Кольцо когомологий Хохшильда алгебры Мёбиуса тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Санкт-Петербургский государственный университет

На правах рукописи 4858602

Пустовых Мария Александровна

Кольцо когомологий Хохшильда алгебры

Мёбиуса

специальность 01.01.06 — Математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- 3 НОЯ 2011

Санкт-Петербург 2011

4858602

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры и теории чисел математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор ГЕНЕРАЛОВ Александр Иванович Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор ГОРДЕЕВ Николай Леонидович (Российский государственный педагогический университет им. А. И. Герцена)

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник ЛУРЬЕ Борис Вениаминович (Петербургское отделение Математического института имени В. А. Стеклова РАН)

Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук

Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения РАН

Защита состоится « ^б» .............2011 г. в ./6!.. часов на

заседании совета Д 212.232.29 по зашите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 191023, Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, д. 27, ауд. 311 (Петербургское отделение Математического института имени В. А. Стеклова РАН).

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан « ..мшайш.. 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.232.29

доктор физ.-мат. наук, профессор Нежинский В. М.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Диссертация посвящена изучению структуры кольца когомологий Хохшильда для алгебры Мёбиуса. Изучение структуры кольца когомологий Хохшильда для различных алгебр всегда представляло большой интерес для гомологической алгебры. В последние годы наблюдается прорыв в этой области, перечислим последние результаты. Полное описание структуры кольца когомологий Хохшильда было получено для некоторых серий алгебр диэдрального типа (А. И. Генералов, 2004-2010), кватерни-онного типа (А. И. Генералов, А. А. Иванов, С. О. Иванов, 2006-2011), полу-диэдрального типа (А. И. Генералов, 2009-2011), целочисленного группового кольца диэдралыюй группы (А. И. Генералов, 2007), а также полудиэдраль-ной группы (А. И. Генералов, 2011), самоинъективных алгебр древесного типа Вп (Ю. В. Волков, А. И. Генералов, 2007-2011), алгебр Лю-Шульца (А. И. Генералов, Н. Ю. Косовская, 2006). В 2011 г. У. Хи, Н. получили описание структуры кольца когомологий Хохшильда для кошулевых с!-алгебр. Аддитивная структура кольца когомологий Хохшильда для алгебр Гекке Т^^), q = -1 описана К. Егётапп и Б. ЭсЬгоИ (2010). N. ЭпазЬаП и И. ТаЦМег в 2010 г. описали структуру кольца когомологий Хохшильда для алгебры путей некоторого колчана с соотношениями и для кошулевых алгебр.

Алгебра Мёбиуса впервые была введена С. Шесйтапп при классификации самоинъективных алгебр над алгебраически замкнутым полем, имеющих конечных тип представления. Стабильный АЯ-колчан для таких алгебр имеет древесный тин Ап,Оп,Е6,Е7 или Е$ (ШесИтаапп, 1980). Далее, если алгебра имеет АД-колчан древесного типа Ап, то она стабильно эквивалентна либо некоторой полуцепной самоинъективной алгебре, либо алгебре Мёбиуса (ШесКгаапп, 1980). В 1999 г. Н. АэазЫЬа доказал, что для самоинъективных алгебр конечного типа представления стабильная эквивалентность совпадает с производной. Поскольку кольцо когомологий Хохшильда инвариантно относительно производной эквивалентности, мы можем использовать клас-

сификацию С. Riedtmann для описания кольца когомологий алгебр типа Ап. Для полуцепных самоинъективных алгебр описание кольца когомологий Хох-шильда получено К. Егс1тапп и Т.Но1т (1999). Таким образом, данная диссертация является завершающим этапом в исследовании колец когомологий Хохшильда для алгебр типа Ап.

Цель работы. Получить описаиие аддитивной и мультипликативной структуры кольца когомологий Хохшильда для алгебры Мёбиуса. Сформулировать полное описание структуры кольца в терминах образующих и соотношений.

Методы исследований. В работе используется подход к изучению кольца когомологий Хохшильда, разработанный А. И. Генераловым и использующийся в его работах и работах учеников. Описание структуры кольца когомологий Хохшильда получается с использованием предварительно построенной бимодульной резольвенты алгебры. При формулировке гипотез о том, как выглядит резольвента и ^-сдвиги образующих кольца когомологий, использовался эмпирический материал, полученный при помощи компьютерных вычислений.

Основные результаты работы.

Пусть Л - алгебра Мёбиуса.

