Когомологии Хохшильда самоинъективных алгебр древесного типа Dn тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ВОЛКОВ Юрий Владимирович

КОГОМОЛОГИИ ХОХШИЛЬДА САМОИНЪЕКТИВНЫХ АЛГЕБР ДРЕВЕСНОГО

ТИПА Д,

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

1 7 НОЯ 2011

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2011

005002235

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры и теории чисел математпко-механпческого факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Генералов Александр Иванович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Лурье Борис Вениаминович (Петербургское отделения Математического института имени В. А. Стеклова РАН)

кандидат физико-математических наук, доцент Шестакова Галина Петровна (Санкт-Петербургский государственный политехнический университет)

Ведущая организация: Институт математики им. С. Л. Соболева

Сибирского отделения РАН

Защита состоится ЧМ^Д.2011 года в часов на заседании совета Д 212.232.29 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 191023, Санкт-Петербург, наб. реки Фонтанки, д. 27, ауд. 311

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан "2. " КО^лД.2011 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета Ш В.М. Нежинский

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Когомологии алгебр играют фундаментальную роль в теории представлений конечных групп и конечномерных алгебр. В настоящее время теория (обычных) когомологий групп - уже сложившаяся ветвь современной алгебры. Кольца когомологий групп исследовались различными авторами, и в этой области имеется множество результатов. Группы когомологий Хохшильда впервые были введены Хохшильдом в 1946. Когомологии Хохшильда - тонкий инвариант ассоциативной алгебры, содержащий массу информации о ее структуре.

Хотя алгебра когомологий Хохшильда теоретически вычислима для конкретной алгебры через производные функторы, но реально вычисления для какого-либо класса алгебр по-прежнему актуальны и очень сложны. В [1] Генералов А. И. дал описание алгебры когомологий Хохшильда алгебр диэд-ралыюго типа из серии £>(3/С) над алгебраически замкнутым полем характеристики 2, при этом была использована техника, аналогичная использованной для вычисления алгебр Йонеды алгебр диэдралыюго и полудиэдралыюго типов. Далее эта техника была с успехом применена в работах [2, 3, 4, 5, 6] для описания алгебры когомологий Хохшильда нескольких серий алгебр диэдралыюго, полудиэдралыюго и кватерниошюго типов. С помощью подобной техники алгебра когомологий Хохшильда для некоторой серии алгебр была вычислена также в работах [8, 12, 13, 14].

Если Я - самоинъективная базисная алгебра над алгебраически замкнутым полем, имеющая конечный тип представления, то её стабильный ЛЯ-колчан можно описать с помощью некоторого ассоциированного дерева, которое должно совпадать с одной из схем Дынкина Ап, Д,, Ев, £7 или Е$. Для самоинъективных алгебр конечного типа представления производная и стабильная эквивалентности совпадают, а так как алгебра когомологий Хохшильда - инвариант производной эквивалентности, то для её вычисления достаточно взять по одной алгебре для каждого класса стабильной эквивалентности. Если для алгебры Я ассоциированное дерево имеет тип Ап, то алгебра Я стабильно эквивалентна либо некоторой полуцепной самоинъектив-ной алгебре, либо так называемой "алгебре Мёбиуса". Алгебра когомологий Хохшильда НН*(Я) для полуцепных самоинъективных алгебр была вычислена в работе [11], а для алгебры Мёбиуса - в работах [7], [9] и [10]. Если же для алгебры Я ассоциированное дерево имеет тип £>„, то алгебра Я но модулю стабильной эквивалентности входит в одну из пяти серий.

Цель работы. Целью работы является вычисление алгебры когомологий Хохшильда для всех самоинъективных алгебр, ассоциированное дерево которых имеет тип

Методы исследований. Вычисления в настоящей работе производятся с использованием техники работ А.И. Генералова. Для вычислений используется минимальная проективная резольвента. Основным фактом необходи-

мым для вычисления мультипликативной структуры является совпадение произведения в когомологиях Хохшильда и произведения по Ионеде. Поиск образующих и соотношений, описывающих мультипликативную структуру, производится при помощи минимальной проективной резольвенты.

Основные результаты. Для двух серий алгебр древесного типа Dn построены минимальные бимодульные резольвенты, вычислены размерности групп НН5(Д) для s ^ 0 и дано описание алгебр когомологий Хохшильда в терминах образующих с соотношениями. Аналогичные результаты для остальных трёх серий алгебр, имеющих древесный тип £)„, приведены в приложении без доказательств.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Её результаты могут использоваться для дальнейшего исследования строения когомологий Хохшильда.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы были изложены на следующих конференциях и семинарах.

1. Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения Д.К. Фаддеева (Санкт-Петербург, 2007).

2. Международная конференция, посвященная 70-летию A.B. Яковлева

(Санкт-Петербург, 2010).

3. Санкт-Петербургский городской алгебраический семинар имени Д.К.

Фаддеева.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в трёх печатных работах автора, приведённых в конце автореферата. Все они вышли в журналах, входящих в список ВАК.

В работе, написанной в соавторстве, диссертанту принадлежат формулировка и доказательства теорем, а соавтору - постановка задачи и выбор методов решения.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав (первая глава содержит четыре раздела, вторая - три раздела, третья -четыре раздела), приложения и списка литературы, содержащего 59 наименований. Объем диссертации 226 страниц.

Содержание работы

Во введении излагается история вопроса, актуальность темы диссертации, даётся описание основных результатов диссертации, а также кратко изложена структура работы.

Кроме того, во введении даны определения алгебр Ri{n, г), П.2{п, г) (г ^ 1, n > 4), R3(n,r) (г > 1, n ^ 2), Ri(r) (г > 1) и R5{n) (n ^ 2). Напомним эти определения.

Пусть К - алгебраически замкнутое поле, г ^ 1, п "¡2 4. Тогда алгебра 7?! (п, г) - это алгебра колчана с соотношениями {О., I). Множество вершин (2о = Ъг х {] £ N | 1 ^ ] ^ тг}. Множество стрелок (З1 колчана 2 состоит из следующих элементов:

7«,п-1 : (г, п- 2) -* (г, и - 1), : (г, га - 2) -> (г, п), Д>-1 : (г, п - 1) (г + 1,1), : (г, тг) (г + 1,1), аи : (*>•?) ^ (г">.7 + (1 < г < г, 1 < 7 ^ " - 3).

Г,П — 1

1,п-1

71.„-1

2,1

2:

Идеал / порождён следующими элементами алгебры путей КО, колчана

(1 ^ г ^ г, 1 < з < п - 3, д € {п - 1, п}).

Пусть К - алгебраически замкнутое поле, г ^ 1, п ^ 4. Тогда алгебра Н.п(п: г) - это алгебра колчана с соотношениями (2,1). Множество вершин 2о = (2Г х 6 N | 1 < ] < п — 2}) и Ъъ- Множество стрелок 2г колчана 2 состоит из следующих элементов:

77: (г, га — 2) —> ?,/3?: Т—> (* +1,1) (1 < » < 2г), °Ч,з (ьЛ (г,3 + 1) (1 < г < г, 1 «$ з ^ п - 3).

