Исследования в категории пронильпотентных алгебр Ли тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

005049202

Ші

Швед Елена Анатольевна

ИССЛЕДОВАНИЯ В КАТЕГОРИИ ПРОНИЛЬПОТЕНТНЫХ АЛГЕБР ЛИ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Омск - 2012

005049202

Работа выполнена на кафедре алгебры ФГБОУ ВПО

"Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского"

Научный руководитель

доктор физико-математических наук

профессор Кукин Георгий Петрович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук профессор Тимошенко Евгений Иосифович кандидат физико-математических наук Чирков Игорь Викторович

Ведущая организация

ФГБОУ ВПО "Алтайский государственный университет"

Защита состоится 6 декабря 2012 г. в 15 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета ДМ 212.179.07 при ОмГУ им. Ф.М. Достоевского по адресу: 644099 Омск, ул. Певцова, 13, к. 15.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Омского государственного университета им. Ф.М. Достоевского. Автореферат разослан 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физ.-мат. наук,

доцент

А.М. Семенов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Теория нильпотентных групп, нильпотент-ных колец и алгебр над полем играет исключительную роль в структурной теории групп и колец. Начиная с пятидесятых годов XX-го столетия эти классы групп и колец были расширены до класса групп, аппроксимируемых нильпотентными группами, и класса колец (алгебр), аппроксимируемых нильпотентными кольцами (алгебрами). Далее для этих классов алгебраических систем были получены многие важные результаты. Перечислим только те из них, которые имеют отношение к данной диссертации. А. И. Мальцев 1 занимался проблемой нильпотентной аппроксимируемости колец и алгебр. Отметим теорему А.И. Мальцева (1949) о том, что свободное произведение алгебр Ли, аппроксимируемых нильпотентными алгебрами, есть нильпотентно аппроксимируемая алгебра Ли. Используя эту теорему, А.И. Ширшов 2 по линейным базам алгебр Ли А и В построил линейную базу для свободного произведения А * В, в классе алгебр Ли.

Г.П. Кукин 3 доказал, что декартова подалгебра свободного произведения алгебр Ли является свободной алгеброй Ли и конструктивно описал систему свободных порождающих, а, следовательно, и линейный базис декартовой подалгебры.

Известно, что на группе (алгебре), аппроксимируемой нильпотентными группами (алгебрами), можно определить (многими спо-

1 Мальцев А.И, Обобщенно нильпотентные алгебры и юс присоединенные группы // Мат. сб. 1949. Т. 25* № 3. С. 347-366.

2Ширшов А.И. Об одной гипотезе теории алгебр Ли // Сиб. мат. ж. 1962. Т. 3, № 2. С.297-301.

3Кукин Г.П. О декартовой подалгебре свободной лиевой суммы алгебр Ли // Алгебра и логика. 1970. Т. 9, № 6. С. 701-713.

собами). так называемую иронилыготентную топологию,-превращая тем самым группу (алгебру) в топологическую группу (алгебру). Кроме того, существует стандартная процедура, например, с помощью обратных пределов обратных спектров, пополнения такой топологической группы (глгебры) так, чтобы получилась прониль-потентная группа или алгебра, т.е. такая, в которой имеет предел любая чистая последовательность Коши. Таким образом, возникает новая категория алгебр Ли над полем - категория пронильпотент-ных алгебр Ли над полем.

Настоящая диссертация посвящена изучению свойств объектов категории пронильпотентных алгебр Ли. Мы вводим понятия свободного объекта и свободного произведения в этой категории и обобщаем результаты А.И. Мальцева, А.И. Ширшова, Г.П. Кукина для объектов новой категории. Мы изучаем также подалгебры свободной пронильпотентной алгебры Ли над полем и идеалы свободного произведения алгебр в этом классе.

Цель работы. Основной целью нашего исследования является описание идеалов и замкнутых идеалов свободного произведения в категории пронильпотентных алгебр Ли над полем.

Методы исследования. В работе используются методы комбинаторной и топологической алгебры.

Научная новизна. Все результаты диссертации, выносимые на защиту, являются новыми. Они получены автором диссертации самостоятельно, публикации - без соавторов.

Теоретическая значимость. Работа имеет теоретическое значение. Здесь получены новые теоремы о строении топологических

алгебр.

Практическая ценность. Результаты диссертации могут быть использованы при чтении спецкурсов по топологической алгебре, при подготовке учебных пособий и монографий в этой области. Отметим, что некоторые результаты уже использованы в исследовании Г.П. Кукина и Е.А. Тюменцева4.

Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в шести работах ([1] - [6]) и неоднократно докладывались на Алгебраических семинарах в Омском госуниверситете им. Ф.М. Достоевского и Омском филиале Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 65 страницах, состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Первая, вторая и четвертая главы разбиты на разделы. В работе принята следующая нумерация основных структурных единиц. В каждой главе все теоремы, определения, леммы и замечания имеют сквозную нумерацию. Список литературы содержит 26 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Первая глава диссертации посвящена описанию категории про-нильпотентных алгебр Ли. Если алгебра Ли А над полем аппроксимируется нильпотентными алгебрами Ли, то на А ядра соответствующих аппроксимаций у?,- определяют фильтрацию^ = {А* | г е /}, при этом алгебра А превращается в топологическую алгебру Ли, причем система идеалов {Аг = кегщ | г 6 1} - базис открыто-

4Кукин Г.П., Тюменцев Е.А. Универсальные конструкции экспоненциальных алгебр. Деп. в ВИНИТИ 05.11.2002. № 1998-В2002.

замкнутых окрестностей нуля. Фильтрация Та определяет обратный спектр нильпотентных алгебр Ли и обратный предел этого спектра называется пронильпотентной алгеброй Ли и обозначается^,,^.

Таким образом, мы определяем категорию пронильпотентных алгебр Ли над полем к. Объектами этой категории являются прониль-потентные алгебры Ли над полем к, а морфизмами являются непрерывные гомоморфизмы пронильпотентных алгебр Ли.

Далее мы вводим понятие топологического линейного базиса для пронильпотентной алгебры Ли над полем к.

Определение 1.4.1. Пусть А - пронильпотентная алгебра Ли над полем к. Тогда множество В С А называется топологическим линейным базисом для А, если выполнены следующие условия:

(1) А = ІгпВ, то есть замыкание линейной оболочки множества В совпадает с А;

(2) для любого элемента Ъ Є В верно, что Ип{В \ 6} ф А.

В заключение главы строится свободный объект в рассматриваемой категории - свободная пронильпотентная алгебра Ли.

Определение 1.5.4. Пусть Р, - пронильпотентная алгебра Ли над полем к, X С Р», г : X -> .Р, вложение множества X в алгебру К. Тогда ^ называется свободной пронильпотентной алгеброй Ли с множеством X свободных топологических порождающих, если выполнены следующие услозия:

1) множество і(Х) является множеством топологических порождающих алгебры

2) для любой пронильпотентной алгебры Ли В, и отображения ф : X —* В* существует непрерывный гомоморфизм 9 : і"1* —► і?*

такой, что следующая диаграмма коммутативна X Л Г,

ФХ 10 в*■

Во второй главе мы вводим стандартным категорным способом свободное пронилыютентное произведение пронильпотентных алгебр Ли над полем к. Поскольку часто категорное определение является не совсем удобным в приложениях, мы даем конструктивное описание свободного пронильпотентного произведения двух пронильпотентных алгебр Ли над к, эквивалентность этих определений доказана в теореме 2.2.5.

Прежде, чем сформулировать теорему 2.2.5, опишем систему идеалов, задающую нужную фильтрацию на свободном произведении дискретных алгебр Ли над к.

Пусть ВГггв - пронильпотентные алгебры Ли над полем к

с множествами X, У топологических порождающих соответственно. Пусть = А°{Х), В0 = В°{У) - алгебры Ли над к с множествами порождающих X, У соответственно. Рассмотрим алгебру Ли Р° = А0 * В0 - свободное произведение дискретных алгебр Ли над к.

Далее на алгебрах и В0 зададим фильтрации. Итак, на А0 задана фильтрация = {А (г Є /)}, определяющая на ней про-нильпотентную топологию т(А). На алгебре В0 задана фильтрация Тв = {Ві (і Є ./)}, определяющая на ней пронильпотентную топологию т(В),

Зададим на алгебре Р° систему идеалов | (г;^';п) Є Л},

где Л - специальным образом построенное индуктивное множество индексов, а Сг^іП - идеал алгебры Р°, порожденный компонентами

(Л;, .Ву, 7,1(1?)}, где 7п(-0) - п—ый член нижнего центрального ряда декартовой подалгебры свободного произведения Р°. Построенная система идеалов | (г;У;п) Є Л} задает на алгебре Р° филь-

трацию.

