Приложения эквивариантных когомологий в вещественной алгебраической геометрии тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. В.А./СТЕ^ОВА

На правах рукописи УДК 512.7+512.66

КРАСНОВ Вячеслав Алексеевич

ПРИЛОЖЕНИЯ ЭКВИВАРИАНТНЫХ КОГОМОЛОГИЙ В ВЕЩЕСТВЕННОЙ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 1998

Работа выполнена на кафедре математического анализа Ярославское Государственного Университета им. П. Г. Демидова

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, в.и.с. Никулин В. В. доктор физико-математических наук Пухляков A.B. доктор физико-математических наук, профессор Танкеев С. Г.

Ведущая организация - Самарский Государственный Университет

Защита состоится 199 $ г. в часов на заседанш

специализированного совета Д. 002.38.02 по защите диссертаций н; соискание ученой степени доктора наук при математическом институт им. В. А. Стеклова РАН по адресу:

С диссертацией можно ознакомится в научной библиотеке Математического института.

117966 Москва ГСП-1 ул. Губкина д. 8.

Автореферат разослан

19 9 г.

Ученый секретарь спецсовета, доктор ф.-м.н.

Лысенок И. Г.

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Диссертация посвящена приложениям гомологической алгебры к задачам вещественной алгебраической геометрии, причем в качестве основного инструмента выбраны эквивариантные ко-гомологии. Обращение автора к данной теме было вызвано следующими двумя обстоятельствами. Во-первых, в семидесятые годы происходило интенсивное изучение топологии множества вещественных точек вещественного алгебраического многообразия, которое было связано с шестнадцатой проблемой Гильберта (см. обзоры [5], [2]). Одним из инструментов для выполнения такой задачи была теория Смита для инволюции комплексного сопряжения g: Х(С)-+Х(С), где X - данное вещественное алгебраическое многообразие (см. , например, [23], [26] ). Автор диссертации заметил, что в этих задачах эквивариантные когомоло-гии H"(X(C);G,F2), где G - G(C/R) - группа Галуа, являются более удобным инструментом, чем теория Смита, так как их применение позволяет использовать аппарат гомологической алгебры в значительно большем объеме. Но предварительно требовалось развить общую теорию эквивариантных когомологий для вещественных алгебраических многообразий. Например, кроме когомологий с коэффициентами в F2 , для приложений требовалось изучить когомологии с коэффициентами в G - модуле Z±, на котором инволюция g действует умножением на ■+1 , а также когомологии с коэффициентами в G - пучке голоморфных обратимых функций cf. Построение таких теорий и их применений продолжается до настоящего времени, причем в восьмидесятые годы автор делал это один, а в девяностые годы этим также занимались И.О. Калинин, В.В. Никулин, А. Дегтярев, В. Харламов, F. Mangolte, J. Van Hamel (

см. [9], [21], [8], [16], [27]) .Особенно нужно отметить результат В.В. № кулина о совпадении этальных когомологий Н"е1(Х,А) с эквивариантнь ми когомологиями Н" (Х(С);С,А), где X - неособое вещественное а г гебраическое многообразие, А - конечный С - модуль. Этот результа позволяет решать с помощью эквивариантных когомологий задачи, пс ставленные с помощью этальных когомологий. Например, этот подхо позволил В.В. Никулину продвинуться в вычислении группы Брауэра ве щественной алгебраической поверхности. Применение эквивариантнь когомологий для вычисления группы Брауэра, сделанное В. В. Никул4 ным, явилось другим обстоятельством для продолжения работы по тем диссертации. В связи с этим требовалось продолжить вычисления груг пы Брауэра, а затем приступить к решению других задач, которые не р< шаются с помощью этальных когомологий, например, вычислить групг Витта.

Цель работы. При развитии темы диссертации предполагалос выполнить следующие задачи.

1). Построить эквивариантную теорию когомологий вещественнь алгебраических многообразий. В частности, дать критерии Галуа - ма симальности, изучить первую спектральную последовательность для э вивариантных когомологий поверхности, построить точные последов; тельности, помогающие вычислять эквивариантные когомологии, постр-ить и изучить эквивариантные характеристические классы векторно! расслоения на вещественном алгебраическом многообразии, построить изучить эквивариантное отображение цикла.

2). Рассмотреть топологические приложения эквивариантной те рии когомологий вещественного алгебраического многообразия. В час ности, найти соотношения между характеристическими классами мног образий Х(Я),Х(С), а потом с помощью этих соотношений получи

новые и обобщить известные сравнения эйлеровой характеристики множества Х(Я).

3). Рассмотреть алгебро-геометрические приложения эквивариант-ной теории когомологий вещественного алгебраического многообразия. В частности, изучить отображение Альбанезе, вычислить группу Брауэра поверхности, а также алгебраическую группу когомологий Н\(Х(Я),Г1).

Общая методика исследования. Для решения сформулированных выше задач применялись методы гомологической алгебры, в частности, методы эквивариантной теории когомологий Гротендика С- пространства, методы решения аналогичных задач в комплексной алгебраической геометрии, методы алгебраической топологии, а также применялась теория целочисленных квадратичных форм с инволюцией.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми. В частности, получены новые результаты об отображении Альбанезе вещественного алгебраического многообразия. Построены новые характеристические классы и новое отображение цикла, которые позволили доказать новые и обобщить известные сравнения для эйлеровой характеристики множества Х(И). Построена новая теория о группе Брауэра вещественного алгебраического многообразия. Доказаны новые теоремы о Галуа-максимальности вещественного алгебраического многообразия.

Практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы для решения задач вещественной алгебраической геометрии, которые раньше считались очень трудными, например, для вычисления группы Витта поверхности. Результаты диссертации могут быть также использованы для изучения топологических пространств с инволюцией.

Аппробация. Основные результаты диссертации докладывались на семинаре по алгебраической геометрии в Ярославском государствен-

ном педагогическом университете им. К.Д. Ушинского ( руководите] профессор A.C. Тихомиров ), на конференциях по алгебраической ге метрии в Ярославле, в частности, на международной конференции 19! г., на семинаре по алгебраической геометрии в математическом инстит те им. В.А. Стеклова ( руководитель академик И.Р. Шафаревич).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы 15 статьях, спи сок которых приведен в конце автореферата. Все рабо-по теме диссертации выполнены без соавторов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, тырех глав и списка литературы. Она изложена на 127 страницах, наг чатанных в редакторе Word 6.0 для Windows, список литературы име 40 наименований.

Содержание работы.

Во введении дается обоснование актуальности темы, кратко из1 гается содержание работы, а именно, формулируются основные задач! результаты, полученные при их решении. В первой главе разрабатыва! ся общая теория эквивариантных когомологий топологического простр; ства с инволюцией. Доказываются обобщенные неравенства Гарнак: Тома, вводится понятие Gl^fe)- пространства и доказывается равноаи ность нескольких определений такого пространства, строится теория вивариантных хараетеристических классов Вещественного ( с больи. буквы ) векторного расслоения, изучаются отображения цикла на ру ференциальном многообразии с дифференцируемой инволюцией. ГЬ вая глава посвящена теории, которая может быть полезной при иссле, вании топологических пространств с инволюцией, а вторая глава уже священа зквивариантным когомологиям вещественного алгебраичесю многообразия, в ней излагается технический материал, который испо зуется в следующих двух главах. Во второй главе строится теория о

брожений цикла на вещественном алгебраическом многообразии, обсуждается вопрос о Галуа - максимальности вещественного алгебраического многообразия, изучается первая спектральная последовательность для эквивариантных когомологий поверхности с коэффициентами в Fz,Z±, строятся точные последовательности, помогающие вычислить такие ко-гомологии. В третьей главе доказываются соотношения между характеристическими классами вещественного алгебраического многообразия, которые затем применяются для доказательства дополнительных сравнений эйлеровой характеристики. В четвертой главе изучается отображение Альбанезе вещественного алгебраического многообразия, а также группы Пикара, Нерона - Севери, Брауэра и алгебраическая группа когомологий. В ней рассмотрены алгебро - геометрические приложения эквивариантных когомологий.

