Алгебры Хопфа с одним неприводимым, неодномерным представлением тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова»

Спиридонова Софья Юрьевна

АЛГЕБРЫ ХОПФА С ОДНИМ НЕПРИВОДИМЫМ, НЕОДНОМЕРНЫМ ПРЕДСТАВЛЕНИЕМ

01.01.06: математическая логика, алгебра и теория чисел

На правах рукописи

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

13 ФЕВ 2014

Москва, 2014

005545116

005545116

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры Механико-математического факультета ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Артамонов Вячеслав Александрович Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Туганбаев Аскар Аканович, ФГБОУ ВПО «Российский экономический университет имени Г.В.Плеханова»; кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Облезин Сергей Викторович, ФГБУ «ГНЦ РФ ИТЭФ» Ведущая организация: ФРАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет»

Защита диссертации состоится 28 февраля 2014 года в 16 часов 45 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.84, созданного на базе ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова», по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 14-08. С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова» (Москва, Ломоносовский проспект, д.27, сектор А, 8 этаж). Автореферат разослан 28 января 2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.84, созданного на базе МГУ,

профессор л Александр Олегович Иванов

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования

Диссертация посвящена исследованию в области теории алгебр Хопфа. Рассматривается структура полупростых конечномерных алгебр Хоифа с одним неодномерным неприводимым представлением при некоторых ограничениях на группу обратимых элементов в дуальной алгебре Хоифа. При этом иоле, над которым рассматриваются такие алгебры Хопфа, предполагается алгебраически замкнутым с характеристикой, не делящей размерность алгебры.

В течение последних десятилетий большим интересом пользуется классификация конечномерных алгебр Хоифа над алгебраически замкнутыми полями. Для некоторых размерностей эта задача к настоящему времени уже полностью решена, например, для размерностей р, р2 и 2р2, где р — простое, классификация алгебр Хопфа была получена в работах И.Чу1, С.Х.Нг2, М.Хильгеман3, А.Масуока4 5. Большой прогресс в решении данной задачи достигнут также и для некоторых других размерностей, например, в работе П.Этингофа6.

Особенно большой интерес представляет классификация конечномерных полупростых алгебр Хонфа. Известно, что все нолуиростые (ко) коммутативные алгебры Хоифа являются групповыми алгебрами или

'Y. Zhu, Hopf algebras of prime dimension, Internat. Math. Res. Notices 1 (1994), 53-59 St>.-H. Ng, Non-semisimple Hopf algebras of dimension p2, J. Algebra 255 (2002), 182-197

3M. Hilgemann, S.-H. Ng, Hopf algebras of dimension 2p2, J. London Math. Soc. 80 (2009), 295-310

4A. Masuoka, Thepn theorem for semisimple Hopf algebras, Proc. Amer. Math. Soc. 124 (1996), 735-737

6A. Masuoka, Some further classification results on semisimple Hopf algebras, Comm. Algebra 24 (1996), 307-329

6P. Etingof, S. Gelaki, Semisimple Hopf algebras of dimension pq are trivial, J.of Algebra 210 (1998), №2, 664-669

дуальными к ним 7. Однако вопрос о не (ко)коммутативных алгебрах Хонфа еще не решен. Полунростые алгебры Хопфа с лишь одним неодномерным неприводимым слагаемым реализуют наиболее простой некоммутативный случай. Что касается алгебр Хопфа следующего по сложности класса, а именно с несколькими неодномерными неприводимыми слагаемыми попарно различных размерностей, их классификация была сведена в работе В.А.Артамонова8 к случаю одного неодномерного неприводимого слагаемого.

Одномерные слагаемые в полупростом разложении соответствуют обратимым элементам двойственной алгебры Хопфа7. Если ограничиться рассмотрением алгебр с лишь одним неодномерным неприводимым слагаемым, то любая такая алгебра над алгебраически замкнутым нолем к имеет вид

H = ®fceGkeh © Mat(n, к) , (1)

где G = G(H*) — группа обратимых элементов #*, а множество {е^, h е G} является системой ортогональных центральных идемпотентов в Н.

Всюду далее поле к подразумевается алгебраически замкнутым с характеристикой, не делящей размерность алгебры.

Полупростые алгебры Хопфа над такими полями были рассмотрены в общем виде в работе В.А.Артамонова9. Коумножение в Я с одним неодномерным неприводимым слагаемым имеет вид

Д(аО =

X) {{h -^x)®eh + eh®(x¿- h)] + А'(х) , т е Mat(n,к)

fteG

X) е/ ® e¡-íh + Ah , X = eh

/ее

TS. Montgomery, Hopf Algebras and Their Actions on Rings, Providence HI, 1993.

