Гомологии хохшильда алгебр дифференциальных операторов и обобщенные пуассоновы структуры тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

■На-правах рукописи

ГОМОЛОГИИ ХОХШИЛЬЛА АЛГЕБР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

И

ОБОБЩЕННЫЕ ПУАССОНОВЫ СТРУКТУРЫ

01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА — 1996

Работа выполнена на кафедре дифференциальной геометрии и приложении ннко-математического факультета Московского государственного университет М.В.Ломоносова.

Научный руководитель: доктор фнзшсо-математичеасих наук,

профессор Ю.П. Соловьев.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

" профессор В. Ф. Кириченко, кандидат физико-математических наук ' ' В.Е. Назайкинский.

Ведущая организация: • Московский институт электроники и

" математики (технический университет).

Защита диссертации состоится " " ОьММАХ, . 1Э96 г. в 16 ч. 05 мин заседании диссертационного совета Д.053.05.С15 при Московском государстве! университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119899, Москва, ГСП, Воробз горы, МГУ, механшсо-математическии факультет, аудитория 14-08.

• •. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математичес факультета МГУ (14 этаж). ' ' . V •

Автореферат разослан " " М&^си 1996 г.

Ученый секретарь диссертационного совета •.

Д.053.05.05 при МГУ ' •"■'".•■

доктор физико-математических наук,- . . ' ',.•.'.■.• .'•"

профессор ■; . ;; -^у/у:^' .■/.'.'.'.••'''■'•' :'.•■.;.': ' :.;>В.Н.-Чубари:

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ ктуальность темы. Пуассоновы структуры являются основными при изе систем дифференциальных уравнений и встречаются в задачах классной механики, классической и квантовой теории поля. .Ли1 впервые ввел эти структуры в терминах скобки на алгебре глад-функций, которая в локальных координатах на Лг задается функциями

летворяклцими равенствам:

V,J -f Vj-i = о,

oxi öx[ axi

1=1

перь называется скобкой Пуассона.

ажный пример пуассоновой структуры, также введенный С. Ли, возни-1 при рассмотрении алгебр Ли, а именно: предположим, что .функции V,;— :йны, т.е.

{з. условие пуассоновости в точности совпадает с тем условием, что с^— хтурные. константы некоторой алгебры Ли. С.Ли показал, что пуассо-х структуры, для которых г = rfc||Vi,-|| =.corist, локально определяются ко числом: г. В' случае линейной пуассоновой структуры ранг тензора V;j остоянен (например, он равен нулю в точке х = 0), а потому теорема С. > локальном изоморфизме применима только в "регулярных точках", т.е. точках, где ранг локально постоянен, или в данном случае, максимален, ля произвольных пуассоновых структур А. Weinstein предложил конструк-,. так называемую "Splitting theorem", которая сводит локальное изучение соновых структур к случаю пуассоновых структур, ранг которых в неко->и точке равен нулю/

<ie S., Theorie der transformationsgruppen // Teubner, Leipzig, 1890

Vemstein A., The local structure of Poisson manifolds // J.DifT.Geom., 18(1983), 523-557

Используя это, J. Conn в статье "Normal forms for smooth Poisson structure доказал, что для полупростой алгебры Ли Q компактного типа существуе' окрестности нуля такая система (yi,..., г/„)локальных координат класса С что пуассонова структура V может быть записана в следующем виде:

'г, 1 v^ к д л д

2 S - •

i<i,i,k<n ut m

Аналогичный результат получен им для аналитической пуассоновой струит; V с полупростой алгеброй Ли Q и сформулирован в работе "Normal forms analytic Poisson structures" ,4

В диссертации мы рассматриваем формальную классификацию пуассо вых структур в точках, где их ранг равен нулю, и приводим их нормалы формы в терминах пуассоновых когомологий.

Пуассоновы когомологии, введенные впервые Лихнеровичем5 для йсследс ния деформационных квантовании, были затем использованы BrylinsM J. при вычислении когомологий Хохшильда алгебр скалярных дифференциг ных операторов. •

Во второй части диссертации мы переносим эти результаты на случай д ференциальных операторов, действующих в сечениях векторных расслое! С этой целью мы строим классы дифференциальных операторов с'коммутг вными алгебрами символов. Эти классы являются естественными обобщ« ями дифференцирований в векторных расслоениях, и вычисление гомолс Хохдшльда для этих алгебр приводит к пуассоновым когомологиям' новых ассоновых алгебр.