Изложим теперь более подробно результаты, которые получаются с помощью эквивариантных когомологий. Пусть далее X-т-мерное неособое проективное вещественное алгебраическое многообразие.

]". Галуа - максимальность. Заметим, что всегда выполняются неравенства (см. [11]):

dim Н~(X(R), F2) < dim Н' fXfCJ, FJ,

(1)

dim H'(X(R),F2)< dim Hl(G,li (XfCj.Fj),

(2)

dim /Г" (X(Rdim //' (G, H"vm (X(C),Z)) + dim Я2 (G, HiJJ (X(C),Z)),

(3')

dim HdVe"(X(R),F1)< dim H{(G,I1,M (X(С),Z)) + dim H1(G,Hey"'(X(C),Z)),

где

н' (--) = © /г (--), }гм (--) = © //2,+| (-,-),

Ч 1

1ГМ (- (-,-).

я

Если неравенство (1) становится равенством, то X называется М- многообразием ( см. [23] ), если неравенство (2) становится равенством, то X называется СМ- многообразием ( см. [11]), а если оба неравенства (3'), (3") становятся равенствами, то Л' называется СМ2- многообразием ( см. [11]). Заметим, что класс М- многообразий обладает особыми топологическими свойствами ( см. [5], [23]), а более широкий класс (7Л/ -многообразий удобен для изучения их с помощью эквивариантных кого-мологий. Отметим, что X является М- многообразием тогда и только тогда, когда X является йМ- многообразием и инволюция

Я': Н'(Х(С),Р2)-*Н'(Х(С),Гг) тривиальна. В случае, когда группа Я* (Х(С),2) свободная, понятие СМ- многообразия равносильно понятию СМ2- многообразия (см. [11]). В общем случае это утверждение неверно (см. [15]), но имеет место

Теорема 1. СМ - многообразие X является тогда и только тогда СМ2 - многообразием, когда гомоморфизм Боштейна

<5: Нч'] (Х(С),Г1)с'->г1Г1 (Х( С),г)° эпиморфен при каждом д, где г11ч (Х(С),2) - подгруппа Ня (Х(С),2). состоящая из элементов второго порядка.

Следствие 2. Каждое М- многообразие является GMZ- многообразием.

в

Общего критерия для того, чтобы Л'было GM-многообразием, по-видимому, не существует. Мы сформулируем сейчас такой критерий для "специальных" многообразий, которые определяются следующим образом. Пусть т = dim X и

т

аГ2 (X) = © с/г(X), 1Г"(Х(С)) = ф //'(X(C),f2 j ,

fi q <щ

где С/Г fAV - группа Чжоу циклов коразмерности q, тогда определено отображение цикла

т

с!с: СИ* (X) /7<т , (4)

которое циклу Zсопоставляет двойственный класс когомологий [Z(C)]'. Будем называть многообразие X специальным, если отображение цикла (4) эпиморфно. Для такого многообразия определен канонический гомоморфизм

т

у: !Гт(Х(С))->1П(Х(П)) (5)

следующим образом. Пусть z в Н2я (Х( С)), Z е СНЧ (X) (q<~) такие

элементы, что c!c(Z)= ~, тогда доказывается, что класс когомологий

c/flrz; = [zwr ciiq(X(R)) зависит только от класса когомологий z <=.Hlq (Х(С)) , поэтому полагаем у(:)~ clR(Z) . Оказывается, что справедлива

Теорема 3. Если X специальное многообразие, то Xявляется GM- многообразием тогда и только тогда, когда гомоморфизм (5) мономорфен.

Примером специального многообразия является неособое полное пересечение, для него утверждение теоремы 3 формулируется следующим образом

Следствие 4. Если X неособое полное пересечение, 4 еН1(Х(Л)) - класс когомологий, определенный гиперплоским сечением, то X является ОМ • многообразием тогда и только тогда, когда £,р Ф 0, где р =

Заметим, что для гиперповерхности в Ры утверждение следствия А доказано в [9]. Отметим еще, что доказательство теоремы 3 использует эквивариантное отображение цикла

с!: СНЧ (X) -» Нг" (Х(С); С,Г2),

(6)

о котором пойдет речь в следующем пункте, а сейчас мы хотим привести критерий Галуа - максимальности поверхности, который использует конструкции из [20].

Если 0 е Н'(Х(С),Р2) - ненулевой элемент, то он задает двулистное неразветвленное накрытие тс: —» Х(С). При Х(11)^0 вещественная структура g: Х(С)-+ Х(С) поднимается до вещественной структуры на 1У1} тогда и только тогда, когда 9 <=Н] (Х(С),Р2)0. Итак, пусть g'(Q) = д, тогда существуют две вещественные структурь : 1У0 -> )ГВ, / = 1,2, накрывающие вещественную структуру & Х(С) Х(С). Положим Х(Я= ), где И'/" - множестве

неподвижных точек инволюции , тогда множество вещественных то чек Х(Н) разбивается на две непересекающиеся части Х(Л)11> Х(ЯХ2>, каждая из которых состоит из целых компонент связности мно жества Х(Я), причем одна из частей может быть пустой. Элемен 0 <аН1(Х(С),Г2)а будем называть неразделяющим Х(К), если одна и

т-1 2

частей Х(11)ъ> пустая. В диссертации доказаны следующие теоремы о Галуа - максимальности.

Теорема 5. Пусть Х- поверхность и Х(Я)ф 0. Тогда X является СМ- поверхностью если и только, если каждый ненулевой элемент 9 еН](Х(С),Р1)в, не разделяющий Х(И) на части и обращающийся в нуль при ограничении на Х(К), принадлежит подгруппе (\ + в')Н1(Х(С),Р2).

Заметим, что элемент 0 еН>(Х(С),Г2)° не разделяет Х(К) на части и 0| =0 тогда и только тогда, когда одно из множеств И7/",

/К/'"' пустое, а другое равно Х(Я)ЦХ(Я) .

Теорема 6. Пусть X такая поверхность, что Х(Л)& 0, группа Нх(Х(С),2) - 2-периодическая и инволюция

¿Г.: Н,(Х(С)Л) Н,(Х(С),2) тривиальная. Тогда X является СМ2- поверхностью если и только, если разделяющие Х(Л) элементы из Н'(X(С),Р2) удовлетворяют условию 0| а неразделяющие удовлетворяют условию

02| *0.

\xtlt)

Заметим, что из теорем 5,6 вытекают утверждения о Галуа - максимальности в [21], [8], [16] .

2°. Отображения цикла. Эквивариантное отображение цикла (6) впервые определено в моей работе [12]. Предложенное там определение удобно для доказательства теорем, но не является наглядным. В статье [27] были рассмотрены эквивариантные гомологии и зквивари-антная двойственность Пуанкаре, благодаря которым получаем равенство

с1(2) = [2(С); С]' е//2' С. ^;,

где [2(С);С]&Н:1т,1ч(Х(С);С,Г1) - эквивариантный класс гомологи!

