Резольвенты и когомологические свойства самоинъективных алгебр тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Сапкт-Петербургский государственный университет

Иванов Сергей Олегович

005015376

V

Резольвенты и когомологические свойства самоинъективных алгебр

Специальность 01.01.Об — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации па соискание ученой стспсии кандидата физико-математических наук

і2 ш т

Санкт-Петербург 2012

005015376

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры и теории чисел математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических паук,

профессор ГЕНЕРАЛОВ Александр Иванович

Официальные оппоненты: 1) кандидат физико-математических наук,

КОСОВСКАЯ Надежда Юрьевна (Санкт-Петербургский государственный технологический университет растительных полимеров)

2) доктор физико-математических наук, чл.-корр. РАН, ПАНИН Иван Александрович (Петербургское отделение Математического института имени В. А. Стеклова РАН)

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение высшего профессионального образования "Российский государственный педагогический университет им. А. И. Герцена"

Защита состоится 2012 г. в часов на заседании совета

Д 212.232.29 по защите докторских и кандидатских при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., д. 7/9, ауд. 133.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан G 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного

совета Д 212.232.29

доктор физ.-мат. наук, профессор

Нежинский В. «М.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Одна из целей некоммутативной алгебраической геометрии заключается в том, чтобы попять, как устроены ¿-линейные триангулированные категории над алгебраически замкнутым полем ¿, свойства которых близки к свойствам производных категорий ^ь(соЬ(Х)) ограниченных комплексов когерентных пучков па проективном многообразии X над ¿. Функтором Ссрра триангулированной /¡-линейной Нош-копсчной категории 7", вслед за А.И.Бондалом и М.М.Капрановым, назовем триангулированную автоэквивалентиость ^ : Т -* Т такую, что имеет место естественный изоморфизм

Ношг(Т, 5) = ДНошт(5, Р(Т)), где О = Нот*(-,й). Если функтор Ссрра существует, то он единственен с точностью до изоморфизма. Тогда для гладкого проективного многообразия X размерности п и канонического пучка и>х = Д" классическая двойственность Ссрра

где & е соЬ(Х), является следствием того, что ¥ - — функтор Сер-

ра на производной категории ограниченных комплексов когерентных пучков 2#ь(соЪ(Х)). Если па ¿-линейной Нот-конечной триангулированной категории Т есть функтор Ссрра, то мы будем говорить, что Т — триангулированная категория с двойственностью Серра.

Важным примером триангулированной категории с двойственностью Серра является производная категория %)ь(то(1-А), где тос1-А — категория конечнопорожденных модулей над конечномерной ¿-алгеброй А конечной глобальной размерности. Кроме того, в статье И. Райтси и М. вап ден Берга (2002) дано полное описание пстеровых наследственных абелевых категорий л/ таких, что на производной категории имеется двойственность Сср-

ра. Таким образом, триангулированные категории с двойственностью Серра вызывают большой интерес.

Следуя Концевичу, триангулированную ¿-линейную Нош-копечиую

категорию Т назовем категорией Калаби-Яу, если существует такое п, что

п-кратный функтор сдвига [п] (рассматриваемый как триангулированный

3

функтор) является функтором Ссрра. В этом случае наименьшее такое п ^ 0 называется размерностью Калаби-Яу категории Т и обозначается СУсНт(Т); если категория Т не является категорией Калаби-Яу, то положим СУсНт(Т) = оо.

В том случае, когда конечномерная алгебра А самоинъективна, кроме производной категории ^6(тос1-Л) этой алгебре можно сопоставить еще одну триангулированную ^-линейную Нот-конечную категорию — стабильную категорию модулей тос!-Л, функтором сдвига в которой является обратный Пд1 к функтору сизигии Хеллера Пд. В этом случае, следуя К.Эрдмани и А.Сковронскому, определим стабильную Калаби-Яу размерность алгебры А как Калаби-Яу размерность стабильной категории тос1-А, и обозначим ее СУсИт(Л). К.Эрдмани и А.Сковропски доказали, что С¥с11т(А) = п тогдс и только тогда, когда п — наименьшее неотрицательное число, для которого Г2П+1 = и'1, где и'1 ■■ тос1-Д шос1-Д — функтор, индуцированный обратным функтором Накаямы и'1 : шос!-Л -> тос1-А Кроме того, они описали алгебры стабильной Калаби-Яу размерности 0,1 и 2, доказали, что для алгебр кватернионного типа СУсНт(Л) = 3, и вычислили стабильные Калаби-Яу размерности для некоторых других классов алгебр.

Напомним, что К. Эрдманн описала все групповые блоки ручного типа представления, вложив их в три семейства алгебр: алгебры диэрального, полудиэдральпого и кватернионного типов. В той же работе К. Эрдмапп описала эти классы алгебр с точностью до Морита-эквивалептности, предъявив явно список из нескольких семейств алгебр путей колчанов с соотношениями каждого из типов. Поэтому эти алгебры интересны с точки зрения теории представлений конечных групп.

Кроме стабильной Калаби-Яу размерности пас будет интересовать еще один когомологический инвариант алгебр — алгебра когомологий Хох-шильда.