1. Получено описание бимодульной резольвенты для Я.

2. Описана аддитивная структура НН*(Д).

3. Выбрано множество образующих НН*(Д), для которых описаны все их П-сдвиги.

4. Описаны все соотношения между образующими, таким образом, получено описание НН*(Л) в терминах образующих и соотношений.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты работы могут быть использованы для дальнейшего изучения когомологических свойств алгебр и колец когомологий Хох-

шильда. В частности, описание бимодульной резольвенты, являющееся промежуточным результатом данной работы, может использоваться при изучении других (ко)гомологических свойств алгебры Мёбиуса.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Международной алгебраической конференции, посвящёпной 100-летию Д. К. Фад-деева [5], на Международной алгебраической конференции, посвященной 70-лстию А. В. Яковлева [6], и на Санкт-Петербургском алгебраическом семинаре имени Д. К. Фадеева.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-6]. Работы [1-4] опубликованы в издании, входящем в список рекомендованных Высшей аттестационной комиссией па момент публикации. В работах [1, 2] диссертанту принадлежат формулировка и доказательства теорем, а соавтору - постановка задач и выбор методов решения.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, разбитых на разделы, списка литературы, содержащего 40 наименований, и одного приложения. Объём диссертации - 1С9 страниц (основной текст - 132 страницы, приложение - 37 страниц).

Содержание диссертации

Во введении рассмотрены основные понятия, дано краткое описание методов решения задачи, а также представлено состояние исследования в данной области. Напомним определения основных объектов, использующихся в диссертации.

Пусть R - конечномерная алгебра над полем К, А = R ®к Rop - её обёртывающая алгебра, HHn(i?) = Extl(R,R) ~ n-ая группа когомологий Хохшильда алгебры R (с коэффициентами в Д-бимодуле R). На абелевой группе

ШГ(Л) = 0 НН"(Я) = 0 Ext 1{R, R)

п^О п^О

вводится структура ассоциативной алгебры с использованием

произведения; эту алгебру называют алгеброй когомологий Хохшилъда.

Алгебра Мёбиуса, есть алгебра вида Д = К [О] //, где К - поле, а О. следующий колчан:

{n+l)t+\

а,

'{п+2)

'21-1

21*

21-1

(п+2)1+1

а.

•(п+2)

■2Ь+1

31-1

а,

'(п+3)1:-П

"~(п+1)1-1

1-1

п£+1

пЪ-

пЬ-1

2п1-1

а,

(п-1) (11-1)1+1

(2п-1)1+1

.7

(п-1)1

где 71, Ь е М, Ь ^ 2, а I идеал в алгебре путей К [2] колчана 2, порождённый

а) всеми путями длины Ь + 1;

б) путями вида

агл«(г+гг)г-1 и а(г+7г)4аг4_1;

в) выражениями вида

а(п+г^-1(1(п+г)г-2 ■ ■ • «(и+г-1)« + а,г^\аН-2 ■ ■ ■ а(г- 1)г, 1 < г < п. В этом случае используем также обозначение К =

В первой главе формулируется основной результат работы описание структуры кольца когомологий Хохшильда для алгебры Мёбиуса в терминах образующих и соотношений. Также получено интересное следствие - описание подкольда НН(2'_1'*(Д) в терминах образующих и соотношений.

Сформулируем основной результат работы. Сначала приведём описание аддитивной структуры.

Теорема 1 (Аддитивная структура, случай п > 1) Пусть п > 1, R =

Rat - алгебра Мёбиуса, ННЙ(Д) - s-ая группа когомологий Хохшильда алгебры R с коэффициентами в R. Пусть £ - целая часть, а г - остаток от деления s па 2t - 1, т - целая часть от деления г па 2, р - целая часть от деления т + £t па п. Группа НН"(Я) имеет размерность 1, если s удовлетворяет требованиям одного из следующих пунктов:

(1) r = 0,£t = 1 (п), £ + р : 2, £ /2 или cha,vK = 2;

(2) г = 2т, m + £t = \{n), £ + р /2, £ /2 или char А" = 2;

(3) г = 2т, m + £t = 0{n), £ + р \ 2,1\2 или char К = 2;

(4) г = 2t-2, t-l+£t = 0{n), i + p /2, £\2 или char if = 2;

(5) г = 2т + I, m + £t = 0(n), £ + р /2, £ /2 или char if = 2;

(6) г = 2т+1, т + £t = 0(n), £ + р i 2, £ I 2 или chaxK = 2. В остальных случаях dim^- HHs(ii) = 0.

