Гомологии Хохшильда и продолжения структур A∞-алгебр и A∞-модулей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Ладошкии Михаил Владимирович

ГОМОЛОГИИ ХОХШИЛЬДА и ПРОДОЛЖЕНИЯ СТРУКТУР

Лос-АЛГЕБР И Лос-МОДУЛЕЙ

специальность 01.01.ОС — математическая логика, алгебра и теория

чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степешг кандидата физико-математических наук

Ульяновск - 2000

Работа выполнена па кафедре алгебры и геометрии государственного образовательного учереждепня высшего профессионального образования

Мордовский государственный университет имени Н.П. Огарева

Научный руководитель: кандидат физико-математических паук, доцент

Лаггнп Сергеи Валерьевич Официальные ониопенты: доктор физико-математических паук,

профессор Голод Евгений Соломонович, кандидат физико-математических паук, доцент Самойлов Леонид Михайлович.

Ведущая организация: Московский государственный институт электронной техники (Технический университет).

Защита состоится 13 декабря 2000 года в 12 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 212.278.02 при ГОУВПО Ульяновский государственный университет но адресу: Университетская набережная, 1, ауд.703.

Отзывы по данной работе просьба направлять по адресу: 432000, г.Ульяновск, ул.Л.Толстого, 42, УлГУ, Управление научных исследований.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ульяновского государственного университета.

Автореферат разослан " "ноября 2000г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Веревкин А.Б.

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Нас тоящая диссертация посвящена изучению возможности продолжения структуры Лэо-алгебры и Доо-модуля над Д^-алгеброй. Впервые понятие Лоо-структуры был получено Сташеффым при изучении алгебраических структур на топологических пространствах1. Л^-структуры стали следующим шагом на пути изучения многоместных операций после произведений Массн. Эти операции, появившиеся в работах Мэя2, Бабенко и Тайманова3, были получены при изучении гомологнй н спектральных последовательностей, однако проблемой являлась их многозначность и частичная определенность. Рассмотрение Л^-структуры позволяет избавиться от подобного неудобства, при этом значения высших умножений в Л^-алгебре па элементах, для которых определено произведение Массн, совпадает с ним. Алгоритм перехода от произведений Массн к Л,^-алгебрам можно найти, например, в [1]. Нетривиальные высшие произведения Массн были найдены на кольцах многогранников1. Таким образом, Лоо-алгебры могут быть рассмотрены как упорядочение структуры произведений Массн. С другой стороны, в малых размерностях соотношения Сташеффа для Лос-алгебры соответствуют условиям ассоциативности и формуле Лейбница, Таким образом, можно считать Лос-алгебру обобщением понятия алгебры,

Лоо-алгебры были применены Кадеишвили5 для описания гомологий дифференциальных модулей и дифференциальных алгебр. Им же было определпо понятие Л^-модуля над Л^-алгеброй, явившееся обобщением понятия модуля над алгеброй. После этого возник вопрос о количестве структур Лоо-алгебры на данной дифференциальной или градуированной алгебре. Для изучения этого вопроса использовался комплекс Хохшильда для алгебр6,7. Основную роль при изучении возможностей

'Staslicff J.D. Ilomotopy associativity of II-space, 1, 2 // Trans.Anier. Matli.Soc., 19G3, 108:2, p 275-313.

2May J.P. Matric Massey products // Journal of Algebra. 19G9. V.12, p. 533-5G8

3Babenko I.K., Taimanov I.A. Massey products in simpletic manifolds // Sb. Math. 2000. V.191. p. 1107-1146

'Бухштабер B.M., Панов Т.Е. Торииеские действия в топологии и комбинаторике. М., МШШО, 2004.

5Кадеишипли Т.В. К теории гомологнй расслоенных пространств // УМН. 1980. Т. 35. выи. 3(213). с. 183-188.

6Gcrstenhabor М. The homology structure of an associative ring // Ann. of Math., 4(1963), 267-288.

7Barr M. Harrison homology, Ilochscliild homology ami triples // Journal of algebra,

продолжения играли скрещивающие коцепи, введенные Брауном8, а для комплекса Хохшильда - Бсрикашвилн9. Было показано, что гомологии комплекса Хохшильда отвечают за возможность нетривиального продолжения структу!»ы алгебры до структуры Лоо-алгсбры, а именно, если гомологии Хохшильда равны нулю, начиная с некоторой размерности, то любая структура продолжения Лоо-алгебры изоморфна тривиальной10,11. Комплекс Хохшильда в последнее время стал применяться для решения различных задач и алгебраической топологии и матемагической физике12,13. Вопрос существования нетривиального продолжения структуры Лаа-модуля над Лос-алгеброй стал особо актуален, когда описание ценного комплекса тотального пространства расслоений через цепные комплексы базы и слоя, являющееся одной ira старейших задач алгебраической топологии1"1, стало формулироваться в терминах Л^-структур, что было проделано Кадсншвнлн и Санеблндзе, описавшими эту структуру с номощыо понятия гомотопической алгебры Жерстеихабера15,1".

Целыо работы является:

1. Построение комплексов Хохшильда для модулей над алгебрами, Л .^-алгебр и для Л.^-мо^улен над Л^-алгебрами.

2. Установление свя зей между гомологнялш комплексов Хохшильда н возможностью нетривиального продолжения указанных структур.

8(19ßS), 3X4-323.

8Braun Е. Twisted Tensor Products. Aim. of Math. 1959. V.69. P.223-246.

"Бприкашвили H.A. Дифференциалы спектральной последовательности // Труды ТОлл. Матем. ин-та им. A.M. Размадзе. 197G. Т. 51. С. 1-105.

10KadeisliviU Т. A,-x>-algebra structure and cohomology of Hochshild alid Harrison // Proc. of Tbil. Math. Inst. 1988.V. 91.P.19-27.

11 Смирнов B.A. Функтор D для скрещенных тензорных произведений // Математические заметки, 1976, Т. 20, N 4, С. 4G5-472.

12Sitarz A. Twisted Hodjschild homology of quantum hyperplanes // K-Theory, 35, 2001, no.1-2, 187-192.

13Hadfield T., Kramer U. On the Hochschild homology of quantum SL(N) // C.R. Acad. Sei. Paris, 343(2000), 9-13.

'"'Milnor J. On spaces having the gomotopy type of a CW-complex // Trans. Amer. Math/Soc.< 90, no. 2(1959), 272-2S0.

"Kadeislivili T., Saneblidze S. On a multiplicative model of a, fibration // Bull. Georg. Acad. Sei. 153,3. 199G, 345-34G.

'"Kadeishvili T. Cochain operations defining Steenrod U.-products in the bar const ruc-nion // arxivmiath. AT/0207010.

Основная методика выполнения исследований.

При построении конструкций комплексов Хохшпльда для модулей над алгебрами используются аналогичные построения для комплексов Хохшпльда для ал г сор. При доказательстве теорем используются основные определения и соотношения Сташеффа для Л^-модулей над Л ^-алгебрами. При рассмотрении примеров используются построения, связанные с понятием колен; граней простых многогранников. Используются комбинаторные соотношения.

Достоверность результатов.

Достоверность результатов диссертационного исследования обеспечивается строгостью постановок задач и математических методов нх исследования.