¡+1,2*—¡+1,1

¡,п-2 ¡,п-3

г,п-2

1,1 -

- 1,п-2

2Д

-С

Идеал I порождён следующими элементами алгебры путей КО, колчана

Пусть К - алгебраически замкнутое поле, г ^ 1, п ^ 2. Тогда алгебра Нъ{п,г) - это алгебра колчана с соотношениями ((2,1)• Множество вершин 2о = х {з € N | 1 ^ у < тг}. Множество стрелок 21 колчана 2 состоит из следующих элементов:

аи : (г,у) -> + 1), 7,- : (г, и) -> (г+ 2,1), Д- : (г,п) (г + 1,п) (1 < » < г, 1 < ^ ^ я - 1).

Идеал / порождён следующими элементами алгебры путей /^2 колчана

2:

7«'а«,л-1) Д+1А- - ^+2,171, (1 < г ^ г, 1 < 7 ^ п - 1).

Пусть К - алгебраически замкнутое поле, г ^ 1. Тогда алгебра ЯДг) - это алгебра колчана с соотношениями (2,!)■ Множество вершин 2о = Ъги Ъгт- Множество стрелок 21 колчана 2 состоит из следующих элементов:

а -г: г —> г, (3-г: г —► г + 1 (1 < г < 3г).

Идеал I порождён следующими элементами алгебры путей КО колчана

<2:

7 - 1+Г и РТ-13ГуГга С1 < < г)> а^/З-иа^р- (1 ^ » < Зг).

Пусть А" - алгебраически замкнутое ноле характеристики 2, п ^ 2. Тогда алгебра Дв(га) - это алгебра колчана с соотношениями (0,1). Множество вершин 20 = 1}. Множество стрелок 0,\ колчана 2

состоит из следующих элементов:

/?: 0 —> О,а; : г г + 1(0 < г < п- 2),ап_х : п - 1 0.

п-2 2

Идеал I порождён следующими элементами алгебры путей КО колчана

2:

а0а„-1 + а0/За„-1, Р2 - щ, (1 ^ г < тах(п - 2,1)).

В основной части работы рассматриваются алгебры Л^п, г) и

Первая глава диссертации посвящена построению минимальных би-модульных резольвент алгебр Ri(n,r) и R¡(n). Для этого сначала в разделе 1.1 строятся минимальные проективные резольвенты всех простых модулей над этими алгебрами. Пусть R - некоторая конечномерная К-алгебра, Jp - её радикал Джекобсона, Л = R <S> Rop - её обёртывающая алгебра, F = — R/Jr : modA —> modñ. Далее, в разделе 1.2 доказано следующее утверждение.

Предложение 1.1 Эквивалентны следующие утверждения:

1) Последовательность

является минимальной проективной резольвентой A-модуля R.

2) di-idi = 0 для г ^ 0 и для любого простого R-модуля S последовательность

п тэ О о d-i®K*ds „ с doSflids п с djSñids

О R ®л s <— Qo ®л Ь <— Q1 ®я ь <— ...

является минимальной проективной резольвентой S.

3) di-idi = 0 для г ^ 0 и последовательность

является минимальной проективной рузольвентой R-модуля R/Jr.

Затем в разделе 1.3 приводятся формулы для членов и дифференциалов минимальных бимодульных резольвент алгебр Ri(n, г) и R¡(n). То, что полученные последовательности являются минимальными проективными резольвентами соответствующих алгебр, рассматриваемых как модули над своими обёртывающими алгебрами, доказывается в разделе 1.4 с помощью предложения 1.1.

. Вторая глава диссертации посвящена вычислению размерностей групп HHs(ñ) для R = R\{n,r) (г > 1, п > 4) и R = Rb{n) (п ^ 2). Пусть Qs - s-ый член минимальной бимодулыюй резольвенты алгебры R, ds : Qs+i —> Q,<¡ - s-ый дифференциал этой резольвенты, a Ss = Нотл(с4. R) • Нот\(QS,R) —> Нотл(<5,5+ь R)- В раздел 2.1 вычисляются /{"-базисы пространств Ношд((5«,-п), а в разделе 2.2 -пространств Ксг ós. В разделе 2.3 с помощью результатов, полученных в разделах 2.1 и 2.2, доказываются следующие теоремы, описывающие аддитивную структуру алгебры когомологий Хохшильда алгебр R\{n,r) и ife(n).

Теорема 2.1 Положим R = Ri(n,r) для некоторых г ^ 1, n ^ 4. Пусть НН8(Д) - s-ая группа когомологий Хохшильда алгебры R с коэффициентами в R.

1) Предположим, что г > 1. Тогда сНтд-HHS(.ZÎ) принимает следу?о-щие значения:

1, если выполнено одно из условий:

s G {2m + l(2n - 3),2m + 1 + 1{2п - 3)}, 1

m + Z(n — l)ir, m 4- ln\2 и выполнено одно из условий: > char К = 2 или Z:2; J

s G {2m + 1 + l(2n - 3), 2m + 2 + l(2n - 3)}, 0 < m < n - 3, ' m + l(n — l)lr,m + ln/2 и выполнено одно из условий: ►

char К = 2 или I /2;

s G {2(п - 2) + Z(2n - 3), (I + 1)(2п - 3)}, (Z + 1 )(п - 1) - llr, In/2, char К = 2;

s G {2(n - 2) + Z(2n - 3), (Z + l)(2n - 3)}, (Z + l)(n - 1) - lir, (Z + l)n/2;

2, если выполнено условие

s G {2(n - 2) + Z(2n - 3), (Z + l)(2n - 3)}, (Z + l)(n - 1) - lir, n:2, и выполнено одно из условий: char К = 2 или ZI2;

0, если не выполняется ни одно из условий, описанных выше.

2) Предположим, что г = 1. Тогда сИткНН8(Й) принимает следующие значения:

1, если выполнено одно из условий:

s G {2(n-2) + Z(2n-3),(Z + l)(2n-3)},Z/2 и char Кф 2;

s G {2{n - 2) + l{2n - 3), (Z + l)(2n - 3)}, (Z + l)n/2;

s = 2m + 1 + Z(2n — 3), 0 ^ m ^ n — 3, m + Zn/2 и выполнено, одно из условий: 1/2 или char if = 2;

s = 2т + 1 + Z(2n — 3), 0 < m ^ n — 3, m + In:2 и выполнено одно из условий: 1:2 или char К = 2;

s = 2т + 1(2п — 3), 1 < m < п — 3, m + Zn:2 и char /С / 2;

2, если выполнено одно из условий:

s G {2(n - 2) + l(2n - 3), (Z + l)(2n - 3)}, n:2,1:2 и char К ф 2;

s € {2(га - 2) + Z(2n - 3), (/ + l)(2n - 3)}, /га/2 и char К = 2;

5 = 2m + l(2n — 3), 1 ^ m < ra — 3, m + /ra!2 u char К = 2;

3, если выполнено условие

s € {2(n - 2) + /(2га - 3), (/ + l)(2ra - 3)}, ra!2 u char К = 2;

7i + l, если s = 0;

0, если не выполняется ни одно из условий, описанных выше.

