Коммутативные подалгебры квантовых алгебр тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи УДК 512.552

ЗЕЛЕНОВА СОФЬЯ АНАТОЛЬЕВНА

Коммутативные подалгебры квантовых алгебр

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел.

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 2004

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель Официальные оппоненты

Ведущая организация

— доктор физико-математических наук, профессор В. А. Артамонов.

— доктор физико-математических наук, профессор С. В. Пчелинцев

— кандидат физико-математических наук, доцент А. Н. Панов

— Московский педагогический государственный университет (МПГУ)

Защита диссертации состоится "¿с" 2004 г. в 16 ч. 15 мин.

на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан " ¿О " 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 в МГУ доктор физико-математических наук, профессор ' В.Н. Чубариков

2004-4 18165

Общаяхарактеристика работы

Актуальность темы.

Квантовые алгебры - это неформальное название различных алгебр, возникающих в теории квантовых групп.

Понятие квантовой группы появилось в конце 1980-х годов в связи с решением квантового уравнения Янга-Бакстера, являющегося центральным моментом в "квантовом методе обратной задачи" развитом Л.Д. Фаддеевым и ленинградской школой математической физики с целью решения "интегрируемых квантовых систем" (см. [1]1).

Отправной точкой развития теории квантовых групп, объединившей первые разрозненные результаты и примеры, стала работа В. Г. Дринфельда [2]2; содержащая мотивировки основных понятий.

Хотя теория квантовых групп не позволила полностью решить уравнение Янга-Бакстера, многие интересные и полезные решения этого уравнения удалось построить именно с ее помощью. "Машиной" для производства таких решений стала теория представлений некоторых специфических алгебр, сходных с деформациями обертывающих алгебр полупростых алгебр Ли. Вот эти специфические алгебры и получили название "квантовых групп".

Первый пример - деформация - возник в статье П.П. Кулиша

и Н.Ю. Решетихина в 1981 году (см. [3]3).

Первый пример алгебры квантовых многочленов - квантовая плоскость fc?[X,y], - был введен Ю.И. Маниным в [4]4. В дальнейшем многие авторы рассматривали обобщения этой алгебры (см., например, [5]5, [6]6, [7]7). Среди таких обобщений можно назвать однопараметрические и многопараметрические квантовые аффинные пространства и квантовые торы, иначе

41] L. D. Faddeev, L. A. Takhtajan. A Loivville model on the lattice // LN in Math.Phis. 1986. - V.24. - p. 166-179.

г\2] В. Г. Дрикфельд. Квантовые группы // Записки научн. сем. ЛОМИ. - 1986. -т. 155. - с. 19-49.

®[3] П. П. Кулиш, Н. Ю. Решетихин. Квантовая линейная задача для уравнения синус-Гордона и высшие представления // Записки научн. сем. ЛОМИ. - 1981. - т. 101..-с. 101-110.

*{4| Yu. I. Manin. Some remarks on Koszul complex and quantum groups // Ann. Inst. Fourier (Grenoble). - 1987. - v. 37. - p. 191-205.

*|5] В. А. Артамонов. Общие квантовые многочлены: неприводимые модули и Морита-эквивалентность // Изв. РАН, сер. матем. - 1999. - 63, №5. - с. 3-36.

*(6] А. Н. Панов. Тела скрученных рациональных функций и тело рациональных функций ко GL,{n, К) // Алгебра и анализ. - 1995. - т. 7(1). - с. 153-169.

т|7] J. С. McCormel, J. J. Pettit. Crossed products and multiplicative analogues of Weyl algebras // J. London Math. Soc. - 1988. - v. 38(2). - p. 47-55.

1 РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ I

БИБЛИОТЕКА j

'ГЗЩ I

называемые алгебрами квантовых лорановских многочленов, общие квантовые многочлены и т.д.

В работах [4], [8]8, [9]9 Ю.И. Маниным был предложен способ построения квантовых групп на основе понятия универсальной кодействующей на некоторое семейство алгебр алгебры. Частным случаем универсальной кодействующей являются алгебры квантовых матриц. Многопараметрические алгебры квантовых матриц 0\jp(Mn(k)) были построены М. Артином, В. Шельтером, Дж. Тэйтом в работе [10]10 и А. Сэдбэри в [11]11.

В начале 1990-х годов появились первые результаты, касающиеся теории некоммутативных дифференциальных исчислений на квантовых группах. В связи с этой теорией в работах Г. Мальциниотиса [ 12]12 и Е.Е. Демидова [ 13]13 возникли алгебры Л£Л(А:), являющиеся квантовым аналогом алгебр Вейля.

В работе [14]14 Л.Д. Фаддеевым, Н.Ю. Решетихиным и Л.А. Тахта-джяном были сконструированы квантовые координатные кольца для классических простых групп Ли (т.е. для SLn(G), SO„(C), Spn(С)). Квантовое координатное кольцо Oq{G)k в случае произвольной связной комплексной полупростой алгебраической группы G было построено А. Жозефом в середине 1990-х годов в работах [15]15, [16]16. Метод построения был навеян работами С. Л. Вороновича, Л! Л. Ваксмана и Я. С. Сойбельмана [17]17, [18]18, [19]19, [20]20.

"(81 Yu. I. Manin. Quantum groups and non-commutative geometry // Publ. Centre de Recherches Math., Univ. de Montreal. - 1988.

'[9] Yu. I. Manin. Multiparametric quantum deformation of the general linear supergroup Ц Comm. Math. Phis. - 1989. - v. 123. - p. 163-175.

l0[10| M: Artin, W. Schelter, J. Tate. Quantum deformations ofGLn // Comm. Pure Appl. Math. - 1991. - v. 44. - p. 879-895.

u[ll] A. Sadbery. Consistent multiparameter quantization of GL(n) // J. Phis. - 1990. -v. 23. - p. 697-704.

