутативным кольцом U, причем R является свободным U-модулем конечного ранга. Пусть а € R. Тоща для эндоморфизма 1(a) е End^ (R), определенного по правилу 1{а)(Ь) = аЪ для Ь е R, существует характеристический многочлен х" -f- qn-ixn~l + ...-+- q\X + <7о, с коэффициентами q¡ е (7; обозначим этот многочлен через PR¡v(a,x).

Пусть А — Я-модульная алгебра из категории А. Определим отображение р : А -*■ Нот(Я, SA) по правилу p(a)(h) = тгДЛ • а), где а е Л, А е Я. Заметим, что р является гомоморфизмом Я-модульных алгебр и в случае, когда Sa целостна, р(а) — /3(1 <g> а) для любого а е А. Покажем, что ker(p) = 0. Пусть а е ker(p), тогда nA{ha) = p(a)(h) = 0 для любого h е Я. Значит, На является Я-модулем содержащимся в Зд. Следовательно, На = 0. Обозначим Ра (а, х) = Pnom(ii.sA)/sA(p(a)> х) и будем называть многочлен РА(а, х)

" Skiyabin S.M., Oystaeyen F. Van The Goldie Theorem for H-semiprime algebras. /Я. Algebra - 2006. - V. 305. - P. 292-320.

инвариантным характеристическим многочленом а.

Определение 7. Будем говорить, что алгебра А обладает инвариантными характеристическими многочленами, если для любого а е А все коэффициенты многочлена РЛ(а,х) лежат в подалгебре пл(Ан).

Определение 8. Обозначим через А полную подкатегорию категории А, объектами которой являются пары (А, З4) из категории А, где А обладает инвариантными характеристическими многочленами.

Было установлено, что алгебра А является целым расширением подалгебры инвариантов А" для всякой алгебры из категории А, и следующая теорема, которая позволяет для каждой алгебры из категории А построить некоторую алгебру из категории А.

Теорема 10. Пусть Н — конечномерная алгебра Хопфа, а А принадлежит категории А. Тогда существует Н-модульная алгебра А из категории А со следующими свойствами:

1. А вкладывается в А, Sj~ Sau А = Ан А,

2. Если В —произвольная Н-модульная алгебра из категории А, то для любого морфизма f : А —*■ В в категории Д существует единственный морфизм f : А В в категории А такой, что f о р = /, где р — вложение А в А.

Также было установлено, что, если Sa является областью целостности, то алгебра А вкладывается в Qu (А).

В параграфе 3.5 устанавливается связь между инвариантными элементами Я-модульной алгебры А из категории Ан и инвариантными элементами Я'-модульной алгебры А' из категории Ан', где Я' некоторая фактор алгебра Хопфа алгебры Я, а А! фактор алгебра алгебры А.

Предложение 11. Пусть Я — алгебра Хопфа размерности п, а А принадлежит категории Ац. Обозначим через Н' подалгебру Хопфа в Н, содержащую корадикал Н, через Р наибольший Н'-инвариантный идеал, содержащийся в За- Тогда Н'-модульная алгебра А' = А/Р с идеалом 3А' — 3А/Р принадлежит категории Ан'- Пусть ф : А —»■ А! — каноническая проекция, и предположим, что ф продолжается до гомоморфизма Н'-модульных алгебр ф : А —> А! так, что жа> ° ф = ttj. Тогда:

1. если char к = 0, то А'"' - ф(Ан),

2. если char к = р > 0, то ср' е Ф(АН) для любого с е А'11, где s такое, что п = psm и т взаимно просто с р,

3. если char к = р > О, то А цела над А И.

Что для точечной алгебры Хопфа дает следующее

Следствие 12. Пусть Н — точечная алгебра Хопфа размерности п, а А принадлежит категории А, причем ЭА инвариантен относительно действия группы G(H). Тогда:

1. если chai к = 0, то SAG(H) = ir^A11),

2. если char к = р > 0, то ср' е 7rj(AH) для любого с е SAG(H\ где s такое, что п — р'т и т взаимно просто с р,

3. если char к = р > 0, то А цела над Ан.

