Полиномиальные тождества в некоторых конструкциях в теории алгебр Хопфа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Настоящая работа посвящена изучению тождеств некоторых классов алгебр, возникающих в теории алгебр Хопфа. Во-первых, представляет интерес вопрос, при каких условиях сами алгебры Хопфа удовлетворяют нетривиальному тождеству. Примерами такого типа результатов являются явные критерии наличия тождества, полученные Д. Пассманом — для групповых алгебр, В.Н. Латышевым и Ю.А. Бахтуриным — для универсальных обертывающих алгебр и В.Н. Петроградским — для ограниченных обертывающих, поскольку все эти классы алгебр являются примерами кокоммутативных алгебр Хопфа.

Согласно теореме разложения Б. Костанта, П. Картье и П. Габриэля, всякая коком-мутативная алгебра Хопфа над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль может быть представлена в виде так называемого «смэш-произведения» универсальной обертывающей алгебры и групповой алгебры. Конструкция смэш-произведения может рассматриваться как некоммутативная версия обычного тензорного произведения. Она весьма часто возникает в теории алгебр Хопфа, поэтому представляется важным найти условия, при которых смэш-произведение является Р1, то есть удовлетворяет нетривиальному тождеству. В случае тензорного произведения ответ дается теоремой А. Регева, утверждающей, что тензорное произведение (ассоциативных) алгебр является Р1 тогда и только тогда, когда оба множителя являются Р1. Для смэттт-произведения это условие недостаточно.

Еще одним важным классом алгебр, рассматриваемым в данной работе, являются так называемые (Н. /?)-алгебры Ли, введенные недавно в работах Ю.А. Бахтури-на, Д. Фишман и С. Монтгомери и являющиеся обобщением цветных супералгебр Ли. Эти алгебры определяются деформированными тождествами антикоммутативности и

Якоби. С помощью процедуры, предложенной М. Шойнертом, цветная супералгебра Ли может быть «обесцвечена», то есть ее скобка модифицирована таким образом, что она начинает удовлетворять обычным тождествам супер-антикоммутативности и супер-Якоби. Этот «трюк Шойнерта» является исключительно полезным инструментом в теории цветных супералгебр Ли, поэтому важно было бы выяснить, до какой степени он может быть расширен на (Н, /3)-алгебры Ли.

Первая глава настоящей работы посвящена нахождению условий, при которых ко-коммутативная алгебра Хопфа является Р1. В случае характеристики нуль эта проблема сравнительно нетрудно решается при помощи теоремы разложения. Случай же положительной характеристики является намного более сложным. Для универсальных и ограниченных обертывающих алгебр ответ дается вышеупомянутыми результатами Ю.А. Бахтурина и В.М. Петроградского. В недавней совместной работе этих авторов исследован также случай смэш-произведения универсальной или ограниченной обертывающей и групповой алгебры. Тем не менее, подавляющее большинство кокоммута-тивных алгебр Хопфа положительной характеристики не могут быть сведены к смэш-произведениям этого типа. Важным классом таких кокоммутативных апгебр Хопфа являются так называемые гипералгебры формальных групповых законов. Как известно, в положительной характеристике, в противоположность случаю характеристики нуль, алгебра Ли формального группового закона отнюдь не несет исчерпывающей информации о нем. Конструкция гипералгебры призвана исправить этот недостаток. Заметим в этой связи, что в характеристике нуль гипералгебра формального группового закона — это просто универсальная обертывающая его алгебры Ли. Неудивительно поэтому, что поведение этих гипералгебр и в положительной характеристике напоминает поведение универсальных обертывающих характеристики нуль (но не обертывающих положительной характеристики!). Одним из основных результатов первой главы является распространение теоремы В.Н. Латышева и Ю.А. Бахтурина об универсальных обертывающих характеристики нуль на гипералгебры формальных групповых законов. А именно, эти гипералгебры являются Р1 только тогда, когда они коммутативны. Доказательство этого результата использует формальные группы и требует предварительной подготовки, поэтому оно отложено до третьей главы. Еще одним важным результатом, сформулированным в первой главе, является критерий наличия тождества для смэшпроизведений гипералгебры аддитивного формального группового закона и групповой алгебры. Доказательство также отложено до третьей главы. В первой главе мы извлекаем некоторые следствия из этих двух результатов.

Во второй главе рассматриваются смэпт- произведения обще го вида. При изучении групповых и обертывающих алгебр важным инструментом являются так называемые дельта-множества. Обобщая идею Ю.А. Бахтурина и В.М. Петроградского, мы вводим понятие дельта-множеств для действия алгебры Хопфа на ассоциативной алгебре и для некоторого класса алгебр получаем условия конечности на такое действие, необходимые для существования тождества в смэш-произведении, ассоциированном с этим действием. Мы применяем наши результаты для нахождения явного критерия, когда смэш-произведение универсальной обертывающей супералгебры Ли и групповой алгебры над полем характеристики нуль является Р1.

