Мультипликативная структура когомологий для алгебр Лю-Шульца тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Санкт-Петербургский государственный университет

На правах рукописи

КОСОВСКАЯ Надежда Юрьевна

МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ СТРУКТУРА КОГОМОЛОГИЙ ДЛЯ АЛГЕБР ЛЮ-ШУЛЬЦА

01.01. ОС математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2006 г.

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры и теории чисел матема-тико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

доктор физико-математических наук, профессор ГЕНЕРАЛОВ Александр Иванович.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

доктор физико-математических наук, профессор ГОРДЕЕВ Николай Леонидович, кандидат физико-математических наук, ЛУРЬЕ Борис Вениаминович.

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ: Московский тсударственный университет им. М.В. Ломоносова.

Защита состоится 2006 года в-J^* часов на заседании диссертационного совета Д 212.232.29 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: „ С/2НМ.Г—/7&Т&РБ$/РГ,__

пае, р. Фънтанхи, д 27 { ПОМЫ РАН \ /5/У_

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. A.M. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: Санкт-Петербург, Университетская набережная, д. 7/9.

Автореферат разослан " 6 "¿Г<Й4У58ЙЕ2006 г. Учёный секретарь

диссертационного совета Д 212.232.29, доктор физико-математических наук профессор

общля характеристика работы

Актуальность темы. Когомологии алгебр играют фундаментальную роль в теории представлений конечных групп и конечномерных алгебр. В настоящий момент теория (обычных) когомологии групп уже сложившаяся ветвь современной алгебры. В этой области имеется много результатов и значительная часть достижений о когомологиях конечных групп отражена в монографии Адема и Милгрема [2]. Алгебра Йопе-ды является естественным аналогом кольца когомологий групп. Кроме того, вычисление алгебры Йонеды для какой-либо групповой алгебры позволяет описать мультипликативную структуру когомологий для всех блоков соответствующей группы (как главных, так и неглавных).

Группы когомологий Хохшильда впервые были введены Хохшильдом в [4]. Новый импульс к исследованию когомологий Хохшильда конечномерных алгебр придала работа Хаппеля [3], в которой были подведены итоги имеющихся на тот момент результатов по вычислению когомологий Хохшильда, некоторые их обобщения и еще раз показано, что когомологии Хохшильда один из важнейших инвариантов алгебр.

Хотя когомологии Хохшильда теоретически вычислимы для конкретной алгебры через производные функторы, но реально вычисления для какого-либо класса алгебр по-прежнему актуальны и очень сложны. До последнего времени во многих работах изучалась только "аддитивная структура" когомологий алгебр (например, в [5]) или же вообще только первая или вторая группа когомологий Хохшильда (как имеющие конкретную интерпретацию с помощью дифференцирований и расширений). Лишь в последние годы оживился интерес к изучению мультипликативной структуры когомологий Хохшильда. Например, в [7] была предложена некоторая формула, позволяющая редуцировать вычисление произведения в ШГ(Й"[&']) к вычислениям с обычными когомологиями групп, и с помощью этой техники было получено описание алгебры когомологий Хохшильда для симметрической группы ¿>з над полем Ез, а также для знакопеременной группы А4 и для диэдральных 2-групп над полем ¥2. С использованием другой техники в [1] было дано описание алгебры когомологий Хохшильда для алгебр диэдрального типа из серии О(ЗРС) над алгебраически замкнутым полем характеристики 2, то есть результат для гораздо более широкого класса алгебр, включающий в себя результат для Л4. Аналогичные методы исследования когомологий используются в данной работе.

Заметим, что за пределами класса групповых алгебр конечных групп

в большинстве изученных случаев рассматривались алгебры, имеющие либо конечный, либо ручной тип представления. В данной работе дается описание алгебры Йонеды и алгебры когомологий Хохшильда для некоторой серии симметрических локальных алгебр, предложенной Лю и Шульцо.м в [6], которые имеют дикий тип представлений и интересны "патологическим" поведением своих модулей, дающим отрицательный ответ на некоторые когомологические гипотезы.

Цель работы. Основной целью данной работы является описание мультипликативной структуры алгебр Йонеды и когомологий Хохшильда для серии симметрических локальных алгебр, введенных Лю и Шульцем, и, в частности, нахождение условий конечЕюй порожденное™ алгебры когомологий Хохшильда этих алгебр.

Методы исследования. В работе использовались как классические методы современной алгебры, например, методы теории представлений конечномерных ¡шгебр. так и новые методы вычисления когомологий с использованием прямого ("комбинаторного") построения минимальных проективных резольвент соответствующих модулей.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:

1. Для серии алгебр Лю-Шульца вычислена минимальная проективная резольвента (единственного) простого модуля и с помощью нее дано описание алг ебр Ионеды для алгебр Лю-Шульца.

2. Вычислена бимодальная минимальная проективная резольвента, исследована структура групп когомологий Хохшильда и дано описание (н терминах образующих и соотношений) алгебр когомологий Хохшильда для серии алгебр Лю—Шульца.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в исследованиях (ко)гомологических структур различных алгебр.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Международной алгебраической конференции, посвященной памяти 3. И. Боре-вича (2002 г.) и неоднократно на Санкт-Петербургском городском ¡шге-браичееком семинаре имени Д. К. Фадеева.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях и в тезисах, перечисленных в конце автореферата. В совместных работах диссертанту принадлежат формулировки и доказательства теорем и вычисления, а соавтору постановка задач и выбор некоторых методов решения.

Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 117 страницах, состоит из введения, двух глав, разбитых на разделы и списка литературы, содержащего 54 наименования.

Содержание работы

Во введении излагается история вопроса, актуальность темы диссертации, дается описание основных результатов диссертации, а также кратко изложена, структура работы.

Напомним, что для конечномерного модуля М над произвольной конечномерной Х-алгеброй К прямая сумма £(М) = фт>0Ех^"(М,М) превращается с помощью произведения Йонеды в (ассоциативную) К-алгебру, которую называют ЕхЬ-алгеброД модуля М. Если К — базисная /{"-алгебра с радикалом Джекобсона J(R), то Ех^алгебра £(Н/ J (11)) называется алгеброй Йонеды алгебры Л; ее будем обозначать через У(II).