В главе 4 изучается строение поля инвариантов кольца Мартиндейла Qh(A), а именно вопрос о том, когда поле инвариантов кольца Мартиндейла Qh(A) совпадает с полем частных Q(AH) алгебры Ан. В параграфе 4.1 показано, что Qh{A)h — Q(AH), если любой ненулевой Я-инвариантный идеал

алгебры А содержит ненулевые элементы из Ан, и другие вспомогательные утверждения.

В параграфе 4.2 для каждого простого идеала р алгебры были введены орбитальная подалгебра О(р) и стабилизатор 57(р).

Пусть А — Я-модульная алгебра из категории А. Для каждого р е Spec ¿л обозначим через к(р) поле частных алгебры S^/p, через ря наибольший Я-инвариантный идеал содержащийся в я~г(р). Заметим, что алгебра А/рц принадлежит категории А. Также для каждого р e Spec Sa обозначим через ар : А к(р) канонический гомоморфизм алгебр. Далее всякий раз, когда алгебра А является Я-модульной алгеброй из категории А, будем использовать кратеие обозначения Q(p) = QniA/pti)-

Также как в параграфе 3.2 для каждого р е Spec Sa определен гомоморфизм Я-модульных алгебр /Зр : £(р) Q(p) Horn(Н,к(р)). Обозначим через 0(р) = Im(j3p) правая коидеальная подалгебра в алгебре Хопфа Нот(Я, ~ (Цр) ® Н)*. Будем называть подалгебру 0(р) орбитальной подалгеброй ассоциированной с р.

Пусть А - произвольная Я-модульная алгебра, а К — некоторое поле, содержащее к в качестве подполя. Обозначим Н' — К ® Н. На Нот(А, К) можно задать структуру правого Я'-модуля, по правилу (/ ■ (д <8> h))(a) = qf(h ■ а). Пусть £ : А —> К — гомоморфизм алгебр. Обозначим Ff = {h 6 Н'\ f • h — e(h)tj}. Заметим, что F| является подалгеброй в Я. Пусть St(%) -наибольший правый коидеал алгебры Хопфа Я', содержащийся в Fj. В этом случае Si (£) является правой коидеальной подалгеброй.

Пусть теперь А — Н-модульная алгебра из категории А, тогда для каждого р е Spec Sa обозначим <57 (р) = St(ap) и будем называть St(p) стабилизатором р. Также для каждого простого идеала р алгебры Sa было показано, что St(p) = (0(р)+Я'*)х = {h 6 Я' | {0(p)+H№,h) = 0}, где Я' = k(p) ® Я. Было замечено, что для произвольной конечномерной алгебры Хопфа Я со-

поставления В t->- (В+Н*)± иГн- (К+Н)1 задают взаимообратные соответствия между правыми коидеальными подалгебрами в Я* и в Я.

В параграфе 4.3 изучается действие пространства интегралов на Я-модульной алгебре А из категории А. Обозначим JH = {х е Я| Vh е Я hx = s(h)x} — пространство левых интегралов в Я. Известно, что если Я — конечномерная алгебра Хопфа, то dim(J7i) = 1. Заметим, что ¡н-А с А". Также для каждой правой коидеальной подалгебры В в Я обозначим JB = {х е В\ Vh е В hx = e(h)x) — пространство левых интегралов В.

В этом параграфе была доказана следующая теорема, которая позволяет получать равенство Qh(A)h и поля частных Q{AH) алгебры А" из свойств стабилизаторов ¿7({j).

Теорема 13. Пусть А — такая Я -модульная алгебра из категории А. Тогда:

1. если алгебра Sa не содержит нильпотентных элементов, то jH -А ф О тогда и только тогда, когда существует р € Spec SA такой, что

Ф О'

2. если rad^) = 0, то /я-А ф 0 тогда и только тогда, когда существует максимальный идеал m такой, что г(/л(т)) ф О,

3. если Sa является областью целостности, то /я -А ф 0 тогда и только тогда, когда ф 0. В случае если выполняется одно из этих эквивалентных условий, то любой Я-инвариантный идеал в А содержит ненулевые элементы из Ан и Qh{A)h = Q(AH).