8V.A. Artamonov, On semisimple Hopf algebras with few representations of dimension greater than one, Revista de la Unión Matemática Argentina 51 (2012), №2, 91-105

9B.A. Артамонов, О полупростых конечномерных алгебрах Хопфа, Мат. сборник 198 (2007), №9, 3-28

где

Ah = [1 ® (/Г1 = [(¿- /Г1) ® 1]Аа 6 Mat(n, к) ® Mat(n, к)

для всех h G G, А\ соответствует единице в группе G,

А' : Mat (га, к) —> Mat (га, к) ® Mat(n,k)

— гомоморфизмом алгебр, не сохраняющий единицу. При этом левое и правое действия / —х и х f элементов / е Н* на х € H задаются но правилу:

Здесь суммирования ведутся по всем слагаемым в А(х), где я;^) является собирательным обозначением для первого слагаемого, Х(2) - собирательным обозначением для второго слагаемого, а (/, х) обозначает значение / е Н* на х £ Н.

Кроме того, порядок (3 — С?(#*) делит п2, поскольку число одномерных слагаемых делит размерность алгебры7, и сНт(Я) = |С?| + га2.

Случай максимального порядка, |С?| = п2, реализуется тогда и только тогда, когда Л' = 0. В этом случае алгебра Хопфа принадлежит либо симметрической, либо кососимметрической серии9.

Кроме того, в работе10 доказано существование алгебр Хопфа симметрической серии с |(?(Я*)| = га2 для любого п > 1.

Случай кососимметрической серии был рассмотрен в диссертации Р.Б. Мухатова11, где было показано существование алгебр Хопфа кососимметрической серии для любого четного га.

"Р.Б. Мухатов, Строение полупростых алгебр Хопфа, кандидатская диссертация, МГУ, 2012.

если

то

/ -А х = Y^XW{f, Ж(2)), £■<-/ = (Л Я(1))Я(2) •

Кроме этого, в диссертации Р.Б. Мухатова11 рассмотрены идеалы и фактор-алгебры алгебр Хопфа с |G(//*)| — п2 и получено их описание.

■ Как будет показано в Главе 4, идеалы алгебр Хопфа, рассматриваемых в настоящей работе, имеют аналогичную структуру.

Возвращаясь к случаю Д' ф 0, необходимо отметить, что порядок группы G равен nq, где q делит тг9.

В настоящей работе исследуется случай минимального порядка |G| = п, и группа G предполагается наиболее простой, циклической. Кроме того, предполагается симметричность Д'(E).

Случай циклической группы G произвольного порядка п обобщает случай алгебр типа (1,р;р, 1), то есть алгебр с простым п = р. Этот случай был

■ полностью описан в работе С.Натале11, где было доказано, что при р > 2 выполнено р = 2? — 1 для некоторого натурального /.

Основным результатом этой диссертации показано, что алгебры Хопфа с вышеперечисленными условиями могут существовать лишь при п = ¡/ - 1 и лишь в специфическом, обобщенно кокоммутативном виде. А именно, будем называть алгебру Хопфа рассматриваемого типа обобщенно кокоммутатпивной, если для любых индексов г, j, k, I, р, q симметричные коэффициенты и w*^ равны или не равны нулю одновременно. Здесь коэффициенты of¿lvq определяют гомоморфизм алгебр Д':

п

Д'(Яц)= Е (2)

k,l,p,q—l

Алгебру, не являющуюся обобщенно кокоммутативной, будем называть сильно некокоммутпатпивной.

nS. Natale, J.Y. Plavnik, On fusion categories with few irreducible degrees, ArXiv: 1103.23402, (2011).

Цель работы

Целью работы является продвижение в решении задачи о классификации не(ко)коммутативных нолупростых конечномерных алгебрах Хопфа и получение новых результатов касательно структуры подобных алгебр Хопфа. Задачи работы:

• Описание структуры алгебр Хопфа с полуиростым разложением

H = Флб0кел ® Mat(n, к),

в предположении

G=(g)n, А'{Е) =гоД'(й), (3)

где g — образующий элемент циклической группы G порядка тг, Е — единичная матрица из Mat(n, k), а г переставляет тензорные сомножители.

• Исследование (не)кокоммутативности таких алгебр Хопфа.

• Нахождение размерности таких алгебр Хопфа.

Научная новизна

Полученные в диссертации результаты являются новыми, полученными автором самостоятельно. Основные результаты диссертации следующие.

• В алгебрах Хопфа с полупростым разложением

H = ©леске,, © Mat(n, к),

в предположении

G = <3)", А'(Е) = г о А'(Е), 5

где д — образующий элемент циклической группы б порядка п, Е — единичная матрица из Ма^п, к), а г переставляет тензорные сомножители, доказана мономиальность матрицы сопряжения в антиподе и однозначная определенность матриц сопряжения в левом и правом действиях группы обратимых элементов на матричную компоненту Ма^п,к).

Получено описания структуры гомоморфизма Д', составляющей части коумножения.

Доказано, что не существует алгебр Хопфа рассматриваемого вида при четном порядке группы обратимых элементов в дуальной алгебре Хопфа и антиподе, транспонирующем элементы матричной компоненты полупростого разложения.

Описание антипода рассматриваемых алгебр Хопфа в зависимости от четности порядка группы обратимых элементов.