сопоставляемый циклу 2 еСНч(Х). Таким образом для вещественног алгебраического многообразия определены три отображения цикла: с!с: СИ"(Х) ИЬ'(Х(С),Г2) . с!к: С1Г'(Х) -> Н*(Х(П).Г2) . с!: СН4 (X) -> Н1ч(Х(С); в, ) . Эти три отображения цикла связаны между собой, чтобы описать эт связи рассмотрим два канонических гомоморфизма

а: И1" (Х(С); С, Г2 )~>ИЬ](Х(С), 1\) . р.- И1ч(Х(Су,С,Р2)-*Н1ч(Х(11);С,Гг) . Первый из них - это гомоморфизм забывания вещественной структуры, второй - гомоморфизм ограничения, заметим, что

Н2"(Х(П);С,Г2)=®оНк(Х(11),Г2) .

Связи между отображениями цикла дает Теорема 7. Выполняются равенства

а«с/ = с/с, р°с/ = 5<7ос/я, где Бд- полный квадрат Стинрода.

Для СД/- многообразий выполняется равенство a.(KerV) = rm(\ + g'), поэтому из теоремы 7 получаем

Следствие 8. Если X - СМ - многообразие, 7. е С!1Ч (X) такс элемент, что с!я(2)=0, то с!с(2) e(\ + g')Нгч(Х(С),Г2) .

Это следствие играет важную роль в топологических приложения Заметим, наконец , что отображения цикла с1с, с1 целочисленные, т.| определены отображения

с!с: СНч(Х)->П1ч(Х(С).г). с!: СИ4(X) -> //'"(X(С);С,, где '¿(ц) - С -модуль равный Z, на котором инволюция g действует

умножением на (-\)4■ Чтобы получить из них отображения с коэффициентами в Г: нужно их редуцировать по пин! 2.

3". Соотношения между характеристическими классами. Если с (X) е СН'!(Х) - класс Чженя, то с!с(с11(Х)) = \г,ч(Х(С)), но оказывается, что также справедливо равенство ( см. [12] ) с!п (<-',, (-П)= (Х(Л)), поэтому из следствия 8 вытекает

Предложение 9. Если X-СМ-многообразие, то из равенства нулю класса Штифеля - Уитни п> (Х(П)) следует соотношение

Доказывается, что существуют элементы и (X) еС//*1 (X) такие, что с1с(и1(Х)) = уц(Х(С)), с1н(г,ч(Х))=гч(Х(Ю). где у1ч(Х(С)), V (Х(И)) - классы Ву, поэтому из следствия 8 вытекает

Предложение 10. Если X-СМ-многообразие, то из равенства нулю класса Ву V (Х(Л)) следует соотношение

угя(Х(С)) е(\ + *')Иг«(Х(С),Г2).

С помощью теории квадратичных форм с инволюцией ( см. [1], [18]) из предложения 10 выводится

Следствие 11. Пусть X - Л/ - многообразие размерности т=2к, тогда из равенства л\(Х(П)) = 0 следуют равенства

гт(Х(С)) = 0, [Х(Я)]' = 0.

Кроме обычного класса когомологий [Х(Л)]' еП"'(Х(С),Гг) множество Х(Ш) определяет эквивариантный класс когомологий [Х(К);С]' <=Нт(Х(С);С,Гг), оказывается, что его ограничение на

Х(Я) равно полному классу Штифеля - Уитни -м(Х(Л)) ( см. [14] ). С помощью этого факта доказываются следующие два предложения.

Предложение 12. Пусть Н'"'1(Х(С),Г2) - 0, тогда из соотношения

[Х(й)]' е(1 + ^)Нт(Х(С),Г2)

(7)

следуют равенства Х(11)) = -н'т(Х(И))=0.

Предложение 13. Пусть Х- специальное многообразие размерности т = 2к, тогда из соотношения (7) следует равенство ^(Х(Я)) = 0 .

С помощью теоремы 7 и равенства [Х(Л); С]'I = Я)) доказывается

Теорема 14. Пусть X - специальное многообразие, А',,...,^-компоненты связности множества Х(Л), тогда среди классов гомологии [Х{ ],...,[ X, ] € //„, (Х(С), Р2) возможно лишь одно соотношение, а именно, [Х(Л)] = 0.

Заметим, что для поверхности теорема 14 была доказана в [26] с помощью теории Смита.

4°. Дополнительные сравнения. Для М- многообразия Учетной размерности выполняется сравнение Гудкова - Рохлина (см. [23])

Х(Х(Я))^а(Х(С)) (тос116; (8)

где х(Х(Л)) - эйлерова характеристика, а(Х(С)) - сигнатура. Разными авторами было доказано несколько сравнений эйлеровой характеристики, дополняющих сравнение (16) (см., например, [6], [24], [25], [19], [13]). В диссертации доказаны новые сравнения, обобщены и уточнены известные сравнения. Новые сравнения относятся к двулистным накрытиям, так как формулировки соответствующих утверждений довольно

сложные, то в автореферате они не приводятся. Следующие два предложения уточняют сравнение (8).

Предложение 15. Пусть X - М-многообразие размерности т-2к и vk(X(R)) = 0, тогда выполняется сравнение

г(Х(К))^0 (тосИ).

Это предложение выводится из сравнения (8) с помощью следствия 11. Для поверхности это предложение можно усилить с помощью теоремы Рохлина о сигнатуре, а именно, имеет место

Предложение 16. Пусть X- Л/-поверхность и каждая компонента связности множества Х(11) ориентируемая, тогда выполняется сравнение х(Х(Л)) = 0 (тос! \6).

Это предложение обобщает

Теорема 17. Пусть Х- ориентируемая М- поверхность и эйлерова характеристика каждой компоненты связности множества Х(Л) сравнима с нулем по той 2Ц, ц>1, тогда выполняется сравнение

Х(Х(Л))^0 (той 2^).

Заметим, что для поверхностей с НК(Х(С),2) = 0 теорема 17 доказана в [19]. Обобщение результата в [19] достигается рассмотрением эквивариантных классов когомологий

ЕЛ',;С]*.....ьНт(Х(С);в,2) ,

где X,,...,Х1 - ориентируемые компоненты связности множества Х(И), которые впервые использованы в [13]. С помощью эквивариантных когомологий мы обобщили сравнение Арнольда для плоских кривых в [1]. Сформулируем это обобщение.

Пусть (пг = 2к) однородный многочлен с веществе!

ными коэффициентами степени 2с/такой, что гиперплоскость 5, зада! ная уравнением Г(\>) = 0, неособая. Через Рт(К)^ обозначим част Рт (К), заданную неравенством Г(у) > 0. Неравенство Г(V) < О опр< деляет множество Рт(К)_. Через /* обозначим классы гомологий Нч(Рт(11)±,8(Я); Р2), определенные относительными циклам Р*(И)Г\Рт(К)±, тогда проверяется, что один из классов гомологий ¡¡,1 равен нулю, а другой не равен нулю. Будем считать, что * 0, замена в противном случае Г(\>) на - Ffvj, тогда справедлива

Теорема 18. Пусть 5 является О Л/ -многообразием и класс г> мологий {Б(1{)}&Нт^(8(С),Гг) равен нулю, тогда выполняется сра

нение 1(Рт(ЩЛг) = (Ы)г (тос14).

Заметим, что при с! четном можно не требовать в условии теор| мы 18, чтобы 5 было СМ - многообразием.

5°. Отображение Альбанезе. Предположим, что Х(Я)*0 и з; фиксируем точку д:0 е Х(Я), тогда определено отображение Альбанезе (.1 :Х~>А, где А -многообразие Альбанезе. Множество вещественнь точек многообразия Альбанезе А(И) является коммутативной компак ной группой Ли, которая равна А( Я)0@(г /2)'1, где А(Я), вещественный тор, с! = сИт Н'' (С,НХ (Х(С),г)) ( см.[10]). Нас интерес ет отображение вещественных точек ц: Х(11)-+ А(Я),. Образ множ! ства комплексных точек \х(Х(С)) всегда порождает группу А(С), а о!

