Гомология Хохшильда алгебр дифференциальных операторов и обобщенные пуассоновы структуры тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ } 3 НОЛ им. М.В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

Лычапша Ольга Валентиновна

УДК 514.763.85 / 514.763.2

ГОМОЛОГИИ ХОХШИЛЬДА АЛГЕБР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

И

ОБОБЩЕННЫЕ ПУАССОНОВЫ СТРУКТУРЫ

01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА — 1905

Работа выполнена на кафедре дифференциальной геометрии и приложений мехг нико-математического факультета Московского государственного университета и М. В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Ю. П. Соловьев.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

профессор В. Ф. Кириченко, кандидат физико-математических наук В. Е. Назайкинский.

Ведущая организация: Московский институт электроники и

математики (технический университет).

Защита диссертации состоится " / " ф^й^Р-Е- 1995 г, в 16 ч. 05 мин. н; заседании диссертационного совета Д.053.05.05 при Московском государственно! университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119899, Москва, ГСП, Воробьев! горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотке механико-математическоп факультета МГУ (14 этаж).

Автореферат разослан " \ " КО-^А-, 1995 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.053.05.05 при МГУ доктор физико-математических наук,

профессор В.Н. Чубариков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Пуассоновы структуры являются основными при [ализе систем дифференциальных уравнений и встречаются в задачах :ассической механики, классической и квантовой теории поля. С. Ли1 впервые ввел эти структуры в терминах скобки на алгебре глад-[X функций, которая в локальных координатах на Rr задается функциями

у(®1! •••:

».J 1

[овлетворягощими равенствам:

V,7 + Vji = О, ^ dVik dVkj dVji _

теперь называется скобкой Пуассона.

Важный пример пуассоновой структуры, также введенный С. Ли, возни-ет при рассмотрении алгебр Ли, а именно: предположим, что функции j— линейны, т.е.

г

V.jM =

1

1гда условие пуассоновости в точности совпадает с тем условием, что структурные константы некоторой алгебры Ли. С. Ли показал, что пуассо-вы структуры, для которых г = rfc||V;j|| = const, локально определяются лько числом г. В случае линейной пуассоновой структуры ранг тензора у не постоянен (например, он равен нулю в точке х — 0), а потому тео-ма С. Ли о локальном изоморфизме применима только в "регулярных чках", т.е. тех точках, где ранг локально постоянен, или в данном случае, ксимален.

Для произвольных пуассоновых структур А. Weinstein предложил конс-укциго, так называемую "splitting theorem", которая сводит локальное учение пуассоновых структур к случаю пуассоновых структур, ранг ко-рых D некоторой точке равен нулю.2

'Lie S., Theorie tier trnnsformationsgruppen // Teubner, Leipzig, 1890

2 Weinstein A., The local structure of Poisson manifolds // J.DHT.Gcom., 18(1983), 523-557

Используя это, J. Conn в статье "Normal forms for smooth Poisson st: turcs"3 доказал, что для полупростой алгебры Ли Q компактного типа ществует в окрестности нуля такая система (?/],..., уп)локальных коор нат класса С°°, что пуассонова структура V может быть записана в с дующем виде:

Аналогичный результат получен им для аналитической пуассоновой ст ктуры V с полупростой алгеброй Ли Q и сформулирован в работе "Non forms for analytic Poisson structures".4

В диссертации мы рассматриваем формальную классификацию пуас новых структур в точках, где их ранг равен нулю, и приводим их нор; льные формы в терминах пуассоновых когомологий.

Пуассоновы когомологии, введенные впервые Лихнеровичем5 для исс дования дифференциальных квантований, были затем использованы Вгу ski J. L.6 при вычислении когомологий Хохшильда алгебр скалярных Д1 ференциальных операторов.

