Когомологические характеристики вещественных алгебраических многообразий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Глава 1. Введение

1.1. Вычисление когомологий множества неподвижных точек инволюции

1.2. Вычисление когомологий вещественных алгебраических многообразий

Глава 2. Пространства с инволюцией

2.1. Фильтрации и спектральные последовательности

2.2. Спектральная последовательность инволюции

2.3. Произведения, граничный гомоморфизм, операции Стинрода

2.4. Изоморфизм Тома

2.5. Двойственность

2.6. Эффективные пространства

2.7. Четные расслоения

2.8. Характеристический класс четных расслоений над эффективными пространствами

Глава 3. Вычисление когомологи вещественных алгебраических многообразий

3.1. Клеточные многообразия

3.2. Лефшецевы подмногообразия эффективных GM-многообразий

3.3. Множество нулей общего сечения обильного расслоения над эффективным GM-многообразием

3.4. Проективные полные пересечения, полные пересечения клеточных многообразий

1.0.0.1. Соглашения. Все когомологии, если не указано противное, берутся с коэффициентами в поле F2. Через будем обозначать циклическую группу порядка 2. Пространства с инволюцией, эквивариантные отображения пространств с инволюцией, пары пространств с инволюцией и т.д. для краткости будем называть, соответственно, Сг-пространствами, (^-отображениями, Сг-парами и т.д. Для (^-пространства X через FX будем обозначать множество неподвижных точек инволюции.

1.1. Вычисление когомологий множества неподвижных точек инволюции

Одна из основных задач, стоящих перед эквивариантной топологией, и в частности, перед топологией пространств с инволюцией, — изучение взаимосвязи между когомологическими структурами пространства и когомологическими структурами множества неподвижных точек.

1.1.0.2. История вопроса. Первое серьезное продвижение в этом вопросе принадлежит П.А.Смиту [Sm]. Для топологического С2-пространства он построил точную последовательность: НР(Х, FX) НрХ HPFX ф НР(Х, FX)

Hp+l(X,FX) . (1)

И хотя последовательность Смита по настоящее время является важным средством для изучения инволюции, из-за трудностей с введением дополнительных структур и слабой функториальности (см. п. 1.1.0.4), ею не очень просто пользоваться для вычислений.

В работах [Вог55], [ВогбО] Борель изобрел мощный метод для извлечения когомологической информации о действии компактной группы Ли на конечномерном клеточном пространстве, который даже для группы С2 оказывается довольно плодотворным. Точнее: для n-мерного клеточного Сг-пространства X он показал, что гомоморфизм

НгХС2 H\FXc2), индуцированный включением FX ^ X, является изоморфизмом для г > п, где Хс2 — тотальное пространство расслоения над MP00 со слоем X, ассоциированного с универсальным расслоением группы С2. Когомологии пространства Хс2 вычисляются при помощи спектральной последовательности Серра, часто именуемой в этом контексте последовательностью Бореля-Серра.

Серьезное удобство этого подхода по сравнению с точной последовательностью Смита состоит в том, что спектральная последовательность легко снабжается дополнительными структурами: умножением, когомологическими операциями.

К числу минусов можно отнести плохую функториальность: а priory морфизм спектральных последовательностей индуцируется только эквивариантными отображениями и нужны определенные усилия, чтобы доказать, что, например, граничный гомоморфизм или трансфер индуцирует морфизм спектральных последовательностей.

1.1.0.3. Спектральная последовательность инволюции. В работе [Ка91] для конечномерного Сг-пространства X автор построил ГН*Х стабильный вариант спектральной последовательности з

Бореля-Серра расслоения возрастающую фильтрацию {J^*(X)} кольца когомологий множества неподвижных точек инволюции и изоморфизм между градуированным F2-модулем, ассоциированным с фильтрацией, и предельным членом спектральной последовательности. Необходимо отметить, что спектральная последовательность Z-градуирована (а не Z х Z, как обычно), а фильтрация — не обязательно согласована со стандартной градуировкой H*FX.

ТЕОРЕМА А. (см. теорему 2.2.1) Пусть X — С^-Щостранство. Тогда существуют естественные по отношению к С2-отображениям

1) фильтрация группы Н*FX

О = С Г0(Х) С . С Ti(X) с . С H*FX;

2) Z— градуированная спектральная последовательность {ГН*Х,Ч*), где rd*: rHlX ГН*~Г+1Х, для которой lHlX = IPX, Х<Г = 1 + с*; 2Н1Х = Нг(С2, IPX);

3) изоморфизм ifi : grjrH*FX °°Н1Х, где gr*jrH*FX — градуированная группа, ассоциированная с фильтрацией.

ЗАМЕЧАНИЕ 1.1.1. (1) Вместо изоморфизма щ удобно использовать гомоморфизм

Vi'.Ti-* FilTi-i °°Н*

2) Спектральная последовательность, фильтрация и изоморфизм (р определены в относительном случае, имеется также очевидный гомологический вариант спектральной последовательности.