В третьей главе мы используем двойственность П. Картье и формальные группы для доказательства двух вышеупомянутых результатов о гипералгебрах. Интересно отметить, что доказательство первого из них в конечном итоге сводится к применению теоремы Д. Пассмана о групповых алгебрах с тождеством. Доказательство второго результата, помимо двойственности, использует технику, развитую во второй главе.

Четвертая глава посвящена обобщению упомянутого «трюка Шойнерта» для цветных супералгебр Ли на произвольные (Я, /?)-алгебры Ли, где Я — коммутативная и ко коммутативная алгебра Хопфа характеристики, отличной от 2, и ¡3 — кососиммет-рический бихарактер на Я (обобщение «коммутационного фактора» для цветных супералгебр Ли). Желаемая модификация скобки, приводящая к обычной супералгебре Ли, осуществляется с помощью 2-коцикла, который должен для этого удовлетворять некоторому уравнению, в правой части которого стоит бихарактер ¡3. Чтобы показать разрешимость этого уравнения, необходима информация о группе бихарактеров алгебры Хопфа Я. Сначала мы рассматриваем несколько более общий объект, а именно, полихарактеры алгебры Н. Мы явно вычисляем группы полихарактеров для некоторых типов алгебр Хопфа, а затем доказываем общую теорему о возможности извлечения корня степени, не делящейся на характеристику поля, из произвольного полихарактера связной кокоммугативной алгебры Хопфа. В качестве следствия мы получаем искомый результат о бихарактерах в характеристике, отличной от 2. Наконец, мы, в качестве

Введение v иллюстрации, применяем «трюк Шойнерта» для нахождения явного критерия, когда смэш-произведение универсальной обертывающей цветной супералгебры Ли и групповой алгебры над полем характеристики нуль является Pl. Результаты четвертой главы были получены автором в сотрудничестве с Ю.А. Вахтуриньш и С. Монтгомери.

Все упомянутые результаты работы являются новыми. Они опубликованы (или приняты в печать) в следующих статьях:

1) M.Kochc.tov Ou ideutities for coalgebras and Hopf aigebras. Comm. Algebra. 2000. 28. №3. pp.1211-1221

2) Yu.Bahtunn, M.Kochetov, S.Montgomery Folycharacters of cocorrirnutative Hopf aigebras. Canadian Math. Bull. 2002. 45. pp. 11-24

3) M.Kochetov Bicharacters of Hopf Aigebras and Generalized Lie Structures.

Тезисы докл. межд. ал г. сем., посвященного 70-летию НИС МГУ по алгебре. М.: Изд-во мех.-мата МГУ. 2000. с.79-80

4) M.Kochetov PI Hopf aigebras of prime characteristic, J. Algebra , m:3, m.^i.p. Tï-a»

5) M.Kochetov Polynomial ideutities in Hopf aigebras: Passman's theorem and its dual. Groups, Rings, Lie and Hopf Aigebras. Proc. Int. Workshop in St.John's, Newfoundland, May-June 2001. pp.81-96

6) Кочетов M. В. Тождества смэш-произведения универсальной обертывающей супералгебры Ли и групповой алгебры.

Мат. сборник. 2003. 194. №1. с.87-102

7) Кочетов М.В. Тождества в теории алгебр Хопфа. деп. ВИНИТИ РАН №2258-В2002 от 26.12.2002

Автор хотел бы выразить глубокую благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н. профессору Ю.А.Бахтурину за постановку задач, полезные советы и обсуждения, постоянное внимание к работе и ценные комментарии.

Оглавление

Введение 11

Определения и общие факты 1

0.1 Коалгебры и комодули .1

0.2 Биалгебры и алгебры Хопфа.8

0.3 Полиномиальные тождества.14

1 Кокоммутативные алгебры Хопфа с тождеством 17

1.1 Обзор известных результатов .17

1.2 Случай нулевой характеристики.25

1.3 Случай положительной характеристики .32

2 Тождества смэш-произведений 39

2.1 Вводные замечания.39

2.2 Дельта-множества.42

2.3 Смэттг-произведения универсальной обертывающей супералгебры Ли и групповой алгебры.55

3 Степенные ряды и разделенные степени 60

3.1 Некоторые топологические понятия.60

3.2 Гипералгебры и формальные группы.64

3.3 Леммы о степенных рядах.70

3.4 Коприведенные гипералгебры с тождеством коммутативны . . . .74

3.5 Смэгтг-произведения с алгеброй разделенных степеней.82

Определения и общие факты

Пусть к — некоторое поле. Все рассматриваемые нами векторные пространства, алгебры, тензорные произведения и т.п., если не оговорено противное, будут подразумеваться над полем к. Алгебраическое замыкание этого поля мы будем обозначать к.

Все алгебры, если не указано противное, будут подразумеваться ассоциативными, а также имеющими единицу, причем гомоморфизмы алгебр А\ —А2 по определению отображают единицу алгебры Ах в единицу алгебры А2. Модули будут подразумеваться унитальными.