Обозначим St'(p) = {h е Я | 1 <8> h е St(p)} и St' = П,е8рес 5л St'<P)-Заметим, что St'(p) и St' являются правыми коидеальными подалгебрами в Я. Было показано, что в некоторых случаях, если St' ф kl, то существует идеал

Хопфа J в H такой, что JA ~ 0; что позволяет в этих случаях переходить к рассмотрению действия алгебры Холфа меньшей размерности.

В параграфе 4.4 приводятся несколько примеров использования теоремы 13 на частных случаях. Приведем некоторые из них.

Следствие 14. Пусть V — H-модуль. Тогда существует п > 0 такое, что любой H-инвариантный идеал в A — S¡¡(Vn) содержит ненулевые элементы из А" и QH{A)H = Q(A").

Рассматривается действие Тафтовых19 алгебр Хопфа Н(п). То есть Н(п) = k(g,x)/(g" -\,x\xg-Xgx)

A(g) = g®g

A(x) = X ® g + 1 ® x, где Я — примитивный корень степени л из 1, и к{£, х) — свободная алгебра, порожденная элементами g их.

Следствие 15. Пусть H = Н(п) — алгебра Тафта, и А— такая H-модульная алгебра из категории А, что Sa является областью целостности. Предположим, что St' — kl. Тогда любой H -инвариантный идеал в А содержит ненулевые элементы из Ан и Qh{A)h = Q{A").

При изучении точечных алгебр Хопфа размерности р3, где р — простое число, был введен следующий класс алгебр Хопфа20:

H(n,d, À) = к(с,х,у)/(сп - 1,х",у",хс -А сх,ус - X~d су ,ух - X~d ху)

А(с) = с ®с А(х) = л: ® с + 1 ® X А{у) = у ® cd + 1 ig> у,

" Тай Б. J. The order of the antipode offinite-dimensional Hopf algebra. //Proc. Nat. Acad. Sei. USA. - 1971. -V. 68.-P. 2631-2633.

20 S.Caenepeel and S. Däscälescu. Pointed Hopf algebras of dimension p//Journal of Algebra - 1998. - V 209. - P. 622-634.

где А — примитивный корень степени п из 1, н </ € 1, я — I взаимно просто с п.

Следствие 16. Пусть Н = Н{п,с1,Х) , и <1 ф 1, й ф п — 1, и А — такая Н-модульная алгебра из категории Л, что Бд является областью целостности. Предположим, что = к1. Тогда любой Н-инвариантный идеал в А содержит ненулевые элементы из Ан и О.н(А)11 = <2(АЯ).

В заключение, автор выражает глубокую признательность научному руководителю Сергею Марковичу Скрябину за постановку задач, поддержку в работе и интерес к исследованиям автора.

Публикации автора по теме диссертации

1. Еряшкин М.С., Скрябин С.М. Наибольшая подалгебра Хопфа в биалгеб-ре. //Матем. Заметки. - 2009. - Т. 86. - № б. - С. 942-946.

2. Еряшкин М. С. Инварианты действия полупростой конечномерной алгебры Хопфа на алгебрах специального вида. //Изв. вузов. Матем.. - 2011.

- №8. - С. 14-22.

3. Еряшкин М.С. Кольца Мартиндейла и Н-модульные алгебры, обладающие инвариантными характеристическими многочленами. //Сиб. матем. жури.. - принята к печати.

4. Еряшкин М.С., Скрябин С.М. Наибольшая подалгебра Хопфа в биалгеб-ре. //Летняя школа-конференция "Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов": тезисы докл. (Самара, Россия, 8—15 июня 2009 г.).

- Самара: Изд-во "Универс групп". - 2009. - С. 17-18.

5. Еряшкин М.С. Инварианты действия конечномерной алгебры Хопфа на алгебрах специального вида. //Вторая школа-конференция "Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов": тезисы докл. (Москва, Россия, 31 января — 5 февраля 2011 г.). - Москва: Изд-во "Ол Би Принт". -2011.-С. 27—29.