3) Фильтрация кольца когомологий Н*(Хс2) часто использовалась в вычислениях, связанных со спектральной последовательностью Бореля-Серра (см., например, [Bred], [Кг 1]).

4) Фильтрация Т* на гомологиях H*FX и изоморфизм между предельным членом спектральной последовательности и grjrH^FX были открыты О.Я.Виро геометрически до работы [Ка91] и первоначально были связаны с точной последовательностью Смита.

5) В работах [D], [DIKh], [DKh] спектральная последовательность инволюции называется спектральной последовательностью Калинина, фильтрация !F*(X) — фильтрацией Калинина, изоморфизм обратный изоморфизму изоморфизмом Виро.

Определение 1.1.2. ^-пространство X будем называть М-пространством, если dim H*FX = dimi/*X; (^-пространство X будем называть GM-пространством, если dim Я*FX = б1тН\С2,Н*Х)

1.1.0.4. Функториалъностъ спектральной последовательности инволюции. Первый член (когомологической) спектральной последовательности инволюции пространства с инволюцией совпадает с когомологиями самого пространства. В когомологиях и гомологиях есть большое количество гомоморфизмов, не индуцированных эквивариантными отображениями: когомологические операции, граничный гомоморфизм пары или тройки, изоморфизм Тома, изоморфизм двойственности и т.д.

Возникают естественные вопросы: продолжаются ли эти гомоморфизмы до морфизма спектральных последовательностей, 5 определяют ли они гомоморфизмы когомологий множества неподвижных точек и как взаимодействуют с фильтрацией {J7}, если определяют, и наконец, как связаны между собой соответствующие гомоморфизмы предельных членов спектральной последовательности и градуированных групп, присоединенных к фильтрации?

Почти всегда легко установить, продолжается ли естественный гомоморфизм, заданный на когомологиях (или гомологиях), до морфизма спектральных последовательностей и определяет ли он гомоморфизм когомологий (гомологий) множества неподвижных точек. Трудная часть деятельности состоит в том, что для некоторых гомоморфизмов (Sq% изоморфизм Тома, двойственность) соответствующий гомоморфизм множества неподвижных точек "неправильный", т.е. плохо взаимодействует с фильтрацией. Тем не менее, в каждом важном случае находится необходимое "исправление" и "исправленный" гомоморфизм индуцирует на градуированной группе, ассоциированной с фильтрацией, гомоморфизм, совпадающий с гомоморфизмом предельных членов спектральных последовательностей (см. теоремы В, С). Необходимо отметить, что в п. 1.1.0.5 будет построен класс Сг-пространств, для которого есть универсальное "исправление" для всех разумных случаев.

Пусть £ — Сг-расслоение над Сг-пространством X (С2~расслоением будем называть векторное расслоение р : Е —X вместе с инволюцией на Е, являющейся поднятием инволюции на X и линейной на слоях), как нетрудно видеть, где — подрасслоения инвариантных (косоинвариантных) векторов. Пусть полный класс Штифеля-Уитни расслоения 6

ТЕОРЕМА В. (см. теорему 2.4-1) Пусть £ — векторное п-мерное С2~расслоение, тогда

1) изоморфизм Тома Щ : Н*Х —H*(D£,S£) индуцирует для г < оо изоморфизм спектральных последовательностей

ГЩ : rH*X rH*(D£,S£);

2) для г > 0 справедливо thn(w^)Ti{X)) = ri+n(DC,SO;

3) для г > 0 и х (Е справедливо

ЗАМЕЧАНИЕ 1.1.3. Для инволюции действующей тривиально на базе и умножением на —1 на слоях расслоения £ эта теорема была доказана Дегтяревым [D]

ТЕОРЕМА С. (см. теорему 2.5.2) Пусть {Y,X) — п-мерное относительное гладкое Сч-многообразие, w* — полный класс Штифеля-Уитни нормального расслоения подмногообразия F(Y\X) eY\X. Тогда

1) для г < оо невырожденная билинейная форма

Ф(ад : Я*(У, X) <g> Я*(F \ X)F2, где индуцирует невырожденную билинейную форму rH*(Y,X) ® rH*(Y\X) F2; дифференциалы rd^x) и rdy\x сопряжены друг с другом относительно этой формы для г < оо;

2) для любых г > 0 справедливо

3) для любых i,j > 0, х G X), у € Tj{Y \ X) справедливо °°Ф(У,х)(&х <3 (pjy) = $f(y,x)(x <g> w~ly). 7

ЗАМЕЧАНИЕ 1.1.4. Легкая часть теоремы С, касающаяся собственно спектральной последовательности, появилась в работе автора [Ка91]. В работе [DIKh] эта теорема была доказана для замкнутых гладких Сг-многообразий.

1.1.0.5. Эффективные пространства. Задача вычисления кольца когомологий множества неподвижных точек разбивается на две части: вычисление предельного члена спектральной последовательности инволюции и переход от предельного члена к самим когомологиям. Если первая задача удовлетворительно решается для многих пространств с инволюцией (см. теорему 3.3.1), то вторая — не решена даже в простых случаях (квинтики в Р3, см. п. 1.2).

