Когомологии Хохшильда алгебр кватернионного типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Санкт-Петербургский государственный университет

005005692

Иванов Александр Александрович

Когомологии Хохшильда алгебр кватернионного типа

Специальность 01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

-8 ЛЕК 2011

Санкт-Петербург 2011

005005692

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры и теории чисел математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

доктор физико-математических наук, профессор ГЕНЕРАЛОВ Александр Иванович

доктор физико-математических наук, профессор ПИОНТКОВСКИЙ Дмитрий Игоревич (Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики») кандидат физико-математических наук доцент ЗЕЛЬВЕНСКИЙ Игорь Григорьевич (Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова)

Учреждение Российской академии наук Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения РАН

Защита состоится 2011 г. в часов на заседании совета Д 212.232.29 по

защите докторских и кандидатских при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 191023, Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, д. 27, ауд. 311 (Петербургское отделение Математического института имени В. А. Стеклова РАН).

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9. Автореферат разослан ^^аУ^ 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного

совета Д 212.232.29

доктор физ.-мат. наук, профессор

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Нежинский В.М.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Когомологии алгебр были открыты Дж. Хох-шильдом в 1940-х годах. А. Картан и С. Эйленберг в 1956 г. распространили первоначальное определение на случай алгебр над произвольным кольцом. В 1963 г. М. Герстенхабер обнаружил на когомологиях алгебр лиев-скую структуру, согласованную с ^-умножением. Таким образом, когомологии Хохшильда являются функтором из категории ассоциативных алгебр в категорию градуированых алгебр и, даже, в категорию алгебр Герстенха-бера. Когомологии Хохшильда - тонкий инвариант ассоциативной алгебры, содержащий массу информации о ее структуре. Поскольку ассоциативные алгебры играют ключевую роль во множестве дисциплин, то и когомологии Хохшильда оказываются важнейшими объектами для изучения как в теории представлений ассоциативных алгебр, так и в теории центральных простых алгебр, алгебраической геометрии, некоммутативной геометрии, гомотопической теории деформаций, струнной топологии и функциональном анализе.

С точки зрения теории ассоциативных алгебр когомологии Хохшильда алгебры параметризуют инфшштезимальные деформации этой алгебры, при этом п-коцикл соответствует деформации структуры ассоциативной алгебры в структуру А„-алгебры в смысле теории А^-алгебр. С другой стороны, когомологии Хохшильда инвариантны относительно производной эквивалентности и, следовательно, относительно Морита-эквивалентности алгебр, вследствие чего они играют значительную роль в классификационных задачах теории представлений ассоциативных алгебр.

Несмотря на то, что определение когомологии Хохшильда было дано больше полувека назад, вычисления этого инварианта алгебр в конкретных примерах стали появляться сравнительно недавно. Для коммутативной конечной группы С в работе Т. Хольма 1996 г., а также в работе К. Сибильса и А. Золотарь 1997 г. доказано, что НН*(ЛГ[С]) ~ Н *(<?) ®к К [в]. С. Зигель и С. Уизерспун описали в 1999 г. алгебры когомологии Хохшильда для симметрической группы ¿з над полем Рз, а также для знакопеременной группы Л4 и для диэдральных 2-групп над полем К. Эрдманн и Т. Хольм в 1999 г. описали алгебру НН*(Д) для случая, когда Л - полуцепная (^-алгебра. В 2008 г. П. Берг и К. Эрдманн вычислили когомологии Хохшильда некоторых алгебр, являющихся полными квантовыми пересечениями. Алгебра когомологии Хохшильда для так называемой алгебры Лю-Шульца вычислена А.И. Генераловым и Н.Ю. Косовской в 2006 г. В работах М.А. Пустовых (Качаловой) в 2006 - 2011 гг. полностью описана мультипликативная структура алгебры когомологий Хохшильда так называемой алгебры Мёбиуса; в связи

с этим вычислением, можно еще упомянуть работу К. Эрдманн, Т. Хольма и Н. Снэшелл 2002 г., где получены некоторые частичные результаты. Также имеются частичные результаты для групповых блоков ручного типа представления, имеющих один или три простых модуля, полученные Т. Хольмом в 2002 г. В цикле статей Ю.В. Волкова и А.И. Генералова в 2007 - 2011 гг. вычислены когомологии Хохшильда самоинъективных алгебр конечного типа представления, имеющих древесный тип Оп• В 2011 г. Д. Бенсон и К. Эрдманн вычислили когомологии Хохшильда некоторых алгебр Гекке. Когомологии Хохшильда препроективных алгебр исследовались в работах К. Эрдманн, Н. Снэшелл в 1998 г., П. Этингофа, Ц.-Х. Оу в 2007 - 2008 гг. и В. Кроули-Бове, П. Этингофа и В. Гинзбурга в 2007 г. Необходимо также упомянуть, что в 2008 г. Т. Хаями вычислил кольцо когомологий Хохшильда алгебры, являющейся порядком в групповой алгебре обобщенной группы кватернионов. Здесь же следует отметить, близкую по теме работу М. Суды и К. Санады 2006 г.

Важную роль когомологии Хохшильда играют в классификационных задачах теории представлений ассоциативных алгебр; в частности, в классификации с точностью до производной эквивалентности или Морита-эквивалентности групповых блоков ручного типа представления.

Решая задачу о классификации с точностью до Морита-эквивалентности групповых блоков ручного типа представлений, Карин Эрдманн обнаружила некоторые новые классы алгебр, для которых подобная классификация, с одной стороны, решает исходную задачу классификации, а с другой - выглядит более ясно. Алгебры кватернионного, а также диэдрального и полудиэдралыюго типа возникли как естественные обобщения ручных групповых блоков, которые, собственно, все содержатся в этих семействах над полем характеристики 2. Например, алгебры кватернионного типа получили свое название вследствие того, что этот класс включает в себя все ручные блоки с обобщенной кватернионной группой дефекта. К. Эрдманн в 1990 г. и Т. Хольм в 1999 г. показали, что все алгебры диэдрального, полудиэдрального и кватернионного типов имеют ручной тип представления. Классификация с точностью до Морита-эквивалентности алгебр указанных типов, проделанная К. Эрдманн в 1990 г., была уточнена в 1999 г. Т. Хольмом, когда он предъявил список, содержащий представителей всех классов производной эквивалентности из списка К. Эрманн. Однако эти классификации не полны, поскольку не известно, лежат ли различные представители в различных классах эквивалентности. Дополнительным инструментом, позволяющим уточнить эти классификации, могут послужить когомологии Хохшильда.

Кроме того, нужно отметить, что классификация Эрдманн предоставляет множество примеров алгебр ручного типа представления. Все эти алгебры включены в серии, для каждой из которых теоретически возможно вычислить бимодульную резольвенту и единообразно считать с нее когомо-логии Хохшильда алгебр, в эту серию входящих.