N

У раз множества вещественных точек р.(Х(Я)) может не порождать груш А(Л), но имеет место

Теорема 19. Если X является ОШ - многообразием , то множество ц(Х(Я)) порождает группу Л(Я).

Имеется следующая связь отображения Альбанезе с группой Нерона - Севери Ь!Б(Х) . Рассмотрим гомоморфизм забывания вещественной структуры

а: А 'Я(Х)-*№(Хс)а,

(9)

где А'с = X® С, тогда справедливо

Предложение 20. Если множество \х( Х(Я)) порождает группу Л(К) , то гомоморфизм (9) эпиморфен.

Заметим, что ядро гомоморфизма (9) всегда равно (2/2)л, Наиболее полно изучен случай кривой, тогда отображение Альбанезе совпадает с отображением Абеля - Якоби ц .■ X -»3 и имеет место

Теорема 21. Для отображения Абеля - Якоби ц: А' ~> J справедливы утверждения:

1) число компонент связности множества /(К) равно где 5 - число компонент множества Х(И) ;

2) разные компоненты Х(Я) отображаются в разные компоненты J(R);

3} если Хк компонента Х(Я), к = !,...,я,, то класс гомологии ([.([А^ ])равен нулю тогда и только тогда, когда х = \ и Х(Я) разбивает Х(С) на части; 4) множество \х(Х(Я)) порождает группу J(R).

6°. Группа Брауэра. Имеется две группы Брауэра произвольной схемы X. Первая из них Вг(Х) - группа классов подобия алгебр Адзу-

маи над А', а вторая Вг'(Х)~ Н*(Х,Ст) - когомологическая группа

Брауэра. Всегда имеется включение Вг(Х)с,Вг'(Х), которое мож быть несюрьективным, но оно сюрьективно, если dim X < 1, а если регулярна, то при dim X < 2. Заметим, что вопрос о сюрьективнос включения Вг(Х) с Br'(X) до конца не исследован ( см. подробности [7]. [17]) . Перейдем к формулировке наших результатов о группе Брг эра вещественного алгебраического многообразия.

Теорема 22. Имеет место канонический изоморфизм

Br'(X) = fi-(X(C);G,a')IOr,

Чтобы сформулировать следующую теорему, введем дополнитег ные обозначения. Коядро отображения цикла •

cl: Div (X) -> И2 (Х(С); G.ZJ обозначим через Hl(X(C);G,Z_) и назовем трансцендентной гру пой когомологий. Она является свободной группой, ее ранг обозначь через р0(Х) и назовем числом Лефшеца (см. аналогичное определен: для комплексного многообразия в [3]).

Теорема 23. Существует (неканонический) изоморфизм Вг'(Х) = (Q/Z )*><*> ® tP(X(C);G,ZJlors. Приведем еще две теоремы о группе Брауэра поверхности, заметим, ч для нее Вг'(Х) = Вг(Х).

Теорема 24. Пусть Х- поверхность и Х(R)*0 , тогда выпс няется равенство dint 2Вг(Х)-рй(Х)-q(X) + kx(Y) + 2s-\, где q() - иррегулярность X,Y~X(C)/Gu kx(Y) равно размерности яд, гомоморфизма ограничения Нх (Y,F2)~> Я1 (X(R),F2), s- число комп нент связности множества Х(R).

Теорема 25. Пусть X - поверхность такая, что груп> Я, (X(C),Z)- 2-периодическая, инволюция

g,:H{(X(C),Z)->H,(X(C),Z) тривиальная и X(R)*0, тогда

Dr(X) ~(Q/Zp(X> ®(Z/2)" ®(Z / A)h, где a = 2s+2kx(Y)-!S(X(C))~\, b - к1 (X(C))~ k* (Y), dimKer [H](-,F2)~> II[ (X(R),F1)].

Заметим, что из теоремы 24 вытекают результаты работ [20], [21], а теорема 25 дает возможность полностью вычислить группу Брауэра поверхности Энриквеса.

7П. Алгебраическая группа когомологий. Образ отображения цикла clR: Div (Х)-> //'(Х(R),F2)

обозначим через Hla(X(R)) и назовем алгебраической группой когомологий, а размерность ее обозначим через hl(X(R)). Следующие теоремы дают оценки числа hla (X(R)).

Теорема 26. Пусть X-поверхность, X(R)*0,

h1(-) = dimIil(-,F1), тогда выполняется неравенство

ti„ (X(R)) > ti (X(R))~ ti(X(C)) + q(X)~p0(XJ, которое становится равенством для М - поверхности.

Рассмотрим теперь гомоморфизм

//, (X(R),Z) Я, (X(C),Z)/(\ + о.)Н, (X(C),Z), индуцированный вложением Х(R) с Х(С). Так как

Hl(X(R).Z)/(\ + g.)Hl(X(R),Z) = Hl(X(R),FJ), то верхний гомоморфизм индуцирует следующий гомоморфизм HJX(R),F2)~* H,(X(C),Z)/(\ + g,)H,(X(C),Z). Размерность ядра этого гомоморфизма обозначим через §€{(Х), тогда справедлива

Теорема 27. Пусть X-поверхность, X(R)*0, тогда выполш ются неравенства (X) - pa(X) < h'a(X) < Д?, (X), причем дл M-поверхности левое неравенство становится равенством. Если ро(Х) = 0 то из теоремы 27 получаем равенство

h\(X(R)J = X). Для поверхности Энриквеса это равенство было доказано в [16]. Выводы.

Исследование проводилось для достижения трех главных целе! которые сформулированы в общей характеристике работы. Построени эквивариантной теории когомологий вещественных алгебраических мне гообразий можно считать законченным. Здесь возможны только технич* ские улучшения. Что касается топологических приложений этой теори1 то с возникновением новых задач по топологии вещественных алгебра!-ческих многообразий будут появляться новые приложения, но сейчас эе тор не знает таких задач. С другой стороны алгебро - геометрически приложения имеют большие перспективы. В частности, автором переде казаны и обобщены теоремы из работ [4], [22], но эти результаты не вс шли в диссертацию, так как они были получены после ее написания.

Цитированная литература

1 .Арнольд В.И. О расположении овалов вещественных плоских алгебраически кривых , инволюциях четырехмерных гладких многообразий и арифметике целс численных квадратичных форм // Функц. Анализ и его приложения. 1971. Т.5, вьк 4. С. 1-9.

2. Арнольд В.И., Олейник O.A. Топология действительных алгебраических многооС разий II Вестник МГУ. Сер. Математика. 1979, № 6, С. 7-17.

3. Бальдассарри М. Алгебраические многообразия. М., "ИЛ". 1961.

4. Colliot - Тhlélene J.-L. and Parimala R. Real components of algebraic variétés an étale cohomology// Jnv. Math. 1990. V.101.P. 81-99.

5. Гудков Д.А. Топология вещественных проективных алгебраических многообрази //УМН. 1974. Т.29, вып. 4. С.3-79.

6. Гудков Д.А., Крахнов АД. О периодичности эйлеровой характеристики вещественных алгебраических (М - ^-многообразий II Функц. анализ и его приложения. 1973. Т.7, вып. 2. С. 15-19.

7. Grothendick A. Le groupe de Brauer II Dix Exposes sur la Cohomologie des Schemas. North - Holland. Amsterdam. 1968. P. 46-188.

8. DegtyarevA. and Kharlamov V. Distribution of the components of real Enriques surface (preprint).

9. Калинин И.О. Когомологические характеристики вещественных проективных гиперповерхностей //Алгебра и анализ. 1991. Т.3,вып,2. С. 91-110.