Теорема 2 (Аддитивная структура, случай п = 1) Пусть п = 1, R =

Rl t - соответствующая алгебра Мёбиуса. В обозначениях предыдущей теоремы, группа НН«(Я) имеет размерность 2, если s удовлетворяет требованиям одного из следующих пунктов:

(1) s = 0;

(2) г = 2т, £ + р ; 2, char К = 2;

Группа НН6(Я) имеет размерность 1, если s удовлетворяет требованиям одного из следующих пунктов:

(3) г = 2т (т < t — 1), £ + р \ 2, £ / 2,

(4)г = 0, £ + р/2;

(5)r = 2m,£ + p\2,£-:2,s>0, char К ф 2;

(6) г = 2m + 1, р : 2 или char Л" = 2;

(7) г = 2t — 2, £ + р ! 2, I /2, char /if ^ 2;

(8) r = 2t-2, e + p /2, £ I 2 или char К = 2. В остальных случаях dim^- HHS(R) = 0.

Введём автоморфизм алгебры Мёбиуса а: R R, определяемый следующим образом:

a(ej) = h+tb если j I t,

\ei+t(t+n) в противном случае;

ст(а= J ~aj+t(t+n), если j = st - 1 или j = st для s = 0,1,..., n - 1, |laj+i(i+n) в остальных случаях.

Предложение 3 Автоморфизм а имеет конечный порядок, причём,

(1) если char К = 2, то порядок а равен 2Н0Д"М, если щщ^у нечётно, и нод(п,<) 6 пР°т>ивном случае;

(2) если char К ф 2, то порядок а равен если и нечётны, и 2щщ^у в противном случае.

Пусть п > 1. Введём дополнительные обозначения. Пусть {si.i,... ,sai)j} - множество всех степеней s, удовлетворяющих условиям г-го пункта теоремы 1, и таких, что 0 < sjti < (21 - l)dega для j = 1,..., Qj. Рассмотрим множество

б

Л*

и на кольце многочленов К[Х] введём градуировку такую, что = ^ для всех I = 1,..., 6 и ] = 1,...,

Замечание. Далее мы будем часто использовать упрощённое обозначение XМ для Х^, поскольку значения нижних индексов ясны из контекста.

Определим градуированную К-алгебру Л = К[Х]/1, где идеал I порождён однородными элементами, соответствующими следующим соотношениям (ниже мы используем вспомогательное обозначение: X® = Х^, когда

< с^Т, и Х^ = ТХ^ в противном случае; кроме того, для левых частей этих соотношений, имеющих вид через т^ (соответственно

т^) обозначаем параметр пг из теоремы 1, относящийся к 1-й группе (соответственно группе) условий из теоремы 1 (г,] € {1,..., 6})): Х(1)Х(1) = Х(1)Х(5) = Х{1)Х(Ъ) = Х(Ъ)Х(Ъ) = Х(0)Х(0) = 0; Х(4)Х(4) = ^(1)^(4) = ^(2).

Х(1)Х(3) =

m3 = и; тз > 0;

=

mz + m'z^t — 1; гпз + m'3 > t — 1;

(1) (2)

(3)

т3 = 0;

771з > 0, char К = 2;

тпз > 0, char К ф 2;

т3 + т'5 <t — 1;

Ш3 + т'5 = t — I, char К = 2;

в остальных случаях;

m3 + m'G<t-ï-

-X®, m3 + Ч > * -

XV\ char К = 2;

char К ф 2;

x{t)x(o) =

-txv,

4 = 0; т'6 > 0;

X(5)X(G) = ms + + 1 < i - 1;

[0, m5+ + l >f-l.

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

Замечание. Более подробно, соотношение вида означает,

что

Л-(4)х(4)=/-^+я'. з + в'<<1еёТ;

для любых степеней в, в' £ {в1,4, • • •, 5а4,4}-Аналогично соотношение вида

= 0 означает, что

хРх® = о

для любых в е {51,1, • • • , ¿«,,1} И й' е {¿1,5, . . . , Я^з}.

Теорема 4 (Основной результат, случай п > 1) Пусть п > 1, Я = Й

- алгебра Мёбиуса. Тогда алгебра когомологий ХохшилъдаНН*(Д) как градуированная К-алгебра изоморфна алгебре Л.