"[12] G. Maltsiniotis. Calcul diffirenciel quantique // Group de travail, Univerciti Paris VII - 1992.

"[13] E. E. Демидов. Модули над квантовой алгеброй Вейля. // Вестник МГУ. Математика. Механика. - 1993. - №. 1. - с. 53-56.

"[14] Л. Д. Фаддеев, Н. Ю. Решетихии, Л. А. Тахтаджяк. Квантование групп Ли и алгебр Ли // Алгебра и анализ. - 1989. - т. 1(1). - с. 178-206.

"[15] A. Joseph. On the prime and primitive spectra of the algebra of functions on a quantum group // J. Algebra. - 1994. - v. 169. - p. 441-511.

"[16] A. Joseph. Quantum Groups and Their Primitive Ideals // Ergebnisse der Math.(3) 29, Springer-Verlag, Berlin. - 1995.

,T[17] Л. Л. Ваксман, Я. С. Сойбельман. Алгебра функций на квантовой группе SU(2) // Функц. анализ и его прил. - 1988. - т. 22. - с. 170-181.

"(18| Ya. S. Soibelman. Irreducible representations of the function algebra on the quantum group SU(n) // Soviet Math. Dokl. - 1990. - v. 40. - p. 34-38.

"[19] Ya. S. Soibelman. The algebra of functions on a compact quantum group and its representations // Leningrad Math. J. - 1991. - v. 2. - p. 161-178.

M[20] S. L. Woronovicz Compact matrix pseudogroups // Communic. Math. Phis. - 1987. -v. 111. - p. 613-665.

Несмотря на то, что общего понятия квантовой группы (или квантовой алгебры) не существует, а существуют лишь разнородные примеры, эти примеры имеют немало общих свойств. Так, например, все вышеупомянутые алгебры нётеровы и обладают телами частных (см. [21]21). Кроме того все они являются градуированными по

В теории квантовых групп большой интерес представляет изучение тел частных квантовых алгебр.

В связи с тем, что квантовые алгебры во многом аналогичны алгебрам функций над группами, при изучении их тел частных возникают различные варианты гипотезы Гельфанда-Кириллова (см. [22]22).

А. Н. Панов в работе [6] сформулировал и доказал аналог гипотезы Гель-фанда-Кириллова для однопараметрических алгебр квантовых многочленов и для однопараметрических матричных квантовых алгебр В

той же работе доказано, что центр тела частных однопараметрической алгебры квантовых многочленов является чисто трансцендентным расширением основного поля, и вычислены размерность Гельфанда-Кириллова этого тела частных и степени трансцендентности его центра.

Ж. Алев и Ф. Дюма доказали, что тело частных однопараметрической квантовой алгебры Вейля А^(к) изоморфно телу частных алгебры квантовых многочленов для некоторой матрицы мультипараметров (см. [23]23). Они же, объединив свой результат с результатом А. Н. Панова, сформулировали классификационную теорему о телах частных смешанных квантовых алгебр Вейля (см. [24]24), а также результаты, касающиеся степени трансцендентности указанных тел частных, их центров и максимальных подполей.

В работе В. А. Артамонова и П.Кона [25]25 для случая п = 2 показано, что в теле частных алгебры квантовых многочленов централизатор любого элемента, отличного от константы, коммутативен и потому является максимальным подполем в Идея доказательства восходит к работе П. Кона [26]26. В. А. Артамоновым в статье [27]27 получе-

"[211 К- А. Brown, К. R. Goodearl. Lectures on Algebraic Quantum Groups // Adv. cour, in math. - CRM Barcelona, Birkhäuser Verlag, 2002.

"[22] И. M. Гельфанд, A. A. Кириллов. О теми:, связанных с обертывающими алгебрами алгебр Ли // ДАН СССР. - 1966. - т. 167(3). - с. 503-505.

и[23| J. Alev, F. Dumas. Sur le corps des fractions de certaines algibres quantiques // J.of Alg. - Vol.170. - Ml. - c.229-265.

"[24] J. Alev, F. Dumas. Corps de Weyl mixtes // Boletín de la Academia nacional de dénias, Córdoba, Argentina. - nov. 2000. - t. 65. - с. 29-43.

"[25] V. A. Artamonov, P. M. Cohn. The skew field of rational functions on the quantum plane И J. Math. Sei. - 1999. - 93, №6 - с. 824-829.

M[26] P. M. Cohn. Centralisateur dans les corps libres // Ecole de Printemps d'Informatique Théorique, "Séries formelles en variables non commutatives et applications", ed. J. Berstel, Vieux-Boucau les Bains (Landes). - 1978. - c. 45-54.

,T[27| В. A. Артамонов. Тело квантовых рациональных функций // УМН - 1999- - т. 54,

но обобщение этого результата для случая алгебры квантовых многочленов ArgJ-Xi,..., Хп} при П^Зв предположении, что поле к имеет нулевую характеристику.

В связи с квантовыми аналогами гипотезы Гельфанда-Кириллова представляют интерес вопросы, связанные с вычислением различных размерностей, например, размерности Крулля, размерности Гельфанда-Кириллова, глобальной размерности.

. Дж. МакКоннел и Ж. Петит в работе [7] построили алгоритм вычисления размерности Крулля и глобальной размерности алгебры квантовых лоранов-ских многочленов С = fcQpff1,.. . Описанный ими алгоритм основан

на построении ряда локализаций кольца С по подмножествам множества порождающих Х\,... ,Хп и нахождении "минимальной" локализации, для которой существует ненулевой конечномерный модуль над подтелом этой локализации, порожденным соответствующим подмножеством порождающих. Данный алгоритм верен и для размерности Крулля и для глобальной размерности, что позволяет авторам сделать заключение о равенстве этих двух размерностей в случае алгебры квантовых лорановских многочленов.