Ъ обозначает множество целых чисел, N — множество положительных целых чисел, и Ъп — %/{п) для п е N. Группа перестановок на п элементах обозначается Бп, и для 7г б 5га полагаем 8§птг = 1, если тх — четная перестановка, и 5§п7г = —1, если 7г — нечетная.

0.1 Коалгебры и комодули

Основные факты о коалгебрах и алгебрах Хопфа будут цитироваться по монографии С. Монтгомери [28], в библиографии которой можно найти ссылки на оригинальные статьи.

Понятие коалгебры является двойственным к понятию алгебры. Прежде всего, выразим аксиомы ассоциативности и единицы в терминах коммутативных диаграмм, чтобы было удобно их дуализовать.

Определение 0.1.1. Алгебра над к (ассоциативная с 1) — это векторное пространство А над к, снабженное такими двумя к-линейными отображениями — умножением тп : А 0 А —>■ А и единицей и : к —> А, что следующие две диаграммы коммутативны: ассоциативность

А® А

А® А

1(1® т

А® А т А т и® 1(1 единица

1(1® и

Определение 0.1.2. Коалгебра над к — это векторное пространство С над к, снабженное такими двумя к-линейными отображениями — коумножением А : С —> С ® С и коединицей е : С —> к, что следующие две диаграммы коммутативны: ко ас с о ни а т явность А С

С® с коединица 01 А

С®С

А ®г(1 £ ® 1(1

ѮѮС

1(1® А

Коалгебра С называется кокоммутативной, если Ас является симметрическим тензором для любого с £ С. Подпространство В с С называется подкоалгеброй, если

АБ с Б® В.

Определение 0.1.3. Пусть С и И — коалгебры с коумножениями Ас и Ад и коеди-ницами ес и £г0 соответственно. Линейное отображение / : С —И называется гомоморфизмом коалгебр, если Ддо/ = (/ ® /) о Ас и ее — ею ° /• Подпространство I С С называется коидеалом, если А1 С I <8> С + С <8> I и е(1) = 0.

Легко проверить, что если I — коидеал в С, то факторпространство С/1 превращается в коалгебру с коумножением и коединицей, индуцированными из С, и обратно.

Связь между алгебрами и коалгебрами устанавливается при помощи взятия двойственного пространства. Если V — векторное пространство, обозначим V* пространство всех линейных функций V —у к. Иногда удобно использовать симметричное обозначение вместо /(г;) для V 6 V и / € У*.

Если С — коалгебра, то С* является алгеброй с умножением га = А* и единицей и = е*. Если С кокоммутативна, то С* коммутативна, и обратно.

Однако если мы начнем теперь с алгебры А, возникает следующая трудность. Если А бесконечномерна, то образ отображения rn* : А* —¥ (А ® А)* не обязан лежать в собственном подпространстве А* <8> А*. Наибольшее подпространство в А*, образ которого содержится в А* ® А*, — это конечное двойственное пространство:

А° = {/ G А* | /(/) = 0 для некоторого I < A, dim А/1 < оо}.

А° — коалгебра с коумножением Л = т* и коединицей е = и* (ограниченными на А°). Если А коммутативна, то А° кокоммутативна.

Замечание 0.1.4. На самом деле функтор ( )° является правым сопряженным функтора ( )*, то есть для любой алгебры А и коалгебры С множества гомоморфизмов Alg(A, С*) и Coalg(C, ,4°) находятся в естественном взаимно-однозначном соответствии (см. [36]).

Замечание 0.1.5. Следует отметить, что коалгебра А° может оказаться слишком маленькой (даже нулевой). А° достаточно велика, чтобы разделять элементы А (иными словами, подпространство А° плотно в А* в смысле топологии из определения 3.1.1), тогда и только тогда, когда алгебра А конечно аппроксимируема, то есть пересечение всех идеалов конечной коразмерности равно нулю.

Следующая лемма описывает связь между подкоалгебрами, коидеалами, идеалами и подалгебрами.

Лемма 0.1.6. 1) Пусть С — коалгебра. a) Подпространство D С С является подкоалгеброй тогда и только тогда, когда D1- = {/ е С* | (f, D) = 0} — идеал алгебры С*. b) Подпространство I С С является коидеалом тогда и только тогда, когда I1 = {f £ С* | </, /) = 0} - подалгебра в С*.

2) Пусть А — алгебра. а) Если В с А — подалгебра, то В1- = {f е А° | (/, В) - 0} — коидеал коалгебры

Ь) Если I С А — идеал, то Г1 = {/ € А0 | (/, I) = 0} — подкоалгебра в А°.

Введем теперь так называемые сигма-обозначения. Пусть С — коалгебра с коумно-жением А : С —у С ® С. Для любого се С мы будем писать:

АС = ®С(2).