Построена естественная взаимосвязь таких алгебр Хопфа с конечными полями (точная формулировка дана в разделах 3.1.1-3.1.2), и показано, что указанные алгебры Хопфа существуют лишь при п — рк — 1, где п — порядок группы обратимых элементов в дуальной алгебре Хопфа, р — простое, а к — натуральное.

Доказана кокоммутативность рассматриваемых алгебр Хопфа с точностью до числовых коэффициентов в коумножении и антииоде. Кроме того, в случае нечетного п получен более сильный результат, а именно, что такая алгебра Хопфа кокоммутативна с точностью до знаков числовых коэффициентов в коумножении, то есть шЙ — ±шг\,.

Теоретическая и практическая значимость

Работа имеет теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в различных задачах высшей алгебры, алгебраической геометрии, линейной алгебры, теории групп.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

• В алгебрах Хонфа с полуиростым разложением

Н - @hzGkeh Ф Mat(n, к),

в предположении

G =(</)", А'(Е)=тоА'(Е),

где д — образующий элемент циклической группы G порядка п, Е — единичная матрица из Mat(n, к), а т переставляет тензорные сомножители, доказана мономиальность матрицы сопряжения U в антииоде и однозначная определенность матриц сопряжения Ah, В/,, /г е G в левом и нравом действиях группы обратимых элементов на матричную компоненту Mat(n, к).

• Построена естественная взаимосвязь таких алгебр Хопфа с конечными нолями (точная формулировка дана в разделах 3.1.1-3.1.2), и показано, что указанные алгебры Хопфа существуют лишь при п = ph — 1, где п — порядок группы обратимых элементов в дуальной алгебре Хопфа, р — простое, а к — натуральное,

• Доказана кокоммутативность рассматриваемых алгебр Хоифа с точностью до числовых коэффициентов в коумножении и антиподе.

Кроме того, в случае нечетного п получен более сильный результат, а именно, что такая алгебра Хопфа кокоммутативна с точность до знаков числовых коэффициентов в коумножении, то есть =

Апробация результатов

Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на научно-исследовательских семинарах:

• семинар «Кольца и модули» кафедры высшей алгебры МГУ (неоднократно, 2010 — 2013 гг.);

• семинар «Теория матриц» кафедры высшей алгебры МГУ (2011 г.);

• семинар «Дополнительные главы алгебры» кафедры высшей алгебры МГУ (2010 г.).

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на разделы (нумерация разделов подчинена нумерации глав, нумерация теорем подчинена нумерации разделов) и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 83 страницы, список литературы включает 36 наименований, из которых 2 наименования — публикации автора по теме диссертации.

Публикации

Основные результаты диссертации были опубликованы в 2-х работах автора, входящих в список ВАК, список которых приведен в конце автореферата.

Краткое содержание работы

Во введении к диссертации дается краткое изложение истории вопроса, показана актуальность темы и сформалированы основные результаты. Кроме того, во введении даны описание структуры диссертации и ее краткое сожержание, а также приведены выносимые на защиту положения.

В Главе 1 получено детальное описание коумножения и антипода рассматриваемых алгебр Хопфа. Её первый раздел 1.1 содержит некоторые вспомогательные определения и утверждения. В разделе 1.2 рассматриваются матрицы сопряжения II и Ад, В^, к е б, определяющие антипод и действия группы обратимых элементов на элементы матричной компоненты алгебры Хопфа Я. С помощью формул Ньютона и Виета для симметрических многочленов в 1.2.1 доказывается однозначная определенность матрицы Ад, где д — образующий элемент циклической группы (7 обратимых элементов в дуальной алгебре Хопфа. А именно, перестановкой элементов базиса можно добиться

с точностью до обратимого числового коэффициента из ноля. Здесь е — перевообразный корень степени п из единицы. Из этого и нескольких других свойств рассматриваемых алгебр Хопфа в подразделах 1.2.2 и 1.2.3 показывается, что матрица Вд диагональна в том же базисе и, кроме того,

где перестановка а является произведением транспозиций и, следовательно, обратна самой себе.

В разделе 1.3 с помощью некоторых переформулировок свойств расматриваемых алгебр Хопфа установлена структура гомоморфизма Д', а

п

п

именно, при использовании формализации

п

Д\Еа)= £ верно следующее (Теорема 1.3.2):

Теорема. В алгебре Хопфа рассматриваемого вида (1) с условиями (3) для любых г и] в разложении (2) есть ровной—1 ненулевой коэффициент. При этом

1) для любого к^г ровно один коэффициент отличен от нуля;

2) для любого рф1 ровно один коэффициент отличен от нуля;

3) для любого I j ровно один коэффициент отличен от нуля;

4) для любого ц ф з ровно один коэффициент отличен от нуля.

Глава 2 посвящена свойствам обобщенной кокоммутативности и сильной некокоммутативности и содержит доказательства ряда утверждений касательно таких классов алгебр Хоифа. В частности, в разделе 2.1.1 показано отсутствие алгебр Хопфа рассматриваемого вида при четном порядке группы обратимых элементов в дуальной алгебре Хопфа и антиподе, транспонирующем элементы матричной компоненты полунростого разложения (1). Доказано следующее утверждение (Теорема 2.1.1):

Теорема. Если п четно, а матрица II диагональна, то соответствующих ей алгебр Хопфа рассматриваемый вида (1) с условиями (3) не существует.