Теперь определим алгебры Лю-Шульца. Пусть К — произвольное поле. Для ненулевого р & К определим алгебру

Д = = К(Х0,Х1, А"2)/({Х?, АГ;+1А"; + />Х;.Х^+1}гб{о,1,2})-

Мы отождествляем А'з = А'0, более того, всюду индексы, пробегающие множество {0,1,2}, мы считаем определенными в и допускаем для них соответствующую операцию сложения. Через Хг обозначим классы вычетов А",.

Первая глава диссертации посвящена вычислению алгебры Йонеды ^(Лр) с гюмощыо построения минимальной проективной резольвенты (единственного) простого Др-модулэт К.

В разделе 1.2 сформулирована следующая теорема, в которой дается описание алгебры Йонеды для 11р.

Рассмотрим алгебру

£ = £р = К(Хъ, Х\, Х2)/({ХгХ{+\ — +

с естественной градуировкой (^(А^) = 1 для г 6 {0,1,2}.

Теорема 1.2.1. Пусть Я, — р € К*. Алгебра Йонеды У(И) как градуированная К-алгебра изоморфна алгебре £.

В разделе 1.3 строится неотрицательный трикомплекс В,.,, в котором для (г, j, к) е Njj Btjk = R и

d' = {р>х0у : Bi+i]k —> Bijk, d" = (pkxi)" : Bij+lk —> Bijk, d'" = {р'х2у : Bijk+1 —> Bijk,

где x* обозначает гомоморфизм умножения справа на элемент х € R.

Затем, с помощью вспомогательного результата о точности трикомп-лексов, изложенного разделе 1.1, доказывается следующее предложение.

Предложение 1.3.1. Тотализация Tot(S„.) триколтлекса В... представляет собой минимальную проективную резольвенту простого R-модуля К.

В разделе 1.4 с помощью найденной резольвенты мы доказываем, что однородные элементы из Ext}>(A', К) порождают все алгебру Ионеды y(R) как К-алгебру. И в разделе 1.5, сравнивая размерности diniA' £т и dim/v- Ext^'(/\, К), завершаем доказательство теоремы 1.2.1.

Вторая глава посвящена изучению когомологий Хохшильда для алгебр Лю-Шульца.

Напомним определение алгебры когомологии Хохшильда. Пусть R

конечномерная ;uire6pa над полем К, А = Re = R ®к -R°p се обертывающая алгебра, HH"(/i) = Ext" (/i, R) — n-ая группа когомологий Хохшильда алгебры R (с коэффициентами в Д-бимодуле Л). На линейном пространстве

НН*(Л) = 0п>оНН»(Л) = 0;^оЕД)

можно ввести U-производепие, относительно которого оно становится ассоциативной А'-алгеброй; эту алгебру называют алгеброй когомологий Хохшильда. Алгебра 1Ш*(Л) градуировапно коммутативная алгебра; кроме того, U-произведепие па ШГ(Л) совпадает с произведением Йоие-ды на Ext-алгебре ф„>о Ext"(Л, R) А-модуля R.

Обозначим через К{Т) свободную ассоциативную К-;и\гебру (с 1), порожденную множеством (свободных) образующих 7~; как обычно, А'[7~] обозначает кольцо многочленов от множества переменных Т. Пусть s обозначает порядок р в группе К*; возможно, что s = оо. Для описания структуры алгебры HH*(ii^) мы построим несколько градуированных Л'-алгебр.

(I) Предположи!«!, что char .К" ф 2.

(1.1) Рассмотрим множество

•Vl = {h. hi, Ui, ti, lj,pi, <?i}is{0,i,2}-

На алгебре К(Л\) введем градуировку так, что (для всех г € {0,1,2})

с^ к = (1сд /г; = 0, у, = deg = dcg = 1, = deg = 2.

Определим градуированно коммутативную _К"-алгебру Л\ = К(Х\)/ где идеал /1 алгебры К{Х\) порожден элементами

аЬ- (-^"'^ба (1)

для всех а, Ъ € а также следующими однородными элементами (где Зл к, кг, к-2 6 {0,1,2})

/12, Ыч, куг, М{, кр^, hq^ Л

к&Э ) 1 > 2/г^г; г: /

/год, м./, /»¡^ для г ф з\ )

Чл ~ Р>+1Р;+2, 9.+19.+2 - ТЧЧг\ №Р;+1 - ¿¡<2;+2, ^гРг - Угф+г, кр{+1 — ¿¿<7;, 1 2/«Р»+2 —*»9й-1, *>Р»+\~kqi, ¿¿Р> ~ 2/;9.+2,) Ут — ь — ¿¿'/¿+2,

'¿/¡+1^+2 — ЫРг+1, 2/»+12Л+2 — Уг+Ш+2 ~ '¿+Л+2,

£>+1?г+2 — Лда, 2/г+1^+2 — ЫЯг+2, и+1^1+2 — 2/1+1^+2, ' '¡+1У;+2 — ^¿Рг+2, £¡+12/1+2 — ТВДг+1, ¿¡+1^+2 — £¿+12/1+2, _ 2/А — £¿+1^1+1) Ух'1! ~ '¿+2^1+2> Напомним, что мы всюду считаем индексы определенными по модулю 3.

(1.2) Рассмотрим множество

<^2 = {щ, 2/г,Рг};е{о,1,2}-

На алгебре К{Л'2) введем градуировку так, что (для всех г 6 {0,1,2})

degггi = 0, degJ/¡ = 1, degpi = 2.

Определим градуированно коммутативную /¡"-алгебру Л2 = К{Х2)/12, где идеал 1г алгебры К(Л?2) порожден элементами вида (1) (где а, Ь € Аг), а также элементами (для всех i € {0,1, 2})

и}, щуи щрг.

(1.3) Пусть в = 2з' + 1, где в' € N. Рассмотрим множество

Лз = {Ь, Ы, Уг, и, Ь, 2Г,-т\р>Р»| 7ч}.-6{0,1,2}, тб{1.....8-1}-

На алгебре К(Лз) введем градуировку так, что (для всех г 6 {0,1,2}, тп 6 {1, -.., в - 1})

с!сцН = deg 1ц = 0, degl/; = 1, = degZi = Зв - 2,

си^.г-т) = 2т, degp = 6, degp¿ = degg; = 2в, degri = в + 3.