Эта запись является символической в том смысле, что С(т) и ср) не являются какими-то определенными элементами С. Скобки в индексах (1) и (2) будут иногда опускаться, если это не может привести к недоразумению.

В сигма-обозначениях аксиома коассоциативносги записывается следующим образом:

ГС0) ® ® С(2)(2) = Х]СП)0) ®С(1)(2, ® так что мы будем писать просто Х!с0) ® С(2) ® С(з) = Повторяя этот процесс, мы можем определить для любого п >2 кратное коумножение

Дпс = 5>(1)®.®С(71).

В этих обозначениях Д2 = А. Иногда удобно также использовать = Ыс и Д0 = £■

Двойственно определению умножения на тензорном произведении алгебр, мы можем ввести коумножение на С ® О, где С, В — коалгебры, по формуле:

Д (с<8> О = ® ¿(1)) ® (С(2) ® б((2)) Ус

Дуализуем теперь понятие (унитального) модуля, сперва записав его определение в терминах коммутативных диаграмм.

Определение 0.1.7. Пусть А — алгебра над к, тогда (левый) А-модуль —это векторное пространство М над к, снабженное таким к-линейным отображением у : А® М М, что следующие две диаграммы коммутативны: и® 1(1

А® А® М тфгА А® М

М ■

А® М гс? ® 7

7 умн. на скаляр

А® М М

Определение 0.1.8. Пусть С — коалгебра над к, тогда (правый) С-комодуль — это векторное пространство М над к, снабженное таким к-линейным отображением р : М —> М ® С, что следующие две диаграммы коммутативны: М м®с м р м®с м® с р®1й

1 ® А м ®с® с

1(1® £

М ® к

Линейное отображение / : М N называется гомоморфизмом (правых) комодулей, если оно коммутирует с р: рн(/(т)) = (/ ® 1й)рм{т), V™ 6 М. Подпространство N С М называется подкомодулем, если р( А") С N ® С.

Существует также версия сигма-обозначений для правых комодулей, а именно: р(т) = ^ ш(о) ® гп(у) £ М ® С.

Аналогично определяются левые комодули с помощью р' : М —> С ® М, и для них удобно писать р'{т) = ® Що) Е С ® М.

Таким образом, и для правых, и для левых комодулей действует правило: гщо) £ М и т^г) £ С при г ф 0.

Следующая теорема конечности [28, теорема 5.1.1] указывает на главное отличие коалгебр и комодулей с одной стороны от алгебр и модулей с другой.

Теорема 0.1.9. Пусть С — коалгебра.

1) Всякий С-комодуль М локально конечномерен, то есть всякое конечное подмножество в М содержится в некотором конечномерном подкомодуле.

2) Всякое конечное подмножество в С содержится в конечномерной подкоалгебре.

Ненулевая коалгебра называется простой, если она не имеет ненулевых собственных подкоалгебр. Из теоремы конечности вытекает, что все простые коалгебры конечномерны, а также что всякая ненулевая коалгебра содержит простую подкоалгебру.

Определение 0.1.10. Пусть С — коалгебра.

1) Корадикал сога<1С — это сумма всех простых подкоалгебр коалгебры С.

2) С называется кополупростой, если согас1С = С.

3) С называется неприводимой, если корадикал сога<1С прост, или, что то же самое, если С содержит единственную простую подкоалгебру. Всякая максимальная неприводимая подкоалгебра в С называется неприводимой компонентой.

4) С точечно, если всякая ее простая подкоалгебра одномерна.

5) С связна, если корадикал согасЮ одномерен.

Если О — простая кокоммутативная коалгебра, то Б* — простая (конечномерная) коммутативная алгебра. Отсюда вытекает, что всякая кокоммутативная коалгебра С над алгебраически замкнутым полем является точечной. Всякая одномерная подкоалгебра О С С имеет вид кд, где д е С — группоподобный элемент, то есть д ф 0 и Ад — д ® д. Различные группоподобные элементы линейно независимы. Множество всех группой одобных элементов коалгебры С обозначается С (С).

Полезны следующие свойства неприводимых компонент [28, лемма 5.6.2 и теорема 5.6.3].

Лемма 0.1.11. Пусть С — коалгебра.

1) Всякая неприводимая подкоалгебра алгебры С содержится в единственной неприводимой компоненте.

2) Сумма различных неприводимых компонент является прямой.

3) Если С кокоммутативна, то С есть прямая сумма своих неприводимых компонент. ■

Введем теперь исключительно важную корадикалъную фильтрацию для произвольной коалгебры С. Положим С0 = сога<1С и для всякого целого и > 0 определим по индукции:

Сп = А~\С®Сп-г +С0®С).

Оказывается (см. [28, теорема 5.2.2]), что {Сп} — фильтрация коалгебры, то есть

Сп С Сп+\ и п>0 п

АСп

Замечание 0.1.12. Вышеуказанное условие — это в точности то, что требуется, чтобы превратить ассоциированное градуированное пространство С8Г = фга>оСп/Сп-1 (с Сг=0) в коалгебру.