Эта задача решена для некоторых серий алгебр из классификации К. Эрдманн. В работах А.И. Генералова 2006 - 2008 гг. алгебра когомологий Хохшильда описана для одной из серий локальных алгебр кватернионного типа и для двухвершинных алгебр кватернионного типа серии С}{2В)\ с малыми параметрами, соответственно. Далее, в 2004 и 2010 гг. А.И. Генералов вычислил алгебру когомологий Хохшильда алгебр диэдрального типа семейства £>(3/С) и одной серии локальных алгебр диэдрального типа. Наконец, в недавних статьях А.И. Генералова 2009 - 2010 гг. описаны алгебры когомологий Хохшильда для локальных и для групповых алгебр полудиэдрального типа. Аналогичные результаты для блоков уже не ручного, а конечного типа представления были получены С. Зигелем и С. Уизерспун в 2000 г. Ими были вычислены когомологий Хохшильда циклического блока. Возвращаясь к алгебрам ручного типа представлений, отметим статью К. Эрдманн и С. Шролл 2010 г., где вычислена аддитивная структура алгебры когомологий Хохшильда ручных алгебр Гекке и работу Н. Снэшелл и Р. Тайлефер 2010 г., в которой описано кольцо когомологий Хохшильда одной серии специальных бирядных алгебр по модулю нильпотентных элементов.

Мультипликативная структура алгебр когомологий Хохшильда алгебр из списка К. Эрдманн отличается сравнительно высокой сложностью, кроме того, довольно замысловатое устройство соответствующих минимальных резольвент влечет комбинаторную трудность вычислений произведения в кого-мологиях Хохшильда по Йонеде.

Цель работы. Целью работы является вычисление аддитивной и мультипликативной структур алгебры когомологий Хохшильда алгебр кватернионного типа серии (^(213)^, й, а, с) над алгебраически замкнутыми полями.

Методы исследований. Вычисления в настоящей работе производятся с использованием техники работ А.И. Генералова. Для вычислений используется минимальная проективная резольвента. Основным фактом необходимым для вычисления мультипликативной структуры является совпадение ^-произведения в когомологиях Хохшильда и произведения по Йонеде. Поиск образующих и соотношений, описывающих мультипликативную структуру, производится при помощи минимальной проективной резольвенты. Доказательство достаточности найденных образующих и соотношений выполня-

ется стандартным образом, идеологически близким к технике базисов Грёбие-ра, посредством введения лексикографического порядка и нормальной формы.

Основные результаты. В диссертации получены следующие результаты:

1. Вычислена алгебра когомологий Хохшильда алгебр кватернионного типа серии Q(2B)i(k, s, а, с) при к, s нечетных над полем характеристики 2;

2. Вычислены группы когомологий Хохшильда алгебр кватернионного типа серии Q(2B)l(k, s, а, с) над полем произвольной характеристики отличной от 2;

3. Вычислена алгебра когомологий Хохшильда алгебр кватернионного типа серии Q(2ß)i(fc, s,a,с) над полем характеристики 3.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть применены в теории представлений ассоциативных алгебр, в частности, в классификационных задачах. Также результаты могут использоваться для дальнейшего исследования строения когомологий Хохшильда.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы были изложены на следующих конференциях и семинарах.

1. Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения Д.К. Фаддеева (Санкт-Петербург, 2007).

2. Международная конференция, посвященная 70-летию A.B. Яковлева (Санкт-Петербург, 2010).

3. Санкт-Петербургский городской алгебраический семинар имени Д.К. Фаддеева.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в печатных работах автора [1]-[5]. приведенных в конце автореферата. Из них две [1], [2] вышли в журналах, входящих в список ВАК.

Работы [3], [4| написаны в соавторстве, в них диссертанту принадлежит вычисление алгебры когомологий Хохшильда алгебр семейства Q(2B)i(k,s,a,c), когда оба натуральных параметра k,s нечетны. В работе [3] диссертанту принадлежит теорема 1.1 (пункты 4),5)), а также предложение 1.2 (частично), следствие 1.3 и построение резольвенты (частично).

6

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав (первая глава содержит один раздел, вторая - три раздела, третья - два раздела, и четвертая - два раздела) и списка литературы, содержащего 45 наименований. Объем диссертации 134 страницы.

Содержание работы

Данная работа находится на стыке гомологической алгебры и теории представлений конечномерных алгебр.

В работе вычисляются когомологии Хохшильда алгебр кватернионно-го типа семейства д(2В)1(к,з,а,с) (в обозначениях К. Эрдманн) над алгебраически замкнутым полем.

Когомологии считываются с 4-периодической минимальной Л-проективной бимодулыюй резольвенты для рассматриваемых алгебр, построенной в соавторстве с А.И. Генераловым и С.О. Ивановым (см. [3]).

К. Эрдманн и А. Сковроньски в 2006 г. построили такую резольвенту для представителей классов производной эквивалентности алгебр кватерни-онного типа, за исключением некоторых алгебр с малыми параметрами. Но для алгебр с двумя вершинами в характеристике 2 описание резольвенты у них содержит некоторые неточности. Однако в случае характеристики основного поля отличной от 2 предложенная К. Эрдманн и А. Сковроньски резольвента совпадает с резольвентой, используемой в настоящей диссертационной работе.

С использованием минимальной проективной резольвенты выделяется (конечное) множество образующих для алгебры НН*(Я) и находятся соотношения, которым удовлетворяют эти образующие. Ключевым фактом необходимым для вычисления мультипликативной структуры является совпадение -^-произведения в НН*(7?) с произведением по Йонеде. Поиск образующих и соотношений, описывающих мультипликативную структуру, выполняется стандартным образом посредством введения лексикографического порядка на множестве образующих и определения нормальной формы мономиального элемента вычисляемой алгебры когомологий. В качестве примера применения такой техники для завершения вычисления алгебры когомологий можно привести классическую статью В.И. Арнольда о вычислении кольца когомологий группы крашеных кос 1969 г.

В 1999 - 2002 гг. Т. Хольм показал, что всякая алгебра кватернионно-го типа из серии <5(2Л)к(с) производив эквивалентна некоторой алгебре из серии (¿(2В)1(к,з,а,с) при некоторых значениях натуральных параметров к, в и параметров а, с из поля К. Таким образом, вычисление когомологий

7

Хохшильда алгебры <3(2В)1 решает и аналогичную задачу для алгебр типа

Одним из следствий вычисления когомологий Хохшильда алгебр семейства (¿(213)1 явилось уточнение классификации Т. Хольма, а значит, и классификации К. Эрдманн. В следствии 3 показано, что некоторые из алгебр из списков К. Эрдманн и Т. Хольма не производно-эквивалентны.

Основной текст диссертационной работы состоит из введения и четырех глав.

В первой главе приводятся необходимые определения, а также некоторые вспомогательные утверждения и конструкции.