Во второй части диссертации мы переносим эти результаты на слу^-дифференциальных операторов, действующих в сечениях векторных р слоений. С этой целью мы строим классы дифференциальных опера ров с коммутативными алгебрами символов. Эти классы являются ест твенными обобщениями дифференцирований в векторных расслоениях вычисление гомологий Хохшильда для этих алгебр приводит к пуассо: вым когомологилм новых пуассоновых алгебр.

Цель работы. Получить формальную классификацию и описать нора льные формы вырожденных пуассоновых структур, найти гомологии Х< шильда алгебры дифференциальных операторов, действующих в сечени векторных расслоений, с коммутативным кольцом символов.

Методы исследования. При доказательстве основных теорем ncnoj зовались различные методы дифференциальной геометрии, гомологич

3Сопп J.F.,Normal forms for smooth Poisson structures // Annals of Math., 121(1985), 5

* Conn J.F., Normal forms for analytic Poisson structures // Annals of Math., 119(19?

5 Liclincrowics! A., New gcomctricnl dynamics // Lcct. Notes Math., Vol.570, 1975

6Brylinski J.L., A differential complex for Poisson manifolds// J.DiiF.Gcom., 28(1988), 03-

593

577-G01

эй алгебры и теории дифференциальных уравнений.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и заклю-аются в следующем.

1. Получена формальная классификация вырожденных пуассоновых груктур.

2. Описаны нормальные формы вырожденных пуассоновых структур в зрминах спектральной последовательности, сходящейся к пуассоновым эгомологиям ростка пуассоновой структуры.

3. Построена спектральная последовательность для вычисление гомо-эгий Хохшильда алгебры дифференциальных операторов, действующих сечениях векторных расслоений. Вычисление члена Е\ч данной последо-хтельности сведено к вычислению пуассоновых гомологий.

Практическая и теоретическая ценность. Диссертация имеет теоре-1чсский характер. Результаты диссертации могут быть использованы в яфференциальной геометрии, математической физике, квантовой и клас-гческой теории поля.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались автором центре Банаха в течение мини-семестра по нелинейным дифференциаль->ш уравнениям и математической физике (Варшава, 1993г.),на семинарах Center for Advanced Study at the Norwegian Academy of Science and Letters 995г.),на семинарах кафедры дифференциальной геометрии и приложе-1Й механико-математического факультета МГУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 8 раутах автора, список которых приведен в конце .автореферата. Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и трех :ав, включающих в себя 14 параграфов. Список литературы содержит наименование. Общий обьем диссертации- 75 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Во введении излагается краткая история вопроса о локальной класси-шации пуассоновых структур и формулируются основные результаты. В главе 1 мы определяем пуассоновы структуры на многообразии в рминах скобки Схоутена на алгебре поливекторных полей и приводим [исание пуассоновых когомологий Ну малых размерностей. Мы замечаем, что совпадает с подалгеброй функций Казимира, 1ляется фактор-алгеброй Ли всех пуассоновых векторных полей по иде-[у гамильтоновых векторных полей, а группу Яу можно представлять

себе как фактор-пространство касательных к общим деформациям по сательным к тривиальным деформациям.

В главе 2 мы рассматриваем формальную классификацию пуассоно структур в случае, когда ранг V не является локально постоянным. Бс того, в силу "splitting theorem" A.Weinstein ([2]), мы предполагаем, что V О для тп g М.

Для решения этой задачи мы применяем гомотопический метод ( метод накрывающего пути) и замечаем, что препятствия к решению мологического уравнения лежат в группе когомологий H2(G, Sp+iQ),p где ¿/-алгебра Ли, определенная линейной частью пуассоновой структ;

Полученный результат можно суммировать в следующих теоремах раграф 2.2).

Теорема 1(2.2).

(1) Если Н2(&,5р+10) = О для всех р > 1, то любая пуассонова ст} тура VI такая, что V — V] € формально эквивалентна V.

(2) Если класс [V]] = V той^Т>г таков, что когомологии Н2(0,5Р+1С О для всех р > 1, то пуассонова структура V формально эквивал« на линейной пуассоновой структуре, т.е.