А также получено описание матрицы 17, определяющей антипод (Теорема 2.1.2):

Теорема. Если алгебра Хопфа Н вида (1) с условиями (3) обобщенно-кокоммутативна, то в случае нечетного п соответствующая матрица [I

диагонаяъна, а в случае четного п матрица II имеет вид

и —

(

±Т О

О т

, где Т — диагональная матрица.

В разделе 2.1.2 показано, что кокоммутативные алгебры Хопфа являются обобщенно-кокоммутативными, т.е. использование данного понятия действительно обосновано, и, кроме того, существование обобщенно-кокоммутативной алгебры Хоифа рассматриваемого вида при некотором п влечет за собой существование некоторой кокоммутативной алгебры Хопфа при том же самом п.

Основываясь на этом, в разделе 2.2.1 показано, что обобщенно-кокоммутативные алгебры Хопфа рассматриваемого вида существуют только ири п = р! — 1, где р — простое, / — натуральное, что является обобщением известного аналогичного факта для кокоммутативных алгебр Хопфа вида (1). Также в разделе 2.2.1 предложена конструкция гомоморфизма Д' для кокоммутативных алгебр Хопфа вида (1) ири п = 2^ — 1, где / — натуральное. В заключение, эти рассуждения иллюстрируются в разделе 2.2.2 примерами трех алгебр Хопфа, построенных в данной работе для п — 3, п = 4 и п = 7, в дополнение к известному примеру групповой алгебры симметрической группы третьей степени.

В Главе 3 ставится задача применения полученных результатов для доказательства существования или отсутствия сильно некокоммутативных алгебр Хопфа рассматриваемого вида. Так, в разделе 3.1.1 показано, что каждой алгебре Хоифа Я вида (1) с условиями (3), сИт(Я) = п(п + 1), соответствует естественным образом некоторая мультипликативная группа Мн порядка п+1, умножение в которой задается коумножением в Я. А именно, рассматривается множество Ме = {е, 1,2, ...,п}, на котором можно ввести операцию умножения, естественным образом связанную с

коумножением в алгебре Хонфа Я. Пусть к,р е М6. Положим г, такое что шгкгкрр ф 0, если к,рф е,кф сг(р)

к*нР= <

б, если к,р ф е,к = а(р) к, если р — е р, если к = е

Тогда как показано в разделе 3.1.1 структура Мц = (М£,*#) — группа относительно операции *ц. Кроме того, на группе Мц можно ввести операцию сложения, связанную с умножением посредством некоторых свойств, аналогичных свойству дистрибутивности. Далее в разделе 3.1.1 доказывается, что алгебра Хопфа Я обобщенно кокоммутативна тогда и только тогда, когда соответствующая мультипликативная группа Мн абелева. В разделе 3.1.2 рассматривается обратная ситуация. Из существования структуры М, наделенной двумя согласованными в некотором смысле операциями, выводится существование некоторой алгебры Хопфа. При этом найденная алгебра Хопфа единственна с точки зрения соответствия структуре М, т.е. с точностью до ненулевых коэффициентов в коумножении и антиподе.

В разделе 3.2 показано, что если алгебра Хопфа обобщенно кокоммутативна, то соответствующая структура Мн является конечным нолем. Это позволяет подтвердить уже ранее полученный результат о том, что обобщенно коммутативные алгебры Хопфа существуют лишь при п — рг — 1, где р - простое, а / - некое натуральное число. Далее в разделе 3.2 вводится гомоморфизм г : Мн —> ^п? рассматривается случай сильной некокоммутативности Я. В разделе 3.3 с использованием группы Мн и упомянутого выше гомоморфизма доказывается, что все алгебры Хоифа рассматриваемого вида (1) с условиями (3) обобщенно кокоммутативны и, соответственно, существуют лишь при п = р* — 1, где р — простое, а /

— натуральное. Полученный результат является обобщением аналогичного утверждения для случая алгебр типа (1,р;р, I)11, то есть алгебр вида (1) с простым п = р. Этот случай был полностью описан в работе С.Натале 11, где было доказано, что при р > 2 выполнено р — 2-^ — 1 для некоторого натурального /.

Глава 4 продолжает в разделе 4.1 рассмотрение изучаемых алгебр Хопфа, на этот раз ограничиваясь случаем нечетного п = 2к +1. Теорема 4.1.1 дает в случае нечетного п еще более сильное ограничение на (ко)симметричность числовых коэффициентов гомоморфизма А', а именно с^ = Кроме того, коэффициенты ш1^ получены в явном виде как функции коэффициентов матрицы II.

Далее в разделе 4.1 большая классификационная Теорема 4.1.2 подводит итог проделанной работы и основных результатов.