Теорема 2.2.5. Пусть - пронилыготентные алгебры

Ли над полем к с множествами X, У топологических порождающих соответственно. И пусть Р° = А0*В0- свободное произведение дискретных алгебр Ли над к Л° = А°(Х) и В0 = В0(У). Тогда алгебра Р = ІітлР°/Сі,},П! где на алгебре Р° фильтрация задана системой идеалов | (г;п) Є Л}, определенной выше, являет-

ся свободным пронильпотентным произведением * про-

сто

нильпотентных алгебр Ли.

В главе 3 изучаются замкнутые подалгебры свободной прониль-потентной алгебры Ли. Предварительно приведем один результат Ю.В. Кузьмина 5 о структуре замкнутой подалгебры свободной про-нильпотентной алгебры Ли над полем О. Для этого напомним, что между категориями нильпотентных О-групп и нильпотентных алгебр над полем <Ц> существует изоморфизм, определенный А.И. Мальцевым с помощью соответствия Ь —> ехр Ь (где Ь - нильпотентная алгебра Ли над <0>), а нильпотентная группа ехрЬ строится по алгебре Ь по формуле Кэмпбелла-Хаусдорфа. Если Ь„ - обратный предел нильпотентных алгебр Ли над<0> (т.е. пронильпотентая алгебра Ли), то определенное выше соответствие А.И. Мальцева естественным образом продолжается до соответствия между пронильпотентными алгебрами Ли над и пронильпотентными О-группами. С помощью

5Куэьмин Ю.В. О теоремах типа теоремы Нильсена-Шрайера в алгебре рядов от неком-мутируюпщх переменных // Сиб. мат. ж. 1986. Т. 27» .Vі 2. С. 91-103.

этого соответствия Ю.В. Кузьмин доказал следующее утверждение: Замкнутая подалгебра свободной пронильпотентной алгебры Ли над полем <12, допускающая конечное множество топологических порождающих, является свободной пронильпотентной алгеброй Ли.

Мы же для подалгебр свободной пронильпотентной алгебры Ли над полем к получили следующий результат:

Теорема 3.5. Пусть А - произвольная подалгебра свободной пронильпотентной алгебры Ли Тогда найдется < А, которая является дискретной свободной алгеброй Ли над к, причем подалгебры А0, А в Ь* имеют одинаковые замыкания относительно рассматриваемой топологии.

Очевидное следствие этой теоремы: замкнутая подалгебра свободной пронильпотентной алгебры Ли над полем к содержит всюду плотную подалгебру, которая является свободной алгеброй Ли.

Отметим, что при доказательстве теоремы 3.5 мы используем новые методы, отличные от методов Ю.В. Кузьмина.

Четвертая глава диссертации посвягцена изучению идеалов и замкнутых идеалов свободных произведений алгебр Ли в классе про-нилыготентных алгебр Ли.

В первом разделе главы сформулированы некоторые результаты относительно структуры свободного произведения алгебр Ли, доказанные в работах Г.П. Кукина6.

Второй раздел четвертой главы посвящен расширению конструкций дифференциального расширения и свободного дифференциаль-

6Кукин Г.П. Подалгебры свободной лиевой суммы алгебр Ли с объединенной подалгеброй // Алгебра и логика. 1972. Т. 11. № 1. С. 59-86.

Кукин Г.П. О свободных произведениях ограниченных алгебр Ли // Мат. сб. 1974. Т. 95, № 1. С. 53-83.

ного расширения на категорию пронилыготентных алгебр Ли над полем.

Определение 4.2.6. Пусть В,Ь - пронильпотентные алгебры Ли над одним и тем же полем ку А - замкнутая подалгебра в В, Ь - подалгебра в алгебре непрерывных дифференцирований алгебры В, причем В содержит подалгебру Во, которая является дифференциальным расширением алгебры В с помощью алгебры Ь. На алгебре В введем топологию следующим образом: базис открыто-замкнутых окрестностей нуля состоит из векторных пространств А(п) — ^ш! где Ат — А^Л^ (расстановка скобок правая). Если

т>п т

пополнение подалгебры Во относительно этой топологии т совпадает с алгеброй В, то алгебра В называется дифференциальным расширением (в классе пронильпотентных алгебр Ли над к) алгебры А с помощью алгебры Ь и обозначается < А \ Ь >рго-

Определение 4.2.7. Пусть < А | Ь >рг0 - дифференциальное расширение алгебры А над полем к с помощью алгебры Ь в классе пронильпотентных алгебр Ли над к, причем для любого дифференциального расширения С алгебры Л с помощью Ь в классе пронильпотентных алгебр Ли непрерывные вложения ф : А С, в : А —►< А \ Ь >рг0 продолжаются непрерывным гомоморфизмом (р алгебры < А | Ь >рго на алгебру С так, что следующая диаграмма коммутативна

А Л < А | Ь >рго 1<р С.

