Гомологии Хохшильда алгебр дифференциальных операторов и обобщенные пуассоновы структуры тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

} Г МО СЕРБСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ' 1 " им. М.В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

Льшагшта Ольга Валентиновна

УДК 514.763.85 / 514.763.2

ГОМОЛОГИИ ХОХШИЛЬДА АЛГЕБР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

И

ОБОБЩЕННЫЕ ПУАССОНОВЫ СТРУКТУРЫ

01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА — 1996

Работа выполнена на кафедре дифференциальной геометрии и приложений >• нико-математического факультета Московского государственного университет М. В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Ю. П. Соловьев.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

" профессор В. Ф. Кириченко, кандидат физико-математических наук В. Е. Наз'аикинский.

Ведущая организация: • Московский институт электроники и

' математики (технический университет).

Защита диссертации состоится ". 1996 г. в 16 ч. 05 мин.

заседании диссертационного совета Д.053.05.05 при Московском государствен университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119899, Москва, ГСП, Воробь горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-03.

■ ■. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математичесз факультета МГУ (14 этаж). . ч

Автореферат разослан ' ллху,гуиО- 1996 г.

Ученый секретарь диссертационного совета ■ •

Д.053.05.05 при МГУ

доктор физико-математических наук, . ;

профессор . " ■.••.;.•..."-; '"■..'' ■■''•'-' ;'...;.';;.' : ..'^.В.Н.-Чубарш

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Пуассоновы структуры являются основными при лиэе систем дифференциальных уравнении и встречаются в задачах клас-еской механики, классической и квантовой теории поля. З-Ли1 впервые ввел эти структуры в терминах скобки на алгебре глад: функций, которая в локальных координатах на Дг задается функциями

|Влетворяющими равенствам:

, V,y + Vi; - О,

■s>.

1=1

1 dxi '* dxi dxi

еперь называется скобкой Пуассона.

Зажный пример пуассоновой структуры, также введенный G. Ли, возни-т при рассмотрении алгебр Ли, а именно: предположим, что .функции V,-j-[ейны, т.е.

г

VyOO =

1

•да условие пуассоновости в точности совпадает с тем условием, что уктурные. константы некоторой алгебры Ли. С.Ли показал, что пуассо-ы структуры, для которых г = rfc||V,-j|| =.const, локально определяются ъко числом г. В'случае линейной пуассоновой структуры ранг тензора V^-постоянен (например, он равен нулю в точке х = 0), а потому теорема С. о локальном изоморфизме применима только в "регулярных точках", т.е. точках, где ранг локально постоянен, или в данном случае, максимален. Хля произвольных пуассоновых структур А. Weinstein предложил конструк-:>,. так называемую "splitting tlieorem", которая сводит локальное изучение ссоновых структур к случаю пуассоновых структур, ранг которых в неко-юй точке равен нулю.2

Lie S., Theorie der transformationsgruppen // Teubner, Leipzig, 1890

Weinstein A., The local structure of Poisson manifolds // J.Diff.Geom., 18(1983), 523-557

Используя это, J. Conn в статье "Normalforms for smooth Poisson structures" доказал, что для полупростой алгебры Ли Q компактного типа существует окрестности нуля такая система (ух,..., уп)локальных координат класса С° что пуассонова структура V может быть записана в следующем виде:

Аналогичный результат получен им для аналитической пуассоновой ст2)укту£ V с полупростой алгеброй Ли Q и сформулирован в работе "Normal forms f< analytic Poisson structures" .4

В диссертации мы рассматриваем формальную классификацию пуассон вых структур в точках, где юс ранг равен нулю, и приводим их нормальнь формы в терминах пуассоновых когомологий.

Пуассоновы когомологии, введенные впервые Лихнеровичем5 для йсследов ния деформационных квантований, были затем использованы Brylinski J. L при вычислении когомологий Хохшильда. алгебр скалярных дифференциал ных операторов. •

Во второй части диссертации мы переносим эти результаты на случаи ди! ференциальных операторов, действующих в сечениях векторных расслоени С этой целью мы строим классы дифференциальных операторов с коммутат вными алгебрами символов. Эти классы являются естественными обобщен ями дифференцирований в векторных расслоениях, и вычисление гомолог: Хохшильда для этих алгебр приводит к пуассоновым когомологиям'новых п ассоновых алгебр.