Тем не менее, существует класс пространств с инволюцией, для которых кольцо когомологий множества неподвижных точек и даже действие алгебры Стинрода на нем эффективно вычисляются по предельному члену спектральной последовательности.

Определение 1.1.5. Пространство с инволюцией X будем называть эффективным, если Ti{X) = Sq Н-1^2(Х) для любого г, где Sq = 1 + Sq1 + . — полная операция Стинрода. Обозначим через композицию H*(FX) % T2i ^ °°H2i(X), через ф : H*{FX) °°Н*(Х) — гомоморфизм равный ф1 на г-той компоненте.

Теорема D. (см. предложения 2.6.1 и 2.6.6)

1) ф : H*(FX) —)■ °°Н*(Х) — изоморфизм градуированных колец (удваивающий степени);

2) Sq2г> =

В доказательстве утверждения (2) этой теоремы важную роль играет следующий факт, имеющий самостоятельный интерес. 8

ЛЕММА 1.1.6. (см. предложение 2.6.2) Пусть X — конечномерное клеточное пространство, тогда пространство X х X, снабженное переставляющей инволюцией, эффективно.

Замечание 1.1.7. В работе [DIKh] для произвольного С2-проетранства доказано, что Sql индуцирует морфизм спектральной последовательности инволюции и установлена довольно сложного вида связь между действием Sql на предельном члене и действием алгебры Стинрода на когомологиях множества неподвижных точек (см. предложение 2.3.6).

Все известные автору примеры эффективных пространств либо имеют вещественно-алгебро-геометрическое происхождение (множество комплексных точек вещественного многообразия с инволюцией комплексного сопряжения), либо похожи на вещественные алгебраические многообразия (пространство X х X (см. лемму 1.1.6) можно рассматривать как "наивную" комплексификацию топологического пространства X). Поэтому неудивительно, что наиболее приспособленный к классу эффективных пространств класс C<i~ расслоений является топологической имитацией класса вещественных алгебраических векторных расслоений.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1.8. Комплексное С<грасслоение будем называть Вещественным (с большой буквы) в смысле Атьи [At] (или просто Вещественным расслоением), если инволюция в тотальном пространстве антилинейна на слоях.

Для эффективных пространств и Вещественных расслоений связь между естественными гомоморфизмами, продолжаемыми до морфизма спектральных последовательностей (см. п. 1.1.0.4), и соответствующими гомоморфизмами когомологий множества неподвижных точек существенно проще, чем в общем случае. В качестве примера приведем аналог теоремы С. 9

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.1.9. Пусть {U,V) ~ относительно гладкое С2~многообразие, касательное расслоение которого над U \ V эквивариантно изоморфно Вещественному расслоению.

1) Тогда (U, V) — эффективная пара тогда и только тогда, когда U \ V — эффективное пространство;

2) пусть (U, V) — эффективная пара, тогда для любых х G H*(F(U, V)), у Е H*(F(U\V)) справедливо Ф(Ри,РУ)(х,у) = 00Ф(иу)(,Ф(иу)(х)1ф^и\У)(у)), где Ф, °°Ф - формы индексов пересечения (см. теорему С).

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.1.10. Пусть (Z,Y,X) - С2-тройка, такая, что С2~пары (У,Х)7 (Z,Y) эффективны, тогда H*(FY, FX) —> H*+1(FZ, FY) — граничный гомоморфизм точной последовательности тройки, тривиален.

Последнее предложение означает, что когомологии эффективных "кусков" не смешиваются, и может служить основой для доказательства различных теорем о вырождении спектральных последовательностей.

3.3.0.2. Основные результаты.

ТЕОРЕМА 3.3.1. Пусть четверка (£?,£, s, А) удовлетворяет условиям 3.3.0.1 и пусть с&(£) = 0 (mod 4). Тогда dimН*ЖА = dimН\С2, Н*СА) - 4 dim Кег<п^{Шп*в/А)

73

Аналогичное утверждение, справедливое для не делящегося на 4, формулируется намного более громозко (см. теорему 3.3.10).

Следующая теорема описывает действие инволюции conj на подгруппе <Cin*BjA(Hn(CB) группы НП(СА и содержательна только для четного п.

ТЕОРЕМА 3.3.2. Пусть четверка (У, s,X) удовлетворяет условиям 3.3.0.1 и пусть с&(£) = 0 (mod 4); тогда следующая последовательность точна

0 Кегп/2(Жт*в,А) ^ ЯХ(С2, НпСВ) Я1{СЪ НпСА)

Пусть У — Сг-многообразие, £ — n-мерное Вещественное расслоение над У, s — Сг-сечение расслоения трансверсальное нулевому, X — множество нулей сечения s. Очевидно, X — С2-многообразие и сечение s индуцирует (^-вложение s : Y\X —»• которое индуцирует морфизм спектральных последовательностей rs : rH*S£ rH*(Y \ X)

JlEMMA 3.3.3. Пусть X — множество нулей сечения s, трансверсального нулевому, векторного расслоения £ над многообразием Y, пусть размерность X равна 2п и Я-и(У, X) = 0. Тогда s{Y\X)) = 0.