6. Еряшкин М.С. Кольца Мартиндейла и инвариантные характеристические многочлены. //Алгебра и математическая логика: материалы международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения профессора В.В.Морозова, (Казань, 25-30 сентября 2011г.). - Казань: Издательство Казанского (Приволжского) федерального университета. - 2011.

- С. 91-92.

Подписано в печать 15.02.12 Бумага офсетная. Печать ризографическая. Формат 60x84 1/16. Гарншура «Times New Roman». Усл. печ. л. 1,5 Уч.-изд. л. 1,3. Тираж 110 экз. Заказ 64/2

Отпечатано с готового оригинала-макета в типографии Издательства Казанского университета

420008, г. Казань, ул. Профессора Нужина, 1/37 тел. 233-73-59, 292-65-60

61 12-1/694

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования "КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ"

На правах рукописи УДК 512.667.7

Еряшкин Михаил Сергеевич

Инварианты действия конечномерной алгебры Хопфа на алгебрах специального вида

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель д. ф.-м. н., профессор Скрябин Сергей Маркович

Казань — 2012

Содержание

Введение 3

Глава 1. Инварианты действия полупростой алгебры Хопфа. 10

§1.1. Предварительные результаты ..................................11

§1.2. Инварианты кодействия кополупростой алгебры Хопфа . . 14

§1.3. Контрпример к конечной порожденности......................17

Глава 2. Наибольшая подалгебра Хопфа в биалгебре 21

§2.1. Наибольшая обратимая подкоалгебра..........................21

§2.2. Подалгебры Хопфа в слабо конечных биалгебрах............24

Глава 3. Кольца Мартиндейла и инвариантные характеристические многочлены 29

§3.1. Предварительные результаты ..................................30

§3.2. Конечномерность кольца Мартиндейла........................35

§3.3. Классическое кольцо частных..................................40

§3.4. Расширения с инвариантными характеристическими многочленами............................................................45

§3.5. Инварианты действия точечных алгебр Хопфа ..............53

Глава 4. Поле инвариантов кольца Мартиндейла 57

§4.1. Предварительные результаты ..................................57

§4.2. Орбитальные подалгебры и стабилизаторы....................59

§4.3. Действие пространства интегралов алгебры Хопфа..........62

§4.4. Частные случаи..................................................65

Литература 75

Введение

В этой диссертации обобщаются некоторые классические результаты теории инвариантов конечных групп на случай действия конечномерной алгебры Хопфа на алгебре специального вида, гомоморфно отображающейся на коммутативную область целостности.

Хорошо известно, что для произвольной группы G на групповой алгебре kG можно задать структуру алгебры Хопфа, причем всякое действие группы G автоморфизмами на некоторой алгебре А дает действие алгебры Хопфа kG на алгебре А [14, глава 4]. Таким образом, понятие действия алгебры Хопфа обобщает действия групп автоморфизмами, а значит имеет смысл рассмотреть задачу переноса ряда фактов классической теории инвариантов на случай действия алгебр Хопфа. Классическим результатом теории инвариантов, принадлежащим Э. Нётер, является факт о том, что алгебра А является целым расширением подалгебры инвариантов в случае действия конечной группы G автоморфизмами на коммутативной алгебре А. Как обобщение этого результата Монтгомери был поставлен вопрос о том, будет ли коммутативная Л-модульпая А целым расширением подалгебры инвариантов Ан, в случае, если Н конечномерна [14, 4.2.6, р.45]. Положительный ответ на данный вопрос был получен в следующих случаях:

1. Н — ко коммутативная алгебра Хопфа, этот результат был получен в работах Феррера-Сантоса [10] и Шнайдера [18];

2. char к не делит dim Н и Н инволютивна, или char к ^ 0 и корадикал Н кокоммутативен, в работе Жу [26];

3. Н — точечная алгебра Хопфа и А — аффинная целостная алгебра, в работе Артамонова [1, теорема 4];

4. char к = p > 0 или А не содержит ненулевых нильпотентных идеалов, устойчивых относительно действия //, в работе Скрябина [19, proposition 2.7].