Определим градуированно коммутативную Л"-алгебру Аз = К(Х3)/13, где идеал /з алгебры К{Х$) порожден элементами вида (1) (где а, Ъ 6 Лз), а также следующими однородными элементами (где г, j € {0,1, 2}, 771, ?Щ, ГП-2 € {1, . . . , в — 1})

/г2, /г/!,, Лг/,-, Л/,, /(/¿, /гр, /грг, hq^, Лг(,

у, /¿¿¿у) , У^х^з*

1 I ("О , (т) » (яг) • / -

для г Ф о

УгЦ) УгЬу ^гЬ} %% »

, (т) » (т) (т) (т) (т) у г

ЬЧ 'р,г\ 'г,- для т ф 8 ,

(т) . / . / /

Ц Р] для г пгф в ;

Чг ~ Рг+т+2, г] - р^рри 1^+2 - Р;<7г, Г; + 1Гг+2 - р3р9;,

+ - Р;П+2, - Р.П+1;

Р -Р0Р1Р2, Р8'+1Ч1 - Р"'~1Р1+1Рг+2П, Р"'гг - РЯ'+2Р1'1С,

¿¿Р.' - Р*'~гУгР*'ъ+1>

ир-

¿¿7.4-1 - р*'~3угрй'р1+2, — Р~2У{Р,¡+241+2,

/9 УгР1+\Рг+2,

иП+2 ~Р 2ЛР.+29м

¿¿Рг - рв'~3У1Рв Яг+21 1гР ~ Р~ЬУгРмП+2,

кЧ1+2 - ря'^\р"'рг+1,

- р~2г/;рг+1д1+ь

- Р~2уфг+\ГЦ, кП+2 - р 2УгР, \-\PH2\.

М(н - 1>Р1+г, - ¿¿р<+1;

S№+l?/¡+2PS' 1РгГг + 1,

í¡+l¿¿ + 2 — p"

U+ih+2 ~ Ps'~syi+iU¡+2Ps' , , si Ч+1Ч+2 — P

k+lti+2 — P3

P¡r¡+2,

Syi+iVi+2Ps' 1P¡ri, byu\yi\2Ps'~lPiqc,

(s') -5

z¡ p- p г/«+1?л+2П,

]Qi ~ PS' +1 í/i

(«') -2 z¡ v, - p zyt+m+2P¿,

¿ГЧ+2 '

Z,'* }P¿+1 - y¿ + l*¿+2,

p yi+m+2qi+2,

(«') i zj . <7¡+1 — 4+l?/¡+2,

Pi+2 — '«+l!/i+2i

(«') í ¿ q¡+2 - г/;+1'г+2;

'8У0У1У2РВ' Vj+2,

/¿г

Я8' аУоУ№Р'' Ч+ь

(1.4) Пусть s = 2s', где s' € N \ {1}. Рассмотрим множество

X4 = {h,hi,yi,ti, z¡m\p,pi}i£(Qj¡2}, ...............

На алгебре K(Л4) введем градуировку так, что (для всех i £ {0,1,2}, me{l,...,s'-l})

deg h = deg h¡ = 0, deg y¡ = 1, deg í¡ = s — 2,

degz!m) = 2 ra, degp = 6, degp¿ = s.

Определим градуирование» коммутативную /•¡'-алгебру Ai = К (Х\) / 1'де идеал /4 алгебры К (Х.\) порожден элементами вида (1) (где о, 6 € Х4), а также следующими однородными элементами (где i,j (Е {0,1, 2}, m, mi, т2 € {1,..., s' - 1})

/г2, hhi, hyi, hti, hz¡m\ hp, hpi

h¡hj, h¡tj, hiZj'n), h¿p,

h¡yj, hipj, yizfl), z¡m)p¿ для г ^ j, yif'i, titj, t>iZj ' j tiPí t-iPii

Z^Z^.Z^p-,

1

> "i

f>"' - P()PlP2-(1.5) Рассмотрим счетное множество

= {/», hi, yu Z¡m>,p}¿£{0,1,2}, ,

На алгебре К (Л!ъ) введем градуировку так, что (для всех i G {0,1,2}, т € N)

deg h = deg hi = 0 deg y{ = 1, deg = 2m, degp = 6.

Определим градуироваино коммутативную K-алгебру Ль = К {Л'ь)/1ц, где идеал 1ъ алгебры К{Хь) порожден элементами вида (1) (где а, Ъ <= Л'5). а также следующими элементами (где г, j € {0,1, 2}, т, mi, т.2 € N)

h2, hhi, hyi, hz-'n\ hp, hihj, }nzf l\ hip,

hiVj, yizfl) для i ф j,

Jmi)Jm2) Am) -i "j izi P-

(И) Пусть char К = 2.

(И.1) Рассмотрим множество Aß = {"»кк^дд- На алгебре К[Лу введем градуировку так, что deg щ = 0, deg р,- = 1 для всех i 6 {0,1,2}. Определим коммутативную А'-алгебру Ас = К[Л'(^]/1(„ где идеал Iq алгебры K\Xq\ порожден элементами и2 (для всех г £ {0, 1,2}). (II.2) Пусть s 6 N \ {1}. Рассмотрим множество образующих

Д*7 — {/г, hi, j/,-, ti, zlm\p,pi}ie{0:i,2}, me{i,...,»-i}-

На ал1'ебре К\Л'7] введем градуировку так, что (для всех г 6 {0,1,2}, m 6 {1.....5-1})

deg h = deg !ц = 0, degy; = 1, degij = 2s — 2,

deg2,-m' = m, degp = 3, deg Pi - s.

Определим коммутативную ЛГ-алгебру A-j — К{Л'т\/где идеал TV алгебры К[Л7] порожден следующими однородными элементами (где индексы г, j € {0,1,2}, а числа т, mi, тг G {1,..., s — 1})

h2,hhi,hyi,hti,hz^m\

hitjj hiZj j IbiPy hiVj, hipj, yiZ^m\tiZjm) для г ф j, vt- i?

tizlm\z\m^p для m ф s — 1, zjm)pj для i ф j, m ф s - 1;

Р* - PoPtP-2, hp - p У()У\У2, hpi - ViZ]

>-1)

a—1) -2

p-p Ui+m+2Pi,

z\Xi]Pi - *»+iUu 8—1) . ¡+2 Pi - U+m,

j«-1)

P 4УаУ№Р3 2,

UP-

■ P yiPi+iPt+2,

Upi-p 2yiPs \

U+1U+2 — p 42/j+ii/i+2PiP3 2-

(II.3) Рассмотрим счстноо множество

X8 = {h, hi, yu Q,l,2},

neN-

На алгебре K[X%] введем градуировку так, что (для всех г € {0,1,2}, т € N)

deg h = deg Л; = 0, dog = 1, deg z- 'l] = m, degp = 3.

