Эквивариантная алгебраическая К-теория тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МЭСКОВСШ! ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОШХИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАЕЗЮП) ЗНАМЕНИ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕН! М. В. ЛОМЭЖООВА Механико-матжатичвсхий факультет

На правах рукописи УДК 512.066

Давыдов Алексей Александрович

ЭКВИВАРИАНГНАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ К-ТЕОРИЯ 01.01. 06 - Математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель -доктор физико-математических наук, доцент В. А. Артамонов

МОСКВА, 1991

Диссертация выполнена на кафедре высшей алгебры механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, доцент

6. А. Артамонов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Ю. П. Соловьев, кандидат физико-математических наук,

"А-К Ае&нК

Ведущая организация - Киевский государственный университет Защита диссертации состоится 2.4

сс^л а 1992. года на

заседании специализированного совета Д. 053.05.05 при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, В-234, Ленинские Горы, МГУ, механико математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж). Автореферат разослан 2.Ц 199 2_года.

Ученый секретарь специализированного совета Д. 053. 05.05 при МГУ доктор физико-математических наук

В. Н. Чубариков

■ Г. С/ЦП

■ •

Актуальность темы: юм алгебраической К-теории послужило доказательство А.Гротендика обобщенной теоремы Римана-Роха в 1957 году, в котором была определена группа КСХ) (=К0(Ю) классов векторных расслоений на схеме X.

Немного позднее X. Басс, основываясь на работах Дд. X. С. Уайтхеда, определил группу К^СЮ, связянную с обратимыми матрицами над кольцом й. В своей книге^Басс исследовал связи между функторами К0 и

Следующий шаг сделал Дж. Милнор определив группу КрСЮ, описывающую соотношения между элементарными матрицами над кольцом Р. Оказалось, что группа Милнора связана с символами и законами взаимности.

Определение остальных К-функторов Кп при п>2 было дано Д.Квилленом^ . Алгебраическая К-теория является очень тонким инвариантом. В частности, она связана с группами Чжоу и со значениями в целых точках (--функций многообразий. Предпологается, что гипотетические мотивные когомологии также тесно связаны с К-теорией.

Цель работы. Изучение эквивариантных аналогов алх^ебраической К-теории колец и схем, на которых заданы действия алгебр Хопфа и групповых схем, соответственно. Под эквивариантной К-теорией понимается К-теория категорий эквивариантных модулей, т. е. модулей на которых заданы действия алгебры Хопфа или групповой схемы, согласованные с действием на кольце или схеме.

В работе используются теория алгебр Хопфа, обвдае методы теории категорий, алгебраическая К-теория, результаты из гомологической алгебры и алгебраической геометрии.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

1) найдены достаточные условия эквивалентности категории эквивариантных модулей и категории С-градуированных модулей, для некоторой группы С,

^Басс X. Алгебраическая К-теория. М. , Мир, 1973.

г)Милнор Дж. Введение в алгебраическую К-теорию. М. , Мир, 1974.

^Quillen D. Higher algebraic K-functors. Lecture Noties in Math. , 1973, v 341, 85-147.

t-mo

L

2) для конечной группы в вычислена К-теория категорий (З-градуированных модулей,

3) вычислена К-теория категории' эквивариантных модулей, если заданное действие алгебры Хопфа нилыютентно,

4) для действия дискретной группы С на регулярной схеме X описаны э квивгриантная группа Пикара и когомологии (З-модуля Р1с(Х).

Приложение. Результаты диссертации носят теоретический характер. Они мэтуг найти применение в алгебраической К-теории.

Апробация работа. Результата диссертации докладывались на семинаре по алгебре под руководством А. И. Кострикина, на семинаре по теории колец под руководством А.В.Михалева и В.А.Артамонова в МГУ, на. семинарах по алгебре в КГУ и ЛОМИ и на международной конференции памяти А. И. Мальцева в Новосибирске.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в трех работах автора, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения - гл. О и пяти глав, связанных общим содержанием, но различающихся направлением и способами исследования. Работа снабжена библиографией из 26 названий и оглавлением.

Краткое содержание диссертации

Во введении перечислены основные результаты {заботы, дан краткий исторический обзор, описано содержание диссертации по главам.

Фиксируется основное поле к и, если не оговорено противное, все конструкции линейной алгебры считаются к-линейными.