в некоторой системе локальных координат 11,... ,хп, х,-(т) = О, 1,... ,п, где с*—структурные константы алгебры Ли О,

Теорема 2(2.2). Если = 0 для всех р > р0 > 1, тс

формально эквивалентна полиномиальной пуассоновой структуре видг

Теорема 3(2.2). Пусть 7?, 1 = 1,..., пр, такие бивекторные поля, чте образы [7,Пр+1 образуют базис в группе когомологий Я2(5,5Р+

V

д . д

д . д

Р> 1

Тогда любая пуассонова структура V, такал что Vm = 0, а в = [V]] шределлет алгебру Ли Q формально эквивалентна следующей пуассоно-юй структуре:

i>j J S,p

'де cf—структурные константы алгебры Ли £/, а cj € /2.

Как следствие приведенной теоремы мы получаем известный результат Weinstein ([2]): если алгебра Ли Q полупроста, то пуассонова структура 7 формально эквивалентна линейной пуассоновой структуре.

В параграфе 2.3 для нахождения нормальных форм пуассоновых структур общего вида мы используем метод спектральных последовательности, предложенный в [7]7 для нахождения нормальных форм особенностей пункций и в [8]8 для нахождения нормальных форм векторных полей. Мы рассматриваем комплекс для нахождения пуассоновых когомологий

О V0 = А Vt ^ ■■ ■ Vi ^ Vi+i ^ ■ ■ ■ ^ Vn —> О, де Vi = Vi(M)~модули t—векторных полей на М, а

3v(X) = (-l)'"pf,V 1

;ля X G Vi.

Определим фильтрацию в этом комплексе, положив

Fp,q ~ I^Dp+qy

де /1— максимальный идеал, отвечающий точке т G М,

м={/€ Л = С°°|/(т)=0},

рассматриваем спектральную последовательность {!■'), построен-

ую по этой фильтрации.

7Арнольд В.И., Спектральные последовательности ллл приведения функций к пор-альным формам

8Лычагин В.В., Особенности решсииК, спектральные послелопательности и порма-ьные формы алгебр Ли векторных полей // Известил ЛИ, Сер. Математич., 51(1978), 3, 584-G12

Теорема 2.3.

Фильтрация FVt4 определяет спектральную последовательность (Ер4, в которой

(a) £0™ = 5Тг;®ЛЛН-'Тт)

(b) Е{л = H^aetS'G)t

(c) члены Е(¡'I несут структуру биградуированной алгебры Ли oti сительно скобки Схоутена, т.е. на фЕ?'7 определено билиней*

Р,7

спаривание

др<ч х ер'<ч' _> £jp+p'-i,4+i'f

получаемое редукцией скобки Схоутена , а дифференциал dr ubi ется дифференцированием этой алгебры;

(d) спектральная последовательность стабилизируется в следуюш смысле:

для каждой пары чисел (р, д) найдется такое число г0 — г0(р, что

Ер,я = Ег,ч,л = • • • = Ep,q

•'-'го ОО г

где dr = 0,г > г0.

В параграфе 2.5 дано описание нормальных форм пуассоновых структ в терминах приведенной выше спектральной последовательности.

Теорема 2(2.5). Зафиксируем последовательность чисел

2 < а(2) < s(3) < • • • < s(p) <_•••,

в которой имеется конечное число равенств, и где s(p) < р + 1. Пус элементы «1,..., иг, G 1 < *> < оо, таковы, что их образы порожда!

все р > 2.

Тогда для каждой пуассоновой структуры вида V+e, где е € /х'Х'г, q > найдется такой локальный диффеоморфизм </?, что

V>!2)(V) - V - е = J2 Wi modifVj. i

В случае, когда алгебра Ли Q коммутативна, т.е. V G /-^„ХЬ, возник ет следующий инвариант пуассоновой структуры, которую мы назывш алгеброй Ли-Склянина на Т*ПМ.