Цель работы. Получить формальную классификацию и описать норм; ныё формы вырожденных пуассоновых структур, найти гомологии Хохшш алгебры дифференциальных операторов, действующих в сечениях вектор - расслоений, с коммутативным кольцом символов.

Методы исследования. При доказательстве основных теорем иен зовались различные методы дифференциальной геометрии, гомологичес . алгебры и теории дифференциальных уравнений.

3Conn J.F.,Normal forms for smooth Poisson structures // Annals of Math., 121(1985), 593

4Conn J.F., Normal forms for analytic Poisson structures // Annals of Math., 119(1: . 577-601

5 Lichnerowicz A., Deformation of quantification // Lect. Notes in Phys, Vol.106,1979,209

6Brylinski J.L., A differential complex for Poisson manifolds // J.Diff.Geom., 28(1988), 93

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и заключатся в следующем.

1. Получена формальная классификация вырожденных пуассоновых стру-гур.

2. Описаны нормальные формы вырожденных пуассоновых структур в тер-инах спектральной последовательности, сходящейся к пуассоновым когомо->гиям ростка пуассоновой структуры.

3. Построена спектральная последовательность для вычисление гомологии охшильда алгебры дифференциальных операторов, действующих в сечениях жторных расслоений. Вычисление члена Е\ч данной последовательности све-;но к вычислению пуассоновых гомологий.

4. Дано описание формальных нормальных форм вырожденных пуассоно-jx структур в R3 с ненулевой линейной частью.

Практическая и теоретическая ценность. Диссертация имеет теоре-яческий характер. Результаты диссертации могут быть использованы в диф-еренциальной геометрии, математической физике, квантовой и классической зории поля.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались автором в знтре Банаха в течение мини-семестра по нелинейным дифференциальным эавнениям и математической физике (Варшава, 1993г.),на семинарах в Center г Advanced Study at the Norwegian Academy of Science and Letters (1995г.),на ¡минарах кафедры дифференциальной геометрии и приложении механико-атематического факультета МГУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 7 рабо-IX автора, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит га введения, трех глав, сличающих в себя 14 параграфов, и приложения. Список литературы содер-ит 51 наименование. Общий объем диссертации — 99 страниц. ' •'■ ' СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении излагается краткая история вопроса о локальной классифика-т пуассоновых структур и формулируются основные результаты.

В главе 1 мы определяем пуассоновы структуры на многообразии в терми-IX скобки Схоутена на алгебре поливекторных полей и приводим описание ,гассоновых когомологий йу малых размерностей.

Мы замечаем, что Ну совпадает с подалгеброй функций Казимира, Н\;

является фактор-алгеброй Ли всех пуассоновых векторных полей по иде гашыътоновых векторных полей, а группу молено представлять, себе : фактор-пространство касательных к общим деформациям по касательны тривиальным деформациям.

В главе 2 мы рассматриваем формальную классификацию пуассоновых ет ктур в случае, когда ранг V не является локально постоянным. Более т< в силу "splitting theorem" A.Weinstein'a , мы предполагаем, что Vm — о ттг € М.

Для решения этой задачи мы применяем гомотопический метод (или ме накрывающего пути) и замечаем, что препятствия к решению гомологи' кого уравнения лежат в группе когомологий H2(Q, Sp+1Q),p > 1, где Q <— aj бра Ли, определенная линейной частью пуассоновой структуры V. Пусть f максимальный идеал, отвечающий точке тп € М: ц — {/ € А — С°°\ /(ш) =

Теорема 1 (2.2).

(1) Если H2(Q, SP+1Q) = 0 для всех р > 1, то любая пуассонова струю: Vj такая, что V — Vi G формально эквивалентна V. ■

(2) Если класс [V]i = V modfi2T>2 таков, что когомологии Л2 (Q, SP+1Q) для всех р > 1, то пуассонова структура V формально эквивален линейной пуассоновой структуре, т.е.

.>) 1

в■ некоторой системе локальных координат х\,.. xn, а'.¡(тп) = О, Г,..., п, где c^j—структурные константы алгебры Ли Q.