Определим коммутативную /¿"-алгебру As = К[Х%\/1%, где идеал 1$ алгебры К[Х,g] порожден следующими элементами (где i,j £ {0,1,2}, т, mi, m2 G N)

Л2, Л/ц, Лсд, hz{"l),

hihj, hiz^m\ hip,

hitjj, mzjm) для i ф j, (mi) (m2) (m)

t j J t' '

У0У1У2 ~ p2hp.

В силу однородности идеала Ii градуировка на алгебре K{Xt) (или соответственно на K[Xi\) индуцирует градуировку на алгебре А,- (1 < г < 8).

Теорема 2.1.1. Пусть R = Rp, s — порядок р в К*.

I. Предположим, что char К ф 2.

(1.1)Если s = 1, то алгебра когомологий Хохшильда НН*(/2) как градуированная К-плгсйра изоморфна алгебре .4].

(1.2) Если s — 2, то НН*(Л) ~ А? как градуированные К-алгебры.

(1.3)Если s нечетное число, большее 1, то НН*(Д) ~ Аз как градуированные К-алгебры.

(1.4) Если s четное число, большее 2. то НН*(Л) Ai как градуированные К-алгебры.

(1.5)Если s — 00, то HH*(/i) ~ A.j как градуированные К-алгебры.

II. Теперь пусть chax К = 2.

(ПА)Еслы s=l, rno HH*(R) ~ Ав как градуированные К-алгебры.

(11.2)Если 1 < s < оо, то Hll*(il) ~ A-j как градуированные К-алгебры.

(11.3)Если s = оо, то НН*(Л) ~ .Дд как градуированные К-алгебры.

Замечание 2.1.2. Как следует из теоремы 2.1.1, алгебра когомологий Хохшильда НН*(Д) конечно порождена, если р имеет конечный порядок в К*\ в случае же, когда р имеет бесконечный порядок (то есть не является корнем из единицы), алгебра HH*(i?) бесконечно порождена, и для нее указано счетное множество образующих. Кроме того, если НН*(Я) бесконечно порождена, то мы покажем, что размерности сНтд- IIII™(/£) не превосходят шести, если cliar К ф 2, и девяти, если char К — 2. Замечание 2.1.3. В случае (II.1) алгебра К изоморфна групповой алгебре K[G\, где G элементарная абелева группа порядка 8, и в этом случае описание алгебры НН*(Я) вытекает из ужо известного результата.

Теорема 2.1.1 доказывается в следующих разделах работы.

В разделе 2.2 мы строим неотрицательный трикомплекс в котором В§к = Л для всех (i,j, к) 6 N§ и

d' = (pfx0 ® 1' + (-l)i+^+fc+yi ® х'0У : Bt+ljk —+ В%к, d" = (ркхг ® 1' + (-l)<+i+fc+V"l ® si)* : B?j+lk —► B?jk, d'" = (р<х2 ® 1' + (-l)i+'+t+y 1 ® х'2)* : —>■ В$к.

Далее, используя (как и в доказательстве предложения 1.3.1) вспомогательный результат из раздела 1.1 (предложение 1.1.2), доказываем следующую теорему.

Теорема 2.2.1. Тотализация Q. = Tot(B'}„) трикомплекса В'^„ представляет собой минимальную проективную резольвенту А-модуля R.

В разделе 2.3 мы, используя резольвенту Q. = (Qn,dff) из теоремы 2.2.1, вычисляем группы когомологий HHl(/i), i ^ 0. Для этого мы изучаем комплекс

HomA(Q., Л) = (НотЛ(д„,Д), Д" := (d£)*)

и вычисляем его когомологии:

H"(HomA(Q., R)) = Extl(R, R) = BHn(R).

Заметим, что Q„ = Лл/", где М„ = #{(i,j,k) | 0 ^ i,j, k ^ п, i + j + к — го} = Обозначим через eijik (для i + j + к = п) эле-

мент Qn, у которого на (г, j, к)-ом месте стоит 1 ® 1' € Л, а остальные компоненты равны пулю. Тогда всякий гомоморфизм / 6 11отд((3,г, R)

будем отождествлять с набором его значений £ IIм».

Обозначим также через [ж];,^ (1'Де х £ Л, г + ] + к = п) элемент у которого единственная ненулевая компонента принадлежит прямому слагаемому с индексом (г,з, к) и равна х.

Легко проверить, что если р = — 1, то

НН°(Л) = д-{1, х0, хи х2, Х0Х1, ххх2, х2х0, Х0Х1Х2) = Щ а в остальных случаях

НН°(Л) = л-{1, х0Хх, хгх2, х2х0, хах1х2).

Далее, чтобы вычислить НН"(Л) = Кег Д"/1т Д"-1 для п > 1, мы рассмотрим элементы:

[1]„дС) если а + Ь + с = п, (-1)" = 1 ,ра = рь = рс;

Ыш,

[ж1]«дг, [Ж0]о+1,6,в)

ы

[Ж1Ж2]П,0,0, [Ж2Ж0]0,Т>,0> [яО^ОДп,

[ж^гкг+м, [®1®г]«,<м+1>

4+1,0+1) [Х2Х(>]а+1,Ь,с+1,

[жО®1]о+1

,Ь+1,С1 I [Ж0Ж1Х2]П,0,0,

,тг, О» ,0 ,п)

если г + I = п,рм = рм = (—1)"+1;

если о + г» + с = п-1, (-1)п+1 = 1, ра = рь = рс

если (-1)" = 1;

(2)

(3)

(4)

(5)

если £ + I — п — 1, р + = р'

,*+1 _ „'+1 —

(с)

если а + Ь + с = п — 2, (-1)" = 1, ра = рь

если (-1)п+1 = 1;

(7)

(8)

[гоях^тдт, > если I + I = п - 2, = рм = (-1)п+1; (9)

[хоХ1Х2]а+1,б+1,с+ь если а + Ь + с = п — 3, (—1)"+1 = 1, ра = рь =

(10)

Мы доказываем следующее предложение.

Предложение 2.3.3. Коголюлогические классы элементов (2) (10) образуют К-базис НН"(Л).