Цель работы. Получить формальную классификацию и описать нормам ныё формы вырожденных пуассоновых структур, найти гомологии Хохшиль алгебры дифференциальных операторов, действующих в сечениях векторш - расслоений, с коммутативным кольцом символов.

Методы исследования. При доказательстве основныЗс теорем ncnoj зовались различные методы дифференциальной геометрии, гомологическ . алгебры и теории дифференциальных уравнений.

3Conn J.F.,Normal forms for smooth Poisson structures // Annals of Math., 121(1985), 51

4Conn J.F., Normal forms for analytic Poisson structures // Annals of Math., 119(198

sLichneromcz A., Deformation of quantification // Lect. Notes in Phys, Vol.106, 1979,209-!

6Brylinski J.L., A differential complex ifor Poisson manifolds // J.Diff.Geom., 28(1988), 93-:

1

д д

593

. 577-601

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и заключа-этся в следующем.

1. Получена формальная классификации вырожденных пуассоновых стру-:тур.

2. Описаны нормальные формы вырожденных пуассоновых структур в тер-1инах спектральной последовательности, сходящейся к луассоновым когомо-:огиям ростка пуассоновои структуры.

3. Построена спектральная последовательность для вычисление гомологии Сохшильда алгебры дифференциальных операторов, действующих в сечениях ¡екторных расслоений. Вычисление члена Е{ч данной последовательности свеяно к вычислению пуассоновых гомологии.

• 4. Дано описание формальных нормальных форм вырожденных пуассоно-(ых структур в Д3 с ненулевой линейной частью.

Практическая и теоретическая ценность. Диссертация имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в дифференциальной геометрии, математической физике, квантовой и классической :еории поля.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались автором в *ентре Банаха в течение мини-семестра по'неяинейным дифференциальным 'равнениям и математической физике (Варшава, 1993г.),на семинарах в Center or Advanced Study at the Norwegian Academy of Science and Letters (1995г.),на :еминарах кафедры дифференциальной геометрии и приложений механико-1атематического факультета МГУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 7 работах автора, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих в себя 14 параграфов, и приложения. Список литературы содер-кит 51 наименование. Общий обьем диссертации — 99 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении излагается краткая история вопроса о локальной классификации пуассоновых структур и формулируются основные результаты.

.В гладе 1 мы определяем пуассоновы структуры на многообразии в терми-гах скобки Схоутена на алгебре поливекторных полей и приводим описание [уассоновых когомологии Яу малых размерностей.

Мы замечаем, что Н^ совпадает с подалгеброй функции Казимира, Н^

является фактор-алгеброй Ли всех пуассоновых векторных полей по идеал, гамильтоновых векторных полей, а группу можно представлять, себе к а: фактор-пространство касательных к общим деформациям по касательным : тривиальным деформациям.

В главе 2 мы рассматриваем формальную классификацию пуассоновых сгрз ктур в случае, когда ранг V не является локально постоянным. Более тоге в силу "splitting theorem" A.Weinstein'a2, мы предполагаем, что Vm = 0 дл теМ.

Для решения этой задачи мы применяем гомотопический метод (или мето, накрывающего пути) и замечаем, что препятствия к решению гомологичес кого уравнения лежат в группе когомологий H2(G,Sp~i'1G)>p > 1, где Q .— алге бра Ли, определенная линейной частью пуассоновой структуры V. Пусть ¡л -максимальный идеал, отвечающий точке т G М: ц = {/ €.А = С00! f (m) = 0]

Теорема 1 (2.2).

(1) Если H2(G,SP+1Q) = 0 для всех р > 1, то любая пуассонова структур Vj такая, что V — Vi 6 fi2T>2, формально эквивалентна V. ■

(2) Если класс [V]i = V modpP'Dz таков, что когомологии Л2 (G, Sp+1 Q)=. для всех р > 1, то пуассонова структура V формально эквивалента линейной пуассоновой структуре, т.е.

i>j

в- некоторой системе локальных координат х\,...-,хп, х;(тп) = 0, г ■■ 1',..., п, где c^j—структурные константы алгебры Ли Q.

■ Как следствие приведенной теоремы мы получаем известный результат / Weinstein'a2:' если алгебра Ли Q полупроста, то пуассонова структура V фо{ мально эквивалентна линейной пуассоновой структуре.