Диссертация завершается небольшим разделом 4.2, где для полноты проведенной работы рассматривается проблема описания идеалов Хопфа полученных алгебр. Как уже упоминалось выше, здесь используется аналогичный результат из диссертации Р.Б.Мухатова10, и показано, что для алгебр Хопфа с |(?| = п можно провести рассуждение, повторяющее доказательство для = п2.

Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю, профессору Вячеславу Александровичу Артамонову за постановку задачи, внимание и интерес к работе, и полезные обсуждения. Автор выражает благодарность всем сотрудникам кафедры высшей алгебры за внимание к работе и доброжелательное отношение.

Работы автора по теме диссертации

1. С.Ю. Спиридонова, О некоторых полупростых конечномерных алгебрах Хопфа размерности п(п+1), Мат. заметки 91 (2012), №2, 253-269

2. С.Ю. Спиридонова, Обобщенная кокоммутативность некоторых алгебр Хопфа и их связь с конечными полями, Алгебра и анализ 25 (2013), №5, 202-220.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж \00экз. Заказ № ¿Г

ФБГОУ ВПО Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова Механико-математический факультет

АЛГЕБРЫ ХОПФА С ОДНИМ НЕПРИВОДИМЫМ, НЕОДНОМЕРНЫМ ПРЕДСТАВЛЕНИЕМ

01.01.06: математическая логика, алгебра и теория чисел

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель — доктор физико-математических наук, профессор В. А. Артамонов

На правах рукописи

01458507

Спиридонова Софья Юрьевна

ДИССЕРТАЦИЯ

Москва, 2013

Оглавление

Введение 4

Общая характеристика работы............................................4

Краткое содержание работы .......................21

1 Коумножение и антипод 27

1.1 Вспомогательные определения...................27

1.2 Матрицы сопряжения в левом и правом действиях и антиподе . 31

1.2.1 Матрица Ад ..........................31

1.2.2 Матрица Вд..........................33

1.2.3 Мономиальность матрицы и................34

1.3 Эквивалентность некоторых условий и коумножение от матричных элементов........................35

2 Кокоммутативность, её обобщение и частные случаи 47

2.1 Кокоммутативность и ее обобщение, сильная некокоммутативность ........................47

2.1.1 Обобщенная кокоммутативность и сильная некокоммутативность ....................47

2.1.2 Кокоммутативность и обобщенная кокоммутативность . . 50

2.2 Частные случаи............................51

2.2.1 Размерность и конструкция гомоморфизма А' в случае

чисел Мерсенна........................51

2.2.2 Алгебры Хопфа для п = 3, п = 4 и п = 7.........53

3 Обобщенная-кокоммутативность и размерности 56

3.1 Группа Мн..............................56

3.1.1 Необходимость существования группы Мн........57

3.1.2 Достаточность существования группы Мн ........61

3.2 Перестановка а и гомоморфизм г : Мн —Зп...........65

3.3 Коммутативность Мн и обобщенная кокоммутативность Н . . . 68

4 Классификация и идеалы Хопфа 73

4.1 Теорема о классификации......................73

4.2 Идеалы Хопфа............................77

Введение

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования

Алгебры Хопфа интересны как структуры тем, что совмещают в себе понятия алгебры и коалгебры и обладают, подобно группам, антиподом, [26]. Определение алгебры Хопфа удобно формулировать с помощью диаграмм, как это сделано в [26].

Пусть к — поле, тогда к-алгеброй называется векторное пространство над к, наделенное двумя линейными над к отображениями: умножением т : Н ® Н -л Н и единицей и : к —> Я, таким образом, что коммутативны диаграммы на Рис. 1.

Н®Н®Н

т<Я1с1

-Я <8>#

НфН

т

к ® Я

Я® А;

т

н®н

т

Я

Рис. 1: Диаграммы для умножения и единицы

Аналогично, к-коалгеброй называется векторное пространство над к,

наделенное двумя линейными над к отображениями: коумножением А : Я —> Н®Н и коединицей г : Н —> к, таким образом, что коммутативны диаграммы на Рис. 2.

Н

Н®Н

гг/0Д

А®и1

н

к®Н

д 'н ® к

НфН

Рис. 2: Диаграммы для коумножения и коединицы

Для того, чтобы структура, являющаяся одновременно алгеброй и коалгеброй, была биалгеброй, [26], необходима согласованность умножения и коумножения, выражающаяся в коммутативности диаграммы на Рис. 3.

Н®Н

н

д

Н®Н

д&д

Н®Н®Н®Н

тМ>т

н®н®н®н

Рис. 3: Диаграммы согласованности умножения и коумножения

Также должны выполняться условия на единицу и коединицу, выражающиеся в коммутативности диаграмм на Рис. 4.

Если на биалгебре к тому же задан антиэндоморфизм 5, такой что коммутативна диаграмма на Рис. 5, то данная структура называется алгеброй Хопфа, а антиэндоморфизм 5— ее антиподом.

