Многопараметрические квантовые деформации полной линейной группы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.ВЛОМОНОСОВА Механиго - математический факультет

На правах рукописи УДК 512.667

Демидов Евгений Евгеньевич

МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КВАНТОВЫЕ ДЕФОРМАЦИИ ПОЛНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ГРУППЫ

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва -1992

Рвботе выполнена на квфгдре высшей алгеОры иеханико -математического факультета Московского государственного университета имею! М.В.Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико - математических наук, профессор Ю. И.Маним

Официальные ОГШОНЬНТЫ: доктор физико - математических наук А.К.Рудаков,

кандидат физико - математически! наук А.А.Бе йлинеен.

Ьедуаая организация: ©изико - технический институт низких температур АН Украитш, г. Харьков.

Зашита диссертации состоится 1992 г.

в 1Ь час. О Ъ мин. на заседании специализированного Совета Д.053.05.05 при Московском государственном университете им. Ы.В.Ломоносова по адресу: 119099, ГСП, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико - математический факультет, аудитория 1408.

С диссертацией мокко ознакомился в библиотеке механико -математического факультета МГУ (14 атак).

Автореферат разослал аЛ^УвЬ^ 1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета

Д.053.05.05 доктор физихо - математических наук

В.Н.Чубариков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена исследованию квантовых групп -алгебр Хопфа специального вида - с точки зрения общей теории алгебр Хопфа, теории представлений и дифференциальной геометрии.

Актуальность темы. Квантовие группы появились впераие в работах Е.К.Скляшша [1]; П.П.Кулиша и Н.Ю.Реиетихина 12]; Л.Д.Фаддеева и Л.А.Тахтаджянэ 13) при изучении математических вопросов квантового метода обратной задачи в теории солитошшх уравнений. Впоследствии и* конструкции были обобщены В.Г.Дринфельдом [41 и Ы.Дгошбо [5) с точки зрения деформаций универсальних обертывающих алгебр (полупростых) алгебр Ли в классе алгебр Хопфа.

1. Склянин Е.К. О некоторых алгебраических . структурьх, связанных с уравнением Яига - Бакстера. // функц. анализ и его прил. 1982. Т.16, JM. С.27-34.

2. Кулиш П.П., Реиетихкн K.D. Квантовая линейная задача для уравнения синус-Гордона и высшие представления. //Записки научн. сем. ЛОМИ. 1981. Т.-101. 0.101-110.

3. Faddeev L.D., Takhtajan Ь.А. A Mouville model on the lattice. //1Л in'Hath. Phye. 1985. V.246. P.166-179.

4. Дринфельд В.Г. Квантовые группы. //Записки научн. сем. ЛОМИ.Т.155. 1986. С.19-49.

5. Jimbo К. к q-differenoe analogue of U(®) and the Yang -Baxter equation. //Lett. Hath. Phys. V.10. 1905- P.63-69.

Как известно, с алгебраической группой О естественно ассоциируются две алгебры Хопфа - алгебра регулярных функций на группе к[0] и универсальная обертывающая алгебры Ли группы в. Это (эквивалентные языки описания группы 0, если она достаточно хороша. При ого« первая алгебра Хопфа коммутативна, а вторая кокоммутатиниа. Переходя теперь к квантованиям группы с, ми отказывпэися от в тих условий. В результате мы не можем восстановить "геометрического" объекта, который ранее получался взятием Брео; поогому оотаегоя характеризовать Квантовую группу в терминах некоторой алгебры Хопфа. ' Однако, ситуация произвольной алгебры Хопфа, по-видимому, малоинтересна; с другой стороны, не имеется четкого определения класса "хороших" алгебр Хопфа - быть может, более широкого, нежели описанный в (61 и 141.

Ъ.МЛШтшы , был предложен способ построения некоторых алгебр Хопфа по семойству алгебр с квадратичными соотношениями (квадратичных алгебр). С "геометрической" точки зрения ото означает, что квантовая группа рассматривается как "группа автоморфизмов некоммутативного линейного пространства". Било показано, что при подходящем выбор© исходных квадратичных алгебр получается: стандартное одноларвмотрическоо квантование ОЬ^(п) группы Шп), огтсашюе в [41, {51. Используя ету конструкцию, были получены другие квантования СЬ(п), отличтае от стандартного.