В качестве другого следствия получаем следующую теорему, опровергай щую гипотезу A. Weinstein'a об эквивалентности линеаризуемости вырожде! • • ной пуассоновой структуры и полупростоты ее линейной части: .

Следствие 2 (2.2). Пусть Q является редуктивной алгеброй Ли с одномеj ньш центром. Тогда пуассонова структура V формально эквивалентна лине! ной. В частности, если (Т^, 9) — одна из следующих алгебр: gl(n), csp(n cso{n), то V формально линеаризуема.

В параграфе 2.3 для нахождения нормальных форм пуассоновых структур общего вида мы используем метод спектральных последовательностей, предложенный в работах7'8 для нахождения нормальных форм особенностей функций и нормальных форм векторных полей соответственно.

Мы рассматриваем комплекс для нахождения пуассоновых когомологий

О —Э- Д, = А Т>! ... ... 2?„ —» О,

где = Р,-(М)—модули г—векторных полей на М, а

Определим фильтрацию в этом комплексе, положив = црТ>р-(.ч, и рассмотрим спектральную последовательность (Е£'7, построенную по этой фильтрации.

Теорема (2.3). Фильтрация Ррл определяет спектральную последовательность (Е?''1^,.) в'которой

(a) Е™ = ^ТД Лр+,Тт„,

(b) Е['4 = 5РР),

(c) -члены несут структуру биградуированной алгебры Ля относительно скобки Схоутена, т.е. на © Ер7 определено билинейное спа-

, Я.7

ривание ...

получаемое редукцией скобки Схоутена , а дифференциал ¿г является . дифференцированием этой алгебры;

(<1). спектральная последовательность стабилизируется в следующем смысле: для каждой лары чисел (р, д) найдется такое число го = го {р, д), ■ что _. ' . - •

". ' Ер,<1 = = ••• = ЕР'4

.. где ¿г = 0, г > го.

7 Арнольд В.И., Спектральные последовательности для приведения функций к нормальным формам

'Лычагин В.В., Особенности решений, спектральные последовательности и нормальные формы алгебр Ли векторных полей // Известия АН, Сер. Математич., 51(1978), N3, 584-612

с

В параграфе 2.5 дано описание нормальных форм пуассоновых Структур терминах приведенной выше спектральной последовательности. .

Теорема 2 (2.5). Зафиксируем последовательность чисел

2<5(2)<З(3)<•••< ¿(р) <•'•• , • •

в которой имеется конечное число равенств, и где з(р) < р + 1. Пусть эл менты VI,... ,ьГр 6 /г?Т>2, 1 < г^ < оо, таковы, что их образы порождают в(

Тогда для каждой пуассоновой структуры вида V + е, где е € <7 > .'

найдется такой локальный диффеоморфизм <р, что

12)(У) - V - е = ЪЪ тойуГЧЬ.

Ч>

Класс когомологий Ъ. € Я2 (б, назовем допустимым относительно п;

ассоновой структуры У, если существует бивекторное поле а Е [лр+1Т>2 Т&ко что класс когомологий [ст]?+1 совпадает с Л, а V' + о является (формально] пуассоновой структурой.

Зафиксируем последовательность ¿(р) и рассмотрим следующее дере] пуассоновых структур.

Вершина—линейная пуассонова структура У1 == [У]:. . '

Уровень 1 ■— пуассоновы структуры У^ = V1 + сгг, где Ах = [о^г — доп стимый относительно V1 класс когомологий в Н2(5,Б20). ■ Уровень 2 — пуассоновы структуры вида У^ + о-3, где сг3 6 — пре ставитель' У^—допустимых классов когомологий Аг в Здесь Е4'~31

•— член спектральной последовательности, построенной по пуассоновой стру туре Удх. Обозначим эти структуры Удьд2..

Уровень р — пуассоновы структуры вида „>(х + Ор+1> где стр+1 цр+1Т>2 — представитель Уд^...^ ^допустимых классов когомологий Хр Здесь — член спектральной последовательности, п

строенной по пуассоновой структуре Уд д _ . Обозначим эти структур У$+1 Л .