Пусть Я - конечномерная алгебра над полем К, Л = Яе — Я®к Яор -ее обертывающая алгебра, НН" (Я) = Ех^Я, Я) - п-ая группа когомологий Хохшильда алгебры Я (с коэффициентами в Я-б и модуле Я). Прямая сумма

относительно ^-произведения, является ассоциативной /^-алгеброй, которую называют алгеброй когомологий Хохшильда. Алгебра НН*(Я) градуироваино коммутативная; кроме того, известно, что произведение на НН*(Я) совпадает с произведением Йонеды на Ех^алгебре фГ1,»п Ех^Я, Я) Л-модуля Я.

Алгебры серии <5(2В)1 (над алгебраически замкнутым полем К произвольной характеристики) описываются с помощью следующего колчана с соотношениями:

где£, я € 14, в ^ 3, а, с € К, а ф 0 (композицию путей мы записываем справа налево). Алгебры этой серии обозначаем через С^(2В)1(к, в, а, с), а также более кратко через<3(2В)1. В настоящей работе мы исследуем такие алгебры только для к ^ 2.

Кроме того, в первой главе дано описание минимальной проективной резольвенты алгебр серии (¿(2В)1(к,з,а,с) над полем произвольной характеристики.

Во второй главе вычисляются сначала аддитивная структура - см. предложение 2, - а потом мультипликативная структура - см. теорему 1, -

<2{2А).

нн* (Я) = ®п>0 НН-(Я) = ф Ехда, Я)

т]Р = Ра(-уРа)к \ 7?7 = ау(Рау)к \ (3-у = г] а2 = а-гР(алЗ)к-1 + с(аур)к, /За2 = 0, а27 =

алгебры НН*(Й) для алгебр Q(2B)i(k,s,a,c) при нечетных значениях натуральных параметров к и s над полем характеристики 2.

Для описания алгебры когомологий Хохшильда HH*(Q(2fi)1) для ал-re6pQ(2fi)i мы построим две градуированные алгебры. Рассмотрим множество

Z\ = {PuP2,P3,Pi,U\,U2,Vi,V3,Wi,t} (2)

и на алгебре АС[.2^] введем градуировку, такую, что

degp; = 0 (г = l,2,3,4),degui = degw2 = 1, deg vi = deg г>з = 2, degwi=3, deg£ = 4.

Определим алгебру Hi = K[Zi]/Ji, где идеал J\ алгебры K\Z\) порожден элементами

PiPj для 1 < i < j < 4; p* + p|, pi p42; (3)

P1U1 +pS2~1v.2, p2ui + p\~lu2,pkxVL2, P4W2, P4«i + РзЩ; P3V1, p4v 1, p3v3, piv3,pivi+p2v3, pivi + Р3ЩЩ; p3uj + ps2~lvu P2V3 + Piulp^vi + pî_Iu3) Û2 + Qk+sPi'1^,

P3W1, P4Wi,PiWi + Ù2V3, p2Wi + U2VU U\Vi + Pi~2U2V3, U1V3 + p^Wi,

uj, u\u2 + p^t, V1 + p|i, V$ + pfi, V1W3, Ui^i + p3t, Ù2W1 + (p,l + 9k+sp\)t,

V\W\ +P2Û2t, V3W1 +P\U2t,

wf + flfc+spf'W,

где для чётного n мы определяем следующую константу основного поля К

v-Д il, если п = 2 (mod 4), = > г = S

i=1 [0, если п = О (mod 4).

В силу однородности идеала Ji алгебра 71г наследует градуировку с алгебры K[Z\\.

Теперь рассмотрим множество

Z2 = {PuP2,P3,P4,u'2,U3,U4,Ub,V<),Vl,V2,V3,Wo,WuWi,t} (4)

и на алгебре/С[2г] введем градуировку, такую, что

deg ре = 0 (г = 1,2,3,4), deg и'2 = degu3 = degu4 = degu5 = 1, degVj = 2 (j = 0,1,2,3), degu>0 = degwx = degw4 = 3, degi = 4.

Определим алгебру И2 = К\Ъ^)32, где идеал Л алгебры К{£2] порожден элементами из (3), а также элементами

рги2, р3«2, Р4«2, Рг~Хи'г,р2из, р3и3, Р4Из, Р1«4, Р2^4, РзИ4, Р4«4, Р1Щ1 Р2Щ, р3и5, р4и5\

Р1Щ, Р2Щ, рт, РА1'о,Р1У1, р3иь р4иь Р2-1«ъ

Р2^2, Рзг)2, РаУ2,Р2ЪЗ, РЗ^З, Р4«3, Р^^З, (г4)2, и\, и\,щиъ, щщ, щи2, Ы5М3, и5и'2, щи'2; РхгУо, Р2^о, pzwupiwl,p^w4,p2wi,p^w^,piw0 + рзи)^ ср3ад4 + р3и>о, р3ги0 + ср^гиь ср^! 4- «4^0, щу0 + сиъуо, м5г>о 4- щь2, и'2у0, и3у0, и'2и2, ЩУ2, и5У2,и3У\, щуи иЬУх, и'2УЪ ЩУз, иЬУ3,и'2Ух +Р2«>Ь ЩУЗ + Р1Ю1> У1У2, У3У2, УзУиУзъо,Ут, у1 + суоу2, у0у2 + у2 + (р2 + ср| + У2, и'2и!о, Щи!о,Щи>о,и51и(},и2Ю1,Щ1и1, ЩЮ1, Щ1и1,и'2гУ4, У0У)0, У1П)0, у2и)о, у3и)0, г!0№4, ^4, г^, + и^Ь, УхУОх + (1 + ср2)и'2Ь, у2и>1 + и5г, Узи}{ + м3£, ■Шо, V}?, т0и>1, ги0Ю4, г^гщ.

Алгебра Л2 наследует естественную градуировку с алгебры К[22].

Теорема 1. Пусть К - алгебраически замкнутое поле характеристики два, и пусть Н = (¿(2Б)1(к, в, 1, с), где к > 2.

1) Если кие нечётны, а с = 0, то НН*(Л) ~ И\ как градуированные К-алгебры.

2) Если к и й нечётны, а сф 0, то НН*(Я) ~ И2 как градуированные К-алгебры.

В процессе доказательства теоремы 1 мы вычисляем группы ННП(Д). Соответствующие результаты представляют самостоятельный интерес, и мы их объединим в следующем утверждении.

Предложение 2. Пусть Я — С^(2В)1(к,з, 1,с) и к, я нечетны, к > 2. Тогда:

а) <ИтК НН°(Д) = к + з + 2;

б) для Ь > 0

,,,,, , .х,п, > \к + з + 2, если с ~ 0,

ИтК НН4Ш(Я) = ¿1тк НН4'+2(Я) = \

[А; + й, если с ф 0;

в) для £ ^ 0

¿ни* НН4'+3(Я) = <Итк НН4(+4(Я) = к + 5 + 2. 10

Из предложения 2, б) немедленно вытекает следующее утверждение, дополняющее классификацию К. Эрдманн.