Новизна результатов.

Все основные результаты являются новыми и состоят в следующем:

1. Построен комплекс Хохшпльда для модулей над алгебрами.

2. Построен комплекс Хохшпльда для Лоо-алгебр и Л ^-модулей над Лоо-алгебрамн.

3. Установлена связь между гомологиями Хохшпльда построенных комплексов и структурой множества продолжений модален над алгебрами, Лэс-алгебр и Л^-модулей над Лсс-алгебрамп.

Практическая и теоретическая ценность.

Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в вычислительных задачах алгебраической топологии при описании топологических объектов и их свойств в терминах Лоо-стру-ктур.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Построение комплекса Хохшпльда для модулей над алг ебрами.

2. Построение комплекса Хохшильда для Л^-алгебр н Д^-модулей над Л ^-алгебрами.

3. Условие и зоморфизма любого продолжения модулей над алгебрами, Лж-алгсбр и Лоо-модулей над Л^-алгсбрамн тривиальному в терминах гомологии Хохпшльда.

4. Приложение полученных результатов в некоторых вычислительных задачах.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на

1. X научной конференции молодых ученых,аспирантов и студентов Мордовского Государственного университета имени Н.П. Огарева (Саранск, 2005),

2. семинарах кафедры алгебры и геометрии Мордовского Гоеуда ] >-сгвенного Университета (Саранск, 2001),

3. международной научной конференции "Топологические к вариационные методы нелинейного анализа и их приложения "(Воронеж, 2005).

Личный вклад.

Постановка задачи и идея метода решения предложены научным руководителем. Доказательства и построения осуществлялись автором самостоятельно.

Публикации.

Результаты диссертации изложены в работах |1|~[ 1|.

Объем и структура диссертации.

Диссертация объемом 90 страниц состоит из введения, трех глав, списка литературы из 56 наименований и списка публикаций автора на тему диссертации из 4 наименований.

е

Содержание работы

Основные теоретические результаты работы сформулированы в теоремах 2, 4, 5, вычислительные - в теоремах 3, б (нумерация утверждений в диссертации иная).

Во введении обоснована актуальность темы диссертации.

В первой главе вводятся основные определения, которые используются в дальнейшем, а также приводятся основные конструкции, применяемые в диссертации.

Аж-алгеброй называется градуированный модуль А над полем К, снабженный набором операций {)(!,} : Л®1 —> А, г > 1, которые удовлетворяют следующим условиям:

т,:((Л»%) С А,-Ц_2| » > 2,

® ... ® 1 ® т,- ® ... ® 1) = 0.

з

Морфизмом Лоо -алгебр из Л:х,-алгебры (А, {»»¡}) в другую Лос-алгеб-ру (Л', {'«',}) называется семейство гомоморфизмов {/, : Л5*' —» Л'}, г ^ 1, удовлетворяющее следующим условиям:

ша®%) с »> 1

@ .. л ® т3 ® ... ® 1)+

з

+ Е т',(Л, ® • • • ® /*,):

Лос -модулем над Ах -алгеброй (Л, {т*}) называется градунрован-ный модуль А/, снабженный набором действий {р; : ЛК"®Л/ —» А/} г > 0, которые удовлетворяют следующим условиям:

р., : ((Л®' ® А/),) С А/,+4_ь Т,(-1)ки+1)+*Рг-)+1{1 ® • • • 1 ® Ш, ® . . . ® 1) +

+ Е(-1)(,'"1)а_1)^(1 ® - • • ® 1 ® = о,

Морфизмом Л0о- модулей (Л/, {/>;}) и (А/', {/>;}) соответственно над Ло^-алгебрами (Л, {»»;}) и (Л', {яг$}) называется пара семейств гомомор-фпзмов {/, : Л®' Л'}, {д, : А*4 ® А/ А/'}, I > 0, где {/;} - морфизм

Лоо-алгсбр, которые удовлетворяют следующим условиям:

® М)„ С Л/^,

® ... ® 1 ® т^- ® ... ® 1)+ + Е(-1)Л<+1)+1Л->(1 ® • • • ® Р})+

+ Е (-1 )к*+к4+~р',(/ь1 ®... ® л,_1 ® Як,).

Коцеппой комплекс Хохшильда (С*(Л, Л),<5) определяется следующим образом:

С"{А, А) = Л) = Нот^А*", А),

кограшгшын оператор <5: СП(Л, Л) —» С"+1(Л, Л) следующей формулой

6/ = тг(1 ® /) + ® ® зг ® 1) + (-1)п+1я-(/ ® 1),

в которой суммирование идет но местам с номером г , на которых стоит тт. Основным результатом при построении комплекса Хохшильда алегбр является следующая теорема.

Теорема 1. Если для градуированной алгебры Л с умноженном я- все гомологии Хохшильда ПосЬ,("'2~и\Л, А) — 0 для п ^ 3, то любая структура Лоо-алгебры па Л (такая что Ш) — 0, т2 = 7г) будет эквивалентна тривиальной.

Во второй главе строится комплекс Хохшильда для модулей над алгебрами. Будем называть комплсксоль Хохшильда 5"*(Л, М) для модуля М над алгеброй А комплекс, определяемый следующими условиями:

5"(Л,Л/) = Л/),

п,к

где

5П,'(Л, М) = Нотк(А®п 0 М, М), дифференциал 6 : 8п'к(А, М) —> 5'Г1+1,*(Л, М) определяется формулой

6/= (-1)"+1//(1 ® /) + ]Г('/(1 ® ... ® 7Г ® ... ® 1) + /(1 ® ... ® /О-

Рассмотрим умножения на 5*(Л, М), определяемые формулами

/ид = (-1)С"+'"-2)'т-1)/(1 ® ... ® 1

7 Ui а = ® ... g 1 ® (l ® ... ® 1) .

Ha комплексе S*(A, M) введем понятие »-элемента для каждой скрещивающей коцепи комплекса С*(Л, Л). Элемент вида m = ■ш2'~1+ш'!'~2+ ... 4- + ..., w''l-t 6 St'i~'(A, M) будем называть а-элсментом, если

выполняется условие

—8т = m U m + m Ui а.

На множестве всех а-элемеитов комплекса Хохшильда можно ввести отношение эквивалентности следующим образом: два я-элемснта m и т' будем называть эквивалентными и обозначать m ~ т', если существует элемент t = f1 + t2'2 + ... + + ..., ii,-< € M) такой, что

m - m' = + t Ui a + m' U< + iUm.

Доказывается, что множество всех «-элементов, нрофакторизовап-пое по отношению эквивалентности, биективно множеству всех структур Лео-модулей над Л^-алгеброй, определяемой скрещивающей коцепью а. Основной результат, полученный во второй главе, сформулирован в следующей теореме.

Теорема 2. Если гомологии комплекса Хохшильда для модулей над алгебрами 7/п'1_"(5*(Л, А/)) = 0 при п > 1, то любое продолжение до структуры Л ^-модуля па M над фиксированной Дх-алгсброн Л эквивалентна трн впал ыюй.

В конце главы приводятся вычисления для колец граней простого многогранника, основной вычислительный результат главы сформулирован в теореме.