Контрпримеры, построенные в работах Жу [26] и Тотока [6], обусловлены наличием в А ненулевых нильпотентных //"-инвариантных идеалов. Если А конечно порождена как алгебра, свойство А быть целой над Ан равносильно тому, что А конечно порождена как модуль над Ан, и в этом случае Ан конечно порождена как алгебра.

В случае, когда алгебра Хопфа не является кокоммутативной, коммутативных //-модульных алгебр оказывается недостаточно много, например нельзя утверждать, что действие алгебры Хопфа Н на произвольном //"-модуле V можно продолжить до действия на симметрической алгебре S(V). Таким образом имеет смысл рассмотреть действие алгебры Хопфа Н на более широком классе //-модульных алгебр.

Определение 1. Обозначим через Л (или, более точно, Ан) категорию, объектами которой являются пары (Л, За), где А — некоторая //-модульная алгебра, За — идеал в А такой, что факторалгебра Sa = А/За коммутативна, и За не содержит ненулевых устойчивых относительно действия Н идеалов алгебры А.

Морфизмы в категории Л — это гомоморфизмы //"-модульных алгебр ф : А —>• В с условием Ф(За) С Зв-

Для краткости будем говорить об алгебрах из категории Л без явного упоминания идеалов За- Обозначим через тта А —> Sa каноническую проекцию.

Аналогичный вопрос о том, будет ли А конечно-порожденным модулем над Ан, и Ан конечно-порожденной k-алгсброй, представляет интерес и

для некоммутативной Я-модульной алгебры (см. [14, 4.3, р.45 - 48]). В первой главе диссертации этот вопрос рассматривается в случае кодействия ко-полупростой конечномерной алгебры Хопфа на конечно-порожденных алгебрах из категории А. Будет установлено, что свойства конечности остаются верными для конечно-порожденных алгебр А из категории Л в случае, когда Н кополупроста, но нарушаются в случае, когда Н пекополупроста, несмотря на отсутствие в А ненулевых нилыютентных ^/-инвариантных идеалов.

Результаты следующей главы, полученные совместно с С.М. Скрябиным, носят вспомогательных характер. Как известно, алгебры Хопфа выделяются среди биалгебр наличием антипода — обратного к тождественному отображению относительно операции конволюции. Для двух подалгебр Хопфа Н2 биалгебры В не ясно, всегда ли существует подалгебра Хопфа, содержащая Н\ и Н2 одновременно. Основной результат второй главы заключается в том, что ответ на предыдущий вопрос положителен, если В слабо конечна, и в этом случае В имеет наибольшую подалгебру Хопфа 7~С(В). Для произвольной алгебры Хопфа Н образ любого гомоморфизма биалгебр Н —> В содержится в Н(В).

Так как свойства конечности нарушаются в случае действия неполу-простой алгебры Хопфа Я, то требуется видоизменить первоначальную постановку вопроса. В третьей главе будет показано, что вопрос о том, цела ли А над Ан, решается положительно при переходе от алгебры А к некоторому ее расширению А, полученному присоединением набора инвариантных элементов.

Замечание. В третьей главе не требуется, чтобы алгебры из категории Л были конечно-порождены как к-алгебры.

Важную роль в этой главе будет играть //-эквивариантное кольцо

частных Мартиндейла Он (А)• введенное в обиход М.Коэн [9] для изучения внутренних действий алгебр Хопфа. В предположении, что Ба целостно, будет показано, что Я-эквивариантное кольцо частных Мартиндейла Он (А) является конечномерной фробениусовой алгеброй над подпол ем инвариантных элементов Он{А)н, является классическим кольцом частных алгебры А и ряд других свойств. Установленные факты о кольце частных Мартиндейла Он {А) помогли построить алгебру А1 которая цела над своей подалгеброй инвариантов и ассоциированная с А коммутативная алгебра изоморфна Б а- Эта конструкция была обобщена для произвольной алгебры из категории А, и было показано, что это соответствие задает функтор из категории Л в некоторую подкатегорию Л, алгебры из которой целы над своими подалгебрами инвариантов. Было показано, что данный функтор сопряжен слева к включению Л в А.