Когомологии алгебр были открыты Дж. Хохшильдом в 1940-х годах. А. Картан и С. Эйленберг в 1956 г. распространили первоначальное определение на случай алгебр над произвольным кольцом. В 1963 г. М. Герстепхабер обнаружил на когомологиях алгебр лиевскую структуру, согласованную с

"-умножением, Когомологии Хохшильда — топкий инвариант ассоциативной алгебры, содержащий массу информации о ее структуре. Поскольку ассоциативные алгебры играют ключевую роль во множестве дисциплин, то и когомологии Хохшильда оказываются важнейшими объектами для изучения как в теории представлений ассоциативных алгебр, так и в теории центральных простых алгебр, алгебраической геометрии, некоммутативной геометрии, гомотопической теории деформаций, струпной топологии и функциональном анализе.

Несмотря на то, что определение когомологий Хохшильда было дано больше полувека назад, вычисления этого инварианта алгебр в конкретных примерах стали появляться сравнительно недавно. Здесь необходимо упомянуть целую серию публикаций, в которых исследуются когомологии Хохшильда алгебр из классификации К. Эрдмапн (1990). В работах А. И. Генералова в 2006 г. алгебра когомологий Хохшильда описана для одной из серий локальных алгебр кватерпионпого типа и в 2008 г. для двухвершинных алгебр кватернионного типа серии Сік'$(2&)\ при к = 1. Далее, А. И. Генералов в 2004 г. вычислил алгебру когомологий Хохшильда алгебр диэдрального типа семейства О(З^) и в 2010 г. для серии локальных алгебр диэдрального типа. Наконец, в недавних статьях А. И. Генералова 2009-2011 гг. описаны алгебры когомологий Хохшильда для серии локальных алгебр полудиэдрального типа и, в частности, для групповых алгебр полудиэдральпых групп. Аналогичные результаты для алгебр уже не ручного, а конечного типа представления были получены С. Зигслем и С. Уизсрспун в 2000 г. Они вычислили когомологии Хохшильда циклического блока. Кроме того, А. А. Иванов вычислил аддитивную структуру когомологий Хохшильда алгебр 233)\ над полем характеристики не 2 в 2010 г., и мультипликативную структуру над полем характеристики 3 в 2011 г.

К. Эрдманн в 1990 г. и Т. Хольм в 1999 г. показали, что все алгебры диэдрального, полудиэдрального и кватернионного типов имеют ручной тип представления. Классификация с точностью до Морита-эквивалентности алгебр указанных типов, проделанная К. Эрдмани в 1990 г., была уточнена в 1999 г. Т. Хольмом, когда он предъявил список, содержащий прсдставите-

лей всех классов производной эквивалентности из списка К. Эрманн. Однако эти классификации не полны, поскольку не известно, лежат ли различные представители в различных классах эквивалентиости. Дополнительным инструментом, позволяющим уточнить эти классификации, могут послужить когомологии Хохшильда.

Цель работы. Основной целыо работы является изучение когомологических свойств алгебр кватерниониого типа и близких к ним.

Известно, что алгебры кватерниоипого типа имеют стабильную Калаби-Яу размерность три. В связи с этим, одна из целей работы заключается в том, чтобы предъявить некоторое легко проверяемое свойство для самоииъективных алгебр путей колчана с соотношениями А = которое

удовлетворяет следующим условиям:

• Оно должно явно формулироваться на языке колчана С} и идеала соотношений I.

• Из этого условия должно следовать, что СУсНтСД) = 3.

• Этому условию должны удовлетворять все известные алгебры путей с соотношениями стабильной Калаби-Яу размерности три. В частности, все алгебры кватерниониого типа из списка Эрдманн.

Таким свойством оказывается наличие у алгебры так называемого БТ1-семейства соотношений.

Другой целыо работы является вычисление алгебр когомологий Хохшильда для серии алгебр кватерниониого типа (}к<3(2@1)1 над полем характеристики два при нечетном к и четном е.

Методы исследований. Основным методом исследования является изучение и использование при вычислениях бимодульной резольвенты. Из наличия БТЬсемейства соотношений у алгебры путей колчана с соотношениями делаются некоторые выводы о строении минимальной бимодульной резольвенты, на основании которых и доказывается, что ее стабильная Калаби-Яу размерность равна трем.

Вычисления алгебры когомологий Хохшильда в настоящей работе производятся с использованием техники работ А. И. Генералова. Для вычисле-

С

ний используется минимальная проективная резольвента. Основным фактом необходимым для вычисления мультипликативной структуры является совпадение —произведения в когомологиях Хохшильда и произведения по Йо-неде. Поиск образующих и соотношений, описывающих мультипликативную структуру, производится при помощи минимальной проективной резольвенты. Доказательство достаточности найденных образующих и соотношений выполняется стандартным образом, идеологически близким к технике базисов Гребнсра, посредством введения лексикографического порядка и нормальной формы.

Основные результаты. В диссертации получены следующие результаты:

• Получены новые представления для функтора Накаямы для самоинъек-тивной алгебры: у = Нотл(Л(°,-), г/-1 = - Аь°.

• Доказано, что алгебры, допускающие БТ1-ссмейство соотношений, за некоторым исключением, имеют стабильную Калаби-Яу размерность три.

• Доказано, что алгебры кватсрнионпого типа допускают ОТ1-ссмейство соотношений.