Первая глава имеет подготовительный характер и содержит факты, касающиеся алгебр Хопфа, необходимые в последующих главах. Все результаты этой главы, за исключением параграфов 6 и 7, являются хорюшо известными. Отсутствие удобных ссылок вынудило автора включить их в текст диссертации.

Первая глава состоит из семи параграфов.

В первом параграфе вводится понятие алгебры Хопфа, классическими примерами которой являются групповая и универсальная оберлывакхцая алгебры. Понятие конечномерной алгебры Хопфа самодвойственно, т.е. на двойственном пространстве Н° = Нот(Н,к) к алгебре Хопфа Н снова определена структура алт'ебры Хопфа. Кроме того функтор Н —> Н° является двойственностью, то есть СН°3° канонически изоморфно Ч, как алгебра Хопфа. Двойственная алгебра

Хопфа произвольной алгебры Хопфа Н была определена в работе'1-' и является подалгеброй Хопфа в Н°, совпадающей с Н° в случае конечномерной Н.

Во втором параграфе проверяется, что категории модулей и комодулей над алгеброй Хопфа, конечномерных над основным полем к, обладают тензорным произведением. Категории модулей являются абелевыми, а категории комодулей абелевы в случае строго плоской алгебры Хопфа.

Третий параграф посвящен алгебрам Хопфа, у которых категории модулей полупросты. В работе такие алгебры Хопфа называются редуктивными.

В четвертом параграфе вводятся понятия действия и кодействия алгебр Хопфа на ассоциативных алгебрах. Действие алгебры Хопфа Н на алгебре !? - это структура Н-модуля на К, согласованная с умножением в К. Это определение обобщает действия групп автоморфизмами и алгебр Ли дифференцированиями. Аналогично, кодействие алгебры Хопфа Н - это согласованная с умножением структура Н-комодуля. Например, кодействия групповой алгебры группы С соответствуют С-градуировкам.

В пятом параграфе рассматриваются так называемые свободные действия и кодействия. Примерами свободных действий групповой алгебры являются расширения Галуа в смысле Чейза-Харрисона-Рооенберга^ а свободных кодействий - строгие градуировки.

Действие группы в на коммутативной алгебре И индуцирует структуру 6-модуля на группе обратимых элементов 11СЮ алгебры 1?, в частности, определены когомологии С с коэффициентами в IXЮ. И хотя группа иСЮ не является Н-модулем для произвольной алгебры Хопфа, действующей на 1?, определены когомологии Свидлера3) , обобщающие групповые когомологии с коэффициентами в IX Ю. В шестом

^Sweedler M. E. Hopf algebras. Benjamine Press, N. Y. , 1960.

^Chase S.U., Harrison D. K. , Rosenberg A. Galois theory and Galois cohorrology of commutative rings. Memoirs Amer. Hi th. Soc. , 1965, v 52, 34-79.

^Sweedler M. E. Cohomology of algebras over Hopf algebras. Trans. Arrr. Math. Soc. , 1968, v 133, n 1, 205-239.

параграфе показывается, что для свободных действий когомологии Свидлера совпадают с когомологиями Амицура.

В седьмом параграфе определяются скрещенные произведения JWH ал1"ебры R на алгебру Хопфа Н, действующую на R и рассматриваются здемпотенты r скрещенных произведениях.

Вторая глава посвящена эквивариантным модулям над алг'еброй с действием некоторой алгебры Хопфа.

В первом параграфе определяется Н-эквивариантные R-модули, как R-модули вместе со структурами Н-модуля, согласованные с действием H на R. Например, если H - групповая алгебра группы G, то H-эквивариантный R-модуль - это R-модуль с набором g-линейных автоморфизмов для каждого g из G, причем ^f^g = ^fg-Аналогично, если задано кодействие H на R, Н-коэ:свивариантный R-модуль - это R-модуль со структурой Н-комодуля, согласованной с кодействием H на R. Например, G-градуированные модули над G-градуированной алгеброй - это ktGÏ-коэквивариантные модули.

Обозначим через С IM^CR) ) каизгорию Н-(ко)эквивариантных

R-модулей, конечнопоронденных над R. Если R - нетерово, то категории [Ar) абелевы, категории IM^CR) также абалевы, если, кроме того, H - строго плоская алгебра. Если алгебра H конечнопорождена как модуль, то категория irf^CRD эквивалентна категории конечнопоровденных модулей над скрещенным произведением R на Н.