В последней главе изучается строение поля инвариантов кольца Мартиндейла Он(А)^ а именно вопрос о том, когда поле инвариантов кольца Мартиндейла Он (А) совпадает с полем частных алгебры Ан. Также для каждого простого идеала р алгебры Б а будут введены орбитальная подалгебра О(р) и стабилизатор и установлена связь между ними. Будет доказана теорема, которая позволяет получать равенство Он{А)н и поля частных Ан из свойств правых коидельных подалгебр 5£(р). С помощью этого результата будет показано равенство Он(А)н и поля частных Ан, в случае действия алгебр Тафта [23] и некоторых алгебр Хопфа из [8], а также и в других частных случаях.

Автор выражает глубокую признательность научному руководителю Сергею Марковичу Скрябину за постановку задач, поддержку в работе и интерес к исследованиям автора.

Определения и обозначения. Все рассматриваемые алгебры и алгебры Хопфа, если не оговорено противное, определены над полем к. Ал-

гебры предполагаются ассоциативными с единицей. Через А : Н Н ®Н будем обозначать коумножение, а через е : Н —> к — коединицу алгебры Хопфа Я. Далее всюду Я — алгебра Хонфа и А — ассоциативная к-алгебра. Все необходимые факты, касающиеся алгебр Хопфа, можно найти в [22]. Все тензорные произведения, если не оговорено иное, берутся над к, а Нот — это Нот^.

Определение 2. Алгебра Хопфа Я действует на Л, если А наделена структурой левого //"-модуля и для любых к Е Я, а,Ъ Е А

Н ■ (аЬ) = • а)(к(2) -6), к-1А = £(Ь)1А.

к

Алгебра А с заданным действием Я называется Я-модульной алгеброй.

Определение 3. Алгебра Хопфа Я ко действует на А, если А наделена структурой правого Я-комодуля и р \ А ^ А®Н является гомоморфизмом алгебр.

В этом случае также считается, что А является Я-комодульной алгеброй.

Определение 4. Элемент а £ А называется инвариантом, если к ■ а = е(Н)а для всех К Е Я, в случае Я-модульной алгебры, р(а) = а ® 1, в случае Я-комодульной алгебры.

Непосредственная проверка показывает, что множество инвариантов Ан является подалгеброй в А.

Если Я конечномерна, то Я* является алгеброй Хопфа, и любой левый Я-модуль II можно считать правым Я*-комодулем, с помощью изоморфизма Нот(Я &£/,£/)= Нот (Я, и ® Я*). Также любая Я-модульная алгебра

превращается в Я*-комодульную относительно структурного отображения

р: А-* А® Н* = Нот (Я, А),

/э(а)(/г) = К ■ а, /гбЯ, а £ А.

Поэтому все утверждения, сформулированные для Я-модульной алгебры (Я-комодульной алгебры), остаются верными и для Я-комодульной алгебры (Я-модульной алгебры), в случае, когда Я конечномерна.

Определение 5. Коалгебра С называется кополупростой, если для любого С-комодуля V и подкомодуля 11 С V существует подкомодуль \У С V такой, что V = II © Ш.

Корадикалом Со коалгебры С называется сумма (прямая) всех простых подкоалгебр в С. Алгебра Хопфа Я называется точечной, если любая ее простая подкоалгебра одномерна. Корадикал точечной алгебры Хопфа является линейной оболочкой ее группонодобных элементов, и множество всех группоподобных элементов алгебры Хопфа Я является группой, которая обозначается через С(Я).

Пусть С — некоторая коалгебра. Для каждого п > 0 по индукции определим

Сп = А-1(С®Сп-1 + С0®С),

где Со — корадикал коалгебры С. В [14, ТЬ 5.2.2] установлено, что множество {Сп}п>о является семейством подкоалгебр со следующими свойствами:

1- Сп-1 С Сп, С = ип>о С'пп

п

2. Д(С„) С £Сг(8>Сп^. ?;=о

Это множество подкоалгебр называется корадикальной фильтрацией коалгебры С. Более подробно свойства корадикальной фильтрации изложены в [22, главе 9] и [14, главе 5].