Далее рассмотрим случай п = 1. Нам будет удобно оперировать со следующими условиями на произвольную степень s (параметры £,г,т и р связаны с s так же, как в теореме 1):

(1)г = 0,£ + р/2;

(2) г = 2т, i + p ; 2, е /2 или s = 0 или char К = 2;

(3) г = 2т, е + р : 2, £ ; 2 или char/Г = 2;

(4) г = 2£ — 2, £ + р /2, i \ 2 или char if = 2;

(5)r = 2m+l, £ + р/2, £ /2 или char Л" = 2;

(6) г = 2m+ 1, е + р \ 2, £ ; 2 или charX = 2.

Пусть {s^i,... ,saj)j} - множество всех степеней s, удовлетворяющих условиям г-го пункта из списка выше, и таких, что 0 < Sjj < (21 — l)degcr (j = 1,..., «¿). Рассмотрим множество

Определим градуированную Х-алгебру Л = К[Х']/1', где идеал V порождён однородными элементами, соответствующими соотношениям, которые уже были описаны для случая п > 1 (см. (1)-(8)), а также следующими соотношениями:

Теорема 5 (Основной результат, случай п = 1) Пусть п = I, К — йи

- соответствующая алгебра Мёбиуса. Тогда алгебра когомологий Хохшильда НН*(Д) как градуированная К-алгебра изоморфна алгебре А.

Замечание. Из описания колец НН*(Д) в теоремах 4 и 5 следует, в частности, что они коммутативны.

б

и на кольце многочленов К[Х'} введём градуировку такую, что deg^i =5;,.для всех г = 1,...,6 и j = deg Т = (2£ — 1) deg а.

Следствие 6 (Описание подкольца НН^2< ^"(/i))

НН= 0 НН(*-»г(Я) = К[Хи • • •, Ха,Т]/({Х01Х0а}Кв1Л<0),

г>0

где степень элемента Т следующая:

degT_ in{2t- 1), n +1 I 2, char AT = 2; 1 2n(2t — 1) e противном случае.

Количество образующих Xj, описывается следующей формулой {под 0 подразумевается, что элементов Х{ нет):

'О, НОД(п, t) > 1;

2, п > 1, НОД(п,£) = 1, n + i /2, char AT = 2;

2, п > 1, НОД(n, i) = 1, ге : 2, char А" ф 2;

2, п=1, n + t /. 2 или char К ф 2;

1 е остальных случаях.

Кроме того, степени элементов X, (г = 1,... ,а) описываются следующим образом.

Для п = 1 степень Х\ равна 0 и, если а = 2, то степень X2 равна 1. Для п > 1 и НОД(п,£) = 1 определим £о как наименьшее натуральное число среди всех I, удовлетворяющих условию it = l(mod п). Если а = 2, то степени Х\ и Хч равны io(2t — 1) и (£q + n)(2t — 1) соответственно. Если а = 1, то степень Х\ есть ¿o(2f — 1), за исключением случая £q i 2, char А" ф 2. В этом случае степень элемента Х\ равна (£о + n)(2t — 1).

Во второй главе мы получим описание бимодулыюй резольвенты. При помощи диаграммного поиска найдём минимальные проективные резольвенты простых Я-модулей, из которых при помощи леммы Хаппеля получим описание модулей для бимодулыюй резольвенты.

Третья глава описывает аддитивную структуру кольца когомологий на основании бимодулыюй резольвенты, полученной во второй главе.

В четвёртой главе мы выберем множество образующих алгебры НН*(Л). Заметим, что мы не стремимся вывести минимальное множество

образующих. Несмотря на то, что это приводит к увеличению количества соотношений, в итоге мы получим более однородное и красивое описание кольца когомологий.

Пятая глава посвящена описаниям Г2-сдвигов образующих. Пусть д. -»■ д — минимальная проективная бимодульная резольвента алгебры Мёбиуса Д. Любой коцикл / € Кег<55 поднимается (однозначно с точностью до гомотопии) до цепного отображения комплексов {<р* : —» Гомо-

морфизм назовём г-м сдвигом коцикла / и будем обозначать через П*(/). Доказательства данной главы состоят в прямой, хотя и громоздкой, проверке коммутативности квадратов вида

В завершающей шестой главе мы получим соотношения между образующими элементами алгебры НН*(Д). Для этого вычислим все произведения между образующими элементами, воспользовавшись формулой для коциклов

Техническое доказательство точности начального отрезка бимодульной резольвенты вынесено в приложение. Мы используем результат, полученный Ю. В. Волковым, А. И. Генераловым, С. О. Ивановым, который утверждает, что для доказательства точности указанной резольвенты нам достаточно будет показать, что с?2 = 0.