• Вычислена алгебра когомологий Хохшильда алгебр кватсрнионпого типа серии над полем характеристики два при нечетном к > 3 и четном 5.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Исследование алгебр фиксированной стабильной Калаби-Яу размерности представляет интерес с двух точек зрения. С одной стороны, стабильная Калаби-Яу размерность алгебры является важным гомологическим инвариантом алгебры, так как она связана с периодичностью резольвент и со структурой когомологий Хохшильда (особенно очевидна эта связь для симметрических алгебр). Поэтому такое описание представляет интерес с точки зрения теории представлений конечномерных алгебр. С другой стороны, благодаря описанию алгебр фиксированной стабильной Калаби-Яу раз-

7

мерности, мы получаем много примеров триангулированных Калаби-Яу категорий, которые представляют интерес с точки зрения (некоммутативной) алгебраической геометрии.

Вычисления алгебры когомологий Хохшильда алгебр кватернионного типа могут быть применены в теории представлений конечномерных алгебр и в классификационных задачах. Также результаты могут использоваться для дальнейшего исследования строения когомологий Хохшильда.

Аппробация работы. Результаты диссертационной работы неодн-кратно излагались на Санкт-Петербургском городском алгебраическом семинаре имени Д.К. Фаддеева и международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Д.К. Фаддеева (Санкт-Петербург, 2007).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы печатных работах автора 11]-[5], приведенных в конце автореферата. Из них три [1]-[3] вышли в журналах, входящих в список ВАК.

Работа [1] написана в соавторстве, в ней диссертанту принадлежит теорема о том, как явно предъявить свободную бимодульную резольвенту групповой алгебры 1Ю (над произвольным коммутативным кольцом К), имея в наличии свободную резольвенту тривиального модуля 7? (теорема 2).

Работа |4) написана в соавторстве, в пей диссертанту принадлежит вычисление алгебры когомологий Хохшильда алгебр семейства (¿к'3(для нечетого к и четного в, теорема 1.1 (пункт 3) и предложение 1.2 (частично).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав (первая глава содержит четыре раздела, вторая — три раздела, третья — семь разделов, и четвертая — четыре раздела) и списка литературы, содержащего 44 наименования. Объем диссертации 114 страниц.

Содержание работы

Хорошо известно, что одним из эффективных способов исследования математического объекта, является изучение различных его гомологических инвариантов. В настоящей работе объектами исследования являются некоторые типы самоинъективпых алгебр. Оказывается, что большая часть всей

(ко)гомологичсской информации об алгебре А содержится в се бимодулыюй резольвенте (проективной резольвенте бимодуля А). Этого принципа — смотреть в первую очередь за поведением бимодулыюй резольвенты при изучении (ко) гомологических инвариантов алгебры — мы будем придерживаться па протяжении всей работы.

Теперь обсудим каждую главу в отдельности.

В первой главе вводятся необходимые определения и конструкции, которые нам понадобятся в дальнейшем. Кроме того, там есть несколько результатов, полученных автором, по которые уместно было предъявить именно в этой главе. К результатам автора относится теорема 1.5 пункта 1.2.2, который посвящен тому, чтобы научиться явным образом предъявлять свободную бимодульпую резольвенту групповой алгебры ІЮ (над произвольным коммутативным кольцом К), имея в наличии свободную резольвенту тривиального модуля Я.

Теорема 1.5. Пусть Я — коммутативное кольцо (ассоциативное с 1), Є — 'конечная группа, и Р. Л — свободная резольвента тривиального Є-модуля, для которой Р. = ((ЯС)^1, <1п\ , причем ко = 1 и пополняющий гомоморфизм равен є(£гду) = £гэ. Тогда если обозначить Т?п = ((Ш)13)^", (сІп)у = Д((<Оу) = <іп)п>0, то Г. ™ ГЮ - свободная бимодульная резольвента, где т — гомоморфизм умножения.

Этот факт напоминает лемму Хаппеля для конечномерных алгебр над полем, но он доставляет больше информации, так как позволяет предъявить не только бимодули бимодулыюй резольвенты, по и дифференциалы. Кроме того, к результатам автора относятся результаты подпунктов 1.3.3 и 1.3.6. В первом из них обсуждаются свойства функтора:

&е = ("У = Нотл=(-, А ® А) ■. Ытоё-А ->■ Ьітосі-А,

а в подпункте 1.3.6 обсуждаются дополнительные структуры на фробепиусо-

вых алгебрах путей колчана с соотношениями и то, какими дополнительными

свойствами они обладают в том случае, когда фробсниусова форма выбрана

удачно. Поясним это более подробно. Пусть А = ІіС^І — алгебра путей кол-

9

чана с соотношениями и г : А ->■ & — фробениусова форма. Фробениусову форму £ назовем (^о-фробепиусовой формой, если существует &(3о-бимодуль Т < Кег(г) такой, что А = бос(А)®Т. Легко проверить, что на любой фробепи-усовой алгебре путей колчана с соотношениями существует фо-фробепиусова форма.

Предложение 1.13. Пусть А = кС}/1 — самоипъсктивная алгебра путей колчана с соотношениями, е ■ А к — С^о-фробениусова форма на А, и : А А — соответствующий автоморфизм, Накаямы, и д ■ А А ® А — соответствующее фробениусово коумножение. Тогда £(е;) = е^) для любого о и 1т(£>) ^ © причем гг<Эо

в' : А -* ф

ге£?о

где д'(а) = д(а), — это инъективпая оболочка бимодуля А.