Тогда алгебра < А | Ь >рг0 называется свободным дифференциальным расширением алгебры А с помощью Ь в классе

пронилыготентных алгебр Ли.

В работе Г.П. Кукииа и Е.В. Руниной ^ доказано, что любой идеал Т свободного произведения * Ga лиевых алгебр над полем характеристики 0 - это свободное произведение некоторой свободной алгебры Ли S и подалгебр специального вида, причем каждая пополненная в некоторой топологии, дает лиеву алгебру Та, содержащую в качестве всюду плотных подалгебр (с одной стороны) и свободное произведение подалгебр Т%, изоморфных Та = Tf)Ga (с другой стороны). Другими словами, данный идеал Т < * Goe и подалгебра S * ( * (T'f™] — всюду плотные подал-

гебры (в пополнении алгебры * Ga в некоторой топологии), а их замыкания совпадают.

В третьем разделе главы 4 мы доказываем теорему 4.3.3 об идеалах свободного произведения дискретных алгебр Ли над полем к. Теорема сформулирована на языке свободных дифференциальных расширений.

Теорема 4.3.3. Пусть * На- свободное произведение лиевых алл

гебр над полем к, I - идеал этого произведения. Тогда I = W * (*-^а)> гДе W _ свободная лиева алгебра, - свободное дифференциальное расширение идеала Haf)I алгебры На (для каждого а Є А).

Далее мы доказываем теоремы об идеалах свободного прониль-потентного произведения пронилыготентных алгебр Ли.

Теорема 4.4.1. Пусть А, В- пронильпотентные алгебры Ли над

7Кухин Г.П., Рунина Е.В. Об алгебрах, конфиналъных подалгебрам свободного произведения алгебр Ли. В сб.: Комбинаторные и вычислительные методы в математике. Омск: ОмГУ, 1899. С. 190-205.

полем к, I - замкнутый идеал их свободного произведения А д В в классе пронильпотентных алгебр Ли над к. Тогда I = * * S,

1 pro pro

где 1% =< If) А \ dB_ >pro, І в =< І п B \ dA >pro,dB - коразмерность подалгебры Bf]I в алгебре В, іід - коразмерность подалгебры А ПI в алгебре A, S - замыкание некоторой свободной лиевой подалгебры в рассматриваемой топологии.

Описание идеалов свободного произведения в категории пронильпотентных алгебр Ли над фиксированным полем характеристики О дает следующая теорема:

Теорема 4.4.7. Пусть Aj (j Є J) - пронильпотентные алгебры Ли над полем к характеристики О, I - идеал их свободного про-нильпотентного произведения Р. Тогда найдется подалгебра /0 в Р, конфинальная I, для которой справедливо равенство

/о = S *(.*.(/ГИ;)*), •j 1 '

где S - свободная алгебра Ли, tp{ - изоморфизмы (щ - композиция экспоненциальных отображений), а свободное произведение рассматривается в категории дискретных алгебр Ли.

В теории групп хорошо известна теорема И.А. Грушко 8: Если свободная группа S гомоморфно отображена на группу G, разложенную в свободное произведение подгрупп Л и В, то в S можно выбрать такую систему свободных порождающих, что при рассматриваемом гомоморфизме каждый из этих порождающих отображается внутрь одного из сомножителей А, В.

В пятой главе мы доказываем аналог теоремы И.А. Грушко для свободного пронильпотентного произведения пронильпотентных ал-

вГрушко И.А. О базисах свободного произведения групп // Мат. сб. 1940. Т. 8 С. 169-182.

гебр Ли над произвольным полем к.

Теорема 5.4. Пусть ip - непрерывный эпиморфизм <р ". L —>

А * В свободной пронильпотентной алгебры Ли L над произвольно

ным полем к на свободное пронилыготентное произведение прониль-потентных алгебр Ли An В над к. Тогда L = La *. Lb, где La, Lb

pro

- свободные пронильпотентные алгебры Ли над к, причем 'p(La) = A, <p(LB) = В.