Как обсуждается в обзорной статье [3], теория алгебр Хопфа берет

Я Я к

к® к =к к® к ^к к Рис. 4: Диаграммы согласованности единицы и коединицы

Н 0 Н-

Я-5--^--Я

Н®Н— " > Я 0 я

Рис. 5: Диаграмма для антипода

свое начало из двух источников — алгебраической топологии и теории алгебраических групп. Первое формальное определение алгебры Хопфа — под именем гипералгебры — было сформулировано Пьером Картье в 1956 году под влиянием работ Жана Дьедонне по алгебраическим группам в положительной характеристике. Выражение алгебра Хопфа было впервые использовано Арманом Борелем в 1953 году, [6], под влиянием основополагающей работы Хайнца Хопфа, [20]. В этой работе Хопф рассматривает структуру, названную им Г-многобразием, в современной терминологии — Я-пространство, обладающее операцией умножения М х М —У М. Эта функция индуцирует гомоморфизм из кольца когомологий

М — обозначаемого Я — в кольцо когомологий М х М, то есть Я ® Я. Как показывает Хопф, согласованность этого отображения из Я в Я <8> Я с и-произведением накладывает строгие ограничения на структуру Я, из которых Хопф выводит важные топологические результаты. Структуры, обладающие этими свойствами, получили имя Хопфа в упомянутой работе [6]. Однако, согласно этому определению, коумножение не является ни коассоциативным, ни подразумевающим антипод. С другой стороны, оно подразумевает коединицу, хотя об этом не упоминается явно. Также в работе [6] была доказана важная теорема о мультипликативной структуре этих алгебр. Их комультипликативная структура изучалась в работах [29] и [21].

Исследования, проведенные Хопфом и Борелем в [20] и [6] получили продолжение в работах Эдварда Хальперна [12], [13] и [14]. Он рассматривал тройку (Я, умножение Я ® Я —> Я, коумножение Я —У Я <Э Я) — гипералгебру. Алгебры Хопфа и Понтрягина упоминаются как частные случаи гипералгебр, при этом под алгеброй Хопфа Хальперн понимает следущее. Если начинать с Я-пространства X (снабженного непрерывным отображением А : X х X —> X) и гомотопической единицы, можно рассмотреть индуцированные отображения Д* : Я* 0 Я* —>• Я* и Д* : Я* Я* ® Я* на гомологиях и когомологиях соответственно. Тройка (Я*, и, Д*), называлась некоторыми авторами алгеброй Хопфа, тогда как дуальный объект (Я*, Д*, и*) носил имя Понтрягина. В обозначениях Хальперна структурные гомоморфизмы гипералгебры не обязаны быть ни ассоциативными, ни коассоциативными. Однако, вообще говоря, базовые пространства подразумеваются градуированными, а операции — сохраняющими градуировку и обладающие единицей (коединицей). Далее в работе [12] он называет гипералгебру ассоциативной, если умножение ассоциативно и коассоциативной, если коумножение

коассоциативно. В своей следующей работе [13] Хальперн продолжает называть исследуюмую им структуру гипералгеброй, однако в более поздней работе [14] он переименовывает свои гипералгебры в алгебры Хопфа, наименование, становившееся все более и более популярным после работы [25) Милнора и Мура. То, что понималось в [25] под алгеброй Хопфа, в современной терминологии является биалгеброй в симметрической категории градуированных модулей над коммутативным кольцом К. Однако связные алгебры Хопфа в понимании [25] — то есть с одномерным пространством нулевой степени — обладают антиподом. Доказательство структурной теоремы, представленной в работе [25] для градуированных коммутативных связных алгебр Хопфа, продолжает ряд аналогичных теорем Хопфа, Лерэ, Бореля.

Не менее значительное влияние на развитие теории алгебр Хопфа оказала теория алгебраических групп. Жан Дьедонне посвятил серию статей формальным группам Ли и гипералгебрам. В первой статье этой серии, [9], он рассматривает проблему обобщения терминологии групп Ли и алгебр Ли на случай положительной характеристики. Он рассматривает формальную группу Ли С и присоединяет к ней ассоциативную алгебру С/, которую он называет гипералгеброй и которая в характеристике нуль является обычной универсальной обертывающей алгебры Ли группы (У. Следующие три статьи этой серии посвящены изучению формальных абелевых групп Ли. В частности, во второй статье Дьедонне приводит классификацию гипералгебр одномерных групп. В пятой статье, [10], автор отходит от кокоммутативных гипералгебр и переходит к более общему случаю. Он дает формальное определение гипералгебры, которое включает коумножение. Переходя к дуальному отображению, Дьедонне получает умножение в формальной группе.

Другой автор, оказавший влияние на развитие теории алгебр Хопфа, Пьер Картье, дал формальное абстрактное определение гипералгебры в [7] с помощью трех аксиом, две из которых задают кокоммутативную биалгебру, а третья влечет за собой наличие антипода. В заметке [8] Картье отмечает, что группа полиномиальных функций на линейной алгебраической группе является коммутативной алгеброй Хопфа, что можно считать отправным пунктом теории алгебр Хопфа.