Пример 0.1.13. Пусть С — связная коалгебра, то есть пространство С0 одномерно. Обозначим 1 единственный группоподобный элемент С0 (хотя пока у нас нет никакого умножения). Пусть Р{С) — множество всех примитивных элементов коалгебры С, то есть всех х е С с Ах — х ® 1 4- 1 <8> х. Тогда Р(С) является подпространством и Сг = Ь1 © Р{С) [28, лемма 5.3.2].

Оказывается, что согас!С — это наименьшее подпространство, с которого может начинаться фильтрация коалгебры С [28, лемма 5.3.4]:

Лемма 0.1.14. Пусть С — коалгебра и {Вп}п>о — произвольная фильтрация коалгебры С. Тогда В0 Э согас1С. ■

Отсюда, в частности, следует, что /(согас1С) 3 согасШ для любого сюръективного гомоморфизма коалгебр / : С —О. ■

В заключение этого раздела упомянем еще одно фундаментальное свойство коради-кальной фильтрации [28, теорема 5.3.1].

Теорема 0.1.15. Пусть С и Б — коалгебры и / : С П — гомоморфизм коалгебр. Если ограничение /\сг иньективно, то / инзектшен. И

Следствие 0.1.16. Если С связна и / : С —» И — такой гомоморфизм коалгебр, что ограничение f\p(c) иньективно, то / инъективен. И

0.2 Биалгебры и алгебры Хопфа

Теперь мы совместим структуры алгебры и коалгебры в одном объекте.

Определение 0.2.1. Векторное простанство В называется биалгеброй, если (В,т,и) — алгебра, (В, Л,е) — коалгебра, причем А и е являются гомоморфизмами алгебр, или, что равносильно, т и ч являются гомоморфизмами коалгебр.

Естественно, гомоморфизм биалгебр — это отображение, являющееся одновременно гомоморфизмом алгебр и гомоморфизмом коалгебр. Подпространство О С В называется подбиалгеброй, если оно одновременно подалгебра и подкоалгебра. Аналогично, подпространство I С В называется биидеалом, если оно одновременно идеал и коидеал. Факториространство В/1 превращается в биалгебру в точности тогда, когда I — биидеал в В.

Последним ингредиентом, необходимым, чтобы определить алгебру Хопфа, является сверточное произведение. Если С — коалгебра и А — алгебра, то пространство всех линейных отображений Нотцс(С, А) превращается в (ассоциативную) алгебру относительно свертки: * в)(с) = (тА о (/ (8) д) о Ас)с = /(С(1))^(С(2)) для любых /, д € Нотк(С, А), с Е С. Единицей алгебры Нотк(С, А) является ид о ес.

Замечание 0.2.2. Определенное ранее умножение алгебры С* — это не что иное, как свертка на Ноть(С,1к) = С*.

Определение 0.2.3. Пусть (Н,т,и, А,е) — биалгебра. Тогда Я называется алгеброй Хопфа, если существует элемент 5 е Нош (Л", Я), являющийся обратным к ¿¿я относительно свертки, то есть

Очевидно, если такой Б существует, то он единственный. 5 называется антиподом алгебры Хопфа Я.

Естественно, отображение f : Н К алгебр Хопфа называется гомоморфизмом алгебр Хопфа, если оно является гомоморфизмом биалгебр и /(5яЛ) = БкЦ^) для всех /1 6 Я. Подпространство Б С Н называется подалгеброй Хопфа, если оно является подбиалгеброй и БО с П. Из единственности обратного элемента вытекает, что если Ос. Н — подбиалгебра, имеющая свой собственный антипод ¿о, то на самом деле И — подалгебра Хопфа и вц = Подпространство / С Н называется идеалом Хопфа, если оно является биидеалом и 5/ С /. В этом случае Н/1 — алгебра Хопфа со структурой, индуцированной из Я. Наибольший идеал Хопфа — это дополняющий идеал Н+ = Кеге.

Заметим, что антипод всегда является антигомоморфизмом алгебр:

5(1) = 1, = и антигомоморфизмом коалгебр: е(к), (5%) ® (^Ь) = ® 5(/г(1)) УЛ £ Я.

Если Н коммутативна или кокоммутативна, то 52 = гс! (относительно композиции). Вообще говоря, антипод 5 не обязан даже быть инъективным или сюръективным.

Рассмотрим классические примеры алгебр Хопфа.

1) Групповая алгебра к(? произвольной группы О, где Ад = д ® д, е(д) = 1, Бд = </-1 для всех д € С (и продолжены по линейности).

2) Универсальная обертывающая алгебра ЪТ{Ь) произвольной алгебры Ли Ь, где Да; = ж<Е>1 + 1®а;, е(х) — 0, вх = —х для всех х 6 Ь (и продолжены до гомоморфизмов алгебр по универсальному свойству).