Во зторсм параграфе рассматриваются структуры эквивариантных модулей на свободных модулях. Для коммутативной алт'ебры такие структуры на свободном модуле ранга один классифицируются первой группой когомологий Свидлера нЧн,Ю)3. Таким образом, точна последовательность О —> нЧн.Ю)} —> PicHCR) —> PicCR), где

U

Pic CR) - группа классов обратимых Н-эквивариантных R-модулей.

В третьем параграфе рассматриваются инвариантные модули. Н-инвариантный R-модуль - это обобщение понятия Н-эквивариантного модуля. Например, к С G1-инвариантный модуль - это' модуль с произвольным набором g-линейных автоморфизмов для каждого g из G. Обратимый Н-инвариантный R-модуль определяет 2-коцикл Свидлера и класс этого коцикла в H^CH.UCR)) не зависит от выбор» структуры Н-инваряантности. Таким образом, предыдущая точная последовательность достраивается до

О H^H.UCR)) —> Pic^CRJ PicCR)H H^CH.UCR)), где

U

PicCR) - подгруппа в группе Pic(R), порожденная классами модулей,

А

обладающих Н-инвариантной структурой;

Четвертый параграф посвящен проективным эквивариантным модулям. Обозначим через Лю С РцСЮ ) полную подкатегорию в С [Н|(Ю ), состоящую из проективных ГЗ-модулей. Если алгебра Н конечнопорождена как модуль, а алгебра Н редуктивна, то категория [Р^С!?) эквивалентна категории конечнопорозденных проективных модулей над скрещенным произведением I? на Н.

В пятом параграфе рассматриваются функториальные своства категорий эквивариантных модулей.

В шестом параграфе рассматриваются коэквивариантные модули в случае свободных кодействий. Если алгебра Хопфа Н свободно кодействует ка алгебре К, то функтор коинвариантов С —>

ВО^) задает эквивалентность категорий.

Если алгебра I? коммутативна, то предыдущая эквивалентность допускает следующее обобщение, изложнию которого посвящен седьмой параграф. Пусть И - подгруппа в группе 1-коцшслов Свидлера, тогда определена С-градуированная алгебра КО и пара сопряженных функторов (М^СГО В^фСРСО}, индуцирующих эквивалентность категорий при некоторых дополнительных условиях.

В третьей главе рассматривается эквивариантнак К-теория колец, то есть К-теория Квиллена категорий Ско)эквивариантных модулей. Заметим, что зсе раса/аариваемка кольца предполагаются нетеровыми слева.

Первый параграф посвящен определению эквивариантнах К-тэорий колец. Обозначим = К^сАю), К^СЙ.Ю = К^сЛю),

К^СН.Ю = К^С^СЮ), К^СН.К) ^К/РцСЮ), гдэ К^СЮ обозначает К-теорию Квиллена точной категории Л. Результаты второй главы принимают следующий вид в терминах К-теории!

1) пусть алгебра Н конечномерна, тогда К^СЙ.Ю = К^СН.Ю = К^СЙ^Н) если, кроме того, алгебра Н®* редуктивна, то К^Сй.Ю = КХСН,Ю = КхСй?Н).

2) пусть Н свободно кодействует на алгебре Я, тогда К^СН.М = К;СКН), если, кроме того, алгебра Н редуктивна, то К^СН, Ю 5

К-теории кольца Т с идемпйтентом е посвящен третий параграф. Так как категория 1МСеТе/еТС1-е)Те) являтся подкатегорией Серра в ¡МСТ) и соответствующая факторкатегория эквивалентна [НСС 1-е)ТС 1-е)} то, по теореме Квиллена о факторизации, точна последовательность

. . . К^СеТе/еТС1-е)Те) -> К^СТ) К^Са-еШЗ-е)) —, ...

Если С 1-е)ТС 1-е)-модуль еТС1-е) плоский, то эта последовательность расщепляется и К^СТ) = К^СеТе/еТС1-е)Те) © К^СС 1-е)ТС 1-е)).

Аналогичная формула верна и для К^СТ), если С 1-е)Те - проективный С1-е)ТС 1-е)-модуль.

В четвертом параграфе посвящен из вычислений К-теории кольца с идемпотентом извлекается информация о К-теории колец эндоморфизмов. А именно, пусть М - конечнопорожденный левый модуль над нетеровом слева кольцом 1?, тогда точна последовательность . . К^СЕ/М-Ноп^СМ.Ю) К;СЮ К^СЕпбрСМ)) _> . . .