Теорема 2.2 Положим R = /?5(n) для некоторого п ^ 2. Пусть НН5(Д) - s-ая группа когомологий Хохшилъда алгебры R с коэффициентами в R. Тогда dim;? HHs(ii) принимает следующие значения:

2, если выполнено одно из условий:

s = 2т + 1{2п - 1), 1 < 771 < п - 2, т + 1(п + 1)/2;

s = 2т + 1 + 1{2п - 1), 0 ^ т < га - 2, т + /га/2;

3, если выполнено одно из условий:

s = 2тга + 1{2п - 1), 1 < тп < п - 2, m + /(га + 1)12;

5 = 2тга + 1 + 1(2п - 1), 0 < т г$ п - 2, тп + /п:2;

s е {2(га - 1) + /(2га - 1), (/ + 1)(2га - 1)}, Г:2, п:2;

s е {2(га - 1) + 1(2п - 1), (/ + 1)(2га - 1)}, 1/2, га/2;

4, если выполнено одно из условий:

s е {2(га - 1) + 1{2п - 1), (/ + 1)(2га - 1)}, 1/2, га':2;

8 G {2(га - 1) + /(2га - 1), (/ + 1)(2га - 1)}, /!2, га/2;

га + 2, если s = 0.

Третья глава диссертации посвящена описанию кольца когомологий Хохшильда алгебр R\(n,r) (г ^ 1, га > 4) и R-,{n) (га ^ 2). Любой s-коцикл (р £ Ker 5s поднимается (однозначно с точностью до гомотопии) до цепного отображения комплексов {<pt : Qs+t —> Qtjt^o- Гомоморфизм ipt назовем i-ой трансляцией коцикла ip и будем обозначать через Т'(ср). Для коциклов <р € Ker5s и ф € Кет5* имеем ip[s] ■ ip[t] = [цТ°{ф)!*(<p))[s + t}. В разделе 3.1 вычисляются трансляции некоторых коциклов. Эти трансляции в последующих разделах используются для вычисления соотношения в алгебре когомологий Хохшильда. В разделе 3.2 доказываются утверждения, которые в дальнейшем используются для определения того, равен ли некоторый коцикл

0 в кольце когомологий Хохшильда. Раздел 3.3 посвящен нахождению множества образующих алгебры ШГ(Д) и соотношений, их связывающих. Приведём полученное в результате множество образующих. Если R = Ri(n,r), то введём в рассмотрение следующие элементы алгебры НН*(Я):

а) fs степени s = 2т + 1{2п - 3), где 0 ^ т < п - 2, т + 1(п - l)!r, т + In:2 и выполнено одно из условий: char К = 2 или 1\2;

б) gs степени s = 2m+l + Z(2n —3), где 0 < т ^ га-3, m+l{n — \)\r, т+1п/2 и выполнено одно из условий: char К = 2 или 1/2]

в) hs степени s = 2(n-2) + 1(2п - 3), где (I + 1)(га - 1) - 1!г, (/ + 1)га А

г) ps степени s = 2(п- 2) + 1(2п — 3), где (/+ 1)(га- 1) - 1 !г, п:2 и выполнено одно из условий: char К = 2 или 1:2]

д) Xs степени s = 1(2п - 3), где I ^ 1, 1(п - 1) - llr, In:2 и либо char/Г = 2, либо I /2]

е) £s степени s = 1(2п — 3), где 1(п — 1) - 1:г, 1п/.2;

ж) £i степени 1;

з) (1 ^ j ^ п) степени 0 в случае г = 1.

Пусть Л - минимальное положительное число кратное 2га — 3 такое, что определён элемент /д. Тогда элементы, описанные в пунктах а)-з), степени которых не превосходят А, образуют множество Х(п,г), порождающее кольцо когомологий Хохшильда алгебры Ri(n,r).

Если же R = R^in), то введём в рассмотрение следующие элементы НН*(Я): si, £2, Д,- (1 ^ г < га — 1) степени 0, р степени 1, 6 степени 2 и А степени 4га — 2. Кроме того, если га ^ 3, то введём также элементы С степени 3 и А' степени 4, а если п = 2 - элементы £ степени 3 и rf степени 4. Если га:2, то определим дополнительно элементы х степени 2га — 2, т) степени 2га и X' степени 4га — 3, а если га/2 - элементы т] степени 2га — 2 и \ степени 2га. Тогда НН*(Д) как /¡'-алгебру порождает следующий набор элементов:

£2, Ль Р, 5, х, т]и 772, х' и А, если га = 2; еи £2, Aj (1 г? г < га - 1), р, А', х, V, х'11 А, если п\2 и п ^ 4; е1; £2) Д; (1 < г < п - 1), р, 5, С, А', 7], X и А, если п/2.

В разделе 3.4 алгебра НН*(Д) описывается в терминах образующих с соотношениями. Каждому элементу в из множества образующих, описанного в разделе 3.3, поставим в соответствие переменную 9.

Если R = R\(n,r), то определим Х{п,г) = {в | в е Х(тг,г) \_{/о}}-Кроме того, для удобства мы будем считать /0 = 1. Введём на К[Х(п,г)] градуировку такую, что deg в = deg в для всех в € Х{п,г). Из результатов раздела 3.3 следует, что элементы Х(п, г) коммутируют между собой, то есть НН*(Д) = К[Х(п,г)}/1 для некоторого идеала I. Для целого числа s будем обозначать через ф(в) и i/j(s) целые числа такие, что s = 0(s)A + ip(s) и

1 < ф{з) < А.

Пусть I{n,r) - однородный идеал К[Х(п,г)}, порождённый следующими элементами (во всех формулах мы полагаем, что s, = 2m, + l,(2n — 3) или Si = 2т{ + 1 + li(2n - 3), где 0 ^ s. - /¿(2n - 1) < 2n - 4):

- /v-(5i+S2)/a(51+S2) + m2 < n - 2), /51/S2 + 2(-l)"^(si+52)/f1+52) (тщ + m2 ^ n - 1), Li9s2 ~ ^(,I+i2)/f5l+S2) (mi + m2 ^ n - 3),

/«i5»2 - ^(si+S2)/a(S'+S2) (mi + m2 = n- 2), fSlgS2 (mx + m2 > n - 1),

9si9s2, êi/Sl (mi = n-2,n/2), /eift»s (mj ^ l,charK^2),

fs'hs2 - £iU(si+s2-i)ft{i'l+S2'1] К > 1, char A = 2), (char К ф 2),

&Л2 - Xv(5i+S2)/a(5i+S2) (mi = 0. chai К = 2),

gSlK - £i^(Si+S2-i)/a(Si+S2_1) (™i 1, char A" = 2),

+ ^ 2 ^ ~94>(s1+SJÎ(Sl+S2\ ~

/SlPS2+^(Sl+S2)/f1+S2) (mi ^ 1), + (I) 9ri1(el+S2)ftiSl+S2\

ëiPsi ~ èifsi + l)x.1+i, /»iXS2 + £I3V(si+S2-I)/A (5l+S2_1) (mi ^ !).