д.,„ ^ д.

/1 е Кег<$81 и /2 6 КепР2:

с1/2-с1/1 = с1(П°(/2)П'а(/1))

Работы автора по теме диссертации Статьи в журналах, рекомендованных ВАК:

[1] А. И. Генералов, М. А. Качалова (Пустовых), Алгебра Иоиеды алгебры Мёбиуса. // Зап. научн. семин. ПОМИ, 289 (2002), 90-112.

[2] А. И. Генералов, М. А. Качалова (Пустовых), Бимодулъная резольвента алгебры Мёбиуса. // Зап. научи, семин. ПОМИ, 321 (2005), 36-66.

[3] М. А. Качалова (Пустовых), Когомологии Хохшильда алгебры Мёбиуса. // Зап. научн. семин. ПОМИ, 330 (2006), 173-200.

[4] М. А. Пустовых, Кольцо когомологий Хохшильда алгебры Мебиуса,. // Зап. научн. семин. ПОМИ, 388 (2011), 210-246.

Другие публикации:

[5] М. А. Качалова (Пустовых), Об умножениях в кольце когомологий Хохшильда алгебры Мёбиуса. // Межд. алг. конференция, поев. 100-летию со дня рождения Д. К. Фаддсева. Тезисы докладов (2007), 42-43.

[6] М. А. Пустовых, Кольцо когомологий Хохшильда алгебры Мёбиуса. // Межд. алг. конференция, поев. 70-летию А. В. Яковлева. Тезисы докладов (2010), 55-58.

Содержание.

Введение.

Глава 1. Формулировка основного результата.

1.1. Предварительные сведения.

1.2. Структура кольца когомологий для п > 1.

1.3. Структура кольца когомологий для п — 1.

Глава 2. Бимодульная резольвента.

2.1. Описание бимодульной резольвенты.

2.2. Модули из проективной резольвенты.

2.3. Скрученные бимодули

2.4. Периодичность бимодульной резольвенты

Глава 3. Аддитивная структура алгебры НН*(Л).

3.1. Описание аддитивной структуры.

3.2. Размерности групп гомоморфизмов.

3.3. Размерности групп кограниц.

3.4. Размерности групп когомологий. Случай п > 1.

3.5. Размерности групп когомологий. Случай п = 1.

Глава 4. Образующие алгебры НН*(Д).

4.1. Описание образующих алгебры НН*(Д)

4.2. Лемма о соотношениях в группе ННЯ1(Л).

4.3. Доказательство того, что введенные элементы являются образующими алгебры НН*(Д).

Глава 5. Г2-сдвиги образующих алгебры НН*(Д).

5.1. Случай (1).

5.2. Случай (2).

5.3. Случай (3).

5.4. Случай (4).

5.5. Случай (5).

5.6. Случай (6).

Глава 6. Произведения в НН*(Д)

6.1. Произведения элементов, которые равны нулю

6.2. Произведения элементов, которые не равны нулю.

Настоящая диссертация посвящена изучению структуры кольца когомо-логий Хохшильда для одной из серий алгебр типа Ап, а именно для алгебр Мёбиуса.

Напомним, что стабильный АЛ-колчан произвольной самоинъективной алгебры над алгебраически замкнутым полем, имеющей конечный тип представления, описывается с помощью некоторого ассоциированного дерева, которое совпадает с одной из схем Дынкина Ап: Ев, Е^ или (см. [35]). Более подробно, стабильная часть /Ш-колчана есть дизъюнктное объединение колчанов вида ЪВ /П, где ЪВ - один из колчанов ЪАп, ЪВп, ЪЕ^, ЪЕ&, а П - некоторая допустимая группа автоморфизмов колчана ЪВ. Исходя из описания стабильной части АД-ко л чан а в [36] доказано, что любая алгебра типа Ап стабильно эквивалентна либо некоторой полуцепной самоинъективной алгебре, либо алгебре Мёбиуса. Поскольку для самоинъективных алгебр конечного типа представления стабильная эквивалентность совпадает с производной (см. [27]), а кольцо когомологий Хохшильда инвариантно относительно производной эквивалентности, мы можем использовать классификацию [36] для описания кольца когомологий алгебр типа Ап. Для полуцепных самоинъективных алгебр описание кольца когомологий Хохшильда получено в [29]. Таким образом, данная диссертация является завершающим этапом в исследовании колец когомологий Хохшильда для алгебр типа Ап.