Доказательство. Сечение индуцирует морфизм из точной последовательности пары ) в точную последовательность пары (У, У \ X) . Теперь утверждение следует из Леммы о пяти изоморфизмах. □

Нетрудно проверить справедливость следующего утверждения.

ЛЕММА 3.3.4. (1) Ker(Fmy/(y^) = (Ker(Finy/x))±, где ортогональное дополнение берется относительно формы индексов пересечений Ф^г

2) Пусть расслоение £ четно, тогда

Ker(Fin*Y/x) D Ker(Fin*Y/{Y\x))

3.3.0.3. Доказательство теорем 3.3.1 и 3.3.2. Предложение 3.3.5. Пусть для четверки (У, s,X) выполнено:

1) У — эффективное GM-многообразие;

2) X — замкнутое многообразие размерности 2п;

3) Я^"(У,Х) = 0;

4) £ — четное расслоение;

Тогда dim(<9(X)/(d(X) П 1т(2гпУ/х))) =

Шуиу\х\) + dimjar Е L<ny/2 о;

Доказательство теорем 3.3.1 и 3.3.2. В силу предложения 2.8.4 класс а(£) тривиален. Теперь из предложений 3.3.5 и 3.2.3 вытекает, что dim{dn(CA)/dn(CA) f)Im(2inB/A)) = dimd<n(X), откуда с силу предложения 3.2.3 следует, что dimd(X) = 2dim<9<n(X) и, что группа дп(СА) Р| 1гп(21пв/а) тривиальна. Последнее утверждение влечет теорему 3.3.2, предпоследнее теорему 3.3.1. □ jlemma 3.3.6. Пусть четверка (У, s,X) удовлетворяет условиям предложения 3.3.5. Тогда дзт{д{Х)/{д{Х) П Im(2inY/x))) = dimJrn+2k-2{KeT(Fs*)) - dimTn+2k-2{Kev(Finy/{Y^x))) (37)

Доказательство. Из точности последовательностей пар (У, X) и (FY, FX) вытекают равенства: dim#*X = dimH*Y + dimH*(Y,X) - 2dimKer(in*Y/x)-, dim H*FX = dim H* FY + dim H*{FY, FX) - 2 dimKer(Fin*Y/x)

Вычитая одно равенство из другого и воспользовавшись предложением (2.1.6) получаем dim °°В{Х) = dim lB(Y) + dim °°B(Y, X) dimKer(Цд) + dimKev (FinY/x) (38)

Как очевидно, dimKer(FmJyX) = dimgrflKei(FinY/x) + dim#r^n Ker(Fmy/x). В следствие предложения dim grp2 Ker(Fin*Y/x) = dim °°H>nY

- dimgrf+2k~l Ker(Fin*Y/{YXX)).

Следовательно, в силу предложения 3.2.3 dimKer(FirfY/x) = dim 00 H>n(Y)-dim gr^2^1 Ker(Fm£/(nx))+ dim дп(Х) П Im( 2inY/x)) + dim iferu( 2my/x)

Заметим, что из тривиальности класса W2k(0 и двойственности Пуанкаре вытекает

Ker(in*Y/x) = H>nY. (39)

Подставляя последние равенства в (38) получаем:

76 dim(<9(X)/(d(X) П Im( 2inY/x))) = dimd(r \ X))dimgrf1^'1 Ker(Fin*Y/(nx)) + dim lB(Y) - dim гВ(Х) + dim Х£(У \ X) - 2 dim lB>n(Y)+ dimKern(2inY\x) ~ dimKern+2k~l(2inY/Y\X). (40)

Из леммы 3.3.3 и предложения 2.7.4 следует, что С2-пара удовлетворяет условиям леммы 3.2.4, поэтому, dimd(F \ X) = dim grf+2k'1 Ker (Fin^/{Y\X)), теперь достаточно доказать, что dim lB(Y) - dim lB(X) + dim lB(Y \ X) - 2 dim lB>n(Y) dimgrn+2k1 (Ker(Fiiiy/(Y\X))) - dimKern(2inY/x)

По тем же причинам выполняется равенство dim 1B(Y \ X) = dim lBn+2k~l(Y\X) +dim lB<n(Y) + dim 1^>n(Y)-dim lBn+2k~l(Y), значит, левая часть последнего равенства равна dim lBn(Y) - dim lBn(X) + dim lBn+2k~l(Y \ X) - dim ^Bn^2k~l(Y)

В силу (39) и длинной точной последовательности пары следующая последовательность точна:

0 HnY НпХ л яп+1(у, x) Hn+1Y 0 и, значит, точны последовательности F2 [ОД-модулей

0 HnY НпХ ImS 0; (41)

0 Hn+2k~lY Hn+2k-\Y \ X) (ImS)* 0. (42) Для конечного F2 [ОД-модуля А положим а(А) = (dim А - dim Н\С2, А))/2

Следующее утверждение вытекает из соответствующей длинной точной последовательности.