&iXs2, Pîi^ÎJI ^«iXs2, ХъХв1,£1Хъ, Л1&2 >

+ £i5W5l+S2-i)/f1+S2_1), xjs2, isjs2, iillt et sf4j) (1 s: ij ^ n), gtié$> (1 < j < n), hei$ (1 < j < n), (1 ^ 3 < n),

¿ÂJ) (1 < J < "), rf (1 < i < «). Âiêo1 (1 < J < n - 2, mi > 1), /в,4?) (?е{я - l,n},mi ^ 1, char К ф 2), fSlêo] ~ £i5«i-i (9 € {га - 1, n}, mi ^ 1, char К = 2),

(1 < j < n, char К ф 2), /дё^ (1 < j ^ n - 2, пД), A4j) - êJx-i char К = 2, ni 2),

/Ân) - Xx (char A = 2), Aeir1' - xa (char К = 2, n/2), fxêo~l) -Xx- êiA-i (char К = 2,n\2),

Л4П) - èiÀ-i - Xa (char К = 2, n\2), ¿„ê^ (1 ^ j < « - 1, char tf ф 2),

- êigSl-i (Kj^n - 1, char К = 2), pSlè(0n\

Тогда верна следующая теорема.

Теорема 3.1 H H* (Я) как градуированная К-алгебра изоморфна K[X(n,r)]/I(n,r).

Если же К = Дх(п, г), то определим множество Х{п). Если п = 2, то

х{2) = {ёиё2,А,р,й,

Если п:2, п > 2, то

Л'(п) = и {£1,£2,р,б,(, А',х,??,х',А}.

Если же п /2, то

Х{п) = и {ёи£2,р, б, С, А', т/, х, А}.

Введём на К[Х(п)} такую градуировку, что, если 0 6 ННв(Д), то degв = я. Определим однородный идеал 1(п) алгебры К[Х(п)].

Если п = 2, то идеал 1(2) порождён следующими элементами:

ёI ё\, £хё2, £1Д, £2Д, А2, Ар, £1р2, ё2р2, р3, £1<5, £2<5, А<5, р2£, 52, £2Х,

Ах, Р2х, х2, « + р1 ^ А|, х1 I2, + р|, ё2гц + р1

+ р1 Р2п 1 + АЛ, р2щ + АЛ, Ъщ + ДЛ, XVI + (£1 + £2)А, хт + (£2 + А)л, & 1 + ё2р\, гЦ + р2Л, гцг)2 + ¿Л, ё2т)2, Ат}и Аг}2, Ц2, тАх' + р21 рх' + ёД, ¿х' + £2рЛ, хх' + (£1 + ё2)р\, т)1х' + (рх + 1)А, Ш'+ (р~5 + £)\, ёгх', е2х', £х', (х?-

Если п:2, п > 2, то идеал 1(п) порожден следующими элементами:

ЛД (1 < » < .К п - 1), £1Д; (1 < г ^ п - 1), ё2\ (1 < г < п - 1), р\ (1 < г < п - 1), ¿¡Д( (1 < г < п - 1), (А; (1 < « < п - 1), А'Д, (1 ^ г ^ п - 1), хД; (1 г? г ^ п - 1), т)А{ (1 «С г < п - 1),

п-1

х'Д< + МЛ')"-1 (1 ^ г < п - 1), ЛД + £ ЛД (1 < » ^ п - 1), ё1 ё1

z=1

Ё1ё2, Р2, ¿2Р2, Р3, £1е~26, р25, 82, Ё1<, е2С, рС + еД', ^С + £2рА', (2,

п-1

(ЛГ + Р2Л, £!(Л')? +ё2(\')Ь Р2(А')§ +«(А')5, Р2(А')п_1 + £ АД,

г=1

С(Л')"-1 + ёгр'Х, ëlX^ £2х, р'х, ¿X + ^(А')5, Сх, х(А')5 + (¿1 + ё2)А, х2, £1 Г] + £2(Л')3, £27?, рЦ + р2(Л')1 Ц, Сч + С(А')! + РХА', + ¿А,

п-1

ХЧ + (£2 + X! Аг)Л, V2, ёгх', £2х', Рх' + еД, ¿х' + ё2р~Х, (х, х'А' + (А, XX' + (|) (£1 + £2)р(А')^Л, х'т) + (рх + С(А')^ + ) (х')2-

Если же п /2, то идеал 1(п) порождён следующими элементами:

АД' (1 < г < 7 < п - 1), Ё1А; (1 ^ г < п - 1), е2Д; (1 < г < п - 1), рКг (1 < г ^ п - 1), 5Аг (1 < г < п - 1), СД* (1 < » < п - 1), А'Д, (1 ^ г ^ п - 1), т)Аг (1 ^ г < гг - 1), хД= (1 ^ г < гг — 1), ЛД (1 < г < п - 1), ё\, ё\, ёхё2, £1Р2, ё2р2, р3, ё\5, ё26, р25, 52, ё^, ё2(, рС + ёг'Х', ~5( + ё2р\', С2, (АТ + /52Л,

рЦ + р2(А')^, ¿ч, СЧ + С(А')^ + РХ, + ¿А, V2 + ё2(АО""1,

ёа, ё2х, ¿х + ё2(Х)й21, Сх, + (£1 + ё2)А, т/х + ^А, х2.

Тогда верна следующая теорема.

Теорема 3.2 НН*(Д) как градуированная К-алгебра изоморфна К[Х(п)]/Цп).

В приложении без доказательства приводятся строение бимодулыюй резольвенты и описание аддитивной и мультипликативной структуры алгебры когомологий Хохшильда алгебр Я2(п,г) (г > 1, п ^ 4), Дз(п,г) (г > 1, п > 2) и Л4(г) (г ^ 1).

Список литературы

[1] Генералов А. И. Когомологии Хохшильда алгебр диэдралъного типа. I: серия D(3K.) в характеристике 2. — Алгебра и Анализ. — 2004. — Т. 16, №6. - С. 53-122.

Генералов А. И. Когомологии Хохшильда алгебр кватерниоиного типа. I: Обобщённые группы кватернионов. — Алгебра и Анализ. — 2006. — Т. 18, №1. - С. 55-107.

Генералов А. И. Когомологии Хохшильда алгебр кватерпионного типа. III. Алгебры с малым параметром. — Зап. науч. семин. ПОМИ. — 2008.

- Т. 356. - С. 46-84.

Генералов А. И. Когомологии Хохшильда алгебр полудиэдрального типа. I. Групповые алгебры полудиэдральиых групп. — Алгебра и Анализ.

- 2009. - Т. 21, №2. - С. 1-51.

Генералов А. И. Когомологии Хохшильда алгебр диэдралъного типа. II. Локальные алгебры. — Зап. науч. семнн. ПОМИ. — 2010. — Т. 375. — С. 92-129.