■ Как следствие приведенной теоремы мы получаем известный результат Weinstein'a2:' если алгебра Ли Q полупроста, то пуассонова структура V с] мально эквивалентна линейной пуассоновой структуре.

В качестве другого следствия получаям следующую теорему, опроверг щую гипотезу A. Weinstein'a об эквивалентности линеаризуемости вырож, ной пуассоновой структуры и полупростоты ее линейной части: .

Следствие 2 (2.2). Пусть Q является редуктивной алгеброй Ли с одно! ным центром. Тогда пуассонова структура V формально эквивалентна ли. ной. В частности, если (ТД, в) одна из следующих алгебр: gl(n), csp cso(n), то V формально линеаризуема.

В параграфе 2.3 для нахождения нормальных форм пуассоновых структур общего вида мы используем метод спектральных последовательностей, предложенный в работах7'8 для нахождения нормальных форм особенностей функций и нормальных форм векторных полей соответственно.

Мы рассматриваем комплекс для нахождения пуассоновых когомологий

О —УТЬ = А ^ Ог ••• А" А+1 ••• Т>п —» О, где Т>{ — Т>{{М)~модули г—векторных полей на М, а

Определим фильтрацию в этом комплексе, положив РРгЧ = црТ>р±д, и рас-;мотрим спектральную последовательность (Е^4, построенную по этой фильтрации.

Теорема (2.3). Фильтрация Рр<ч определяет спектральную последовательность {Ерч,йг) в которой

(a) = ®лЛ'+«Тт,

(b) Е™ = нг+^д^рд),

(c) члены Еря несут структуру биградуированной алгебры Ли относительно скобки Схоутена, т.е. на © Е?'4 определено билинейное сла-

Р.7

риванпе

получаемое редукцией скобки Схоутена., а дифференциал йг является дифференцированием этой алгебры;

■" (4). спектральная последовательность стабилизируется в следующем ' смысле: для каждой пары чисел (р, д) найдется талое хтсло го = г о (р, <?), • что . ' -

рр,1 _ -рРЛ _ ... _ рр,4 г» —^0+1— — со )

. где с1г = 0, г > г0.

7 Арнольд В.И., Спектральные последовательности для приведения функций к нормальном формам

8Лычагин В.В., Особенности решений, спектральные последовательности и нормальные-[юрмы алгебр Ли векторных полей // Известия АН, Сер. Математич., 51(1978), N3, 584-612

В параграфе 2.5 дано описание нормальных форм пуассоновых Структу. терминах приведенной выше спектральной последовательности.

Теорема 2 (2.5). Зафиксируем последовательность чисел

2<5(2)<5(3)<---<5(р)<-.- , • -

в которой имеется конечное число равенств, и где з(р) < р + 1. Пусть : менты ы,... ,уГр € 1 < гр < оо, таковы, что их образы порождают

2^)+1,Р>2. . ; • ■'

Тогда для каждой пуассоновой структуры вида V + е, где е € цчТ>2, q ; найдется такой локальный диффеоморфизм <р, что

^(.2)(У) - У - £ = ст тойц^ТН.

Класс когомологий к 6 Н2(Я, назовем допустимым относительно

ассоновой структуры V', если существует бивекторное поле а £цр+12?2 таг что класс когомологий [<г]Р+\ совпадает с /г, а V' + сг является (формальн пуассоновой структурой.

Зафиксируем последовательность й(р) и рассмотрим следующее дер пуассоновых структур.

Вершина—линейная пуассонова структура V1 = [У]х. . Уровень 1.— пуассоновы структуры У^ = V1 + сг, где Аа = [<г2]2 — дс стимый относительно V1 класс когомологий в

• Уровень 2 — пуассоновы структуры вида У^ + сгз, где Оз € — щ ставитель' У ^—допустимых классов когомологий Аг в Здесь Е^

•— член спектральной последовательности, построенной по пуассоновой стр туре Обозначим эти структуры Уд1>А;1..