Глава 2 посвящена различным вариантам теоремы Эйлспберга-Уотса и выведению из них некоторого представления обратного функтора Накаямы для самоинъективных алгебр. Теорема Эйленберга-Уотса говорит о том, что точный справа функтор Р : Моё-Л -» Мое!-/?, сохраняющий прямые суммы, представляется в виде Р = - X, где X — некоторый (А, В)-бимодуль, а точный слева функтор, сохраняющий пределы, представляется в виде F £ Нотл(У,-), где У — некоторый (В, Л)-бимодуль. Причем в первом случае бимодуль X задается явно: X = Р(А) с естественной структурой (Л, В)-бимодуля. Имеются также аналогичные формулировки для коитрава-риантных точных слева функторов. В главе 2 доказывается, что для категорий конечно порожденных модулей над конечномерными алгебрами все эти теоремы остаются верны, причем бимодуль V в этом случае можно задать явно Г = П(Р(П(А))).

Теорема 2.9. Пусть А, В — конечномерные алгебры. Если Р : шоё-Л тос1-В — точный слева функтор, гпо имеет. место изоморфизм

F = Homл(D(F(D(Л))), -). ю

Далее рассмотренные варианты теорем Эйлепберга-Уотса позволяют достаточно просто доказать некоторые утверждения в теории представлений конечномерных алгебр (уже известные и новые). В частности, доказывается следующая теорема.

Теорема 2.17. Если А — самоинъективная алгебра, vio для любого А-модуля М имеют место естественные изоморфизмы

у(М) = ПотА{Ае,М), v'{M) = M ®аА1°.

Глава 3 посвящена алгебрам стабильной Калаби-Яу размерности равной трем. Стабильная Калаби-Яу размерность — это гомологический целочисленный инвариант, который тоже зависит от поведения бимодульной резольвенты.

Мы заметили, что причиной того, что стабильная Калаби-Яу размерность алгебр кватернионного типа равна трем, является некоторое специфическое устройство бимодульной резольвенты, и решили понять, на какой класс алгебр можно обобщить этот эффект. Таким образом, возникло понятие алгебры, допускающей ОТ1-семейство соотношений, которое мы обсуждаем в главе 3. Было доказано, что алгебры, допускающие БТ1-семейство соотношений, за некоторым исключением, имеют стабильную Калаби-Яу размерность, равную трем, и алгебры кватернионного типа из списка Эрдмапп допускают БТЬсемейство соотношений. Кроме того, при помощи техники ВТ1-семсйств соотношений, были описаны алгебры Накаямы, имеющие стабильную Калаби-Яу размерность, равную трем, также приведен пример алгебры, допускающей ОТГ-семейство соотношений, не лежащий в уже указанных классах алгебр.

Определение. Пусть А = кС}/1 — алгебра путей с соотношениями.

(^-индексированное семейство ё% = {г^},,^, составленное из элементов

11

идеала I, назовем DTI-семсйством соотношений (дифференциально,twist-инвариантным семейством соотношений), если выполнены следующие три условия.

(DTI-1) ra є e<(u)/ei(u) для всех а є Q (DTI-2) |f = tw (|f ) для всех а, /З є Qx.

(DTI-3) Семейство кЗё = {7r(^«)}«€Q, образует базис в top(7), где top(7) = I/JI + IJ, и 7Г: I -* top(7) — каноническая проекция.

Теорема 3.9. Пусть А = kQ/I — самоинпективная алгебра путей колчана с соотношениями.

1. Если у алгебры А есть DTl-семейство соотношений, то n\c(A)~At0.

2. Если, кроме того, алгебра А связна и не изоморфна алгебрам k[x]l{xn) и то CYdim(^) = 3.

Через мы обозначаем следующую алгебру путей колчана с соотношениями

В последнем соотношении индексы рассматриваются по модулю п.

Предложение 3.10. Алгебра допускает ТУП-семейство соотношений тогда и только тогда, когда п | ш + 1.

Q:

п — I

«2

аі...аі+т-1 =0.

Теорема 3.12. Алгебры кватернионного типа из списка К.Эрдманн допускают ВТ1-семейство соотношений.

Кроме того, для самоинъективных алгебр путей колчана с соотношениями, допускающих БТІ-семейство соотношений, строится минимальная би-модульная резольвента (теорема 3.16).

Глава 4 посвящена вычислению алгебры когомологий Хохшильда НН*(Л) для алгебр кватерииошюго типа А = <2к-"(2&)1(а,с) при нечетном к > 3 и четном й над алгебраически замкнутым полем характеристики два. Из этих вычислений выводится, что алгебры (2к'3(2&)і(1,с) при с * 0 и СЦк'я(2&)і(1,0) не производно эквивалентны. Причем это доказывается это доказывается именно с использованием мультипликативной структуры алгебры НН*(Л). Алгебры С}к'а(2&§)і(\,с) задаются следующим колчаном с соотношениями.

С}к''(2®Ы1,с)

ф = /За{ч/За)к-\

/с ^ 1,5 >3 7?7 = сгу^сгу)^1,

/с + й>4 "С0^1^)" = 7/3(07-6)^ +с(а^3)к,

се. к Р'у = т}в,

Ра2 = 0.

(Здесь произведение путей в алгебре записывается справа налево).

