Эквиварная алгебраическая К-теория

Давыдов, Алексей Александрович

Эквиварная алгебраическая К-теория тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Давыдов, Алексей Александрович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

1991 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.06 КОД ВАК РФ

Автореферат по математике на тему «Эквиварная алгебраическая К-теория»

Автореферат диссертации на тему "Эквиварная алгебраическая К-теория"

> ' ..

? г }Л

МОСКОВСКИ! ОРДЕНА .ПВДИА. ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВШВДЮ И ОРДЕКА ТРУДОВОГО КРАСКОЙ) ЗНАМЕН!! УИСЕРСИт №2$ М. В. ЛОМОНОСОВА Шханико-*атематичэсяпй факультет

На правах рукописи УДК 512.666

Давыдов Алексей Александрович

ЭКВИВАРИАНГНАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ К-ТЕОРИЯ 01.01.06 - Математическая логика, алгебра и теорпя чиоел

Автореферат

диссертации на -соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Шумный руководитель -доктор физико-математических наук, доцент В. А. Артамонов

МОСКВА, 1991

)

Диссертация выполнена на кафедре высшей алгебры механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, доцент

В. А. Артамонов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Ю.П.Соловьев, кандидат фгаико-математическик наук,

Ведущая организация - Киевский государственный университет

Защита диссертации состоится 2М сл^лра^-л 1992. года на заседании специализированного совета Д. 053. Сб. 05 при Московском государственном университете им. М. В.Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, В-234, Ленинские Горы, МГУ, механико математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке механико-математического факультета МГУ СГлавное здание, 14 этаж). Автореферат разослан Z.4 «АлАр-ч 199 2_ года.

Ученый секретарь специализированного совета Д. 053.05. 05 при МГУ доктор физико-математических наук

В. Н. Чубариков

Актуальность темы: Началом алгебраической K-теории послужило доказательство А. Гротендика обобщенной теоремы Римана-Роха в 1957 году, в котором была определена группа КСХ) C=KQCX53 классов векторных расслоений на схеме X.

Немного позднее X. Басс, основываясь на работах Дд. X. С. Уайтхеда, определил грушу К^СЮ, связянную с обратимыми матрицами над кольцом R. В своей книге1'' Басс исследовал связи между функторами К0 и Кг

Следующий шаг сделал Дж. Милнор определив ipynny КрС Ю, описывающую соотношения между элементарными матрицами над кольцом R. Оказалось, что группа Милнора связана с символам и законами взаимности.

Определение остальных K-функторов Кп при п>2 было дано Д. Квилленом^ . Алгебраическая K-теория является очень тонким инвариантом. В частности, она связана с группами Чзкоу и со значениями в целых точках С-функций многообразий. Предпологается, что гипотетические мотивныэ когомологии также тесно связаны с К-теорией.

Цель работы. Изучение эквивариантных аналогов алгебраической K-теории колец и схем, на которых заданы действия алгебр Хопфа и групповых схем, соответственно. Под эквивариантной К-теорией понимается K-теория категорий эквивариантных модулей, т.е. модулей на которых заданы действия алгебры Хопфа или групповой схемы, согласованные с действием на кольце или схеме.

В работе используются теория алгебр Хопфа, обшдда методы теории категорий, алгебраическая K-теория, результаты из гомологической алгебры и алгебраической геометрик.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являптся новыми.

13 найдены достаточные условия эквивалентности категории эквивариантных модулей и категории G-градуированных модулей, для некоторой группы G,

^Басс X. Алгебраическая K-теория. М. , Мир, 1973.

9Милнор Дк. Введение в алгебраическую К-теорию. М. , Мир, 1974.

^Quillen D. Higher algebraic K-functors. Lecture Noiies in Math. , 1973, v 341, 85-147.

I'll! О

2) для конечной группы в вычислена К-теория категорий (т-градуированньк модулей,

3) вычислана К-теория категории* зквнвариангныя модулей, если заданное действие алгебры Хопфа нильпотентно,

4) для действия дискретной группы в на регулярной схеме X описаны зквивариантная группа Пикара и когомологми в-модуля Р1сСХ).

Приложение. Результаты диссертации носят теоретический характер. Они могут найти применение в алгебраической К-теории.