Под влиянием статей Картье, в статьях [16], [17] и [18] Джеральд Хохшильд и Дэн Мостоу рассматривают представления группы Ли С и алгебру регулярных функций на С - Не говоря этого явно, на

протяжении всей серии статей авторы работают с естественной структурой алгебры Хопфа на ЩС). Более того, работа Хохшильда в 50-х -70-х годах заключала в себе систематический подход к теории Ли, теории алгебраических групп и их алгебр Ли с точки зрения теории Хопфа. Постепенно структура алгебры Хопфа стала появляться явно и ее использование становилось все более систематичным. Например, в книге [19], структура алгебры Хопфа играет значительную роль. Так, автор рассматривает М-алгебру ЩС) действительнозначных регулярных функций на компактной группе С и показывает, что она допускает естественную структуру алгебры Хопфа. Кроме того, нужно заметить, что терминология алгебр Хопфа в алгебраической теории групп становилась к тому времени все более и более стандартизованной.

Начиная с публикации книги [31] в 1969 году, теория алгебр Хопфа начинает развиваться как независимая часть абстрактной алгебры не обращаясь ни к алгебраической топологии, ни к теории алгебраических групп. С течением времени этот раздел алгебры претерпел радикальные изменения методов и взаимосвязей с другими разделами математики,

а понимание структуры алгебр Хопфа и их представлений получило выдающееся развитие и взаимосвязь с различными областями математики, например с теорией узлов и топологией, конформной теорией поля, теорией колец, теорией категорий, комбинаторикой и т.д.

В течение последних десятилетий большим интересом пользуется классификация конечномерных алгебр Хопфа над алгебраически замкнутыми полями. Для некоторых размерностей эта задача к настоящему

9 _ о

времени уже полностью решена, например, для размерностей р, р и 2р , где р — простое, классификация алгебр Хопфа была получена в работах [34, 23, 15, 28, 24]. Большой прогресс в решении данной задачи достигнут также и для некоторых других размерностей, см., например, [11]. Особенно большой интерес представляет классификация конечномерных полупростых алгебр Хопфа. Известно, что все полупростые (ко)коммутативные алгебры Хопфа являются групповыми алгебрами или дуальными к ним, [26]. Однако вопрос о не (ко)коммутативных алгебрах Хопфа еще не решен. Полупростые алгебры Хопфа с лишь одним неодномерным неприводимым слагаемым реализуют наиболее простой некоммутативный случай. Что касается алгебр Хопфа следующего по сложности класса, а именно с несколькими неодномерными неприводимыми слагаемыми попарно различных размерностей, их классификация была сведена в [4] к случаю одного неодномерного неприводимого слагаемого.

Как показано в [26, §3.1], одномерные слагаемые в полупростом разложении соответствуют обратимым элементам двойственной алгебры Хопфа. Если ограничиться рассмотрением алгебр с лишь одним неодномерным неприводимым слагаемым, то любая такая алгебра над алгебраически замкнутым полем к имеет вид

Я = ®heGkeh © Mat(n, к) , 10

где С = С?(Я*) — группа обратимых элементов Я*, а множество {е^, /1б(?} является системой ортогональных центральных идемпотентов в Я.

Всюду далее в этой диссертации поле к подразумевается алгебраически замкнутым с характеристикой, не делящей размерность алгебры.

Полупростые алгебры Хопфа над такими полями были рассмотрены в общем виде в [1]. Как показано в [1, §§1, 2], коумножение в Я с одним неодномерным неприводимым слагаемым имеет вид

А (ж)

£ [(/г х) <g> eh + eh <g> {x /7,)] + Д'(ж) , x G Mat(n, k)

heG

ef <g> ef--ih + Ah , x = eh

/eG

где

Ah = [1 <8) (h'1 Ai = /г-1) (8) 1] Ai G Mat(n, k) (8) Mat(n, k)

для всех h G G, Ai соответствует единице в группе G,

А' : Mat(n, k) —y Mat(n, k) 0 Mat(n, k)

— гомоморфизмом алгебр, не сохраняющий единицу. При этом левое и правое действия / —^ х и х / элементов / G Я* на x G Я задаются по правилу: если

Л(Ж) = Х^1) ® Х(2) :

ТО

f Ж = 1>1,</, f = Ж(1)>Ж(2) • Здесь суммирования ведутся по всем слагаемым в А (я), где ж^) является собирательным обозначением для первого слагаемого, ~ собирательным обозначением для второго слагаемого, а (/, х) обозначает значение / G Я* на a: G Я.

Кроме того, порядок С = делит п2, поскольку число одномерных

слагаемых делит размерность алгебры, [26, §3.1], и сНт(Н) = -Ьп2.

Случай максимального порядка, |С| = п2, реализуется тогда и только тогда, когда А' = 0, [1, §4]. Как показано в [1], в этом случае алгебра Хопфа принадлежит либо симметрической, либо кососимметрической серии в смысле приведенной ниже теоремы из [1].

Теорема. Пусть Н — алгебра Хопфа с полупростым разложением

Н = Фнескен © Ма1;(п, к).