Далее в разделе 2.4, с помощью некоторой удобной нам интерпретации произведения Ионеды, мы выводим следующую формулу для умножения коциклов.

Теорема 2.4.2. Пусть имеются коциклы / = [г1]а1 ^ С1 £ КегА"1 и а2,ь2,с2 £ Кег А"2. Тогда с1<? • с1/ — с1Л, где

В разделе 2.5 мы описываем (мультипликативные) образующие алгебры НН*(Д), используя изученную аддитивную структуру групп когомо-логий Хохшильда. В частности, доказываем конечную порождешюсть НН*(7?р), когда р корень из единицы, и бесконечную порожденность в случае, когда р не является корнем из единицы.

Далее мы строим сюръективные гомоморфизмы градуированных алгебр Аг —НН*(Л) (для г 6 {1,...,8}) и теорема 2.1.1 вытекает из следующего утверждения, доказанного в разделе 2.6.

Предложение 2.6.1. Пусть ср: А —> ШГ(Д^) один из построенных выше гомоморфизмов, где. А — это алгебра А1,А-2, • • ■ соответственно, и пусть А = фГ1>0Л" — прямое разлооюение алгебры А на однородные прямые слагаемые. Тогда

сПп1к Ап = сНтА- НН"(Д).

В последнем разделе 2.7 мы вычисляем размерности сПт^' ННП(Д) для п > 0.

Литература

[1] Генералов А. И. Когомологии Хохшильда алгебр диэдрального типа, I: серия £>(3/С) в характеристике 2 // Алгебра и анализ. 2004. Т. 16, №6. С. 53 122.

[2] Adem A., Milgram R. J. Cohomology of Finite Groups. — SpringerVerlag Grundlehren 309, 1st edition 1994, 2nd edition 2004.

[3] Happel D. Hochschild cohomology of finite-dimensional algebras // Springer Lecture Notes in Math. 1989. Vol. 1404. P. 108 126.

[4| Hochschild G. On the cohomology groups of an associative algebra j I Ann. of Math. - 1946. - Vol. 46. - P. 58- 67.

[5] Holm Th. Hochschild cohomology of tame blocks // J. Algebra. — 2004.

Vol. 271. P. 798 826.

[6] Liu Sh.. Schulz R., The existence, of bounded infinite. DTr-orbits // Proc. Amer. Math. Soc. 1994. Vol. 122, №4. P. 1003 1005.

[7] Siegel S. F., YVitherspoon S. J. The Hochschild cohomology ring of a group algebra j j Proc. London Math. Soc. 1999. Vol. 79. P. 131 157.

Публикации автора по теме диссертации

[1] Генералов А. И., Фёдорова Н. Ю. (Косовская Н. Ю.) Алгебра Ионеды для unpuAiepa Лю-Шулъца"// Алгебра и анализ. 2002. Т. 14, №4.

С. 19 35.

[2] Generalov A. I., Kossovskaya N. Yu. Yoneda algebra of the Liu-Schulz example j j Тезисы докладов Международной алгебраической конференции, посвященной памяти 3. И. Боревича. — СПб, 2002. — С. 95-96.

[3] Косовская Н. Ю. Бимод-ульная резольвента для. алгебр Лю-Шулъца I j Зап. научн. семин. ПОМИ. 2005. Т. 321. С. 213 223.

[4] Генералов А. И., Косовская Н. Ю. Когомологии Хохшильда для алгебры Лю-Шулъца j j Алгебра и анализ. 2006. Т. 18, №4.

С. 39 82.

Подписано в печать 21.06.2006.

Формат бумаги 60 х 84 1/16. Бумага офсетная.

Печать ризографическая. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 3801.

Отпечатано в отделе оперативной полиграфии НИИХ СПбГУ.

198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр.26

Введение.

Глава 1. Алгебры Йонеды для алгебр Лю-Шульца.

1.1. Вспомогательный результат.

1.2. Формулировка теоремы 1.2.1 — описание алгебры Йонеды

1.3. Резольвента.

1.4. Образующие и соотношения.

1.5. Окончание доказательства теоремы 1.2.1.

Глава 2. Алгебры когомологий Хохшильда для алгебр Лю-Шульца.

2.1. Формулировка теоремы 2.1.1 — описание алгебры когомологий Хохшильда

2.2. Бимодульная резольвента . У. . г

2.3. Аддитивная структура кольца когомологий.

2.4. Произведение Йонеды в ERn(Rp).

2.5. Образующие и соотношения.

2.6. Окончание доказательства теоремы 2.1.1.

2.7. Вычисление размерностей dim#-HH"(.Rp).

Когомологии алгебр играют фундаментальную роль в теории представлений конечных групп и конечномерных алгебр. В настоящий момент теория (обычных) когомологий групп — уже сложившаяся ветвь современной алгебры. Кольца когомологий групп исследовались различными авторами, и в этой области имеется множество результатов (см., например, [15]). Алгебра Йонеды является естественным аналогом кольца когомологий групп. Напомним понятие произведения Йонеды и его взаимосвязь с известным U-произведением в H*(G, К).

Пусть R — произвольная конечномерная if-алгебра. Для Д-модулей М, N любой элемент (р £ Extд(М, iV), т > 1, может быть представлен точной последовательностью

О -+N->Xm-)-----^ Xi М 0.

На последовательностях такого вида вводится отношение эквивалентности, а также согласованная с ним операция сложения (см., например, [14]). Если

0 £ -> ----Ух —> iV —> 0 точная последовательность, представляющая элемент ф G Ext^(iV, L),n>l, то произведение Йонеды фо<р определяется как элемент группы расширений Extд+п(М, L), представленный точной последовательностью

0 -> L Yn ч-----Yi ч- Хт ----уХгЧ'МчО.

Если же п = 0, то группа расширений Ext°R(N,L) = Нотr(N,L), и ф о ip определяется как элемент ф*((р) Е Extд(М, L), где ф*: Extr(M,N) ч> Ext^(M, L) — гомоморфизм, индуцированный ф\ аналогично определяется фо(р при m = 0. Очевидно, такое произведение ассоциативно.

Если М = N = L, то на множестве 6(М) = 0m^oExtд(М,М) с помощью описанного произведения Йонеды вводится структура /^-алгебры, и £(М) естественным образом превращается в градуированную /^-алгебру с единицей 1 s{M) = £ Нотд(М, М) = Ext°R(M,M). Её называют Ext-алгеброй модуля М.