Апробация работы. Результаты диссертации докладавались на семинар» по алгебр« под руководством А. И. Кострикина, на семинаре по теории колец под руководством А.В.Михалева и В.А.Артамонова в МГУ, на. семинарах по алгебре в КГУ и ЛОМИ и на международной конференции памяти А. И. Мальцева в Новосибирске.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в трех работах автора, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения - гл. О и пяти глав, связанных общим содержанием, но различающихся направлением и способами исследования. Работа снабжена библиографией из 26 названий и оглавлением.

Краткое содержание диссертации

Во введении перечислены основные результаты работы, дан краткий исторический обзор, описано содержание диссертации по главам.

Фиксируется основное поле к и, если не оговорено противное, все конструкции линейной алгебры считаются к-линейными.

Первая глава имеет подготовительный характер и содержит факты, касающиеся алгебр Хопфа, необходимые в последующих главах. Все результаты этой главы, за исключением параграфов 6 и 7, являются хорошо известными. Отсутствие удобных ссылок вынудило автора включить их в текст диссертации.

Первая глава состоит из семи параграфов.

В первом параграфе вводится понятие алгебры Хопфа, классическими примерами которой являются групповая и универсальная обертывающая алгебры. Понятие конечномерной алгебры Хопфа самодвойственно, т.е. на двойственном пространстве Н° = НотСН,Ю к алгебре Хопфа Н снова определена структура аш^ебры Хопфа. Кроме того функтор Н —> Н° является двойственностью, то есть (Н°3° канонически изоморфно Ч, как алгебра Хопфа. Двойственная алгебра

Хопфа произвольной алгебры Хопфа Н была определена в работе^ и является подалгеброй Хопфа в Н°, совпадающей с Н° в случав конечномерной Н.

Во втором параграфе проверяется, что категории модулей и комодулей над алгеброй Хопфа, конечномерных над основным полем к, обладают тензорным произведением. Категории модулей являются абелевыми, а категории комодулей абелевы в случае строго плоской алгебры Хопфа.

Третий параграф посвящен алгебрам Хопфа, у которых категории модулей полупросты. В работе такие алгебры Хопфа называются редуктивными.

В четвертом параграфе вводятся понятия действия и кодействия алгебр Хопфа на ассоциативных алгебрах. Действие алгебры Хопфа Н на алгебре К - это структура Н-модуля на Р, согласованная с умножением в Р. Это определение обобшдет действия групп автоморфизмами и алгебр Ли дифференцированиями. Аналогично, кодействие алгебры Хопфа Н - это согласованная с умножением структура Н~комсдуля. Например, кодействия групповой алгебры группы С соответствуют С-градуировкам.

В пятом параграфе рассматриваются так называемые свободные действия и кодействия. Примерами свободных действий групповой алгебры являются расширения Галуа в смысле Чейза-Харрисона-Рсхзенберга^ а свободных кодействий - строгие градуировки.

Действие группы в на коммутативной алгебре 5? индуцирует структуру в-модуля на группе обратимых элементов 1КЮ алгебры К, в частности, определены когомологии б с коэффициентами в 1КЮ. И хотя группа 11СЮ не является Н-модулем для произвольной алгебры Хопфа, действущей на Й, определены когомологии Свщщера'^) , обобщающие групповые когомологии с коэффициентами в IX Ю. В шестом

^Sweedler M. E. Hopf algebras. Benjamine Press, N. Y. , 1969.

^Chase S. U. , Harrison D.K. , Rosenberg A. Galois theory and Galois cohomology of cornnutative rings. Memoirs Amer. Math. Soc. , 1965, v 52, 34-79.

/^Sveedler M. E. Cohomology of algebras over ffopf algebras. Trans. Anr. Math. Soc., 1968, v 133, n 1, 205-239.

параграфе показывается, что для свободных действий когомологии Свидлера совпадают с когомологиями Амицура.

В седьмом параграфэ определяются скрещенные произведения R#H алгебры R на алгебру Хопфа Н, действующую на R и рассматриваются идемпотенты в скрещенных произведениях.

Вторая глава посвящена аквивариантным модулям над алЕ^еброй с действием некоторой алгебры Хопфа.