JlEMMA 3.3.7. Пусть — точная последовательность конечных ¥2[С2]-модулей. Тогда а{С) = а(В) — а(А) - dimKer(Н\С2, А) -> Н\С2, В)). □

Заметим, что a(HnY)) = dim 1Bn(Y) для Е2[С2]-модуля HnY, аналогично для модулей НпХ, Hn+2k~l(Y \ X) и Hn+2k~lY. В силу последней леммы, из точности последовательностей (41),(42) вытекает равенство dim 1Вп(Х) — dim lBn{Y) — dimKer(2гпу/х) = dim i5»+2k-i(y \Х) - dim ^Bn+2k-\Y) - dimKer^(V/nx)-Значит, равенство доказано. □

Доказательство предложения 3.3.5 . В силу леммы 3.3.6 достаточно вычислить размерность группы R = Jru+2fc-2Ker(Fs*)/Fp5e(^rn+2A;-2Ker(Fm^/(ryX))). Из определения класса р вытекает, что Тп+2к-2(3£) = Fn+2k-2(Y) • ф Fn-i{Y) ■ p. Следовательно,

R = {х е J^niKer(Fin*Y/x) x-(Fs*)(p) E (F i in y/{y\x)

Fn+2k-2 (Y))}.

Вспомним, что Y — эффективное пространство, применяя автоморфизм Sqполучаем

R = {х Е Ker<n,2{Fin*Y/x) x ■ (.Fs*){Sq~lp) E H^nlM~\Y \ X)} = {x E Ker<nl2(Fin*Y/x) x-(Fs*)(Sq-lp + pF) E \X)}, т. к. pp E ^^(FSQ. В силу определения класса а(£) ( см. 2.8.1 ) можно считать, что Sq~lp = pF + Fp*s^(a(^)), поэтому

R = {х Е Ker^Fm^) | x-(Fin*Y/{nx))(a(0) Е Н^2^1 (Y\X)}

Из последнего выражения видно, что Ker<n^2(F гпу^у^ху) с R. Нетрудно видеть, что соответствующая фактор-группа изоморфна группе {х Е L<n'2 а(£)х Е Ь-п!2+к~1} □

3.3.1. Теорема 3.3.10 и ее доказательство. Пусть М — градуированный #*(.РХ)-модуль, а 6 H*(FX) положим Аппм{ос) = х € М а • х = 0}. Как очевидно, Аппм(&) — однородный подмодуль модуля М.

Предложение 3.3.8. Пусть расслоение £ удовлетворяет условиям предложения 2.8.4 и пусть класс не делится на

4 . Тогда dim(d(X)j(d(X) П /ш( 2гпу/х)У) = dimKer<n,2{F in*Y/{nx))+ dim AnnT'2(<Wk-m))+ E dim г<п/2+/г—1 где класс t G HlFY такой, что фу{1) = ci(6i)/2 с^я некоторого четного линейного подрасслоения расслоения £ и е — остаток при делении п на 2.

Для У = СPN предложение 3.3.8 принимает более простой вид. следствие 3.3.9. Пусть расслоение £ над СPN удовлетворяет условиям предложения 2.8.4 и пусть класс не делится на 4 . Пусть ker<n/2(Fin*Y/x) ф 0, тогда д(Х) с Im(2inY/x)теорема 3.3.10. Пусть четверка (Я, s,A) удовлетворяет условиям 3.3.0.1 и пусть не делится на 4. Тогда dimH*RA = dimHl{C2, Н*СА) - 2dimKer<n/2(Rin*B/A) - 2R, где R = dimKer<n/2{fin*v/(y\x)) + dim+ Zi<n/2+k-idimAnn^^C^1-)-) + dim Ker"/2(Rin*B/A) -dim К ern(2 in в/a) us — остаток при делении n на 2.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Легко следует из предложений 3.3.8 и 3.2.3.

Доказательство предложения 3.3.8. Пусть а — необязательно однородный элемент кольца H*FY, пусть М — градуированный Я*РУ-модуль, для произвольных те, г положим

Ка(М; те, г) = {х е М<п аж е

В силу предложения 3.3.5 для вычисления &т{д(Х)/{д{Х) П 1т(2ту/х))) необходимо сосчитать размерность Ег-модуля Ka^(L]n/2,n/2 + & — 1). Вспомним, что ск(£) = Wk-i(F^) • /9, где /3 = f + + . + £2' + . для некоторого t £ Я1 (.FY). Заметим,что умножение на K7jbi(.F£) индуцирует точную последовательность

О Ann<n/2Ki(F£)) КаЮ(Ь- те/2, те/2 + А; - 1)

Kp(u)k-\(F£)L\ n/2 + fc — 1, п/2 4- & — 1) О

2-модули L и Wk-\(F^)L являются градуированными F2[£]-модулями. Утверждение предложения вытекает из следующей леммы.