Отметим, что ситуация в случае пронильпотентных алгебр Ли существенно отличается от ситуации в категории дискретных алгебр Ліг, где этот вопрос до сих пор открыт.

Список работ автора по теме диссертации

[1] Швед Е.А. О пронилыготентных алгебрах Ли // Вестник Омского ун-та. 2001. № 4. С. 16-18.

[2] Швед Е.А. Приложения метода композиции в теории алгебр Ли // Вестник Омского ун-та. 2002. № 4. С. 11-13.

[3] Швед Е.А. Приложения метода композиции в теории алгебр Ли и пронильпотентных алгебр Ли. Деп. в ВИНИТИ 05.1102.

№ 1897-В2002. 14 с.

[4] Швед Е.А. Приложения метода композиции в теории пронильпотентных алгебр Ли // Вест. Оме. ун-та. 2003. № 1. С. 10-12.

[5] Швед Е.А. О подалгебрах свободного произведения в классе пронильпотентных алгебр Ли. Вест. Оме. ун-та. 2004. № 1. С. 25-27.

[6] Швед Е.А. О категории пронильпотентных алгебр Ли. Вест. Оме. ун-та. 2012. № 2. С. 67-75.

Типография ОмГУПСа, 2012. Тираж 100 экз. Заказ 699. 644046, г. Омск, пр. Маркса, 35.

Введение

1. Категория пронильпотентных алгебр Ли

1.1. Обратные спектры и обратные пределы

1.2. Определение пронильпотентной алгебры Ли

1.3. Алгебры Ли с пронильпотентной топологией

1.4. Топологический линейный базис пронильпотентной алгебры Ли.

1.5. Конструкция свободной пронильпотентной алгебры Ли

2. Свободное пронильпотентное произведение в категории пронильпотентых алгебр Ли

2.1. Предварительные сведения

2.2. Свободное произведение в классе пронильпотентных алгебр Ли

3. Подалгебры свободной пронильпотентной алгебры Ли

4. Идеалы свободного произведения пронильпотентных алгебр Ли

4.1. Предварительные сведения о свободном произведении алгебр Ли

4.2. Свободные дифференциальные расширения

4.3. Идеалы свободного произведения дискретных алгебр Ли

4.4. Теоремы об идеалах свободного пронильпотентного произведения пронильпотентных алгебр Ли

5. Аналог теоремы Грушко в категории пронильпотентных алгебр Ли

Теория нилытотентных групп, нильпотентных колец и алгебр над полем играет исключительную роль в структурной теории групп и колец. Начиная с пятидесятых годов ХХ-го столетия эти классы групп и колец были расширены до класса групп, аппроксимируемых нильпотентными группами, и класса колец (алгебр), аппроксимируемых нильпотентными кольцами (алгебрами). Далее для этих классов алгебраических систем были получены многие важные результаты. Перечислим только те из них, которые имеют отношение к данной диссертации. А.И. Мальцев занимался проблемой нильпо-тентной аппроксимируемости колец и алгебр [13]. Отметим теорему А.И. Мальцева (1949) о том, что свободное произведение алгебр Ли, аппроксимируемых нильпотентными алгебрами, есть нильпотентно аппроксимируемая алгебра Ли. Используя эту теорему А.И. Ширшов по линейным базам алгебр Ли А и В построил линейную базу для свободного произведения А * В в классе алгебр Ли (см. [16]).

Г.П. Кукин [8] доказал, что декартова подалгебра свободного произведения алгебр Ли является свободной алгеброй Ли и конструктивно описал систему свободных порождающих, а, следовательно, и линейный базис декартовой подалгебры.

Известно, что на группе (алгебре), аппроксимируемой нильпотентными группами (алгебрами), можно определить (многими способами) так называемую пронильпотентную топологию, превращая тем самым группу (алгебру) в топологическую группу (алгебру). Кроме того, существует стандартная процедура, например, с помощью обратных пределов обратных спектров, пополнения такой топологической группы (алгебры) так, чтобы получилась прониль-потентная группа или алгебра, т.е. такая, в которой имеет предел любая чистая последовательность Коши. Таким образом, возникает новая категория алгебр Ли над полем - категория пронильпотент-ных алгебр Ли над полем.