В первом параграфе определяется Н-эквивариантные 1?-модули, как R-модули вместе со структурами Н-модуля, согласованные с действием H на R. Например, если H - групповая алгебра группы G, то Н- -эквивариантный R-модуль - это R-модуль с набором g-линейных автоморфизмов для каждого g из G, причем =

Аналогично, если задано содействие H на R, Н-коэквивариантный R-модуль - это R-модуль со структурой Н-комодуля, согласованной с кодействием H на R. Например, G-градуированные модули над G-градуированной•алгеброй - это k [ G ]-конквивариантные модули.

Обозначим через М^СЮ ( ffl^CR) 3 категорию Н-СкоЗэквиварианткых R-модулей, кокечнопорожденных над R. Если Р. - нетерово, то категории R3 абеяевы, категория BI^CR) также абелевы, если, кроме того, H - строго плоская алгебра. Если алгебра H конечнопороздена как модуль, то категория ÎM^CR) эквивалентна категории кокечнопороздеиных модулей над скрещенным произведением R на Н.

Во втором параграфе рассматривается структуры эквивариактных модулей на свободных модулях. Для коммутативной алгебры такие структуры на свободном модуле ранга один югассифидируются первой группой когомолопий Свидлера Н^СН, IJ(RD). Таким образом, точна последовательность 0 —> нЧн,UCR3) —> Pic^CRD —> PicCRD, где Pic CRD - хруппа классов обратимых Н-эквивариантных R-модулей.

В третьем параграфе рассматриваются инвариантные модули. Н-инвариантный R-модуль - это обобщение понятия Н-эквивариантного модуля. Например, k[G1-инвариантный модуль - это' модуль с произвольным набором g-линейных автоморфазмов для каадого g из G. Обратимый Н-инвариантный R-модуль определяет 2-коцикл Свидлера и класс этого коцикла в

ЦСЮ) не зависит от выбора структуры Н-инвариантности. Таким образом, предыдущая точная последовательность достраивается до

О нЧн.ЦСЮ) —, Pic^CR) —> PicCR3H _» 1^СН,1ХЮЭ, где

PicCR) - подгруппа в группе РдсСЮ, порожденная классами модулей,

обладающих Н-инвариантной структурой:

Четвертый параграф посвящен проективным эквивариантным модулях. Обозначим через (Р^СМ С Р^СЮ ) полную подкатегорию в иЛю С ИцСЮ ), состоящую из проективных I?-1 юдулей. Если алгебра Н конечнопорождена как модуль, а алгебра Н редуктивна, то категория Л Ю оквивалентна категории кснечнопорожденных проективных модулей над скрещенным произведением й на Н.

В пятом параграфе рассматриваются функториалыше своства категорий эквивариантных модулей.

В шестом параграф рассматриваются коэквивариантные. модули в случае свободных кодействий. Если алгебра Хопфа Н свободно кодействует ка алгебре 13, то функтор коинвариантов С —>

(МСЙ^) задает эквивалентность категорий.

Если алгебра !? коммутативна, то предыдущая эквивалентность допускает следующее обобщение, изложению которого посвящен седьмой параграф. Пусть в - подгруппа в группе 1-коциклов Свидлера, тогда определена С-градуированная алгебра ИГО и пара сопряженных функторов (М^СЮ ^ В^эдСИСЗ), индуцирующих эквивалентность категорий при некоторых дополнительных условиях.

В третьей главе рассматривается эквивариантная К-теория колец, то есть К-теория Квиллека категорий СкоЗэквивариантиык модулей. Заметим, что все рассматриваемые кольца предполагаются нетеровыми слева.

ТЪршй параграф посвящен определен!«) эквивариантнах К-теорий колец. Обозначим К'СК,ГО = КГ К, ГО = К./Лй),

' X ' 5Т 'Л '

= К^СВ^СЮ), Кк(Н,Ю = К^СРцСЮ), где К^С-зО обозначает К-теорип Квиллена точной категории Л. Результата второй главы принимают следующий вид в терминах К-теории1

1) пусть алгебра Н конечномерна, тогда й К^СН.Ю 3: К^СЕ#Ю если, кроме того, алгебра Н5* редуктивна, то КХСЙ,ГО = К^СН.Ю =

2) пусть Н свободно кодействует на алгебре Р, Т01'да К^СН, К) = К;С%), если, кроме того, алгебра Н редуктивна, то К^СН,Ю 5

К-теории кольца Т с идем!¡агентом е посвящен третий параграф. Так как категория "К еТе/еТС1-е)Те] являтся подкатегорией Серра в (ИСТ) и соответствующая факторкатегория эквивалентна 1ИС С 1-е) ТС 1-е)) то, по '«гареме Квиллена о (факторизации, точна последовательность

... --> К^СеТе/еТС 1 -е)Те) _> К.^СТ) —, К^СС1-е)ТС1-еЗ) _ . ..