ЛЕММА 3.3.11. Пусть М — FъЩ-модуль, п > 0; тогда dim К^М-щп-е) = £i<ndim Атетегм(^"*Ь£). доказательство. Достаточно доказать утверждение леммы для градуированных модулей Ir — F2 [t]/ (tr+1). Положим :

1<п —> Ir/I~n~£ — композиция проекции и умножения на /3. Легко заметить, что Кетуегп — Кр(1г-,п,п — е); 7^п — рг о где рг : Ir+i/If™{£ —>■ Ir/Ifn~£ — каноническая проекция. В силу коммутативности соответствующих диаграмм, если 7^ — мономорфизм, то га — мономорфизм для всех ri > г , и если 77!п — эпиморфизм, то 7* — эпиморфизм для всех ri < г. Теперь для доказательства леммы достаточно показать, что 7|гае и изоморфизм. Докажем это индукцией по те. База очевидна, пусть для те < г доказываемое утверждение верно. Докажем, что 7|г£ г изоморфизм. Найдется натуральное г такое, что 72rer(l) = t2%■

80

Как очевидно, для всех 0 < j < 2п — е — 21 выполняется сравнение 72г-е,г№) - f2l+i (mod r-Г1)- Значит, dim(/m(7|r£r)) = 2г-е-2z + dim(/m(72rieri)), где г\ = 2г — п — 2+е < г. Утверждение леммы вытекает теперь из индукционного предположения. □

Доказательство следствия 3.3.9. Пусть образующая F2[*]-модуля L имеет размерность I, тогда существуют изоморфизмы

1) In+k-2i L степени /;

2) In-2i+i Wk-i{QL степени к - 1.

Теперь легко видеть, что {х Е Ь<п/2 Wk-i(F^) • х = 0} = 0 и из вычислений доказательства предложения следует, что

Kp(wk-i(Fg)L\ п/2 + к- 1, п/2 + к - 1) = п/2 - I, гг/2 -г) = 0 (43)

3.4. Проективные полные пересечения, полные пересечения клеточных многообразий

3.4.1. Применение теорем 3.3.1 и 3.3.2. Условия 3.3.0.1 выполняются в следующих трех интересных случаях: полные пересечения в проективных пространствах, в многообразиях допускающих вещественное "клеточное разложение"и дискрименантные многообразия или, в более общем случае, многообразия r-вырождения морфизма вещественных алгебраических векторных расслоений при некоторых ограничениях на базу и морфизм.

3.4.1.1. Полные пересечения в проективных пространствах. Пусть А — полное пересечение мультистепени (di,., dk) в Р^, полной степени d = d\ • . • dk. Заметим, что многообразие А — множество нулей сечения s расслоения £ = 0(d\) ф . ф 0(dk), соответствующего уравнениям, задающим это многообразие, и А неособо, тогда и только тогда, когда s трансверсально нулевому сечению расслоения Если d четно, нетрудно видеть, что четверка {CPN,®ki=10(di),s,A) удовлетворяет условиям 3.3.0.1 и что числа dim(Ker(Fin^,N/A)) и &mi(Ker( легко выражаются через обычные для вещественной алгебраической геометрии инварианты.

Для подмножества S С RPN положим l(S) = max{—l,i\in* : H{(RPN) И1 (S) ненулевой}, где in : S С RPN - включение. Если А С Р^ — вещественное проективное многообразие, положим 1(A) = /(IL4). Нетрудно видеть, что

Ker(Fin*pN/A) = где t — образующая группы Н1ЖРМ . Ясно, что 1(A) — dim Л, если степень deg.A нечетна. Инвариант 1(A) был введен в

82

Х,1975], в работе О.Я.Виро [V] для вещественных проективных гиперповерхностей этот инвариант называется называется рангом гиперповерхности.

Обозначим через h образующую группы H2CPN и положим 5h{A) — 0, если га нечетно или in*hnl2 Е Im( 1 + conj*) в НпСА и 5h(A) = 1 в противном случае. Как нетрудно видеть

Теоремы 3.3.1, 3.3.10 и 3.3.2 для полных пересечений принимают следующий вид.

ТЕОРЕМА 3.4.1. Пусть А — неособое вещественное проективное полное пересечение степени d и размерности п.

1) если 1(A) > га/2 — 1 (в частности, если d нечетно), то dimH*RA = dimHl{C2,H*CA), т.е. CA - GM-пространство;

2) если 1(A) < га/2 — 1, то dimКег(ЧпСр*/а) = 1 ~ $h(A)

44)

Здесь /хJ обозначает целую часть числа х).

ТЕОРЕМА 3.4.2. Пусть А неособое вещественное полное пересечение степени d и размерности га.