Следствие 3. Пусть к, в е М, к > 2, в ^ 3. Предположим, что к и в нечётны. Тогда алгебра <2(2В)1(к,з,1,с), где сф 0, не является производив эквивалентной (и, в частности, не Морита-эквивалентпа) алгебре

Возвращаясь к предположению о нечетности параметров к, я в условиях теоремы 1, отметим, что мультипликативная структура алгебры кого-мологий Хохшильда алгебр семейства (}(2В)\(к,з,а, с), когда хотя бы один натуральный параметр - четный, вычислена А.И. Генераловым и С.О. Ивановым в совместной публикации в 2007 г.

В третьей главе приведено полное описание аддитивной структуры алгебры когомологий семейства (¿(2В)1 (к, з, а, с) при любых значениях параметров над произвольным алгебраически замкнутым полем характеристики отличной от 2. Естественным образом выделились два случая: первый, когда характеристика основного поля равна 3, и второй, когда характеристика не равна 2 и 3. Ответ содержится в двух теоремах 4 и 5, соответственно.

Теорема 4. Пусть К - алгебраически замкнутое поле характеристики 3, и пусть Я. = <3(2В)!(А:,з, 1,0), где в ^ 3 и к ^ 2. ТогдаУте N и {0}

1) сПт^- НН°(Л) = к + з + 2;

к+ если 5 7^0, кф 0,

2)сНткНН4т+1(Я) = < к + з, если = 0, к ф 0 или вфО, к = 0,

¿ + 3+1, < если Й = 0, к = 0;

к + в - 1, если я 7^0, кф 0,

3) сНт^ НН4т+2(Я) = < к + в, если Й = 0, к ф 0 или я ф 0, к = 0,

к + в + 1, если в = 0, к = 0;

к + в, если й 7^0, кф 0,

4)сКткНН4т+3(Д) = < к + в+1, если в = о, к ф 0 или в ф 0, к = 0,

/с + в + 2, если я = 0, к = 0;

к + э, если Ф0, кф 0,

5)с11ткНН4т+4(Д) = < к + в+ 1, если я = 0, к ф 0 или вфО, к = 0,

к + 5 + 2, если я = 0, к = 0.

Отметим, что в описании размерностей, условия равенства или неравенства к из нулю означают соответствующие условия в поле К.

Теорема 5. Пусть К - алгебраически замкнутое поле характеристики отличной от 2 и 3, и пусть Я = ф(2В)1(А;, я, 1,0), где я ^ 3 и к ^ 2. Тогда УтеК и{0}

1)а;т^нн°(Л) = I

2)сПтк НН4т+1(Д)

3) ¿\тК НН4т+2(Л)

4) сНт^ НН4т+3(Я)

5) НН4т+4(Л)

Замечание 6. Используя полученные результаты к описанию групп когомологий Хохшильда для алгебр серии С1)(2Л)к(с), также возникающей в классификации К. Эрдманн.

Предложение 2 главы 2 и теоремы 4, 5 главы 3 частично дополняют аналогичный результат Т. Хольма 2002 г., где он вычисляет аддитивную структуру алгебры когомологий Хохшильда для алгебр диэдрального, полу-диэдралыюго и кватернионного типов с одним или тремя простыми модулями и для некоторых серий алгебр полудиэдрального типа с двумя вершинами над полем характеристики 2. Довольно неожиданным оказалось утверждение теоремы 5, где аддитивная структура алгебры когомологий зависит от того, делятся ли на характеристику основного поля значения некоторой целочисленной квадратичной формы при подстановке в нее натуральных параметров к, я алгебры С}(2В)1(к,з,а,с).

Наконец, в четвертой главе, в теореме 7 приводится полное вычисление мультипликативной структуры алгебры когомологий Хохшильда алгебр серии С^(2В)\(к, в, а, с) при к > 2 и при любых значениях остальных параметров над алгебраически замкнутым полем характеристики 3.

Для описания алгебры когомологий Хохшильда НН*((3(2,В)1) для ал-гебр<5(2Б)1 над полем характеристики 3 мы построим несколько градуированных алгебр.

Пусть

= {РиР2,РЗ,иии2,Ьо,У1,У3,и}о,Юи1}. (5)

12

к + в + 2;

(к ■+- й - 1, если 4кв - Зк - 35 ф О,

к + з, если 4кэ — Зк — Зй = 0;

!к 4- а - 1, если 4кя — Зк - Зв ф О,

к + а, если 4¿5 — Зк — Зв = 0;

к 4- 5, если в ф 0, к ф 0,

к + з + 1, если в = 0, кф 0 или й ф 0, к = 0,

к + 5 + 2, если в = 0, к = 0;

к 4- 5, если эф 0, кф 0,

к + й + 1, если з = 0, к ф 0 или эф 0, к = 0,

к + в + 2, если 5 = 0, к = 0.

л.

I результаты Т. Хольма 1997 г., можно применить

На алгебре К[Х{\ введем градуировку так, что

degpi = 0 (г = 1,2,3), degu; = 1 (j = 1,2), ,

dcgVi = 2 (l = 0,1,3), degw, = 3 (<7 = 0,1), degi = 4. U

Определим градуированную Л'-алгебру Л\ = K[Xi]/I\, где идеал 1\ алгебры К\Х{\ порожден следующими однородными элементами

PiPj для 1 ^ i < j s; 3; р\+\ pf\ pi; (7)

р2ии р\ии (8) Р3"2, P2"2,PlUl - P1W2;

рт, P2V0, PiVu P3V1, P2V3, P3V3\ (9) P3V0 + РГЧ ~ Pi-1^; wf, ul, щи2;

p2w0, рз^о, P3M1W0 - piw0 + uiv3, (10)

р3№Ь PiWi + UiV3, p2W\ - U2VU ЩУ3 + U2V3,UiVi, U2V0,

«0 + P3Î, + Pli, vI + vi^v0v3, ЩУз; (И)

Щwq, u2wo, щюи u2w\,

VqWq, V1W0, V3W0 -piUit, (12)

V0Wu V1W1 + p2U2t, V3W1 +P1U1Î, Wq, wf, W0W l-

Кроме того, на алгебре Ai вводится градуировка, индуцированная градуировкой К[Х\].

Теперь рассмотрим множество

= (Х1 \ {u2,«Ji}) и K,w2}, (13)

и на алгебреАС[Л2] введем градуировку, совпадающую с (6) для элементов из Х\ \ {îî2,^i}, и такую, что

deg«2 — degW2 = 3.