Если С 1-е)ТС1-е)-модуль еТС1-еЗ плоский, то эта последовательность расщепляется и К^СП = К^СеТе/еТС1-еЗТе) ffi К^(С1-еШ1-е)).

Аналогичная формула верна и для К^СТ), если С1-е)Те - проективный ( 1-е}'ТС 1 -е) -модуль.

В четвертом параграфе посвящен из вычислений К-теории кольца с идемпотентом извлекается информация о К-теории колец эндоморфизмов. А именно, пусть M - конечнопорозденный левый модуль над нетеровом слева кольцом К, тогда точна последовательность . .. -> K^CR/M*HomgCM, Ю) К;СЮ K^(EndRCM)3 ...

Пятый параграф посвящен К-теории G-градуированных модулей для конечной группы G. Заметим, что К-теория G-градуированных модулей изоморфна К-теории скрещенного произведения R#k[Gl*. Так как алгебра kfGl* изоморфна прямой сумме к, то в R#ktGl* содержится |G| ортогональных идемпотентов. Используя вычисления К-теории кольца с идемпотентом можно в некоторых случаях явно вычислить К-теорию градуированных модулей. Например, пусть А 2>"п2-градуированная коммутативная алгебра, причем A^€P(Aq) и А^ = а| = А®1, тогда K^CktG],A3 = K^CAqD ffi Сп-ПК^С Aq/aJ).

Седьмой параграф посвящен эквивариантной К-теории фильтрованных колец. Пусть на алгебре J3. действует алгебра Хопфа H и в R задана возрастающая Н-инвариантная фильтрация, причем Тог-размерности R над Rq и Rq над R конечны. Тогда K^CR, Ю = К^СRq , Ю. Отсюда, в частности, следует, что если кегСйЗ - нильпотентный идеал в Н, то

К;ск,го - К^сА.

Четвертая глава посвящена эквивариантной К-теории схем, то есть К-теории категорий когерентных С-пучков ffî CX) и векторных С-расслоений на схеме нетеровой X, на которой действует

групповая схема G.

Связь с предыдущими главами, рассматриваемая во втором параграфе, обуславливается тем фактом, что в аффинном случае X=SpecCA) <G=Spec(H) категории Ьр(.Ю и Ах) эквивалентны категориям А) и (Р^СА) соответственно.

В третьем параграфе рассматривается свободное действие редуктивной алгебраической группы G на X, для которого существует факторсхема ХиС. В этом случае категория ¡Роо эквивалентна категории МСХ/Ю и К^СХ.Ю = К^сАхЗЭ й К^СХ/Ю.

В четвертом параграфе для замкнутой 6-инвариантной подсхемы Z в X, для которой G действует свободно на X\Z, строится длинная точная последовательность

(о

____» KiCZ.O -» К'СХ.СЗ ICLCXvZ.iD . .

7V Л

которая, в частности, позволяет показать, что K^CX,2/2Z) = для гиперэллиптической кривой X рода g над полем к с естественным действием 2/22.

Пятая глава посвящена G-эквивариантным линейным расслоениям, в случае конечной группы G. Группа Pic^CX) G-эквивариантных линейных расслоений изоморфна первой группе G -эквивариантных когомологий HqC X,ffi,*3 пучка обратимых сечений структурного пучка X. К эквивариантным когомологиям Hq(X,ö*) сходятся две спектральные последовательности со вторыми членами

Б^'ЧСП = HPCG,H4CX,®£>) И Е^-^а = нРсх/с(э^сх,г^ю

Из первой спектральной последовательности выводится точная последовательность

О _» J^CG.rCX,®^} _> PicG(X3 PicCX)0 _> H^CG.rCX,г^З), для аффинной X совпадающая с последовательностью построенной в третьей главе.