Определение кольца когомологий Хохшильда возникло ещё в 40-х годах прошлого века (см. [28]). Пусть И - конечномерная алгебра над полем К, А = И <8>к Яор - её обёртывающая алгебра, ННП(Д) — ЕЯ) - п-ая группа когомологий Хохшильда алгебры В, (с коэффициентами в Д-бимодуле

Я). На абелевой группе

НН*(Д) = 0ННп(Л) = Я) п^О п^О вводится структура ассоциативной алгебры с использованием произведения; эту алгебру называют алгеброй когомологий Хохшильда.

Изучение структуры кольца когомологий Хохшильда для различных алгебр всегда представляло-большой интерес для гомологической алгебры. В последние годы наблюдается прорыв в этой области, удалось получить множество результатов. Полное описание структуры кольца когомологий Хохшильда было получено для некоторых серий алгебр диэдрального типа [7] -[9], кватернионного типа [10], [16], [11], [20], полудиэдрального типа [12], [13], целочисленного группового кольца диэдральной группы [14], а также полуди-эдральной группы [15], самоинъективных алгебр древесного типа [1]~ [5], алгебр Лю-Шульца [19]. В [40] описана структура кольца когомологий Хохшильда для кошулевых с1-алгебр. Аддитивная структура кольца когомологий для алгебр Гекке 7^(64), ц — — 1 описана в [31]. В [39], [38], [37] исследуются алгебры путей некоторого колчана с соотношениями, кошулевы алгебры и ручные алгебры Гекке соответственно.

Как мы видим, большая серия результатов получена А. И. Генераловым и учениками. Мы используем аналогичный подход для алгебр Мёбиуса. В его основе лежит тот факт, что ^-произведение на НН*(Д) совпадает с произведением Йонеды на Ех^алгебре Я) Л-модуля Я [32, стр. 120]. Мы построим бимодульную резольвенту для алгебры Мёбиуса, а затем с её помощью получим описание структуры кольца когомологий Хохшильда.

Использование полученных структур колец когомологий Хохшильда -новое, только начинающее своё развитие направление. Но уже есть некоторые результаты. В [25] описаны-вторые группы когомологий Хохшильда для двух конечномерных алгебр над полем характеристики 2 (для препроектив-ной алгебры типа П4 и алгебры, возникающей при рассмотрении деформаций цоколя первой алгебры), при помощи которых доказывается, что эти две алгебры производно неэквивалентны. Описание второй группы когомологий Хохшильда, полученное в [25], используется в [34] при доказательстве классификации симметрических алгебр с полиномиальным ростом с точностью до производной эквивалентности. В [26] доказано, что вторая группа когомологий Хохшильда для абелевой моноидальной категории классифицирует расширения произвольной алгебры из этой категории с точностью до эквивалентности.

Нам будет удобно рассматривать алгебру Мёбиуса как алгебру вида Я — К [2] //, где К - поле, а О, - следующий колчан: а п+1) п+2Н+1 ча а, п+2К+1\

ООО

2п-1)t+l о о о где идеал в алгебре путей К [<2] колчана <2, порожденный а) всеми путями длины £ + 1; б) путями вида аг£а(г+п)£1 и а(г+п)£аг£1; в) выражениями вида п+г)4-10(п+г)«-2 • • • 0(п+г 1)4 + а^1аГ42 . 1 < г < п.

В этом случае используем также обозначение Я = Яп^.

Перечислим основные результаты работы. В первой главе мы сформулируем основной результат работы - описание структуры кольца когомологий Хохшильда для алгебры Мёбиуса в терминах образующих и соотношений отдельно для п > 1 (см. теорему 4) и для п — 1 (см. теорему 5). Из теорем несложно вывести интересное следствие 6 - описание подкольца в терминах образующих и соотношений.

Во второй главе мы получим описание бимодульной резольвенты. При помощи диаграммного поиска найдём минимальные проективные резольвенты простых /^-модулей, из которых при помощи леммы Хаппеля (см. [33]) получим описание модулей для бимодульной резольвенты.

Третья глава описывает аддитивную структуру кольца когомологий на основании бимодульной резольвенты, полученной во второй главе.

В четвёртой главе мы выберем множество образующих алгебры НН*{Я). Заметим, что мы не стремимся вывести минимальное множество образующих. Несмотря на то, что это приводит к увеличению количества соотношений, в итоге мы получим более однородное и красивое описание кольца когомологий.