Генералов А. И., Иванов А. А., Иванов С. О. Когомологии Хохшильда алгебр кватернионного типа. II. Серия Q(2B)i в характеристике 2. — Зап. науч. семин. ПОМИ. - 2007. - Т. 349. - С. 53-134.

Генералов А. И., Качалова М. А. Бимодульная резольвента алгебры Мёбиуса. - Зап. науч. семин. ПОМИ. - 2005. - Т. 321. - С. 36-66.

Генералов А. И., Косовская Н. Ю. Когомологии Хохшильда алгебр Лю-Шульца. - Алгебра и Анализ. - 2006. - Т. 18, №4. - С. 39-82.

Качалова М. А. Когомологии Хохшильда алгебры Мёбиуса. — Зап. науч. семин. ПОМИ. - 2006. - Т. 330. - С. 173-200.

Пустовых М. А. Кольцо когомологий Хохшильда алгебры Мёбиуса. — Зап. науч. семин. ПОМИ. - 2011. - Т. 388. - С. 210-246.

Erdmann К., Holm Т. Twisted bimodules and Hochschild cohomology for self-injective algebras of class An. — Forum Math. — 1999. — Vol. 11. — P. 177-201.

Erdmann K., Snashall N. On Hochschild cohomology of preprojective algebras. I. - J. Algebra. - 1998. - Vol. 205. - P. 391-412.

Erdmann K., Snashall N. On Hochschild cohomology of preprojective algebras. II. - J. Algebra. - 1998. - Vol. 205. - P. 413-434.

[14] Snashall N., Taillefer R. The Hochschild cohomology ring of a class of special biserial algebras. - J. Algebra Appl. - 2010. - Vol. 9. - P. 73-122.

Публикации автора по теме диссертации. Статьи в рецензируемых журналах и изданиях:

[1] Волков Ю. В. Когомологии Хохшилъда нестандартных самоипъектив-ных алгебр древесного типа Dn. — Зап. науч. семин. ПОМИ. — 2011. — Т. 388. - С. 48-99.

[2] Волков Ю. В. Алгебра когомологий Хохшилъда для одной серии само-инъективных алгебр древесного типа Dn. — Алгебра и Анализ. — 2011.

- Т. 23, № 5. - С. 99-139.

[3] Волков Ю. В., Генералов А. И. Когомологии Хохшилъда самоинъектив-ных алгебр древесного типа Dn. I. — Зап. науч. семин. ПОМИ. — 2007.

- Т. 343. - С. 121-182.

Подписано в печать 11.10.11 Формат 60х84'/16 Цифровая Печ. л. 1.0 Уч.-изд. л. 1.0 Тираж 100 Заказ 02/10 печать

Отпечатано в типографии «Фалкон Принт» (197101, г. Санкт-Петербург, ул. Большая Пушкарская, д. 54, офис 2)

Содержание.

Введение.

Глава 1. Бимодульные резольвенты самоинъективных алгебр древесного типа

1.1. Резольвенты простых модулей.

1.2. Построение бимодульных резольвент с помощью леммы Хаппеля

1.3. Описание бимодульных резольвент.

1.4. Доказательство теоремы о строении бимодульных резольвент

Глава 2. Вычисление аддитивной структуры алгебры когомо-логий Хохшильда для самоинъективных алгебр древесного типа Оп.

2.1. Базисы пространств Н).

2.2. Базисы пространств Кег5в.

2.3. Размерности НН3(К)

Глава 3. Описание алгебры когомологий Хохшильда самоинъективных алгебр древесного типа Оп в терминах образующих с соотношениями.

3.1. Вычисление трансляций

3.2. Описание 1т 58.

3.3. Образующие и соотношения.

3.4. Описание алгебры НН*(Я).

Когомологии алгебр играют фундаментальную роль в теории представлений конечных групп и конечномерных алгебр. В настоящее время теория (обычных) когомологий групп - уже сложившаяся ветвь современной алгебры. Кольца когомологий групп исследовались различными авторами, и в этой области имеется множество результатов (см., например, [37]). Если Я - базисная А'-алгебра, с радикалом Джекобсона </д, то Ех^алгебра 8(Я/ называется алгеброй Йонеды алгебры Я (определение Ех^алгебры модуля см., например, в [35]). Алгебра Йонеды является естественным аналогом кольца когомологий групп.

В работах А. И. Генералова (см. [1, 2, 3, 15, 16, 17, 18, 20, 22, 23, 26, 30, 32, 50]) были вычислены алгебры Йонеды для некоторых серий алгебр ди-эдрального или полудиэдральиого типа из классификации К. Эрдмапи [45]. В некоторых из этих работ (см. [2, 3, 15, 30, 50]) используется диа.грамный метод Бенсона-Карлсона [42] вместе с его техническими усовершенствованиями, развитыми в [2, 3]. В этом случае существенно используется возможность описания сизигий простых модулей с помощью так называемых диаграмм. Такая возможность имеется не всегда, и в связи с этим в [16] был предложен иной подход. Его существо составляет то, что на основе некоторых эмпирических наблюдений выдвигается гипотеза о строении минимальных проективных резольвент простых модулей, и после их обоснования "когомологическая информация" считывается с найденных резольвент, что приводит к описанию алгебр Йонеды рассматриваемых алгебр.

Теперь определим когомологии Хохшильда. Для Х-алгебры Я рассмотрим обёртывающую алгебру А = Я Яор. Тогда п-ая группа когомологий Хохшильда алгебры Я с коэффициентами в Д-бимодуле М определяется следующим образом: ННП(Д, М) = Ех^(Д, М). Если М = Я, то мы используем обозначение ННП(Д) = ННП(.Я, Я). На линейном пространстве

НН*(Д) = 0ННп(Я) = Я) п^0 п^О можно ввести и-произведение, относительно которого оно становится ассоциативной /Г-алгеброй (см. [33, Гл. XI], [44, §5], [51]). Эту алгебру называют алгеброй когомологий Хохшилъда. Известно, что и-произведение на НН*(/2) совпадает с произведением Ионеды на Ех^алгебре фп^0Ех!;д (В,, К) А-модуля Я (см., например, [52]). Кроме того, как доказано в [51], НН*(Д) -градуированно коммутативная алгебра.

Хотя алгебра когомологий Хохшильда теоретически вычислима для конкретной алгебры через производные функторы, но реально вычисления для какого-либо класса алгебр по-прежнему актуальны и очень сложны.

В [19] А. И. Генералов дал описание алгебры НН*(Д) для алгебр диэд-рального типа из серии 1)(3/С) над алгебраически замкнутым полем характеристики 2, при этом была использована техника, аналогичная использованной для вычисления алгебр Йонеды. Далее эта техника была с успехом применена в работах [21, 24, 25, 27, 28] для описания алгебры когомологий Хохшильда нескольких серий алгебр диэдрального, полудиэдрального и ква-тернионного типов. С помощью подобной техники алгебра когомологий Хохшильда для некоторых серий алгебр была вычислена в работах [31, 48, 49, 59].