Для регулярной схемы X Н^СХ.О^З = О при q>l, поэтому первая спектральная последовательность вырождается в длинную точную последовательность

. .._» нЧв.ГСХ,«^)) Н^СХ,®^) Hi_1CG,Pic(XDD . . В силу конечности G пучки ЗЕ^СХ, 0^3 ассоциированны с предпучками U H^CG.rCir^CLD,«^)) на ХД5. Таким образом, если X -

многообразие над алгебраически замкнутым полем к и множество ветвления 2 морфизма факторизации л: X —> X/G состоит из конечного числа точек, то, используя вторую спектральную последовательность, можно вычислить группы Hq(X,C^3. В частности, если G - абелева группа, 3y^H4G,rC;T~4y3,0£>3.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю В.А. Артамонову за внимание к работе.

Публикации автора на тему диссертации

1. Davydov A.A. K-theory of rings with idempotents. Тезисы международной конференции .по алгебре памяти А.И.Мальцева, Новосибирск, 1989, с. 17TL

2. Давыдов A.A. Эквньариантная K-теория колец. Успехи мат. наук. 1991, т. 46, 4, с. 145-155.

3. Давыдов A.A. Зквивариантная K-теория схем. Вестник МГУ. 1991, 8, с. 90-93.

Актуальность темы: Началом алгебраической К-теории послужило доказательство А.Гротендика обобщенной теоремы Римана-Роха в 1957 году, в котором была определена группа КС 50 С=К0Ш) классов векторных расслоений на схеме X.

Немного позднее X. Басс, основываясь на работах Дк. X. С. Уайтхеда, определил группу К^СЮ, связанную с обратимыми матрицам! над кольцом 1?. В своей книге1'' Басс исследовал связи между функторами К0 и

Следующий шаг сделал Дж. Милнор"' определив группу г^СЮ, описывающую соотношения между элементарными матрицами над кольцом й. Оказалось, что группа Милнора связана с символами и законами взаимности.

Определение остальных К-функторов Кп при п>2 было дано Д. Квилленом4"1

Алгебраическая К-теоркя является очень тонким инвариантом. В частности, она связана с группами Чжоу и со значениями в целых точках С-Функций многообразий. Предпологается, что гипотетические мотивные когомологии также тесно связаны с К-теорией.

Цель работы. Изучение экв!тариантных аналогов алгебраической К-теории колец и схем, на которых заданы действия алгебр Хопфа и групповых схем, соответственно. Под эквивариантной К-теорией понимается К-теория категорий эквнвариантных модулей, т.е. модулей на которых заданы действия алгебры Хопфа или групповой схемы, согласованные с действием на кольце или схеме.

В работе попользуются теория алгебр Хопфа, общие методы теории категорий, алгебраическая К-теория, результаты из гомологической алгебры и алгебраической геокетрии.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

1) найдены достаточные условия эквивалентности категорш; аквивариантных модулей и категории С-градуированных модулей, дай некоторой группы С,

'Басс X. Алгебраическая K-теория. М. , Мир, 1973.

г)Милнор Дж. Введение в алгебраическую К-теорию. М. , Мир, 1974.

5)Quillen D. Higher algebraic K-functors. Lecture Noties in Math. , 1973, v 341, 85-147. t-ifjO

23 для конечной группы в вычислена К-теория категорий (-¡-градуированных модулей,

33 вычислена К-теория категории' эквивариантных модулей, если заданное действие алгебры Хопфа нильпотентно,

4) для действия дискретной группы С на регулярной схеме X описаны зквивариантная группа Пикара и когомологтш (З-модуля Р1с(Х).

Апробация работа. Реоультата диссертации докладавались на се?.»маре по алгебре под руководствах А. И. Кострикина, на семинаре по теории колец под руководством А. В. Михалева и В. А. Артамонова в МГУ, на-семинарах по алгебре в КГУ и ЯМ и на международной конференции памяти А. И. Мальцева в Новосибирске.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения - гл. О и пяти глав, связанных общим содерзанием, но различающихся направлением и способами исследования. Работа снабжена библиографией из 36 названий и оглавлением.

Краткое содержание диссертации

Первая глава состоит из семи параграфов.