К. Брукс в работе [28]28 вычислил размерность Крулля и глобальную размерность алгебры квантовых лорановских многочленов пользуясь результатами Дж. МакКоннела и Ж. Петита и своими соображениями по поводу размерности Гельфанда-Кириллова модулей над скрученными произведениями тел и свободных абелевых групп (см. [29]29).

Как известно, вычисление размерности Крулля некоторой алгебры связано со строением первичного спектра этой алгебры (см., например, [30]30). Строению первичного и примитивного спектра некоторых квантовых алгебр посвящена работа К. Гудёрла [31]31. В этой работе первичный спектр описывается с помощью действующей на алгебре подгруппы группы автоморфизмов. Общие результаты применяются к квантовым торам, квантовым аффинным пространствам и к матричным алгебрам.

Группы автоморфизмов алгебры общих квантовых многочленов систематически изучаются в работе В.А. Артамонова и Р. Визбауэра [32]32. Дано весьма полное описание групп автоморфизмов таких алгебр. Дальнейшее ис-

No 4. - с. 151-152.

"[28] С. J. В. Brookes. Crossed products and finitely presented groups // J. Group Theory. - 2000. - 3. - p. 433-444.

"[29] C. J. B. Brookes, J. R. J. Groves. Modules over crossed products of a division ring by a free Abelian group J // J. Algebra. - 2000. - v. 229. - p. 24-54.

30 [301 Ж. Диксмье. Универсальные обертывающие алгебры // Москва, "Мир", 1978.

"[31] К. R. Goodearl. Quantized coordinate rings and related noetherian algebras // Expository paper for Proceedings of 35th Symposium on Ring Theory and Representation Theory (Okayama, October 2002)

,J[32| V. A. Artamonov, R. Wisbauer. Homological properties of quantum polynomials // Algebras Represent. Theory. - 2001. - v. 4(3) - p. 219-247.

следование группы автоморфизмов ведется в работе [33]33, посвященной изучению действия точечных алгебр Хопфа на алгебре общих квантовых многочленов и его инвариантов. Обзор результатов, касающихся строения группы автоморфизмов алгебр квантовых многочленов, действия алгебр Хопфа на этих алгебрах, а также проективных модулей и Морита-эквивалентности приведен в работе В. А. Артамонова [34]34.

Классы алгебр, изучаемых в настоящей работе, близки к классу разрешимых квантовых алгебр, рассматриваемых А. Н. Пановым в работах [35]35, [36]36, [37]37.

Определение разрешимой квантовой алгебры следующее.

Рассмотрим коммутативную нетерову область С со свойством 1 +1 + . .. + 1^0 для любой суммы единиц.

Пусть Я - кольцо, и С содержится в центре Я.

Пусть также С} = (?у) - мультипликативно антисимметричная матрица над С размера (п + т) х (п + т).

Кольцо Я называется разрешимой квантовой алгеброй над С, если оно порождено элементами

с определяющими соотношениями

XfXj = QijXjXi

для всех n + 1 ^ j ^ п + т, 1 ^ г ^ п + ш, и

X{Xj = QijXjXi -f гу для всех 1 ^ t < j ^ тг,

где Гц лежит в подалгебре, порожденной элементами

±1 ¿1 £»+11 • • м х„, 1„+1) • • • txn+m.

В работе [36] в частности показано, что квантовые алгебры Вейля и кван-

и[33| V. A. Artamonov. Pointed Hopf algebras acting on quantum polynomials // J. of Algebra. - 2003. - v. 259 - p. 323-352.

и[34] В. А. Артамонов. Действия квантовых групп на квантовых пространствах Ц Вестник МГУ. Математика. Механика. - 2003. - X». 3. - с. 13-17.

м[35] А. N. Panov. Skew fields of fractions of quantum solvable algebras. // J. Algebra. -2001. - v. 236. - p. 110-121.

s,[36] A. N. Panov. Stratification of prime spectrum of quantum solvable algebras. // Coramun. Algebra. - 2001. - v. 29(9). - p. 3809-3827. •

"¡37) A. N. Panov. Quantum solvable algebras, ideals and representations at root of 1. // Transformation groups. - 2002. - v. 7(4). - p. 379-402.

"[38] А. В. Одесский. Эллиптические алгебры // УМН. - 2002. - т. 57, №6. - с. 87-122.

полугруппе N0, определяемых п образующими, Ч""1? однородными квадратичными соотношениями и удовлетворяющих так называемому условию Пуанкаре-Биркгофа-Витта, т.е. имеющих такие же размерности градуиро-вочных компонент, как и кольцо многочленов от п переменных. Частным случаем таких алгебр являются алгебры квантовые многочленов, координатные кольца полупростых алгебраических групп (см. [21]), эллиптические алгебры Склянина (см. [38], [39]39, [40]40, [41]41), и др.

Цель работы.

Целью настоящей работы является:

1. Исследование свойств коммутативных подалгебр квантовых алгебр.

2. Оценка степени трансцендентности квантовых алгебр, а также изучение проблемы конечной порожденности некоторых коммутативных подалгебр алгебры квантовых многочленов.

Методы исследования..

В работе используются методы теории целочисленных решеток, теории колец, градуированных по полугруппам, теории билинейных форм.

Научная новизна.

Результаты работы являются новыми. Основными из них являются следующие:

1. Доказана общая теорема об алгебраической зависимости элементов алгебры, обладающей нормой и согласованной с ней полунормой (теорема 2.3.8).