Уровень р — пуассоновы структуры вида + <гр+1, где (Тр+

11Р+1Т>2 — представитель Ул1)...1лр_1 -допустимых классов когомологий А Здесь — -член спектральной последовательности,

строенной по пуассоновой структуре Ул,,...,Лр_г Обозначим эти структ]

^.....л,-

Введем также понятие встпви дерева (формальных) пуассоновых структур, ассмотрим возникающие в дереве последовательности пуассоновых структур ада

каждую такую последовательность назовем ветвью дерева. Для каждой ве-

ви существует (формальная) пуассопова структура V, р-эквивалентнал р-й очке ветвления ветви ((р — 1)-му уровню ветви) — пуассоновой структуре

г р

Фиксируем структуру такого вида и обозначим ее через . Будем

гождествлять ветви и задающие их пуассоновы структуры.

Теорема 3 (2.5). (1) Любая пуассонова структура вида V+е, где с е /¿2Х>2> юрмально эквивалентна одной иэ ветвей приведенного дерева, т.е. сущес-вует диффеоморфизм <р такой, что

у>12)(У + £) = 7{л.}гтоф002?2

ля некоторой последовательности {Х^^.

В частности, V + £ р-эквивалентна пуассоновой структуре ^ 1 из

э — 1)-го уровня дерева. ^

(2) Две пуассоновы структуры, формально эквивалентные одной ветви де-ева, формально эквивалентны.

> В случае, когда алгебра Ли 0 коммутативна, т.е. V 6 возникает сле-

ующий инвариант пуассоновой структуры, которую мы называем алгеброй [и-Склянина на Т^М.

А именно,сначала мы определяем алгебраические скобки Схоутена на про-звольном векторном пространстве Е как

. ® А'В, ® С 0

оторые (а) являются кососимметричными:'

(Ь) удовлетворяют тождеству Якоби:

\х, [у, = .(-!)*+* цх, кг, г}' + (-х)^1 [у, [х, г}'}',

гдеХб 3?Е*®А{Е,У €SiE*® A>E,Z e SrE*®AkE.

Алгебра Ли-Склянина определяется как такой элемент в € SPE* ®А2Е,'

М = о.

Иначе говоря, структура алгебры Ли-Склянина на пространстве Е есть сосимметричное спаривание в : Е* х Е* —)■ S2E*t для которого выполв тождество Якоби.

Мы определяем когомологии алгебры Ли-Склянина Нк*%>х(Е, в) как к< мологии в члене Sk+'E* ® АгЕ комплекса

О —> SkE* A Sk+1E*®E А,- • • А Зк+1Е*®А<Е Sk+i+1E*®AwE

с дифференциалом

• • . дв : Sk+iE*® AVE —> Sk+i+1E* ® A''+1.E,

действующим следующим образом: ,дв(Х) = (—1)'[Х, б]|', где X € Sk+,E AiE,e<=S2E*®A2E.

В параграфе 2.6 мы доказываем, что для пуассоновой структуры V £ [х пара (ТД, 0), где 6 = 4 modfj?2?2, определяет структуру алгебры Ли-Склят а второй член спектральной последовательности (Е^'1, ¿г) совпадает с труп (р + д,р)-когомологий алгебры Ли- Склянина (теорема 2.6). .

В главе 3 мы рассматриваем пуассоновы структуры, возникающие при числении гомологии Хохпшльда алгебр дифференциальных операторов. • С этой целью мы; строим, алгебры дифференциальных операторов с ¿сом тативными кольцами символов, обобщая Der—операторы9'10 дифференщ ваний в векторных расслоениях.

Для этого мы рассматриваем расслоения алгебр тта : Л(а) '—5- М, я-Н(а) -—> М над гладким m-мерным многообразием М, ассоциированнь векторным расслоением а : Е —> М и следующей моделью: А — ассоциативная подалгебра в End{Rn), п — dim а, и Я — коммутативная подалгебра с единицей, лежащая в центре А.

'Виноградов A.M., Красильщик И.С., Лычагин В.В., Введение в геометрию нелиней дифференциальных уравнений // Наука, 1986

"Рубцов В .А., О когомологиях Der-комплвкса // Успехи матем. наук, 35(1980), 209-

В параграфе 3.1 мы индуктивно вводим A-дифференциальные операторы lfff(a,a). Мы полагаем Diff^(a, а) = С°°(7ГЛ) и определяем модуль А-:фференциальных операторов порядка < г, г > 0, следующим образом:

Difff{a, а) = {Д 6 DifMa,a)\h(А) € j (a, a) V/i € <7°>я)}.