3) Алгебра регулярных функций 0((7) на любой аффинной алгебраической группе (7, где Д : С?(<?) —б>((7х(У) = О (О)® О (О) соответствует групповому умножению <7 х <7 <7, то есть (Д/)(я, у) = /(жу), и, далее, гг(/) = /(е), (5/)(ж) = /(ж-1) для всех / € 0(<7), ж, у е С.

Алгебры Хопфа первых двух типов ко коммутативны, третьего — коммутативны.

Рассмотрим для произвольной алгебры Хопфа /Г множество С?(//) всех группопо-добных элементов. Это группа относительно умножения алгебры Н, так что Н содержит групповую алгебру кО(Я) (конечно, группа <?(Я) может оказаться тривиальной).

Множество Р(Н) всех примитивных элементов образует алгебру Ли относительно коммутатора [я, у] = ху — ух.

Замечание 0.2.4. Набор аксиом биалгебры или алгебры Хопфа является самодвойственным, так что не удивительно, что если (Н,т,и, — биалгебра, то

Я°,Д*,е*,т*,и*) тоже биалгебра, и если Н — алгебра Хопфа с антиподом 5, то Н° — алгебра Хопфа с антиподом Б* [28, теорема 9.1.3]. Нам приходится использовать здесь конечное двойственное пространство Я0 вместо полного двойственного пространства Я*, если мы хотим иметь коумгюжение на двойственном объекте.

Пусть Я — биалгебра и V — векторное пространство. Мы можем превратить V в «тривиальный» (левый) Я-модуль, полагая для всех Н € Я, V е V е(Ь)г>. (0.2.1)

Мы можем также превратить V в «тривиальный» (правый) Я-комодуль, полагая для всех V € V р{ь) = V ® 1. (0.2.2)

Если теперь V — произвольный левый Я-модуль, элементы V £ V, удовлетворяющие (0.2.1) для всех Н € Я, называются инвариантами. Аналогичное определение может быть дано для правых модулей. Множество всех инвариантов обозначается 11V для левого модуля V и Vя — для правого модуля.

Если V — правый Я-комодуль, элементы V Е V, удовлетворяющие (0.2.2), называются коинвариантами. Множество всех коинвариантов обозначается УсоН для правого комодуля и соИ¥ для левого комодуля.

Для произвольной алгебры Хопфа Н мы можем определить следующие действия и кодействия Я на себе самой:

1) левое присоединенное действие: (а<^/&)(&) = Для всех Ъ>,к € Н;

2) правое присоединенное действие: (аЛТК)(к) = для всех 1г,к е Я;

3) левое присоединенное кодействие: р^Ы) = £ к^БН^) ® Л(2) для любого к е Я;

4) правое присоединенное кодействие: рт{10 = ® Для любого /г е Я.

Определение 0.2.5. Подалгебра Хопфа К С Я называется нормальной, если (ас^Я)К с К и (аё,тН)К С -ЙТ. Идеал Хопфа / С Я называется нормальным, если /9;(/) С Я® / и /эг(7) С / ® Я.

Очевидно, в случае коммутативной Я все подалгебры Хопфа нормальны, а в случае кокоммутативной Я все идеалы Хопфа нормальны.

Имеется следующее естественное соответствие между нормальными подалгебрами Хопфа К С Я и нормальными идеалами Хопфа / С Я. Если К С Я — нормальная подалгебра Хопфа, то НК+ = Я+Я — нормальный идеал Хопфа. Обратно, если I С Я — идеал Хопфа, рассмотрим Я как правый Я /Г-ко модуль с помощью

Я Я ® Я// : Л ^ Л(1) <Э (/1(2) + Л > и аналогично как левый комодуль. Таким образом, мы можем определить пространства правых и левых Я//-коинвариантов в Я: #соЯ/А и соЯ/7Я. Если I нормален, то сон/1 и ¿¿соя/! н0рмальная подалгебра Хопфа. Известно, что описанные отображения являются взаимно-обратными бнекциями по крайней мере в следующих случаях: если Я конечномерна или коммутативна или имеет ко коммутативный корадикал (см. [28, раздел 3.4|).

Если V, И7 — левые Я-модули, то V® IV превращается в левый Я-модуль с помощью

Н ■ {V ® ад) = • у) ® (Л(2) - ад) \/Н е Н, V Е V, и) £ IV.

Если У, — правые Я-комодули, то V ® И/' превращается в правый Я-комодуль с помощью р(ь ® = ® гУ(0)) <8> ^(1)^(1) V?; <Е V, ги е Ж

Определение 0.2.6. Пусть А — алгебра (не обязательно ассоциативная) и Я — алгебра Хопфа.