Введем также понятие ветви дерева (формальных) пуассоновых структур. Рассмотрим возникающие в дереве последовательности пуассоновых структур 1ида :

Саждую такую последовательность назовем ветвью дерева. Для каждой вежи существует (формальная) пуассонова структура V, р-эквивалентная р-й ?очке ветвления ветви ((р — 1)-му уровню ветви) — пуассоновой структуре

К х •

Фиксируем структуру такого вида и обозначим ее через У^д.^со. Будем »тождествлять ветви и задающие изс пуассоновы структуры.

• Теорема 3 (2.5). (1) Любая пуассонова структура вида У+е, где е € ^2£>2, формально эквивалентна, одной из ветвей приведенного дерева, т.е. сущес-?вует диффеоморфизм ср такой, что

у>*2)(\7 + =

1ля некоторой последовательности {А;}1°.

В частности, V + е р-эквивалентна пуассоновой структуре .....яз

р — 1)-гй уровня дерева. ^

(2) Две пуассоновы структуры, формально эквивалентные одной ветви дерева, формально эквивалентны.

, В случае, когда алгебра Ли 0 коммутативна, т.е. V 6 > возникает сле-*ующий инвариант пуассоновой структуры, которую мы называем алгеброй Ти-Склянина на Т^М. • .

А именно,сначала мы определяем алгебраические скобки Схоутена на произвольном векторном пространстве Е как

^В* ® А'Е, Б'1Е* ® с ®

соторые (а) являются косо симметричными:' 1 (Ь) удовлетворяют тождеству Якоби:

[х, = ■(-1)*+1 [(Лг, У1', + (-1)'"-'4"1 {У, [х,г]'Г,

где X 6 SPE* <g> A'E^Y € SgE* ® KßE,Z € SrE* ® Afc.E.

Алгебра Ли-Склянина определяется как такой элемент в 6 S2JS* ® А2Е,Ч'

М1' = о.

Иначе говоря, структура алгебры Ли-Склянина на пространстве В есть к сосимметричное спаривание $: Е* X Е* —> 52£J*, для которого выполне: тождество Якоби.

Мы определяем когомолопш алгебры Ли-Склянина Hk+ht(E, (?) кале ког мологии в -члене Sk+lE* ® А'Е- комплекса

О SkE* SWE*®E А-.- • • Зк+'Е*®А'Е -Si»- Sk+i+1E* ®Ai+1E-

с дифференциалом

• дц : Sk+iE* ® А'Е —> Sk+i+1E* ® А'+1Е, .

действующим следующим образом: ße(X) — (—1)'[Х, в}\', где X 6 Sk+,E* А*Е, в е S2E* ® А2Е.

В параграфе 2.6 мы доказываем, что для пуассоновой структуры V £ /А пара (ТД, б), где 9 = V rnodn3V2, определяет структуру алгебры Ли-Скляние а второй член спектральной последовательности ¿2) совпадает с групп« (р + 9)р)~когомологий алгебры Ли— Склянина (теорема 2.6). .

В главе; 3 мы рассматриваем пуассоновы структуры, возникающие при bi числении гомологии Хохпшльда алгебр дифференциальных операторов.

С этой целью мы строим, алгебры дифференциальных операторов с комм тативными кольцами символов, обобщая Der—операторы9'10 дифференцир ваний в векторных расслоениях.

Для этого мы рассматриваем расслоения алгебр тга '• -А(а) '—> М, тсц Я(а) —> М над гладким m-мерным многообразием М, ассоциированные векторным расслоением а : Е —У М и следующей моделью: А— ассоциативная подалгебра в End(Rn), п = dim а, и Я — коммутативная подалгебра с единицей, лежащая в центре А.

'Виноградов A.M., Красильщик И.С., Лычагин В.В., Введение в геометрию нелинейн:

дифференциальных уравнений//Наука, 1986

10Рубцов В.А., О когомологиях Бег-комплекса // Успехи матем. наук, 35(1980), 209-2

В параграфе 3.1 мы индуктивно вводим A-дифференциальные операторы [//^(а, а). Мы полагаем Dijf£(a,a) = С00{жА) и определяем модуль А-:фференциальных операторов порядка < г, г > 0, следующим образом:

Diftf(a,a) = {Д € !*//,•(<*,а)| ¿Л(Д) € Dif/^(a.cOV/i G С°°(ття)}.