ш описания элементов модулей Difff- (а, а), * > 0, индукцией по к определим почку

A-i = {0} С А = Ао С Ai С • • • С Ак С Ак+г С • • • ■далгебр в End(R") : положим А = Ао,

Аг = {£ 6 End(Rn)\[B,H] е Ао}

At = {Д 6 ¿Ы(ДП)|[В,Я] 6 Ад-г}.

ieдующее предложение дает представление A-дифференциальных операто->в в'локальных координатах.

Предложение 2 (3.1).

А—дифференциальные операторы порядка < к,к > О, в локальных коорди-LTax xi,..., хт имеют вид:

. д= £ где В„(х) € А*-м-

|<т|</:

Из определения A-дифференциальных операторов следует, что

;. . Diff?(a,a) = {jDiftf(a,a) . ' ■' ' - • i>0

ляется 'фильтрованной ассоциативной алгеброй относительно композиции гераторов. •

Градуированную алгебру , присоединенную к ней, мы называем алгеброй -символов.

В параграфе 3.2 мы рассматриваем модули ü-дифференциальных опера->ров х-го порядка Dcrf-{a) как множество операторов'Д € Diff^(a, а) та-dc, что1 их A-символы лежат в S'(V) ® И] Der£(a) — С°°{кн) (для случая = End(Rn),H — R мы получаем алгебры высших дифференцирований). Описание Я-дифференциальных операторов в локальных координатах дает

Предложение (3.2). В системе координат x¡,.. .,xm в окрестности U(x) С Мт, над которой тривиализуются расслоения 7Гд и тхя, каждый ояе ратор A Ç Der^(a) представим в виде:

А Л= +

где L<*> = € «,<г = И,...,<гт), И = a, +

Д«"1) € Difffafaa).

Мы показываем, что градуированная алгебра, ассоциированная с алгебро: Der*(a) — {Ji>oDerf(a)t коммутативна и обозначаем ее Gr^(a) = ©¡мСгг^а ' Это позволяет нам для символов сг(Д) 6 Gr£(a) и cr(V) б С?7-,А(а) предстг вителей Д 6 (a), V € Derf(a) определить скобку Пуассона

{,} : Grfta) X Grf(a) Gr&^a)

по формуле:

ИД), <r(V)) H- ИД), cr(V)} = [Д, V] modDerf+¡_2{<x)- .

Полненную пуассонову структуру мы применяем к задаче вычисления гом< логий Хохшильда алгебры дифференциальных операторов Dcr£(a).

Пусть C„(Der^(a))-тензорное произведете над R (п + 1)-го экземпляр алгебры Derf(a), а

• —> Cn{Der*(a)) Cn-i(Der?(a)) —> • : • —> С0 = Лег? (a) —> 0 (. -гомологический комплекс Хохшильда с дифференциалом d : C„(jDer?(a)) —> Сп-г(£>ег^(а)), . действующим по формуле:

u-l

d{X0 ® • • • <8> А„) = A0Ai ® • • • <g> А„ + ^.(-l)'Ao ® • • • ® A¿A;+i А„+

¿=1

+ (—1)"А„Ло ® • • • О А„_1. ■

1ы вводим в комплекс (*) фильтрацию, положив

Fp(Cn{Derî{a))) = £ ® • • • ® Der^a)},

Pl + — + Pn + i<P

рассматриваем спектральную последовательность drp q) для гомологии [охшильда, построенную по этой фильтрации. Мы получаем, что

, дифференциал совпадает с дифференциалом Хохшильда для гомологи-геского комплекса &nre6jj£i Gr? (а). Поэтому:

Е1ч = ННр+я{Ог*{а),С!г*(а))р

-однородная часть степени р группы гомолоиш Хохшильда

HHp+q(Gr?(a),Gr?{a)).

%ля группы гомологии Хохшильда HHn(Gr?(a), Gr? (а)) мы получаем следую-цее утверждение:

Теорема! (3.4). Для любого п > 0:

. HHn{Gr?{a), Gr?{a)) ~ HH„(S*(V), S*(V)) ®К®Ш

ф HHn(S*(D),S*(V)) GrtА,

~;де Gr „А — ®ï>oAi/Ai—i.