10. Краснов В.А. Отображение Альбанезе для вещественных алгебраических многообразий// Матем. заметки. 1982. Т.82, вып. 3. С. 365-374.

И. Краснов В.А. Неравенство Гарнака - Тома для отображений вещественных алгебраических многообразий // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1983. Т.47, №2. С. 268297.

12. Краснов В.А. Характеристические классы векторных расслоений на вещественном алгебраическом многообразии // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1991.Т.55, №4. С.716-746.

13. Краснов В.А. О классах когомологии, определенных вещественными точками вещественной алгебраической GM - поверхности II Изв. РАН. Сер. матем. 1393. Т.57, №5. С.210-221 .

14. Краснов В.А. Об эквивариантных когомологиях Гротендика вещественного алгебраического многообразия и их приложениях II Изв. РАН. Сер. матем. 1994. Т.58, №3. С. 36-52.

15. Краснов В.А. Эквивариантные когомологии вещественной алгебраической поверхности и их приложения //Изв. РАН. Сер. матем. 1996. Т.60, №6. С.101-126.

16. Mangolte F. aod van Нате! J. Algebraic cycles and topology of real Enriques surfaces (preprint).

17. МилнДж. Этальные когомологии. M, "Мир". 1983.

1 ^.Никулин B.B. Целочисленные симметрические билинейные формы и некоторые их геометрические приложения II Изв. РАН. Сер. матем. 1978. Т.43, №1. С.111-177.

19. Никулин В.В. Инволюции целочисленных квадратичных форм и их приложения к вещественной алгебраической геометрии II Изв. РАН. Сер. матем. 1983. Т.47, №1. С.109-188.

20. Nikulin V.V. and Sujatha R. On Brauer groups of real Enriques surfaces II J reine angew. Math. 1993. V.444. P. 115-154.

21. Nikulin V. V. On the Brauer group of real algebraic surfaces // Algebraic Geometry and its applications. Yaroslavl' 1992. P. 113-136.

22. Parimala R., Sujatha R. Levels of non-real function fields of real rational surfaces II Amer. J. Math. 1991. V.113, №4. P.757-774.

23. Рохлин В.А. Сравнения no mod 16 в шестнадцатой проблеме Гильберта // Функц. анализ и его приложения. 1972. Т.6, вып. 4. С.71-75; 1973. Т.7, вып. 2. С.91-92.

24. Харламов В.М. Новые сравнения для эйлеровой характеристики вещественных алгебраических многообразий II Функц. анализ и его приложения. 1973. Т.7, вып. 2. С.74-78.

25. Харламов В.М. Дополнительные сравнения для эйлеровой характеристики чет-номерных вещественных алгебраических многообразий II Функц. анализ и его приложения. 1975. Т.9, вып. 2. С. 51-60.

26. Харламов В.М. Топологические типы неособых поверхностей степени 4 в ЯР3 Функц. анализ и его приложения. 1976. Т. 10, вып. 4. С. 55-68.

27. van Hamel J. Equivariant Borel - Moore homology and the fundamental class of ma folds with a Z/p -action (preprint)

Работы автора по теме диссертации.

1. Краснов В.А. Ориентируемость вещественных алгебраических многообразий Конструктивная алгебраическая геометрия. 1981, вып. 194, Ярославль. С. 46-57.

2. Краснов В.А. Отображение Апьбанезе для вещественных алгебраических мно1 образий И Матем. заметки. 1982. Т.32, вып.З. С.365-374.

3. Краснов В.А. Неравенства Гарнака - Тома для отображений вещественных ; гебраических многообразий II Изв. АН СССР. Сер. матем. 1983. Т.47, №2. С.2( 297.

4. Краснов В.А. Отображение Альбанезе для GMZ- многообразий // Матем. : метки. 1984. Т.35,вып.5. С.739-747.

5. Краснов В.А. О классах гомологии, определенных вещественными точками i щественного алгебраического многообразия II Изв. АН СССР. Сер. матем. 19! Т.55, №2. С.282-302.

6. Краснов В.А. Характеристические классы векторных расслоений на веществ! ном алгебраическом многообразии // Изв. АН СССР Сер. матем. 1991. Т.55, N С.716-746.

7. Краснов В.А. Алгебраические циклы на вещественном алгебраичес* GM — многообразии и их приложения II Изв. РАН. Сер. матем. 1993. Т. N24.С.153-173.

8. Краснов В.А. О классах когомопогий, определенных вещественными точками щественной алгебраической GM - поверхности // Изв. РАН. Сер. матем. 19 Т.57, №5. С.210-221.

9. Краснов В.А. Об эквивариантных когомологиях Гротендика вещественного алг раического многообразия и их приложениях // Изв. РАН. Сер. матем. 1994. Т. №3. С.36-52.

10. Краснов В.А. Когомологическая группа 5рауэра вещественного алгебраическ многообразия II Изв. РАН. Сер. матем. 1996. Т.60, №5. С.57-88.

"II. Краснов В.А. Эквивариантные когомологии вещественной алгебраической верхности и их приложения // Изв. РАН. Сер. матем. 1996. Т.60, №6.С.101-126.

12.Краснов В.А. О группе Брауэра вещественной алгебраической поэерхност Матем. заметки. 1996. Т.60, вып.6. С.935-938.

13. Краснов В.А. Об ориентируемых вещественных алгебраических М— поверх стях II Матем. заметки. 1997. Т.62, вып.4. С.520-526.

14. Краснов В.А. Вещественные алгебраические GM - многообразия // Изв. Р. Сер. матем. 1998.Т.62, №3. С.61-88.

15. Краснов В.А. Вещественные алгебраические GMZ -поверхности // Изв. Р Сер. матем. 1998. Т.62, №4. С.51-80.

2(1

Введение.<.'.

Глава I. Эквивариантные когомологии вещественного топологического пространства.

§ 1. Когомологии Гротендика С- пучков.

§ 2. Z/2 - модули.

§ 3. Конструктивное определение эквивариантных когомологий вещественного топологического пространства.

§ 4. Канонические гомоморфизмы а,р,Т.

§ 5. Неравенства Гарнака-Тома

§ 6. СМ - пространства.

§ 7. СМ2 - пространства.

§ 8. Векторные расслоения на вещественном топологическом пространстве.

§ 9. Эквивариантный класс Тома.

§ 10. Отображения эквивариантного цикла.

Глава II. Эквивариантные когомологии вещественного алгебраического многообразия.

§ 1. Отображения циклов на вещественном алгебраическом многообразии.

§ 2. Специальные многообразия.

§ 3. Первая спектральная последовательность эквивариантных когомологий поверхности.

§ 4. Точные последовательности для эквивариантных когомологий поверхности.

§ 5. Вещественные алгебраические СМ(2) - поверхности.

Глава III. Топологические приложения эквивариантных когомологий.

§ 1. Соотношения между характеристическими классами.

§ 2. Дополнительные сравнения для М- многообразий.

§ 3. Дополнительные сравнения для (М-с1) - многообразий.

§ 4. Сравнение для двойного проективного пространства.

Глава IV. Геометрические приложения эквивариантных когомологий.

§ 1. Отображение Альбанезе.

§2. Группа Пикара и группа Нерона-Севери.

§ 3. Эквивариантные этальные когомологии.

§ 4. Когомологическая группа Брауэра комплексного алгебраического многообразия.

§ 5. Когомологическая группа Брауэра вещественного алгебраического многообразия.

§ 6. Группа Брауэра вещественной алгебраической поверхности.

§7. Алгебраическая группа когомологий.