2. Изучено строение различных квантовых алгебр. Показано, что они обладают фильтрацией по ; причем соответствующие ассоциированные градуированные алгебры изоморфны алгебрам квантовых многочленов (см. теоремы 3.2.7, 3.2.9, 3.2.11). Также получены оценки степени трансцендентности всех рассматриваемых квантовых алгебр (теоремы 3.1.4, 3.2.8, 3.2.10, 3.2.12).

"(39) А. В. Одесский, Б. Л. Фейгин. Эллиптические алгебры Склянина Ц Функц. анализ и его прил. - 1989. - т. 23. - с. 45-54.

<0[40] Б. К. Склянин. О некоторых алгебраических структурах, связанных с уравнениями Янга-Бакстера // Функц. анализ и его прил. - 1982. - т. 16(4). - с. 22-34.

41 [41] Е. К. Склянин. О некоторых алгебраических структурах, связанных с уравнениями Янга-Бакстера II // Функц. анализ и его прил. - 1983. - т. 17(4). - с. 34-48.

3. Доказаны теоремы о конечной порожденности центра и максимальных мономиальных коммутативных подалгебр алгебры квантовых многочленов (теоремы 3.1.8, 3.1.10).

4. Построен пример максимальной коммутативной подалгебры алгебры ло-рановских квантовых многочленов, не являющейся чисто трансцендентным расширением основного поля (раздел 3.4).

Теоретическая и практическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Результаты и методы диссертации могут быть использованы в теории квантовых групп, некоммутативной алгебраической геометрии и др.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на Международном алгебраическом семинаре, посвященном 70-летию научно-исследовательского семинара МГУ по алгебре, на научно-исследовательском семинаре кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ, семинаре "Кольца и модули", а также на V Международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения".

Публикации.

Результаты диссертации опубликованы в пяти работах [1-5], список которых приводится в конце реферата.

Структура и объем работы.

Работа состоит из введения, трех разделов и списка литературы. Объем диссертации — 84 страницы, список литературы содержит 53 наименования.

Краткое содержание диссертации

Во введении содержатся сведения об истоках возникновения теории квантовых групп, обзор работ, посвященных построению некоторых основных примеров квантовых алгебр, и работ, касающихся вопросов, близких к теме диссертации.

В первом разделе содержатся определения и некоторые результаты, относящиеся к квантовым алгебрам, рассматриваемым в настоящей работе:

алгебрам квантовых многочленов, матричным алгебрам, квантовым координатным кольцам полупростых алгебраических групп и квантовым аналогам алгебр Вейля.

Второй раздел посвящен доказательству теоремы об алгебраической зависимости элементов для алгебр, обладающих нормой и согласованной с ней полунормой.

Вводятся два порядка -<j. и на группе Z": кортежи из Z" сравниваются по сумме их координат, а в случае равенства этих сумм порядок совпадает с лексикографическим, а порядок -<,-./. - обратен лексикографическому порядку. Доказываются общие свойства введенных порядков и вводится общее для них обозначение -<. Далее, для ассоциативной алгебры А дается определение нормы:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1.6. Отображение т] алгебры А в множество 27*, называется нормой, если оно удовлетворяет следующим соотношениям для всех ненулевых f,g € А и a € к*:

N1) r,(af) = ч(Л;

где максимум берется относительно порядка

N3) v(fg) = v(f) + T](9).

А также если существует базис 25 = {6»}iel алгебры А, как векторного пространства, такой что:

N4) T)(bi) ф r][bj) для любых Ь; ф bj, Ь,-, bj € В;

N5) если / = Qsbа разложение произвольного элемента / € А по базису ®» то v(f) ~ max T](b,), здесь максимум также берётся относительно

порядка -<. t>

Также вводится определение полунормы, согласованной с нормой:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1.9. Отображение р алгебры А в множество NJ) задаваемое формулой

р(Л = |i7(6s)|,

называется полунормой, согласованной с нормой т), если оно удовлетворяет свойству:

р(/з) p(f) + р(д) для всех ненулевых f,g£ А. >

Доказываются свойства нормы и полунормы, используемые в доказательстве основной теоремы.

Затем приводятся основные примеры алгебр, обладающих нормой и согласованной с ней полунормой: алгебры квантовых многочленов и фильтрованные по NJJ алгебры, у которых ассоциированная градуированная алгебра изоморфна алгебре квантовых многочленов.

Наконец, дается доказательство основной теоремы об алгебраической зависимости:

ТЕОРЕМА 2.3.8. Пусть Л - ассоциативная алгебра, обладающая нормой и согласованной с ней полунормой. Если - произвольная подалгебра алгебры Л и подмодуль модуля Z", порожденный множеством норм элементов подалгебры V имеет ранг, не превышающий т, то всякая система из (т + \)-го элемента подалгебры V алгебраическизависима. Именно, для любых pi,... ,рт+1 6 V существует многочлен

такой, что >

Далее доказываются основные следствия из теоремы 2.3.8.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.4.2. Элементы bi, bt базиса В алгебры Л, удовлетворяющие неравенству ^([ЬьЬг]) -< 77(61) + »7(62), называются псевдокоммутирую-щими. >

Первое следствие из основной теоремы, касается мощности систем коммутирующих элементов:

ТЕОРЕМА 2.4.5. Максимальное количество алгебраически независимых коммутирующих друг с другом элементов алгебры Л не превышает максимального количества независимых, псевдокоммутирующих друг с другом элементов базиса S. >

Напомним определение степени трансцендентности ассоциативной алгебры в смысле Р. Реско (см. [42]42):

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.4.6. Степень трансцендентности алгебры А над к, обозначаемая определяется как

tr.deg. {А/k) = sup{tr.deg. (С/к) | С D к, С 6 С(А)},

"(42] R. Resco. Transcendental division algebras and simple noetherian rings // Isr. J. of Math. - 1979. - Vol.32. - Nos.2-3. - c.236-256.