Теорема 3. Для кольца граней к[Р] простого многогранника Р любое продолжение структуры модуля над алгеброй многочленов Р[п] до структуры Дос-модуля над Р(п] изоморфно тривиальному.

В третьей главе результаты работ Каденшвнлн17, Смирнова18 и Бе-рнкашвили 10, а также полученные во второй главе, обобщаются на случай Лоо-алгебр и Доо-модулей над Доо-алгебрамп. Будем рассматривать дифференциальную Л.^,-алгебру Л с конечным числом нетривиальных высших умножений m,-, то есть Л^-алгебру Л, для которой существует фиксированное м € N, для которого выполняется условие гщ = 0 при

"KadcUhvili T. yl^-algcbra structure and cohomology of llochsliild alid Ilarrison // Proc. of Tbil. Math. Inst. 19SS.V. 91.P.19-27.

''-Смирнов Б.А. Функтор D для скрещенных тензорных произведений // Математические заметки, 197G, Т. 20, N 4, С. 465-172.

|эЕерикшциилн II.A. Дифференциалы спектральной последовательности // Труды Тбнл. Мате.м. пп-та им. А.М. Размадао. 1976. Т. 51. С. 1-105.

i > п. В качестве тi будем рассматривать дифференциал в алгебре. Комплексом Хохшильда для AXJ-алгебры А, который будем обозначать С00(Л, Л), будем называть

Нот(ВА, Л) = ФНот" (В А, А),

где Нотп(ВА, А) = {/ : ВЛг —» Л{+„}, с введенным на нем дифференциалом <5 : Нот" [ВА, Л) —» Нотп~1(ВА,А) определяется формулой

Sf = /(1 ® • - • ® 1 ® m< ® 1 ® - • • ® !) +' '"'С1 ® • • • ® / ® ■ ■ • ® !)•

z >

Отметим, что элемент / е Нот"(ВА, А) есть набор отображений {/,}, fi : (А®г)ч —» Aq+i+n, каждое из которых действует со своего "этажа" тензорного произведения Л®п. Градуировка тензорных степенен в данном случае рассматривается как градуировка в ^-конструкции. Отображения /, будем называть в дальнейшем компонентами отображения /. Заметим также, что тождественное отображение Id, определяемое условиями Idi = id, Idь = 0, при k > 1 принадлежит Нот~х[ВЛ, Л). Введем умножение Ui на комплексе Хохшильда для Л^-алгебр Сос(А, Л) по следующему правилу:

Ut : {СХ{А, А) ® С^А, Л))' -4 С»1 {А, Л),

/ Ui g = £ /(1 ® • • • ® 1 ® 9 ® 1 ® • • ■ ® 1).

где f,g € Сос(Л,Л), суммирование ведется по всем местам, на которых может стоять д, а также по различным компонентам элементов /, д, которое может обобщено в виде операций:

U* : ((СоДЛ, Л))®*+1)< - С£к{А,А) / UÍ (гд, <72, ■ • •, дк) = £ /(1 ® ■ ■ ■ ® 1 (S> </i ® 1 ® - -. ® 1 ® £г2® ®1 ® ... ® 1 ® дк ® 1 ® ... ® 1),

где /• <7 6 Соо(Л, Л), а суммирование ведется по всем местам, на которых может стоять <]\, д?, а также по различным компонентам элемен-

тов f,gi,g2,...,дк-

Введем на комплексе Хохшильда для Л ^-алгебр СЖ{А, Л) понятие скрещивающей коцепи. Элемент д 6 С'^(А.Л) будем называть скрещивающей коцепью, если выполнены следующие условия:

1. gi = 0 если i < п + 1,

&а — и Ui д.

Множество всех скрещивающих коцепей в комплексе Хохшнльда для Дж-алгсбр Сои(А,Л) будем обозначать Toj(C<x(A, А) ). Введем на этом множестве отношение эквивалентности. Две скрещивающих коцепи д и (/ будем называть эквивалентными и обозначать д ~ г/, если существует элемент / 6 С^(А.А), удовлетворяющий условиям:

1. Л = id

2.

¿/ + 2>и< (/>•■•>/) + / ui // ui (/>•••;/) = i>2 ¡>1

Доказывается, что между фактор-множеством всех коцепей но отношению эквивалентности и множеством всех продолжений Л^-модуля существует бнекцня.

Аналогичные построения проводятся в третьей главе н для Д^.-мо-дуля над Лэо-алгоброй. Мы будем рассматривать только Аоо-модулн над Лос-алгебрамн, у которых только конечное число высших умножений отлично от пуля. Пусть М - Дос-модуль над Д^-алгеброй с конечным числом высших действий р», отличных ог нуля, то есть существует н, такое /по pi = 0 г > п.

Комплекс Hom(I3M, М), градуированный степенями отображений, будем называть кгшплексом Хохшнльда для Аса-модуля М и ад А брой А и обозначать СЖ(А, М). Дифференциал в этом комплексе определим формулой :

5f = Е /(1 ® • ■ • ® 1 ® т{ ® 1 ® ... ® 1)+

I

где суммирование в пер1шм слагаемом ведется, кроме указанного, также по всем местам, на которых может стоять высшие умножения т,, определяющие структуру Лте-алгсбры. Введем на С „¿{Л, М) операцию Uj : Соо(Л, Л/) ® Сил, М) —* С,Х;(А, М) стенснн —1 по следующему правилу:

fuig = ®...® i

Элемент h 6 С^(А.М) будем называть скрещивающей коцепью, если выполнены следующие условия:

1. /г; = 0 если г < п + 1,

2.

6!I = к и! к.

Введем на множестве всех скрещивающих коцепей Тш(Соо(А, Л/)) отношение эквивалентности. Две скрещивающих коцепи к и к' из данного множества То;(С00(Л, Л/)) будем называть эквивалентными и обозначать к ~ к', если существует элемент I € М), удовлетворяющий условиям:

1. /, = ¿(1

2.

61 + 1и1к + к' иг1 = 0.

Доказывается, что между фактормножеством всех коцепей но отношению эквивалентности и множеством всех продолженп Лэо-модуля существует биекция.

Основные теоретические результаты главы сформулированы в следующих теоремах.

Теорема 4. Если //_2(С00(Л, Л)) — 0, то любая структура продолжения фиксированной Л^-алгебры эквивалентна тривиальной.

Теорема 5. Если //~2(Соо(Л, М)) = 0, то любая структура продолжения фиксированного Л^-модуля М над заданной Л ¡^-алгеброй Л эквивалентна тривиальной.

В конце главы приводятся применение данных конструкций к вычислениям. Рассматривается случай фактор-алгебры со стандартной структурой модуля. Основной вычислительный результат сформулирован в следующей теореме.

Теорема 0. Пусть Л - коммутативная алгебра, Л — идеал в ней, К — фактор-алгебра A/J, рассматриваемая как модуль над Л со стандартным действием //,: А 0 К —» К, определяемым проекцией А на К. Тогда на К любое продолжение структуры модуля над Л до структуры Л ¡^-модуля над Л изоморфно тривиальному.

Основные выводы.

1. Построен комплекс Хохшильда для модулей над алгебрами.

2. Построены комплексы Хохшильда для Л^-алгебр и Лс-модулей над Лоо-алгебрами.