Для описания алгебры НН*(А) для указанных алгебр серии <3(2^)! мы построим градуированную алгебру Л. Рассмотрим множество

X = {РиР2,РЗ,Р4,Щ,й'2,и3,У1,У2,Уз:и>2,'Ш3,і} (0.1)

и па алгебре &[«¥] введем градуировку:

^её(Рг) ~ о, (^(йьйз.из) = 1,

deg(u/) = 2, = 3, deg(t) = 4,

для всех возможных і,з,1. Определим алгебру А = к[Х]/1, где идеал I алгебры к[Х] порожден следующими элементами:

13

PiPj для 1 < і < j < 4; pf + р|, РІ, РІ P\ù\ + P2~2ù'2, р2щ + сй'2 + р\~2щ, рІ~1й'2, Pi'Vi, Рій'2, р3й'2, р^й'2, р2из, рзиз, Рли3; РзУ\, p\vx, P3V3, р4г>3, рм, P2V2, p^v2, pxvx +P3V2, P3V2+P2V3; jf24 1 + cp2vз, p\~lv3, P3Ùf, p<iù\+p3V2, щй'2, (й'2)2, щщ, û'2u3;

piw2, P3W2, PiW2, P2W3, рз^з, p4w;3, u3fi, U3V2, Ц^з, U3V3+P1W3, Ц^і +P2W2, pf3U2Vi +U1V3 + cw3

U3V1, Û'2V2, U3V2, Ù'2V3, ÙiVi +CW2 +p{~2W3, Û'2Vi+P2W2, ЩУз+р2~3й'2Уі, U3V3+P\U)3, vl + pH1 + cP2)t> v3 + vlv2, V2V3,

p2t, ûiiUj, й'2гоі, u3Wi для ге {2, 3};гі^, ûjv2, V1W3, V2W2, V2W3, V3W2, V!u>2 + (p2 + cp2)u'2t; V3U>3+piU3t, и>2, W3, W2W3; V\w2 + (p2 + Cp$)Ù'2t.

В силу однородности идеала I алгебра А наследует градуировку с алгебры k [X].

Теорема 4.1. Пусть k — алгебраически замкнутое поле характеристики два, А = Qk>s(2&)i(l,c), k> 3 нечетно и s четно. Тогда НН*(Л) как градуированная k-алгебра изоморфна А.

В процессе доказательства теоремы 4.1 мы вычисляем пространства ННП(А). Соответствующие результаты представляют самостоятельный интерес:

Предложение 4.2. В предположениях предыдущей теоремы dirrifc НН°(Л) = к + s + 2, dirn* НН'(Л) = к + s + 1

для t> 1.

Из описания алгебры НН*(Л) на языке образующих и определяющих соотношений мы получаем следующее следствие, дополняющее классификацию К. Эрдманп.

Следствие 4.3. В предположениях предыдущей теоремы алгебра Qk>í<(2£¡8)i(l,c), где с Ф 0, не является производно эквивалентной (и, в частности, не Морита-эквивалентна) алгебре Qk,*(2á?)i(l,0).

Работы автора по теме диссертации

[1] Генералов А. И., Иванов С. О. Бимодульпая резольвента групповой алгебры, // Зап. научн. семин. ПОМИ т. 365 (2009), 143-151.

[2] Иванов С. О., Функоры Накаямы и теоремы Эйленберга-Уотса. // Зап. научн. семин. ПОМИ, т. 388 (2011), 179-188.

[3] Иванов С. О. Самоинъективные алгебры стабильной Калаби-Яу размерности три. // Зап. научн. семин. ПОМИ, т. 394 (2011), 226-261.

|4) Генералов А. И., Иванов А. А., Иванов С. О., Когомологии Хохшильда алгебр кватернионного типа. II. Серия Q(2S8)\ в характеристике 2. j¡ Зап. науч. семин. ПОМИ, т. 349 (2007), 53-134.

|5| А. I. Gcncralov, A. A. Ivanov, S. О. Ivanov, Orí Hochschild cohomology of algebras of quaternion type with two vertices. // Межд. алг. конференция, поев. 100-летию со дня рождения Д. К. Фаддсева. Тезисы докладов (2007), 114.

Подписано к печати 08.02.12. Формат 60x84 % . Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Печать цифровая. ГТеч. л. 1,00. Тираж 100 экз. Заказ 5365.

Отпечатано в Отделе оперативной полиграфии химического факультета СП6ГУ |У85(М, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26 Тел.: (812) 428-4043, 428-6919

61 12-1/1031

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Санкт-Петербургский государственный университет

На правах рукописи

Иванов Сергей Олегович

Резольвенты и когомологические свойства самоинъективных алгебр

01.01.06 — Математическая логика алгебра и теория чисел

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель — доктор физико-математических наук, профессор А. И. Генералов

Санкт-Петербург — 2012

Содержание

Введение 4

1 Основные определения и конструкции 11

1.1 Предварительные замечания........................................11

1.2 Бимодульная резольвента и

когомологии Хохшильда..............................................12

1.2.1 Бимодульная резольвента....................................12

1.2.2 Бимодульная резольвента групповой алгебры ..........13

1.2.3 Алгебра когомологий Хохшильда..........................17

1.3 Самоинъективные алгебры путей колчана с соотношениями . 19

1.3.1 Алгебры путей колчана с соотношениями................19

1.3.2 Самоинъективные алгебры..................................22

1.3.3 Функторы двойственности относительно алгебр .... 24

1.3.4 Функторы Накаямы..........................................27

1.3.5 Дополнительные структуры на фробениусовых алгебрах 28

1.3.6 Дополнительные структуры на фробениусовых алгебрах путей колчанов с соотношениями ....................30

1.4 Стабильная Калаби-Яу размерность..............................33

1.4.1 Стабильная категория модулей ............................33

1.4.2 Стабильная Калаби-Яу размерность самоинъектив-

ной алгебры....................................................36

2 Функторы Накаямы и теоремы

Эйленберга-Уотса 37

2.1 Вспомогательные технические утверждения......................37

2.2 Теорема Эйленберга-Уотса ..........................................38

2.3 Приложение к функторам Накаямы................................42

3 Алгебры стабильной Калаби-Яу размерности три и семей-

ство ОТТ-соотношений 45

3.1 Начальные члены минимальной проективной бимодульной резольвенты алгебры..................................................46