Если Я - самоинъективная базисная алгебра над алгебраически замкнутым полем, имеющая конечный тип представления, то её стабильный АЯ-колчан можно описать с помощью некоторого ассоциированного дерева, которое должно совпадать с одной из схем Дынкина Ап, £)п, Ее, Е-[ или Е% (см. [57]). Так как алгебра когомологий Хохшильда - инвариант производной эквивалентности ([56]), то для её вычисления достаточно взять по одной алгебре для каждого класса производной эквивалентности. Так как для самоинъек-тивных алгебр конечного типа, представления производная эквивалентность совпадает со стабильной (см. [55] и [39]), то достаточно взять по одному представителю в каждом классе стабильной эквивалентности. Если для алгебры Я ассоциированное дерево имеет тип Ап, то ввиду результатов [58] алгебра Я стабильно эквивалентна либо некоторой полуцепной самоинъективной алгебре, либо так называемой "алгебре Мёбиуса". В работе [46] была вычислена алгебра когомологий Хохшильда НН*(Л) для полуцепных самоинъективных алгебр, а для алгебры Мёбиуса в [47] была вычислена подалгебра НН*Г(.Й) алгебры НН*(Д), порождённая однородными элементами, степень которых делится на г, где г - некоторый параметр, связанный с определяющими соотношениями алгебры Я. В этих двух работах существенно использовался тот факт, что сизигия подходящего порядка Д-бимодуля Я описывается как скрученный бимодуль. В работах [29] и [34] с помощью техники, применённой А. И. Генераловым для вычисления алгебры когомологий Хохшильда для алгебр из классификации К. Эрдманн, была построена бимодульна.я резольвента и вычислены размерности групп ННдля алгебры Мёбиуса. Далее, в [36] с помощью бимодульной резольвенты было получено описание алгебры когомологий Хохшильда алгебры Мёбиуса в терминах образующих с соотношениями.

В работах [39], [40] (см. также [4]) самоинъективные алгебры конечного типа представления были классифицированы по модулю стабильной эквивалентности, в каждом классе был выбран представитель и описан в терминах колчана с соотношениями. В работе [38] для каждого из этих представителей была вычислена группа НН2(Я). В работе [43] было доказано, что все самоинъективные алгебры конечного типа представления имеют периодическую минимальную бимодульную резольвенту, что вместе с результатами работы [53] даёт изоморфизм алгебр НН*(.Й)/Л/* — К[х], где Л/" - идеал НН*(7?), порождённый однородными нильпотентными элементами.

Целью данной работы является полное описание алгебры НН*(7?) для всех алгебр Я с ассоциированным деревом Dтг. В упомянутой выше классификации по модулю стабильной эквивалентности было выделено 5 классов таких алгебр. Мы будем использовать их описание с помощью колчана с соотношениями, данное в работе [4] (с небольшой сменой обозначений). Далее, если число г фиксировано, то для числа г 6 ^ мы будем обозначать через г, соответствующие ему элемент в через г - соответствующий ему элемент в г, а через г - соответствующий ему элемент в

Первый класс алгебр (п, г) параметризуется двумя целыми числами г ^ 1 и п ) 4. Введём колчан с соотношениями (2,/). Множество вершин Qo = х ^ Е N \ 1 ^ j ^ п}. Множество стрелок 0,1 колчана (2 состоит из следующих элементов:

7г,?г-1 : (г, п - 2) -> (г, п - 1), тг>п : (г, п - 2) -»• (г, п),

Д)П1 : (г, п - 1) (г + 1,1), : (г, п) (г + 1,1), аг,з ■ {г,з) 3 + 1) (1 ^ г ^ г, 1 ^ .7 ^ п - 3).

Кроме того, в этом случае при работе с алгеброй Я мы будем использовать следующие вспомогательные обозначения:

Тг = Д,п7г,П) шг,32,Л = аг,32 • ■ • аг,3п А^Л ~ ^МД' ^г,^ = ,31

Через ф : {1,., п} —> {1,., п} обозначим отображение, такое, что ф{]) = ] ДЛЯ 1 ^ ] ^ п — 2, ф(п — 1) = 71, ф(п) =71—1.

Замечание 1. Здесь и в дальнейшем мы, для единообразия обозначений, дополнительно предполагаем, что пустое произведение стрелок колчана отождествляется с подходящим идемпотентом алгебры; например, для алгебры (п.г) выполнено: /лг)0 = егд, шг,3-1<3 = ем, 1Уг,п-2 = ег,п-г

Идеал / порождён элементами

1г,ф(д)^г,1Рг—\,q^ Рг.п— 17г,п— 1 ^г.з^г^г,] (1 ^ г ^ г, 1 ^ ^ п — 3, (/ 6 {п — 1,п}). г, п — 1 1, п — 1 г,п-3 Ч ^^ / «2,1 г,11-2 1,1 -• ■ • ->- 1,11-2 2.1

01,1 °1,п-3 .

X /01,„

Г,П 1, П

Тогда Д1(п,г) = К0./1.

Второй класс алгебр 0 параметризуется двумя целыми числами г ^ 1 и п ^ 4. Введём колчан с соотношениями (0,,1). Множество вершин <2о = {^г х О £ ^ | 1 ^ 3 ^ п — 2}) □ Ж2Г- Множество стрелок 0,\ колчана О, состоит из следующих элементов:

7?:(г,п- 2)- г,/3?: ?►(* +1,1) (1 < г ^ 2г), (г,з) -> (г,з + 1) (1 < г < г, 1 ^ з <: п - 3). В этом случае при работе с алгеброй Я мы будем использовать следующие вспомогательные обозначения:

ГТ = ШЬ32,31 = аг,32 ■ ■ • аг,311 ~ =

Уг,3 = 1М+и-1Т ■

Идеал / порождён элементами

Т? - т^ ^¿т^ г ^ 2г, 1 ^ з ^ п - 3).

Тогда П,2(п,г)=Ка/1.

Третий класс алгебр Яз(п, г) параметризуется двумя целыми числами г ) 1, г/3 и п ) 2. Введём колчан с соотношениями (2,/). Множество вершин 2о = Ъг х {] Е N | 1 ^ ] ^ п}. Множество стрелок 0,\ колчана О, состоит из следующих элементов: {г, з) {1,3 + 1), Ъ ■ (г,п) -> (г + 2,1), # : (г, п) (г + 1, п)

В этом случае при работе с алгеброй Я мы будем использовать следующие вспомогательные обозначения: тг = Ъ+\Рг, иг,32,3\ = аг,32 • ' ' аг,3\; №1,3 = ^Л'Д) ^>.7 =

Идеал / порождён элементами

7гаг,п-Ъ А+1А - ^г+2,17г, ^зПЩ,з (1 ^ г ^ Г, 1 ^ .7 ^ П - 1).

Тогда Яз(п, г) = К(2/1.