1) А называется (левой) Н-модулъной алгеброй, если она является (левым) Я-модулем и выполняются условия: г • 1 = е(/г) 1 УЛ е Я (если имеется 1) и

Н ■ (аЬ) = ^(/¿(1) • а)(Л(2) • Ь) УЛ е Я, о, Ь е А.|

2) Л называется (правой) Н-комодульной алгеброй, если она является (правым) Я-комодулем с помощью р : Л —» л ® Н и выполняются условия: р(1) = 1 ® 1 (если имеется 1) и р{аЪ) = ^ а(о)6(о) <8> а(1)6(1) \/а, Ь € Л.

Замечание 0.2.7. Вышеуказанные условия для Я-модульной алгебры Л означают, что умножение А <Э Л —»• А и единица к —у А являются гомоморфизмами модулей. Условия для Я-комодульной алгебры можно понимать двояко: умножение А® А —» А и единица к -» А — гомоморфизмы комодулей, либо, что равносильно, р — гомоморфизм алгебр (с 1).

Заметим, что присоединенные действия и кодействия превращают Я в Я-модульную и Я-комодульную алгебру, соответственно.

Нам потребуется еще одно понятие из теории алгебр Хопфа, а именно скрещенное произведение.

Определение 0.2.8. Пусть Я — алгебра Хопфа и А — алгебра. Допустим, что Я измеряет А, то есть задано линейное отображение Я ® А А : Н® а —> И ■ а, удовлетворяющее /г • 1 = г(Л)1 и /г • (аЬ) = " ' 6) Для всех Ь £ Н, а,Ь £ А. Допустим также, что линейное отображение а : Я ® Я —» А обратимо относительно свертки. Скрещенное произведение А#аН — это А ® Н как векторное пространство, снабженное умножением по формуле: для всех И, к £ Н и а,Ь е А, где мы пишем афИ вместо а ® /г.

Следующие условия на • и a необходимы и достаточны, чтобы скрещенное произведение Афо-Н было ассоциативной алгеброй с единицей 1#1 [28, раздел 7.1]:

1) А — «подкрученный» Я-модуль, то есть 1 • a = a и h-(k'd) = cr(/¿(i), fc(i))[(A(2)A(2)) • «l^-1 (Л(з), А(з)) для всех h, к E Я, a E A;

2) o — (левый) 2-коцикл, то есть a(h, 1) = <т(1 ,h) — e(h) 1 и i • i), m(1))]o-(/i(2), A(2)m(2)) = fco))a(/t(2)fc(2), m) (0.2.3) для всех h, k,m E tí.

Заметим, что если H кокоммутативна, а А коммутативна (или a принимает значения в центре А), то А является просто Я-модульной алгеброй. Еще один важный частный случай возникает, если мы предположим коцикл a тривиальным, то есть a(h, к) = e(h)e(k) 1 для всех h,k Е Н. Тогда снова А — Я-модульная алгебра, и скрещенное произведение А#0Н с таким a называется «смэш-произведением» (от англ. «smash product») и обозначается просто АфН.

Следующая теорема разложения для точечных кокоммутативных алгебр Хопфа [28, раздел 5.6] была получена независимо рядом авторов, включая Б. Костанта, П. Картье и П. Габриэля.

Теорема 0.2.9. Пусть Н — точечная кокоммутативная алгебра Хопфа над к. Пусть G = G{H) — группа группоподобных элементов и Hi -■- неприводимая компонента простой подкоалгебры kl. Тогда G действует на Н\ сопряжением (которое является левым присоединенным действием в этом случае) и Н изоморфна (как алгебра) смэш-произведению Hi#kG посредством отображения h#g —> hg. Более того, если char к = 0, то Hi = U(L), где L = Р(Н) — алгебра Ли примитивных элементов. В

В завершение этого раздела рассмотрим следующий важный пример.

Пример 0.2.10. Опишем, что такое Я-комодули в случае Я = kG — групповая алгебра некоторой группы G. Как нетрудно видеть непосредственно из определения, всякий правый) к(?-комодуль V разлагается в прямую сумму подпространств: = ф уд> ГЛ€ Уд = (уЕУ | р(ь) = у®д}. дев

Таким образом, V может рассматриваться как С-градуированное векторное пространство. Обратно, всякое С - градуированное пространство можно превратить в кбг-комодуль, полагая р(ь) = для всякого однородного вектора V степени д (и затем расширяя по липейиосги). Таким образом, кС-комодули — это то же самое, что ^-градуированные пространства. Как нетрудно видеть из определения, к(7-комодульные алгебры при этом соответствуют (?-градуированным алгебрам.

0.3 Полиномиальные тождества

Пусть А — (ассоциативная) алгебра над полем к.

Определение 0.3.1. Пусть F(X1,., ХТ1) — многочлен от п пеком мутирующих переменных с коэффициентами из к. Мы говорим, что А удовлетворяет тождеству F = 0 (или просто F), если

Р{аъ.,ап) =0 \/аь.,ап <= А

А называется Р/-алгеброй, если она удовлетворяет тождеству F = 0 для некоторого ненулевого многочлена F.