Пятая глава посвящена описаниям ^-сдвигов образующих, а также их доказательству. При формулировке гипотез о том, как выглядят ^-сдвиги образующих кольца когомологий, использовался эмпирический материал, полученный при помощи компьютерных вычислений. Доказательства данной главы состоят в прямой, хотя и громоздкой, проверке коммутативности квадратов вида

Ч+во ^ ^^в+во — 1 I я0 я 0-1 Фя0-1

В завершающей шестой главе мы получим соотношения между образующими элементами алгебры НН*(Д). Для этого вычислим все произведения между образующими элементами, воспользовавшись формулой с1/2 • С1/1 = с1(0°(/2)^52(/1)) где fl £ Кег<5в1 и /2 € Кег£52 - произвольные коциклы).

В приложение вынесено техническое доказательство точности начального отрезка бимодульной резольвенты. Как доказано в [6], для доказательства точности нам достаточно будет показать, что (Р — 0.

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [17, 18, 21, 24], в тезисах Международной алгебраической конференции, посвящённой 100-летию Д. К. Фаддеева [22], и в тезисах Международной алгебраической конференции, посвящённой 70-летию А. В. Яковлева [23]. В совместных работах диссертанту принадлежат доказательства теорем, а соавтору - постановка задач и выбор методов решения.

1. Волков Ю. В. Когомологии Хохшильда нестандартных самоинъектив-ных алгебр древесного типа Dn. // Зап. научн. семин. ЛОМИ. — 2011.- Т. 388. С. 48-99.

2. Волков Ю. В. Когомологии Хохшильда самоинъективных алгебр древесного типа Dn. II. // Зап. научи, семин. ПОМИ. — 2009. — Т. 365. — С. 63-121.

3. Волков Ю. В. Когомологии Хохшильда самоинъективных алгебр древесного типа Dn. IV. // Зап. научн. семин. ПОМИ. — 2011. Т. 388. — С. 100-118.

4. Волков Ю. В., Генералов А. И. Когомологии Хохшильда самоинъективных алгебр древесного типа Dn. I. // Зап. научи, семин. ПОМИ. — 2007.- Т. 343. С. 121-182.

5. Волков Ю. В., Генералов А. И. Когомологии Хохшильда самоинъективных алгебр древесного типа Dn. III. // Зап. научн. семин. ПОМИ. — 2011. Т. 386. — С. 100-128.

6. Волков Ю. В., Генералов А. И., Иванов С. О. О построении бимодульных резольвент с помощью леммы Хаппеля. // Зап. научн. семин. ПОМИ.- 2010. Т. 375. - С. 61-70.

7. Генералов А. И. Когомологии Хохшильда алгебр диэдрального типа, I: серия £>(3/С) в характеристике 2. // Алгебра и анализ. — 2004. — Т. 16, вып. 6. С. 53-122.

8. Генералов А. И. Когомологии Хохшильда алгебр диэдрального типа, II. Локальные алгебры. // Зап. научи, семин. ПОМИ. — 2010. — Т. 375. — С. 92-129.

9. Генералов А. И. Когомологии Хохшильда алгебр диэдрального типа, III. Локальные алгебры в характеристике 2. // Вестник С.-Петербургского ун-та. Сер. 1. Мат., мех., астрон. — 2010. — Вып. 1. — С. 28-38.

10. Генералов А. И. Когомологии Хохшильда алгебр кватернионного типа, I: обобщенные группы кватернионов. // Алгебра и анализ. — 2006. — Т. 18, вып. 1. С. 55-107.

11. Генералов А. И. Когомологии Хохшильда алгебр кватернионного типа, III. Алгебры с малым параметром. // Зап. научн. семин. ПОМИ. — 2008.- Т. 356. С. 46-84.

12. Генералов А. И. Когомологии Хохшильда алгебр полудиэдрального типа,

13. Групповые алгебры полудиэдральных групп. // Алгебра и анализ. — 2009. Т. 21, вып. 2. - С. 1-51.

14. Генералов А. И. Когомологии Хохшильда алгебр полудиэдрального типа,1.. Локальные алгебры. // Зап. научн. семин. ПОМИ. — 2011. — Т. 386.- С. 144-202.

15. Генералов А. И. Когомологии Хохшильда целочисленного группового кольца диэдральной группы. I. Чётный случай. // Алгебра и анализ.- 2007. Т. 19, вып. 5. - С. 70-123.

16. Генералов А. И. Когомологии Хохшильда целочисленного группового кольца полудиэдральной группы. // Зап. научн. семин. ПОМИ. — 2011.- Т. 388. С. 119-151.