3.2 ОТ1-семейство соотношений..........................................52

3.3 Стабильная Калаби-Яу размерность алгебр с ЭИ-семей-ством соотношений....................................................54

3.4 Алгебры Накаямы при п\т+1..............................57

3.5 Алгебры кватернионного типа......................................58

3.6 Еще один пример алгебры, допускающей ВТ1-семейство соотношений ............................................................71

3.7 Бимодульная резольвента самоинъективной алгебры с семейством соотношений..............................................73

4 Когомологии Хохшильда алгебр серии над полем

характеристики два 80

4.1 Описание алгебры когомологий......................................80

4.2 Бимодульная резольвента............................................82

4.3 Аддитивная структура................................................85

4.3.1 Дифференциал с!)1....................... 86

4.3.2 Дифференциал 82....................... 89

4.3.3 Дифференциал ё3....................... 92

4.4 Мультипликативная структура................... 94

Список литературы 109

Введение

Хорошо известно, что одним из эффективных способов исследования математического объекта, является изучение различных его (ко)гомологических инвариантов. В настоящей работе объектами исследования являются некоторые типы самоинъективных алгебр. Оказывается, что большая часть всей (ко) гомологической информации об алгебре А содержится в ее бимодульной резольвенте (проективной резольвенте бимо-дуля А). Причем, если бимодульная резольвента минимальна, то эта информация содержится в ней в наиболее компактном и "выпуклом" виде. В бар-резольвенте эта информация содержится, напротив, в наименее четкой форме. Этого принципа — смотреть в первую очередь за поведением бимодульной резольвенты при изучении гомологических инвариантов алгебры — мы будем придерживаться на протяжении всей работы.

Теперь скажем несколько слов про каждую главу в отдельности.

В первой главе вводятся необходимые определения и конструкции, которые нам понадобятся в дальнейшем. Кроме того, там есть несколько результатов полученных автором, но которые уместно было предъявить именно в этой главе. К результатам автора относится теорема 1.5 пункта 1.2.2, который посвящен тому, чтобы научиться явным образом предъявлять свободную бимодульную резольвенту групповой алгебры ЯС (над произвольным коммутативным кольцом -К), имея в наличии свободную резольвенту тривиального модуля Я. Этот факт напоминает лемму Хаппеля для конечномерных алгебр над полем, но он гораздо лучше, так как позволяет предъявить не только бимодули бимодульной резольвенты, но и дифференциалы. Кроме того, к результатам автора относятся результаты подпунктов 1.3.3 и 1.3.6, в первом из которых обсуждается контравариантный функтор двойственности относительно алгебры на категории бимодулей, а

во втором — дополнительные структуры на фробениусовых алгебрах путей колчана с соотношениями и то, какими дополнительными свойствами они обладают в том случае, когда фробениусова форма выбрана удачно.

Глава 2 посвящена различным вариантам теоремы Эйленберга-Уотса и выведению из них некоторого представления обратного функтора Накаямы для самоинъективных алгебр. Теорема Эйленберга-Уотса [25, 43] говорит о том, что точный справа функтор ^ : Мос1-А МосГБ, сохраняющий прямые суммы, представляется в виде Г = - X, где X — некоторый (А, В)-бимодуль, а точный слева функтор, сохраняющий пределы, представляется в виде ^ = НогпДУ, -), где У — некоторый (В, Л)-бимодуль. Причем в первом случае бимодуль X задается явно: X = Р{А) с естественной структурой (А. Л)-бимодуля. Имеются также аналогичные формулировки для контравариантных точных слева функторов. В главе 2 доказывается, что для категорий конечно порожденных модулей над конечномерными алгебрами все эти теоремы остаются верны, причем бимодуль У в этом случае можно задать явно У = здесь Б = (см. теоремы

2.6, 2.9, 2.12). Далее эти варианты теорем Эйленберга-Уотса позволяют достаточно просто доказать некоторые утверждения в теории представлений конечномерных алгебр (уже известные и новые). В частности, доказывается используемое в дальнейшем утверждение о том, что если конечномерная алгебра А самоинъективна, то обратный функтор Накаямы получает следующее представление и'1 = - ®А Аь\ где А^ = Нот^Д А® А) (теорема 2.17).

Глава 3 посвящена алгебрам стабильной Калаби-Яу размерности равной трем. Стабильная Калаби-Яу размерность — это гомологический целочисленный инвариант, который тоже зависит от поведения бимодульной резольвенты. Напомним контекст, в котором возникло это понятие.

Одна из целей некоммутативной алгебраической геометрии заключается в том, чтобы понять, как устроены ^-линейные триангулированные категории над алгебраически замкнутым полем k, свойства которых близки к свойствам производных категорий f^6(coh(X)) ограниченных комплексов когерентных пучков на проективном многообразии X над k. Функтором Серра триангулированной ¿-линейной Нот-конечной категории Т, вслед за А. И. Бондалом и М. М. Капрановым [1], назовем триангулированную автоэквивалентность F : 7~ Т такую, что имеет место естественный изоморфизм

Нот T(T,S) = DEomr(S,F(T))

(согласованный с функтором сдвига; см. [36]). Если функтор Серра существует, то он единственен с точностью до изоморфизма. Тогда для гладкого проективного многообразия X размерности п и канонического пучка шх = Ап ^А" классическая двойственность Серра

Нг(Х= DExtn~l(^,ujx),

где & е coh(X), является следствием того, что F - - <8>а;х[п] — функтор Серра на категории @b(coh(X)). Если на ¿-линейной Нот-конечной триангулированной категории Т есть функтор Серра, то мы будем говорить, что Т — триангулированная категория с двойственностью Серра.