Если R — базисная if-алгебра с радикалом Джекобсона J(R), то Ext-алгебра £(R/J(R)) называется алгеброй Йонеды алгебры R; ее будем обозначать через y(R)

Пусть теперь R = KG — групповая алгебра. Если М, М', N и N' — KG-модули, то хорошо известно U-произведение

U: Ext%G{M, М') х Ext^G(iV, N') -> Ext£jn(M ® N, M' ® N') и его взаимосвязь с произведением Йонеды: если ip 6 ExtxG(M,M'), ф € ExtnKG(N,N'),io р ®idN, G Ext%G(M <g> N', M' ® N'), idM®i>e Ext nKG(M ®N,M®N'), и ip U ф = {tp ® id/v) о (idjif <g> ф) e ExtксП{м N') см., например, [14, 16]). В частности, если М = М' = N = N' = К, где К — тривиальный KG-модупъ, то U-произведение в кольце когомологий H*(G, К) = 0m^oExtkG(K, К) совпадает с произведением Йонеды.

В работах Генералова А.И. были вычислены алгебры Йонеды для некоторых серий алгебр диэдрального или полудиэдрального типа из классификации К.Эрдманн [29]. В некоторых из этих работ (см. [4, 1, 2, 33]) используется диаграммный метод Бенсона-Карлсона [18] вместе с его техническими усовершенствованиями, развитыми в [4, 1]. В этом случае существенно используется возможность описания сизигий простых модулей с помощью так называемых диаграмм. Такая возможность имеется не всегда, и в связи с этим в [5] был предложен иной подход. Его существо составляет то, что на основе некоторых эмпирических наблюдений выдвигается гипотеза о строении минимальных проективных резольвент простых модулей, и после их обоснования "когомологическая информация" считывается с найденных резольвент, что приводит к описанию алгебр Йонеды рассматриваемых алгебр.

Теперь определим когомологии Хохшильда. Для Х-алгебры R рассмотрим обертывающую алгебру А = Re = R®kR°p- Тогда n-ая группа когомоло-гий Хохшильда алгебры R с коэффициентами в Д-бимодуле М определяется следующим образом: ННП(Я, М) = ЕхЩЯ, М). Если М = R, то мы используем обозначение HH"(i2) = HHn(i2, R). На линейном пространстве

НН*(Я) = ®„>0 НН"(Д) = ©n,o в*Ч№ Л) можно ввести U-произведение, относительно которого оно становится ассоциативной if-алгеброй [27, §5], [12, Гл. XI], [35]; эту алгебру называют алгеброй когомологий Хохшильда.

Известно, что U-произведение на ER*(R) совпадает с произведением Йонеды на Ext-алгебре 0n^oExtJ(i2, R) А-модуля R (см., например, [36, стр. 120]). Кроме того, как доказано в [35], НН*(Я) — градуированно коммутативная алгебра.

Хотя когомологии Хохшильда теоретически вычислимы для конкретной алгебры через производные функторы, но реально вычисления для какого-либо класса алгебр по-прежнему актуальны и очень сложны. К настоящему моменту группы когомологий Хохшильда (по крайней мере для малых степеней) были вычислены для нескольких серий алгебр, например, для некоторых наследственных алгебр и алгебр с узким колчаном (with narrow quivers) [40, 21], внешних алгебр [38], алгебр с нулевым квадратом радикала (radical square zero algebras) [22], мономиальных алгебр [24], усеченных алгебр колчанов (truncated quiver algebras) [25, 54, 47, 45] и специальных бирядных алгебр [53, 39].

До последнего времени во многих работах изучалась только "аддитивная структура" когомологий алгебр или же вообще только первая или вторая группа когомологий Хохшильда (как имеющие конкретную интерпретацию с помощью дифференцирований и расширений). Лишь в последние годы ожиt вился интерес к изучению мультипликативной структуры когомологий Хохшильда.

Для коммутативной конечной группы G в работах [42], [26] доказано, что HH*(if[G]) ~ H*(G) ®к В [51] была предложена некоторая формула, позволяющая редуцировать вычисление произведения в HH*(/^[G]) к вычислениям с обычными когомологиями групп, и с помощью этой техники было получено описание алгебры когомологий Хохшильда для симметрической группы 5з над полем F3, а также для знакопеременной группы А4 и для диэдральных 2-групп над полем F2. Кроме того, в [43] вычислена подалгебра когомологий четных степеней HHev(B) = 0п^оНН2п(Б) для групповых блоков, имеющих конечный тип представления. Отметим также, что для групповых блоков ручного типа представления, имеющих один или три простых модуля, в [44] описана аддитивная структура алгебры НН*(£). Имеются вычисления НН*(#) для алгебр других классов. В [30] алгебра НН*(Я) описана для случая, когда R — полуцепная Q-F-алгебра, а в [31] для так называемых алгебр Мёбиуса вычислена подалгебра ННГ*(Л), порожденная однородными элементами алгебры HH*(.R), степени которых кратны г (г — некоторый параметр, связанный с алгеброй Мёбиуса). В [23] вычислена мультипликативная структура для алгебр R с нулевым квадратом радикала (оказалось, что все произведения элементов из НН-^Я) нулевые). В [19] вычислены когомологии Хохшильда для серии алгебр из [49], при этом получено, что алгебра НН*(R) конечно порождена. Также в недавнем препринте [20] (с помощью техники отличной от используемой в данной работе) исследуется мультипликативная структура когомологий Хохшильда для алгебр, близких к алгебрам Лю-Шульца.

В [6] Генералов А.И. дал описание алгебры когомологий Хохшильда для алгебр диэдрального типа из серии D(3JC) над алгебраически замкнутым пол ем характеристики 2. При этом была использована техника, аналогичная использованной для вычисления алгебр Йонеды алгебр диэдрального и по-лудиэдрального типов. Таким образом, уже первый опыт такого вычисления дал результат для гораздо более широкого класса алгебр, включающий в себя результат для А*. Аналогичной техникой в [7] получено описание алгебры когомологий Хохшильда для одной из серии локальных алгебр кватер-нионного типа. Отметим также что в [8] описана минимальная проективная бимодульная резольвента для алгебры Мёбиуса, как первый этап для вычисления структуры всего кольца когомологий Хохшильда для алгебры Мёбиуса.