17. Генералов А. И., Иванов А. А., Иванов С. О. Когомологии Хохшильда алгебр кватернионного типа, II. Серия Q(2B)\ в характеристике 2. // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2007. - Т. 349. - С. 53-134.

18. Генералов А. И., Качалова М. А. Алгебра Йонеды алгебры Мёбиуса. // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2002. - Т. 289. - С. 90-112.

19. Генералов А. И., Качалова М. А. Бимодульная резольвента алгебры Мёбиуса. // Зап. научн. семин. ПОМИ. — 2005. Т. 321. - С. 36-66.

20. Генералов А. И., Косовская Н. Ю. Когомологии Хохшильда алгебр Лю-Шульца. // Алгебра и анализ. — 2006. — Т. 18, вып. 4. — С. 39-82.

21. Иванов А. А. Когомологии Хохшильда алгебр кватернионного типа: серия Q(2B)\ в характеристике 3. // Зап. научн. семин. ПОМИ. — 2011. Т. 388. - С. 152-178.

22. Качалова М. А. Когомологии Хохшильда алгебры Мёбиуса. // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2006. - Т. 330. - С. 173-200.

23. Качалова М. А. Об умножениях в кольце когомологий Хохшильда алгебры Мёбиуса. // Межд. алг. конференция, поев. 100-летию со дня рождения Д. К. Фаддеева. Тезисы докладов. — 2007. — С. 42-43.

24. Пустовых М. А. Кольцо когомологий Хохшильда алгебры Мёбиуса. // Межд. алг. конференция, поев. 70-летию А. В. Яковлева. Тезисы докладов. 2010. — С. 55-58.

25. Пустовых М. А. Кольцо когомологий Хохшильда алгебры Мёбиуса. // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2011. - Т. 388. — С. 210-246.

26. Al-Kadi D. Distinguishing derived equivalence classes using the second Hochschild cohomology group // Colloq. Math. — 2010. — Vol. 121. — P. 285-294.

27. Ardizzoni A., Menini C., Stefan D. Hochschild cohomology and "smoothness" in monoidal categories // Journal of Pure and Applied Algebra. — 2007. — Vol. 208. P. 297-330.

28. Asashiba H. The derived equivalence classification of representation-finite selfinjective algebras // J. Algebra. 1999. - Vol. 214. - P. 182-221.

29. Eilenberg S., MacLane S. Cohomology theory in abstract groups. I. // Ann. Math. 1947. - Vol. 48. - P. 51-78.

30. Erdmann K., Holm T. Twisted bimodules and Hochschild cohomology for self-injective algebras of class An. // Forum Math. — 1999. — Vol. 11. — P. 177-201.

31. Erdmann K., Holm T., Snashall N. Twisted bimodules and Hochschild cohomology for self-injective algebras of class An, II. // Algebras and Repr. Theory. 2002. - Vol. 5. - P. 457-482.

32. Erdmann K., Schroll S. On the Hochschild cohomology of tame Hecke algebras. // Arch. Math. 2010. - Vol. 94. - P. 117-127.

33. Happel D. Hochschild cohomology of finite-dimensional algebras. // Led. Notes Math. 1989. - Vol. 1404. - P. 108-126.

34. Holm T., Skowroriski A. Derived equivalence classification of symmetric algebras of polynomial growth. // Glasgow Math. J. — 2011. — Vol. 53. P. 277-291.

35. Riedtmann C. Algebren, Darstellungsköcher, Uberlagerungen und zurück. // Comment. Math. Helv. 1980. - Vol. 55. - P. 199-224.

36. Riedtmann C. Representation-finite self-injective algebras of class An. // Lect. Notes Math. 1980. - Vol. 832. - P. 449-520.

37. Schroll S., Snashall N. Hochschild cohomology and support varieties for tarne Hecke algebras. // Quart. J Math, to appear.

38. Snashall N., Taülefer R. Hochschild cohomology of socle deformations of a class of Koszul self-injective algebras. // Colloq. Math. — 2010. — Vol. 119. P. 79-93.

39. Snashall N., Taillefer R. The Hochschild cohomology ring of a class of special biserial algebra. // J. Algebra Appl. — 2010. Vol. 9. - P. 73-122.

40. Xu Y.} Xiang H. Hochschild cohomology rings of d-Koszul algebras. // Journal of Pure and Applied Algebra. — 2011. — Vol. 215. — P. 1-12.