Настоящая диссертация посвящена изучению свойств объектов категории пронильпотентных алгебр Ли. Мы вводим понятия свободного объекта и свободного произведения в этой категории и обобщаем результаты А.И. Мальцева, А.И. Ширшова, Г.П. Кукина для объектов новой категории. Мы изучаем также подалгебры свободной пронильпотентной алгебры Ли над полем и идеалы свободного произведения алгебр в этом классе.

Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы и занимает 65 страниц. В работе принята следующая нумерация основных структурных единиц. В каждой главе все теоремы, определения, леммы и замечания имеют сквозную нумерацию.

1. Бокуть Л.А. Неразрешимость некоторых алгоритмических проблем для алгебр Ли // Алгебра и логика. 1974. Т. 13, № 5. С. 145-152.

2. Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры // М.: Мир, 1976.

3. Бурбаки Н. Теория множеств // М.: Мир, 1964.

4. Гайнов А.Т. Коммутативные свободные и антикоммутативные свободные произведения алгебр // Сиб. мат. ж. 1962. Т. 3, № 6. С. 805-833.

5. Грушко И.А. О базисах свободного произведения групп // Мат. сб. 1940. Т. 8 С. 169-182.

6. Джекобсон Н. Алгебры Ли. М.: Мир, 1964.

7. Кузьмин Ю.В. О теоремах типа теоремы Нильсена-Шрайера в алгебре рядов от некоммутирующих переменных // Сиб. мат. ж. 1986. Т. 27, № 2. С. 91-103.

8. Кукин Г.П. О декартовой подалгебре свободной лиевой суммы алгебр Ли// Алгебра и логика. 1970. Т. 9, № 6. С. 701-713.

9. Кукин Г.П. О свободных произведениях ограниченных алгебр Ли // Мат. сб. 1974. Т. 95, № 1. С. 53-83.

10. Кукин Г.П. Подалгебры свободной лиевой суммы алгебр Ли с объединенной подалгеброй // Алгебра и логика. 1972. Т. 11. № 1. С. 59-86.

11. Кукин Г.П., Рунина E.B. Об алгебрах, конфинальных подалгебрам свободного произведения алгебр Ли. В сб. : Комбинаторные и вычислительные методы в математике. Омск: ОмГУ, 1999. С. 190-205.

12. Курош А.Г. Неассоциативные свободные алгебры и свободные произведения алгебр // Мат. сб. 1947. Т. 20(62). С. 239-262.

13. Мальцев А.И. Обобщенно нильпотентные алгебры и их присоединенные группы// Мат. сб. 1949. Т. 25, № 3. С. 347-366.

14. Тавадзе А.Д., Шмелькин А.Л. Подгруппы свободных прониль-потентных групп. // Сообщ. АН Груз. ССР. 1979. Т. 93. С. 277279.

15. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Т. 1 // М.: Мир,1974.

16. Ширшов А.И. Об одной гипотезе теории алгебр Ли // Сиб. мат. ж. 1962. Т. 3, № 2. С.297-301.

17. Ширшов А.И. Подалгебры свободных коммутативных и свободных антикоммутативных алгебр // Матем. сб. 1954. Т. 34, № 1. С. 81-88.

18. Ширшов А.И. Подалгебры свободных лиевых алгебр // Матем. сб. 1953. Т. 33, № 2. С. 441-452.

19. Kurosch A.G. Die Untergruppen der frien Produkte von beliebiegen Gruppen // Math. Ann. 1934. V. 109. P. 647-660.

20. Bokut' L.A., Kukin G.P. Algorithmic and Combinatorial Algebra. Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers, 1994.Список работ автора по теме диссертации

21. Швед Е.А. О пронильпотентных алгебрах Ли // Вестник Омского ун-та. 2001. № 4. С. 16-18.

22. Швед Е.А. Приложения метода композиции в теории.алгебр Ли // Вестник Омского ун-та. 2002. № 4. С. 11-13.

23. Швед Е.А. Приложения метода композиции в теории алгебр Ли и пронильпотентных алгебр Ли. Деп. в ВИНИТИ 05.1102.1897-В2002. 14 с.

24. Швед Е.А. Приложения метода композиции в теории пронильпотентных алгебр Ли // Вест. Оме. ун-та. 2003. № 1. С. 10-12.

25. Швед Е.А. О подалгебрах свободного произведения в классе пронильпотентных алгебр Ли. Вест. Оме. ун-та. 2004. № 1. С. 25-27.

26. Швед Е.А. О категории пронильпотентных алгебр Ли. Вест. Оме. ун-та. 2012. № 2. С. 67-75.V. 65 \