6. Фаддеев Л.Д., Гешетихин К.Ю., Гахтаджян Л.А. Квантование групп Ли и Алгебр Ли. //Алгебра и анализ. Т.1, вил.1,1909. С. 178-206.

Известны и другие подхода к определению квантовых групп.

Квантовые группы как новый математический объект привлекли внимание многочисленных исследователей. В связи с физическими приложениями наиболее интенсивно изучались представления квантовых групп (в случае одного параметра квантования). Существенное внимание было уделено обобщению всевозможных понятий и результатов из теории алгебраических групп, алгебр Ли и смежных областей на квантовый случай. Так, например, в одной из недавних работ Весса и Зумино (7 ] предложен квантовый аналог некоммутативного комплекса де Рана. Особенно интересен случай, когда параметр деформации <1 становится равным примитивному корню из единица, поскольку возникает нетривиальная аналогия с алгебраической геометрией в простой характеристике. Список других интересных проблем приведен в [8].

Многопареметрические квантования полной линейной (супер) группы били впервые рассмотрены ХЭ.И.Маннным (9]. Естественно ожидать, что включение многих параметров вызовет новые вффекты.

7. WeBB J., Zumino B. Covariant differential caloulus on the quantum hyperplane. /Preprint CERM-TH-5697/90. Geneva. Q. Manin Yu.I. Quantum groups and non-commutative geometry. / Preprint CRii-156r. Montreal. 1968.

9. Manin Yu.I. Ilultiparametrio quantum deformation of the general linear Bupergroup. //C^rnn. Hath. Phys. V. 123. 1989. P.163-175.

в частности, например, приведет к новым постоянным решениям уравнения Янга - Бакстера.

Цель» работы является изучение семейства мпогопараметриче-ских деформаций 01<(п), которое включает в себя известные ранее деформации как частные случаи, о точек зрения обвей теории алгебр Хосфа, теории представлений и дифференциального исчисления.

Метода исследования, в работе используются общие иотода теории алгебр Хопфа, теория представлений алгебраических групп, теории модулей над алгеброй Вейля, элементы гомологической алгебры. Используется тага» сродства, спгцяфкческиз для работы с некоммутативными алгебрами и модулями над ними, например, лемма о слиянии (сИалюпс! 1ешпа).

Научная новизна.

1.Доказана, независимо от [10], теорема Пуанкаре -Биркгофа - Витта (ПЕВ) для квантовой полугруппы Мр^0(п); указаны решения квантового уравнения Яига - Бахстера которым при подходе [б] отвечает Ир^ 0 (3.9).

2.Установлены простые достаточные условия, при которых хокфова оболочка биалгебр Кр^. Мр д с получается обращением квантового детерминаята, имеющегося в агих алгебрах (4.6, 4.9, 4.11).

3.Построена алгебра однородных функций па квантовом пространстве полных флагов, отвечающем СХр д 0(п) (67); том самым, дается полное описание неприводимых представлений (т.о.

10. Sudber-y A. Matrix quantum groups determined by quadratic coordinate algebras. //J.l'hyts. A23. 1990. F.697-704.

комодулей) аЬр д 0 (п) в случае обдих параметров деформации (8.17).

4.Найдены когомологии некоммутативных комплексов да Рама (комплексов Весса - Зумино), отвечающих как общему решению И уравнения Янга - Бакстера, так и при Н = И±, когда параметр о есть примитивный корень из единицы. В последнем случае построен аналог оператора Картье (15.3).

5.Доказаны простота (при общих о), правая и левая нетеровость, оревость квантовых алгебр Вейля, отвечающих Я (13.5, 13.8, 13.15).

6.Доказано неравенство Бернштейна для модулей над указанными квантовыми алгебрами Вейля (при общих значениях параметров) (13.16) и построены примеры квантовых голономных модулей (13.21).

7.Построены "морфизмы Фробениуса в характеристике О" для алгебр Мр д 0<п), вЬр д 0(п) и соответствующих, им алгебр дифференциальных форм и дифференциальных операторов на п-мерном линейном пространстве (§14).