где (С/к) означает степень трансцендентности поля частных подал-

гебры С над к, а С(Л) - множество подалгебр алгебры А, являющихся коммутативными областями целостности. >

Второе основное следствие говорит о степени трансцендентности алгебры Л, обладающей нормой и согласованной с ней полунормой:

ТЕОРЕМА 2.4.7. Степень трансцендентности алгебры Л не превышает максимального количества независимых, попарно псевдокоммутирующих элементов базиса 3. >

В третьем разделе изучается строение конкретных квантовых алгебр. Часть из доказанных результатов является следствием теоремы об алгебраической зависимости. Кроме того даются некоторые примеры.

В первой части третьего раздела изучаются коммутативные подалгебры алгебры квантовых многочленов. Доказана теорема о степени трансцендентности таких алгебр над основным полем:

ТЕОРЕМА 3.1.4. Степень трансцендентности алгебры квантовых многочленов Ср^г совпадает с максимальным количеством алгебраически независимых коммутирующих друг с другом элементов мономиалъного базиса алгебры >

Далее доказываются теоремы о конечной порожденности центра и максимальных коммутативных мономиальных подалгебр алгебры квантовых многочленов:

ТЕОРЕМА 3.1.8. Любая максимальная коммутативная подалгебра А алгебры квантовых многочленов £<},п,г. порождённая некоторым подмножеством мономиального базиса алгебры ¿С^п.г, конечно порождена. >

ТЕОРЕМА 3.1.10. Центр алгебры порождается конечным числом мономов. С>

Также рассматривается случай однопараметрической алгебры квантовых многочленов.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.1.16. Алгебра квантовых лорановских многочленов называется однопараметрической, если существует д € к* такое, что ду = д для всех 1 ^ У ^ п и некоторых Оу- 6 Z. Т.е. С} = , где А = (ау) -

кососимметрическая матрица.

В частности доказана

ТЕОРЕМАЗ.1.19. Степень трансцендентности однопараметрической алгебры квантовых многочленов равна индексу Витта знакопеременной формы <р, задаваемой кососимметрической матрицей А. >

Вторая часть третьего раздела посвящена теоремам о степени трансцендентности квантовых алгебр Вейля, матричных алгебр и квантовых координатных колец полупростых алгебраических групп. Доказано, что все эти алгебры лежат в классе фильтрованных по N9 алгебр, чья ассоциированная градуированная алгебра изоморфна алгебре квантовых многочленов. Именно, при подходящихпараметрах ф, а все они изоморфны алгебре - ассоциативной алгебре над полем к, порожденной элементами Х1,Хп с определяющими соотношениями:

где 8(Х¡Х^ означает степень монома Х{Х¡.

УТВЕРЖДЕНИЕ 3.2.5. Алгебра Я®-"1 является фильтрованной по полугруппе N¡3. Соответствующая ассоциированная градуированная алгебра изоморфна некоторой алгебре квантовых многочленов, а именно

ТЕОРЕМА 3.2.6. Степень трансцендентности алгебры 21®,а не превышает максимального количества независимых, коммутирующих друг с другом элементов мономиального базиса ее ассоциированной градуированной алгебры £<э,„,о. >

Из теоремы 3.2.6 выводятся следствия для степени трансцендентности квантовых алгебр.

ТЕОРЕМА 3.2.8. Степень трансцендентности алгебры квантовых матриц не превышает максимального количества независимых, попарно коммутирующих элементов мономиального базиса ее ассоциированной градуированной алгебры

ТЕОРЕМА 3.2.10. Степень трансцендентности квантовой алгебры Вей-ля не превышает максимального количества независимых, комму-

тирующих друг с другом элементов мономиального базиса градуированной алгебры, ассоциированной с

(Л*А(*)Л) < 1г.ае8. ... ,**,]/*),

11

где матрица Q имеет вид

где С' — (с"-1), Л = (Ау) - мультипликативно антисимметричная матрица парат^щ6^\,..., дп) - кортеж параметров квантовой алгебры Вейля, и М = (Щ}) ~ {(¡хУч]). >

ТЕОРЕМА 3.2.12. Степень трансцендентности квантового координатного кольца связной комплексной полупростой алгебраической группы G

не превышает максимального количества независимых, коммутирующих друг с другом элементов мономиального базиса ассоциированной градуированной алгебры ¿г = ¿др^, ..., >

Третья часть третьего раздела содержит изложение результата Брукса, касающегося связи ранга максимальной коммутативной мономиальной подалгебры алгебры квантовых лорановских многочленов и размерности Крул-ля этой алгебры, а также доказательство теоремы о степени трансцендентности тела частных алгебры квантовых лорановских многочленов, принадлежащее Гудёрлу. Далее из результата Брукса и теоремы 3.1.4 выводится

ТЕОРЕМА 3.3.4. Степень трансцендентности алгебры квантовых лорановских многочленов С, совпадает с её размерностью Крулля

^.ае^ {С/к) = Кс1ш1 С.

Наконец, в четвертой части третьего раздела конструируется пример максимальной коммутативной подалгебры алгебры лорановских квантовых многочленов, не являющейся чисто трансцендентным расширением основного поля. Именно, рассматриваются многочлены /, g, лежащие в алгебре квантовых лорановских многочленов

д = Х3У\У6 + /ЭХУ4 + &У2 + А),

где коэффициенты имеют вид:

здесь и = q* не является корнем из единицы, a L - произвольный ненулевой элемент поля к.