3. Описано условие изоморфизма любого продолжения модулей над алгебрами, Л^-алгебр и Л^-модулей над Л^,-алгебрами тривиальному в терминах гомологий Хохшильда.

4. Приведены примеры использования полученных результатов в различных вычислительных задачах.

Публикации автора по теме диссертации в журналах, входящих в список ВАК.

[1] Ладошкин М.В. Л.^-модули над Л^-алгебрами к когомологни комплекса Хохшильда для модулей над алгебрами // .Математические заметки. т 79, вып.5, май 200G.C.717 -728.

Публикации автора по теме диссертации в журналах, не входящих в список ВАК.

[2] Ладошкин М.В. Матричное произведение Маосн и Л »-алгебры па когомологпях топологических пространств// Динамика систем и управление. Саранск,издательство Мордовского университета, 2003. С. 98-103.

[3] Ладошкин М.В. Лоо -ситуация Эйлепбсрга-Зильберга в ка-тегорни -коалгебр // Методы возмущений в гомологической алгебре и динамике систем: Межвуз. сб. науч. тр. Саранск: Изд-во Мордов. ун-та, 2004. - С. 21- 29.

[4} Ладошкин М.В. Л.^ -структуры на пространствах многочленов // Материалы X на-учной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов Мордовско-го государственного университета имени Н.П. Огарева. 42. - Саранск: Изд-во Мордов. ун-та, 2005. С 170-172.

Бумага офсетная. Формат 60x84 1/16. Гарнитура Тайме. Печать способом ризографии. Усл. печ. л. 0,93. Уч.-изд. л. 1,12. Тираж 100 экз. Заказ № 524.

Отпечатано с оригинала-макета заказчика в салоне оперативной печати ООО "Бьюти" 430000, г. Саранск, ул. Советская, 22. тел. (8342) 24-84-44, 24-84-45

0.1 Введение

1 Необходимые определения, конструкции и теоремы

2 Комплекс Хохшильда для модулей над алгебрами и Лоомодули над Аоо-алгебрами

2.1 Комплекс Хохшильда для модулей над алгебрами

2.2 Когомологии комплекса Хохшильда для модулей над алгебрами

2.3 Лоо-модули над Л^-алгебрами и когомологии комплекса Хохшильда для модулей над алгебрами.

2.4 Примеры использования комплекса Хохшильда для модулей над алгебрами для описания структур Лоо-модулей над Лоо-алгебрами.

2.5 Применение комплекса Хохшильда для модулей над алгебрами при исследовании структур Л^-модулей над Лоо-ал-гебрами в случае, когда Л^-алгебры не совпадают.

3 Комплекс Хохшильда для Лоо-алгебр и Л^-модулей над

Лоо-алгебрами

3.1 Комплекс Хохшильда для градуированной Лоо-алгебры

3.2 Скрещивающие коцепи комплекса Хохшильда для Лоо-ал-гебры и связь структуры множества эквивалентных коцепей с гомологиями этого комплекса.

3.3 Продолжения Лоо-алгебры и когомологии комплекса Хохшильда Соо(Л, Л) для Лоо-алгебры.

3.4 Конструкция комплекса Хохшильда для Лоо-модулей над Лоо-алгебрами и связь с продолжениями.

3.5 Продолжение модуля над алгеброй для случая, когда модуль является фактор-алгеброй.

Изучение различных алгебраических структур на топологических пространствах является одним из основных вопросов алгебраической топологии. Необходимо рассматривать связь свойств алгебраических структур, вводимых на топологических пространствах с чисто топологическими свойствами самих пространств.

Лоо-структуры. Изучение топологических пространств (Аг, е) с умножением, относительно которого е является гомотопической единицей (Я-пространств), привело Сташеффа в [54] к рассмотрению топологических моноидов, то есть Я-пространств со строгой единицей и ассоциативностью умножения. Были получены результаты о том, что с топологической точки зрения моноиды являются пространсвами петель, которые, в свою очередь, эквивалентны топологическим группам [28], [48], [29]. Однако структура моноида, как и гомотопической группы, обладает существенным недостатком - она не является гомотопически устойчивой, то есть если существует гомотопическая эквивалентность моноида М и множества X, то это не означает, что на X можно ввести структуру моноида, которая была бы гомотопически эквивалентна такой структуре на М. Бедность структуры Я-пространства, являющегося естественным гомотопическим аналогом моноида, побуждало искать более богатые структуры. Такие структуры нашел Дж. Сташефф [53], введя понятие Лоо-пространства. Частыми случаями этих пространств являются ^„-пространства, причем при п = 2 это пространства со строгой единицей, при п = 3 - гомотопически ассоциативное пространство со строгой единицей, и так далее. Важным фактом явилось то, что Лоо-простран-ства явились гомотопически эквивалентны моноидам. Для того, чтобы пространство обладало структурой Лоо-пространства, необходимо и достаточно, как показано в [55], чтобы оно было гомотопически эквивалентно некоторому пространству петель. Вместе с этим были введены понятия Лоо-отображений, которые являются морфизмами в категории Лоо-пространств.

Одним из существенных недостатков построенной конструкции являлось то, что клеточные разбиения шаров, моделирующие Лоо-отобра-жения топологических моноидов, устроены настолько сложно, что получить с их помощью достаточно глубокие результаты не удается. Например, доказательство результата Фукса [30] о том, что гомотопическая эквивалентность между моноидами тогда и только тогда является Лоо-отображением, когда обратная эквивалентность также представляет собой Лоо-отображение, оказалось настолько сложным, что даже не было опубликовано. Попытки решения технических проблем, возникающих при рассмотрении Лоо-нространств и Лоо-отображений, предпринимались неоднократно, в частности, в работах Бордмана и Фогта [24], [23], где был предложен другой подход к построению Л^-отображений, основанный на идеях категорией алгебры и физики.

Тем не менее решить указанную проблему удалось только после перехода от топологических пространств к их цепным комплексам. На пути описания этих конструкций первоначально и появилось понятие Лоо-алгебры. В неявном виде она уже была получена Сташеффым в [53], и именно поэтому традиционно считается, что именно он построил эту структуру, но окончательно порядок в определениях и построениях был наведен только в работе Кадеишвили [5]. В ней были даны строгие определения Лоо-алгебры и морфизма Лоо-алгебр, а также построено обобщение этих конструкций па случай модулей, то есть дано определение Лоо-модуля над Лоо-алгеброй и морфизма Л^-модулей над Лоо-алгебрами. Отметим, что в работе [5] понятие Лоо-алгсбр и Лоо-модулеЙ было получено при описании гомологий цепных комплексов. Там же были получены следующие результаты.

Теорема 1.1. Если Л - дифференциальная алгебра над полем , то на ее гомологиях Я* (Л) имеется структура градуированной Лоо-алгебры, гомотопически эквивалентной исходной алгебре Л. С точностью до изоморфизма в категории Л^-алгебр указанная структура Лоо-алгебры на Я* (Л) единственна.