Четвёртый класс алгебр параметризуется одним целым числом г ^ 1. Введём колчан с соотношениями ((3,/). Множество вершин <2о = Ъг и Жзг. Множество стрелок 0,\ колчана О, состоит из следующих элементов: -» % + 1 (1 < г < Зг).

Идеал / порождён элементами " и 7 - гчТг С1 < ^ г)>

1 < г < Зг). г + 2 г

Тогда Я4(>) = KQ/I.

Пятый класс алгебр R${n) параметризуется одним целым числом п ^ 2. При работе с алгебрами этого класса будем всегда полагать, что характеристика поля равна 2, так как только в этом случае он требует отдельного рассмотрения (в противном случае алгебра путей колчана с соотношениями, описанная далее, входит в третий класс). В этом случае этот класс состоит из нестандартных алгебр (алгебры, для которых категория неразложимых модулей не изоморфна mesh-категории ЛЯ-колчана). Введём колчан с соотношениями (Q, /). Множество вершин Qo = — 1}.

Множество стрелок 0,\ колчана О. состоит из следующих элементов:

3 : 0 -» 0, ск» : г г + 1(0 ^ г ^ п - 2), ап1 : п - 1 -> 0.

В этом случае при работе с алгеброй Я мы будем использовать следующие вспомогательные обозначения:

Идеал / порождён элементами а0ап-1 + а0^О!„1, /?2 - щ, (1 ^ г ^ шаж(п - 2,1)).

Тогда Я5(п) = KQ/I.

Из результатов работы [4] следует, что алгебры Я\{п, г) и ^(ft,г) имеют древесный тип Dn, алгебры Я^(п,г) и Яь(п) - а алгебра Яа{г) - D4.

Основными результатами работы являются теорема 1.1, в которой описываются бимодульные резольвенты для алгебр Я\(п,г) и Я^(п), теоремы 2.1 и 2.2, в которых описываются аддитивные структуры алгебр когомологий Хохшильда для вышеуказанных алгебр, а также теоремы 3.1 и 3.2, в которых алгебры когомологий Хохшильда для тех же алгебр описываются в терминах образующих с соотношениями. Кроме того, для алгебр Я2(п,г), R3(п,г) и Я^{г) те же результаты (строение бимодульной резольвенты и описание аддитивной и мультипликативной структуры алгебры когомологий Хохшильда) представлены без доказательства в приложении. Эти результаты позволяют найти точные значения для периодов минимальных бимодульных резольвент самоинъективных алгебр древесного типа Dn. Некоторые из этих значений п-2 2 были найдены в работе [43], но для некоторых были представлены несколько возможных значений без указания, при каких условиях какое значение имеет место. Кроме того, вычисленные в диссертации значения для размерностей групп позволяют найти неточность в результатах работы [38] (в случае алгебры Дз(п,г)).

Результаты, выносимые на защиту:

1. Для всех алгебр из серий г) и Я^п) построены минимальные бимодульные резольвенты.

2. Для алгебр Я\(п, г) и Яь{п) вычислены размерности групп ННв(Д) для й ^ 0.

3. Для алгебр Я\(п,г) и Я^п) дано описание алгебр когомологий Хох-шильда в терминах образующих с соотношениями.

Основные результаты работы опубликованы в статьях [8, 10, 11] ив тезисах международных конференций [6, 12]. В совместных работах диссертанту принадлежат доказательства теорем и вычисления, а соавтору - постановка задач и выбор методов решения. Большая часть результатов, содержащихся в приложении, опубликована в статьях [5, 9, 13, 14] и в тезисах международной конференции [7]. Кроме того, в работе [14] опубликовано предложение 1.1, которое используется в настоящей работе для доказательства теоремы 1.1.

Диссертация состоит из введения, трёх глав, списка литературы и приложения.

1. Антипов М. А., Генералов А. И. Когомологии алгебр полудиэдрального типа. 1.. - Зап. науч. семин. ПОМИ. - 2002. - Т. 289. - С. 9-36.

2. Балашов О. И., Генералов А. И. Алгебра Йонеды для одного класса диэд-ральных алгебр. — Вестник С.-Петерб. ун-та., — 1999. — Сер. 1, Вып. 3, №15. С. 3-10.

3. Балашов О. И., Генералов А. И. Когомологии алгебр диэдралъного типа. II. Алгебра и Анализ. - 2001. - Т. 13, №1. - С. 3-25.

4. Волков Ю. В. Классы стабильной эквивалентности самоинъективных алгебр древесного типа Dn. — Вестник С.-Пб. ун-та, Сер. 1, Мат., мех., астр. 2008. - Вып. 1. - С. 15-21.

5. Волков Ю. В. Когомологии Хохшильда самоинъективных алгебр древесного типа Dn. II. — Зап. научн. семин. ПОМИ. — 2009. — Т. 365. — С. 63-121.

6. Волков Ю. В. The Hochschild cohomology algebra for one family of self-injective algebras of tree class Dn. — Тезисы докладов международной алгебраической конференции, посвящённой 70-летию А. В. Яковлева. — СПб, 2010. С. 162-163.

7. Волков Ю. В. Когомологии Хохшильда нестандартных самоинъектив-ных алгебр древесного типа Dn. — Зап. научн. семин. ПОМИ. — 2011. — Т. 388. С. 48-99.

8. Волков Ю. В. Когомологии Хохшильда самоинъективных алгебр древесного типа Dn. IV. — Зап. научн. семин. ПОМИ. — 2011. — Т. 388. — С. 100-118.

9. Волков Ю. В., Генералов А. И. Hochschild, cohomology for a family of self-mjectwe algebras of tree class Dn. — Тезисы докладов международной алгебраической конференции, посвящённой 100-летию со дня рождени Д. К. Фаддеева. СПб, 2007. - С. 171-172.

10. Волков Ю. В., Генералов А. И. Когомологии Хохшильда самоинъективных алгебр древесного типа Dn. III. — Зап. научи, семин. ПОМИ. — 2011.- Т. 386. С. 100-128.

11. Волков Ю. В., Генералов А. И., Иванов С. О. О построении бимодульных резольвент с помощью леммы Хаппеля. — Зап. научн. семин. ПОМИ. — 2010. Т. 375. - С. 61-70.

12. Генералов А. И. Когомологии алгебр диэдрального типа. I. — Зал. науч. семин. ПОМИ. 1999. - Т. 265. - С. 139-162.

13. Генералов А. И. Когомологии алгебр полудиэдрального типа. I. — Алгебра и Анализ. 2001. - Т. 13, №4. - С. 54-85.

14. Генералов А. И. Когомологии алгебр диэдралъного типа. IV: серия D{2B). Зап. науч. семин. ПОМИ. - 2002. - Т. 289. - С. 76-89.

15. Генералов А. И. Когомологии алгебр полудиэдралъного типа. III: серия SD(3JC). Зап. науч. семин. ПОМИ. - 2003. - Т. 305. - С. 84-100.

16. Генералов А. И. Когомологии Хохшильда алгебр диэдралъного типа. I: серия D(31C) в характеристике 2. — Алгебра и Анализ. — 2004. — Т. 16, №6. С. 53-122.