Заметим, что за пределами класса групповых алгебр конечных групп в большинстве изученных случаев рассматривались алгебры, имеющие либо конечный, либо ручной тип представления. В данной работе с помощью техники, аналогичной [5], дается описание алгебры Йонеды и алгебры когомологий Хохшильда для некоторой серии симметрических локальных алгебр, открытых Лю и Шульцем, которые имеют дикий тип представлений.

Пусть К — произвольное поле. Для ненулевого р G К определим алгебру

Rp = К(Хо, Xh X2)/({Xf, Xi+1Xi + рХ{Хм}щ0,1я). (0.0.1)

Мы всюду отождествляем Х$ = Хо, более того, всюду индексы, пробегающие множество {0,1,2}, мы считаем определенными в Z3 и допускаем для них соответствующую операцию сложения. Через Х{ обозначим классы вычетов Х{. Как легко видеть, Rp - 8-мерная локальная /С-алгебра:

Яр = к( 1, Х2, X0Xh Х1Х2, Х2Х0, XQX1X2).

Алгебры Rp симметричны [46] и имеют дикий тип представления (см. например [29, 1.10.10(a)]). Отметим, что Rp можно рассматривать как своеобразную "квантификацию" групповой алгебры элементарной абелевой группы С2 х С2 х С2 над полем характеристики 2.

Алгебры Rp для случая, когда р G К* = К \ {0} не является корнем из 1, были впервые введены в работе Лю и Шульца [46] в форме, отличной от (0.0.1), и были использованы для построения примера неразложимого Rp-модуля М, чья DTr-орбита состоит из бесконечного числа модулей с размерностями, ограничеными в совокупности. В частности, модули сизигий Qn(M) (п > 0) такого модуля М 4-мерные и попарно не изоморфны. Такое поведение невозможно для некоторых других классов алгебр, например, для групповых алгебр конечных групп. Точнее, если М — неразложимый непроективный модуль над групповой алгеброй KG конечной группы G, то из ограниченности размерностей модулей 0,п(М) следует периодичность модуля М, то есть для некоторого t G N верно Q\M) а М [28]. Отметим, что ранее в [50] Шульц рассмотрел более простую серию алгебр как пример подобного "патологического" поведения модулей, и эти алгебры активно изучаются в последние годы [49, 19, 20, 52]. В работе [48] алгебры Лю-Шульца Rp были уже приведены к виду (0.0.1) и были обнаружены некоторые новые свойства алгебры Rp и ее модулей. ,

Основной результат диссертации — теоремы 1.2.1 и 2.1.1, которые описывают для алгебр Лю-Шульца Rp алгебру Йонеды y{Rp) и алгебру когомологий Хохшильда HH*(^) в терминах образующих и определяющих соотношений. При этом для вычисления тех или иных групп когомологий предварительно строятся минимальные проективные резольвенты соответствующих модулей. В силу известной теоремы Голода-Венкова-Ивенса кольцо когомологий H*(G, К) конечной группы G является конечно порожденной if-алгеброй [11, 3, 32]; мы доказываем, что алгебра Йонеды y(Rp) конечно порождена и, таким образом, не ведет себя "патологически". Однако в более сложной когомологической структуре — алгебре когомологий Хохшильда, уже прослеживается интересные особенности. Оказывается, что если р имеет конечный порядок в К*, то HH*(i?/?) конечно порождена; в случае же, когда р не является корнем из единицы, алгебра НН*(Л^,) бесконечно порождена, и для нее указано счетное множество образующих. Еще одна интересная особенность состоит в том, что даже когда HH*(i?/)) бесконечно порождена, размерности dim^HHn(i?p) в совокупности ограничены (б, если char .К" ф 2, и 9, если char К = 2).

Результаты, выносимые на защиту диссертации:

1. Для простого Rp-модуля К вычислена минимальная проективная резольвента и с помощью нее дано описание алгебр Йонеды для серии алгебр

Rp

2. Вычислена бимодульная минимальная проективная резольвента модуля Rp.

3. Вычислены образующие n-ой группы когомологий Хохшильда для Rp.

4. Дано описание (в терминах образующих и соотношений) алгебр когомологий Хохшильда для алгебр Rp.

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [10,13, 9] и в тезисах международной конференции [34]. В совместных работах диссертанту принадлежат доказательства теорем и вычисления, а соавтору — постановка задач и выбор методов решения.

Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы.

1. Балашов О. И., Генералов А. И. Алгебры Йонеды для одного класса диэдральных алгебр // Вестник С.-Петерб. ун-та. — 1999. — Сер. 1, Вып. 3, №15. - С. 3-10.

2. Балашов О. И., Генералов А. И. Когомологии алгебр диэдралъного типа, II // Алгебра и анализ. 2001. - Т. 13, №1. - С. 3-25.

3. Венков Б.Б. Об алгебрах когомологий некоторых классифицирующих пространств // Доклады Акад.'наук СССР. — 1959. — Т. 127, №5. — С. 943-944.

4. Генералов А.И. Когомологии алгебр диэдралъного типа, I // Зап. науч. семин. ПОМИ. 1999. - Т. 265. - С. 139-162.

5. Генералов А.И. Когомологии алгебр полудиэдралъного типа, I // Алгебра и анализ. 2001. - Т.13, №4. - С. 54-85.

6. Генералов А. И. Когомологии Хохшильда алгебр диэдралъного типа, I: серия D(3)C) в характеристике 2 // Алгебра и анализ. — 2004. — Т. 16, №6. С. 53-122.

7. Генералов А. И. Когомологии Хохшильда алгебр кватернионного типа, I: обобщенные группы кватернионов I j Алгебра и анализ. — 2006. — Т. 18, №1. С. 55-107.

8. Генералов А. И., Качалова М. А. Бимодулъная резольвента алгебры Мёбиуса // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2005. - Т. 321. - С. 36-66.

9. Генералов А. И., Косовская Н. Ю. Когомологии Хохшильда для алгебры Лю-Шулъца // Алгебра и анализ. 2006. - Т. 18, №4. - С. 39-82.

10. Генералов А. И., Фёдорова Н. Ю. Алгебра Йонеды для "примера Лю-Шульца"// Алгебра и анализ. 2002. - Т. 14, М. - С. 19-35.И. Голод Б.С. О кольце когомологий конечной р-группы // Доклады Акад. наук СССР. 1959. - Т. 125, №4. - С. 703-706.

11. Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра. — М.: ИЛ, 1960. — 510 с.

12. Косовская Н. Ю. Бимодульная резольвента для алгебр Лю-Шульца // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2005. - Т. 321. - С. 213-223.

13. Маклейн С. Гомология. — М.: Мир, 1966. — 543 с.

14. Adem A., Milgram R. J. Cohomology of Finite Groups. — Springer-Verlag Grundlehren 309, 1st edition 1994, 2nd edition 2004.

15. Benson D.J. Representations and cohomology, I. — Cambridge Univ. Press, 1991.-224 p.

16. Benson D.J., Carlson J.F. Complexity and multiple complexes // Math. Zeit.- 1987. Vol. 195. - P. 221-238.

17. Benson D.J., Carlson J.F. Diagrammatic methods for modular representations and cohomology // Comm. in Algebra. — 1987. — Vol. 15, №1/2.- P. 53-121.

18. Buchweitz R.-O., Green E. L., Madsen D., Solberg 0. Finite Hochschild cohomology without finite global dimension // Mathematical Research Letters- 2005. Vol. 12. - P. 805-816.

19. Buchweitz R.-O., Green E. L., Snashall N., Solberg 0. Multiplicative structures for Koszul algebras. arXiv:math.RA/0508177.

20. Cibils C. On the Hochschild cohomology of finite-dimensional algebras // Comm. Algebra. 1988. - Vol. 16. - P. 645-649.

21. Cibils С. 2-nilpotent and rigid finite-dimensional algebras // J. London Math.Soc. 1987. - Vol. 36. - P. 211-218.

22. Cibils C. Hochschild cohomology algebra of radical square zero algebras // Algebras and modules II (Geiranger, 1996), 93-101, CMS Conf. Proc., 24, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1998.

23. Cibils C. Rigid monomial algebras // Math. Ann. — 1991. — Vol. 289. — P. 95-109.

24. Cibils C. Rigidity of truncated quiver algebras // Adv. Math. — 1990. — Vol. 79. P. 18-42.

25. Cibils C., Solotar A. Hochschild cohomology algebra of abelian groups j j Arch. Math. 1997. - Vol. 68. - P. 17-21.

26. Eilenberg S., MacLane S. Cohomology theory in abstract groups, I // Ann. Math. 1947. - Vol. 48. - P. 51-78.

27. Eisenbud D. Homological algebra on a complete intersection, with an application to group representations j j Trans. Amer. Math. Soc. — 1980. — Vol. 260. P. 35-64.

28. Erdmann K. Blocks of tame representation type and related algebras. — Lect. Notes Math. Vol. 1428. Berlin et al., Springer Verlag, 1990.

29. Erdmann K., Holm Th. Twisted bimodules and Hochschild cohomology for self-injective algebras of class An // Forum Math. 1999. - Vol. 11. -P. 177-201.

30. Erdmann K., Holm Th., Snashall N. Twisted bimodules and Hochschild cohomology for self-injective algebras of class An, II // Algebras and Repr.Theory. 2002. - Vol. 5. - P. 457-482.

31. Evens L. The cohomology ring of a finite group// Trans. Amer. Math. Soc. 1961. - Vol. 101. - P. 224-239.

32. Generalov A. I., Kosmatov N. V. Computation of the Yoneda algebras of dihedral type // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2003. - Т. 305. - С. 101120.

33. Generalov A. I., Kossovskaya N. Yu. Yoneda algebra of the Liu-Schulz example // тезисы докладов Международной алгебраической конференции, посвященной памяти 3. И. Боревича. — СПб, 2002. — С. 95-96.

34. Gerstenhaber М. The cohomology structure of an associative ring // Ann. Math. 1963. - Vol. 78. - P. 267-288.

35. Han Y. Hochschild (co)homology dimension. arXiv:math.RA/0408402.

36. Han Y., Xu Y. Hochschild (co)homology of exterior algebras // Preprint.

37. Han Y., Xu Y. Hochschild cohomology of special biserial algebras // Preprint.

38. Happel D. Hochschild cohomology of finite-dimensional algebras // Springer Lecture Notes in Math. 1989. - Vol. 1404. - P. 108-126.

39. Holm Th. Hochschild cohomology rings of algebras kX]/(f) // Beitrage Algebra Geom. 2000. - Vol. 41, M. - P. 291-301.

40. Holm Th. The Hochschild cohomology ring of a modular group algebra : the commutative case / j Commun. Algebra. — 1996. — Vol. 24. — P. 1957-1969.

41. Holm Th. The even Hochschild cohomology ring of a block with cyclic defect group // J. Algebra. 1995. - Vol. 178. - P. 317-341.

42. Holm Th. Hochschild cohomology of tame blocks // J. Algebra. — 2004. — Vol. 271. P. 798-826.

43. Jiang W., Han Y., Xu Y. Hochschild cohomology of truncated quiver algebras // Preprint.

44. Liu Sh., Schulz R., The existence of bounded infinite DTr-orbits // Proc. Amer. Math. Soc. 1994. - Vol. 122, №4. - P. 1003-1005.

45. Locateli C.M. Hochschild cohomology of truncated quiver algebras j j Comm. Algebra 1999. - Vol. 27. - P. 645-664.

46. Ringel C.M., The Liu-Schulz example j j in: Representation theory of algebras, CMS Conf. Proc., AMS. 1996. - Vol. 18. - P. 587-600.

47. Schulz R. A nonprojective module without self-extensions // Arch. Math., Basel 1994. - Vol. 62, M. - P. 497-500.

48. Schulz R. Boundedness and periodicity of modules over QF rings // J. Algebra. 1986. - Vol. 101, №2. - P. 450-469.

49. Siegel S. F., Witherspoon S. J. The Hochschild cohomology ring of a group algebra // Proc. London Math. Soc. 1999. - Vol. 79. - P. 131-157.

50. Smal0 S.O. Local limitations of the Ext functor do not exist // Bull. London Math. Soc. 2006. - №1. - P. 97-98.

51. Xu Y. On the first Hochschild cohomology of trivial extensions of special biserial algebras // Sci. China (Ser. A). 2004. - Vol. 47. - P. 578-592.

52. Zhang P. Hochschild cohomology of truncated basic cycle // Sci. China (Ser. A). 1997. - Vol. 40. - P. 1272-1278.