В первом параграфе вводится понятие алгебры Хопфа, классическими примерами которой являются групповая и универсальная обертывающая алгебры. Понятие конечномерной алгебры Хопфа самодвойственно, т.е. на двойственном пространстве Н° = НогпСН,Ю к алгебре Хопфа Н снова определена структура ат-ебры Хопфа. Кроме того функтор Н —> Н° является двойственностью, то есть СН°Э ° канонически изоморфно Ч, как алгебра Хопфа. Двойственная алгебра

Хопфа произвольной алгебры Хопфа Н была определена в работе'®'' и является подалгеброй Хопфа в Н°, совпадавшей с Н° в случае конечномерной Н.

Во втором параграфе проверяется, что категории модулей и комодулей над алгеброй Хопфа, конечномерных над основным полем к, обладают тензорным произведением. Категории модулей являются абелевыми, а категории комодулей абэлевы в случае строго плоской алгебры Хопфа.

В четвертом параграфе вводятся понятия действия и кодействия алгебр Хопфа на ассоциативных алгебрах. Действие алгебры Хопфа Н на алгебре К - это структура Н-модуля на 1?, согласованная с умножением в Р. Это определение обобщает действия групп автоморфизмами и алгебр Ли дифференцированиями. Аналогично, кодействие алгебры Хопфа Н - это согласованная с умножением структура Н-комодуля. Например, кодействия групповой алгебры группы в соответствуют С-градуировкам.

В пятом параграфе рассматриваются так называемые свободные действия и кодействия. Примерами свободных действий групповой алгебры являются расширения Галуа в смысле Чвйза-Харрисона-Розенберга^ а свободных кодействий - строгие градуировки.

Действие группы й на коммутативной алгебре К индуцирует структуру С-модуля на группе обратимых элементов IX ГО алгебры 1?, з частности, определены когомологии 6 с коэффициентами в ЮЗ. И хотя группа ЦСЮ не является Н-модулем для произвольной алгебры Хопфа, действующей на Й, определены когомологии Свидлера3), обобщающие групповые когомологии с коэффициентами в 1КЮ. В шестом

^Sweedler M. E. Hopf algebras. Benjamine Press, N. Y. , 1969.

Chase S . U. , Harrison D. K. , Rosenberg A. Galois theory and Galois cohomology of cannulative rings. Msmoirs Amer. Nfeth. Soc. , 1905, v SB, 34-79.

^Sweedler N. E. Cohomology of algebras over Hopf algebras. Trans. Arrr. Math. Soc. , 1968, v 133, n 1, 205-239.

параграфе показывается, что .для свободных действий когомологш Свидлера совпадают с когОмологиями Амицура.

В седьмом параграфе определяются скрещенные произведения R#H алгебры R на алгебру Хопфа Н, действующую на R и рассматривается идемпотенты в скрещенных произведениях.

Вторая глава посвящена эквивариантным модулям над алгеброй с действием некоторой алгебры Хопфа.

В первом параграфе определяется Н-эквивариантные R-модули, как R-модули вместе со структурами Н-модуля, согласованные с действием H на R. Например, если H - групповая алгебра группы G, то Н--эквивариантный R-модуль - это R-модуль с набором g-линейных автоморфизмов Фд для каждого g из G, причем =

Аналогично, если задано кодействие H на R, Н-коэквивариантный R-модуль - это R-модуль со структурой Н-комодуля, согласованной с кодействием H на R. Например, G-градуированные модули над G-градуированной алгеброй - это ktGl-коэквивариантные модули.

Обозначим через iAr) С W^CRD 3 категорию Н-СкоЗэквивариантных R-модулей, конечногоэровдеиных над R. Если R - нетерово, то категории [ЛйЗ абелевы, категории Oi^CR) также абелевы, если, кроме того, H - строго плоская алгебра. Если алгебра H конечнопоровдена как модуль, то категория iftR3 эквивалентна категории конечнопороиденньи модулей над скрещенным произведением R на Н.

Во втором параграфе рассматриваются структуры эквивариантных модулей на свободных модулях. Для коммутативной алгебры такие структуры на свободном модуле ранга один классифицируются первой группой когомологий Свидлера H^CH,UCR)3. Таким образом, точна последовательность 0 —> H^CH.UCR)) —> Pic^(R3 —> PicCR3, где

Pic (R3 - группа классов обратимых Н-эквивариантных R-модулэй.