Определим алгебру Л2 = К[Х2]/12, где идеал 12 алгебры К\Х2] порожден элементами из (7),(8),(9), (10), (11), (12), а также элементами

Рхи'г, р3и'2, р2~1и'2; (14) РГЧ, — РзЩ, щи'2, (и'2)2, и?;

РИУ2, Рз™2, Р2-и>2 - «2^1, М^О, «2^3, (15) р2~2и'2УХ + р^щуз, 1111)1;

(16)

Цг^, для г € {0,2}; (17)

1>0И>2, и3гУ2, + Р2«2<; (18)

•ш02, го|, ги0гу2. (19)

Далее, рассмотрим множество

Хз = \ {«1, «г, гуь и;0}) и {щ2, гиоь ™з}, (20)

и на алгебре/С[Д'з] введем градуировку, совпадающую с (6) для элементов из \ {щ,и2,и>ъ«А)}, и такую, что

ае§и12 = 1, = degu^з = з.

Определим алгебру = К[Х3)/13, где идеал 13 алгебры К\Хз] порожден элементами из (7), (9), (11), а также элементами

Р1«125 (21)

и?2; у0р3 - У1Р32~1;

Рз^оь р2и}01 +иПУи Р4Щ1 - Щ2^\Р2~1]

«12^з; р\~хУ}з + ЩгЩрТ1!

р2уи3, Рз^з; (22)

р?«; (23)

Щ^з, ухт3, (24)

«3го3 + Р?г412*; УоЩи из^оь ^01 -Рг«^; и>%и ь>1, и)01Юз-

Наконец, рассмотрим множество

<*4 = {Р\,Р2,РЗ,и'2,и3,Щ,Уо, из, гу2, (25)

и на алгебре £[,¥4] введем градуировку, такую, что

degp1• = 0 (г = l,2,3),degU2 = deguз = degгí4 = 1, deg у0 - deg - deg у3 = 2, deg = deg ги3 - deg щ = 3, deg £ = 4.

14

Определим алгебру Ац = где идеал /4 алгебры порожден

элементами из (7),(14),(9),(15),(22),(11),(16),(23),(18),(24), а также элементами

Р2«з, Рз"з, ркГгиз, Р1Щ для 1 ^ г < 3; (и'2)2, Ид, и2, и'2и3, и'2щ, щщ\ ЩРз, У3р*-1, г^Л и3у0, щух, и3ьз -Р1Ш3, ЩУ1, щь3, щу0 - р3т, Р1Щ, Р2Щ, Рз«Ч + 2, ^ЗР^1 + и'грГ1; из»;, щюг, где 2 ^ г < 4; иою-ь У1Щ, у3ги3 - Р1«3£; и)2, и>|, ги|, ги2ад3, и^гщ, ю3и>4.

На алгебрах А} {] = 2,3,4) вводится градуировка, индуцированная градуировкой соответствующих алгебр

Теорема 7. Пусть К - алгебраически замкнутое поле характеристики три, и пусть К = <5(2В)1(/с, 1,0), где к > 2.

1) Если к и в кратны 3, то алгебра когомологий Хохшильда НН*(Л) как градуированная К-алгебра изоморфна алгебре А\.

2) Если к кратно 3, а в не кратно 3, то НН*(Д) ^ Аг как градуированные К-алгебры.

3) Если к не кратно 3, а з кратно 3, то НН*(Я) ~ А3 как градуированные К-алгебры.

4) Если к и з не кратны 3, то НН*(7?) ~ A^ как градуированные К-алгебры.

Замечание 8. Как и в замечании 6, полученные в теореме 7 результаты можно применить к описанию алгебр когомологий Хохшильда для алгебр серии С}{2А)к{с).

Замечание 9. Необходимо отметить, что вычисленные алгебры когомологий Хохшильда во всех случаях оказались коммутативными.

Работы автора по теме диссертации

Статьи в журналах, рекомендованных ВАК:

[1] Иванов А. А., Когомологий Хохшильда алгебр кватернионного типа: серия Q(2B)i(k, s, а, с) надполем характеристики не 2 // Вестник СПбГУ, Серия 1, Вып. 1 (2010), 63-72.

[2] Иванов А. А., Когомологии Хохшильда алгебр кватернионного типа: серия Q(2B)l в характеристике 3 // Зап. научн. семин. ПОМИ, т. 388 (2011), 152178.

Другие публикации:

[3] Генералов А. И., Иванов А. А., Иванов С. О., Когомологии Хохшильда алгебр кватернионного типа. II. Серия Q(2B)i в характеристике 2 // Зап. науч. семин. ПОМИ, т. 349 (2007), 53-134.

[4] A. I. Generalov, A. A. Ivanov, S. О. Ivanov, On Hochschild cohomology of algebras of quaternion type with two vertices // Межд. алг. конференция, поев. 100-летию со дня рождения Д. К. Фаддеева. Тезисы докладов (2007), 114.

[5] Иванов А. А., Когомологии Хохшильда алгебр кватернионного типа: серия Q(2B)i(k,s,a,c) над полем характеристики не 2 // Межд. алг. конференция, поев. 70-летию А. В. Яковлева. Тезисы докладов (2010), 38.

Подписано к печати 17.10.2011 г. Формат бумаги 60x84 '/,6. Бумага офсетная. Гарнитура Times. Печать цифровая. Объем 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 5275.

Отпечатано в отделе оперативной полиграфии НИИХ СПбГУ 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр. 26. Тел: (812)428 4043,428 6919

Введение

1 Основные определения и конструкции

2 Мультипликативная структура алгебры когомологий над полем характеристики 2 при нечетных натуральных параметрах

2.1 Формулировка основного результата.

2.2 Аддитивная структура алгебры когомологий.

2.2.1 Дифференциал б1 и вычисление НН4то+1(Я). . . . Г:.

2.2.2 Дифференциал б2 и вычисление НН4т+2(Я).\

2.2.3 Дифференциал <53 и вычисление НН4то+3(Д) и НН4т+4(Я).

2.3 Образующие и соотношения.

2.3.1 Случай с = 0.

2.3.2 Случай с ф 0.

3 Аддитивная структура алгебры когомологий над полем характеристики не

3.1 Формулировка основного результата.

3.2 Вычисление аддитивной структуры

3.2.1 Дифференциал с!)1 и вычисление НН4т+1(Д).

3.2.2 Дифференциал д2 и вычисление НН4т+2(Д).

3.2.3 Дифференциал 53 и вычисление НН4т+3(Д) и НН4т+4(Д)

4 Мультипликативная структура алгебры когомологий над полем характеристики

4.1 Формулировка основного результата.

4.2 Образующие и соотношения.

4.2.1 к и s кратны 3.

4.2.2 к кратно 3, s не кратно 3.

4.2.3 к не кратно 3, s кратно 3.

4.2.4 к и s не кратны 3.

Когомологии Хохшильда - важнейший инвариант ассоциативной алгебры. Однако его вычисление - довольно трудная задача. Поскольку ассоциативные алгебры играют ключевую роль во множестве дисциплин, то и когомологии Хохшильда оказываются важнейшими объектами для изучения как в теории представлений ассоциативных алгебр, так и в теории центральных простых алгебр, алгебраической геометрии, некоммутативной геометрии, гомотопической теории деформаций, струнной топологии и функциональном анализе. Данная работа находится на стыке гомологической алгебры и теории представлений конечномерных алгебр, поэтому в дальнейшем мы сконцентрируемся на обзоре результатов, полученных преимущественно в этих направлениях.