А именно,сначала мы определяем алгебраические скобки Схоутена на произвольном векторном пространстве Е как

[8ГЕ* ® Л'Я.З'Д* ® Л>£]|' С ® А*+'~1Е,

которые

(a) являются кососимметричными: и

(b) удовлетворяют тождеству Якоби:

[х, [К, гуу = (-1)*+1 их, уу, гу + (-1)''+1 [у, \х, гуу,

где X е ЭРЕ* ® А'Е, У 6 Б'Е* ® Л'Я, 2 б БГЕ* ® Л*£.

Алгебра Ли-Скллнина определяется как такой элемент в 6 Б2Е* ® Л2!?, что

[МГ = о.

Иначе говоря, структура алгебры Ли-Склянина на пространстве Е есть <о со симметричное спаривание

в : Е* х Е* —+

;ля которого выполнено тождество Якоби.

Мы определяем когомологии алгебры Ли-Склянина Нк+,,,(Е,в) как ко-•омологии в члене ®А'Е комплекса

, _ 3кЕ* 5к+1Е*®Е ... зк+1Е*®\1Е Зк+ШЕ*®А>+1Е• • • : дифференциалом

дд : Бк+{Е* ® Л'Я —» ® Л,+1£,

(ействующим следующим образом:

дв(х) = (-1Пх,еу,

где X £ Sk^'E* ® А*Е, в € S2E* ® А2Е. ' ■" ^ ^

В параграфе 2.6 мы доказываем, что для пуассоновой структуры V H2V2 пара (Т^,в), где 9 = Vmod^V2, определяет структуру алгебры Ли Склянина, а второй член спектральной последовательности (Е^'4,¿2) coi падает с группой (р + 9,р)-когомологий алгебры Ли- Склянина (теорем 2.6).

В главе 3 мы рассматриваем пуассоновы структуры, возникающие пр вычислении гомологий Хохшильда алгебр дифференциальных операторо: С этой целью мы строим алгебры дифференциальных операторов с ко* мутативными кольцами символов, обобщал Der—операторы^10 дифферег цирований в векторных расслоениях.

Для этого мы рассматриваем расслоения алгебр тгд : А(а) —► М, ж и Н(а) —► М над гладким m-мерным многообразием М, ассоциированные векторным расслоением а : Е —► М и следующей моделью: А- ассоциативнал подалгебра в End(Rn), п = dim а, и Я-коммутативная подалгебра с единицей, лежащая в центре А. В параграфе 3.1 мы индуктивно вводим А-дифференциальные оператор] .Di///1 (а, а). Мы полагаем Diff^(a,a) = С°°(я-д) и определяем модуль А дифференциальных операторов порядка < г, i > 0, следующим образом:

Diftf(a,a) = {Д € Diff¡(a, с*)| 4(A) 6 Diffti(a,a)Wh € С°°(7гя)}.

Для описания элементов модулей Difff(at a), i > 0, индукцией по к опр( делим цепочку

А = А0 С Ai С • • • С Ак С А*+1 С • • • подалгебр в End(Rn) : положим А = Ао,

Ах = {В б End(Rn)\[B,H] € А„}

и

А* = {В б End{Rn)\[B,H] € Ак.,}.

Следующее предложение дает представление А-дифференциальных оперг торов в локальных координатах.

'Виноградов A.M., Красильщик И.С., Лычагин В.В., Введение в геометрию нел> нейных дифференциальных уравнений // Наука, 1986

10Рубцов В.А., О когомологилх Der-комплекса // Успехи матем. наук, 35(1980), 20Е

Предложение 2(3.1). ;

А-дифференциальные операторы порядка < к, к > 0, в локальных коор-! динатах х1,...,хт имеют вид: \

д = В°(х)д°' гДе в*(х) е Л-М-

М<ь !

Из определения А-дифференциальных операторов следует, что

2?«/Дл(а,а) = У Дх/^С«,«)

¿>о

является фильтрованной ассоциативной алгеброй относительно композиции операторов.