В третьем параграфе рассматриваются инвариантные модули. Н-инвариантный R-модуль - это обобщение понятия Н-эквивариантного модуля. Например, k[G]-инвариантный модуль - это' модуль 1 с произвольным набором g-линейных автоморфизмов для каждого g из G. Обратимый Н-инвариантный R-модуль определяет 2-коцикл Свидлера и класс этого коцикла в ,UCR33 не зависит от выбора структуры Н-инвариантности. Таким образом, предыдущая точная последовательность достраивается до

О _> нЧн.ЦСЮЭ -» Pic^(R3 _> PicCR3H -, Î^CH,UCR33, где

PicCR3 - подгруппа в группе PicCR3, порожденная классами модулей,

обладающих Н-инвариантной структурой:

Четвертый параграф посвящен проективным эквивариантным модулям. Обозначим через С (Р^С 83 3 полную подкатегорию в

С (Н^СЮ 3, состоящую из проективных Е-модулей. Если алгебра Н конечнопороздена как модуль, а алгебра Н редуктивна, то категория ¡Лй) эквивалентна категории конечнопорождеиных проективных модулей над скрещенным произведением 15 на Н.

В пятом параграфа рассматриваются функториальнке своства категорий эквивариантных модулей.

В тестом параграфе рассматриваются коэквивариантные. модули в случае свободнъи кодействий. Если алгебра Хопфа Н свободно кодействует ка алгебре ¡5, то функтор коинвариантов С З^гА^СЙЗ —> ¡МСЗ^З задает эквивалентность категорий.

Если алгебра I? коммутативна, то предыдущая эквивалентность допускает следующее обобщение, изложению которого посвящен седьмой параграф. Пусть 6 - подгруппа в группе 1-коциклов Свидлера, тогда определена С -градуишвзнная алгебра КС ГО и пара сопряженных функторов Й^СЮ ^ индуцирующих эквивалентность

категорий при некоторых дополнительных условиях.

В третьей главе рассматривается эквивариантная К-теория колец, то есть К-теория Квиллена категорий (ко)эквивариантньк 'модулей, Заметим, что все рассматриваемые кольца предполагаются нетеровыш слева.

Первый параграф посвящен определению эквпвариантнах К-теорий колец. Обозначим К'СЙ.НЗ = К^сЛйЗ) , К (К,ГО = К СРЧ(Ю),

7Т Л А 3*

к;(н,1?) = К^СЙ^СЮ), К^СН.Р) = К/РцСЮ), где кул обоеначает К-теорию Квиллена точной категории А. Результаты второй главы принимают следующий вид в терминах К-теории!

1) пусть алгебра Н гсонечношрна, тогда К^СЙ, ГО 5 К^СН.Ю = К^СВ#Н) если, кроме того, алгебра Н* редуктивна, то К^СЙ.НЗ = К^СН.Ю 5

23 пусть Н свободно кодействует на алгебре Й, тогда К^СН,Ю 3 ' 60ли' кроме того, алгебра Н редуктивна, то К^СН,Ю 3

К-теории кольца Т с идемпОгентом е посвящен третий параграф. Так как категория ¡МСеТе/еТО-еЗТе) являтся подкатегорией Серра в ИСТ) и соответствующая факторкатегория эквивалентна (НСС 1-е)ТС 1-е)) то, по теореме Квиллена о факторизации, точна последовательность

. . . _» К;СеТе/еТС1-е)Те) _> К^СТ) _> К^СС1-е)ТС1-е)) _> . . .

Если С1-еЗТС 1-еЗ-модуль еТ(1-еЗ плоский, то эта последовательность расщепляется и К^СТЗ = К^СеТе/еТа-еЗТеЗ ® К^СС1чэЗТС1-еЗЗ.

Аналогичная формула верна и для ТЗ, если (1-еЗТе - проективный С1-еЗТС1-еЗ-модуль.

В четвертом параграфе посвящен из вычислений К-теории кольца с идемпотентом извлекается информация о К-теории колец эндоморфизмов. А именно, пусть N - конечнопорожденный левый модуль над нетеровом слева кольцом R, тогда точна последовательность . .. К^СRxM■ Ного^СМ,R3 3 К^СЮ _> K^CEndRCM33 _» . . .