га описания элементов модулей Difff-(а, а), г > 0, индукцией по к определим почку

А-1 = {0} С А = Ао С Ai С • * • С Аь С Ak+i С • • • далтебр в End[Rn) : положим Л = Ао,

Аг = {5 е дп<*(дп)|[д,я] е А0}

Afc = {в е End{Rn)\[B,Я] е

гедующее предложение дает представление А-дифференциальных операто-в в'локальных координатах.

Предложение 2 (3.1).

A-дифференциальные операторы порядка < к, к > 0, в локальных коорди-,тах xi,..., хт имеют вид: 4

. Д = В„{х)д°, где Ba{x) G А*_И. M<fc

Из определения А-дифференциальных операторов следует, что

' Diff?(a,a) = [jDiftf(a,a)

i>0

ляетсл фильтрованной ассоциативной алгеброй относительно композиции ераторов. •

Градуированную алгебру , присоединенную к ней, мы называем алгеброй -символов.

В параграфе 3.2 мы рассматриваем модули Я-дифференциальных опера-ров i-ro порядка Derf{a) как множество операторов' Д G Difff(a, а) та-х, что:их A-символы лежат в S'(V) ® Н] Der£(a) = С°°(жц) (для случая = End{Rn), Н = R мы получаем алгебры высших дифференцирований). Описание Я—дифференциальных операторов в локальных координатах дает

Предложение (3.2). В системе координат Ж),... ,хт в окрестности и(х) С М'п, над которой тривиализуются расслоения тха и 7гя, каждый оператор Л € Вег* (а) представим в виде:

д^Ао^И^ + Д1'"4.

где Ь^ = £иж,1'(х)дв,1'(х) е Н, а = (<г,..,<г,„), Н = <п

Д1-1) 6^7/^(0,0).

Мы показываем, что градуированная алгебра, ассоциированная с алгеброй £)ег^(а) = и^о-Оег-^а), коммутативна и обозначаем ее Сг^ (а) = Шг>1С?г^(а).

' Это позволяет нам для символов с(Д) € Ог£(а) и сг(У) 6 предста-

вителей А 6 Бег^{а), V € Рег/^а) определить скобку Пуассона

{,} : (?г£(ог) х (?г,А(а) —> (а)

по формуле:

(а(Д),<т(У)) и- {сг(Д),<г(У)} = [Л, V] тойОег^г{а).

Полученную пуассонову структуру мы применяем к задаче вычисления гомо-логий Хохшильда алгебры дифференциальных операторов Бсг^(а).

Пусть Сп(Рег^ (а))-тензорное произведение над Л (п + 1)-го экземпляра алгебры 2Эег^(а), а

• —> С„(Рег?(а)) А С„_г(1)ег^ (а)) —>■ •: • —> Со = Яег?(а) —> 0 (*) -гомологический комплекс Хохшильда с дифференциалом а: С„(Лег*(а)) —3- (а)),

. действующим по формуле:

п-1

<*(А0 ® • • • ® А„) = А0Л1 ® • • • ® А„ + ® • • • ® А,-А,-+1 ® • • • ® А„+

¡=1

+ (-1)"А„А0®---® А„_1. ■

Аы вводим' в комплекс (*) фильтрацию, положив

F,{Cn{Der*(a))) = £ [Der£ (or) ® •• • ® Лег£+1(а)],

íl+—+Pn+l<P

i рассматриваем спектральную последовательность (EJ¡tJ,dpq) для гомологии £охшильда, построенную по этой фильтрации. Мы получаем, что

К, = Е/ . («) ® ■ • • ® GrL■

M—I-fc,,+,+1=p

îr дифференциал совпадает с дифференциалом Хохшильда для гомологического комплекса алгебрй Gr^(a). Поэтому:

E¡tq = HHp+4(Gr?(a),Gví(a)), -однородная часть степени р группы гомологий Хохшильда

HHp+g(Grf{a),Grf(a)).

Для группы гомологий Хохшильда HHn(Gr^(aг), Gr? (а)) мы получаем следующее утверждение:

Теорема 1 (3.4). Для любого п > 0:

\ HHn(Gr?(a),Gr?(a)) ~ HHn(S*(V),S*(V)) ®U®H®

■ ® HHn{S*[V),S*{V))®n® Gr, А,

где Gr,J4 = ©,;>оЛУЛ--1 • .