83

1) Пусть d = 2 (mod 4), тогда д (A) J°> если = n/2 ~ 1 (mod 2)l(A) < n/2;

I 1, e противном случае;

2) Пусть d = 0 (mod 4), тогда v JO, если /(Л) < n/2; ^ \l, если 1(A) > n/2.

Эти теоремы для проективных полных пересечений формируются так же, как и для гиперповерхностей (см. теоремы В и С работы [Ка91]), поэтому и все следствия этих теорем (следствие 1.1, предложения 1.2, 1.3 и 1.4 работы [Ка91]) справедливы для полных пересечений.

3.4.1.2. Полные пересечения в многообразиях допускающих вещественное "клеточное разложение". Пусть В — неособое вещественное проективное многообразие, допускающее вещественное "клеточное разбиение "Пусть А — полное пересечение в В, как и в предыдущем пункте, А — множество нулей сечения s соответствующего обильного расслоения £ = Ai ф . 0 А&, где Аг-линейно, и А неособо, тогда и только тогда, когда s трансверсально нулевому сечению. Если хотябы один из классов Ai,.,A& четен, то в силу теоремы 3.1.1 четверка (B,£,s,A) удовлетворяет условиям 3.3.0.1 и, значит, для А справедливы теоремы 3.3.1, 3.3.10 и 3.3.2.

Рассмотрим важный частный случай, пусть В = Р^1 х . х Р^, пусть А задано к уравнениями мультистепеней dlh d\2t •••, d\r) dki,dk2, .,dkr), т.е. £ = ®i=i ®$=i 0(dij), тогда старший класс Черна расслоения £ равен nf=i(X^=i dj,j hj), где hj - образующая группы H2(CPNj).

84

Четверка s,A) заведомо удовлетворяет условиям , если

П?=1 НОД[с^1, di2,.~, dir] четно.

Заметим, что если к < N{ для всех г, то класс делится на 4 тогда и только тогда, когда П£=1 НОД^ъ ^гг] делится на 4 (разумеется, аналогичное утверждение справедливо для любой степени 2).

Следующие утверждения являются простыми следствиями теорем

3.3.1 и 3.3.2. предложение 3.4.3. Пусть п четно, А — n-мерное полное пересечение в В — произведении проективных пространств, для которого П?=1 НОД^ь dir] = Q(mod4) .

1) Пусть НпСВ = Н1{С2,НпСВ) —Н1(С2,НпСА) -мономорфизм, тогда СЛ — GM-многообразие.

2) Пусть инволюция conj действует тривиально на группе НпСА. Тогда С А - М-многообразие, т.е. dimH*MA = dim Н*СА.

Доказательство. В силу теоремы 3.3.1 Kern/2lmb/i = 0. Отсюда и из того, что Н*ШВ = W2[th ., *2]/(*f1+\ • • •, следует, что Кег<П//2 Шпв/а = 0, что в свою очередь, в силу следствия

3.2.2 означает, что В — GM-многообразие.

Гомоморфизм включения НпСВ —НпСА — мономорфизм, так как Н-п(СВ,СА) = 0. В данном случае гомоморфизм ^пв/А совпадает с гомоморфизмом Теперь утверждение (2) предложения вытекает из утверждения (1). □

1. Mathematics,17,68(1966),367-386. Bor55. Вorel A. Nouvelle demonstration d'un theoreme de P.A. Smith

2. Curven. Math.Ann.,1876,Bd. 10,S.189-198. Hill891. Hilbert D. Uber die reelen Zuge algebraischer Kurven.

3. Math. Ann., 1891, Bd.38,S.115-138. Hill909. Hilbert D. Uber die Gestalt einer Flache vierter Ordnung.

4. Nachr.Kgl.Ges.Wiss.Gottingen.Math.-phys.Kl.,1909,S.308-313. Hurw. Hurwitz A. Veber Riemannsche Flachen mit gegebenen Vezweigungspunkten. Math. Ann. 39 (1891), 1-61. Kl. Klein F. Ueber eine neue Art von Riemann'schen Flachen.

5. Math.Ann., 1876, Bd.lO,S.398-416. Krl. Краснов В. А. Вещественные алгебраические GM-поверхности.

6. Изв. АН СССР. Сер., 1998. Т.62. №4. С.51-80. Кг2. Краснов В.А. Вещественные алгебраические многообразия без вещественных точек. Изв. АН СССР. Сер, 1999. Т.63. №. С.131-170.

7. Олейник О топологии действительных алгебраических кривых на алгебраической поверхности. MaT.c6,1951,T.29,N 1,с.133-156.

8. Rohl. Рохлин В. А. Сравнения по модулю 16 в 16-й проблеме Гильберта. Функцион. анализ и его приложения,1972,т.6,N4,c.58-64.

9. Sm. Smith P.A. Transformations of finite period,I. Ann.Math., 1938, 39,p. 127-164.

10. Th. Thom R. Sur l'homologie des varietes algebriques reeles. In: Differential and combinatorial topology: Symp. in honor of Marston Morse. Princeton:Univ.Press, 1965,p.255-265.