Эквивариантные когомологии ' Нпс(Х ,А) топологического (7-пространства X? согласно конструкции Бореля ^ равны Н"(ЕОхсХ,А). Когда группа (? дискретная ? конструкция Бореля эквивалентна конструкции Гротендика, согласно которой Нп (X; С, А) = 11пГс(А) (см. [ 6, гл. V] ). В случае дискретной группы О конструкция Гротендика для алгебраической геометрии оказывается более полезной, так как позволяет рассматривать эквивариантные когомологии с коэффициентами в произвольном О- пучке, а также может быть расширена до определения эквивариантных когомологий для разных обобщённых топологий алгебраического многообразия, например, можно рассматривать эквивариантные этальные когомологии. Если X вещественное алгебраическое многообразие, то на множестве комплексных точек X(С) действует группа Галуа 0=0(С/К), которая является группой второго порядка. Это действие задаётся инволюцией комплексного сопряжения £7 Х(С) -^Х(С). Тогда можно, в частности, рассмотреть следующие группы эквивариантных когомологий: Нп (Х(С);С,¥г), Нп (Х(С);в, Z±Л Нп (Х(С);в,б*), где 2Г+ - (7 - модуль целых чисел, на котором инволюция g действует умножением на ±1 , б*- пучок ростков голоморфных обратимых функций, на которых инволюция действует по правилу g(h) = ho gl черта означает комплексное сопряжение.

Настоящий труд излагает достаточно полно результаты моих статей [11-25], в которых применялись указанные выше эквивариантные когомологии для решения задач вещественной алгебраической геометрии. Это сочинение состоит из четырёх глав. В первой (вводной) главе мы занимаемся топологическими пространствами с инволюцией, которые называем вещественными топологическими пространствами. Для них рассмотрены следующие общие вопросы: Галуа-максимальность вещественного топологического пространства, характеристические классы векторных расслоений на вещественном топологическом пространстве, отображения цикла на вещественном топологическом пространстве. Вторая глава посвящена эквивариантным когомологиям вещественного алгебраического многообразия. Здесь мы доказываем необходимые и достаточные условия для Галуа - максимальности вещественного алгебраического многообразия. Изучаем отображения алгебраических циклов. Вычисляем первую спектральную последовательность для эквивариантных когомологий поверхности. Строим точные последовательности, помогающие вычислять эквивариантные когомологии поверхности. Главы III, IV посвящены применениям эквивариантных когомологий. Здесь мы находим соотношения между характеристическими классами вещественного алгебраического многообразия. Изучаем отображение Альбанезе для вещественного алгебраического многообразия. Вычисляем группы Пикара, Нерона-Севери и Брауэра, а также алгебраическую группу когомологий.

Сформулируем более подробно некоторые результаты, изложенные в данном труде. Далее X - неособое проективное вещественное алгебраическое многообразие, рассматриваемое как схема над R .

1 °. Галуа- максимальность. Всегда выполняются неравенства (см. [15]): dim Я* (X(R),F2) < dim Я* (X(C),F2) , (0-1) dim Я* (X(R),F2) < dim Я1 (G, Я* (X(C),F2)), (0-2) dim Я* (X(R),F2) < dim Я1 (G. H* (X(C),Z)) + (0-3) dim H2 ( G, H* (X(C),Z)). Многообразие X называется М- многообразием, если неравенство (0-1) становится равенством. Такое определение дано в [33], а в [15] предложено аналогичное определение. Многообразие X называется GM- многообразием, если неравенство (0-2) становится равенством. Заметим, что X является М- многообразием тогда и только тогда, когда X является GM- многообразием и инволюция g*: Я* (X(C),F2) —» Н* (X(C),F2) тривиальна. Продолжая аналогию, мы называем X GMZ - многообразием, если неравенство

0-3) становится равенством. В случае, когда группа Н* (X(C),Z) свободная, правые части неравенств (0-2), (0-3) совпадают, поэтому ' ^ справедливо утверждение. Если группа Я (X(C),Z)) свободная, то X является GMZ- многообразием тогда и только тогда, когда X-GM- многообразие. В общем случае это утверждение неверно, но имеет место

Теорема 01. GM- многообразие X является тогда и только тогда GMZ-многообразием, когда гомоморфизм Бокштейна

S:Hq-l(X(C),F2)G->2Hq(X(C),Z)G G эпиморфен при каждом q , где 2Hq(X(C),Z) подгруппа Hq(X(C),Z) , состоящая из элементов второго порядка.

Следствие 02. Каждое М- многообразие является GMZ- многообразием.

Общего критерия для того, чтобы X было GM- многообразием, по-видимому, не существует. Мы сформулируем сейчас такой критерий для "специальных многообразий", которые определяются следующим образом. Пусть т = dim X и т сн<~2(Х)= е снч(х), н<т(х(с))= е Hq(X(C)j2), т а<т q<2 где CHq (X) группа Чжоу циклов коразмерности q , тогда определено отображение цикла т clc:CH<2(XН<т(Х(С)). (0-4)

Будем называть многообразие X специальным, если отображение цикла (0-4) эпиморфно. Для такого многообразия определен канонический гомоморфизм т у: Н<т(Х (С)) Н 2 (X (R) ), (0-5) где т

H^(X(R)) - е Нч(Х(R), F2). т q<2

Этот гомоморфизм определяется следующим образом. Пусть z eH2q(X(C)),Z eCHq(X) [ч такие элементы, что clc (Z)

-z, тогда доказывается, что класс когомологий с/R (Z) е Hq (Х(R) ) зависит только от класса когомологий zeH2q(X( С)), поэтому полагаем y(z) = clR(Z). Оказывается, что справедлива

Теорема 03. Если Х- специальное многообразие, то X является GM- многообразием тогда и только тогда, когда отображение (0-5) мономорфно.

Примером специального многообразия является неособое полное пересечение, для него утверждение теоремы 03 формулируется следующим образом.

Следствие 04. Если X неособое полное пересечение, eH1(X(R)) класс когомологий, определённый гиперплоским сечением, то X является GM- многообразием тогда и только тогда, когда & 0, где

Г™ 1 m - odd, т- 1

J 2 т - 2

2 т - even.

Далее мы хотим привести критерий Галуа-максимальности поверхности, но сначала приведём необходимое для этого определение. Если в е Hl(X(C),F2) ненулевой элемент, то он задаёт двухлистное неразветлённое накрытие 7i:We —>• Х(С). При Х(Я)Ф 0 вещественная структура g: Х(С) —» Х(С) поднимается до вещественной структуры на We тогда и только тогда, когда

1 g * в е Н (Х(C),F2) Итак, пусть g(0) = 9, тогда существуют две вещественные структуры , i =1,2, накрывающие вещественную структуру g: Х(С) —» Х(С). Положим

X(R)(^7L(wf}), тогда множество вещественных точек X(R) разбивается на две непересекающиеся части X(R)($\ X(R)(q\ каждая из которых состоит из целых компонент связности множества X(R), причём 1 одна из частей может быть пустой. Элемент в е Hl(X(C),F2) u будем называть неразделяющим Х(R), если одна из частей X(R)(^ пустая.

Теорема 05. Пусть Х- поверхность и X(R)^0. Тогда X является GM- поверхностью если и только, если каждый ненулевой

1 С элемент веН (Х(С),F2) , неразделяющий X(R) на части и обращающийся в нуль при ограничении на X(R), принадлежит подгруппе (\ + g*)Hl(X(C),F2).

Теорема 06. Пусть X такая поверхность, что X(R)^ 0, группа Нх(Х(C),Z) - 2-элементарная, т.е. является F2 - пространством, и инволюция g*: Hl(X(C),Z) —> Hl(X(C),Z) тривиальна. Тогда X является GMZ- поверхностью если и только, если разделяющие Х( R) элементы из Hl(X(C),F2) удовлетворяют условию

Q /x(R) ^ 0; а неразделяющие удовлетворяют условию в1 /x(R) ^ 0 .