Для многочленов fug доказываются следующие утверждения: УТВЕРЖДЕНИЕ 3.4.3. Многочлены fug коммутируют. >

УТВЕРЖДЕНИЕ 3.4.4. Не существует многочлена Л 6 Л такого, что f и д являются многочленами от h. >

Таким образом, максимальная коммутативная подалгебра алгебры. Л = ■£?,2,2> содержащая указанные элементы f и g, не является чисто трансцендентным расширением основного поля k.

Автор пользуется случаем выразить глубокую искреннюю благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н. профессору В.А. Артамонову за постановку задач, руководство работой и полезные советы.

Работы автора по теме диссертации

1. С. А. Зеленова. Коммутативные подалгебры кольца квантовых многочленов и тела квантовых лорановских рядов // "Международный алгебраический семинар, посвященный 70-летию научно-исследовательского семинара МГУ по алгебре. Тезисы докладов", Москва. - 2000. - с. 23-24.

2. С. А. Зеленова. Коммутативные подалгебры кольца квантовых многочленов и тела квантовых лорановских рядов // Математический сборник. - 2001. - 192. - №3 - с. 55-64.

3. С. А. Зеленова. Степень трансцендентности коммутативных подалгебр квантовых алгебр // Тезисы докладов V Международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения", Тула. - 2003. - с. 116-117.

4. С. А. Зеленова. О конечной порожденности некоторых коммутативных подалгебр алгебры квантовых многочленов // Успехи математических наук. - 2003. - 58. - М: - с. 183-184.

5. С. А. Зеленова. Коммутативные подалгебры квантовых алгебр // Математические заметки. - 2004. - 75. - №2. - с. 208-221.

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова,

Подписано в печать -/2. ?ООЗ г. Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. Тираж

Лицензия на издательскую деятельность ИД В 04059, от 20.02.2001г.

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механихо-математического факультета и Франко-русского центра им. A.M. Ляпунова.

\(

• 169 0

РНБ Русский фонд

2004-4 18165

Введение

1 Предварительные сведения

1.1 Алгебры квантовых многочленов.

1.2 Матричные алгебры.

1.3 Квантовые координатные кольца для полупростых алгебраических групп.

1.4 Квантовые алгебры Вейля.

2 Теорема об алгебраической зависимости

2.1 Вспомогательные определения и утверждения

2.2 Примеры

2.2.1 Алгебры квантовых многочленов.

2.2.2 Алгебры, обладающие фильтрацией по полугруппе Nq.

2.3 Теорема об алгебраической зависимости.

2.4 Основные следствия.

3 Следствия и примеры

3.1 Коммутативные подалгебры алгебры квантовых многочленов.

3.1.1 Степень трансцендентности алгебры квантовых многочленов.

3.1.2 Мономиальные подалгебры и центр

3.1.3 Однопараметрический случай.

3.2 Оценки степени трансцендентности других квантовых алгебр

3.2.1 Матричные алгебры . . .•.

3.2.2 Квантовые алгебры Вейля.

3.2.3 Квантовые координатные кольца полупростых алгебраических групп.

3.3 Связь с размерностью Крулля.

3.4 Пример коммутативной подалгебры.

Указатель терминов и обозначений

Квантовые алгебры - это неформальное название различных алгебр, возникающих в теории квантовых групп.

Понятие квантовой группы появилось в конце 1980-х годов в связи с решением квантового уравнения Янга-Бакстера, являющегося ключевым моментом в "квантовом методе обратной задачи" развитом JL Д. Фаддеевым и ленинградской школой математической физики с целью решения "интегрируемых квантовых систем" (см. [29]).

Отправной точкой развития теории квантовых групп, объединившей первые разрозненные результаты и примеры, стала работа В. Г. Дринфельда [9], содержащая мотивировки основных понятий.

Хотя теория квантовых групп не позволила полностью решить уравнение Янга-Бакстера, многие интересные и полезные решения этого уравнения удалось построить именно с ее помощью. "Машиной" для производства таких решений стала теория представлений некоторых специфических алгебр, сходных с деформациями обертывающих алгебр полупростых алгебр Ли. Вот эти специфические алгебры и получили название "квантовых групп".

Первый пример - деформация С/(51г(С)) - возник в статье П. П. Кулиша и Н. Ю. Решетихина в 1981 году (см. [10]).

Первый пример алгебры квантовых многочленов (см. определение 1.1.1) - квантовая плоскость kq[X, Y], - был введен Ю. И. Маниным в [34]. В дальнейшем многие авторы рассматривали обобщения этой алгебры (см., например, [1, 14, 38]). Среди таких обобщений можно назвать однопараметрические и многопараметрические квантовые аффинные пространства и квантовые торы, иначе называемые алгебрами квантовых лорановских многочленов, общие квантовые многочлены и т.д. Определение 1.1.1 является наиболее общим из всех указанных определений.

В работах [34, 35, 36] Ю. И. Маниным был предложен способ построения квантовых групп на основе понятия универсальной кодействующей на некоторое семейство алгебр алгебры. Частным случаем универсальной кодействующей являются алгебры квантовых матриц (определение 1.2.1). Многопараметрические алгебры квантовых матриц 0\tp(Mn(k)) были построены М. Артином, В. Шельтером, Дж. Тэйтом в работе [24] и А. Сэдбэри в [45].

В начале 1990-х годов появились первые результаты, касающиеся теории некоммутативных дифференциальных исчислений на квантовых группах. В связи с этой теорией в работах Г. Мальциниотиса [33] и Е. Е. Демидова [6] возникли алгебры А%А(к), являющиеся квантовым аналогом алгебр Вейля (определение 1.4.1).