Важным примером триангулированной категории с двойственностью Серра является производная категория ^6(mod-А), где mod-А — категория конечнопорожденных модулей над конечномерной ¿-алгеброй А конечной глобальной размерности (см. [32]). Кроме того, в статье [40] дано полное описание нетеровых наследственных абелевых категорий таких, что на производной категории имеется двойственность Серра. Таким об-

разом, триангулированные категории с двойственностью Серра вызывают большой интерес.

Следуя Концевичу [38], триангулированную ¿-линейную Нот-конечную категорию Т назовем категорией Калаби-Яу, если существует такое п, что n-кратный функтор сдвига [п] (рассматриваемый как триангулированный функтор) является функтором Серра. В этом случае наименьшее такое п ^ 0 называется размерностью Калаби-Яу категории Т и обозначается CYdim(T); если категория Т не является категорией Калаби-Яу, то положим CYdim(T) = оо.

В том случае, когда конечномерная алгебра А самоинъективна, кроме производной категории 0b(mod-A) этой алгебре можно сопоставить еще одну триангулированную ¿-линейную Нот-конечную категорию — стабильную категорию модулей mod-Л, в которой функтором сдвига является обратный О^1 к функтору сизигии Хеллера Qa- В этом случае, следуя К.Эрдманн и А.Сковронски [28], определим стабильную размерность Калаби-Яу алгебры А, как размерность Калаби-Яу стабильной категории mod-Д и обозначим ее CYdim(A). К.Эрдманн и А.Сковронски доказали, что CYdim(A) = п тогда и только тогда, когда п — наименьшее неотрицательное число, для которого О,7^1 ~ г/1, где \г1 : mod-А -> mod-А — функтор, индуцированный обратным функтором Накаямы v~l : mod-А mod-A Кроме того, они описали алгебры стабильной размерности Калаби-Яу 0,1 и 2, доказали, что для алгебр кватернионного типа CYdim(A) = 3, и вычислили стабильные размерности Калаби-Яу для некоторых других классов алгебр.

Напомним, что конечномерная алгебра А называется алгеброй кватернионного типа, если алгебра А связная, симметрическая, ручного типа представления, ее матрица Картана невырождена и ее стабильный AR-колчан ГЬА состоит только из трубок ранга не больше 2. Напомним, откуда возникло это понятие. Пусть k — алгебраически замкнутое поле и G —

конечная группа. Групповую алгебру можно предствавить в виде произведения связных алгебр = А\ х ■•• х Лп. Алгебры, которые можно представить в виде такого связного сомножителя групповой алгебры, называются групповыми блоками. В [27] Карин Эрдманн описала все групповые блоки ручного типа представления, вложив их в три семейства алгебр: алгебры диэрального, полудиэдрального и кватернионного типов. В той же работе Карин Эрдманн описала эти классы алгебр с точностью до Морита-эквивалентности, предъявив явно список из нескольких семейств алгебр путей колчанов с соотношениями каждого из типов.

Мы заметили, что причиной того, что стабильная Калаби-Яу размерность алгебр кватернионного типа равна трем, является некоторое специфическое устройство бимодульной резольвенты, и решили понять, на какой класс алгебр можно обобщить этот эффект. Таким образом возникло понятие алгебры, допускающей БТ1-семейство соотношений, которое мы обсуждаем в главе 3. Было доказано, что алгебры, допускающие БТ1-семейство соотношений, за некоторым исключением, имеют стабильную Калаби-Яу размерность равную трем (теорема 3.9) и алгебры кватернионного типа из списка Эрдманн допускают БТ1-семейство соотношений (теорема 3.12). Кроме того, при помощи техники ОТ1-семейств соотношений, были описаны алгебры Накаямы, имеющие стабильную Калаби-Яу размерность равную трем; также приведен пример алгебры, допускающей БТГ-семейство соотношений, но не лежащей в уже указанных классах алгебр.

Глава 4 посвящена вычислению алгебры когомологий Хохшильда НЕТ (Л) для алгебр кватернионного типа А = 238) \ (в обозначениях [27]) при нечетном к > 3 и четном 5 над полем характеристики два. Под "вычислением" мультипликативной структуры мы подразумеваем описание алгебры НН*(А) на языке образующих и определяющих соотношений.

