Экстензорные свойства G-пространств и их пространств орбит тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Введение.

Глава 0. Основные понятия и свойства.

§1) Топологические группы.

§2) Группы преобразований.

§3) Трубки и срезы.

Глава !. Обращение теоремы о существовании трубок.

§1) Трубки и группы Ли.

§2) Орбиты, являющиеся многообразиями и группы Ли.

§3) Орбиты, являющиеся многообразиями и трубки.

Глава 2. Экви вариантные абсолютные экстензоры в размерности О и теорема о существовании срезов

§1) G~ANE(0)-npocmpaHcmea и группы Ли.

§2) Теорема о существовании срезов.

Глава 3. Равностепенные экстензорные свойства пространства орбит.

§1) Теорема Whitehead'a.

§2) Равностепенные экстензорные семейства множеств.

§3) Категория пространств.

§4) Теорема Whitehead'a для пространств с фильтрацией.

§5) Равностепенные экстензорные свойства пространства орбит для ^-пространств.

Математическая система- это множество или семейства множеств с некоторой "структурой ", а математика- это наука о математических системах. Если установить требования, чтобы структура была алгебраической, то система будет алгебраической, и алгебра есть предмет об алгебраических системах. Аналогично, топологическая структура определяет топологическое пространство, и топология есть предмет о топологических пространствах. Можно сформулировать понятие совместимости между топологической структурой и алгебраической структурой данной алгебраической системы. Алгебраическую систему с совместимой топологической структурой можно называть топологической системой, и предмет о таких системах можно называть анализом.

В современной топологии пристальное внимание уделяется изучению инъективных объектов в определённых категориях. Такие объекты в топологической терминологии называются абсолютными экстензорами. Другими словами, теория абсолютных экстензоров — это теория инъективных объектов в топологических категориях.

В настоящее время теория абсолютных экстензоров является одной из интенсивно развивающихся областей топологии, тесно связанной со всеми другими областями топологии от абстрактной до алгебраической. Исходные понятия теории абсолютных экстензоров принадлежат общей топологии, но полное их развитие требует применения алгебраического аппарата. Поэтому, эта теория связана с обеими главными ветвями топологии — теоретико-множественной и алгебраической топологией.

Теория эквивариантных экстензоров занимает такое же важное положение по отношению к эквивариантным многообразиям, как и обычная теория экстензоров по отношению к топологическим многообразиям.

Понятие действия топологической группы на топологическом пространстве, является формализацией интуитивной идеи внутренней симметрии топологических пространств. При исследовании таких объектов естественен подход, основанный на изучении того, как те или иные топологические свойства преломляются в присутствии действия группы.

Развитие топологической составляющей теории топологических групп преобразований во многом определялось решением ряда проблем, в числе которых особо можно отметить проблемы линеаризации действия и существования эквивариантных продолжений G-отображений.

По всей видимости, можно считать, что первая проблема во многом получила исчерпывающее решение в работах J. de Vries [37] и Ю.М. Смирнова [29]. Задача же исследования экстензорных свойств G-пространств, несмотря на полученные здесь глубокие и содержательные результаты, всё ещё содержит ряд интересных и важных вопросов. Именно разрешению некоторых из этих вопросов посвящена диссертация.

В основах теории эквивариантных экстензоров А.Глисон [39], доказал, что любое конечномерное линейное пространство с ортогональным действием компактной группы Ли является абсолютным экстензором. Важность этой теоремы объясняется её тесной связью с понятием среза G-пространства. Именно в основе этой теоремы, как впрочем, и всей теории топологических групп, лежит теорема о существовании срезов, доказанная трудами Глисона, Монтгомери и Янга, Мостова, Пале, и Бредона [16].

Из неё, в частности, следует, что главные G-^расслоения для компактной группы Ли, в точности совпадают с орбитными проекциями свободных G-пространств. Именно по этой причине возникла тенденция рассматривать G-пространства как обобщённые главные расслоения, и была предпринята попытка, разработать концепции классифицирующих и универсальных G пространств по аналогии с классифицирующими и универсальными пространствами для расслоений. Р. Пале [53] была осуществлена гомотопическая классификация G-пространств с конечным числом орбитных типов для компактных групп Ли. Пале поставил задачу описания классифицирующих G-пространств с произвольной орбитной структурой. Найденное в работе С.М. Агеева [2] её решение оказалось тесно связанным с эквивариантным гильбертовым кубом Q и характеризацией абсолютных экстензоров разнообразных категорий. Отметим, что приведённые в этой теореме связностные свойства, сыграли важную роль в установлении результатов второй главы диссертации (теорема 2.3).