11. Khar. Харламов B.M. Дополнительные сравнения для эйлеровой характеристики четномерных вещественных алгебраических многообразий. Функциональн.анализ и его приложения,1975,t.9,N 2,с.51-60.

12. А. Арнольд В. И. О расположении овалов вещественных плоских алгебраических кривых, инволюциях четырехмерных гладких многообразий и арифметике целочисленных квадратичных форм, Функцион. анализ и его прил. 5, вып. 3 (1971), 1-9.

13. Бр. Бредон Г. Введение в теорию компактных групп преобразований, Наука, М., 1980.

14. C. Сян У. И. Когомологическая теория топологических групп преобразований, Мир, М., 1979.

15. D. Degtyarev A. On the Pontrjagin-Viro form

16. DKh. Дегтярев А., Харламов ^.Топология вещественных алгебраических многообразий УМН 2000, т.55, в.4, стр. 129212.

17. DIKh. Degtyarev A., Itenberg I., Kharlamov К Real Enriques Surfaces, Springer, Lecture Notes in Math.

18. Ф. Фултон У. Теория пересечений М., Мир 1989.

19. FL. Fulton W., Lazarfeld R., On the connectedness of degenerasy loci and special divisors,Acta Math., 146 (1981), no 3-4, 271-283.

20. ХД975. Харламов B.M. Дополнительные сравнения для эйлеровой характеристики четномерных вещественных алгебраических многообразий JL, Функциональный анализ и его применение. 1975, т.9 №2 стр.51-60.

21. V. Viro О. Mutual position of hypersurfaces in projective space.Preprint.

22. Дел. Deligne P., Theorie de Hodge, II,Republications Mathematiques, de 1'IHES, №40, 1972.

23. Arn71. Арнольд В. И. О расположении овалов вещественных плоских алгебраических кривых, инволюциях четырехмерных гладких многообразий и арифметике целочисленных квадратичных форм Функц. анализ и его прил. 1971. Т. 5. №3. С. 1-9.

24. ArnOl. Арнольд В.И., Олейник О.А. Топология вещественных алгебраических многообразий Вестник МГУ. Сер. 1., матем. мех. 1979. т. С. 7-17.

25. Sul. Сулливан Д. Геометрическая топология "Мир", 1971.

26. BorHae. Borel A., Haefliger A. La classe d'homologie fondamentale d'un espace analytique Bull. Soc. Math. France. 1961. V. 89. P. 461-513.

27. Com. Comessatti A. Sulla connessione delle superficie algebriche reale Verh. Internat. Math. Kongr. Zurich. 1932. V. 2. P. 169.

28. DanHow. Данилов В.И., Хованский А.Г. Многогранники Ньютона и алгоритм вычисления чисел Ходжа-Делиня Изв. АН СССР. Сер. матем. 1986. Т. 50. №5. С. 925-945.

29. Degt92. Degtyarev A. Stiefel orientations on a real algebraic variety Lecture Notes in Math. 1992. V. 1524. P. 205-220.

30. Degt94. Degtyarev A. Cohomology approach to killing structures on Steenrod bundles Adv. Soviet Math. 1994. V. 18. P. 1-22.

31. ElKhar. Элиашберг Я.М., Харламов B.M. О числе комплексных точек вещественной поверхности в комплексную Труды Ленинградской международной топологической конференции. Л.: Наука, 1983. С. 143-148.

32. Gud. Гудков Д.А. Топология вещественных проективных алгебраических многообразий УМН. 1974. Т. 29. №4. С. 379.

33. Sw. Свитцер Р. Алгебраическая топология "Мир", 1983.

34. Sp. Спеньер Р. Алгебраическая топология "Мир", 1971.

35. Mi. Милн Р. Теория этальных когомологий М.: Мир, 1983.

36. Milnor. Милнор Дж. Характеристические классы векторныхрасслоений М.: Мир, 1979. Khar74. Харламов В.М. Обобщенное неравенство Петровского

37. Amer. Math. Soc. 1991. V. 324. №1. P. 87-107. Mikh. Mikhalkin G. Congruences for real algebraic curves on an ellipsoid

38. Och. Ochanine S. Signature modulo 16, invariants de Kervaire generalises et nombres characteristiques dans la K-iheone reelle Mem. Soc. Math. France (N.S.). 1981. №5. P. 1-142. Thom52] Thom R. Une theorie intrinseque des puissances de Steenrod

39. Colloque de Topologie de Strasbourg (1951) 1952. Expose N. 6. Viro79. Виро О.Я. Построение М-поверхностей Функц. анализ и егоприл. 1979. Т. 13. №3. С. 71-72. Viro94. Viro О. Ya. Complex orientations of real algebraic surfaces Adv.

40. Soviet Math. 1994. V. 18. P. 261-284. Wall. Walace A. Linear sections of algebraic varieties Indiana Univ.

41. Math. J. 1971. V. 20. P. 1153-1162. Wilson. Wilson G. Hilbert's sixteenth problem Topology. 1978. V. 17. P. 53-73.