С точки зрения теории ассоциативных алгебр когомологии Хохшильда алгебры параметризуют инфинитезимальные деформации этой алгебры, при этом п-коцикл соответствует деформации структуры ассоциативной алгебры в структуру Лп-алгебры в смысле теории Д^-алгебр. С другой стороны, когомологии Хохшильда инвариантны относительно производной эквивалентности и, следовательно, относительно Морита-эквивалентности алгебр, вследствие чего они играют значительную роль в классификационных задачах теории представлений ассоциативных алгебр.

В работе вычисляются когомологии Хохшильда алгебр кватернионного типа семейства ](2В)\ (в обозначениях из [24]) над алгебраически замкнутым полем.

Алгебры кватернионного типа получили свое название вследствие того, что этот класс включает в себя все ручные блоки с обобщенной кватерни-онной группой дефекта. Напомним, что если К - поле характеристики р, а 6? - конечная группа, то (двусторонне) неразложимое прямое слагаемое В групповой алгебры КС называется блоком КС; группой дефекта блока В называется минимальная подгруппа Р группы С, такая что любой В-модуль М изоморфен прямому слагаемому \¥ ®кр КС для некоторого КР-модуля . Наконец, конечномерная алгебра В называется ручной, если она бесконечного типа представления и для любого (1^-1 существует конечное число КЩ-В-бимодулей Мг, таких что все, кроме конечного числа, неразложимые В-модули размерности с? изоморфны N Мг для некоторого простого К[£]-модуля N. То есть, говоря нестрого, в каждой размерности ё, почти все неразложимые Б-модули образуют конечный набор однопараметрических семейств.

Алгебры кватернионного, а также диэдрального и полудиэдрального типов возникли как естественные обобщения ручных групповых блоков, которые, собственно, все содержатся в этих семействах над полем характеристики 2. Алгебры диэдрального, полудиэдрального и кватернионного типов имеют ручной тип представления (см. [24, 39]). Они были определены и классифицированы с точностью до Морита-эквивалентности Карин Эрдманн в [24]. В работе [39] Т. Хольм предъявил список, содержащий представителей всех классов производной эквивалентности из списка К. Эрдманн. Однако эти классификации не полны, поскольку не известно, лежат ли различные представители в различных классах эквивалентности.

В работах [38, 39] Т. Хольм показал, что всякая алгебра кватернионного типа из серии С^(2А)к(с) производно эквивалентна некоторой алгебре из серии С2(2В)1(к, в, а, с) при некоторых значениях натуральных параметров к, в и параметров а, с из поля К. Таким образом, вычисление когомоло-гий Хохшильда алгебры С^(2В)1 решает и аналогичную задачу для алгебр типа (2(2А).

Одним из следствий вычисления когомологий Хохшильда алгебр семейства (213)1 явилось уточнение классификации Т. Хольма [39], а значит, и классификации К. Эрдманн [24]. В следствии 3 получено, что некоторые из алгебр из списков К. Эрдманн и Т. Хольма действительно не производно-эквивалентны.

Литература по вычислению когомологий Хохшильда довольно обширна. Для коммутативной конечной группы С в работе Т. Хольма [37], а также в работе К. Сибильса и А. Золотарь [20] доказано, что НН*(К[С]) с± Я*(в) ®к К[С\. В статье К. Эрдманн и Т. Хольма [27] алгебра НН*(Я) описана для случая, когда Я - полуцепная (¿Г-алгебра. В работе П. Берга и К. Эрдманн [19] вычислены когомологии Хохшильда некоторых алгебр, являющихся полными квантовыми пересечениями.

Алгебра когомологий Хохшильда для так называемой алгебры Лю~ Шульца вычислена в статье А.И. Генералова и Н.Ю. Косовской [6]. В работах М.А. Пустовых (Качаловой) [16, 17] полностью описана мультипликативная структура алгебры когомологий Хохшильда так называемой алгебры Мёбиуса, в связи с этим вычислением, можно еще упомянуть работу К. Эрдманн, Т. Хольма и Н. Снэшелл [28], где были получены некоторые частичные результаты. Также имеются частичные результаты для групповых блоков ручного типа представления, имеющих один или три простых модуля, полученные Т. Хольмом [40]. В цикле статей Ю.В. Волкова и А.И. Генералова [2, 3, 4] вычислены когомологии Хохшильда самоинъек-тивных алгебр конечного типа представления, имеющих древесный тип £)п. В [18] Д. Бенсон и К. Эрдманн вычислили когомологии Хохшильда некоторых алгебр Гекке. Когомологии Хохшильда препроективных алгебр исследовались в работах К. Эрдманн, Н. Снэшелл [25, 26], П. Этингофа, Ц.-Х. Оу [31, 32] и В. Кроули-Бове, П. Этингофа и В. Гинзбурга [21]. Необходимо также упомянуть, что Т. Хаями вычислил кольцо когомологий Хохшильда алгебры, являющейся порядком в групповой алгебре обобщенной группы кватернионов в [35, 36]. Здесь же следует отметить, близкую по теме работу М. Суды и К. Санады [45]. Кроме того, Н. Снэшелл и Р. Тайлефер в [44] вычислили кольцо когомологий Хохшильда одной серии специальных бирядных алгебр по модулю нильпотентных элементов.

В главе 1 настоящей работы приводятся необходимые определения и описание центра для алгебр из рассматриваемого семейства, принадлежащее К. Эрдманн [24]. Как известно центр алгебры - это ее нулевые кого-мологии Хохшильда.

В главе 2 вычисляются сначала аддитивная структура - см. предложение 2, - а потом мультипликативная структура - см. теорему 1, - алгебры НН*(Д) для алгебр Q(2B)\(k, s, а, с) при нечетных значениях натуральных параметров к и s над полем характеристики 2. Здесь необходимо упомянуть целую серию публикаций, в которых исследуются когомологии Хохшильда алгебр из классификации К. Эрдманн [24]. В работах А.И. Генералова [7, 9] алгебра когомологий Хохшильда описана для одной из серий локальных алгебр кватернионного типа и для двухвершинных алгебр ква-тернионного типа серии Q(2B)\ с малыми параметрами, соответственно. Далее, в [5, 11] А.И. Генералов вычислил алгебру когомологий Хохшильда алгебр диэдрального типа семейства D(3/С) и одной локальной алгебры диэдрального типа. Наконец, в недавних статьях А.И. Генералова [10, 12] описаны алгебры когомологий Хохшильда для локальных и для групповых алгебр полудиэдр ал ьного типа. Аналогичные результаты для алгебр уже не ручного, а конечного типа представления были получены С. Зиге-лем и С. Уизерспун в статье [43], где вычислены когомологии Хохшильда циклического блока. Возвращаясь к предположению о нечетности параметров /с, 5 в условии теоремы 1, отметим, что мультипликативная структура алгебры когомологий Хохшильда алгебр семейства (¿(2В)1(к, в, а, с), когда хотя бы один натуральный параметр - четный, вычислена А.И. Генераловым и С.О. Ивановым в работе [8].