Затем, используя теорему Хохшильда, Костанта и Розенберга11 мы полугаем. описание HHn(Gr?(a), Gr?(a)), сформулированное в теореме 2(3.4):

HHn{Gr?(a), Gr?(а)) а ® U ® Ч Ф ® U ® GrtА.

В теореме 3 (3.4) мы приводим следующее описание члена Е„ введенной эанее спектральной последовательности:

11 Hochschild G., Kostant В., Rosenberg A., Differential forms on regular affine algebras // IYans. Amer. Math. Soc., 102(1062), 383-408

Теорема 3 (3.4). Для любого п > 0 следующая диаграмма коммутативна HHn(Gr?{a),Gr*(a)) —ü^m®H®H©Ü'¿.{v)®H®GrtA

К

HHn-i (Gr?(a), Gr?(a)) Sl%T{v) ®Н®Н@ ®U® Gr*A,

где di — дифференциал спектральной последовательности, а оператор 5 дей ствует по формуле:

" А

5(x0dxi Л • • • Л dx„) = 2_)(-1)'.+1{а;о, г;}^ Л • • • Л dx; Л • • • Л dx„+ i'=i

+ ^ (-íy+^odíxy.XijAdx! A---Adxj A--Adxk A---Adxu.

1<1<Ь<п

Отметим, что как и в работе6 дифференциал Í определяет комплекс, ассо циированный с пуассоновой алгеброй Gr^(a).

В приложении- мы применяем полученные результаты для описания нор мальных форм вырожденных пуассоновых структур в R3.

Теорема 1 (приложение). Любая вырожденная пуассонов'л структура \ в R3 с линейной частью Vi = хдх А ду формально эквивалентна пуассоново: структуре вида (xdx + е ■ zTdz) А ду, где г > 2, и е = 1 при четном г и е — ± при нечетном г.

Теорема 2 (приложение). Для любой пуассоновой структуры V b.R3 линейной частью Vi = zdx А ду существует диффеоморфизм <р такой, что

' . (^(Vl^iiz + Áxxt + Xiy^dxAdy+XHAdJmod^Vt,

где Н ;— однородный кубический полином, а Хн — соответствующее гамиль тоново векторное поле на плоскости х,у.

Теорема 3 (приложение). Пусть V — вырожденная пуассонова, с тру* тура'ъ В? с линейной частью, задающей алгебру Ли Q с двумерным комму тантом "Н. Тогда V формально эквивалентна одной из следующих линейны структур:

(1) Эх А (хдх + иуду), где {l|n k N, п > 1} U {п б Ñ, n > 1},

(2) дгА({х + Ру)дх+уд„),

(3) дх А ((х + ху)дх + (у - хх)ду).

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю рофсссору Ю.П. Соловьеву за постоянное внимание к работе и поддержку.

Список работ по теме диссертации

[1] Lychagina O.V., The spectral sequense for Hochschild homologies of higher derivations algebra // Publications of Lie-Lobachevsky Colloquium, Tartu,

1992,17-19. : ;r\::r

[2] Лычагина O.B., Гомологии Хохшильда алгебры высших дифференци-. ровании // Вестник Московского университета, 3, сер.1, 1993, 18-22.

[3] Лычагина О.В., Гомологии Хохшильда алгебры Н-дифференциаль ных операторов // Вестник Московского Университета, 4, сер.1, 1995, 19-25.

[4] Льгчагина О.В., Пуассоновы структуры, ассоциированные с алгебрами • дифференциальных операторов // Матем. заметки, т. 28, 2, 1995,'

• ' . 256-271. . ; :,'•■ •

[о] Лычагинар.В., Нормальные формы пуассоновых структур // Москва, МГУ, деп. ВИНИТИ от 12.02.96 Л/о 464-B9S, с.49.

[6] Lychagina О., Poisson Structures and Hochscliild Cohomologies of Differential Operators Algebras // Institute of Math., University of Oslo, preprint ISBN 82-553-0961, No. 17, 1995, 1-15.

[7] 'Lychagina 0-, Schouten Brackets and Lie-Sklyanin Algebras // Institute of Math., University of Oslo, preprint ISBN 82-553-0962-4, No. 18, 1995, 1-28.