2°. Отображения цикла. Кроме отображений цикла с1с, с1 к имеется более " тонкое" отображение с!:СНЧ(Х)-^ Н2ч(Х(С);в,¥2). Эти три отображения цикла с1с, с1 к, с1 связаны между собой. Чтобы описать эти связи рассмотрим два канонических гомоморфизма а : Н2\(Х(С);С,12) ^ Н2*(Х(С),Т2).

Р: Н1ч(Х(С);0,¥2) -^Н1е}(Х(Я);С^2). Первый из них - это гомоморфизм забывания вещественной структуры, а второй - гомоморфизм ограничения. Заметим, что

2 Ч

Н2ч(Х(Я);С,Р2) = е Нк(Х(Я),Г2). к = О

Теорема 07. Выполняются равенства аос1-с1с, (5 о с1 = £<7 ° с1К, где Бц - полный квадрат Стинрода.

Следствие 08. Если Х- СМ- многообразие, у&СНч(Х) такой элемент, что с1 К (у) = 0, то

30. Соотношения между характеристическими классами. С помощью следствия 08 доказываются следующие предложения.

Предложение 09. Если Х- СМ- многообразие, то из равенства м> (Х(Я)) = 0 следует соотношение м^ (Х(С)) е(1 + ¿)Н2«(Х(С),¥2).

Предложение 010. Если Х- СМ- многообразие, то из равенства V (Х(Я)) = 0 следует соотношение г ¿усу ; е (i + / )н24 (х( с),р2).

Предложение 011. Пусть Нт'1(Х( с),г2)=0, тогда из соотношения [Х(Я)]* <е(\ +)Нт(Х(С),¥2) следуют равенства пт1(Х(Я)) = пт(Х(Я))=0.

Предложение 012. Пусть Х- специальное многообразие размерности т=2к, тогда из соотношения

Х(Я)]т <Е(\ + %)Нт(Х(С),¥2) следует равенство Ук (Х(Я)) -0.

Предложение 013. Пусть X - М- многообразие размерности т-2к, тогда из равенства vk(X(R))=0 следуют равенства vJX(C))=0, [X(R)]*=0.

С помощью теоремы 07 доказывается также следующая Теорема 014. Пусть Х- специальное многообразие, Xx,.,Xs-компоненты связности множества X(R), тогда среди классов гомологий ],.,[Xs] е Нт(Х( C),F2) возможно лишь одно соотношение, а именно, [Х(R)]=0.

4°. Дополнительные сравнения. С помощью предложения 013 доказывается следующее

Предложение 015. Пусть Х- М- многообразие размерности т=2к и vk (Х( R)) =0, тогда выполняется сравнение для эйлеровой характеристики % (X(R)) =0 (mod 8). Для поверхности справедливо следующее

Предложение 016. Пусть X - М- поверхность и каждая компонента множества Х(R) ориентируемая, тогда выполняется сравнение % (X(R))=0 (mod 16). А также имеет место

Теорема 016. Пусть Х- ориентируемая М- поверхность и эйлерова характеристика каждой компоненты связности XV.,XS множества X(R) сравнима с нулём по mod 2й, ¡л> 2, тогда выполняется сравнение %(X(R))=0 (mod 2И+3 ).

Сформулируем ещё сравнение для двойного проективного пространства. Пусть F(v0,.,vm) (т=2к) однородный многочлен с вещественными коэффициентами степени 2d , такой, что гиперповерхность S , заданная уравнением F(v) =0, неособая. Через

Рт (R) + обозначим часть Рт (R), заданную неравенством

F(v) > 0. Неравенство F(v)< 0 определяет множество Рт (R)

Через обозначим классы гомологий из Hq(Рт (R) ±,S(R);F2), заданные относительными циклами Pq(R)f]Pm (R) ±, тогда проверяется, что один из классов гомологий ¡ж равен нулю, а

2 г. другой нет. Будем считать, что Ф 0, заменив в противном случае r

F(v) на -F(v), тогда справедлива

Теорема 017. Пусть S является GM- многообразием и класс гомологий [-SY-fij] равен нулю в S(&), тогда выполняется сравнение %(Рт (R) J s (kd)2 (mod 4).

5°. Отображение Альбанезе. Предположим, что • X(R)^ 0 и зафиксируем точку x0eX(R), тогда определено отображение Альбанезе ¡л:Х —» А. Множество вещественных точек многообразия Альбанезе A(R) представляет собой объединение вещественных торов, число которых равно 2d, где d = dim H1 (G, H1 (X (С), Z)).

Теорема 018. Если X является GMZ- многообразием, то множество ju(X (R) порождает группу A(R).

Наиболее полно изучен случай кривой, тогда отображение Альбанезе совпадает с отображением Абеля-Якоби ц: X —>J.

Теорема 019. Пусть ¡л: X J - отображение Абеля-Якоби, тогда справедливы утверждения :

1) число компонент связности множества J(R) равно 251,где s- число компонент X(R);

2) разные компоненты X(R) отображаются в разные компоненты J(R) ;

3) если Хк компоненты X(R), к = 1,., s, то класс гомологий равен нулю тогда и только тогда, когда s=l и X(R) разбивает Х(С) на части;

4) множество ju(Х(R)) порождает группу J(R).

60. Группа Брауэра. Имеются две группы Брауэра произвольной схемы X. Первая из них Вг(Х) - группа классов подобия алгебр Адзумаи над X, а вторая Br'(X) = Het(X;Gт ) когомологическая группа Брауэра. Всегда имеется включение Вг(Х) аВг'(Х'), которое может быть несюрьективным, но оно сюрьективно, если dim Х< 1, а если X регулярно, то при dim Х< 2; до конца вопрос о сюрьективности включения Br(X) czBr'(X) не исследован ( см. [10] ). Если схема X имеет конечное число компонент связности, то Вг(Х) является группой кручения, а если X регулярная схема с конечным числом компонент связности, то Вг'(Х) также является группой кручения. Эти и другие факты о группе Брауэра более подробно можно посмотреть в [7], [10]. Перейдём к формулировке наших результатов о группе Брауэра вещественного алгебраического многообразия.

Теорема020. Имеет место канонический изоморфизм

Br'(X) = H2(X(C);G,6*)tors.

Чтобы сформулировать следующую теорему, введём дополнительные обозначения. Коядро отображения цикла cl: Div(X)—> Н2 (Х(С);G,Z) л обозначается через Н^ (Х(C);G,Z) и называется трансцендентной группой когомологий. Она является свободной группой, ранг её обозначим через Ро(Х) и назовём числом Лефшеца (см. аналогичное определение для комплексного многообразия в [2] ). Теорема 021. Существует ( неканонический ) изоморфизм

Br'(X) = (Q/Z)Po(X) ®H3(X(C);G,Z)tors.

Приведём ещё две теоремы о группе Брауэра поверхности; заметим, что для неё Вг'(Х) = Вг(Х).

Теорема 022. Пусть X - поверхность, Х(Я)Ф0, тогда выполняется равенство dim 2Br(X) = p0(X)-q(X) + kl(Y) + 2s-\, где q(X)~ иррегулярность X, Y-X(C)/G и kx(Y) равно размерности ядра гомоморфизма ограничения Hl (Y,F2) Я1 (X(R),F2), s- число компонент связности множеста Х(R).

Теорема 023. Пусть X поверхность такая, что группа Hl(X(C),Z) - 2-элементарная, инволюция g*\ Hx(X(C),Z)—> Нх (Х(C),Z) тривиальна и X(R) Ф 0, тогда вг(х) = (q/zjPo(X) е (z/2)a е(z/4)b, где а = 2s +2kl(Y)- к1(Х(С))- 1, Ъ = к1(Х(С))- kl(Y), kl(-) = dim Ker [ Я1 (- ,F2) ^ Я1 (X(R) ,F2)\ .