В главе 3 приведено полное описание аддитивной структуры алгебры когомологий семейства С^)(2В)1(к, й, а, с) при любых значениях параметров над произвольным алгебраически замкнутым полем характеристики, отличной от 2. Естественным образом выделились два случая: первый, когда характеристика основного поля равна 3, и второй, когда характеристика не равна 2 и 3. Ответ содержится в двух теоремах 4 и 5, соответственно. Теорема 2 главы 3 и и теоремы 4, 5 главы 4 частично дополняют аналогичный результат Т. Хольма [40], где он вычисляет аддитивную структуру алгебры когомологий Хохшильда для алгебр диэдрального, полудиэдраль-ного и кватернионного типов с одним или тремя простыми модулями и для некоторых серий алгебр полудиэдрального типа с двумя вершинами над полем характеристики 2. Довольно неожиданным оказалось утверждение теоремы 5, где аддитивная структура алгебры когомологий зависит от того, делятся ли значения некоторой целочисленной квадратичной формы на характеристику основного поля при подстановке в нее натуральных параметров к, в алгебры (¿(2В)1(к,8,а,с). Также аддитивная структура алгебры когомологий Хохшильда для алгебр ручного типа представлений исследована в работе К. Эрдманн и С. Шролл [30], а именно, в ней вычислены размерности групп когомологий Хохшильда для некоторых ручных алгебр Гекке.

Наконец, в главе 4, в теореме 7 приводится полное вычисление мультипликативной структуры алгебры когомологий Хохшильда алгебр серии С^(2В)1(к1 з,а,с) при любых значениях параметров над алгебраически замкнутым полем характеристики 3. Похожую задачу, правда для алгебры конечного типа представлений, решили над полем характеристики 3 С. Зи-гель и С. Уизерспун, описав в [42] алгебру когомологий Хохшильда для групповой алгебры симметрической группы 53 над полем Ез. Также они в этой работе описали когомологии Хохшильда для знакопеременной группы А4 и для диэдральных 2-групп над полем F2.

Вычисления в настоящей работе производятся с использованием техники работы А.И. Генералова [5]. Когомологии считываются с 4-периодической минимальной А-проективной резольвенты модуля Л, построенной в соавторстве с А.И. Генераловым и С.О. Ивановым (см. [8]). В работе К. Эрд-манн и А. Сковроньски [29] такая резольвента описана для представителей классов производной эквивалентности алгебр кватернионного типа, за исключением некоторых алгебр с малыми параметрами. Но для алгебр с двумя вершинами описание дифференциалов резольвенты из [29] содержит некоторые неточности. Однако в случае характеристики основного поля, отличной от 2, резольвенты из [8] и [29] совпадают.

С использованием построенной в [8] резольвенты выделяется (конечное) множество образующих для алгебры НН*(Й) и находятся соотношения, которым удовлетворяют эти образующие. Основным фактом, необходимым для вычисления мультипликативной структуры, является совпадение произведения в НН*(Д) и произведения по Йонеде. Поиск образующих и соотношений, описывающих мультипликативную структуру, выполняется стандартным образом посредством введения лексикографического порядка и нормальной формы. В качестве примера применения такой техники для завершения вычисления алгебры когомологий можно привести классическую статью В.И. Арнольда [1].

Анализируя технику вычисления когомологий, отметим, что Т. Хаями в [36] также вычисляет произведения используя резольвенту, однако она у него не минимальная. Затем, вычисляя мультипликативную структуру, он также использует представление умножения в когомологиях через произведение по Йонеде. Доказательство достаточности соотношений он опускает. К. Эрдманн и С. Шролл в [30] для вычисления аддитивной структуры, иначе говоря размерностей групп когомологий, используют минимальную проективную резольвенту. В статье [25] К. Эрдманн и Н. Снэ-шелл вычисляют аддитивную структуру алгебры когомологий Хохшильда препроективных алгебр типа Ап и, частично, типа Оп. В своих вычислениях они используют минимальную проективную резольвенту, построенную А. Скофильдом [41]. Затем в статье [26] они с помощью той же резольвенты вычисляют мультипликативную структуру алгебр когомологий для рассмотренных в предыдущей статье семейств препроективных алгебр, снова используя представление -—-произведения по Йонеде. В работах П. Этин-гофа и Ц.-Х. Оу [31, 32] исследуются не изученные ранее препроективные алгебры типов и Еп и также используется резольвента, построенная А. Скофилдом [41]. В статье П. Этингофа и В. Гинзбурга [21], во многом продолжающей работы [25, 26], акцент сделан на аддитивной и на лиевской структуре когомологий Хохшильда препроективных алгебр, умножение в когомологиях в рассматриваемом ими случае устроено довольно просто и легко вычисляется из общих соображений. Н. Снэшелл и Р. Тайлефер в [44] строят минимальную проективную резольвенту и вычисляют аддитивную структуру, но мультипликативную структуру алгебры когомологий Хох-шильда они вычисляют по модулю нильпотентных элементов.

Необходимо отметить, что мультипликативная структура алгебр когомологий Хохшильда, вычисленных в [7, 5, 10] и работах их продолжающих, и, в частности, в настоящей работе, отличается сравнительно высокой сложностью, кроме того, довольно замысловатое устройство соответствующих минимальных резольвент влечет комбинаторную трудность вычислений ^-произведения в когомологиях Хохшильда по Йонеде.

Все результаты, представленные в работе, опубликованы в 2007-2011 гг. в [8, 13, 14].

В настоящей работе пункты и утверждения в разделах глав нумеруются независимо. Например, пункт 2.3.1 - это первый пункт третьего раздела второй главы, предложение 2.3.1 - это первое предложение третьего раздела второй главы. Кроме того, в работе используется сквозная нумерация основных результатов второй, третьей и четвертой глав. Все основные утверждения, а также важные замечания, собраны в разделах 2.1, 3.1, 4.1 и нумеруются арабскими цифрами по порядку.

Автор выражает глубокую благодарность профессору Александру Ивановичу Генералову за постановку задачи, полезные обсуждения и многолетнее обучение.

1. Арнольд В. И., Кольцо когомологий группы крашеных кос. Математические Заметки, т. 5, № 2 (1969), 227-231.

2. Волков Ю. В., Генералов А. И., Когомологии Хохшильда самоинзек-тивных алгебр древесного типа Dn. I, Зап. научн. семин. ПОМИ, т. 343 (2007), 121—182.

3. Волков Ю. В., Когомологии Хохшильда самоинъективных алгебр древесного типа Dn. II, Зап. научн. семин. ПОМИ, т. 365 (2009), 63—121.