В работе [17] JI. Д. Фаддеевым, Н. Ю. Решетихиным и J1. А. Тахтаджяном были сконструированы квантовые координатные кольца для классических простых групп Ли (т.е. для SLn(С), SOn(С), Spn(С)). Квантовое координатное кольцо Oq(G)k в случае произвольной связной комплексной полупростой алгебраической группы G было построено А. Жозе-фом в середине 1990-х годов в работах [31, 32]. Метод построения был навеян работами С. Л. Вороновича, Л. Л. Ваксмана и Я. С. Сойбельмана [4, 46, 47, 48].

Несмотря на то, что общего понятия квантовой группы (или квантовой алгебры) не существует, а существуют лишь разнородные примеры, эти примеры имеют немало общих свойств.

Так, например, все вышеупомянутые алгебры нётеровы и обладают телами частных (см. [25]). Кроме того все они являются градуированными по No.

В теории квантовых групп большой интерес представляет изучение тел частных квантовых алгебр.

В связи с тем, что квантовые алгебры во многом аналогичны алгебрам функций над группами, при изучении их тел частных возникают различные варианты гипотезы Гельфанда-Кириллова (см. [5]).

А. Н. Панов в работе [14] сформулировал и доказал аналог гипотезы Гельфанда-Кириллова для однопараметрических алгебр квантовых многочленов и для однопараметрических матричных квантовых алгебр Oq{GLn(k)). В той же работе доказано, что центр тела частных однопараметрической алгебры квантовых многочленов является чисто трансцендентным расширением основного поля, и вычислены размерность Гельфанда-Кириллова этого тела частных и степени трансцендентности его центра.

Ж. Алев и Ф. Дюма доказали, что тело частных однопараметрической квантовой алгебры Вейля А%А(к) изоморфно телу частных алгебры квантовых многочленов для некоторой матрицы мультипараметров (см. [20]). Они же, объединив свой результат с результатом А. Н. Панова, сформулировали классификационную теорему о телах частных смешанных квантовых алгебр Вейля (см. [19]), а также результаты, касающиеся степени трансцендентности указанных тел частных, их центров и максимальных подполей.

В работе В. А. Артамонова и П. Кона [21] для случая п = 2 показано, что в теле частных кд(Х, У) алгебры квантовых многочленов kq[X,Y] централизатор любого элемента, отличного от константы, коммутативен и потому является максимальным подполем в kq(X, Y). Идея доказательства восходит к работе П. Кона [28]. В. А. Артамоновым в статье [2] получено обобщение этого результата для случая алгебры квантовых многочленов 1cq[Xi, . ,Хп] при п ^ 3 в предположении, что поле к имеет нулевую характеристику.

В связи с квантовыми аналогами гипотезы Гельфанда-Кир-иллова представляют интерес вопросы, связанные с вычислением различных размерностей, например, размерности Крул-ля, размерности Гельфанда-Кириллова, глобальной размерности.

Дж. МакКоннел и Ж. Петит в работе [38] построили алгоритм вычисления размерности Крулля и глобальной размерности алгебры квантовых лорановских многочленов С = kq[Xfl,. ,-X*1]. Описанный ими алгоритм основан на построении ряда локализаций кольца С по подмножествам множества порождающих Xi,.,Xn и нахождении "минимальной" локализации, для которой существует ненулевой конечномерный модуль над подтелом этой локализации, порожденным соответствующим подмножеством порождающих. Данный алгоритм верен и для размерности Крулля и для глобальной размерности, что позволяет авторам сделать заключение о равенстве этих двух размерностей в случае алгебры квантовых лорановских многочленов.

К. Брукс в работе [26] вычислил размерность Крулля и глобальную размерность алгебры квантовых лорановских многочленов AjgfXf1,. , X*1] пользуясь результатами Дж. Мак-Коннела и Ж. Петита и своими соображениями по поводу размерности Гельфанда-Кириллова модулей над скрученными произведениями тел и свободных абелевых групп (см. [27]).

Как известно, вычисление размерности Крулля некоторой алгебры связано со строением первичного спектра этой алгебры (см., например, [8]). Строению первичного и примитивного спектра некоторых квантовых алгебр посвящена работа К. Гудёрла [30]. В этой работе первичный спектр описывается с помощью действующей на алгебре подгруппы группы автоморфизмов. Общие результаты применяются к квантовым торам, квантовым аффинным пространствам и к матричным алгебрам.

Группы автоморфизмов алгебры общих квантовых многочленов систематически изучаются в работе В. А. Артамонова и Р. Визбауэра [22]. Дано весьма полное описание групп автоморфизмов таких алгебр. Дальнейшее исследование группы автоморфизмов ведется в работе [23], посвященной изучению действия точечных алгебр Хопфа на алгебре общих квантовых многочленов и его инвариантов. Обзор результатов, касающихся строения группы автоморфизмов алгебр квантовых многочленов, действия алгебр Хопфа на этих алгебрах, а также проективных модулей и Морита-эквивалентности приведен в работе В. А. Артамонова [3].

Классы алгебр, изучаемых в настоящей работе, близки к классу разрешимых квантовых алгебр, рассматриваемых А. Н. Пановым в работах [41, 42, 43].

Определение разрешимой квантовой алгебры следующее.

Рассмотрим коммутативную нетерову область С со свойством 1 + 1 + . . + 1^0 для любой суммы единиц.

Пусть R - кольцо, и С содержится в центре R.

Пусть также Q — (qjj) - мультипликативно антисимметричная матрица над С размера (n + т) х (п + т).