Пусть Н — алгебра Хопфа. Множество подпространств {Нг} в Н называется фильтрацией алгебры Хопфа Н, если это множество удовлетворяет свойствам 1 и 2, и является фильтрацией алгебры (т.е. НтНп С Нт+п для всех т,п> 0), и 3(Нп) С Нп для всех п. В лемме [14, 5.2.8] показано, что корадикальная фильтрация {Д;} алгебры Хопфа Н является фильтрацией алгебры Хопфа в том и только в том случае, когда корадикал Но является подалгеброй Хопфа в Н. В частности, это верно, когда Н — точечная алгебра Хопфа.

Обозначим — {х £ Н\ У/г £ Н кх = е(К)х} — пространство левых интегралов в Н. Известно, что если Н — конечномерная алгебра Хопфа, то <Ит(|я) = 1. Более подробно свойства пространства левых интегралов ]*я изложены в [22, глава 5]. Заметим, что - А С Ан. Также для каждой правой коидеальной подалгебры В в Н обозначим = {х £ В\ \/}г 6 В ¡гх = е{К)х} — пространство левых интегралов В.

Глава 1

Инварианты действия полупростой алгебры Хопфа.

В этой главе рассматривается вопрос о том будет ли А конечно-порожденным модулем над Ан, и Ан конечно-порожденной к-алгеброй в случае кодействия конечномерной алгебры Хопфа па конечно-порожденной алгебре А из категории А.

Всюду в этой главе предполагается, что Н — конечномерная алгебра Хопфа.

В параграфе 1.1 изучены первоначальные свойства .Н-комодульных алгебр из категории А. Также для любого Л"-комодуля (Н-модуля) V построена Я-комодульная (Н-модульная) алгебра Бн(У) из категории А. В случае, когда Н коммутативна, Бн(У) совпадает с симметрической алгеброй ¿>(У).

В параграфе 1.2 доказано, что А будет конечно-порожденным модулем над Ан, и Ан конечно-порожденной к-алгеброй в случае кодействия кополупростой алгебры Хопфа на конечно-порожденной алгебре А из категории А. Данное утверждение допускает переформулировку на действия полупростой алгебры Хопфа. Если известно, что А нетерова, то этот результат немедленно следует из [14, 4.3.7 и 4.4.2, р.47 - 49], однако нетеровость конечно-порожденных алгебр из категории А удается вывести только из теоремы 1.2.5.

В параграфе 1.3 построен контрпример к конечной порожденности в случае кодействия некополупростой алгебры Хопфа.

1.1. Предварительные результаты

Пусть Я — конечномерная алгебра Хопфа. Рассматриваются Я-комодульные алгебры А из категории А. Заметим, что За не содержит ненулевых Я-подкомодулей, так как для любого Я-подкомодуля U С За множество AUA является устойчивым относительно кодействия Я идеалом алгебры А, содержащимся в За-

Положим S — А ¡За и обозначим через тт : А —> S каноническую проекцию.

Предложение 1.1.1. Пусть А — Я-комодульная алгебра из категории Л. Тогда отображение

тг \АН: Ан —> S иньективно. При этом Ан содержится в центре А.

Доказательство. Так как Ан П кегтг — Я-комодуль содержащийся в За-, то Ан П кег7г = 0. Значит, 7г | ан инъективно.

Пусть a G Покажем, что а содержится в центре А. Обозначим U = {ab — ba\b £ А}. Пусть х = ab — Ъа для некоторого b G А, тогда

р(х) = р{а)р{Ъ) - р{Ь)р{а) = ® b(i) ~ ЬФ)а ® &(i) =

(Ь)

= - bma) ® b(i) ^и

(Ь)

Значит, p(U) С U <g> Я. Кроме того, U С ker7r, так как S коммутативна. Следовательно, /7 = 0. Таким образом, а содержится в центре А. □

Предложение 1.1.2. Пусть А — конечно-порожденная Я-комодульная алгебра из категории А. Если S конечно-порождена как тг(Ан)-модуль, то А конечно-порождена как Ан-модуль, и Ан — конечно-порожденная li-алгебра.