Градуированную алгебру , присоединенную к ней, мы называем алгеброй А-символов.

Обозначим ее через а) = 5тЫ^(а,а), где

БтЫ^а,*) = ШГ/^аут//^.

Для описалия структуры этой алгебры параллельно определению алгебр А,-,г = 1,... ,г, мы вводим расслоения алгебр я-,- : Л,(а) —► Мт.

Для этого положим Ао(а) = А(а), ло = ка, и будем считать , что для каждого I > 0 слои расслоения я-; в точках х £ Мт образованы такими операторами В 6 Епс1(ах), что [/г, В] £ А;_11Х для всех /г Е тг^1(х).

Модули гладких сечений этих расслоений обозначим через Л = С00(тг1). Точная последовательность С°°—модулей

О —► Л/Л —> БтЫ^{а,а) —у А0®Т) —► О

дает описание символов А-дифференциальных операторов 1-го порядка.

В общем случае, для описания структуры модуля А-символов к-го порядка БтЫ^ (а, а), к > 2, мы вводим фильтрацию

ЗтпЫ£{а,а) = Э Э Тг О • • • ,

где

Я = {А 6 о • • • о (Д) = О, У/ь • • •, Л 6 С°°(Мт)},

и через Д (Е а) обозначен дифференциальный оператор, имею]

л*

Л-символ Д.

Индукцией по г определим следующие члены фильтрации:

Я ={Д € Тх-х о ••• о Ьк_х о 6и о • • • о ¿д(Д) = О, У/ц,..-Л-1 6 С°°(7гн),/ь...,Д ес°°(мт).}

Теорема (3.1).

Модуль А-символов БтпЫ^а, а) фильтрован подмодулями .Т7; : 5тЬ^(а, = = О,

а присоединенные модули изоморфны Л{/Л{ <8> 5к~1(Т)),

Л,- = {а £ А,|5Л1 о • • • о ¿л.(а) = 0УЛь...., А,- € Я}.

В параграфе 3.2 мы рассматриваем модули Я-дифференциальных 1 раторов 1-го порядка Бег^(а) как множество операторов Д 6 таких, что ¿ь(Д) € £)ег-11(а) для всех/» е С°°(-кц), предварительно поло: а) = С°°(ки)- (Для случал А = Епс1(11п),Н = Ямы получаем алге! высших дифференцирований).

Описание Я-дифференциальных операторов в локальных координа дает

Предложение (3.2). В системе координат хх,...,хт в окрестнс и(х) С Мт, над которой тривиализуютсл расслоения ж а и кц, каж, оператор Д € представим в виде:

Д=|| А1;-1|= £(•)+ II д|;_1) II,

где Ь^ = . £М=, ¡[¿х) € Н, а = (а,,..., ат), |а| = +• • • +

А^еДгУ/^Ка).

Мы показываем, что градуированная алгебра, ассоциированная с геброй 1?ег^(а) = и^о-Оег-^а!), коммутативна и обозначаем ее Сг£(а ©,>16^(0).

(

Это позволяет нам для символов с(А) 6 (а) и сг(У) е С7г(л(а:) пред-тавителей Д € Вег£(а), V £ Иег^(а) определить скобку Пуассона

о формуле:

(а(Д),а(У)) ~ {а(Д),а(У)} = [Д, V]то^+|.2(а).

1олученную пуассонову структуру мы применяем к задаче вычисления омологий Хохпшльда алгебры дифференциальных операторов Оег^(а).

Пусть (а))-тензорное произведение над Я (тг + 1)-го экземпляра .

лгебры 1?ег^(а), а

С„(Дег?{а)) С„_1(2?ег^(а)) —>----► С0 = Рег?(а) —> О (*) !