4. Волков Ю. В., Генералов А. И., Когомологии Хохшильда самоинъективных алгебр древесного типа Dn. III, Зап. научн. семин. ПОМИ, т. 386 (2011), 100-128.

5. Генералов А. И., Когомологии Хохшильда алгебр диэдрального типа, I: серия D(3K) в характеристике 2, Алгебра и анализ, т. 16 (2004), вып. 6, 53- 122.

6. Генералов А. И., Косовская Н. Ю., Когомологии Хохшильда алгебр Лю-Шульца, Алгебра и анализ, т. 18 (2006), вып. 4, 39-82.

7. Генералов А. И., Когомологии Хохшильда алгебр кватернионного типа, I: обобщенные группы кватернионов, Алгебра и анализ, т. 18 (2006), вып. 1, 55-107.

8. Генералов А. И., Иванов А. А., Иванов С. О., Когомологии Хохшильда алгебр кватернионного типа. II. Серия Q(2B)\ в характеристике 2, Зап. научн. семин. ПОМИ, т. 349 (2007), 53-134.

9. Генералов А. И., Когомологии Хохшилъда алгебр кватернионного типа. III. Алгебры с малым параметром, Зап. научн. семин. ПОМИ, т. 356 (2008), 46-84.

10. Генералов А. И., Когомологии Хохшилъда алгебр полудиэдрального типа. I. Групповые алгебры полудиэдралъных групп, Алгебра и анализ, т. 21, вып 2 (2009), 1-51.

11. Генералов А. И., Когомологии Хохшилъда алгебр диэдралъного типа. II. Локальные алгебры, Зап. научн. семин. ПОМИ, т. 375 (2010), 92-129.

12. Генералов А. И., Когомологии Хохшилъда алгебр полудиэдрального типа, II. Локальные алгебры, Зап. научн. семин. ПОМИ, т. 386 (2011), 144-202.

13. Иванов А. А., Когомологии Хохшильда алгебр кватернионного типа: серия С2(2В)\(к, й, а, с) в характеристике не 2, Вестник СПбГУ, Серия 1, Вып. 1 (2010), 63-72.

14. Иванов А. А., Когомологии Хохшилъда алгебр кватернионного типа: серия С^{2В)\ в характеристике 3, Зап. научн. семин. ПОМИ, т. 388 (2011), 152-178.

15. Картан А., Эйленберг С., Гомологическая алгебра, М., 1960.

16. Качалова М. А., Когомологии Хохшилъда алгебры Мёбиуса, Зап. науч. семии. ПОМИ, т. 330 (2006), 173-200.

17. Пустовых М. А., Кольцо когомологии, Хохшильда алгебры Мёбиуса, Зап. науч. семин. ПОМИ, т. 388 (2011), 210-246.

18. Benson D., Erdmann K., Hochschild cohomology of Hecke algebras, J. Algebra 336 (2011), 391-394.

19. Bergh P., Erdmann K., Homology and cohomology of quantum complete intersections, Algebra Number Theory 2 (2008), no. 5, 501-522.

20. Cibils C., Solotar A., Hochschild cohomology algebra of abelian groups, Arch. Math., v. 68 (1997), 17-21.

21. Crawley-Boevey W., Etingof P., Ginzburg V., Noncommutative Geometry and Quiver algebras, Adv. Math. 209 (2007), 274-336.

22. Drozd Yu. A., Tame and wild matrix problems, in: Repr.Theory, II, Lect. Notes Math. 832, 242-258, Springer, 1980.

23. Eilenberg S., MacLane S., Cohomology theory in abstract groups, I, Ann. Math., v. 48 (1947), 51-78.

24. Erdmann K., Blocks of tame representation type and related algebras, Lecture Notes in Math., v. 1428. Berlin; Heidelberg. 1990.

25. Erdmann K., Snashall N., On Hochschild cohomology of preprojective algebras. I, J. Algebra 205 (2) (1998) 391-412.

26. Erdmann K., Snashall N., On Hochschild cohomology of preprojective algebras II, J. Algebra 205 (2) (1998) 413-434.

27. Erdmann K., Holm Th., Twisted bimodules and Hochschild cohomology for self-injective algebras of class An, Forum Math., v. 11 (1999), 177-201.

28. Erdmann K., Holm Th., Snashall N., Twisted bimodules and Hochschildcohomology for self-injective algebras of class An, II, Algebras and Repr.Theory, v. 5 (2002), 457-482.

29. Erdmann K., Skowroriski A., The stable Calabi-Yau dimension of tame symmetric algebras. — J.Math. Soc. Japan, v. 58 (2006), No. 1, 97-128.

30. Erdmann K., Schroll S., On the Hochschild cohomology of tame Hecke Algebras, Archiv der Mathematik Volume 94, Number 2 (2010), 117-127.

31. Etingof P., Eu Ch.-H., Hochschild and cyclic homology of preprojective algebras of ADE quivers, Moscow Mathematical Journal, Volume 7, Number 4 (2007), 601-612.

32. Eu Ch.-H., The product in the Hochschild cohomology ring of preprojective algebras of Dynkin quivers, J. Algebra, Volume 320, Issue 4 (2008), 14771530.

33. Gerstenhaber M., The cohomology structure of an associative ring, Ann. Math., v. 78 (1963), 267-288.

34. Hayami T., Hochschild Cohomology Ring of an Order of a Simple Component of the Rational Group Ring of the Generalized Quaternion Group, Commun. Algebra, v. 36, Issue 7 (2008), 2785-2803.

35. Hayami T. Hochschild cohomology ring of an order of a quaternionalgebra, Cohomology Theory of Finite Groups and Related Topics, RIMS Kokyuroku, 1581 (2008), 6-13.

36. Holm Th., The Hochschild cohomology ring of a modular group algebra: the commutative case. Commun. Algebra, v. 24 (1996), 1957-1969.

37. Holm Th., Derived equivalent tame blocks, J. Algebra, v. 194 (1997), 178200.

38. Holm Th., Derived equivalence classification of algebras of dihedral, semidihedral, and quaternion type, J. Algebra, v. 211 (1999), 159-205.

39. Holm Th., Hochschild cohomology of tame blocks, J. Algebra, v. 271 (2002),

40. Schofield A., Wild algebras with periodic Auslander-Reiten translate, to appear.

41. Siegel S. F., Witherspoon S. J., The Hochschild cohomology ring of a group algebra, Proc. London Math. Soc., v. 79 (1999), 131-157.

42. Siegel S. F., Witherspoon S. J., The Hochschild Cohomology Ring of a Cyclic Block, Proc. Amer. Math. Soc., v. 128, No. 5 (2000), 1263-1268.

43. Snashall N., Taillefer R., The Hochschild cohomology of a class of special biserial algebras, Journal of Algebra and Its Applications, v. 9, Issue: 1 (2010), 73-122.

44. Suda M., Sanada K., Periodic projective resolutions and Hochschild cohomology for basic hereditary orders, J. Algebra, v. 305 (2006), 48-67.798.826.