Затем, "используя теорему Хохшильда, Костанта и Розенберга11 мы получаем, описание HHn(Gr^{a), Gr? (а)), сформулированное в теореме 2(3.4):

' . HHn(Gr?{ct),Gr?(a)) ®U®H@Slns.{v)®'H® GrtA.

. В теореме 3 (3.4) мы приводим следующее описание члена введенной ранее спектральной последовательности:

11 Hochschild G., Kostant В., Rosenberg A., Differential forms on regular affine algebras // IVans. Amer. Math. Soc., 102(1962), 383-408

Теорема 3 (3.4). Для любого п > 0 следующая диаграмма коммутативна: ННи(Сг?(а), Сг^(а)) —П§.(1)) ®Н 0 П® П£.(1)) ® П ® Сг.Л.

ЯЯ„_!(<?>^(а), Сг^(а)) —®Н®Н Ф® ^® Л,

где ¿г — дифференциал спектральной последовательности, а оператор 5 действует по формуле:

П д

5{хо<1х1 Л • • • А 6.хп) = 1)'+1{а:о, х{}йх\ Л • • • Л ¿Х{ Л • • • А ¿хп+ 1=1

+ (—Л ¿XI Л • •• Л ¿г,- Л • •• Л йхи А •• • А<£с„.

Отметим, что- как и в работе6 дифференциал 5 определяет комплекс, ассоциированный с пуассоновой алгеброй (а).

В приложении- мы применяем полученные результаты для описания нормальных форм вырожденных пуассоновых структур в Я.3.

Теорема 1 (приложение). Любая вырожденная пуассонов& структура V в К3 с лилейной частью Уа = хдх Л ду формально эквивалентна пуассоновой структуре вида (хдх + е • гтдх) Л ду, где г > 2, л е = 1 лри четном г и е = ±1 при нечетном г.

Теорема 2 (приложение). Для любой пуассоновой структуры V в Л3 с . линейной частью VI = гдх А существует диффеоморфизм <р такой, что

■. . (У>)?}(^). = ((2 + Х\х2 + А2У2)0х Аду+ХнА дг) шо^^г,

где Н :— однородный кубический полином, а Хц — соответствующее гзмиль-тоново векторное поле на плоскости х, у.

Теорема 3 (приложение). Пусть V — вырожденная пуассонова структурам Д3 с линейной частью, задающей алгебру Ли б с двумерным комму-■' тантом Тогда V формально эквивалентна одной из следующих линейных структур:

(1) дг А (хдх + иуду), где и {¿|гх € N. п > 1} и {п € Я, п >. 1},

(2) ^ А ((а: Ч- /Зу)^ Н-

(3) дя А ((а + ху)дх + {у- хх)ду).

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю

профессору Ю.П. Соловьеву за постоянное внимание к работе и поддержку.

i*. ■ * ■■{' ■

Список работ по теме диссертации

[1] Lycliagina O.V., The spectral seqúense for Hochschild homologies of higher derivations algebra // Publications of Lie-Lobachevsky Colloquium, Tartu, 1992, 17-19. ,;7ГЬ!(

[2] Лычагина O.B., Гомологии Хохшильда алгебры высших дифференци-. рований // Вестник Московского университета, 3, сер.1, 1993, IS—22.

[3] Лычагина О.В., Гомологии Хохшильда алгебры Н-дифференциаль ных-операторов // Вестник Московского Университета, 4, сер.1, 1995, 19-25. ;

■ [4] Лычагина О.В., Пуассоновы структуры, ассоциированные с алгебрами ■ дифференциальных операторов' //. Матем. заметки, т. 28, 2, 1995,' • '.256-271. .

[5] Лычагина О.В., Нормальные формы пуассоновых структур // Москва, МГУ, деп. ВИНИТИ от 12.02.96 ЛЬ 464-В96, с.49.

[G] Lychagina О., Poisson. Structures and Hochschild Cohomologies of DiiTeren-tial Operators Algebras // bstitute of Math., University of-Oslo, preprint ISBN S2-553-09G1, No. 17, 1995, 1-15.

[7] -Lycliagina 0., Schouten Brackets and Lie-Sklyanin Algebras // Institute of Math., University of Oslo, preprint ISBN 82-553-0962-4, No. 18, 1995, 1-28.