Пятый параграф посвящен К-теории G-градуированных модулей для конечной группы G. Заметим, что К-теория G-градуированных модулей изоморфна К-теории скрещенного произведения R#k[G]*. Так как алгебра kfG]* изоморфна прямой сумме к, то в R#ktGl* содержится | G] ортогональных идемпотентов. Используя вычисления К-теории кольца с идемпотентом можно в некоторых случаях явно вычислить К-теорию градуированных модулей. Например, пусть А 2/п2-градуированная коммутативная алгебра, причем А^ёРСАдЗ и А^ = а| = А®1, тогда K^CktG] ,АЗ ё К^С AQ3 © Cn-13K^CAq/a|3.

Седьмой параграф посвящен зквивариантной К-теории фильтрованных колец. Пусть на алгебре R действует алгебра Хопфа Н и в R задана возрастающая Н-инвариантная фильтрация, причем Тог-размерности R над Rq и Rq над R конечны. Тогда K^CR,H3 = K^CRq.H) . Отсюда, в частности, следует, что если кегСяЗ - нильпотентный идеал в Н, то

K;cr,H3 =

Четвертая глава посвящена эквивариантной К-теории схем, то есть К-теории категорий когерентных <Е-пучков fftcX 3 и векторных <С-расслоений У°(Ю на схеме нетеровой X, на которой действует групповая схема <Е.

Связь с предыдущими главами, рассматриваемая во втором параграфе, обуславливается тем фактом, что в аффинном случае X=SpecCA3 <G=Spec(H3 категории if'СЮ и Лхз эквивалентны категориям Ш^САЗ и Р^СА) соответственно.

В третьем параграфе рассматривается свободное действие редуктивной алгебраической группы G на X, для которого существует факторсхема Х-ИС. В этом случае категория ifiiX 3 эквивалентна категории МСХЖ> и К^СХ.СЗ = К^АхЗЗ = К^СХИЮ.

В четвертом параграфе для замкнутой G-инвариантной подсхемы Z в X, для которой С действует свободно на X\Z, строится длинная точная последовательность

. . K:CZ,Q _> K'CX.Q K'CXVZ,® ..

Ä Ä Л

которая, в частности, позволяет показать, что K^CX,Z/2Z) = для гиперэллиптической кривой X рода g над полем к с естественным действием 2/22.

Пятая глава посвящена G-эквивариантным линейным расслоениям, в случае конечной группы G. Группа Pic^CX) G-эквивариантных линейных расслоений изоморфна первой группе С-зквивариантных когомологий НдСХ,®^)

пучка обратимых сечений структурного пучка X. К зквивариантным когомологиям HqCX.ö*) сходятся две спектральные последовательности со вторыми членами

Из первой спектральной последовательности выводится точная последовательность

О H^CG,ГСХ,_> PicGCX) _> PicCX3G H^G.nX,©^)}, для аффинной X совпадающая с последовательностью построенной в третьей главе.

Для регулярной схемы X rfkX,©^) = 0 при q>l, поэтому первая спектральная последовательность вырождается в длинную точную последовательность

____> НЧв,ГСХ,«ф) —> HjjjCX.ffl^) Hi-1CG,PicCX33 . .

В силу конечности G пучки ЗЕ^СХ, 0?р ассоциированны с предпучками U * H^CG.rCn^Clß.ffl^)) на ХИЗ. Таким образом, если X -многообразие над алгебраически замкнутым полем к и множество ветвления Z морфизма факторизации л:X —> X/G состоит из конечного числа точек, то, используя вторую спектральную последовательность, можно вычислить группы Нд(Х,0ЙЗ. В частности, если G - абелева группа, HqCX,®^ S^H^G.rCw^y),©^)).

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю В. А. Артамонову за внимание к работе.

Публикации автора на тему диссертации

1. Davydov A.A. K-theory of rings with idempotents. Тезисы международной конференции .по алгебре памяти А.И.Мальцева, Новосибирск, 1989, с. ITH.

2. Давыдов A.A. Эквпьариантная K-теория колец. Успехи мат. наук. 1991, т. 4В, 4, с. 145-153.

3. Давыдов A.A. Эквнварнантная K-теория схем. Вестник МГУ. 1991, 6, с. 90-93.