При этом пусть = п2, где С = Рассмотрим, матрицы II и V

из СЬ(п,к); такие что V — ^1 и либо и = Е, V = ^Е, либо 11 — 8, V = —-¿>, где

77 '

^Т 0 ... (Л о т ... о

V

т =

0 -1 1 о

о о ... т,

Тогда в обоих случаях коумножение А, коединица е и антипод задаются следующим образом:

ЛеЯ

А(ж) = х) ®ед + ед ® (х д)}, жеМа1;(п,к),

е(ед) — 5дд, е{х) = 0, а; бМа^п,к),

=

ет1 >

у = дев

п

\J\jV = у е Ма^п, к),

где

Ая = X] (Е*з игРъЧзЕРЧ = Еч ® 1

г,3,р,д

Более того, существует проективное представление д Лд = (^¿(д)) £ СЦп, к) группы С размерности п, такое чт,о:

д —^ х = АдхАд-1,

х^д = п2и ьАдУхи ьАд~\ V = игАди-1хиьАд-,и'\

АдиьА}1и-1А-д1и*А11и-1 = [Ад,и'А^и-1] = ц9лКЕ, € к*,

Т1

Ад= ^ Ец ® щрагр(д~1)ача(д^ЕГшЧ

б>лл ее еж д £ С. Кроме того, 1т — п^д и для 71 — Х)*,?-^' ® выполняется

П = ^иьАа-х <8> %У.

д£С

Из приведенной теоремы следует, что алгебра Хопфа с |С?| = п2 задается проективным представлением д 1—размерности п группы С, обладающим указанными свойствами и удовлетворяющим условию Ьг Ад = п5дд на след матриц

Как известно из теории Шура, существует центральное расширение С* группы

1 —+ #2(С, к*) —> С* —> С —► 1,

такое что каждое проективное представление группы С может быть поднято до линейного представления ее расширения (7*. Здесь Я2(С, к*) — группа вторых когомологий группы (7 с коэффициентами из мультипликативной группы к*. Соответствующие представления групп С и С* неприводимы одновременно.

В статье [5] показано, что С? из приведенной выше теоремы — абелева не циклическая группа, а группа (7* нильпотентна и каждое неприводимое представление Ф группы С* мономиально. В данном контексте и всюду

далее в этой диссертации представление называется мопомиалъным, если существует базис, в котором все его матрицы являются мономиальными. При этом под мономиальиой матрицей подразумевается матрица, содержащая в каждой строке и каждом столбце лишь один ненулевой элемент. При этом для существования таких алгебр Хопфа необходимо и достаточно доказать, что существует матрица А € СЬ(п, к), симметричная в случае £7 = Е и кососимметричная в случае С/ = 5, такая что для всех д, К € С в группе РСЬ(тг, к) выполняется равенство

Далее в работе [5] строится группа (7 — прямое произведение С? = (а) х (Ь) двух циклических групп порядка п, и линейное неприводимое мономиальное представление соответствующей ей группы СГ, такое что указанное выше условие на Ф выполняется, если принять А = Е. Таким образом, в [5] доказано существование алгебр Хопфа симметрической серии с \0(Н*)\ — т? для любого п > 1.

Случай кососимметрической серии был рассмотрен в диссертации [2] Р.Б. Мухатова, где была найдена кососимметрическая матрица А, такая что Ф(<?) коммутирует в группе РСЬ(п, к) с АгФ(/г)А-1 для всех д, к <Е С. Как упонянуто выше, существование такой матрицы А эквивалентно существованию алгебр Хопфа кокосимметрической серии для любого четного п.

Кроме этого, в [2] рассмотрены идеалы и фактор-алгебры алгебр Хопфа с \С(Н*)\ = п2 и получен следующий результат.

Теорема. Подпространства вида J = ф Ма^т^к), где N —

произвольная подгруппа группы С, и только они являются ненулевыми идеалами Хопфа алгебры, Н с \С(Н*)\ = п2.

Из приведенного результата [2] об идеалах алгебр Хопфа с |С?(#*)| = п2 вытекает еледущее следствие о факторалгебрах таких алгебр Хопфа.

Следствие. Факторалгебрами алгебры Хопфа Н с |С(Я*)| = г?2 являются алгебры, дуальные к групповым алгебрам, соответствующим, всевозможным подгруппам N группы С, и только они.

Здесь кТУ - групповая алгебра подгруппы N. Как будет показано в Главе 4, для алгебр Хопфа, рассматриваемых в настоящей работе, верен аналогичный результат.

Возвращаясь к случаю А' ф 0, необходимо отметить, что порядок группы С равен п<?, где д делит п, [1, §9].

В настоящей работе исследуется случай минимального порядка |С?| = п, и группа С предполагается наиболее простой, циклической. Кроме того, предполагается симметричность А'(Е). Таким образом, ограничения на рассматриваемый случай можно сформулировать следующим образом:

С = {д)\ Д'(Д)=тоД'(Я),

где д — образующий элемент циклической группы С порядка п, Е — единичная матрица из Ма1;(п,к), а т переставляет тензорные сомножители.

Случай циклической группы С произвольного порядка