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на семинарах механико-математического факультета МГУ: Б.И.Малина по некоммутативной' геометрии, Э.Б.Винберга и А.Л.Оницика по теории инвариантов, С.П.Новикова по геометрии и математической фи'зике и других.

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в некоммутативной алгебраической геометрии, в теории некоммутативных £>-модулей.

Структура работы. Диссертация состоит из введения и четырех глав. Каждая глава снабжена библиографическим комментарием, где читатель может найти ссылки на источники той или иной конструкции, сходные или параллельные исследования. Работа содержит 104 страницы, снабжена оглавлением и списком литературы из 52 работ.

Публикации. По теме диссертации автором напечатаны 4 работи (одна - в соавторстве), их список приведен в конце автореферата.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Первяя глава работы посвящена изложению основных понятий, конструкций и результатов, используемых далее в работе. Поскольку мы стремились дать замкнутое изложение основ, вта глава носвт отчасти обзорный характер.

-Конструкция универсальной кодействупцей ялгобры (§1, 1.4) сопоставляет паре симметрической н косооимметричвской алгебр

S = kfr1,...,xn} , Л * обычную коммутативную биалгебру функций и» полугруппе Mat(n).

Рассмотрим теперь простейшие некоммутативние обобщении алгебр ЗиЛ:

А = UCx.,... .,xn>/(xix;j - l-LjXj*!).

. в " .....£n>/(Ei«J 4 »«Mi' Ф-

Ядесь lc<x,j,. обозначает свободную ассоциативную алгебру,

порожденную х1,... ,хп- Рассмотрим универсальную кодсйствумцую на пару А,В - К(Л,[(), обозначаемую нами тагам Мр При or5i>tnx значениях параметров она на лнляогся деформацией kfM-if, (n) ¡ по

соображениям размерности. Оказывается, что для выполнения равенства

dimk(MP(Q)d = dlrak(k{Hat.(n)J)d (.)

достаточно наложить условие

- «ßgn<J-i)-

Алгебра Мр п с атим дополнительным условием, обозначается ними

X, У

р

ради симметрии Ы„ п . Таким образом, имеется (n -n-t2)/¿ независимых параметров деформации.

Теорема 2.12, доказываемая нами с помощью леммы о слиянии в §2, более детально описывает ситуацию:

Теорема. Равенство С) для алгебры Up Q выполняется тогда ц только тогда, когда она изоморфна алгебре вида ир, д, Q, гс>е о Ф —1 •

Алгебры Ыр g и Ыр q о служат осжышии объектами нашего исследования.

В семейство Ир ^ включаются все да сих нор известнее многопараметрические деформации GL(n), именно, стандартная однолараметрическая Дринфельда и Даашбо, нестандартная однопараметричеокая Диппера и Датсина [11], двухлараметрическая Такеучи [12] и Ду - Паршалла - Волга 1131. Отметим, что

11. Dipper R. , Donk in S. Quantum GL(n ) // Proo.- bond. Math. Soo. Ser.3. V.63, no. 1. 1991. P.165-211.

12. Takeuchi MJ A two-parameter quantization of GL(ri). (Summary). //Proo. Jap. Aoad. Ser. A. Hath. Sot. V.66. 1990. P.112-114.

13. Du J., Par/îhaî 1 В., Wang J. -P. Two-parame ter quantum linear groupa anü the hyperbolic invariance of q-Soliur algebras. /Preprint. 1990. 21 p.

полученные нами результата могут бить использованы для исследования алгебр, и не входящих в указанное семейство, например "кордановой" и многогтараметрической GLq(ii) из [14].

В 53 устанавливается связь между алгебрами вида Ы(Л,В) и П-лшриккьиш алгвбрат. Оказывается, что

KP,Q,0 а *<Z:>ARZ®Z-Z®ZR), гдо в качеогве R можно выбрать одно из решений Я±(3.9) квантового урввявкия Инга - Бакстврв

§4 посюяцвн конструкция алгебры Хопфз, содержащей tlp g в качестве подалгебра. Эту алгебру мотаю построить,используя то обстоятельство, что в Ир q имеется квантовый детерминант D,

Теорема. Пусть алгебра * сблабаеп слебукщиш свойствами:

1. и * k<z>/(?MZ-Z»ZK) (еОв R не обязательно есть решение (YB)J U пусть Mfc.= kCY>/(R*Y®Y~Y®YR'),

2. В алгебрж ы и ** шеется квантовые детерминант Dul' соатдепютЗето,

3.Отображение г:Ы6 К ЖУ) « аЪ танаво, что tíD*) = D. Тогда в алгебре »<0~1> сутапШуеа. антипод, и получившхкя алгебра Хопфа изоморфна хопфовой оболочке u Í18JJ.