гомологический комплекс Хохпшльда с дифференциалом

с1: С„(Яег?(а)) —> Сп-хрег^а)), ействующим по формуле:

п-1

¿(До ® • • • <3 А„) = АоАх ® • • • ® А„ + 1)'Ао ® • • • ® А<А,-+1 ® • • • ® А„+

1=1

+ (—1)ПА„А0 ® • •• ® А„_1. 1ы вводим в комплекс (*) фильтрацию, положив

Гр(Сп(Пег?(а))) = £ [2?в<(а)®--®1>егД+1(аг)], рН-----Ьрп+1<р

рассматриваем спектральную последовательность (Е*л,<1грл) для гомо-огий Хохшильда, построенную по этой фильтрации. Мы получаем, что

К,я = £ [<*■£ (о) ® ■ • ■ ® <Ч+,+| («и,

*1 + —+*Нч+1=Р

а дифференциал ? совпадает с дифференциалом Хохшильда для гом< гического комплекса алгебры (7г^(а). Поэтому:

Е1я = ННр+д(Сг*(а),Сг?(а))р -однородная часть степени р группы гомологий Хохпшльда

ННр+ч(Сг?(а),Сг?(а)).

Для группы гомологий Хохшильда ЯЯ„((7г^(а), Сг^(а)) мы получаем дующее утверждение:

Теорема 1(3.4). Для любого п > 0:

ЯЯ„(Сг^(а), Сг,А(а)) ~ ЯЯ„(5*(^). ®П®П®

0 ЯЯ„(Г (V), Б*(V)) ®7{®

где Сг,А = ®,->оА,уЛ,-_1.

Затем, используя теорему Хохпшльда, Костанта и Розенберга11 мы лучаем описание ЯЯ„(Сг^(а), Сг^(а)), сформулированное в теореме 2(1

ЯЯ„(Сг?(а), вг?(а)) ~ ®П®П ®Н® вг*А.

В теореме 3(3.4) мы приводим следующее описание члена Е\ введен ранее спектральной последовательности:

Теорема 3(3.49). Для любого п > 0 следующая диаграмма комм; тивна:

ЯЯп(Сг?(а),<?г?(а)) ® П ® П ® ® Н ® Сг*А

ЯЯ„-1(Сг^(а),Сг^(а)) —® Я ® Н ® ЩТ^ ® П ® Сг.(4

"Hochschild G., Kostant B., Rosenberg A., Differential forms on regular affine algebr: Trans. Amer. Math. Soc., 102(1962), 383-408

где di~ дифференциал спектральной последовательности, а оператор 5 действует по формуле :

" л

5(xodxi Л ... Л dx„) = Л ... Л dxi Л ... Л dx„ +

¿=1

+ (—1 *хоj, xjt} Л dx\ Л ... Л dxj Л ... Л dik Л ... Л dx„.

l<j<k<n

Отметим, что как и в [6] дифференциал 5 определяет комплекс, ассоциированный с пуассоновой алгеброй Gr^(a).

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору Ю.П. Соловьеву за постоянное внимание к работе и поддержку.

Список работ по теме диссертации

[1] Lychagina O.V., The spectral sequense for Hochschild homologies of higher derivations algebra// Publications of Lie-Lobachevsky Colloquium, Tartu, 17-19 (1992).

[2] Лычагина O.B., Гомологии Хохшильда алгебры высших дифференцирований // Вестник Московского университета, 3, сер. 1, 18-22, (1993).

[3] Лычагина О.В., Гомологии Хохшильда алгебры Н-дифференциальных операторов // Вестник Московского Университета, 4, сер. 1, 19-25, (1995).

[4] Лычагина О.В., Пуассоновы структуры, ассоциированные с алгебрами дифференциальных операторов // Матем. заметки, т.58, 2, 256-271, (1995).

[5] Lychagina О., Poisson Structures and Hochschild Cohomologies of Differential Operators Algebras // Institute of Math., University of Oslo, preprint ISBN 82-553-0961-6, No. 17, 1-15, (1995).

[6] Lychagina О., Schouten Brackets and Lie-Sklyanin Algebras // Institute of Math., University of Oslo, preprint ISBN 82-553-0962-4, No. 18, 1-28, (1995).