Пятый параграф посвящен К-теории С-градуированных модулей для конечной группы С. Заметим, что К-теория в-градуированных модулей изоморфна К-теории скрещенного произведения 15#к[С]*. Так как алгебра к [С]* изоморфна прямой сумме к, то в 13#к[С]х содержится | ортогональных идемпотентов. Используя вычисления К-теории кольца с идемпотентом можно в некоторых случаях явно вычислить К-теорию градуированных модулей. Например, пусть А 2/п2-градуированная коммутативная алгебра, причем А^еРСАд) и А^ = А| = А®1, тогда К^СкГИ , А) = К^САд) © Сп-ПК^САд/тф.

Седьмой параграф посвящен эквивариантной К-теории фильтрованных колец. Пусть на алгебре Б действует алгебра Хопфа Н и в I? задана возрастающая Н-инвариантная фильтрация, причем Тог-размерности I? над и над К конечны. Тогда К^С1?,Ю = Отсюда, в

частности, следует1, что если кегСяЭ - нильпотентный идеал в Н, то

к;сг?,ю й к^сА.

Четвертая глаЕа посвящена эквивариантной К-теории схем, то есть К-теории категорий когерентных С-пучков и векторных

<С-расслоений Лх) на схеме нетеровой X, на которой действует групповая схема С.

Связь с предыдущими главами, рассматриваемая во втором параграфе, обуславливается тем фактом, что в аффинном случае Х=5ресСА) С=5ресСН) категории

и Лх) эквивалентны

категориям !И^СА) и Р^СА) соответственно.

В третьем параграфе рассматривается свободное действие редуктивной алгебраической группы С на X, для которого существует факторехема ХиЕ. В этом случае категория

ьРсю

эквивалентна

категории ЖХ/Ю и К^СХ.Ю = К/А^СХ)) = К^СХЖ).

В четвертом параграфе для замкнутой С-инвариантной подсхемы 7, в X, для которой С действует свободно на Х\2, строится длинная точная последовательность

(о

____> iccz.Q _> iccx.ra клсхчг.ю -ч>...

Я Я Ä

которая, в частности, позволяет показать, что K^(X,Z/2Z) = для гиперэллиптической кривой X рода g над полем к с естественным действием 2/22.

Пятая глава посвящена G-эквивариантным линейным расслоениям, в случае конечной группы G. Группа Pic^CX) G-эквивариантных линейных расслоений изоморфна первой группе G-эквивариантных когомологий пучка обратимых сечений структурного пучка X. К эквивариантным когомологиям НдСХ,®^) сходятся две спектральные последовательности со вторыми членами

Е^'ЧСП = HPCG.lftX.O^O и E|'qC2D = HpCX/G,3^CX,i^3D Из первой спектральной последовательности выводится точная последовательность

О H^CG.rCX,©^)) —> PicGCXD -> PicCX)G tf^CG, ГСХ, с£>) , для аффинной X совпадающая с последовательностью построенной в третьей главе.

Для регулярной схемы X НЯСХ,©^) = О при q>l, поэтому первая спектральная последовательность вырождается в длинную точную последовательность

. . H^G.rCX,^)) н£сХ,о£> _> Hi_1CG,PicCX)D . . В силу конечности G пучки Я^СХ.О^) ассоциированны с предпучками U к-* fikG.rCrc^CLD,©^)) на X/G. Таким образом, если X -многообразие над алгебраически замкнутым полем к и множество ветвления Z морфизма факторизации л:X —> X/G состоит из конечного числа точек, то, используя вторую спектральную последовательность, можно вычислить группы HqCX,®^). В частности, если G - абелева группа, Н^СХ.г^З Sy^HkG.rCn^yD,^).

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю В. А. Артамонову за внимание к работе.

Публикации автора на тему диссертации

1. Davydov A.A. K-theory of rings with idempotents. Тезисы международной конференции no алгебре памяти А. П. Мальцева, Новосибирск, 1989, с. 1753

2. Давыдов А. А. Эквпварпантная K-теория колец. Успехи мат. наук. 1991, т. 46, 4, с. 145-156.

3. Давыдов A.A. Эквивариантная K-теория схем. Вестник МГУ. 1991, 6, с. 90-93.