Теорема 1.2. Если М - дифференциальный градуированный модуль над дифференциальной градуированной алгеброй Л, то на гомологиях этого модуля Я»(М) имеется структура градуированного Лоо-модуля над градуированной Лоо-алгеброй, гомотопически эквивалентного исходному модулю М. С точностью до изоморфизма в категории Л^-модулей над Лоо-алгебрами указанная структура на Я* (М) единственна.

Если рассматривать соотношения Сташеффа для алгебр в малых размерностях, то будут получены условия ассоциативности для произведения и правило Лейбница связи умножения с дифференциалом. На третьем шаге рассмотрения мы получим условие гомотопической эквивалентности между ассоциативностями. В связи с этим иногда Лоо-структуру называют гомотопически размазанной ассоциативностью.

Другой подход к получению структуры Лоо-алгебры может быть получен при рассмотрении высших произведений Масси. Эти операции были описаны в когомологиях топологических пространств (не важно, будут ли эти когомологии сингулярные, или, скажем, клеточные). Построение этих умножений описано, например, в работе Мэя [46], где строится матричный способ построения всех произведений, или в книге Фоменко А.Т. и Фукса Д.Б. [19], где описывается их общее построение. Оказывается, что гомологии с рациональными коэффициентами, заданные вместе с обычным умножением и бесконечной последовательностью умножений Масси, определяют ранги гомотопических групп в односвязном случае. Этот вывод вытекает из теории минимальных моделей Сулливана.

При рассмотрении произведений Масси возникают две значительные трудности. Первая связана с тем, что произведения Масси определены не для всех элементов в классах когомологий. Вторая, и основная трудность связана с многозначностью произведений Масси, а именно с тем, что эти операции принимают значения на класах когомологий, причем неоднозначно. Таким образом, все соотношения между произведениями описывались в терминах вхождения одного множества в другое. Однако существует алгоритм, по которому па исходной алгебре можно построить А^,-алгебру, если на гомологиях определены все высшие произведения Масси ( например, матричные). Полученная структура будет согласована с произведением Масси, то есть на элементах, для которых определены высшие произведения Масси, значения произведений будут совпадать (2). За время развития алгебраической топологии высшие нетривиальные произведения Масси были найдены на многих конструкциях, в частности в

2] они обнаружены на при изучении гомологий колец Степли-Райснера, или колец многогранников, с помощью комплекса Кошуля. Сами кольца граней являются важным объектом в теории торических действий [4],

3], [27]. В дальнейшем Лоо-структуры стали важным вычислительным средством в различных задачах алгебраической топологии. С одной стороны, введение Л^-структуры позволяет описывать множество при помощи меньшего числа образующих. Например, введение нетривиальной Лоо-алгебры на кольце многочленов от четырех переменных позволяет описывать это множество, зная только три образующих (4).

Еще один способ получения Л^-алгебры связан с введением понятия В-конструкции для алгебры. Само это понятие появилось еще в работах Брауна [25]. Позднее Кадеишвили показал, что введение на В-конструкции алгебры дифференциала, согласованного со стандартным коумножением, равносильно введению на исходной алгебре структуры Лоо-алгебры [38]. В работах Смирнова были построены Б-конструкции для Лоо-алгебры и, двойственным образом, для Лоо-коалгебры.

С другой стороны, в некоторых случаях введение Лоо-структур необходимо, поскольку появляющиеся при изучении различных топологических конструкции содержат элементы, которые не могут быть выражены через известные с помощью конструкций алгебры или модуля над алгеброй. В частности, такая ситуация возникает при рассмотрении членов спектральных последовательностей гомологий тотальных пространств расслоений в смысле Серра, а также при рассмотрении алгебры Стинрода.

На современном этапе Л^-алгебры и Лео-модули рассматриваются как наиболее простой пример адгебры над операдой. Само это понятие было введено Мэем в [47]. Структура алгебры над операдой Eqo, позже названной -Е^-алгеброй, была найдена Смирновым на коцепном комплексе топологического пространства [13]. Позднее .Е^-структуры были получены им же на гомотопических группах [11]. В настоящее время с помощью понятия операды были получены результаты из алгебраической топологии, теоретической физики и других. В частности, В. Гинзбургом и М. Капрановым было обнаружено, что операда скобок векторного пространства изоморфна как операда, операде Лоо [34]. При рассмотрении деформации алгебры над операдой случай алгебры над операдой Л^ ( то есть Лоо-алгебры) рассматривался Канцевичем как основной пример в [43]. Еще одним современным приложением Лоо-алгебр и Л^-модулей над Лоо-алгебрами явилась теория возмущений. Начало этой теории было положено в работе Гугенхейма В., Ламбе J1. и Сташеффа Д.[35]. Позднее в серии работ [7], [8], [9] Лапиным С.В. теория возмущений была применена к коалгебре Милнора, являющейся двойственной к алгебре Стипрода. При этом были описаны понятия Ц^-дифференциальной Л^-алгебры и коалгебры. Использование этих методов позволило указать метод построения Лоо-коалгебры на коалгебре Милнора непосредственно из дифференциалов спектральной последовательности Адамса. Двойственные результаты получены для алгебры Стипрода.

Комплекс Хохшильда. Рассмотрим вопрос появления и приложений комплексов Хохшильда. При изучение деформации алгебры, был построен комплекс Хохшильда для алгебр и установлена его связь с деформациями структуры алгебры [31]. Кроме того, позже комплекс Хохшильда был применен к изучению возмущений и деформаций, или, как сейчас принято называть, квантованию алгебраических структур [32]. В работе [37] при помощи комплекса Хохшильда изучались дифференциальные формы на регулярных алгебрах. Комплекс Хохшильда и его гомологии, называемые гомологиями Хохшильда, оказались полезны при изучении аддитивной алгебраической /^-теории - циклических гомологий и эрмитовой алгебраической Л"-теории - диэдральных гомологий [20], [45], [6]. Циклические гомологии, в свою очередь, оказались мощным средством при изучении групп псевдоизотопии компактных многообразий. В тех же работах было показано, что циклические гомологии определяют рациональный гомотопический тип в смысле Квиллина указанных групп псевдоизотопии, а при помощи диэдральных гомологий - рациональный гомотопический тип групп гомеоморфизмов компактных многообразий. Эти результаты позволили определить количество гладких структур на многообразиях с точностью до структур конечного порядка. Позднее комплекс Хохшильда стал применяться при изучении, например, квантовых групп [51], [36]. Непрерывный коцепиой комплекс Хохшильда был получен в [56] при изучении квазиизоморфизмов комплекса Хохшильда для алгебр и колец многочленов.

На комплексе Хохшильда были введены высшие умножения и действия, часть из которых обладает свойствами, аналогичными квадратам Стинрода [33]. Построенная структура, содержащая в себе структуру Лоо-алгебры, называется гомотопической (7-алгеброй, или гомотопической алгеброй Джерстенхабера. Она была применена Кадеишвили при описании высших квадратов Стинрода на В-конструкциях [40]. В [50] структура гомотопической алгебры Джерстенхабера была обнаружена на цепном комплексе Хохшильда регулярной алгебры.