Благодаря следующей теореме [20, предложение 4.2.3] и [23, раздел 1.3], полиоднородные (то есть однородные по каждой переменной) и особенно полилинейные (то есть линейные по каждой переменной) тождества исключительно важны в Р1-теории.

Теорема 0.3.2. Пусть А — алгебра над полем к и^ - ненулевой многочлен от неком-мутирующих переменных степени (I, являющийся тождеством для А.

1) Если к бесконечно (или содержит более (I элементов), то всякая полиоднородная компонента F является тождеством для А.

2) Алгебра А удовлетворяет нетривиальному полилинейному тождеству степени < д. Более того, если сЬаг к = 0 (или сЬагк > <1), то F равносильно (конечной) системе {i^} полилинейных тождеств, то есть любая алгебра, удовлетворяющая F, удовлетворяет и всем Fi, и обратно. Л

Следствие 0.3.3. Пусть А — алгебра с 1 над бесконечным полем. Если А удовлетворяет тождеству, не являющемуся следствием тождества коммутативности ХгХ2 - Х2ХЪ то А = 0. ■

Стандартным тождеством степени п называется следующий полилинейный многочлен:

Например, = Х\Х2 — Х2Хг — тождество коммутативности.

Поскольку многочлен sn полилинеен и кососимметрен (то есть обращается в нуль при подстановке X¿ = Xj при i ф j), всякая конечномерная алгебра А удовлетворяет тождеству sn = 0 для любого п > dimA. Например, алгебра матриц Мп(к) удовлетворяет тождеству sn2+i = 0. Классическая теорема Амицура-Капланского-Левицкого (см. [23] или [20]) находит минимальную степень тождества для Mn(k).

Теорема 0.3.4. Алгебра матриц Мп(к) удовлетворяет стандартному тождеству S'¿n = 0. Она не удовлетворяет никакому нетривиальному тождеству степени, меньшей 2п. ■

Наконец, очевидно, что если алгебра А удовлетворяет полилинейному тождеству F и В — коммутативная алгебра, то А 0 В тоже удовлетворяет тождеству F. В частности, Мп(В) удовлетворяет s2n для всякой коммутативной алгебры В. Мы получаем также, что если А — РГ-алгебра и В — коммутативная алгебра, то А® В является PI. Следующая теорема А. Регева сильно обобщает это наблюдение (см., например, [1]).

Теорема 0.3.5. Если А и В являются PI, то и А® В является PI. ■

Пусть алгебра А градуирована некоторой группой G. Тогда однородная компонента А\ степени 1 является подалгеброй в А, так что если А является PI, то и А2 является PI. Теорема Дж. Бергена и М. Коэн [16] утверждает, что в случае конечной группы G верно и обратное.

Теорема 0.3.6. Пусть (ассоциативная) алгебра А градуирована некоторой конечной группой G. Если однородная компонента А\ является PI-алгеброй, то и вся алгебра А является PJ. Более того, как показано в [11] (см. также обобщения в [13]), степень тождества, выполняющегося в А, зависит только от степени тождества в A-¡ и порядка группы G. ■

Пусть Т — свободная ассоциативная алгебра (с 1) от счетного числа порождающих Хх, X-¿, ■ ■ -• Тогда ?.w.:;cc полиномиальное тождество F, вне зависимости от числа встречающихся переменных, может рассматриваться как элемент Т. Если А — произвольная (ассоциативная) алгебра, то множество Т(А) всех тождеств, выполняющихся в Л, является идеалом в Т, инвариантным относительно всех эндоморфизмов алгебры Т. Такие идеалы называются Т-идеалами.

Определение 0.3.7. Пусть S — подмножество в 3~. Многообразием алгебр, определенным системой тождеств S, называется класс Var(S') всех алгебр, удовлетворяющих каждому тождеству из S.

Имеется следующее взаимно-однозначное соответствие между многообразиями алгебр и Т-идеалами. Если 21 — многообразие, определенное некоторой системой тождеств S С J-, то множество 1(21) всех тождеств, выполняющихся в каждой алгебре из 21, является Т-идеалом, порожденным S (то есть наименьшим Т-идеалом, содержащим S). Иными словами, Т-идеал, порожденный S, состоит из всех возможных следствий системы тождеств S. Следовательно, если J С Т — Г-идеал, то для многообразия 21 = Var(J) имеем Z(2l) = J. Обратно, если 21 — многообразие алгебр, то, очевидно, 21 = Уаг(Г(21)).

Определение 0.3.8. Зафиксируем многообразие 2Í. Пусть X = {Хг j г € /} — множество переменных, индексированных множеством I любой мощности. Алгебра U, содержащая X, называется относительно свободной алгеброй многообразия 21 с множеством порождающих X, если U G 21 и для любой алгебры A G 21 и любого семейства {a¿}¿e/ элементов А существует единственный гомоморфизм алгебр '-р : U —А с </?(X¿) = a¿ для всех i £ I.

Такая алгебра существует и единственна с точностью до изоморфизма над X.