17. Генералов А. И. Когомологии алгебр полудиэдралъного типа. IV. — Зап. науч. семин. ПОМИ. 2004. - Т. 319. - С. 81-116.

18. Генералов А. И. Когомологии Хохшильда алгебр кватернионного типа. I: Обобщённые группы кватернионов. — Алгебра и Анализ. — 2006. — Т. 18, т. С. 55-107.

19. Генералов А. И. Когомологии алгебр полудиэдралъного типа. V. — Зап. науч. семин. ПОМИ. 2006. - Т. 330. - С. 131-154.

20. Генералов А. И. Когомологии алгебр полудиэдралъного типа. VI. — Зап. науч. семин. ПОМИ. 2007. - Т. 343. - С. 183-198.

21. Генералов А. И. Когомологии Хохшильда алгебр кватернионного типа. III. Алгебры с малым параметром. — Зап. науч. семин. ПОМИ. — 2008. Т. 356. - С. 46-84.

22. Генералов А. И. Когомологии Хохшильда алгебр полудиэдралъного типа. I. Групповые алгебры полудиэдралъных групп. — Алгебра и Анализ. — 2009. Т. 21, №2. - С. 1-51.

23. Генералов А. И. Когомологии алгебр полудиэдралъного типа. VII. Локальные алгебры. — Зап. науч. семин. ПОМИ. — 2009. — Т. 365. — С. 130-142.

24. Генералов А. И. Когомологии Хохшильда алгебр диэдрального типа. II. Локальные алгебры. — Зап. науч. семин. ПОМИ. — 2010. — Т. 375. — С. 92-129.

25. Генералов А. И., Иванов А. А., Иванов С. О. Когомологии Хохшильда алгебр кватернионного типа. II. Серия Q(2B)i в характеристике 2. — Зап. науч. семин. ПОМИ. 2007. - Т. 349. - С. 53-134.

26. Генералов А. И., Качалова М. А. Бимодульная резольвента алгебры Мёбиуса. Зап. науч. семин. ПОМИ. - 2005. - Т. 321. - С. 36-66.

27. Генералов А. И., Косматов Н. В. Проективные резольвенты и алгебры Йонеды для алгебр диэдрального типа: серия D(3Q). — Фундамент, и прикл. матем. 2004. - Т. 10, Вып. 4. - С. 65-89.

28. Генералов А. И., Косовская Н. Ю. Когомологии Хохшильда алгебр Лю-Шульца. Алгебра и Анализ. - 2006. - Т. 18, №4. — С. 39-82.

29. Генералов А. И., Осиюк Е. А. Когомологии алгебр диэдрального типа. III: серия D(2Ä). Зап. науч. семин. ПОМИ. - 2002. - Т. 289. - С. 113-133.

30. Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра. — М.: ИЛ, 1960. — 510 с.

31. Качалова М. А. Когомологии Хохшильда алгебры Мёбиуса. — Зап. науч. семин. ПОМИ. 2006. - Т. 330. - С. 173-200.

32. Маклейн С. Гомология. — М.: Мир, 1966. — 543 с.

33. Пустовых М. А. Кольцо когомологий Хохшильда алгебры Мёбиуса. — Зап. науч. семин. ПОМИ. 2011. - Т. 388. - С. 210-246.

34. Adem A., Milgram R. J. Cohomology of finite groups. — Grundlehren der Math. Wiss. — 1st edition 1994, 2nd edition 2004. — Vol. 309.

35. Al-Kadi D. Self-infective algebras and the second Hochschild cohomology group. J. Algebra. - 2009. - Vol. 321. - P. 1049-1078.

36. Asashiba H. The derived equivalence classification of representation-finite selfinjective algebras. — J. Algebra. — 1999. — Vol. 214. — P. 182-221.

37. Asashiba H. On a lift of an individual stable equivalence to a standard derived equivalence for representation-finite self-mjective algebras. — Algebras and Repr. Theory. 2003. - Vol. 6. - P. 427-447.

38. Bardzell M. J. The alternating syzygy behavior of monomial algebras. — J. Algebra. 1997. - Vol. 188. - P. 69-89.

39. Benson D. J. Carlson J. F. Diagrammatic method for modular representation and cohomology. — Comm. in Algebra. — 1987. — Vol. 15, №1/2. — P. 53-121.

40. Dugas A. S. Periodic resolutions and self-mjective algebras of finite type. — J. Pure and Applied Algebra. 2010. - Vol. 214. №6. - P. 990-1000.

41. Eilenberg S., MacLane S. Cohomology theory in abstract groups. I. — Ann. Math. 1947. - Vol 48. - P. 51-78.

42. Eidmann K. Blocks of time representation type and related algebras. — Lect. Notes Math. Vol. 1428. Berlin et al., Springer Verlag, 1990.

43. Erdmann K., Holm T. Twisted bimodules and Hochschild cohomology for self-mjective algebras of class An. — Forum Math. — 1999. — Vol. 11. — P. 177-201.

44. Eidmann K., Holm T , Snashall N. Twisted bimodules and Hochschild cohomology for self-mjective algebras of class An, II. — Algebras and Repr. Theory. 2002. - Vol. 5. - P. 457-482.

45. Erdmann K., Snashall N. On Hochschild cohomology of preprojective algebras. I. J. Algebra. - 1998. - Vol. 205. - P. 391-412.

46. Erdmann К., Snashall N. On Hochschild cohomology of preprojectwe algebras. II. J. Algebra. - 1998. - Vol. 205. - P. 413-434.

47. Generalov A. I. Kosmatov N. V. Computation of the Yoneda algebras of dihedral type. Зап. науч. семин. ПОМИ. - 2003. - Т. 305. - С. 101-120.

48. Gerstenhaber М. The cohomology structure of an associative ring. — Ann. Math. 1963. - Vol. 78. - P. 267-288.

49. Green E. L., Snashall N., Solberg 0. The Hochschild cohomology ring of a selfinjectwe algebra of finite representation type. — Proc. Amer. Math. Soc- 2003. Vol. 131 №11. - P. 3387-3393.

50. Happel D. Hochschild cohomology of finite-dimensional algebras. — Lect. Notes Math. 1989. - Vol. 1404. - P. 108-126.

51. Rickard J. Derived categories and stable equivalence. — J. Pure and Appl. Alg. 1989. - Vol. 61. - P. 303-317.

52. Rickard J. Derived equivalences as derived functors. —• J. London Math. Soc.- 1991. Vol. 43. - P. 37-48.

53. Riedtmann C. Algebren, Darstellungsköcher, Uberlagerungen und zurück. — Comment. Math. Helv. 1980. - Vol. 55. - P. 199-224.

54. Riedtmann C. Representation-finite self-mjectwe algebras of class An. — Lect Notes Math. 1980 - Vol 832. - P. 449-520.

55. Snashall N., Taillefer R. The Hochschild cohomology ring of a class of special biserial algebras. — J. Algebra Appl. — 2010. — Vol 9. — P. 73-122.