Понятие среза тесно связано с понятием трубки. Теорема о существовании трубчатых окрестностей даёт возможность изучать окрестности орбит в G-пространствах. Она находит применение в сравнении фундаментальной группы G—пространства с фундаментальными группами его орбит (Г. Бредон [16]).

Следует, особо обратить внимание, что теорема о существовании срезов справедлива для компактных групп Ли. Если действующая компактная группа, не является группой Ли, то справедлива аппроксимативная теорема о существовании срезов.

Теорема (С.М. Агеев [3]). Пусть G есть компактная группа, а X -некоторое G-пространство. Тогда для любой точки аеХ и для любой её окрестности О существует такая замкнутая подгруппа Н группы G и такое G-отображение <p:U-»G/H из некоторой инвариантной окрестности U орбиты G(a), что:

1) ф1(Н) с=0;

2) Существует нормальная замкнутая подгруппа К группы G, содержащаяся в Н такая, что G/K является компактной группой Ли.

Прообраз ф1(Н) называется аппроксимативным срезом.

При изучении эквивариантных абсолютных экстензоров, мы сталкиваемся с изучением эквивариантных абсолютных экстензоров в размерности 0. a) В случае тривиального действия (G=e) известен результат Б.Т. Левшенко [26]: любое метрическое пространство является ANE(0)-пространством. b) Если G есть компактная группа Ли, то любое метрическое G-пространство X является G-ANE(0)-npocmpaHcmeoM (С.М. Агеев [1]).

Один из результатов этой диссертации заключается в установлении обратного утверждения, а именно: если любое метрическое G-пространство X является G-ANE(O)-пространством, то действующая компактная группа должна быть группой Ли.

Тем самым G-ANE(O) более сложно для, не групп Ли. С одной стороны это связано с согласованной структурой стабилизаторов у G-ANE(O) [1], ас другой стороны с отсутствием точных срезов за пределами групп Ли (теоремы 1.1 и 2.3).

Характеризация G-ANE(O) через стабилизаторы важна из-за тесной связи G-ANE(O) с принадлежностью классу G-ANE выпуклых инвариантных подмножеств V локально выпуклых линейных G-пространств. с) VeG-ANE тогда и только тогда, когда VeG-ANE(O).

Флойд доказал, что если для конечной группы G, G пространство X является компактным конечномерным ANE пространством, то пространство орбит X=X/GeANE [38]. Э. Флойд поставил проблему:

Пусть компактная группа Ли G действует на компактном конечномерном ANE-пространстве X. Если X имеет конечное число орбитных типов, то пространство орбит XeANE?". Проблема Э.Флойда не решена до сих пор (за исключением некоторых групп G).

В некоторых специальных, но важных в приложениях случаях ответ в проблеме Флойда положителен. Яворовский доказал этот результат в случае, когда G есть конечная группа, a XeG-ANE метрическое G-ANE [48]. С.А. Антонян [11] доказал этот результат для компактных групп Ли:

Если компактная группа G является группой Ли, а метрическое пространство X является G-ANE-пространством, то его пространство орбит XgANE.

В работе [52] М. Мураяма доказал, что:

Если G-компактная группа Ли; а X есть метрическое G-ANE-пространство, то для любой замкнутой подгруппы H<G, тт подмножество GX пространства X, также является G-ANE-пространством.

Но тогда, в силу теоремы Антоняна, пространство орбит Xh-=(GXh)/G является ANE-пространством.

Следовательно, {XhIh<G} есть семейство, состоящее из ANE -пространств.

Интересно разобраться в вопросе о том, при каких условиях семейство {Хн I H<G} замкнутых подмножеств XH:=(GXH)/G пространства орбит X:=X/G будет обладать свойством равностепенной локальной связности?

Этим показывается актуальность рассматриваемых вопросов.

В настоящей работе рассматриваются следующие вопросы:

1) Исследование трубчатых окрестностей вокруг орбит, при действии компактной группы на вполне регулярном пространстве.

2) Исследование эквивариантных абсолютных экстензоров в размерности 0 и теоремы о существовании срезов.

3) Исследование равностепенных экстензорных свойств пространств орбит.

Получены результаты, являются новыми и после того как мы определили круг актуальных для теории G-пространств вопросов и проблем, перейдём к подробному изложению содержания диссертационной работы.

В главе 0 излагаются некоторые основные понятия, такие как: топологическая группа, пространство смежных классов, группа Ли, группа преобразований, действие группы на топологическом пространстве, G-пространство и G отображение, категория G-пространств, инвариантные подмножества, стационарная подгруппа, орбита, пространство орбит, ядро действия, неподвижные точки, Эффективные, свободные и транзитивные действия, скрученное произведение, трубки и срезы.