14. Dcm i йог Е.Е., líaniri Yu.I., Mukhin E.E., Zhtlanovioh D.V. Hon-utandarU quafttira daformat iono oí QL(n) and coiu'.tar.t oolutlons oí tha Yang - Baxter equation. /Preprint IUH3-701. Kyoto.1990: 22 p.

Вторая глава работы посвящена описанию неприводимых

представлений (т.е. комодулей) квантовой группы 01>р ^ д при

общих значениях параметров. Благодаря результатам Параалла и

Вонга (по существу, классическим) [15). изложенным в §6, имеет

место взаимно однозначное соответствие между доминантными

весами и неприводимыми представлениями ОЬр д 0- По Борелю ~

Вейлю - Ботту, в классическом случае такие представления

реализуются в сечениях подходящих обратимых пучков на

однородном пространстве полных флагов. В квантовом случае

последнее можно охарактеризовать однородной квадратичной

алгеброй ОТ = Ф (Г0, (где а.>...>а_>0, в?Ю - раз'биение) а - 1в

некоммутативных плюккеровых координат, являющейся деформацией

алгебры однородных функций на пространстве полных флагов <§7,

7.4). Там же обобщается классическая теорема Ходжа о

отандартных мономах (7.12, 7.15). Тем самым, решается одна из

проблем - описание квантовых однородных пространств квантовой

группы ОЬр д 0(п) - поставленных Ю.И.Маниным в лекциях [8].

§8 содержит серию результатов, итогом которой является доказательство полной приводимости представлений ОЬр д 0 при о не равном корню из единицы (8.16), Это доказательство основано нп рассмотрении квантовой алгебры Шурз, для введения которой удойно воспользоваться спределездаем из [16) (8.4). Таким

15. РагвЬвИ В., «ап? J.-p. ОиапЬпп Ипезг дгоира. //Негр. А МаИи Боо. V. 89. по. 439. 1991. Р.1-157.

16. Н.чуасМ Т. «ЗиаМит с!е Гонгл. !;1сп о Г о1ячз1оя1 дгоире. /Ртрг1пЬ. 1990. 37 р.

образом, мн получаем полное описание неприводимых представлений

Теорема. Пусть либо о = 1 и оЬаг к = о, либо о не есть корень из единицы. Тогда всякое представление 01>р1ц)О(п) вполне привоОиива, а все неприводимые представления реализуются в пространствах виСа ию® где ит - пространство одномерного представления а ь-» (ю-1 )"1 © и; старший вес этого представления есть га(-1,...,-1) + а*.

Алгебру Шура но..: о достаточно просто попользовать для более прозрачного доказательства теоремы о размерности однородных компонент алгебры Мр п (9.1). В том ке параграфе обобщается гиперболическая инвариантность коалгебраической структуры открытая Ду, Паршаллом и Вонгом для

двухлараме трической деформации (9.3).

В третьей главе изучается дифференциальное исчисление на квантовых линейных пространствах, модель которого некоммутативный комплекс де Рама - была предложена Вессом и Зумино 17] для Н-ыатричных квантовых (полу)групп.

Оказывается, что комплексы Весса - Зумино (Ш-номплекси) взаимно однозначно отвечают решениям И квантового уравнения Инга - Вакстера с условней (Н—1 )(Н+о)=0 (результат Е.Е.Мухина (10.4) и автора (10.5)). Изложению втой конструкции и указанных результатов посвящен §10.

Стандартная техника стягивающей гомотопии, применяемая при доказательстве лемми Пуанкаре, может бить перенесена на квантовый случай, что позволяет ьцчисла гь когомологии Ш комплекса, заданного матрицей И о иарметром с отличным от корня из едшшцн (11.1 ):