Кольцо R называется разрешимой квантовой алгеброй над

С, если оно порождено элементами . . . , Хп, ., хп+т с определяющими соотношениями

X i Xj — QijXjXi для всех n + Kj^n + m, 1 ^i^n + m, и

XiXj = qijXjXi + Гц для всех 1 ^ i < j ^ п, где Гц лежит в подалгебре, порожденной элементами

1 ±1 Я-i+b • • • > xni xn+li' • •» хп+т'

В работе [42] в частности показано, что квантовые алгебры Вейля и квантовые матричные алгебры являются разрешимыми квантовыми алгебрами.

Другого рода обобщение было рассмотрено А. В. Одесским в статье [13]. Именно, рассматривается класс ассоциативных алгебр, градуированных по полугруппе No, определяемых п образующими, однородными квадратичными соотношениями и удовлетворяющих так называемому условию Пуанка-ре-Биркгофа-Витта, т.е. имеющих такие же размерности гра-дуировочных компонент, как и кольцо многочленов от п переменных. Частным случаем таких алгебр являются алгебры квантовые многочленов, координатные кольца полупростых алгебраических групп (см. [25]), эллиптические алгебры Скля-нина (см. [12, 13, 15, 16]), и др.

Целью настоящей работы является:

1. Исследование свойств коммутативных подалгебр квантовых алгебр.

2. Оценка степени трансцендентности квантовых алгебр, а также изучение проблемы конечной порожденности некоторых коммутативных подалгебр алгебры квантовых многочленов.

В работе используются методы теории целочисленных решеток, теории колец, градуированных по полугруппам, теории билинейных форм.

Результаты работы являются новыми. Основными из них являются следующие:

1. Доказана общая теорема об алгебраической зависимости элементов алгебры, обладающей нормой и согласованной с ней полунормой (теорема 2.3.8).

2. Изучено строение различных квантовых алгебр. Показано, что они обладают фильтрацией по Nq, причем соответствующие ассоциированные градуированные алгебры изоморфны алгебрам квантовых многочленов (см. теоремы 3.2.7, 3.2.9, 3.2.11). Также получены оценки степени трансцендентности всех рассматриваемых квантовых алгебр (теоремы 3.1.4, 3.2.8, 3.2.10, 3.2.12).

3. Доказаны теоремы о конечной порожденности центра и максимальных мономиальных коммутативных подалгебр алгебры квантовых многочленов (теоремы 3.1.8, 3.1.10).

4. Построен пример максимальной коммутативной подалгебры алгебры лорановских квантовых многочленов, не являющейся чисто трансцендентным расширением основного поля (раздел 3.4).

Работа носит теоретический характер. Результаты и методы диссертации могут быть использованы в теории квантовых групп, некоммутативной алгебраической геометрии и др.

Результаты диссертации докладывались на Международном алгебраическом семинаре, посвященном 70-летию научно-исследовательского семинара МГУ по алгебре [49], на научно-исследовательском семинаре кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ, семинаре "Кольца и модули", а также на V Международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" [51].

Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [50, 53, 52].

Работа состоит из введения, трех разделов и списка литературы. Объем диссертации — 84 страницы, список литературы содержит 53 наименования.

1. П. П. Кулиш, Н. Ю. Решетихин. Квантовая линейная задача для уравнения синус-Гордона и высшие представления // Записки научн. сем. ЛОМИ. 1981. - т. 101. -с. 101-110.И. С. Ленг. Алгебра // Изд-во "Мир", Москва, 1968.

2. А. В. Одесский, Б. Л. Фейгин. Эллиптические алгебры Склянина I/ Функц. анализ и его прил. 1989. - т. 23. -с. 45-54.

3. А. В. Одесский. Эллиптические алгебры // УМН. 2002. - т. 57, т. - с. 87-122.

4. А. Н. Панов. Тела скрученных рациональных функций и тело рациональных функций на GLq(n, К) // Алгебра и анализ. 1995. - т. 7(1). - с. 153-169.

5. Е. К. Склянин. О некоторых алгебраических структурах, связанных с уравнениями Янга-Бакстера // Функц. анализ и его прил. 1982. - т. 16(4). - с. 22-34.

6. Е. К. Склянин. О некоторых алгебраических структурах, связанных с уравнениями Янга-Бакстера II j j Функц. анализ и его прил. 1983. - т. 17(4). - с. 34-48.

7. Л. Д. Фаддеев, Н. Ю. Решетихин, Л. А. Тахтаджян. Квантование групп Ли и алгебр Ли // Алгебра и анализ. -1989. т. 1(1). - с. 178-206.

8. P. M. Cohn. Сentralisateur dans les corps libres // Ecole de Printemps d'Informatique Theorique, "Series formelles en variables non commutatives et applications", ed. J. Berstel, Vieux-Boucau les Bains (Landes). 1978. - c. 45-54.

9. Ya. S. Soibelman. The algebra of functions on a compact quantum group and its representations // Leningrad Math. J. 1991. - v. 2. - p. 161-178.

10. S. L. Woronovicz Compact matrix pseudogroups // Communic. Math. Phis. 1987. - v. 111. - p. 613-665.Работы автора no теме диссертации

11. С. А. Зеленова. Коммутативные подалгебры кольца квантовых многочленов и тела квантовых лорановских рядов // Матем. сборник. 2001. - 192. - №3. - с. 55-64.

12. С. А. Зеленова. Степень трансцендентности коммутативных подалгебр квантовых алгебр // Тезисы докладов V Международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения", Тула. 2003. - с. 116-117.

13. С. А. Зеленова. О конечной порожденности некоторых коммутативных подалгебр алгебры квантовых многочленов // УМН. 2003. - 58. - № 3. - с. 183-184.

14. С. А. Зеленова. Коммутативные подалгебры квантовых алгебр // Матем. заметки. 2004. - 75. - №2. - с. 208-221.