7°. Алгебраическая группа когомологий. Образ отображения цикла clR : Div X Я1 (X(R) ,F2 ) обозначим через Н] (X(R)) и назовём алгебраической группой когомологий, размерность её обозначим через hla(X(R)).

Теорема 024. Пусть X - поверхность, Х(R)&0, hl(-) = dim Hl(— ,F2 ), тогда выполняется неравенство hla(X(R))>hl(X(R))- hl(X(C))+q(X)-p0(X) ,

-11 которое становится равенством для М-поверхности. Рассмотрим теперь гомоморфизм нх(Х(ю,г) нх(Х(С),г)ц^*)н1 (Х(С),г), индуцированный вложением Х(Я) с Х(С). Так как н1(Х(я),г)к\^)н1(Х(К),1) = нх(Х(К),¥г), то он индуцирует гомоморфизм нх(Х(11),р2) -*н1(Х(С),г)1(\^*)н1(Х(С),2), размерность его ядра обозначим через 1 (X), тогда справедлива

Теорема 025. Пусть X поверхность, Х(Я)Ф0, тогда выполняются неравенства да - р,(Х)<}г1(х(11))< ^ да, причём для М- поверхности левое неравенство становится равенством.

На этом мы заканчиваем формулировку главных результатов, отметим только, что в основном тексте имеются и другие утверждения, имеющие теоретическое значение. Заметим ещё, что во введении мы не приводили ссылки на литературу, имеющую отношение к сформулированным здесь теоремам, это делается в основной части, но мы должны указать здесь, что приложения эквивариантных когомологий в вещественной алгебраической геометрии имеются также в работах [9], [32], [8], [26], [40].

1. Арнольд В.И. О расположении овалов вещественных плоских алгебраических кривых, инволюциях четырёхмерных гладких многообразий и арифметике целочисленных квадратичных форм // Функц.анализ и его приложения. 1971. Т.6, вып.4. С. 1-9.

2. Бальдассари М. Алгебраические многообразия. М., "Ил",1961.

3. Бредон Г.Э. Теория пучков. М.,"Наука", 1988.

4. Виро О.Я. Успехи в топологии вещественных алгебраических многообразий за последние шесть лет // УМН, 1986. т. 41, вып. 3. С. 45-67.

5. Гриффите Ф, Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии. М.,"Мир", 1982.

6. Гротендик А. О некоторых вопросах гомологической алгебры. М.,"Ил", 1967.

7. Grothendick A. Le groupe de Brauer // Dix Exposes sur la Cohomologie des Schemas, North Holland, Amsterdam. 1968. P.46-188.

8. Degtyarev A. and Kharlamov V. Distribution of the components of real Enriques surface (preprint).

9. Калинин И.О. Когомологические характеристики вещественных проективных гиперповерхностей // Алгебра и анализ. 1991. Т. 3, вып. 2. С. 91-110.

10. Картан А. и Эйленберг С. Гомологическая алгебра. М.,"Ил", 1960.

11. Краснов В.А. Ориентируемость вещественных алгебраических многообразий // Конструктивная алгебраическая геометрия. 1981, вып. 194. Ярославль. С. 46-57.

12. Краснов В.А. Отображение Альбанезе для вещественных алгебраических многообразий // Матем. заметки. 1982. т. 32, вып 3. С. 365-374.

13. Краснов В.А. Неравенства Гарнака-Тома для отображений вещественных алгебраических многообразий // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1983. т.47, № 2. С. 268-297.

14. Краснов В.А. Отображение Альбанезе для GMZ- многообразий //Матем. заметки. 1984. т. 35, вып. 5. С. 739-747.

15. Краснов В.А. О классах гомологий, определенных вещественными точками вещественного алгебраического многообразия // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1991. т.55, № 2. С. 282-302.

16. Краснов В.А. Характеристические классы векторных расслоений на вещественном алгебраическом многообразии // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1991. т.55, № 4. С. 716-746.

17. Краснов В.А. Алгебраические циклы на вещественном алгебраическом GM-многообразии и их приложения // Изв. РАН, Сер. матем. 1993. т.57, № 4. С. 153-173.

18. Краснов В.А. О классах когомологий, определенных вещественными точками вещественной алгебраической GM-поверхности // Изв. РАН. Сер. матем. 1993. т.57, № 5. С. 210-221.

19. Краснов В.А. Об эквивариантных когомологиях Гротенди-ка вещественного алгебраического многообразия и их приложениях // Изв. РАН. Сер. матем. 1994. т. 58, № 3. С 36-52.

20. Краснов В.А. Когомологическая группа Брауэра вещественного алгебраического многообразия // Изв. РАН. Сер. матем. 1996. т. 60. №5. С. 57-88.

21. Краснов В.А. Эквивариантные когомологии вещественной алгебраичекой поверхности и их приложения // Изв. РАН. Сер. матем. 1996. т. 60. № 6. С. 101-126.

22. Краснов В.А. О группе Брауэра вещественной алгебраической поверхности // Матем. заметки. 1996. т. 60, вып. 6. С. 935-938.

23. Краснов В.А. Об ориентируемых вещественных алгебраических М-поверхностях // Матем. заметки (в печати).

24. Краснов В.А. Вещественные алгебраические GM- многообразия // Изв. РАН. Сер. матем.(в печати).

25. Краснов В.А. Вещественные алгебраические GMZ- поверхности // Изв. РАН. Сер. матем. (в печати).

26. Mangolte F. and van Hamel J. Algebraic cycles and topology of real Enriques surfaces ( preprint ).

27. Manin Y.I. Le groupe de Brauer- Grothendieck en géometrie diophantienne //Actes du Congrès Intern. Math. Nice (1970). T.l. P. 401411. Paris: Gantheer Villars. 1971.

28. Милн Дж. Этальные когомологии. M.,"Мир", 1983.

29. Никулин B.B. Целочисленные симметрические билинейные формы и некоторые их геометрические приложения // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1978. т. 43, № 1. С. 111-177.

30. Никулин В.В. Инволюции целочисленных квадратичных форм и их приложения к вещественной алгебраической геометрии // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1993. т. 47, № 1. С. 109-188.

31. Рохлин В.А. Сравнения no mod 16 в шестнадцатой проблеме Гильберта // Функц. анализ и его приложения. 1972. т. 6, вып. 4. С. 71-75; 1973. т. 7, вып. 2. С. 91-92.

32. Sommesse A.J. Real algebraic spaces // Annali della Scuota Normale Superiore di Pisa. 1977. v. 4, № 4. P. 599-612.

33. Thorn R. Sur Г homologie des variates algebriques reeles // Different, and combinator. top. Pinceton N.I. Univ. Press. 1965. P. 255265.

34. Харламов B.M. Новые сравнения для эйлеровой характеристики вещественных алгебраических многообразий // Функц. анализ и его приложения. 1973. т. 7, вып. 2. С. 74-78.

35. Харламов В.М. Дополнительные сравнения для эйлеровой характеристики четномерных вещественных алгебраических многообразий // Функц. анализ и его приложения. 1975. т. 9, вып. 2. С. 5160.

36. Харламов В.М. Топологические типы неособых поверхностей степени 4 в RP И Функц. анализ и его приложения. 1976. т. 10, вып. 4. С. 55-68.

37. Шафаревич И.Р. Основы алгебраической геометрии. М., "Наука", 1972.40. van Hamel J. Equiariant Borel Moore homology and the fundamental class of manifolds with a Z/p - action (preprint).