Эти вычисления мы ведем при помощи бимодульной резольвенты алгебры А. Здесь необходимо упомянуть целую серию публикаций, в которых исследуются когомологии Хохшильда алгебр из классификации К. Эрд-манн [27]. В работах А. И. Генералова [3, 5] алгебра когомологий Хохшильда описана для одной из серий локальных алгебр кватернионного типа и для двухвершинных алгебр кватернионного типа серии при

к - 1, соответственно. Далее, в [2, 7] А. И. Генералов вычислил алгебру когомологий Хохшильда алгебр диэдрального типа семейства и

серии локальных алгебр диэдрального типа. Наконец, в недавних статьях А. И. Генералова [6, 8] описаны алгебры когомологий Хохшильда для серии локальных алгебр полудиэдрального типа и, в частности, для групповых алгебр полудиэдральных групп. Аналогичные результаты для алгебр уже не ручного, а конечного типа представления были получены С. Зигелем и С. Уизерспун в статье [41], где вычислены когомологии Хохшильда циклического блока. Отметим, что алгебра когомологий Хохшильда алгебр семейства для остальных значений к, в (при к > 2) над полем

характеристики два вычислена А. И. Генераловым и А. А. Ивановым в работе [10]. Кроме того, А. А. Иванов вычислил аддитивную структуру когомологий Хохшильда алгебр (¿к>8(над полем характеристики не 2 в [13], и мультипликативную структуру над полем характеристики 3 в [14].

Одним из следствий вычисления когомологий Хохшильда алгебр семейства <5(2^)1 явилось уточнение классификации Т. Хольма [35], а значит, и классификации К. Эрдманн [27]. В следствии 4.3 получено, что некоторые из алгебр из списков К. Эрдманн и Т. Хольма действительно не производио-эквивалентны. Причем это доказывается не при помощи вычисления размерностей соответствующих пространств когомологий, а используя мультипликативную структуру алгебры НН*(А).

Все результаты предоставленной работы опубликованы в 2007-2011 годах в [9, 10, 15, 16].

1 Основные определения и конструкции

1.1 Предварительные замечания

Пусть R — коммутативное кольцо с единицей и А — алгебра над R. Обозначим через Mod-А категорию правых А-модулей, через A-Mod категорию левых А-модулей и через Bimod-A категорию А-бимодулей. По умолчанию будем считать все модули правыми. Обозначим через Ае = Аор <s># А обертывающую алгебру алгебры А. На каждом А-бимодуле естественным образом возникает структура Ае-модуля: т(а <8> 6) = Ьта. Для Я-модулей М, N введем сокращенные обозначения:

Hom(M, N) = Нот#(М, N), M®N = M®RN.

И обозначим через tw : М <g> N TV <8> М R-гомоморфизм, задающийся следующей формулой tw(m <8> п) = п <8> т.

Часто мы будем предполагать, что R = k — поле и А — конечномерная алгебра над k.

Через mod-A, A-mod, bimod-A обозначим полные подкатегории конеч-нопорожденных модулей и бимодулей в соответствующих категориях. В том случае, когда А — конечномерная алгебра над полем k, категории mod-A, A-mod, bimod-A абелевы (они остаются абелевыми, конечно, и при гораздо более общих предположениях на А).

Через D - Нот(-,&) обозначим обычную двойственность между категориями mod-A и A-mod.

Пусть Л — абелева категория. Обозначим через Ch(A) категорию комплексов над категорией Л. Мы будем пользоваться для комплексов как когомологическими обозначениями, так и гомологическими. Переходить от одних к другим будем следующим образом. Если К' = {Кп,в^к : Кп

Кп+1)пе1 — комплекс, то комплекс К. определяется так: Кп = К п, = ак ■

Обозначим через ^(Л) и ^(Л) гомотопическую категорию и производную категорию комплексов категории А соответственно. Если А — Я,-алгебра, то через СЬ(у1), Ж (А), @(А) обозначим соответственно категорию комплексов гомотопическую и производную категории комплексов над Мо(1-А.

Пусть п е Ъ. Функтором сдвига на категории комплексов СЬ(Л) называется функтор [п] : СЬ(.Д) СЬ(Л), который на объектах действует так:

(к-[п]у = ю+п, 4[„] = (-1)п4">

а на морфизмах так: (/[п])г = /г+гг. Этот функтор переводит квазиизоморфизмы в квазиизоморфизмы и гомотопии в гомотопии, поэтому индуцирует функторы на категориях 0(А) и Ж (Л), которые мы будем обозначать тем же символом [п]. Категории Ж (А) и $>{А) будут предполагаться снабженными естественной структурой триангулированной категории, в которых функтор [1] — функтор сдвига.

1.2 Бимодульная резольвента и

когомологии Хохшильда 1.2.1 Бимодульная резольвента

Бимодулъной резольвентой алгебры А назовем произвольную проективную резольвенту бимодуля А в категории А-бимодулей т: Р. /1 (здесь мы рассматриваем А как комплекс А-бимодулей сосредоточенный в нуле, а т как морфизм комплексов). Бимодульная резольвента т : Р. А называется минимальной, если эпиморфизмы Рп+1 Кег(<1гг) для п > 0 и

\

эпиморфизм то Ро А являются проективными накрытиями в категории бимодулей.

Бимодульные резольвенты могут быть полезны с разных точек зрения. При помощи бимодульной резольвенты можны вычислить когомоло-гии Хохшильда алгебры А с коэффициентами в А-бимодуле М:

ННП(А; М) = Ех^е(А, М) = Нп(НотЛе(Р„ М)).

Кроме того, если Р. — бимодульна,я резольвента и М — правый А-модуль, то М<8иР. — проективная резольвента модуля М, которая функториальна по М.

1.2.2 Бимодульная резольвента групповой алгебры

В этом подпункте мы доказываем, как при помощи свободной резольвенты тривиального модуля групповой алгебры явно построить его бимодульную резольвенту.

Пусть Я — коммутативное кольцо с 1, С и Н — конечные группы. Мономорфизм групп г : Н >—>• С определяет функтор индуцирования шс1я : тоА-ЯН тос!-Ж? по следующему правилу т