Доказателъст.во. Пусть М = Нотя(Н*, Л) — множество гомоморфизмов правых Я-комодулей, и N = НотЗададим я& М к N структуры Ан -модулей, полагая для М (аф)(у) = а{ф(у)) для любых а 6 Ан,ф е М, V 6 Н* (в силу того , что оператор левого умножения на а коммутирует с кодействием Л", имеем аф £ М), а для N (аф)(у) = тг(а)(ф(у)) для любых а £ Ан, ф € Ж, г> е Н*. Так как N = Н ® 3 конечно-порожден как ¿¡"-модуль, а 5 конечно-порожден как 7г(Ая)-модуль, то N конечно-порожден как Ан -модуль.

Покажем, что М конечно-порожден. Рассмотрим отображение Ф : М —> N (ф н^ 7Г о ф). Заметим, что Ф — гомоморфизм Ая-модулей. Проверим инъективность Ф. Пусть ф £ М и Ф(ф) = 0, значит ф(Н*) С кег7г, но так как ф — морфизм .Я-комодулей, то ф(Н*) — Л-комодуль, содержащийся в кег7г. Значит, ф(Н*) — 0, следовательно, ф — 0. Так как 5 — конечно-порожденная алгебра и 5 конечно-порожден как Ан -модуль, то алгебра 7г(Ая), изоморфная Ан, является конечно-порожденной алгеброй (см. [2, Предложение 7.8, с. 101]) и, следовательно, нетеровой. Таким образом, М конечно-порожден.

Так как М = Котн*(Н*,А), а Н* — образующий в категории левых Н*~модулей, то Ф(Н*) = А. На М ® Н* можно задать структу-

фем

ру Ая-модуля, по правилу а(ф ® К) = (аф) ® /г, где а Е Ан, к £ Н*. Рассмотрим отображение Ф : М ® Н* —» А, определенное по правилу ф к I—> ф{Н). Заметим, что отображение Ф является сюръективным гомоморфизмом Ая-модулей. Так как М ®Н* является конечно-порожденным Ая-модулем, то А конечно-порождена как Ая-модуль. □

Пусть V — правый Н-комодуль, задаваемый отображением р : V —> V ® Н. Тогда р продолжается до гомоморфизма алгебр р' : Т(у) —» Т(у) (8> Н , где Т(у) — тензорная алгебра для V. Тем самым Т(У) ста-

новится Н-комодульной алгеброй. Обозначим через 1'{У) идеал алгебры Т(У), порожденный {и ® из — ш £ V}. Определим

5Я(У) = Т(У)/7(У),

где /(V) — наибольший Н-устойчивый справа идеал содержащийся в 1'{У). Тогда р' продолжается до гомоморфизма алгебр р : ¿>я(У) —> & Н

и Бн{У) становится Я-комодульной алгеброй из категории Л, так как ее идеал = 1'(У)/1(У) не содержит ненулевых устойчивых относитель-

но кодействия Н идеалов алгебры 5я(У), и 8н(У)1^зн1у) — Т(У)/1'(У) = Б (У) — симметрическая алгебра для У.

Аналогично строится Я-модульная алгебра 5я(У) из категории Л для левого Я-модуля У.

Предложение 1.1.3. Пусть У — конечномерный Н-комодуль и А — конечно-порожденная Н-комодулъная алгебра из категории А. Пусть д : У —> А — морфизм Н-комодулей и порождает А как алгебру. Тогда, если Бн(У) конечно-порождена как Бн(У)н-модуль, то А конечно-порождена как Ан-модуль.

Доказательство. Продолжим q до сюръективного гомоморфизма /7-комодульных алгебр д' : Т{У) —> А. Так как (7г^од/)(а6 — Ьа) = 0 для любых а,6 Е Т(У) в силу коммутативности А/За, то ч'{1'(УУ) ^ кегтг^. Так как д'(/(У)) — Л"-комодуль содержащийся в кег7г^, то д'(1(У)) = 0. Тогда с( продолжается до сюръективного гомоморфизма Я-комодульных алгебр д : вн{У) А. Так как д(5я(У)я) С то заключение о