Связь комплекса Хохшильда и Лоо-структур. Отметим, что изучение Лоо-структур имеет, кроме топологического, и чисто алгебраический интерес. Например, при исследовании какой-либо математической структуры выясняется, что она изоморфна ранее известной алгебре или модулю над алгеброй. Встает вопрос: после введения на изучаемом множестве структуры Лоо-алгебры или Л^-модуля над Лоо-алгеброй останется ли ли данная структура изоморфна ранее известной? При изучении подобных задач и возникла проблема продолжения алгебры до структуры Лоо-алгебры и модуля до структуры Лоо-модуля над Лоо-алгеброй. Важность именно такого подхода заключается в том, что Лоо-структура важна и интересна в том случае, когда в малых размерностях ее операции совпадают с операциями в алгебре или модуле.

При изучении преддифференциалов в спектральных последовательностях Берикашвили ввел функтор D из категории Л^-алгебр в категорию множеств с отмеченной точкой. Вычисление функтора D, получившего позднее название функтора Берикашвили, дает способ описания количества различных структур Лоо-алгебры на заданной алгебре, с точностью до изоморфизма. Дальнейшее развитие теория функтора Берикашвили и методы его вычисления были получены Смирновым в [18]. Предложенный способ описания числа продолжений алгебры до Лоо-алгебры являлся не очень удобным для вычислений. При решении этой проблемы Кадеишвили в [38] рассматривал комплекс Хохшильда для алгебры и получил следующий результат.

Теорема 1.11. Если для градуированной алгебры Л с умножением 7Г все гомологии Хохшильда HochSn'2~n\A,A) — 0 для n ^ 3, то любая структура Лоо-алгебры на Л ( такая что Ш2 = 7г) будет эквивалентна тривиальной.

Это утверждение, хотя и не дает условия изоморфизма множества продолжений алгебры до Лоо-алгебры с гомологиями Хохшильда (такой изоморфизм существует с некоторым подмножеством гомологий [17]), но является зачастую достаточным при вычислительных задачах, поскольку дает ответ на вопрос о том, стоит ли строить продолжение структуры алгебры или оно в любом случае окажется изоморфным тривиальному. При получении данного результата использовалась теория скрещивающих коцепей, общее определение которых давалось еще Брауном [25], а затем перенесено на случай комплекса Хохшильда Бериканшили и Ка-деишвили [1], [38].

Дальнейшее развитие теория продолжений получила при рассмотрении новых подходов к решению одной из старейших задач алгебраической топологии - выражению цепного комплекса тотального пространства расслоения через цепные комплексы базы и слоя. Существует гомотопическая эквивалентность между цепным комплексом тотального пространства и цепным комплексом слоя, однако она не является эквивалентностью дифференциальных алгебр. В работах Кадеишвили и Санеблдидзе [41], [42], [39] было получено выражение для структуры алгебры на цепном комплексе тотального пространства при помощи гомотопической алгебры Джерстенхабера. Поскольку Лоо-алгебры возникают на гомологиях цепных комплексов, то подобная задача возникает и при описании гомологий тотального пространства. При этом становится важным рассмотрение возможности продолжения уже структур Лоо-алгебры с конечным числом нетривиальных умножений.

Краткое изложение положений работы. Кратко изложим структуру и содержание представляемой работы. В первой главе перечисляются основные определения и теоремы, которые будут использованы в дальнейшем. Для некоторых конструкций приводятся подробные доказательства, в частности, это сделано для построения Лоо-алгебры по произведениям Масси в теореме 1.3. Для большинства теорем приводится только идея доказательства.

Во второй главе излагаются результаты исследования для случая модулей над алгебрами. Строится комплекс Хохшильда для модулей S*(A,M) следующим образом.

Определение 2.1. Будем называть комплексом Хохшильда S*(A, М) для модуля М над алгеброй Л комплекс, определяемый следующими условиями:

5*(Л, М) = ^ Sn'k(A, М), п,к где

Sn'k(A, М) = Нотк(Ат <g> М, М)

Вводится отображение, которое превращает множество S*(A,M) в коцепной комплекс, согласно определению 1.2.

Определение 2.2. Дифференциал S : Sn'k{A,M) Sn+hk(A,M) определяется формулой

5f = (-l)n+V(l ® /) + J](-l)i+n+1/(l ®. ® тг <g> . ® 1) + /(1 <8>. ® м)

Доказывается теорема 2.1 о том, что введенный в определении 2.2 дифференциал действительно является дифференциалом, то есть удовлетворяет условию й2 = 0. Рассматриваются ассоциативное умножение в комплексе Хохшильда для модулей U и действие на комплексе Хохшильда для модулей над алгеброй комплекса Хохшильда для соответствующей алгебры Ui. В утверждениях 2.1-2.3 определяются соотношения, связывающие введенные умножение и действия с дифференциалом в комплексе Хохшильда для модулей. Для комплекса Хохшильда для модулей над алгебрами строится теория а-элементов, аналогичная теории скрещивающих коцепей в комплексе Хохшильда для алгебр. Доказывается следующее утверждение.

Теорема 2.3. Если гомологии Хохшильда модуля М удовлетворяют условию: Hn~n+1(S*(A, М)) = 0 при п > 1, то D(A, М) = 0.

Связь между множеством всех структур Лоо-модуля на данном модуле и множества а-элементов определяется в теореме.

Теорема 2.4. Множества (А,М,р)(со)/ ~ и D(A,M) биективны.

Основной теоретический результат, полученный в первой главе, пред- • ставлен в теореме 2.5.

Теорема 2.5. Если гомологии комплекса Хохшильда для модулей над алгебрами Я"'1-"(5*(Л, М)) = 0 при п > 1, то любая структура Лоо-модуля на М над фиксированной Л^-алгеброй А эквивалентна тривиальной.

В конце главы приводятся примеры, показывающие применение построений в конкретных вычислительных задачах. Результаты этих вычислений сформулированы в двух утверждениях.

Следствие 2.1. На Z2[x, у] существует, с точностью до изоморфизма Лоо-модулей, только тривиальная структура Лоо-модуля.

Теорема 2.8. Для кольца граней к[Р] простого многогранника Р любое продолжение структуры модуля над алгеброй многочленов Р[п] до структуры Лоо-модуля над Р[п] изоморфно тривиальному.

Пятый параграф второй главы посвящен обзору того, как введение некоторых дополнительных структур на комплексе Хохшильда для модулей над алгебрами S*(A,M) позволяет описывать связь между а-эле-ментами, у которых их определяющие скрещивающие коцепи различны, хотя и лежат в одном классе эквивалентности в множестве D(A,A). Результаты, изложенные во второй главе, получены автором самостоятельно, являются новыми и выносятся на защиту.

В третьей главе конструкции комплекса Хохшильда и теории продолжений переносится на случай Лоо-алгебр и Лоо-модулей над Лоо-ал-гебрами. Приводится построение комплекса Хохшильда для Лоо-алгебр с конечным числом отличных от нуля высших умножений Соо(Л,Л) . Все построения в третьей главе ведутся над полем Z2.

Определение 3.1. Комплексом Хохшильда для Лоо-алгебры Л, который будем обозначать Соо(Л, Л), будем называть

Нот(ВА,А) = фНотп{ВА,А), где Нотп(ВА,А) = {/ : ВА> Ai+n}.

Определение 3.2. Дифференциал в комплексе Хохшильда Соо(Л, Л) 6 : Нотп(ВА,А) -> Нотп~1(ВА,А) определяется формулой б/ = /(1 ® . ® 1 ® mf ® 1 ® . ® 1) + т<(1 ® . ® / ® . ® 1). i i

В теореме 3.1 доказывается, что введенное в определении 3.2 отображение является настоящим дифференциалом. На комплексе Хохшильда для Лоо-алгебры вводятся умножения uf. Соотношения между ними и дифференциалом определяются в теореме 3.2. Теория скрещивающих коцепей для комплекса Хохшильда для Лоо-алгебр строится во втором параграфе третьей главы. Там же доказывается теорема о связи гомологий Хохшильда и с множеством всех скрещивающих коцепей.

Теорема 3.5. Если Н'^С^А^А) ) = 0, то D{A,A) = 0.

Связь между множеством продолжений структуры данной Лоо-алгебры и множеством скрещивающих коцепей определена в в следующей теореме.

Теорема 3.6. Множества (Л, {т*})(оо) и D(A,A) биективны.

Полученные результаты используются при доказательстве первого из двух основных теоретических результатов главы, сформулированного в следующей теореме.

Теорема 3.7. Если Н~2(Соо(А, Л)) = 0, то любая структура продолжения фиксированной Лоо-алгебры эквивалентна тривиальной.

Далее в этой же главе строится комплекс Хохшильда для Лоо- модулей над Лоо-алгебрами с конечным числом нетривиальных высших действий Соо(А,М).

Определение 3.9. Комплекс Нот(ВМ,М), градуированный степенями отображений, будем называть комплексом Хохшильда для Лоо-модуля М над Лоо-алгеброй Л и обозначать Соо(А,М).

Определение 3.10. Дифференциал в комплексе Хохшильда для Лоо-модулей Соо(А, М) определяется условием

Sf : Нотп(ВМ, М) Нотп~1(ВМ,М) и формулой:

5f = Е Л1 ® • • • ® 1 ® mi ® 1 ® • • • ® !)+ г

Е р<(1 ®.®1®/) + Е/(1®.®1® к), t=l г=1 где суммирование в первом слагаемом ведется, кроме указанного, также по всем местам, на которых может стоять высшие умножения rrii, определяющие структуру Лоо-алгебры.Доказывается теорема 3.8 о существовании дифференциала в комплексе Хохшильда Соо(Л, М). На полученном комплексе вводится ассоциативное умножение Ui, связь которого с дифференциалом определена в теореме 3.9, где показано, что это умножение удовлетворяет правилу Лейбница. При рассмотрении теории скрещивающих коцепей для комплекса Хохшильда для Лоо- модулей над Лоо-алгебрами получена следующая теорема о связи множества D(A, М) этих коцепей со структурой множества продолжений Лоо- модуля над Лоо-алгеброй (А/, {р;})(оо).

Теорема 3.10. Множества (М, {pJ)(oo) и D(A,M) биективны.

Использование приведенных условий делает очевидным второй основной теоретический результат главы, сформулированный в приведенной ниже теореме.

Теорема 3.11. Если Н~2(Соо(А, М)) = 0, то любая структура продолжения фиксированного Лоо-модуля М с конечным числом отличных от нуля высших действий над заданной Лоо-алгеброй Л эквивалентна тривиальной.

В конце главы приводятся результаты применения построений главы к конкретным вычислениям. Основной вычислительный результат формулируется в теореме.

Теорема 3.15. Пусть Л - коммутативная алгебра, J - идеал в ней, К - фактор-алгебра A/J, рассматриваемая как модуль над Л со стандартным действием ц : А® К -ь К, определяемым проекцией Л на К. Тогда на К любое продолжение структуры модуля над Л до структуры Лоо-модуля над Л изоморфно тривиальному.

Результаты, полученные в третьей главе, являются новыми и получены автором самостоятельно.

В заключении сформулированы полученные в диссертации результаты.

Заключение

В представленной работе решена проблема построения комплекса Хохшильда для модулей над алгебрами, Лоо-алгебрами и Лоо-модулями над Лоо-алгебрами. Аналогичные конструкции были ранее получены только для алгебр. Для каждого из рассматриваемых случаев построена своя теория скрещивающих коцепей или их аналогов - а-элементов. Даны определения продолжений рассматриваемых структур, сформулированы и доказаны утверждения о связи множества коцепей со структурой множества продолжений исследуемых объектов. Методы доказательства, используемые в работе, являются алгебраическими, сами доказательства опираются на определения, сформулированные в работе или данные ранее. Также используются утверждения, доказанные в ходе работы.

Основные теоретические результаты работы сформулированы для модулей в теореме 2.5, для Лоо-алгебры - в теореме 3.7, для Лоо-модуля над Лоо-алгеброй - в теореме 3.11. Они описывают достаточные условия того, что любое продолжение структуры модуля над алгеброй, Лоо-алгебры и Лоо-модуля над Лоо-алгеброй будет изоморфно тривиальному. Эти условия формулируются в терминах гомологий соответствующих комплексов, а именно равенства нулю в соответствующих размерностях. Условия являются хотя и не необходимыми, но достаточно легко вычисляемыми.

В диссертационной работе приведены примеры приложения данных конструкций к конкретным задачам. Результаты описываются теоремами 2.6, 2.8, 3.15. В них основными объектами исследования становятся кольца многочленов или их подмножества, рассматриваемые как модули,Лоо-алгебры и Лоо-модули над Лоо-алгеброй. ц Работа носит теоретический характер, ее результаты могут быть применены при исследовании алгебраических структур на топологических объектах. Результаты работы изложены в работах (1)-(4).

1. Берикашвили Н.А. Дифференциалы спектральной последовательности // Труды Тбил. Матем. ин-та им. A.M. Размадзе. 1976. Т. 51. С. 1-105.

2. Бухштабер В.М., Панов Т.Е. Торические действия в топологии и комбинаторике. М., МЦНМО, 2004. с. 33-45.

3. Бухштабер В., Рей Н. Торические многообразия и комплексные ко-бордизмы // Успехи мат. наук, 1998, т.53. вып.2, 139-140.

4. Винберг Э.Б. Дискретные линейные группы, порожденные отражениями // Изв. АН СССР, сер. матем. 1971, Т.35, 1072-1112.

5. Кадеишвили Т.В. К теории гомологий расслоенных пространств // УМН. 1980. Т. 35. вып. 3(213). с. 183-188.

6. Красаускас Р.А., Соловьев Ю.П. Рациноальная эрмитова К-теория и диэдральные гомологии // Изв. АН СССР, серия математическая, 1988, т.52, 935-966.

7. Лапин С.В. Дифференциальные возмущения и Дхз-дифференциаль-ные модули // Матем. сб. 2001. Т. 192. № 11. С. 55-76.

8. Смирнов В.А. Лоо-структуры и функтор D // Известия РАН, серия математическая, 2000, т. 64, N 5, с.145-162.

9. Смирнов В.А. Е'оо-структуры на гомотопических группах // Матем. заметки. 1997. т.61. 152-156.

10. Смирнов В.А. Алгебры Ли над операдами и их применение в теории гомотопий // Изв. РАН. Сер. матем. 1998. Т.62. № 3. С. 121-154.

11. Смирнов В.А. Вторичные операции в гомологиях операды Е // Известия РАН, серия математическая, 1992, Т. 49 449-468.

12. Смирнов В.А. Гомологии В-конструкций и ко-Б-конструкций // Известия РАН, серия матемаическая. 1994, T.58,N 4, 80-96.

13. Смирнов В.А. Гомотопическая теория коалгебр // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1985. Т. 49. № 6. С. 1302-1321.

14. Смирнов В.А. О коцепном комплексе топологического пространства // Матем. сб. 1981. Т. 115. N1. С. 146-158.

15. Смирнов В.А. Симплициальные и операдные методы в теории гомотопий. М.:изд-во "Факториал Пресс".2002.

16. Смирнов В.А. Функтор D для скрещенных тензорных произведений // Математические заметки, 1976, Т. 20, N 4, С. 465-472.

17. Фоменко А. Т., Фукс Д.Б. Курс гомотопической топологии. М., 1989. с 229-231.

18. Цыган Б.Л. Гомологии матричных алгебр Ли над кольцами и гомологии Хохшильда // Успехи матем. наук. 1983, т.38, 217-218.2Ц Babenko I.K., Taimanov I.A. Massey products in simpletic manifolds // Sb. Math. 2000. V.191. p. 1107-1146.

19. Barr M. Harrison homology, Hochschild homology and triples // journal of algebra, 8(1968), 314-323.

20. Bordman J.M., Vogt R. M., Homotopy-everything H-spaces // Bull.Amer. Math.Soc., 74, no 6(1968), 1117-1122.

21. Bordman J.M. Homotopy structures fnd the language of trees // Proc. Symp. in Pure Math., AMS, 22, (1971) 37-58.

22. Braun E. Twisted Tensor Products // Ann. of Math. 1959. V.69. P.223-246.

23. Bustamante J.C., Dionne J., Smith D. Hochild cohomology and fundamental group of pullback // arxiv:math:RT/ 0601215.

24. Davis M. Group generated by reflections and aspherical manifolds not covered by Euclidean space // Ann.of Math., 1983, v.117, 293-324.

25. Dold A., Lashoff R. Principial quasifibrations and fibre homotopy equivalence jf Bundles // Illinois J. of Math., 3, no.2(1959), 285-305.

26. Fuchs M. A modified Dold-Lashof construction that does classify H-principal fibrations // Math. Ann., 192, no4 (1971), 328-340.

27. Fuchs M. Verallgemeinerte Homotopie-Homomorphismen und klassi-fizierende Raume // Math. Ann., 161, no.3 (1965), 197-230.

28. Gerstenhaber M. The homology structure of an associative ring // Ann. of Math., 4(1963), 267-288.

29. Gerstenhaber M. On the deformations opf rings and algebras // Ann. of Math., 79,1 (1964), 59-103.

30. Gerstenhaber M., Voronov A. Higher operations on Hochshild complex // Functional Annal. Appl., 20(1995),1-6.

31. Ginzburg V., Kapranov M. Koszul duality for operads // Preprint, North-western University, 1993.

32. Gugenheim V.K.A.M., Lambe L., Stasheff J.D. Perurbation theory in differential homological algebra II // Illinois J. Math. 1991. v.35. no 3. 357-373.

33. Hadfield Т., Kramer U. On the Hochschild homology of quantum SL(N) // C.R. Acad. Sci. Paris, 343(2006), 9-13.

34. Hochschild C., Kostant B. Differential forms on regular affine algebras // Trans. Amer. Math. Soc. 102(1962), 383-408.

35. Kadeishvili T. Лоо-algebra structure and cohornology of Hochshild ahd Harrison // Proc. of Tbil. Math. Inst. 1988.V. 91.P.19-27.

36. Kadeishvili Т., Saneblidze S. A cubical model for a fibration // arxiv:math. AT/0210006.

37. Kadeishvili T. Cochain operations defining Steenrod U;-products in the bar construcnion // arxiv:math.AT/0207010.

38. Kadeishvili Т., Saneblidze S. On a multiplicative model of a fibration // Bull. Georg. Acad. Sci. 153,3. 1996, 345-346.

39. Kadcishvili Т., Saneblidze S. The cobar construction as cubical complex // Bull. Georg. Acad. Sci. 158,3.1998, 310-312.

40. Kontsevich M., Soibelan Y. Deformations of algebras over operads and Deligne's conjectoure // preprint matharxiv. QA/0001151.

41. Locateli A. Hochschil cohomology of truncated quilver algebras // Comm. Algebra, 27(2), 1999, 645-664.

42. Loday J., Quillen D. Ciclic homology and nhe Lie algebra homology of matrices // Comment.Math.Helvitici. 1984. V. 59. 565-591.

43. May J.P. Matric Massey products // Journal of Algebra. 1969. V.12, p. 533-568.

44. May T.P. The geometry of iterated loop spaces // Lecture Notes in Math., 1972.V.271.

45. Milnor J. On spaces having the gomotopy type of a CW-complex // Trans. Amer. Math.Soc., 90, no. 2(1959), 272-280.

46. Pena J.A. de la, Saorth M. The first Hochschild cohomology group of an algebra // Manuscripta Math.,104, 2001, 1-12.

47. Polgushev V., Tamarkin D., Tsygan B. The homotopy Gerstenhaber algebra of Hochschild cohains of a regular algebra is formal // arxiv:math;KT/0605141.

48. Sitarz A. Twisted Hochschild homology of quantum hyperplanes // K-Theory, 35, 2001, no.1-2, 187-192.

49. Stanley.R. Combinatorics and Commutative Algebra // Boston. MA: Birkhauser Boston Inc.,1996 (Progress in Mathematics V.41).

50. Stasheff J.D. Homotopy associativity of H-space, 1, 2 // Trans.Amer. Math.Soc., 1963, 108:2, p 275-313.

51. Stasheff J. D. Associantl fibre spaces // Michigan Math. J.,15(1968), 457-470.

52. Stasheff J. D. H-spaces from a Homotopy Point of View. Lecture Notes in Math., 161 Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New-York (1970).

53. Yecuticli A. The continous Hochschild cohain complex of a scheme // Canad. J. Math. 54, 6(2002),1319-1333.

54. Список публикаций автора по теме диссертации

55. Ладошкин М.В. Лоо-модули над Лоо-алгебрами и когомологии комплекса Хохшильда для модулей над алгебрами.// Математические заметки. т 79, вып.5, май 2006.С.717 -728.

56. Ладошкин М.В. Матричное произведение Масси и Лоо-алгебры на когомологиях топологических пространств// Динамика систем и управление. Саранск, издательство Мордовского университета, 2003. С. 98-103.

57. Ладошкин М.В. Лоо -ситуация Эйленберга-Зильберга в ка-тегории -коалгебр. // Методы возмущений в гомологической алгебре и динамике систем: Межвуз. сб. науч. тр. Саранск: Изд-во Мордов. ун-та, 2004. С. 21- 29.

58. Ладошкин М.В. Л^ -структуры па пространствах многочленов. // Материалы X на-учной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов Мордовско-го государственного университета имени Н.П. Огарева. 42. Саранск: Изд-во Мордов. ун-та, 2005. С 170-172.